U1 T2 Proposiciones

Asignatura de Programación
Unidad 1: Lógica matemática
Tema 2: Teoría de Proposiciones
Autor/es: Claustro de Computación Aplicada y

Metodologías de la Computación
Año: 2022
www.ups.edu.ec
Resultado de aprendizaje
RA1: Diseña soluciones a problemas de lógica
empleando álgebra de Boole y teoría de
proposiciones.
2
Contenido
2.1 Teoría de proposiciones
2.2 Conectores proposicionales y tablas de verdad
2.3 Tautologías
2.4 Cálculo proposicional
2.5 Leyes del álgebra de proposiciones
3
Subtema 1:
Teoría de proposiciones
4
Subtema 1: Teoría de proposiciones
En los últimos años se han desarrollado
poderosas herramientas para verificar
especificaciones formales de sistemas
hardware y software; la industria de las
tecnologías de información (TI) se ha dado
cuenta del impacto y la importancia que
tienen en sus propios procesos de diseño e
implementación, y empresas de tecnología
las investigan e incorporan en sus
departamentos de planeación y producción.
Para trabajar en estos procesos se requiere
una formación formal básica que les permita
a estudiantes y profesionales obtener
suficientes competencias para utilizar,
razonar y potencializar los sistemas.
5
https://youtu.be/0y5UH9rQ9JQ
https://youtu.be/n5CpQJNRhjo 6
El cambio de las TI para favorecer al acceso
de datos con base en Internet y el
procesamiento, también generó un
incremento en la demanda por profesionales
calificados que puedan razonar acerca del
software sofisticado basado en agentes
autónomos y capaces de interactuar con
otros agentes para recopilar la información
necesaria en las grandes redes para aportar
al hecho de que el trabajo en Ciencias
Computacionales (CS por sus siglas en inglés)
requiere la aplicación y el manejo adecuado
de la lógica como componente formal.
7
https://youtu.be/J2ir-76r37A
8
Se debe realizar un análisis al campo
temático para responder a esas necesidades
formativas, y analizar las bases de la
formación en lógica que requieren los
estudiantes y profesionales para
desempeñarse en este campo laboral
basados en marcos lógicos utilizados para
modelar y razonar acerca de los sistemas
informáticos.
9
https://youtu.be/LQwO8G9F0u4
10
“El objetivo es proporcionar un contenido
que se pueda utilizar para diseñar cursos de
formación en lógica computacional, como
una contribución que permita adaptarlos
rápidamente a los actuales entornos
profesionales en medio del acelerado y
cambiante entorno de las TI”
Edgar Serna M.
11
El Cálculo Proposicional Clásico (CPC) es un sistema simbólico de la
Lógica Clásica que sigue estos principios:
• Bivalencia: cada fórmula recibe dos valores absolutos
(verdadero o falso).
• No-contradicción: dada una fórmula y su negación, una de ellas
es falsa.
• Tercero excluido: dada una fórmula y su negación, una de ellas
es verdadera.
• Identidad: si una fórmula es verdadera, entonces es verdadera.
Es la base para el desarrollo de lenguajes de programación

estructurados. Es una herramienta muy útil para otros campos de
la ciencia como:
• La inteligencia artificial
• La teoría de bases de datos relacionales
• El análisis y la síntesis de programas
12
La Lógica como Lenguaje Formal

La Lógica puede definirse como aquella ciencia o reflexión
sistemática que estudia las condiciones o leyes que debe cumplir
todo razonamiento para ser formalmente válido.
Un razonamiento es un proceso mental que se caracteriza porque

en él se produce el paso de ciertas afirmaciones (las PREMISAS) a
otra afirmación (la CONCLUSIÓN) que se deriva, deduce o infiere
de aquellas.
Un razonamiento es formalmente válido, es decir, posee una

estructura lógica correcta, cuando existe una conexión entre sus
afirmaciones tal que la conclusión se deduce necesariamente de
las premisas.
13

La verdad es una propiedad de los enunciados. Un enunciado será
verdadero o falso si lo que él afirma ocurre o no en la realidad. Por
ejemplo, “los gatos son animales con alas” o “está lloviendo”, son
enunciados verdaderos si lo que afirman puede ser observado en
la realidad. (A este tipo de verdad se le denomina también
VERDAD MATERIAL).
Los razonamientos, sin embargo, son válidos no porque los

enunciados que lo integren sean verdaderos, pues es posible
construir razonamientos perfectamente válidos con enunciados
falsos, sino que un razonamiento es válido únicamente si la
conclusión se deduce necesariamente de las premisas. (Esto es lo
que se denomina también VERDAD FORMAL).
S. Fernández Viejo
14

Veamos el siguiente ejemplo que nos permite distinguir verdad de validez:
Premisas
Los perros (A) son reptiles (B)
Los gatos (C) son perros (A) Este razonamiento es
válido formalmente,
aunque sus premisas y su
Conclusiones Los gatos (C) son reptiles (B) conclusión sean falsas.
Pues si prescindimos de su contenido y

tenemos sólo en cuenta la forma en que A es B
están conectadas sus afirmaciones, C es A
comprobamos que la conclusión se C es B
deduce necesariamente de las premisas.
15
VERDAD ≠ VALIDEZ (O CORRECCIÓN)

Ser verdadero o falso es una Ser válido o no (correcto o incorrecto) es
cualidad de los: una cualidad de los:
Enunciados Razonamientos
Que consiste en que expresen Que consiste en que en ellos
bien/adecuadamente la… haya una…
Realidad Conexión adecuada
y necesaria entre enunciados
{ verdad material } ≠ { verdad formal }
16
La Lógica Proposicional o Lógica de Enunciados

La Lógica proposicional o de enunciados es el apartado más elemental y básico de la
Lógica. Elemental, porque es el más sencillo. Básico, porque sirve de base al resto de la
estructura de la Lógica. La Lógica proposicional estudia la validez formal de los
razonamientos tomando en bloque las proposiciones que los forman, es decir, sin
hacer un análisis de tales proposiciones.
Una proposición es tomada en bloque cuando no se tienen en cuenta los elementos
que la integran, pasando a ser considerada como un todo o unidad lingüística básica.
Así, por ejemplo, una proposición como “Los gatos son mamíferos” puede ser
simbolizada en Lógica de varios modos, algunos de los cuales son los siguientes:
• En Lógica Proposicional: p [ Se lee «p» ] (toma la proposición en bloque sin
analizarla)
• En Lógica Silogística: S -A- P [Se lee «Todos los S son P» ] (analiza la proposición y
tiene en cuenta cuál es el sujeto y el predicado de la misma, además analiza si el
predicado se dice de todos, algunos o ningún sujeto)
• En Lógica de Predicados: ∧x (Gx → Mx) [Se lee «Para todo ‘x’, si ‘x’ es ‘G’, entonces
‘x’ es ‘M’»]
(el análisis destaca el tipo de relación que se da entre las propiedades atribuidas al
sujeto de la proposición) 17
La Lógica
Proposicional o
Lógica de
Enunciados
http://www.cs.us.es/ 18
Proposiciones y valores de verdad

Una proposición es una estructura lingüística que se puede evaluar como verdadera o falsa.
Algunos ejemplos de proposiciones son: Todos los hombres son mortales. El agua hierve a 100◦C.
4 + 3 = 7. Normalmente las proposiciones se representan con letras minúsculas: p, q, r, . .
y se puede emplear el subíndice para referirse a ellas también p1, p2, . . .
Es factible evaluar el valor de verdad de una proposición.
Por ejemplo, si tenemos las siguientes proposiciones:
p = La capital de la provincia del Guayas es Guayaquil
q = El número π tiene una secuencia finita de decimales
r = El producto de dos números primos es un no-primo
Obtendríamos los siguientes valores de verdad:
v(p) = Verdadero, dado que Guayaquil sí es la capital del Guayas
v(q) = Falso, la cantidad de decimales de π es infinita
v(r) = Verdadero, ya que al multiplicar dos números primos se obtiene un compuesto https://es.wikipedia.org/wiki/Conectiva_l%C3%B3gica
19
Proposiciones y valores de verdad

Las proposiciones se clasifican en dos tipos:
Simples: no contienen otras afirmaciones que las compongan.
También se conocen como átomos, fórmulas atómicas o variables
proposicionales
y se sub-clasifican en:
Abiertas: no indican el sujeto. Por ejemplo “X es una mujer”
Cerradas: indican el sujeto. Por ejemplo “Paola es una mujer”
Compuestas: se construyen a partir de proposiciones simples, a fin de
expresar afirmaciones más complejas.
Se conocen también como moleculares y se sub-clasifican en:
Abiertas: no indican el sujeto. Por ejemplo “Los X de la hacienda están
verdes o los X del rancho están amarillos”
Cerradas: indican el sujeto. Por ejemplo “Los árboles de la hacienda
están verdes o los arbustos del rancho están amarillos” https://es.wikipedia.org/wiki/Conectiva_l%C3%B3gica
20
Subtema 2:
Conectores proposicionales y tablas

de verdad
21
Subtema 2: Conectores proposicionales y tablas de verdad
Tablas de verdad
Las tablas de verdad permiten determinar los posibles resultados de
combinaciones de verdadero o falso de una estructura proposicional propuesta. P
Sea ℒ un lenguaje que contiene dos proposiciones: p y q.
Si consideramos el principio de bivalencia, p se puede representar mediante la
tabla: V
Valores de verdad de la
La Tabla de Verdad muestra en forma sistemática los valores de verdad de una proposición p
proposición compuesta en función de los todas las combinaciones posibles de
los valores de verdad de las proposiciones que la componen.
22
Proposición compuesta y variables de enunciado

Si analizamos las proposiciones p y q en conjunto, podremos observar
que la tabla permite expresar todos los posibles valores de verdad de las p q
mismas.
V V
V F
F V
F F
Valores de verdad de la proposición p y q
23
Conexión entre proposiciones

A fin de realizar la conexión entre una o más proposiciones, existen dos tipos de conectores:
• Monádicos: afectan únicamente a una proposición.
En este grupo está únicamente la negación.
• Diádicos: sirven para unir dos o más proposiciones simples.
En este grupo tenemos a los siguientes: conjunción, disyunción, implicación, bi-implicación
y la disyunción exclusiva.
Proposición 1 Proposición 2
enlace
Marta estaba contenta y tenía mucha ilusión
https://www.hiru.eus/es/lengua/relacion-entre-proposiciones-la-oracion-compuesta
24
Operadores o conectivos lógicos

A fin de realizar la conexión entre una o más proposiciones, existen dos tipos de conectores:
consideraremos 6 operadores (o conectivos) lógicos:
Negación (not)
Conjunción (and)
Disyunción (inclusiva) (or)
Disyunción exclusiva (xor)
Implicación
Doble implicación o bicondicional
25
Tablas de verdad: La negación

Significa la inversión del valor de la proposición y se expresa
con el símbolo ¬ antepuesto a la misma: ¬p
Supongamos que tenemos la proposición p = “Sócrates es
mortal”, p ¬p
cuyo valor es: v(p) =verdadera.
¬p significaría que “Sócrates no es mortal”. La tabla de verdad
para p y su negación ¬p sería la que se muestra a
continuación.
V F
F V
26
Tablas de verdad: La conjunción

El conjunto de dos o más proposiciones que están unidas por
este operador, será verdadero, únicamente si todas las
proposiciones son verdaderas. Para representar una p q p∧q
conjunción se emplea el símbolo ∧ .
Supongamos que tenemos dos proposiciones p =“Guayaquil es V V V
la segunda ciudad del Ecuador” y q =“Guayaquil es la Perla del
Pacífico”, p ∧ q representaría: “Guayaquil es la segunda ciudad
del Ecuador y es la Perla del Pacífico”. V F F
La conjunción es una operación conmutable: p ∧ q = q ∧ p
F V F
F F F
27
Tablas de verdad: La disyunción

El conjunto de dos o más proposiciones que están unidas por
este operador será verdadero, cuando al menos una de las
proposiciones sea verdadera.
Para representar una conjunción se emplea el símbolo ∨. p q p∨q
Supongamos que tenemos dos proposiciones p =“José estudia
ciencias de la computación” y q =“José estudia administración V V V
de empresas”, p ∨ q representaría: “José estudia ciencias de la
computación o José estudia administración de empresas”.
La disyunción es una operación conmutable: p ∨ q = q ∨ p V F V
F V V
F F F
28
Tablas de verdad: La implicación

Este operador indica que dadas dos proposiciones p y q, si p es
verdadera, entonces q es verdadera también (p implica q).
Para representar este operador se emplea el símbolo ⇒ . p q p⇒q q ⇒p
Supongamos que tenemos dos proposiciones p =“Si Ana
practica integrales” y q =“Ana aprobará el examen”, p ⇒ q
representaría: “Si Ana practica integrales entonces aprobará el V V V V
examen”. La implicación no es una operación conmutable: p ⇒
q ≠ q ⇒ p. Se muestra que esta operación no es conmutable
V F F V
F V V F
F F V V
29
Tablas de verdad: La bi-implicación

Este operador indica que dadas dos proposiciones p y q, el
resultado será verdadero si ambas proposiciones son
verdaderas o falsas. Para representar este operador se emplea
el símbolo ⇐⇒ . Supongamos que tenemos dos proposiciones
p q p ⇐⇒ q q ⇐⇒ p
p =“El aire acondicionado está encendido” y q =“El interruptor
está accionado”, p ⇐⇒ q representaría: “El aire acondicionado V V V V
está encendido si y solo si el interruptor está accionado”.
La bi-implicación es una operación conmutable: p ⇐⇒ q = q
⇐⇒ p V F F F
F V F F
F F V V
30
Subtema 3:
Tautologías
31
Subtema 3: Tautologías
Fórmulas contingentes
Las fórmulas contingentes, las contradicciones y las
tautologías son conceptos muy importantes del Cálculo
Proposicional Clásico (CPC).
Las características más importantes de las fórmulas
contingentes son:
• Su valoración puede ser verdadera o falsa.
• Su valoración depende de las valoraciones de las fórmulas
atómicas o proposiciones simples (vistas en el apartado
anterior).
• Todas las fórmulas vistas en el apartado anterior son
contingentes.
32
Las tautologías
Son fórmulas que independientemente de la valoración de sus
fórmulas atómicas son verdaderas. Ejemplos de tautologías lo
constituyen las siguientes proposiciones:
p ⇒ p, ¬(p ∧ ¬p) y p ∨ ¬p
p ¬p p ∨ ¬p
V F V
F V V
33
Las contradicciones
Son fórmulas que independientemente de la valoración
de sus fórmulas atómicas son falsas.
Un ejemplo de ello es la proposición: p ∧ ¬p
p ¬p p ∧ ¬p
V F F
F V F
34
Subtema 4:
Cálculo proposicional
35
Subtema 4: Cálculo proposicional
Cálculo Proposicional Clásico

Idempotencia de la conjunción y la disyunción Distributividad de ∧ respecto de ∨ y de ∨
(p ∧ p) ≡ p respecto de ∧.
(p ∨ p) ≡ p [p ∧ (q ∨ r)] ≡ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]
[p ∨ (q ∧ r)] ≡ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)]
Conmutatividad de la conjunción y la disyunción
(p ∧ q) ≡ (q ∧ p) Leyes de De Morgan.
(p ∨ q) ≡ (q ∨ p) ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q)
¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q)
Asociatividad de la conjunción y la disyunción.
[(p ∧ q) ∧ r] ≡ [p ∧ (q ∧ r)] Leyes de dominación.
[(p ∨ q) ∨ r] ≡ [p ∨ (q ∨ r)] p∨V≡V
p∧F≡F
36
Cálculo Proposicional Clásico (CPC) Medio excluido.

Leyes de identidad. p ∨ ¬p = V
p∧V≡p
p∨F≡p Contradicción.
p ∧ ¬p = F
Doble negación.
¬ ( ¬p ) ≡ p
Conversa de la implicación.
Implicación. Si p ⇒ q, la conversa se define como q ⇒ p
(p → q) ≡ (¬p ∨ q) Contrapositiva de una implicación.
Si p ⇒ q, la contrapositiva se define como ∼ q ⇒ ∼ p
Inversa de una implicación.
Co-Implicación.
Si p ⇒ q, la inversa se define como ∼ p ⇒ ∼ q
(p ⇐⇒ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
37
Argumentación
A través de las tablas de verdad (vistas anteriormente), es factible establecer un procedimiento de prueba
semántico que permita indicar si una fórmula determinada es una tautología, una contradicción o una
contingencia. Consideremos la siguiente fórmula bien formada donde tenemos varias “premisas” pi y una
conclusión C (fbf): fbf fórmula bien formada
p1 Se puede representar dicha fórmula como:

p2 (p1 ∧ p2 ∧ . . . pn) ⇒ C por ejemplo:
... p⇒q
pn p
C q
Se puede representar como: (( p ⇒ q ) ∧ p) ⇒ q

38
Subtema 5:
Leyes del álgebra de proposiciones
39
Subtema 5: Leyes del álgebra de proposiciones
Revisión
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional
40
Revisión - Modus ponendus ponens

El modus ponendus ponens (significa “modo que al afirmar, afirma”), es una regla que
nos permite eliminar la implicación de una prueba lógica o argumento. Formalmente se
define como:
p ⇒ q, p
∴q
Comúnmente esta regla se escribe como: p ⇒ q, p ⊢ q donde ⊢ es un símbolo que
indica que q es una consecuencia sintáctica de p ⇒ q y p en algún sistema lógico.
También puede escribirse como ((p ⇒ q) ∧ p) ⇒ q
Explicación: el argumento tiene dos premisas o hipótesis (una condicional p⇒ q y otra premisa p que indica
que el antecedente a la alegación condicional es cierto). Con ello, podemos concluir que el resultado de toda la
fórmula o proposición es igual al mismo consecuente q. 41

Ejemplo con proposiciones literales
1 - Si hoy es lunes, entonces Ana tiene clase de matemáticas.

2 - Hoy es lunes.
3 - Por lo tanto, Ana tiene clase de matemáticas.
Ejemplos con otras proposiciones

(p ∧ ¬q) ⇒ ¬r
(p ∧ ¬q)
∴ ¬r
42
Revisión - Modus Tollendo Tollens

El modus tollendo tollens (significa “modo que al negar, niega”), es una regla que nos
permite negar el consecuente de una prueba lógica o argumento. Formalmente se
define como:
p ⇒ q, ¬q
∴ ¬p
Comúnmente esta regla se escribe como: p ⇒ q, ¬q ⊢ ¬p donde ⊢ es un símbolo que
indica que ¬p es una consecuencia sintáctica de p ⇒ q y ¬q en algún sistema lógico.
También puede escribirse como ((p ⇒ q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p
Explicación: esta regla establece que si una afirmación implica una segunda afirmación (p ⇒ q) y la segunda afirmación
no es verdadera (¬q), entonces se puede deducir que la primera premisa no es verdadera. Con ello, podemos concluir
que el resultado de toda la fórmula o proposición es igual a la negación de la primera premisa consecuente ¬p. 43

Ejemplo con proposiciones literales
1 Si ayer transfirieron el pago, entonces hoy tengo dinero en la cuenta.

2 Hoy no tengo dinero en la cuenta.
3 Por lo tanto, ayer no transfirieron el pago
Ejemplos con otras proposiciones

(p ∧ q) ⇒ r
¬r
∴ ¬(p ∧ q)
44
Ejercicios
Documental Completo: “ENUNCIADOS Y
PROPOSICIONES - LÓGICA PROPOSICIONAL”
Video:
https://youtu.be/RI-GPpPEkf8
Tiempo: 06:49
Documental Completo: “PROPOSICIONES LOGICAS -

OPERACIONES CON PROPOSICIONES”
Video:
https://youtu.be/YFJnRxOed5Y
Tiempo: 16:02
45
Ejercicios
SIMULADOR: “Generador de Tablas de Verdad”
Sitio web:
http://escuela2punto0.educarex.es/Humanidade
s/Etica_Filosofia_Ciudadania/Aprende_logica/lo
gica/03tablasvdad/generadorfrset.html
SIMULADOR: “Calculadora Lógica Free”

Sitio web:
https://play.google.com/store/apps/details?id=co
m.hernan.LogicCalculatorLite&hl=es_419
46
Referencias:
▪ A. Aguilar Marquez, Matemáticas Simplificadas, Pearson, 2009.
▪ A. K. Maini, Digital electronics: principles, devices and applications, John Wiley & Sons, 2007.
▪ Li, W. N., Reddy, S. M., & Sahni, S. K. On path selection in combinational logic circuits. IEEE Transactions on Computer-
Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 8(1), 56-63, 1989
▪ S. K. Sarkar, A. K. De, S. and Sarkar, Foundation of Digital Electronics and Logic Design, Pan Stanford Publishing, 2015.
▪ J.R. Tocci, N. Widmer, G. Moss, Sistemas digitales: principios y aplicaciones, Pearson Educación, 2007.
▪ J. E. Whitesitt, Boolean algebra and its applications, Dover Publications Inc., 2010.
▪ L. Joyanes Aguilar; Fundamentos generales de programación; Editorial McGraw Hill, 5ta Edición; Madrid 2013.
▪ R. Martínez Fernández; Programación en C: Ejercicios; Editorial UPM, 1ra redición; Madrid 2014.
▪ D. Abbott; Linux for embedded and real time aplications; Editorial Newnes, 3ra edition; 2013.
REVISA INFORMACIÓN ADICIONAL EN:

http://www.ups.edu.ec/web/guest/bibliotecas
http://aleph.ups.edu.ec/F?func=find-b-0
http://www.ups.edu.ec/web/guest/base-de-datos-bibliotecas 47
Gracias por su atención
www.ups.edu.ec

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Asignatura de Programación

Unidad 1: Lógica matemática

Tema 2: Teoría de Proposiciones

Autor/es: Claustro de Computación Aplicada y

Es la base para el desarrollo de lenguajes de programación

La Lógica como Lenguaje Formal

Un razonamiento es un proceso mental que se caracteriza porque

Un razonamiento es formalmente válido, es decir, posee una

La Lógica como Lenguaje Formal

Los razonamientos, sin embargo, son válidos no porque los

La Lógica como Lenguaje Formal

Pues si prescindimos de su contenido y

La Lógica como Lenguaje Formal

VERDAD ≠ VALIDEZ (O CORRECCIÓN)

La Lógica Proposicional o Lógica de Enunciados

Proposiciones y valores de verdad

Proposiciones y valores de verdad

Conectores proposicionales y tablas

Proposición compuesta y variables de enunciado

Valores de verdad de la proposición p y q

Conexión entre proposiciones

Marta estaba contenta y tenía mucha ilusión

Operadores o conectivos lógicos

Tablas de verdad: La negación

Tablas de verdad: La conjunción

Tablas de verdad: La disyunción

Tablas de verdad: La implicación

Tablas de verdad: La bi-implicación

Cálculo Proposicional Clásico

Cálculo Proposicional Clásico (CPC) Medio excluido.

p1 Se puede representar dicha fórmula como:

Se puede representar como: (( p ⇒ q ) ∧ p) ⇒ q

Leyes del álgebra de proposiciones

Revisión - Modus ponendus ponens

Revisión - Modus ponendus ponens

1 - Si hoy es lunes, entonces Ana tiene clase de matemáticas.

Ejemplos con otras proposiciones

Revisión - Modus Tollendo Tollens

Revisión - Modus ponendus ponens

1 Si ayer transfirieron el pago, entonces hoy tengo dinero en la cuenta.

Ejemplos con otras proposiciones

Documental Completo: “PROPOSICIONES LOGICAS -

SIMULADOR: “Calculadora Lógica Free”

REVISA INFORMACIÓN ADICIONAL EN:

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