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Geometría Euclidiana
Geometría Euclidiana
Geometría Euclidiana
Contenido
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• 1 Axiomas
• 2 Limitaciones
• 3 Notas
• 4 Véase también
• 5 Enlaces externos
Axiomas [editar]
Portada Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.
La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático.
Un sistema de axiomas es aquel que, a partir de un cierto número de postulados que se
presumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de operaciones lógicas, genera
nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Euclides planteó cinco
postulados en su sistema:
1. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier
radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto,
esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los
ángulos menores que dos rectos.
Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado
como:
5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta
dada.
Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras, incluido el
propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al
absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada
geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe
ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de
Lobachevsky,(dados ambos, existen varias rectas paralelas a la dada que pasen por el
punto).
Limitaciones [editar]
Euclides utiliza hechos no demostrados ni postulados en sus teoremas desde el primero,
aunque son cosas tan sutiles que pasaron inadvertidas durante mucho tiempo.
Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados más:
• Dos circunferencias separadas menos de 2R se cortan en dos puntos (Euclides lo
utiliza en su primera construcción)
• Dos triángulos con dos lados iguales y su ángulo igual, son iguales (equivale al
concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir
explícitamente)
Notas [editar]
1. ↑ La RAE no reconoce el término «euclideo», pero se está convirtiendo en un
término de uso común, conviviendo con «euclidiano»: euclidiano en el Diccionario
de la RAE.
2. ↑ Hay que indicar que se puede dotar a un mismo espacio vectorial real de distintos
productos escalares, así que, incluso con esta acepción, existe una enorme
ambigüedad, al no quedar claro ni la dimensión del espacio (en principio cualquier
dimensión finita) ni el producto a escalar al que nos referimos. Este término puede
permitir que cosas que no se parecen en nada a lo que entendemos por geometría
euclidiana pueda llamarse precisamente geometría euclidiana.