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MÓDULO 1
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA AXIOMÁTICA DE LOS CONJUNTOS
GRUPO DE ESTUDIOS:
CAPÍTULO I
LENGUAJE TÉCNICO Y METODOLOGÍA PARA EL
ESTUDIO DE LOS CONJUNTOS
1.2.2 LA METODOLOGÍA
A) ASPECTOS CONDICIONANTES
B) NÚCLEO DE LA TEORÍA
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Asumimos como constructo u “objeto conceptual” aquello que es una creación intelectual del
pensamiento para identificar objetos, fenómenos y/o procesos abstractos o concretos, con independencia
de que sea o no directamente observables como tal. Con Bunge, reconocemos cuatro tipos de constructos.
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3
De carácter filosófico.
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Fig. 1. =
i) a = a (REFLEXIVA)
ii) Si a = b, entonces b = a (SIMÉTRICA)
iii) Si a = b b = c, entonces a = c (TRANSITIVA)
DEMOSTRACIÓN:
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Presentamos la igualdad en matemática como otro término del lenguaje técnico que usaremos para el
estudio de la introducción a la teoría de conjuntos que presentamos en este capítulo con la atingencia que
su origen es más propiamente metamatemático (matemática sobre las matemáticas) y no lógico formal.
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“Denotan a” es equivalente a “son nombres de” y/o “son símbolos de”.
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B) PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN
a = b F (a) F (b)
x4 + bx2 + c 0
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CANTOR (Georg). Matemático alemán (San Petersburgo 03-03-1845 – Halle 06-01-1918). Profesor de
la Universidad de Halle. Es el padre de la Teoría de Conjuntos y de la Teoría de los Números
Transfinitos, ligada a la primera. Su obra cambió las perspectivas del estudio de la Matemática, obligando
a realizar un examen crítico de sus fundamentos. Entre sus obras destacan Fundamentos de una teoría
general de las multiplicidades (1887) y Contribuciones para una fundamentación de la teoría de los
números transfinitos (1895).
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Una paradoja es una demostración aparentemente correcta pero que en su desarrollo conduce a
contradicciones. Se produce generalmente cuando se usan determinados razonamientos en casos en los
que no pueden (deben) aplicarse o a la utilización de términos o conceptos cuyos significados no son los
mismos en el proceso de la demostración.
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HILBERT (David). Filósofo y matemático prusiano (alemán) (Königsber, 1862-Gottingen, 1943).
Profesor en su ciudad natal. Hizo contribuciones importantes a la teoría de relatividad general, teoría de
invariantes, el análisis funcional, ecuaciones integrales, física-matemática, cálculo de variaciones, etc.
Reclamado por Klein, asumió, en 1895, la cátedra de matemáticas en la Universidad de Gottingen. En el
Segundo Congreso Internacional de Matemáticos (París) a fines del siglo XIX, propuso 23 famosos
problemas abiertos cuyos procesos de solución marcaron el estudio de la matemática (en gran parte del
siglo XX) y originaron muchas ramas de ella. Estudió los espacios geométricos de dimensiones finitas e
infinitas que llevan su nombre. Son destacables sus trabajos en la formalización de la lógica y en su teoría
de las pruebas de consistencia de sistemas deductivos. Destacan sus libros Elementos de lógica teórica
(1928), coautor con Ackermann; Métodos de la física matemática, coautor con Courant; y, el más
conocido Fundamentos de la Geometría (1899). Se ubicó en la corriente formalista de la filosofía de la
matemática. El lema de Hilbert fue: “Nosotros debemos conocer, nosotros conoceremos”.
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ZERMELO (Ernest Friedrich Ferdinand). Matemático alemán (Berlín, 1871–Friburgo de Brisgovia,
1953) Trabajó en los temas de cálculo variacional y de probabilidades. Realizó contribuciones
fundamentales en la Teoría de Conjuntos. Formuló el axioma de la elección conocido también como el
axioma de Zermelo. Se dedicó a la axiomatización de la Teoría de Conjuntos de Cantor. Zermelo publicó
en 1908 su sistema axiomático a pesar que faltaba probar la consistencia (no contradicción).
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FRAENKEL (Adolf Abraham) Matemático israelí de origen alemán (Munich 1891–Jerusalem 1965)
Hizo un aporte fundamental a la axiomatización de la Teoría de Conjuntos propuesta por Zermelo.
Escribió con Bar-Hillel Fundamentos de la teoría de conjuntos (1958). Fraenkel también estuvo
interesado en la historia de las matemáticas y escribió un número de trabajos importantes en el asunto. Él
era un sionista ferviente y, después de salir de Kiel, enseñó en la universidad hebrea de Jerusalén a partir
de 1929.
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SKOLEM (Albert Thorali). Matemático y lógico noruego (Sandvaer, 1887–Oslo 1963). Se le deben
contribuciones importantes en los campos de la Lógica Matemática, la Teoría Axiomática de Conjuntos,
Teoría de Grupos y de Teoría de Conjuntos Reticulados. Es autor de algunos estudios sobre ecuaciones
diofánticas. Precursor de la aritmética recursiva, desarrolló la Teoría de las Funciones Recursivas como
un medio para evitar las llamadas paradojas en los conjuntos infinitos.
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VON NEUMANN (John). Matemático Húngaro-norteamericano (Budapest 1903-Washington D.C.
1957) Estudió ingeniería Química y Matemática simultáneamente en Berlín. En 1926 se titula de
ingeniero y obtiene el doctorado en Matemática. Fue discípulo de Hilbert en Göttingen durante 1926-27.
Desarrolló estudios sobre la Teoría de los Cuantos desde la Teoría de Grupos. Fue uno de los pioneros de
la ciencia de la computación y de los diseños de desarrollo lógico. Contribuyó al desarrollo de la Teoría
de Juegos. Construyó una forma distinta de axiomatización de los conjuntos.
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GÖDEL (Kurt) Matemático y lógico austriaco (Brünn 1906–Princeton 1978). Enseñó desde 1940 en el
Institute for Advanced Study de Princeton. Realizó importantes trabajos sobre los fundamentos de la
Matemática y la Lógica y es el autor del Teorema de la completitud, que lleva su nombre y que demuestra
la consistencia de la Aritmética y que tanto ella como cualquier teoría que la contenga no es completa es
decir contiene afirmaciones indemostrables. Más propiamente, probó resultados fundamentales sobre los
sistemas axiomáticos, demostrando que en cualquier sistema matemático axiomático hay los asuntos que
no se pueden probar o refutar dentro de los axiomas del sistema, lo que se dice que hay proposiciones no
decidibles.
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Se dice que una teoría matemática (axiomáticamente estructurada) es completa si cualquier enunciado
referido a tal teoría puede ser demostrado (inferido), o refutado, a partir de sus axiomas.
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CAPÍTULO II
CONCEPTOS, AXIOMAS Y TEOREMAS INICIALES PARA
UNA TEORÍA DE CONJUNTOS
A=B x Domx(x A x B)
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Esta presentación es por la necesidad didáctica, pues en estricto sentido matemático basta señalar que
existe algún conjunto.
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Llamado usualmente “Axioma de la extensión”. Tomamos nosotros la denominación de List (2002).
Hacemos esto porque, en el sentido didáctico, la formulación de este axioma es el fundamento
matemático para hablar con nuestros alumnos de Secundaria, tanto de la determinación de conjuntos por
extensión como de la igualdad de conjuntos.
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Domx, es una denotación que, por ahora, tomaremos prestada de la Lógica de Predicado, en el sentido
siguiente:
DEFINICIÓN. - Dado un conjunto D, cualquiera, decimos que la variable x recorre el conjunto D como
dominio si y sólo si x representa, genéricamente, a cualquier elemento de D.
NOTA. - Denotaremos Domx para indicar el conjunto dominio de la variable x.
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Para 1: 1 A 1 B
V V V
Para 2: 2 A 2 B
V V V
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Nuestro lector debe tener muy en cuenta que los comentarios que hacemos, en las notas, tienen un
sentido didáctico, complementario o ampliatorio, y no necesariamente son parte estricta de una teoría
axiomática de conjuntos.
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Usaremos punto y coma para separar elementos de un conjunto, al determinarlo por extensión, sólo en
el caso que sean números naturales específicos (particulares) y que al escribirlos pueda producirse una
confusión con la coma de los números decimales.
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Para 3: 3 A 3 B
V V V
Veamos:
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Es usual, en los textos sobre conjuntos, que la comprobación de la validez del axioma 2.3.2, para los
ejemplos, se refiera sólo a los elementos que “aparecen” en los conjuntos propuestos como iguales. Esto
es insuficiente, como se ha visto en este ejemplo. En estricto sentido matemático, no es suficiente el
análisis sólo para los elementos de los conjuntos que están bajo estudio. Si bien por razones didácticas, en
la matemática de Secundaria se puede obviar el análisis de los elementos que no pertenecen a los
conjuntos del ejemplo, no debemos olvidar que el axioma de la igualdad de extensión es mucho más
potente, pues abarca a todos los elementos del dominio (o referencial como lo llamaremos más adelante).
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x N(x A x B) e. d. A = B
T {x Q/2x3 + x2 3x 0}