Introducción

¿Qué es el Cálculo Proposicional? ¿Para qué sirve? ¿Dónde se usa? Estas son preguntas que
seguramente te has hecho al iniciar el estudio de alguna nueva disciplina. Y son preguntas muy
razonables y válidas, ya que quieres saber qué tanto vale la pena el esfuerzo que vas a invertir
para aprender nuevos conceptos y adquirir nuevas habilidades.

Te puedo asegurar que el Cálculo Proposicional, de hecho la Lógica en general, es una disciplina
necesaria en casi todas las actividades que realizamos, porque constantemente estamos
obteniendo conclusiones a partir de un conjunto de hechos o condiciones que damos por
conocidos. Por ejemplo, podemos decir en un fin de semana: si consigo que alguien me acompañe
para ir al cine, voy a ver la película fulana, es decir, estás haciendo un razonamiento muy sencillo,
pero razonamiento al fin. A continuación te presento las definiciones de Lógica que varios autores
proponen, con el fin de esclarecer de qué se trata este curso y qué beneficios obtendrás al
esforzarte por terminarlo exitosamente.

1.1.1 Algunas definiciones de Lógica.

Según Redmond (1), la tradición filosófica considera la Lógica como una ciencia y un arte. Una
ciencia porque es algo que se entiende, un arte, porque es algo que se hace. Aunque se puede
decir que la Lógica nació de la Filosofía, no está limitada a esta disciplina, se aplica en muchas
otras ramas del saber y del hacer humano, como la Informática, la Literatura, la Administración de
empresas, el Derecho, la Ética, la Biología, la Psicología y la Economía, por citar algunas.

Para Redmond, dominar la Lógica como un arte, requiere la adquisición de dos habilidades:

* Formalizar, es decir, traducir del español al lenguaje lógico y viceversa.

* Resolver pruebas formales, es decir, derivar una conclusión siguiendo las reglas de la Lógica.

Como toda habilidad, las anteriores requieren de práctica para dominarlas.

Redmond define la Lógica como la ciencia que estudia (y el arte que pone en práctica) la validez de
los argumentos. Lo hace identificando las reglas que permiten la inferencia de consecuencias.

Negrete (2) define la Lógica como la “teoría de la inferencia”. Por inferencia se entiende
normalmente concluir en algo, obtener un nuevo dato a partir de lo conocido. Esta operación
también se conoce como razonar. Negrete propone cinco tareas que todo estudioso de la Lógica
debe realizar:

1. Conocimiento y manejo de los símbolos de la Lógica, es decir, de la notación lógica.

2. Los principios o fundamentos en que se asientan los conceptos de la materia, o sea, sus
postulados básicos.
 3. Las reglas específicas de elaboración de fórmulas, en otras palabras, la sintaxis de la notación
lógica.

4. Las reglas de transformación que rigen en este lenguaje, es decir, las reglas que nos permiten
la manipulación adecuada de las expresiones lógicas.

5. La práctica estrictamente necesaria de los cuatro puntos anteriores.

Para Ross y Wright (3), el Cálculo Proposicional es el estudio de las relaciones lógicas entre objetos
llamados proposiciones, y es una disciplina que los matemáticos y los científicos de todas las
ramas del saber, requieren aprender para ser capaces de reconocer entre argumentos válidos y no
válidos.

Para Sócrates la Lógica Filosófica era una discusión de ideas entre personas para llegar a una
verdad teórica o práctica, o sea, los participantes en el diálogo o discusión deberían ofrecer sus
soluciones como conclusiones obtenidas por medio de argumentos. Se parte de unas premisas
establecidas fuera de la Lógica, es decir, esta última presupone la verdad de las premisas como
hipótesis. A estas hipótesis se les aplican una serie de procedimientos controlados hasta llegar a
una conclusión.

El término "Lógica" viene de una palabra griega que significa razón. La Lógica se ha ocupado desde
sus orígenes de cómo utilizamos el lenguaje para expresar nuestros pensamientos. Es el estudio de
los métodos y principios que se usan para distinguir el razonamiento correcto (bueno) del
incorrecto. Es en efecto, la ciencia de las leyes ideales del pensamiento y el arte de aplicarlas
correctamente a la investigación y a la demostración de la verdad.

En la antigüedad, Sócrates intentó convertir al lenguaje en un instrumento inequívoco, libre de

falsas interpretaciones. Aristóteles suministró un sistema complejo de reglas para el uso del
lenguaje. No quiso dar ninguna introducción al pensamiento, sino hacer nuevamente posible,
mediante sus reglas, la utilización del lenguaje para una comunicación inequívoca, así pues, su
motivación fue ayudar a eliminar las ambigüedades del lenguaje.

Para los filósofos medievales, la Lógica era el arte de las artes, en el siglo XIX se le consideró la
ciencia de las ciencias, a principios del siglo XX, Frege, su redescubridor, dijo que las de la Lógica
son, si no las leyes de la naturaleza, las leyes de las leyes de la naturaleza.

Para San Agustín, la Lógica era:

La ciencia de las ciencias, enseña a enseñar, enseña a aprender; en ella la razón se manifiesta y
revela qué es, qué pretende, qué puede; sabe saber, no sólo pretende, sino puede, ella sola, hacer
sabedores.

1.1.2 Los postulados básicos de la Lógica.

La Lógica, al igual que otras disciplinas, parte de un conjunto dado de "principios" o "puntos de
partida". A este conjunto de principios se les llama AXIOMAS. Son principios cuya admisión no
requiere una demostración porque, como lo acabamos de mencionar, son el punto de partida de
la disciplina. Cuatro son los axiomas, principios lógicos supremos o postulados básicos,
mayormente aceptados:
 1. El de Razón suficiente.

2. El de Identidad.

3. El de Contradicción.

4. El de Tercero Excluido.

Principio de Razón suficiente.

Como principio lógico, puede ser enunciado así: “ningún juicio es realmente verdadero, si no hay
razón suficiente de su verdad”. Indica que para que se pueda dar la verdad de un juicio, debe
haber algo que lo garantice.

Principio de Identidad.

Este principio ha sido enunciado en los siguientes términos: “Los juicios positivos, cuyo concepto-
sujeto se identifica con su concepto-predicado, son necesariamente verdaderos”. Se supone que el
concepto-sujeto del juicio está conforme con la realidad y que, como el concepto-predicado se
identifica con el sujeto, también él estará conforme con la realidad. La aplicación de esta
afirmación es que “todo ser es idéntico a sí mismo”, o dicho de otra manera, "una cosa es lo que
es".

Principio de No-contradicción.

Este principio se enuncia así: “dos juicios contradictoriamente opuestos no pueden ser verdaderos
simultáneamente”. Dicho de una manera distinta, "ningún juicio es verdadero y falso al mismo
tiempo".

Principio de Tercero excluido.

Se enuncia en los siguientes términos: “de dos juicios contradictoriamente opuestos, uno es
necesariamente verdadero y el otro, necesariamente falso”. Otra manera de expresarlo es
"cualquier cosa es o no es".

Es conveniente aclarar en este momento que este conjunto de axiomas no es el único que se ha
propuesto para la Lógica Simbólica. Hay otros conjuntos de axiomas, como el propuesto por
Russell-Whitehead, por mencionar uno.

Sin embargo, el conjunto presentado es el más aceptado por los estudiantes de la lógica simbólica.

Introducción
Hemos dicho que una proposición es una frase o afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero
no ambas. En esta sección aprenderás a identificar proposiciones y sus características.

1.2.1 Proposiciones y no proposiciones.

No todas las frases del lenguaje ordinario son proposiciones. Las siguientes frases sí son
proposiciones, porque podemos asignarles un valor de verdad:

a) Napoleón fue presidente de México (Falso).

b) Los planetas del sistema solar giran alrededor del sol (Verdadero).

c) La tierra es plana (Falso).

d) 2 + 2 = 4 (esta es una frase aritmética Verdadera).

Las siguientes frases no son proposiciones, porque no podemos decir si son falsas o verdaderas, es
decir, no podemos asignarles un valor de verdad:

a) ¿Dónde vamos?

b) Firmes ¡Ya!

c) Ayúdame, por favor.

d) x – 5 = 4 (es una frase matemática con el valor de x desconocido).

Por lo tanto, las preguntas, las órdenes, las peticiones y las frases aritméticas con variables sin
instanciar, no son proposiciones.

1.3.1 Conectivos lógicos.

Como ya mencionamos antes, las proposiciones pueden ser simples o compuestas. En general las
proposiciones compuestas se crean utilizando las conjunciones “no”, “y”, “o”, “si ... entonces”, “si y sólo
si”, entre otras, para combinar proposiciones atómicas. En esta sección del curso estudiaremos los
conectivos lógicos, cómo se usan para obtener proposiciones compuestas y cómo se determina el valor de
verdad de las proposiciones resultantes.

a) La negación.

Éste es un conectivo que sólo afecta una variable, o bien a una expresión completa considerada como
unidad. Refleja el sentido de “no” o “es falso que” del lenguaje ordinario. Vamos a representarla con la tilde
“~”. Representa la inversión del valor de verdad de una proposición.

Por ejemplo, sea P = “Hoy es lunes”. Entonces ~P significa: “Hoy no es lunes”, o “Es falso que hoy es lunes”.
La operación de la negación puede representarse con la siguiente tabla:

P ~P

V F

F V

b) La conjunción.

Es posible conjuntar dos o más proposiciones, es decir, la conjunción es un conectivo binario. Una conjunción
es Falsa cuando cualquiera de sus componentes es Falso. Refleja el sentido de “y”, “pero”, “que”, entre otros,
del lenguaje ordinario. Se representa por el símbolo “^”.

Por ejemplo, sea P = “Hoy es lunes” y Q = “Hoy está lloviendo”. Entonces P ^ Q significa: “Hoy es lunes y
está lloviendo”.

La operación de la conjunción puede representarse con la siguiente tabla:

P Q P^Q

F F F

F V F

V F F

V V V

c) La disyunción.
La disyunción es también un conectivo binario. Cuando se emplea tiene al menos tres sentidos posibles:

1. Un sentido incluyente o no exclusivo. Refleja el sentido de uno, o lo otro, o ambos.

2. Un sentido excluyente. Refleja el sentido de uno, o lo otro, pero no ambos.
3. Un sentido equivalente. Refleja el sentido de lo uno lo mismo que lo otro.

A menos que se especifique otra cosa, siempre consideraremos el sentido incluyente de la disyunción. Por
tanto, una disyunción es Falsa sólo cuando todos sus elementos son Falsos. Se representa con el símbolo
"∨”.

Por ejemplo, sea P = “Hoy es viernes” y Q = “Estoy contento”. Entonces P ∨ Q significa: Hoy es viernes o
estoy contento.

La operación de la disyunción puede representarse con la siguiente tabla:

P Q PvQ

F F F

F V V

V F V

V V V

d) La implicación.
Es también un conectivo binario. Tiene dos partes: antecedente y consecuente. El antecedente es también
llamado hipótesis y tesis el consecuente. Expresa que la falsedad sí puede llevar a la verdad, pero que la
verdad no puede llevar a la falsedad. Refleja el sentido de “si...entonces...”, “sólo si...”. Se representa por
medio de una flecha: "→". Normalmente el antecedente se escribe a la izquierda y el consecuente a la
derecha de la flecha.

Por ejemplo, sea P = “Soy electo diputado de este distrito” y Q = “disminuyo los impuestos”, P → Q significa:
“Si soy electo diputado de este distrito, entonces disminuiré los impuestos” o “Sólo si soy electo diputado de
este distrito, disminuiré los impuestos”.

La operación de la implicación puede representarse con la siguiente tabla:

P Q P→Q

F F V

F V V

V F F

V V V

La siguiente explicación ayuda a entender este conectivo: considerando las proposiciones P y Q del ejemplo,
si el diputado no es electo y no disminuyen los impuestos, no puedo decir que mintió. Si no es electo y bajan
los impuestos, tampoco puedo decir que mintió. Es decir, si no es electo diputado, no puedo saber si decía a
verdad o no, y le concedo el beneficio de la duda. Si es electo y disminuye los impuestos, dijo la verdad.
Pero si es electo y no disminuye los impuestos, es un mentiroso.

e) La bicondicional.

Este conectivo también es llamado doble implicación o teorema recíproco. La bicondicional sólo es verdadera
si sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambos son Verdaderos o ambos son
Falsos. Refleja el sentido de “si y sólo si”, “equivale a”. Se representa por medio de una flecha doble: “↔”.

Por ejemplo, sea P = “Hoy es domingo” y Q = “Mañana será lunes”. P ↔Q significa: “Hoy es domingo si y sólo
si mañana será lunes”, o “Hoy es domingo equivale a que mañana será lunes”.

La operación de la bicondicional puede representarse con la siguiente tabla:

P Q P↔Q

F F V

F V F

V F F

V V V

ntroducción

Como ya mencionamos antes, la Lógica Formal es la Lógica Simbólica clásica revestida de un

nuevo lenguaje: el lenguaje matemático, es decir, revestida de un lenguaje formal.
En esta sección vamos a empezar a utilizar este nuevo lenguaje, su simbología y sus reglas,
conocerás sus alcances y limitaciones, y adquirirás la habilidad para construir la tabla de verdad
de proposiciones compuestas. Sin más preámbulo ¡Manos a la obra!

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