República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Universidad Politécnica Territorial del Estado Trujillo “Mario Briceño Iragorry”, Sede La
Beatriz

Automatización
Actividad N°4 Lapso 2

Integrantes:
Luiggi Viloria C.I: 26.877.706
Johelys Plata C.I: 29.874.796
PNF Electricidad; Trayecto 3, Lapso 2
 1. Diseño y Compensación. Nociones Básicas

El método de diseño lo determinan las especificaciones. El diseñador trata de

satisfacer todos los requerimientos mediante la repetición juiciosa del método de
prueba y corrección. Ajustar la ganancia es el primer paso, sin embargo en muchos
casos prácticos, no basta ajustar la ganancia del sistema para cumplir con las
especificaciones dadas. Con frecuencia, aumentar la ganancia mejora el
funcionamiento estacionario, pero redunda en una estabilidad pobre. En tal caso es
necesario rediseñar el sistema para alterar el funcionamiento global, de manera que el
sistema se comporte en la forma deseada.
Este rediseño se denomina compensación y al dispositivo que se inserta se le
denomina compensador. El compensador modifica el desempeño con déficit del
sistema original.
El siguiente trabajo tiene como finalidad, presentar algunos procedimientos para el
diseño y compensación de sistemas de controles lineales, invariantes en el tiempo, con
una entrada y una salida.
Compensadores
Se han utilizado numerosos dispositivos físicos como compensadores. Entre las
muchas clases de compensadores, ampliamente utilizados, están los de adelanto, de
atraso, de atraso-adelanto y compensadores con retroalimentación de velocidad.
Los compensadores pueden ser dispositivos electrónicos, o redes eléctricas,
mecánicas, neumáticas, hidráulicas o alguna combinación de ellas.

Compensación en Serie y Compensación en Paralelo.

Las figuras (a) y (b) muestran los esquemas de compensación que suelen utilizarse
para los sistemas de control realimentados. La figura (a) contiene la configuración en la
que el compensador Gc(s) se coloca en serie con la planta. Este esquema se
denomina compensación en serie.
Una alternativa a la compensación en serie es la realimentación de las señales de
algunos elementos y la colocación de un compensador en la trayectoria de
realimentación interna resultante, como se aprecia en la figura (b). Esta compensación
se denomina compensación mediante realimentación ó compensación en paralelo.
Al compensar los sistemas de control, observamos que, por lo general, el problema
termina en un diseño conveniente de un compensador en serie o mediante
realimentación. La elección entre la compensación en serie y la compensación
mediante realimentación depende de la naturaleza de las señales del sistema, los
niveles de potencia en los diferentes puntos, los componentes disponibles, la
experiencia del diseñador, las consideraciones económicas, etc.
En general, la compensación en serie es más sencilla que la compensación
mediante realimentación; sin embargo aquella requiere con frecuencia de
amplificadores adicionales para incrementar la ganancia y/o ofrecer un aislamiento.
Observe que, la cantidad de componentes de la compensación en paralelo será menor
que la cantidad de compensación en serie, siempre y cuando se tenga una señal
adecuada, debido a que la transferencia se da de un nivel de potencia más alto a un
nivel más bajo.
Al analizar los compensadores, solemos utilizar términos como compensación en
adelanto, compensación en atraso y compensación adelanto – atraso. En este
trabajo explicaremos solo la compensación en adelanto y en atraso.

(a)

(b)
La compensación es la modificación de la dinámica del sistema, realizada para
satisfacerlas especificaciones determinadas. El enfoque que se usa para el diseño y la
compensación de un sistema de control es el lugar geométrico de las raíces.
Especificaciones de Desempeño
Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Los
requerimientos impuestos sobre el sistema de control se detallan como
especificaciones de desempeño. Por lo general se refieren a la precisión, la estabilidad
relativa y la velocidad de respuesta.
Las técnicas de compensación, son una buena herramienta para ajustar las
ganancias de un sistema de control para poder cumplir con las especificaciones dadas.
Existen dos tipos de compensación, una en serie y otra en paralelo, la primera es
sencilla en comparación con la otra, pero con la otra, generalmente, podemos
ahorrarnos los amplificadores en el sistema.
Existen tres técnicas para calcular la compensación en un sistema de control, las
cuales son, compensación en atraso, compensación en adelanto y compensación
en adelanto – atraso. Existen dos maneras de calcular dichas técnicas son: el diseño
de sistemas de control mediante el lugar geométrico de las raíces y el diseño de
sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia.

2) Compensadores Mediante Adelanto, Retraso y Adelanto Retraso,

Mediante Método de Boole y Lugar Geométrico de las Raíces

Procedimiento de diseño para compensar en adelanto por el método del Lugar

de las Raíces
Se utiliza cuando el sistema no cumple las especificaciones transitorias y un solo
ajuste de ganancia no es suficiente.

 De las especificaciones de funcionamiento, se determina la ubicación

deseada de los polos dominantes de lazo cerrado.

 Trazar el diagrama de L.R. para el sistema no compensado cuya función de

transferencia es G(s). Determine si con solo ajustar la ganancia se logra
obtener o no los polos de lazo cerrado deseados. De no ser posible, calcule
la deficiencia angular Φ, este ángulo se debe proporcionar por el
compensador en adelanto para que el nuevo LGR pase por las ubicaciones
deseadas.

 Suponga que la función de transferencia del compensador en adelanto es:

(0<a<1)
 Donde α y T se determinan a partir de la deficiencia angular, Kc se determina a
partir del requisito de ganancia de lazo abierto. Entonces la F.T. de lazo abierto del
sistema compensado es Gc(s)G(s).

 Si las constantes de error estático no se especifican determine la ubicación

del polo y cero del compensador en adelanto. (Si se especifica alguna
constante de error estático, en general es más simple utilizar el procedimiento
de respuesta en frecuencia).

 Determine la ganancia de lazo abierto del sistema compensado partiendo de

la condición de magnitud.
La compensación en adelanto, se caracteriza por tener el cero más cercano al
origen que el polo y modifica substancialmente la ubicación de polos de lazo cerrado.

Ubicación del cero y polo en compensación en adelanto.

Ejemplo:
Considere el sistema con realimentación unitaria y F.T. Directa:

Se desean modificar los polos de lazo cerrado de modo que se obtenga

ξ = 0.5 y ωn
= 4.
Como primer paso, ubicamos la posición de los polos de lazo cerrado, los cuales en
este caso deben ser en:

A continuación trazamos el L.G.R para el sistema sin compensar.

 En este sistema el ángulo de G(s) en el polo de lazo cerrado deseado es:

Así que el compensador debe contribuir con Φ = 30Ί en este punto.

El polo del compensador deberá ubicarse en -5.4 mientras que el cero deberá
ubicarse en -2.9. La función de transferencia del sistema compensado será por lo tanto:

Donde k = KKc.
Lo cual da k = 18.7 es decir considerando K = 4 entonces; Kc = 4.68 y por lo tanto la
función de transferencia del compensador en adelanto será:
 Por lo tanto, el diagrama del L.G.R compensado es el siguiente:

Procedimiento de diseño para compensar en atraso por el método del Lugar

de las Raíces

Se utiliza cuando el sistema cumple las especificaciones transitorias y no las de

estado estacionario (error).

 Trazar el diagrama de L.R. para el sistema no compensado cuya función de

transferencia es G(s). Basado en las especificaciones transientes, ubique los
polos dominantes de lazo cerrado en L.R.

 Suponga que la función de transferencia del compensador en atraso es:

Entonces la F.T. de lazo abierto del sistema compensado es Gc(s)G(s).

 Evalúe el coeficiente de error estático particular especificado en el problema.

 Determine la magnitud del aumento en el coeficiente de error estático para

satisfacer las especificaciones.

 Determine el polo y cero del compensador en atraso que produce el aumento

necesario en el coeficiente de error, sin alterar de forma notoria el L.R.
original (Note que la relación entre la ganancia requerida y la ganancia
hallada es la relación entre la distancia del cero al origen y la del polo al
origen.
  Trace el nuevo L.R. Ubique los polos de lazo cerrado

 Ajuste la ganancia Kc del compensador partiendo de la condición de

magnitud.

Se caracteriza por:

 Un par polo-cero muy próximo al origen.

 Muy próximos entre sí.

 El polo más cerca del origen.

 NO modifica substancialmente el lugar de las raices.

Ubicación polo cero en compensación en atraso

Ejemplo:
Considere el sistema con realimentación unitaria y F.T. directa:

Determine el valor de ganancia que permite ξ = 0.5 y ωn = 0.67, con esta ganancia
calcule el error estático de velocidad y utilice un compensador de atraso que permita
tener Kv =5 sin cambiar en forma notable los polos dominantes de lazo cerrado.
Para hallar el error estático de velocidad para este sistema que es tipo 1, la entrada
debe ser una rampa y por lo tanto tenemos que:
 Se necesita un compensador en atraso que incremente el coeficiente de error en un
factor de aproximadamente 10, se elige β = 10 y se colocan el cero y el polo del
compensador en atraso en s = -0.1 y s= -0.01

Diagrama del L.G.R sin compensar

Diagrama del L.G.R compensado en atraso.

 Procedimiento de diseño para compensar en adelanto por el método de
Respuesta en Frecuencia

Se requiere modificar la forma de la curva de respuesta en frecuencia dando

suficiente adelanto de fase como para contrarrestar el atraso de fase excesivo.

 Suponga el siguiente compensador en adelanto:

Determine la ganancia K que satisface el requisito de coeficiente de error estático.

 Utilizando la ganancia K trace el diagrama de Bode del sistema no

compensado. Evalúe el margen de fase.

 Determine el ángulo de fase en adelanto f necesario para agregarlo al

sistema

 Determine el factor de atenuación a utilizando:

Determine la frecuencia en que la magnitud del sistema no compensado es igual a:

Elija esta frecuencia como nueva frecuencia de cruce de ganancia, esta frecuencia

corresponde a y el máximo desplazamiento de fase se produce a

esta frecuencia.

 Determine las frecuencias de cruce del compensador en adelanto.

 Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de a en el paso 4 calcule

la constante Kc del compensador.

 Verifique el margen de ganancia para asegurar que sea satisfactorio.

Ejemplo:
Considere el sistema con realimentación unitaria y F.T. directa:
 Se desea diseñar un compensador para el sistema tal que el coeficiente de error
estático de velocidad sea 20, el margen de fase no sea menor a 50º, y el margen de
ganancia sea por lo menos de 10dB.

Solución:
Para hallar el error estático de velocidad para este sistema que es tipo 1, la entrada
debe ser una rampa y por lo tanto tenemos que:

Se trazan los diagramas de Bode y se obtienen los márgenes de fase y de ganancia:

Se necesita un adelanto de fase de al menos 33º se tomara Pm = 38º lo cual lleva a

dB= 0.24. Se hace notar que:

Por lo tanto se debe elegir esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce y eso
nos lleva a que:
 El compensador en adelanto se convierte en:

Diagrama de bode con compensación en adelanto

Procedimiento de diseño para compensar en atraso por el método de

Respuesta en Frecuencia

La función primaria de un compensador en atraso es atenuar en el rango de alta

frecuencia para dar al sistema suficiente margen de fase.
Suponga el siguiente compensador de atraso:

Determine la ganancia K que satisface el requisito de coeficiente de error estático.

 Utilizando la ganancia K trace el diagrama de Bode del sistema no

compensado. Evalúe el margen de fase.

 Si el sistema sin compensación no satisface las especificaciones en

márgenes de fase y de ganancia, halle el punto de frecuencia donde el
ángulo de fase es igual a -180° más el margen de fase requerido más 5° a
12°. Elija esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
  Para evitar efectos perjudiciales del atraso de fase el polo y el cero del
compensador deben ubicarse por debajo de la nueva frecuencia de cruce
(una década u una octava por abajo).

 Determine la atenuación necesaria para bajar la curva de magnitud a cero dB

en la nueva frecuencia de cruce, esta atenuación es -20 log β determine el
valor de β y después la otra frecuencia.

 Usando el valor de K determinado al inicio y el β en el paso anterior

determine el valor de Kc.
Ejemplo:
Considere el sistema con realimentación unitaria y F.T. directa:

Se desea diseñar un compensador para el sistema tal que el coeficiente de error

estático de velocidad sea 5, el margen de fase sea al menos 40o , y el margen de
ganancia sea por lo menos de 10dB.
Solución:
Para hallar el error estático de velocidad para este sistema que es tipo 1, la entrada
debe ser una rampa y por lo tanto tenemos que:

Se trazan los diagramas de Bode y se obtienen los márgenes de fase y de ganancia:

Se necesita un adelanto de fase de al menos 33º se tomara Φm = 38º lo cual lleva a

α = 0.24.
Se hace notar que:

Por lo tanto:

Se elige las frecuencias entre el polo y el cero:

Además:

Por lo tanto:

Diagrama de bode con compensación en atraso

 3) Introducción a la Compensación Mediante Variable de Estado.

Las variables de estado son la representación moderna que se tiene para describir
el comportamiento de los sistemas dinámicos empleados en diferentes aéreas de la
ingeniería.

 El espacio de estado es una forma de representar un sistema dinámico en

función n ecuaciones en diferencia.

 Variables de Estado: Son el conjunto más pequeño de variables que

determina el comportamiento dinámico de un sistema.
Representación de un sistema en variables de estado
Todo sistema dinámico lineal (LTI), se representa por un bloque (Caja Negra), que
posee un número de entradas y salidas.

Esta representación no nos dice mucho al respecto de la evolución que tendrá el

sistema con el tiempo al momento de perturbarlo con una señal de entrada.

En términos generales, la finalidad del método es expresar un sistema mediante la

estructura vectorial siguiente:

La finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden,

representado por el vector en la ecuación anterior.

 La gran ventaja de utilizar variables de estado es que, para un sistema con muchas
variables, como es el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador o de un sistema
eléctrico, necesitamos usar ecuaciones diferenciales solo para resolver un subconjunto
seleccionado de variables del sistema. A partir de allí todas las demás variables del
sistema se pueden evaluar algebraicamente.
El primer paso es entonces decidir cuáles serán esas variables que forman este
subconjunto de variables de estado, que en las ecuaciones anteriores está
representado por el vector X. Y a partir de ese conjunto, las otras variables se pueden
expresar como función de las variables seleccionadas. Parece un trabalenguas, por ello
mejor explicarse mediante un ejemplo.
Supongamos que tenemos el sistema de la figura:

1er paso. En este ejemplo la clave para seleccionar las variables de estado son los
elementos del sistema que almacenan energía porque son los que requieren de
ecuaciones diferenciales para explicar su dinámica. Por ello escribimos dichas
ecuaciones para el inductor y el capacitor:

De las ecuaciones anteriores es conveniente para nuestra representación en

variables de estado seleccionar los parámetros que están derivados, es decir:

2do paso. Para lograr la finalidad del método que se explicó al principio de este
documento, vemos de inmediato que si tomamos nuestras dos ecuaciones
diferenciales anteriores y despejamos las derivadas de las variables de estado
seleccionadas (lado izquierdo), ya tenemos adelantada la estructura que buscamos
alcanzar:
 3er paso. Sin embargo, el lado derecho no está en función de las variables de
estado seleccionadas, por lo que debemos utilizar otras ecuaciones para lograr esto.
Aplicamos Kirchhoff de corriente para lograr Ic, y de voltaje para lograr Vl en función
de las variables de estado seleccionadas:

Sustituimos:

4to paso. Y así hemos alcanzado expresar la dinámica de nuestro sistema en

términos de las variables de estado seleccionadas:

Nota: No depende de 𝐢𝐥 , pero la incluimos multiplicada por cero para resaltar el

hecho de que debemos expresar el lado derecho en términos de las ecuaciones de
estado y pasar de allí a la forma matricial presentada más adelante.
5to paso. Para completar el método sólo nos falta hallar la salida en función de las
variables de estado. Si seleccionamos la salida como la corriente que atraviesa la
resistencia R, y la llamamos IR, obtenemos directamente que:

O lo que es lo mismo:

Representamos así nuestro sistema en variables de estado de la forma matricial

siguiente:
 Una ecuación diferencial de primer orden requiere de una variable de estado. Una
de segundo orden requiere de dos variables de estado. Y así sucesivamente, por ende,
se podría demostrar el siguiente criterio:

 Una ecuación de orden n genera n variables de estado.

Debemos repetir que independientemente del orden de las ecuaciones diferenciales
en la dinámica del sistema, la finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema
de primer orden.