Los Postulados de Euclides

INDICE
1. La Matemática griega................................................................................................2
2. Euclides......................................................................................................................2
3. Euclides y su libro “los Elementos”...........................................................................2
4. Los Postulados de Euclides........................................................................................4
5. El quinto postulado de Euclides................................................................................4
6. BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................5
1. La Matemática griega
Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios.
Su innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas
en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones, llamada forma
hipotético deductiva de razonamiento, y que distingue a la Matemática griega de todo
lo que la ha precedido.
El teorema de Pitágoras, por citar sólo un ejemplo, era conocido más de mil años antes
de Pitágoras, pero su establecimiento riguroso mediante una prueba de carácter
general es un producto genuino de esta nueva forma de pensamiento.
2. Euclides
Poco se sabe con certeza de la vida de Euclides. Según el testimonio de Proclo, un

matemático que vivió en Bizancio entre los años 410 y 485 d.C. Euclides floreció
durante el reinado de Ptolomeo I (que murió en 283 a.C.).
Por lo anterior, suele situarse temporalmente a Euclides alrededor del año 300 a.C. Sin
embargo, teniendo en cuenta que el comentario de Proclo fue escrito más de 700 años
después, y que se carece de referencias más directas, se comprende que algunos
historiadores pongan en duda tal fecha y aun la existencia de Euclides, atribuyendo sus
obras a otro matemático griego o un grupo de personas integrantes de una escuela
que habría pretendido sistematizar todos los conocimientos matemáticos de la época.
3. Euclides y su libro “los Elementos”
Recogiendo sistematizadamente los resultados conocidos, expuestos con esta nueva

forma de proceder, e incorporando algunos nuevos, Euclides, bibliotecario de
Alejandría, escribió la obra “Los Elementos” alrededor del año 300 antes de Cristo.
¿Por qué es tan importante esto? Como cualquier axiomatización, el sistema
construido por Euclides en los Elementos divide los enunciados en dos grandes tipos o
categorías:
1) los enunciados que se aceptan sin demostración, que Euclides llamó principios, por
ser los puntos de partida de las demostraciones;
2) los enunciados que se demuestran sobre la base de los primeros, a los que llamó
con el ya conocido nombre de teoremas.
A los principios los subdividió, a su vez, en axiomas, enunciados válidos para cualquier
ciencia llamados también nociones comunes, precisamente por ser comunes a todas
las ciencias, y postulados, afirmaciones acerca de los objetos geométricos -por lo
tanto, específicos de una ciencia que debían postularse, es decir, aceptarse como
verdaderas, para poder llevar a cabo las demostraciones.
Está compuesta de trece libros titulados:
Libro I: Congruencia de triángulos, paralelas, áreas de triángulos y rectángulos.

Libro II: Relaciones de igualdad en triángulos, cuadrados y rectángulos.
Libro III: Círculos.
Libro IV: Construcción de polígonos en círculos.
Libro V: Teoría de proporciones.
Libro VI: Semejanza de figuras rectilíneas planas.
Libro VII: Proporciones, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, primos
relativos.
Libro VIII: Progresiones, números cuadrados y cúbicos.
Libro IX: Factorización de primos, infinitud de los primos, números perfectos.
Libro X: Teoría de líneas irracionales.
Libro XI: Relaciones entre figuras sólidas.
Libro XII: Relaciones entre círculos y esferas, volúmenes de pirámides y conos.
Libro XIII: Construcción de sólidos regulares en esferas.
4. Los Postulados de Euclides
Lo que es magistral en Los Elementos es el método. Desarrollan toda la geometría y la

aritmética elemental partiendo de cinco “postulados” y estableciendo teoremas y
proposiciones sólo a partir de los postulados y de los resultados ya demostrados
mediante las reglas del razonamiento deductivo. Los cinco postulados son:
Además de 23 definiciones y varias suposiciones implícitas, que expresaban ideas
familiares a cualquiera, Euclides dedujo la mayor parte de los resultados sobre la
geometría del plano a partir
de cinco postulados o axiomas:
1. Dados dos puntos, siempre existe una recta que pase por ellos.
2. Toda recta puede extenderse indefinidamente en la misma dirección.
3. Con un punto como centro y cualquier radio dado se puede trazar una
circunferencia.
4. Todos los ´ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una recta corta a otras dos de tal modo que los ´ángulos interiores del mismo lado
suman menos que dos rectos, al prolongar indefinidamente estas dos rectas, se cortan
en ese mismo lado.
5. El quinto postulado de Euclides
Podemos percibir que el 5º postulado es más complicado que los anteriores.

(Representémoslo gráficamente).
Se puede decir, con otras palabras (por haberse probado su equivalencia), que de un
punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una recta paralela a la dada.
Puesto que la sistematización de Euclides tiene carácter axiomático, los postulados,
junto con los axiomas, constituyen los puntos de partida para las demostraciones de
los teoremas. Antiguamente se creía que los axiomas de un sistema tenían que ser
“evidentes”. Puesto que no se los demuestra, esta evidencia era la única garantía de su
verdad. En cambio, los teoremas, que sí se demuestran, no necesitaban ser evidentes.
El postulado 5 de Euclides, a diferencia de lo que ocurría con los otros cuatro, no
parecía evidente a los matemáticos de la época.
Los geómetras posteriores creyeron que la explicación para esta falta de evidencia
consistía en que el 5º postulado era, en realidad... ¡un teorema!; es decir, que no era
independiente de los otros cuatro, pudiendo, por lo tanto, ser demostrado a partir de
ellos.
A lo largo de siglos trataron de demostrarlo, pero, siempre que creyeron haberlo
hecho, partieron de los cuatro primeros postulados (lo cual es correcto, ¿por qué?)
agregándoles algún otro enunciado que en todos los casos resultó ser equivalente al
postulado en cuestión.
Esta historia nos muestra que el método axiomático no es solamente un método de
justificación sino también un poderoso método de descubrimiento; fue, en efecto, su
aplicación la que condujo al descubrimiento de las geometrías no euclidianas.}
6. BIBLIOGRAFÍA
(2007). Obtenido de Vida de los trece libros de Euclides.:

https://rac.es/ficheros/doc/00182.pdf
Alegría, P. (s.f.). Demogeo. Obtenido de https://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/demogeo.pdf
Kyriakos Petakos, N. S. (2006). El quinto postulado de Euclides:. En N. S. Kyriakos Petakos, El

quinto postulado de Euclides: (págs. 4 - 8 ). Obtenido de
https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=8832461.

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4. Los Postulados de Euclides........................................................................................4

5. El quinto postulado de Euclides................................................................................4

Poco se sabe con certeza de la vida de Euclides. Según el testimonio de Proclo, un

3. Euclides y su libro “los Elementos”

Recogiendo sistematizadamente los resultados conocidos, expuestos con esta nueva

Está compuesta de trece libros titulados:

Libro I: Congruencia de triángulos, paralelas, áreas de triángulos y rectángulos.

Lo que es magistral en Los Elementos es el método. Desarrollan toda la geometría y la

5. El quinto postulado de Euclides

Podemos percibir que el 5º postulado es más complicado que los anteriores.

(2007). Obtenido de Vida de los trece libros de Euclides.:

Alegría, P. (s.f.). Demogeo. Obtenido de https://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/demogeo.pdf

Kyriakos Petakos, N. S. (2006). El quinto postulado de Euclides:. En N. S. Kyriakos Petakos, El

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