Lógica Proposicional Unco

Lógica
Proposicional
Lógica Proposicional
• La lógica proposicional, también conocida como lógica
de enunciados, es un sistema formal cuyos elementos
representan proposiciones o enunciados.
• Nos interesa examinar los mecanismos de razonamiento
con precisión matemática
• Esta precisión requiere que el lenguaje que usemos no
dé lugar a confusiones, lo cual conseguimos mediante
un lenguaje simbólico donde cada símbolo tenga un
significado bien definido.
Dada una frase en lenguaje natural, en primer lugar,
podemos observar si se trata de una frase simple o de una
frase compuesta. Una frase simple consta de un sujeto y
un predicado. Por ejemplo:
Java es un lenguaje de programación.

Android es un sistema operativo moderno
Una frase compuesta se forma a partir de frases simples

por medio de algún término de enlace (o conectiva). Por
ejemplo:
Java es un lenguaje de programación y Java es
compatible con Android.
Si Android es un sistema operativo moderno entonces
Android soporta Java.
• En segundo lugar, vamos a suponer que todas las frases
simples pueden ser verdaderas o falsas. Ahora bien, en
castellano hay frases que no son ni verdaderas ni falsas
(exclamaciones, órdenes, preguntas), por tanto tenemos
que usar un término diferente.
• Hablaremos de enunciados (o proposiciones) para

referirnos a frases que son verdaderas o falsas. Y
distinguiremos entre enunciados simples o enunciados
compuestos.
Según Manuel Abad, Elementos de Álgebra…..
Para construir enunciados compuestos introducimos
símbolos para las conectivas. Las conectivas más comunes
y los símbolos que emplearemos para denotarlas son los
siguientes:
~A Negación de A
A∧B Conjunción de A y B
A∨B Disyunción de A o B
A⟶B Si A entonces B
A↔B A si y solo si B
Así, los enunciados compuestos vistos antes pueden escribirse
simbólicamente de la siguiente forma:
A∧B
C⟶D
A simboliza “Java es un lenguaje de programación”, B simboliza

“Java es compatible con Android”, C simboliza “Android es un
sistema operativo moderno” y D simboliza “Android soporta
Java”.
Cuando un enunciado se traduce al lenguaje simbólico, lo que

queda es su “estructura lógica”, que puede ser común a varios
enunciados diferentes.
Esto nos permite analizar las formas de razonamiento, ya que un
razonamiento tiene que ver con la estructura lógica de los
enunciados de la argumentación y no con su significado.
Lógica Simbólica:
Conectivos
Negación
Anteponiendo la palabra “no” se forma la negación de cualquier proposición.
Ejemplo:
Proposición: 2 es un número primo.
Negación de la proposición: 2 NO es un número primo.

Conjunción
Disyunción
Con la unión de proposiciones por la palabra “o” se obtiene la disyunción de
proposiciones.
En el lenguaje corriente, la palabra “o” tiene, al menos, dos significados
distintos. En el sentido no excluyente se expresa que al menos una de las dos
proposiciones debe ser verdadera, aunque sin excluir la posibilidad de que
ambas sean verdaderas. En el sentido excluyente, una disyunción afirma que
una de las proposiciones es verdadera y la otra debe ser falsa.
En cuanto a la disyunción “˅” cabe aclarar que en este caso se está

trabajando con la disyunción inclusiva para afirmar que se puede dar el
caso de que 𝑝 ó 𝑞 o ambos son posibles de concluirse a diferencia de la
disyunción exclusiva donde se afirma que 𝑝 ó 𝑞 se pueden concluir pero no
ambos a la vez. Por ejemplo:
• Carolina es ingeniera o licenciada, o ambas cosas (Disyunción

inclusiva).
• Vamos a votar por el candidato del Polo o por el candidato del Centro
democrático a la presidencia; pero no por ambos a la vez. (Disyunción
exclusiva)
En Matemática, la palabra “o” se usa siempre en el sentido no excluyente.
La disyunción de dos proposiciones será verdadera cuando al menos una
de ellas sea verdadera. Caso contrario, esto es, si ambas son falsas, la
disyunción es falsa. La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:
Implicación o Condicional
Conviene aclarar que no es requisito que el antecedente y el consecuente
estén relacionados entre sí en cuanto al contenido. Cualquier par de
proposiciones pueden constituir una implicación. Así por ejemplo, la
proposición “Si 5 es un número primo, entonces París es la capital de
Francia”, es una implicación lícita. Puede parecer raro, pero debe tenerse en
cuenta que el principal interés es la deducción de métodos de demostración
en Matemática, y es teóricamente útil que sea posible construir estas
implicaciones.
Equivalencia o
Bicondicionalidad
Otra expresión que aparece frecuentemente en Matemática es la frase “si, y sólo
si ”. Al unir dos proposiciones cualesquiera por medio de esta frase se obtiene
una proposición compuesta que se llama equivalencia o bicondicional.
Por ejemplo,
𝑥 es un número par si y sólo si 𝑥 2 es un número par.
Una equivalencia es verdadera si sus miembros izquierdo y derecho son o bien

ambos verdaderos o bien ambos falsos. En caso contrario la equivalencia es falsa.
Se tiene entonces:
Se conoce que la implicación y la equivalencia se pueden construir
mediante los conectores lógicos de la negación, la disyunción o la
conjunción, así
Una forma proposicional es una tautología si toma el valor de verdad V
para cualquier posible asignación de valor de verdad a las variables
proposicionales que intervienen en ella. Una forma proposicional es una
contradicción si toma el valor de verdad F para cualquier posible
asignación de valor de verdad a las variables proposicionales que
intervienen en ella.
Algunas tautologías reciben nombres
especiales, por ser de uso muy frecuente

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Java es un lenguaje de programación.

Una frase compuesta se forma a partir de frases simples

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A simboliza “Java es un lenguaje de programación”, B simboliza

Cuando un enunciado se traduce al lenguaje simbólico, lo que

Proposición: 2 es un número primo.

Negación de la proposición: 2 NO es un número primo.

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• Carolina es ingeniera o licenciada, o ambas cosas (Disyunción

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