Este documento presenta varios problemas y ejercicios relacionados con el análisis y diseño de sistemas de control en el espacio de estados. Se discuten temas como la obtención de la representación en el espacio de estados de sistemas dados, el cálculo de valores y vectores propios de matrices, la transformación de sistemas a formas canónicas, y el diseño de controladores y observadores utilizando técnicas como la asignación de polos. El documento también introduce brevemente conceptos como sistemas de control óptimos cuadr
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Este documento presenta varios problemas y ejercicios relacionados con el análisis y diseño de sistemas de control en el espacio de estados. Se discuten temas como la obtención de la representación en el espacio de estados de sistemas dados, el cálculo de valores y vectores propios de matrices, la transformación de sistemas a formas canónicas, y el diseño de controladores y observadores utilizando técnicas como la asignación de polos. El documento también introduce brevemente conceptos como sistemas de control óptimos cuadr
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B-9-1.
Considere el siguiente sistema representado mediante la funci�n de
transferencia: Y(s) U(s)% s!6 s2!5s!6 Obtenga la representaci�n en el espacio de estados de este sistema en (a) la forma can�nica controlable y (b) la forma can�nica observable. B-9-2. Considere el sistema siguiente: ... y!6y� !11y5 !6y%6u Obtenga una representaci�n en el espacio de estados de este sistema en la forma can�nica. B-9-3. Sea el sistema definido mediante x5 %Ax!Bu y%Cx donde A%C 12 .4 .3D, B%C1 2D, C%[1 1] Transforme las ecuaciones del sistema en la forma can�nica controlable. B-9-4. Considere el sistema definido mediante x5 %Ax!Bu y%Cx donde A%C.101 1 .20 00 .3D, B%C0 0 1D, C%[1 1 0] Obtenga la funci�n de transferencia Y(s)/U(s). B-9-5. Sea la matriz A siguiente: A%C0100 0010 0001 1000 D Obtenga los valores propios j1, j2, j3 y j4 de la matriz A. Despu�s obtenga una matriz de transformaci�n P tal que P.1AP%diag(j1, j2, j3, j4) B-9-6. Considere la matriz A siguiente: A%C 01 .2 .3D calcule eAt mediante tres m�todos. B-9-7. Dada la ecuaci�n del sistema Cx51 x52 x53D%C210 021 002 DCx1 x2 x3D encuentre la soluci�n a partir de las condiciones iniciales x1(0), x2(0) y x3(0). B-9-8. Encuentre x1(t)yx2(t) del sistema descrito mediante Cx51 x52D%C 01 .3 .2DCx1 x2D donde las condiciones iniciales son Cx1(0) x2(0)D%C 1 .1D B-9-9. Considere la ecuaci�n de estado y la ecuaci�n de salida siguientes: Cx51 x52 x53D%C.610 .11 0 1 .600 DCx1 x2 x3D!C2 6 2Du y%[1 0 0]Cx1 x2 x3D Demuestre que la ecuaci�n de estado se transforma en la forma siguiente si se usa una matriz de transformaci�n adecuada: Cz51 z52 z53D%C00 .6 10.11 01 .6DCz1 z2 z3D!C1 0 0Du Despu�s obtenga la salida y en t�rminos de z1, z2 y z3. B-9-10. Obtenga con MATLAB una representaci�n en el espacio de estados del sistema siguiente. Y(s) U(s)% 10.4s2!47s!160 s3!14s2!56s!160 720 Ingenier�adecontrolmoderna B-9-11. Obtenga con MATLAB una representaci�n mediante la funci�n de transferencia del sistema siguiente: Cx51 x52 x53D%C 0 1 0 .1 .10 1 0 0 DCx1 x2 x3D!C0 1 0Du y%[0 0 1]Cx1 x2 x3D B-9-12. Obtenga con MATLAB una representaci�n mediante la funci�n de transferencia del sistema siguiente: Cx51 x52 x53D%C210 020 013 DCx1 x2 x3D!C01 10 01 DCu1 u2D y%[1 0 0]Cx1 x2 x3D B-9-13. Considere el sistema definido mediante Cx51 x52 x53D%C.1 .2 .2 0 .11 10 .1DCx1 x2 x3D!C2 0 1Du y%[1 1 0]Cx1 x2 x3D �Es el sistema de estado completamente controlable y completamente observable? B-9-14. Considere el sistema dado por Cx51 x52 x53D%C200 020 031 DCx1 x2 x3D!C01 10 01 DCu1 u2D Cy1 y2D%C100 010 DCx1 x2 x3D �Es el sistema de estado completamente controlable y completamente observable? �Es el sistema de salida completamente controlable? B-9-15. �Es el sistema de estado siguiente completamente controlable y completamente observable? Cx51 x52 x53D%C 0 1 0 0 0 1 .6 .11 .6DCx1 x2 x3D!C0 0 1Du y%[20 9 1]Cx1 x2 x3D B-9-16. Considere el sistema definido mediante Cx51 x52 x53D%C 0 1 0 0 0 1 .6 .11 . 6DCx1 x2 x3D!C0 0 1Du y%[c1 c2 c3]Cx1 x2 x3D Con excepci�n de una elecci�n obvia de c1%c2%c3%0, encuentre un ejemplo de un conjunto de c1, c2, c3 que haga no observable el sistema. B-9-17. Sea el sistema Cx51 x52 x53D%C200 020 031 DCx1 x2 x3D La salida se obtiene mediante y%[1 1 1]Cx1 x2 x3D (a) Demuestre que el sistema es completamente observable. (b) Demuestre que el sistema es completamente observable si la salida se obtiene mediante Cy1 y2D%C111 123 DCx1 x2 x3D Cap�tulo 9. An�lisisdesistemasdecontrolenelespaciodeestados 721 Dise�odesistemas decontrolenelespacio deestados 10-1 Introducci�n Este cap�tulo analiza los m�todos de dise�o en el espacio de estados basados en los m�todos de asignaci�n de polos y del regulador �ptimo cuadr�tico. El m�todo de asignaci�n de polos es algo an�logo al m�todo del lugar de las ra�ces ya que se colocan los polos en lazo cerrado en posiciones deseadas. La diferencia b�sica es que en el dise�o en el lugar de las ra�ces se sit�an s�lo los polos en lazo cerrado dominantes, mientras que en el dise�o por asignaci�n de polos se colocan todos los polos en lazo cerrado en las posiciones que se deseen. Se comienza presentando el material b�sico sobre asignaci�n de polos en sistemas reguladores. A continuaci�n se analiza el dise�o de observadores de estado, seguido por el dise�o de sistemas reguladores y sistemas de control utilizando el m�todo de asignaci�n de polos con observador del estado. Seguidamente se presentan los sistemas reguladores �ptimos cuadr�ticos. Finalmente, se presenta una introducci�n a los sistemas de control robusto. Contenido del cap�tulo. La Secci�n 10-1 presenta el material de introducci�n. La Secci�n 10-2 analiza el m�todo de asignaci�n de polos para el dise�o de sistemas de control. Empieza con la obtenci�n de las condiciones necesarias y suficientes para una asignaci�n arbitraria de los polos. A continuaci�n se deducen las ecuaciones para la matriz de ganancias de la realimentaci�n del estado K para la asignaci�n de los polos. La Secci�n 10-3 presenta la soluci�n del problema de asignaci�n de polos con MATLAB. La Secci�n 10- 4 analiza el dise�o de servosistemas utilizando el m�todo de asignaci�n de polos. La Secci�n 10-5 presenta los observadores de estado. Se estudian los observadores de estado de orden completo y de orden m�nimo. Tambi�n se deducen las funciones de transferencia de los controladores-observadores. La Secci�n 10-6 aborda el dise�o de sistemas reguladores con observadores. La Secci�n 10-7 trata el dise�o de sistemas de control con observadores. La Secci�n 10-8 estudia los sistemas reguladores �ptimos cuadr�ticos. Obs�rvese que la matriz de ganancia de realimentaci�n del estado K se puede obtener por ambos m�todos: el m�todo de asignaci�n de polos y el m�todo de control �ptimo cuadr�tico. Finalmente, la Secci�n 10-9 presenta los sistemas de control robusto donde el estudio de estos sistemas se limita a temas introductorios. 10-2 Asignaci�ndepolos En esta secci�n se presenta un m�todo de dise�o conocido com�nmente como t�cnica de ubicaci�n o deasignaci�n de polos. Se supone que todas las variables de estado son medibles y que est�n disponibles para su realimentaci�n. Se demostrar� que, si el sistema considerado es de estado completamente controlable, los polos del sistema en lazo cerrado se pueden colocar en cualquier posici�n deseada mediante una realimentaci�n del estado a trav�s de una adecuada matriz de ganancias de la realimentaci�n del estado. La t�cnica de dise�o empieza con la determinaci�n de los polos en lazo cerrado deseados a partir de la respuesta transitoria y/o las especificaciones de la respuesta en frecuencia, tales como velocidad, raz�n de amortiguamiento, o ancho de banda, al igual que los requisitos en estado estacionario. Sup�ngase que se decide que los polos en lazo cerrado deseados est�n en s%k1, s%k2, ..., s%kn. Seleccionando una matriz de ganancias apropiada para realimentaci�n del estado, es posible hacer que el sistema tenga los polos en lazo cerrado en las posiciones deseadas, siempre y cuando el sistema original sea de estado completamente controlable. En este cap�tulo el estudio se limita a los sistemas de una entrada, una salida. Esto es, se supone que la se�al de control u(t) y la se�al de salida y(t) son escalares. En esta secci�n se va a suponer tambi�n que la entrada de referencia r(t) es cero. [En la Secci�n 10-7 se analizar� el caso en que la entrada de referencia r(t) es distinta de cero.] A continuaci�n, se demostrar� que una condici�n necesaria y suficiente para que los polos en lazo cerrado se puedan localizar en cualquier posici�n arbitraria en el plano s es que el sistema sea de estado completamente controlable. Luego, se analizar�n m�todos para determinar la matriz de ganancias de realimentaci�n del estado requerida. Obs�rvese que, cuando la se�al de control es una cantidad vectorial, los aspectos matem�ticos del esquema de ubicaci�n de polos se complican. Este caso no se estudiar� en este libro. (Cuando la se�al de control es una cantidad vectorial, la matriz de ganancias de realimentaci�n del estado no es �nica. Es posible seleccionar libremente m�s de n par�metros; esto es, adem�s de poder colocar n polos adecuadamente, se tiene la libertad de satisfacer, si las hubiera, algunas otras especificaciones del sistema en lazo cerrado.) Dise�o mediante asignaci�n de polos. En el enfoque convencional del dise�o de un sistema de control con una sola entrada y una sola salida, se dise�a un controlador (compensador) tal que los polos dominantes en lazo cerrado tengan una raz�n de amortiguamiento f y una frecuencia natural no amortiguada un deseada. En este m�todo, el orden del sistema aumenta en 1 o 2, a menos que ocurra una cancelaci�n de polos o ceros. Obs�rvese que en este m�todo se supone que los efectos sobre las respuestas de los polos en lazo cerrado no dominantes son despreciables. En lugar de especificar s�lo los polos dominantes en lazo cerrado (enfoque del dise�o convencional), el enfoque actual de asignaci�n de polos especifica todos los polos en lazo cerrado. (Sin embargo, hay un costo asociado con colocar todos los polos en lazo cerrado, porque hacerlo requiere tener buenas medidas de todas las variables de estado, o bien incluir un observador de estado en el sistema.) Tambi�n existe un requisito por parte del sistema para que los polos en