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Libro Ii Calculo de Predicados
Libro Ii Calculo de Predicados
Libro Ii Calculo de Predicados
PREFACIO
La lógica con predicados de primer orden tiene capacidad para definir prácticamente a
todas las matemáticas.
Mientras que la frase "Algunos hombres son valientes" establece que, cuando menos
una entidad x, tiene el atributo de ser un hombre y tiene el atributo de ser valiente. Es
decir, tiene dos atributos. Debe quedar en claro que la primera proposición "Todos los
hombres son mortales" es una implicación lógica, pero está oscurecida por el lenguaje
ordinario, la implicación se formula como: para cualquier x, si x es hombre, entonces, x
es mortal. Esta proposición es completamente distinta cuando se trata de una oración
con cuantificador existencial: la frase "Algunos hombres son valientes" no es una
implicación lógica, sino una entidad que tiene dos atributos.
El mecanismo simbólico que han diseñado los filósofos a través del tiempo para la
cuantificación universal de las variables individuales, es encerrar entre paréntesis la
variable individual, de tal forma que la frase "Todos los hombres son mortales" queda
(por el momento) simbolizada como:
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Su lectura podría leerse como: toda entidad x que es un hombre, es una entidad que es
mortal. Claro está que también puede ser escrita con la variable y como:
Sin embargo, los matemáticos generalmente no son precisos y raras veces cuantifican y
causan mayor confusión. Por ejemplo, la expresión ax + b = c que corresponde a una
función lineal del tipo f(x)= ax + b es ambigua, por que las letras a, b, c no están siendo
utilizadas en el sentido anterior de "estar cuantificadas de forma existencial" , y si bien
la letra x parece indicar que está cuantificada de manera universal, no es correcta tal
suposición, surgida por la ambigüedad. El sentido que le dan los matemáticos es que las
letras a, b, c son datos "conocidos" proporcionados en el problema a resolver. Mientras
que "x" es el dato desconocido que no se proporciona en el problema y debe
"encontrarse" para resolver la ecuación.
Los axiomas considerados aquí son los axiomas lógicos los cuales son parte del cálculo
de predicados.
En cálculo de predicados tenemos elementos más simples para formar las expresiones
atómicas, a diferencia de una proposición simple donde su valor es verdadero o falso de
acuerdo a una interpretación, en cálculo de predicados el valor de verdad depende de los
componentes que forman el predicado. Por ejemplo: Juan es padre de Pedro es una
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expresión en cálculo de predicados, que en general podría ser: x es padre de y, o
simplemente P(x , y).
En otras palabras tenemos aquí una proposición abierta que depende de dos variables, y
que por supuesto el valor de verdad depende de los valores que le demos a las variables,
porque por ejemplo: Luis es padre de Agustín puede tener un valor de verdad diferente
al anterior.
En general podemos decir que un predicado puede tener una o más variables y que las
variables pueden tomar valores de un conjunto específico llamado Dominio de
Referencia.
Podemos observar que la definición del predicado es arbitraria y que para un mismo
ejemplo podría variar la estructura, por ejemplo en el predicado: El libro es azul,
podríamos considerar como fórmula propuesta M( x , y), donde M es el predicado: es de
color, y el dominio para la primera variable es el conjunto de los objetos y para la
segunda el de los colores.
También observamos que el dominio puede ajustarse según las necesidades, por
ejemplo, en el tercer ejemplo en T( x ), x podría ser el conjunto de todos los alumnos de
un país, o de una ciudad o de una disciplina.
La lógica de predicados está basada en la idea de que las sentencias realmente expresan
relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. Los
objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos. Tales cualidades, relaciones o
atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como argumentos o
términos del predicado.
Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a
diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Es
decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para
otro.
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mas poderos esta basado en extensiones de FO con recursión y son evocados con el bien
conocido punto fijo consultado y estudiado en un modelo de teoría finita. El impacto de
la lógica en base de datos es notable en la mayoría de los ejemplos de la eficacia de la
lógica en ciencias computacionales.
El objeto puede ser objeto físico, un concepto, o lo que sea que queremos describir
(ejemplo; un coche, un curso, un programa, etc.) Un objeto tiene un estado, exhibe un
comportamiento bien definido y tiene una identidad única.
El código privado que tiene el objeto puede ser accesado solo por medio de mensajes. El
mensaje dice a que objeto se dirige, que procedimiento ejecutar y cuales son los
argumentos.
Normalmente los mensajes se mandan a instancias, que heredan sus métodos de clases.
Cuando se manda un mensaje a un objeto, éste checa sus datos y métodos particulares
para ver si se puede manejar el mensaje. Si no puede, busca la forma de hacerlo en su
objeto padre.
Los procedimientos pueden ser polimórficos (i.e., aceptar diferentes tipos o clases da
datos y de todos modos saber que hacer) Se tiene que programar en términos de
operaciones genéricas. Las propiedades relevantes dependen de cómo se persigue el
objeto, ejemplo., un piano a un músico (como suena) a un cargador (cuanto pesa). De
nuevo puede existir herencia múltiple (ejem., combinar ventanas).
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El Lenguaje Natural
Haremos una comparación entre las diversas lenguas o idiomas que existen y la
imposibilidad de formalizar la mayoría de las expresiones idiomáticas que existen en
estos idiomas
Llegamos al lenguaje más expresivo, pero más difícil para las máquinas. De lenguas hay
muchas unas 7.000, y se parecen bastante a la lógica: todos usamos alguna para
expresarnos, aunque la tengamos que aprender por obligación.
Algunos ejemplos
El latín hablado y escrito desde los siglos 9 ó 8 a.c es de los complicados, con 5
declinaciones para los nombres y 4 conjugaciones para los verbos. Fue el vehículo de
cultura durante más de un milenio, antes de que la lengua franca pasase a ser el francés
(siglo 18) y después el inglés (siglo 19). Pero, aunque el latín desplazó a las lenguas
habladas anteriormente en las provincias romanas, no consiguió imponer su pureza, ya
que se distinguían dos versiones: el latín perfecto (sermo nobilis), la lengua del Senado
y de los dirigentes; y el latín del pueblo (sermo vulgaris), hablado en la ciudad. Lo que
hoy conocemos es el culto, pero el vulgar ha influido mucho más en los idiomas
modernos.
El griego también se habla desde hace mucho y se escribe desde el siglo 14 ó 13 a.c
Tiene muchos dialectos (como el eólico, el iónico y el dórico), encima con subdialectos
(por ejemplo, el ático, derivado del iónico, es la lengua de Platón y Aristóteles). Durante
el reinado de Alejandro Magno (356-323 aC) se creó un dialecto común, el Koiné, para
poder comunicarse entre su ejército.
El castellano es un idioma fácil en fonética debido a sus 5 vocales, pero no por esto es el
idioma más fácil. Los verbos son muy numerosos, y utilizamos casi todas las
conjugaciones, incluso el subjuntivo, a diferencia de, por ejemplo, el francés, que
también tiene muchas formas verbales, pero sólo se usan unas pocas. Otro problema son
los verbos “ ser “ y “ estar “, que a veces indican la misma relación, pero se usan sin
mucha lógica, es común escuchar “ es bien “ a los extranjeros. Además, no es lo mismo
“ ser bueno “ que “ estar bueno “, ni “ ser listo “ que “ estar listo “. Dicen que “ ser “ es
para marcar una relación que se cumple siempre: “ ser alto, bajo, amable “, y que
“ estar “ sirve para hablar de un hecho puntual: “ estoy contento “. Pero entonces,
¿cómo explicamos que “ Londres está en Inglaterra “ ? (si siempre ha estado allí). ¿Y
por qué “ ser aprobado “ es el hecho puntual y “ estar aprobado “ la acción duradera?
Hablar de lógica
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Resumiendo: ¡ con lenguaje natural no se puede ! A parte de la ambigüedad presente
por todos lados, está la imprecisión: decimos “ todo “ en vez de “ la mayoría “,
“ siempre “ en vez de “ habitualmente “, “ sí “ en vez de “ probablemente sí “, y para ser
precisos cuando discutimos tendríamos que preceder cada frase de opinión con un “ Yo
creo que ...”. Parece que es demasiado complicado para hacerlo cada día. Además,
aunque una persona se esfuerce mucho en expresarse correctamente y de forma precisa,
el receptor volverá a entenderlo mal.
Quizás es que no nos hace falta ser precisos, pero es que incluso con cosas tan básicas
como decir las conectivas y negaciones ya tenemos muchos problemas pendientes:
Los autores dicen que no hay ninguna confusión sobre el sentido de o aquí, ya que Juan
no puede estar en los dos sitios a la vez. Pero en realidad, las cosas pueden ser más
complicadas de lo que parecen: quizás la obra de teatro se representa en la biblioteca, o
quizás el teatro es la biblioteca, o quizás Juan se escapa del teatro de rato en rato para ir
a estudiar. La exclusividad no está garantizada, y no se han encontrado frases en las que
Necesariamente lo esté.
* ¡No! Si ...
* etc.
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imposibilita determinar el valor de verdad de estas expresiones y poder formalizarlas
dentro del campo de Studio de la lógica.
La Programación Lógica tiene sus orígenes más cercanos en los trabajos de prueba
automática de teoremas de los años sesenta. J. A. Robinson propone en 1965 una regla
de inferencia a la que llama resolución, mediante la cual la demostración de un teorema
puede ser llevada a cabo de manera automática.
La resolución es una regla que se aplica sobre cierto tipo de fórmulas del Cálculo de
Predicados de Primer Orden, llamadas cláusulas y la demostración de teoremas bajo
esta regla de inferencia se lleva a cabo por reducción al absurdo.
Estos mecanismos de prueba fueron trabajados con mucho entusiasmo durante una
época, pero, por su ineficiencia, fueron relegados hasta el nacimiento de Prolog, que
surge en 1971 en la Universidad de Marsella, Francia, en el seno de un grupo de
investigación en el campo de la Inteligencia Artificial.
La Lógica de Primer Orden, es uno de los formalismos más utilizados para representar
conocimiento en IA. La Lógica cuenta con un lenguaje formal mediante el cual es
posible representar fórmulas llamadas axiomas, que permiten describir fragmentos del
conocimiento y, además consta de un conjunto de reglas de inferencia que aplicadas a
los axiomas, permiten derivar nuevo conocimiento.
Capcioso: Otra palabra que no pretende ser insultante. Indica las preguntas que la
persona que debe responderlas no puede responder, porque esa persona no acepta
alguna suposición implícita en la pregunta: ¿Cuándo mató a su madre? ; ¡Pero si mamá
vive! ; ¡Responda la pregunta!"
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Función: Una cosa que se evalúa de algún modo.
Por ejemplo: logaritmo N (2) o “ Esposa (Pepe) “.
Se lee “ Logaritmo neperiano de 2 “ y “ Esposa de Pepe “
Si la esposa de Pepe es Maruja, Esposa (Pepe) , se evalúa a Maruja.
Predicado: Un tipo de función, que se evalúa a cierto o falso, o sea una frase que puede
ser cierta o falsa.
Por ejemplo: “ x > 2 “, “ Pepe lleva un sombrero “. Se dice que los predicados se
evalúan a cierto o falso, lo que en lenguaje normal decimos "ser" verdadero o falso.
Por ejemplo: “ Para todo ciudadano ruso, si ha nacido antes de 2001, debería estar en el
censo de 2002 “ Podemos usar predicados y decir “ Para todo x ciudadano ruso (x), si
Variable: Un nombre corto que le damos a una cosa que suponemos que existe, o bien a
una de muchas cosas que suponemos que existen.
Por ejemplo: “ Para todo x que sea ciudadano ruso, si x ha nacido antes de 2001.
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CÁLCULO DE PREDICADOS
CAPITULO 7
7.1 INTRODUCCIÓN
Si analizamos el contexto de esta deducción, en forma natural vemos que tiene una
estructura coherente, y que a partir de las dos premisas iniciales, podemos inferir la
conclusión. Pero si formalizamos las mismas, vemos que a partir del conjunto de
premisas es indemostrable la conclusión, a pesar que esta es consecuencia lógica y que
en el marco de la deducción natural intuitiva es lógica.
Vemos que al formalizar las oraciones dadas, a partir de las premisa. P , Q no es posible
la demostración de la conclusión R.
Por ello es necesario que cada proposición especifique a que, o a cuales objetos se
refiere, de modo que al tratar de demostrar esa deducción, sea posible la demostración.
Este tipo de oraciones son demostrables mediante el Cálculo de Predicados, cuya
estructura nos permite formalizar y demostrar este tipo de argumentos, los cuales son
indemostrables por Cálculo de Proposiciones.
La lógica de predicados está basada en la idea de que las sentencias realmente expresan
relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. Los
objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos. Tales cualidades, relaciones o
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atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como argumentos o
términos del predicado.
Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a
diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Es
decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para
otro. Se observa cómo la fórmula R aunque es satisfacible, no es una consecuencia
lógica de las fórmulas P, Q ; ya que existe un modelo para éstas, y no lo es para R.
Tampoco es posible encontrar una cadena de fórmulas P i, que incluyendo, axiomas, las
premisas P y Q, o cualquier otro teorema de la lógica proposicional, pruebe a R; o sea:
P, Q R. Por ello fue necesario establecer una lógica más poderosa, en la que se
puedan representar enunciados que establecen afirmaciones sobre la cantidad de objetos
que cumplen una propiedad o intervienen en una relación. Igualmente, es necesario
poder declarar la propiedad o relación y, por supuesto, simbolizar, los objetos
involucrados. A la propiedad o relación que se establece en un enunciado se la conoce
como predicado, y es por ello que esta lógica asume esa denominación. Igualmente, y
debido a la posibilidad de manejar cantidades es que a esta lógica también se la conoce
como lógica cuantificacional.
Planteamos dos preguntas básicas, a objeto de distinguir las estructuras de las que esta
constituida esta oración.
De quien o de que se habla en la oración ?
Que propiedad o característica se señala en la oración atribuible al que o al quien?
De quien o de que se habla, se habla de: La Casa Verde
Que propiedad o característica se dice: Es una novela costumbrista
Es así que vemos que esta oración tiene dos elementos distinguibles, a saber el Término
o Sujeto y el Predicado.
Termino Predicado
Términos Predicado
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“ Todos los deportistas son musculosos y simpáticos “
Sujeto Predicados
Como se puede ver en una oración, puede existir más de un sujeto y varias propiedades
atribuibles a estos.
De manera que al distinguir los dos elementos constitutivos de una oración predicativa
podemos enunciar cada una de ellas de la siguiente manera.
7.2.3 Predicado
Predicado: Es rico
Ejemplos:
Esta oración será de copula afirmativa, ya que la propiedad denotada por el predicado se
verifica en el sujeto
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“ Todas las montañas son volcanes “
En este caso la oración será de copula afirmativa, ya que existen algunas montañas que
son volcanes.
x y z ( x + y = z ) es verdadera
Pues establece que, un número cualquiera, sumado con otro número cualquiera, da igual
a algún número (y sólo uno).
Pues establece que, cualquier número x, sumado con cualquier otro número y, da igual a
cualquier número (z)
m = es muñeca
P = es de plástico
M = es de madera
Y la representación será: P ( m ) Λ M ( m )
131
Distinguimos tres elementos para poder conformar la estructura del cálculo de
Predicados.
7.3.1 Terminos
Las entidades del conjunto origen de una función son denominadas “argumentos de la
función”. Las entidades del conjunto imagen que corresponden a los argumentos de una
función son denominados: valores de la función. El conjunto de los argumentos de una
función coincide con el conjunto origen de una función. El conjunto de los argumentos
de una función también se denomina “dominio de la función” en cuestión. El conjunto
de los argumentos de valores o rango de una función no tiene por qué coincidir con el
conjunto imagen, pudiendo ser un subconjunto imagen.
7.3.2 Predicados
Según sea el conjunto de elementos a los que se refiere el predicado, es decir los
términos a los que se refiere el predicado o la propiedad expresada por estos.
1) Monádico. Llamado también de atribución de propiedades a sujetos, es aquel
que se refiere a un solo sujeto o termino expresado en la oración.
“ Jimena es estudiosa “ E ( j )
2) Poliádico. Es aquel en el cual la propiedad denotada por el predicado es
atribuible a dos o más términos.
“ Marcelo y Claudia son hermanos “ H ( m, c )
132
3) Contradictorios. Dados dos predicados, si cada uno de ellos se verifica en los
términos en los cuales no verifica el otro
“ La luna es blanca “ “ El solo es no blanco “ B ( l ) , NB ( s )
4) Contrario. Dados dos predicados, uno de ellos no puede verificarse en el mismo
término. “ Gonzalo es chato “ “ Gonzalo es alto “ C ( g ) y no A ( g )
7.3.3 Conectivas
Las conectivas son símbolos que permiten relacionar proposiciones y establecer entre
ellas un marco de valor de acuerdo al tipo de conectiva.
Negación ~
Conjunción Λ
Disyunción ν
Implicación →
Bicondicional ↔
Ejemplos:
- Genkis Kan no era un soldado ~S(g)
- María y Claudia son hermosas H(m) Λ H(c)
- O Juan es alto o Pedro es estudioso A(j)ν E(p)
- Si Lucas va al cine, entonces Juan estudia C(j) → E(j)
- Gonzalo gana el rol si y solo si Antonio le da estimulo G ( g ) ↔ E ( a )
Como todo lenguaje, en este caso el lenguaje formal del cálculo de predicados entraña
dos elementos sustantivos, a saber: El Alfabeto, y La Sintaxis, elementos básicos que
definen el lenguaje y la construcción de formulas.
El Alfabeto comprende todos los símbolos mediante los cuales se pueden construir las
formulas del cálculo de predicados, y la Sintaxis comprende todas las reglas que nos
permiten definir las f.b.c del cálculo de predicados.
7.4.1 Alfabeto
133
El concepto de término se define de manera recursiva de la siguiente manera:
a) Son términos las letras de variable, constante y función
b) Si f es una letra de termino función, son términos las expresiones del tipo f (
t 1 , t 2 ,,,,,) siendo t términos
En este caso se asigna a la plaza del predicado, un símbolo de término que puede ser
constante, variable o función, es decir a cada plaza se le asigna un solo elemento del
dominio de referencia, ya sea este conocido o incógnita.
P ( x , a , m , f ( r ) ) ; Q ( x 1 , x 2 , f( m ) , b , c )
2) Por Cuantificación
En este caso se asigna a una plaza del predicado un conjunto de elementos del dominio
de referencia, de acuerdo a lo siguiente:
Por Cuantificación Universal: En este caso se asigna a una plaza del
predicado todos los elementos del dominio de referencia, y se simboliza
estos objetos mediante una letra de variable, situada en la plaza
correspondiente y cuantificada universalmente fuera de la formula.
xP(x,aym) ; xyP(x,y,a,r)
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algunos objetos, se simboliza mediante una letra de variable, la cual esta
cuantificada existencialmente fuera de la formula.
xQ(x,z,f(t),m); x,yQ(x,y,m,a)
~ ¸ Λ , ν , → , ↔ , ( ) , [ ] , { }
,
7.4.2 Sintaxis
Es el conjunto de reglas que nos permiten definir recursivamente las f.b.c ( formulas
bien construidas ) del cálculo de predicados, de la siguiente manera:
Toda proposición predicativa es una f.b.c
Si P es una letra de predicado de n plazas P ( t 1 , t 2 , , , t i, t n ) es una
formula bien construida, siendo t i símbolos de términos.
Si A ( x 1 , x 2 , y , m , n ) es una f.b.c , son f.b.c las formulas
cuantificadas de la variable de la manera siguiente x 1 ( x 1 , x 2 , y ,
m , n ) ; y ( x 1 , x 2 , y , m , n)
Si A , B son f.b.c, entonces las formulas: ~ a , ~ b , A Λ B , A ν B , A
→ B , A ↔ B son f.b.c
Solo son formulas bien construidas las obtenidas de acuerdo a las
anteriores reglas.
A objeto de evitar el uso excesivo de signos de agrupación se define una
serie de niveles, de acuerdo a lo siguiente
1. Nivel 1 : ~ , ,
2. Nivel 2 : Λ , ν
3. Nivel 3 : → , ↔
x,y R(x,y)
135
7.4.3.1 Variables Libres
Una variable se dice que es libre, cuando no esta cuantificada externamente fuera de la
formula, o cuando el alcance del cuantificador dado por los signos de agrupación no
abarca a estas.
x R(x,y,m,a)
xP(x,a,b) → R(x)
Una variable se dice que es ligada cuando esta cuantificada externamente fuera de la
formula, y se considera las siguientes alternativas.
xP(x)
xyQ(x,y)
2. Esta ligada cuando el cuantificador cuantifica a todas las variables que ocupan
plazas de los predicados, agrupados estos en signos de agrupación.
x[P(x) → Q(x)]
x,y [P(x) → Q(x,y) Λ R(y)]
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“ Algunos escritores son famosos “ x [ E ( x ) Λ F ( x ) ]
Son aquellas proposiciones predicativas que tan solo cuentan o constan de un único
predicado al cual se refiere la formula.
Todo esta en movimiento x M (x)
Todos no son imperfectos x ~ I ( x )
Ninguno es Mecánico x ~M (x)
Alguno es inmortal x I(x)
Universales Afirmativas
Universales Negativas
Particulares Afirmativas
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Ciertos conejos son blancos x[C(x) Λ B(x)]
Particulares Negativas
Existe una relación directa entre el cuantificador existencial y el universal, de modo que
una formula cuantificada existencialmente, puede ser reescrita con el cuantificador
universal, y viceversa.
~ x D(x) x ~ D(x)
~ x D(x) x ~ D(x)
7.7 Formalización
138
4) Siempre se deben asumir los predicados en sentido afirmativo, y recién en la
representación lógica incluir la negación si corresponde.
5) Se deben establecer claramente las diferencias entre las variables ligadas y las
libres.
6) Se debe reconocer claramente las diferencias entre el cuantificador existencial y
el universal.
7) Por defecto el conectivo de relación entre predicados en una formula
cuantificada existencialmente es el de la conjunción.
J(m,g)
J(x,g)
x J(x,g)
xJ(g,x)
139
P ( - ) = - es Político
I ( - ) = - es Incompetente
x[P(x) Λ ~I(x)]
x ~ I(x)
6.- “ Todos los Políticos son Malos Funcionarios Públicos “ D = { Las personas }
Podemos rescribir la oración de manera que sea: “ No existe nadie que sea político y no
sea mal funcionario publico “
P ( - ) – es político
M ( - ) – es mal funcionario publico
x[P(x) → M(x)]
x ~[P(x) Λ ~M(x) ]
V ( - , - ) – es vecino de –
E ( - ) – es envidioso
x,y(E(x) ν E(y))
8.- “ Todos los que son vecinos se odian entre si “ D = { Las personas }
140
V ( - , - ) – es vecino de –
O ( - , - ) – odia a –
9.- “ Todos los estudiantes de Lógica son amigos de los aficionados al Fútbol “
D = { Las personas }
L ( - ) – es estudiante de Lógica
F ( - ) – es aficionado al Fútbol
A ( - , - ) es amigo de –
C ( - ) – es cantante de opera
A ( - , - ) – admira a –
xyA(x,y)
PR ( - , - , - ) – es producto de – y –
P ( - ) – es primo
x y z [ PR ( x , y , z ) → ~ P ( x ) ]
Empleando funciones:
141
Definimos la función: f ( - , - ) - es producto de – por –
xy~P(f(x,y))
D= { Las Personas }
D= { Los Números }
142
3.- Formalice en el cálculo de predicados las siguientes oraciones en lenguaje natural,
primero sin utilizar cuantificadores existenciales y después sin utilizar cuantificadores
universales
1. x (P (x, y) → Q (x))
2. x P (x, y) → Q (x)
3. x (A (x, y) Λ y B(y))
4. x ( y A (x, y, z) → x A (x, z, z))
5. x A (x) → x A (x)
6. x ( y (A (x, y) → z B (y, z)) → x C (x, z))
143
m)Algunos bebedores solo frecuentan las fuentes de sodas que sirven las bebidas que
les gustan.
n) Algunos bebedores no frecuentan las fuentes de soda que sirven al menos una de las
bebidas que no les gustan.
ñ) Los bebedores que frecuentan las fuentes de soda que sirven las bebidas que le gustan
a Luís Pérez, no les gusta la malta o la coca-cola.
o) Los bebedores a quienes les gustan las bebidas que sirven en las fuentes de soda que
frecuentan, frecuentan fuentes de soda de cualquier ciudad.
p) Los bebedores a quienes les gustan únicamente las bebidas que sirven en las fuentes
de soda que frecuentan, solo frecuentan fuentes de datos que no sirven ni al menos
una bebida que no les guste.
q) Las bebidas que les gustan a las personas a quienes les gusta la malta, solo
frecuentan las fuentes de datos que no sirven ni al menos una bebida que no les
guste.
r) Las fuentes de soda que son frecuentadas por las personas a quienes les gusta la
malta, sirven solo bebidas que le gusten a alguna de las personas que las frecuentan.
s) Las fuentes de soda que no venden al menos una de las bebidas que venden en las
fuentes de soda frecuentadas por Luís Pérez, solo sirven las bebidas que le gustan a
José Pérez.
144
o) Todos los alumnos de mi clase dan repaso de su materia cada quince días,
algunos estudian bien y otros no toman en serio la materia d: las personas
p) Todas las poblaciones del mundo albergan a inocentes y culpables y tan solo
algunos van a juicio por su mal carácter d: las personas
q) Algunas noches son estrelladas y todos los enamorados contemplan las estrellas
d: las personas
r) Existen árboles de todo tamaño, todos los geranios no son grandes d: la flora
s) Todos los ingenieros saben calcular edificios y no existen albañiles que no sepan
edificarlos d: las personas
t) Solo los que son vecinos entre si se odian y existen algunas vecinos que se aman
entre si d: las personas
u) No todos los que se sientan en el parque portan paraguas y sombrero, entonces
algunos árboles los guarecen de la lluvia d: las personas
v) Todos los fenómenos de la naturaleza son catástrofes para el hombre y existen
hombres que estudian los mismos y proponen medios de controlarlos d: las
condiciones metereológicas
w) Si los niños van al parque entonces Rafael y María Irán al cine esta tarde y no
podrán cenar en casa d: las personas
x) Para todo hombre existe una mujer esperándolo d: las personas
y) Existen camaradas de armas que se cuidan en la guerra, todos los soldados que
van al guerra son jóvenes idealistas y poco corruptos d: las personas
z) Todos los policías portan revolver y casco y existen algunos que llevan a perros
a las manifestaciones d: las personas
xP(x) ~ x~P(x)
xP(x) ~ x ~ P(x)
~ xP(x) x ~P(x)
~ xP(x) x~P(x)
2) Leyes de Oposición
145
3) Leyes Distributivas
4) Ley de Subalterización
xP(x) → xP(x)
5) Intercambio de Cuantificadores
xP(x) ~ x ~ P(x)
xP(x) ~ x ~ P(x)
~ xP(x) x~P(x)
~ xP(x) x~P(x)
Especificación Universal ( E . U )
xP(x)
P(y)
xP(x)
P(a)
x[P(x) → Q(x)]
P(y) → Q(y)
P(y)
xP(x)
P(y) → Q(y)
x[P(x) → Q(x)]
A partir de cualquier formula que tenga cualquiera de sus casos de sustitución
verdadera, se infiere la generalización universal de dicha formula.
Especificación Existencial ( E . E )
146
xP(x)
P(a)
x[P(x) Λ Q(x)]
P(a) Λ Q(a)
Generalización Existencial ( G . E )
P(y)
x P(x)
P(y) Λ Q(y)
x[P(x) Λ Q(x)]
147
8) F ( y ) Λ H ( y ) Producto ( 5 , 7 )
9) x [ F ( x ) Λ H ( x ) ] G.E ( 8 )
3.-
1) x [ G ( x ) → H ( x ) Λ I ( x ) ] P
2) G ( a ) Λ F ( a ) P
H(a)
3) G(a) → H(a) Λ I(a) E,U ( 1 )
4) G(a) Simplificación ( 2 )
5) H(a) Λ I(a) M.P ( 3 , 4 )
6) H(a) Simplificación ( 5 )
En este caso al haber una premisa donde la plaza del predicado, esta ocupada por una
constante, al especificar las formulas cuantificadas debemos necesariamente
referirnos a la constante en cuestión.
4.-
1) x [ F ( x ) Λ ( ~ G ( x ) ν H ( x )) ] P
2) x[ (G(x) Λ ~H(x)) ν I(x)] P
xI(x)
3) F(y) Λ (~G(y) ν H(y)) E.E ( 1 )
4) (G(y) Λ ~H(y)) ν I(y) E.U ( 2 )
5) ~[ G(y) Λ ~H(y)] → I(y) Interdefincion ( 4 )
6) ~ G(y) ν H(y) → I(y) De Morgan ( 5 )
7) ~G(y) ν H(y) Simplificación ( 3 )
8) I(y) M.P ( 6 , 7 )
9) xI(x) G.E ( 8 )
5.-
1) x[H(x) → I(x)] → x~G(x) P
2) x ~ H(x) P
~ xG(x )
3) ~ H(y) E.U(2)
4) ~ H(y) ν I(y) Adición ( 3 9
5) H(y) → I(y) Interdefinicion ( 4 )
6) x[ H(x) → I(x)] G.U ( 5 )
7) x ~ G(x) M.P ( 1 , 6 )
8) ~ x G(x) R.I.C ( 7 )
6.-
1) F ( a ) → ~ x I ( x ) P
2) x ~ I ( x ) → x ( H ( x ) → G ( x ) ) P
148
3) ~ G ( a ) Λ F ( a ) P
~H(a)
4) F ( a ) Simplificación ( 3 )
5) ~ x I ( x ) M.P ( 1 , 4 )
6) x ~ I ( x ) R.I C ( 5 )
7) x ( H ( x ) → G ( x ) ) M.P ( 2 , 6 )
8) H ( a ) → G ( a ) E.U ( 7 )
9) ~ G ( a ) Simplificación ( 3 )
10) ~ H ( a ) M.T ( 8 , 9 )
a) Los brujos son considerados individuos con poderes ocultos. Algún brujo es
mago.
Luego, algún mago es considerado como individuo con poderes ocultos.
b) Ningún fotógrafo pinta. Todos los que no son fotógrafos son escultores.
Por lo tanto, todos los pintores son escultores.
c) Ningún feo despierta pasiones. Todos los atletas despiertan pasiones.
Por lo tanto, ningún atleta es feo.
d) Si un entero es par, entonces este es igual a algún otro entero multiplicado por 2.
El numero m es un entero par.
Luego el numero m es igual a otro entero multiplicado por 2.
e) Si después de compilar un programa existen errores sintácticos, el programa no
genera código objeto. Para que un programa pueda ejecutarse, debe haber
compilado y generado código objeto. Este programa compilo sin errores.
Luego, podrá ejecutarse.
f) Cada objeto que esta a la derecha de los objetos azules, esta encima de los
triángulos. Si un objeto es un círculo, entonces esta a la derecha de todos los
objetos azules. Si un objeto no es un círculo, entonces no es gris.
Luego, todos los objetos grises están sobre los triángulos.
g) Todos los objetos que están a la derecha de los todos los triángulos están encima
de los círculos. Si un objeto no esta encima de todos los objetos negros, entonces
no es un cuadrado. Cada objeto negro es un cuadrado. Cada objeto que esta
encima de todos los objetos grises esta encima de todos los triángulos.
Luego, si un objeto es negro, entonces Este esta encima de todos los objetos
azules.
h) Si un objeto no es azul, entonces no es un triangulo. Si un objeto no esta encima
de todos los objetos grises, entonces este no es un cuadrado. Cada objeto negro es
un cuadrado. Cada objeto que esta encima de todos los objetos grises, esta encima
de los todos los triángulos. Si un objeto es negro.
Luego, esta encima de todos los objetos azules.
149
i) Yo confió en cada uno de los animales que son mis mascotas. Los perros muerden
los huesos. Yo no acepto que mis mascotas entren en mi estudio, a menos que
muevan las orejas y me lo pidan. Todos los animales en mi jardín son míos. Yo
acepto en mi estudio a cada animal en el cual yo confié. Los únicos animales que
mueven las orejas son los perros.
Luego, todos los animales en mi jardín comen huesos.
j) Cuando resuelvo un ejercicio de lógica sin quejarme, puedes estar seguro que lo
entendí. Los argumentos en estos ejemplos no están ordenados en la forma en la
que estoy acostumbrado. Los ejercicios que no son simples, me hacen doler la
cabeza. Yo no puedo entender los ejercicios si estos no están ordenados en la
forma en la que estoy acostumbrado. Yo no me quejo de los ejercicios a menos
que estos me den dolor de cabeza.
Luego, estos ejemplos no son fáciles.
k) Todos los escritores que entienden la naturaleza humana, son inteligentes. Una
persona no es un verdadero escritor, a menos que pueda conmover el corazón
humano. Shakespeare escribió Hamlet. Ningún escritor puede no entender la
naturaleza humana y conmover el corazón humano.
Luego, Ningún poeta real pudo haber escrito Hamlet.
l) Todos los pájaros vuelan excepto los pingüinos. No existen pájaros en este
parque, que pertenezca a alguien diferente de mí. Ningún ninguno vive en un
parque.
Luego, Yo no tengo pájaros que no vuelen.
b)
- Solo las buenas persona ayudan a los pobres
- Ninguna buena persona es aficionada a la fotografía
- Antonio ayuda a Juan
- Antonio es aficionado a la fotografía
Por lo tanto, Juan es pobre
c)
- Todos los perros pueden matar a cualquier gato
- Juan no puede matar a Adolfo
- Adolfo es un gato
Por lo tanto, Juan no es un perro
150
d)
- Todos los que ayudan a Juan viven en casa de manolo
- Antonio ayuda a todos los que trabajan con el
- Juan trabaja con todos los amigos de Carlos
- Antonio es amigo de Carlos
Por lo tanto, Antonio vive en casa de manolo
e)
- Lanzarote ama a la reina Ginebra
- Lanzarote no ama a ninguno de sus amigos
- El rey Arturo es amigo de Lanzarote
- Los amigos de Lanzarote odian a aquellos a quienes Lanzarote ama
Por lo tanto, Arturo odia a Ginebra
f)
- Todos los animales que no cocean son flemáticos
- Los asnos no tienen cuernos
- un búfalo puede siempre lanzarlo a uno contra una puerta
- Ningún animal que cocea es fácil de engullir
- Ningún animal sin cuernos puede a uno lanzarlo contra una puerta
- Todos los animales son no flemáticos excepto los búfalos
Por lo tanto, Los asnos no son fáciles de engullir
g)
- Todos los colibríes tienen vivos colores
- Ningún pájaro de gran tamaño se alimenta de miel
- Los pájaros que no se alimentan de miel tienen colores apagados
Por lo tanto, Ningún colibrí es grande
h)
- Todos los enfermos de sida tienen anulado el sistema inmunológico
- Ningún enfermo que no este muy grave padece enfermedad infecciosa
- Pedro padece el sarcoma de kaposi
- Ningún enfermo esta muy grave a menos que padezca el sida
- nadie. sino un enfermo infeccioso, puede tener el sarcoma de kaposi
Por lo tanto pedro tiene anulado el sistema inmunológico
i)
- Todos los miembros de la cámara baja tienen perfecto dominio de si
mismos
- Ningún parlamentarios que use corona de nobleza participara en una
carrera de burros
- Todos los miembros del senado usan corona de nobleza
Por lo tanto, Ningún parlamentario participara en una carrera de burros a menos que
tenga un perfecto dominio de si mismo
j)
- Ningún tiburón duda nunca de su buena preparación
151
- Ningún pez que no sea capaz de bailar un minuto es despreciable
- Ningún pez esta seguro de su buena preparación si no tiene tres filas de
dientes
- Todos los peces excepto los tiburones son amables con los niños
- Ningún pez obeso puede bailar un minuto
- Un pez con tres filas de dientes no es despreciable
Por lo tanto, todos los peces obesos son amables con los niños
k)
- Todo el que quiere a Lourdes escogerá a Javier para su partido
- Javier no es amigo de nadie que sea amigo de Marcos
- cristina no escogerá a nadie que no sea amigo de Patricia para su partido
Por lo tanto, si Patricia es amiga de Marcos, entonces Cristina no quiere a Lourdes
Un argumento lógico se construye con proposiciones, o sea, frases que afirman una
determinada cosa. Un argumento deductivo contiene una o más proposiciones
llamadas premisas que son los pre-supuestos del argumento, o sea, lo que se asume
como verdadero para poder deducir el resto. La proposición que se deduce de las
premisas se denomina conclusión.
Al examinar argumentos lógicos, hay que tener en cuenta que un argumento puede
ser válido sin que por ello su conclusión sea cierta. El razonamiento puede ser
formalmente correcto, pero si una de las premisas es inválida, entonces la conclusión
es irrelevante. Por ejemplo, el famoso Argumento Cosmológico:
152
2. El Universo comenzó en un momento determinado.
3. Por lo tanto, el Universo tuvo una causa.
Evidentemente, no todas las personas con las que uno conversa explicitan sus
argumentos con premisas y conclusiones prolijamente delineados y ordenados. Se
requiere un cierto entrenamiento didáctico para "enfocar" los argumentos y detectar
sus partes.
Hay una cierta cantidad de errores que uno debe evitar al construir argumentos
deductivos. Algunos son errores formales de lógica, mientras que otros representan
errores de concepto o actitudes inaceptables. Se conocen como falacias; de un
argumento que resulta invalidado por una falacia se dice que es "falaz".
Hipótesis ad hoc
Ésta es una falacia en la estructura formal del argumento. Consiste en emplear una
forma argumental del tipo "A implica B; B es verdadero; por lo tanto A es
verdadero". Es una deformación común de una estructura válida conocida como
Modus Ponens ("A implica B; A es verdadero; por lo tanto B es verdadero").
153
su propia estructura como ser vivo, siendo la particularidad de este impulso
explicable por la particular estructura cerebral avanzada del ser humano en
comparación con los animales.)
Evidencia anecdótica
"Dios existe y hace milagros incluso hoy. La semana pasada leí sobre una chica que
tenía cáncer, y toda su familia rezó por ella, y se curó."
Argumentum ad antiquitatem
Esta falacia consiste en argumentar que algo debe ser correcto o bueno porque es
antiguo o tradicional, o porque es "como siempre han sido las cosas".
"Los cristianos han sido perseguidos durante dos mil años, y han seguido
proclamando su fe. Ninguna idea dura tanto si es incorrecta; la fe en Cristo debe ser
la verdadera fe."
Argumentum ad baculum
Apelación a la fuerza
Argumentum ad crumenam
La falacia de creer que el dinero o el éxito son un criterio adecuado para evaluar la
verdad, es decir, que los que tienen dinero es más probable que tengan la verdad.
"Los productos de Microsoft deben ser realmente superiores, por más que la
competencia los denigre. Si no, ¿cómo se explica que Bill Gates se haya hecho tan
rico fabricándolos?"
154
Argumentum ad fidentia
Argumento contra la confianza
Argumentum ad verecundiam
Apelación a la autoridad
Defiende una idea en base a que fue afirmada o defendida por una autoridad, del
campo que sea, incluyendo escrituras sagradas o libros antiguos en general. El primer
problema que presenta es que la autoridad debe ser en sí confiable para poder
soportar un argumento. El segundo problema es que la autoridad debe ser aceptada
por ambas partes en disputa. En último término, además, "la autoridad de mil no vale
el humilde razonamiento de uno", como dijo Galileo Galilei, en el sentido de que,
aunque todos los estudiosos estén de acuerdo en algo, eso no implica que sus ideas
sean ciertas, si pueden mostrarse como lógicamente inconsistentes, alejadas de los
hechos objetivos de la realidad, o simplemente sin sentido.
"Sería poco sabio excluir la posibilidad de que esta idea sea correcta."
Ad hominem
Contra el hombre
155
Otra clase de argumento ad hominem funciona por asociación con personas o
instituciones desacreditadas, por ejemplo: "Alterar los genes para crear personas
'mejores' es lo que querían hacer los nazis". Una tercera forma acusa al argumentador
de tener razones personales para racionalizar una idea falsa: "Defiendes tanto tu
ateísmo porque en el fondo crees en Dios y no quieres aceptarlo en tu vida". Este
ataque contra la confianza del argumentador se denomina "envenenar el pozo".
Argumentum ad ignorantiam
Apelación a la ignorancia
Esta falacia ocurre cuando se pretende que algo debe ser cierto porque no ha sido
fehacientemente demostrado que sea falso.
"Nadie puede probar que Dios no existe. Para poder asegurar que Dios no existe en
ninguna parte, tendría que poder observar al mismo tiempo todo el universo."
Argumentum ad Lazarum
La falacia de asumir que alguien pobre (o humilde, o sencillo) es más virtuoso que
uno que tiene dinero y poder, y por lo tanto sus ideas deben ser más correctas. Esta
falacia es la opuesta del Argumentum ad crumenam.
"La Madre Teresa de Calcuta sabía mejor que nadie cómo tratar a los pobres y
enfermos, porque vivía como uno de ellos."
Argumentum ad lógicam
La falacia de falacias. Consiste en afirmar que una proposición es falsa porque fue
presentada como conclusión de un argumento falaz. Esto ignora el hecho de que un
argumento falaz puede arribar a conclusiones verdaderas (aunque el procedimiento
en sí sea inválido).
Argumentum ad nauseam
Esta falacia ocurre cuando alguien presenta sus argumentos una y otra vez con la
esperanza de que la repetición los haga verdaderos o válidos. (A veces la intención
156
puede ser repetir algo hasta que nadie tenga ganas de responder y el argumentador
pueda asumir que "el que calla otorga" y quedar feliz con su "demostración". Aunque
parezca increíble, hay gente que piensa así.)
Argumentum ad novitatem
"Las nuevas extensiones del Internet Explorer lo hacen el mejor del mercado de
navegadores."
(Las nuevas extensiones permiten que un virus se apodere de una red completa sin
que el usuario tenga que hacer click siquiera sobre un botón.)
Argumentum ad numerum
Esta falacia tiene relación con el Argumentum ad populum. Consiste en afirmar que,
cuanta más gente apoye una proposición o crean en ella, más probable es que esa
proposición sea correcta.
Argumentum ad populum
Apelación al pueblo
Esta falacia ocurre cuando uno intenta obtener aceptación de una proposición
apelando a un grupo grande de personas. Generalmente se caracteriza por el uso de
lenguaje emocional.
"Por dos mil años la gente ha creído en Dios y Jesús, y esto les ayudado a vivir sus
vidas como mejores seres humanos. ¿Qué más evidencia necesitas para creer que
Dios existe y que Jesús es su hijo que vino a salvarnos? ¿Vas a decirles a todos esos
millones que vivieron y murieron por su fe que todos ellos fueron unos tontos?"
Argumentum ad verecundiam
Apelación a la autoridad
Utiliza la admiración o la fama de una persona famosa para tratar de ganar apoyo a
una proposición que puede ser asociada a ella.
157
favor de una idea dentro del mismo campo.
La falacia aparece al citar a una autoridad en un campo específico como apoyo a una
teoría o idea perteneciente a un campo diferente.
Colectivo ambiguo
Castillo de naipes
"Si nadie creyera en Dios como fuente de moral y orden, la sociedad se vendría
abajo."
Esta clase de argumento presupone tres cosas: primero, que hay una implicación
lógica entre la caída de la idea que se defiende y la catástrofe que se presagia;
segundo, que esta implicación es exclusiva, es decir, que nada puede ocupar el lugar
de la idea defendida; tercero, que una idea debe ser correcta porque es conveniente
que así sea.
Esta falacia requiere que algo provea más de lo que puede. Si una persona dice "Me
gustaría tener en gato, siempre y cuando ladre", es claro que está pidiendo algo
imposible, no sólo difícil, sino absolutamente contrario a la naturaleza y a la misma
definición de lo que es un gato. Los que proponen un capitalismo que no produzca
pobreza o un comunismo que permita el crecimiento económico personal apelan a
argumentos como éste, siendo que en realidad ambos sistemas se basan en postulados
que evitan esas cosas. (El capitalismo se basa en la competencia y en la acumulación
de riqueza; por definición no puede producir sólo competidores exitosos.)
158
Petitio principii
Petición de principio
Conocido en inglés como "begging the question". Es una conclusión que utiliza su
premisa y la asume verdadera.
(Asume, sin mostrar evidencia alguna, que la pena capital sirve para desalentar el
crimen violento, lo cual es precisamente lo que se necesita demostrar.)
Bifurcación
Falacia booleana
Circulus in demonstrando
Argumentación circular
Esta falacia ocurre cuando uno asume como premisa la conclusión que desea
alcanzar. Con frecuencia, la proposición está refraseada de manera que la falacia
aparezca como un argumento válido.
"No se debe permitir que los homosexuales ocupen cargos públicos. Esto es aceptado
por todos, de tal forma que un funcionario que se descubra como homosexual
siempre pierde su puesto. Un homosexual que ocupe un cargo, por lo tanto, hará lo
que sea para ocultar su condición, y estará abierto al chantaje de cualquiera que los
descubra. Por eso los homosexuales no pueden ni deben ocupar cargos públicos."
159
El Servicio Secreto británico de hecho ha usado un argumento oficial como el del
ejemplo para prohibir la designación de empleados homosexuales.
Pregunta compleja
Falacia de interrogación
Falacia de presuposición
La pregunta presupone una respuesta definida a otra pregunta que no ha sido hecha.
Esta clase de preguntas es usada con frecuencia por los abogados.
Otra forma de esta falacia es pedir una explicación de algo que es falso o que no ha
sido establecido aún.
Falacia de composición
Afirmar que, porque dos eventos ocurren juntos, deben estar causalmente
relacionados. En forma de argumento lógico: "A y B; por lo tanto A implica B". Es
una falacia porque ignora otros factores que pueden ser causa de los eventos.
"Los chicos leen mucho menos desde que se inventó la televisión. Es obvio que la
televisión impide la lectura."
Ésta es una falacia en la estructura formal del argumento.- Consiste en emplear una
forma argumental del tipo "A implica B; A es falso; por lo tanto B es falso". Es una
deformación común de una estructura válida conocida como Modus Tollens ("A
implica B; B es falso; por lo tanto A es falso").
"Si Dios se me apareciera en persona, eso probaría que existe. Pero Dios jamás se me
160
ha aparecido, de manera que yo sé que no existe."
Falacia de división
"Las termitas pueden destruir una casa entera. Por lo tanto, esta termita puede
destruir toda mi casa."
Equivocación
Falacia de cuatro términos
Ocurre cuando una palabra clave se utiliza con dos o más significados diferentes en
el mismo argumento. Para evitarla se requiere una definición clara y precisa de los
términos, y evitar en lo posible los términos comunes que tengan muchos
significados o que sean ambiguos.
Analogía extendida
Esta falacia ocurre cuando se está discutiendo una regla general, y una de las partes
asume que la otra está proponiendo una analogía entre dos situaciones, sólo porque se
las mencionó juntas.
Ignoratio elenchi
Conclusión irrelevante
Ley de la naturaleza
Falacia naturalista
161
El capitalismo, por lo tanto, es la forma más natural de organización económica."
Otra forma es proyectar aspectos del mundo natural a los seres humanos, porque los
seres humanos somos productos de la naturaleza, para argumentar que los seres
humanos debemos comportarnos como los animales.
Ésta es una clase general de falacias que ocurren cuando se quiere identificar algo
como causa de un evento, cuando en realidad no ha sido demostrado que lo sea. Dos
formas específicas de esta falacia son "cum hoc ergo propter hoc" y "post hoc ergo
propter hoc".
Non sequitur
("No se sigue")
"Los egipcios tenían que saber mucho de excavaciones para poder construir las
pirámides. Por lo tanto seguramente eran buenos arqueólogos."
Plurium interrogationum
Muchas preguntas
Esta falacia ocurre cuando uno demando una respuesta simple a una pregunta
compleja que no puede ser respondida de esa manera sin distorsionarla.
162
Post hoc ergo propter hoc
Esta falacia consiste en asumir que un determinado evento es causa de otro porque
ocurrió antes que éste, o lo que es lo mismo, asumir que una cosa es producto de otra
que ocurrió antes sólo porque ocurrió antes.
"Mi vecino cambió el techo de su casa y al otro día cayó un rayo sobre ella y se la
quemó completamente. Es obvio que el material del techo nuevo atrajo el rayo."
Trapo rojo
"Puedes decir que la pena de muerte no sirve para desalentar el crimen, pero ¿qué
pasa con las víctimas? ¿Cómo crees que se sienten los padres cuando ven al asesino
de su hijo en la cárcel, viviendo a sus expensas? ¿Es correcto que tengan que pagar
con sus impuestos para darle de comer a un asesino?"
Reificación
Hipostatización
Ocurre cuando un concepto abstracto es tratado como si fuese una cosa concreta.
(Reificación proviene del latín res "cosa"; hipostatización proviene del griego
hypostasis, que es el término técnico para la emanación de una cosa concreta a partir
de una idea abstracta o Forma, o la encarnación de la divinidad en una forma física.)
"Noto que lo llamaste 'malo'. Pero para vos no hay absolutos morales como la
maldad, así que ¿dónde está esta 'maldad' que le asignas? ¿En tu cerebro? Seguro que
no puedes mostrármela."
Pendiente resbaladiza
163
Este argumento afirma que si un determinado evento ocurriese, otros eventos dañinos
ocurrirían inevitablemente después, por lo cual no hay que permitir ni siquiera el
primero. Uno de los argumento de "Pendiente resbaladiza" más comunes es el
siguiente:
Esta falacia también podría llamarse "Bola de nieve". Tiene estrecha relación con la
de "Castillo de naipes".
Espantapájaros
Atribución falsa
Consiste en presentar una descripción falsa del oponente o de sus ideas, y basar la
refutación de las mismas en esa descripción. Caricaturiza lo que quiere destruir,
representándolo de manera simplificada y distorsionada, y lo demuele con facilidad,
sin haber enfrentado los argumentos verdaderos de la posición original.
"Para ser ateo tienes que creer con absoluta seguridad que no existe Dios. Para saber
eso, tendrías que observar hasta el último rincón del universo y asegurarte que Dios
no se manifiesta allí. Como es obvio que no lo has hecho ni puedes hacerlo, tu
posición es indefendible."
(El argumento no apunta a la versión normal del ateísmo, sino a una caricatura que es
obviamente ridícula.)
Tu quoque
("Vos también")
Ocurre cuando uno afirma que una acción determinada es aceptable sólo porque su
oponente la ha realizado o ha estado de acuerdo con ella.
"Estás insultándome."
"¿Y? Vos también me insultaste."
164
"¡Antes de rechazar las curaciones milagrosas de Lourdes, infórmate, mira las
estadísticas, cuántas personas han sanado! Hay libros enteros con testimonios."
Moldeamiento forzado
Generalización apresurada
Falacia que ocurre cuando uno forma una regla general luego de haber examinado
solamente unos pocos casos, que quizá no sean representativos de todos los casos
posibles.
Abstracción flotante
Exclusividad
Juego de gravedad
Consiste en exigir que una idea sea probada una y otra vez indefinidamente antes de
ser aceptada como válida (el autor original de esta definición inventó el nombre al
observar cómo un niño dejaba caer un juguete repetidamente, sin entender que iba a
caer al suelo en cada oportunidad).
Alimento venenoso
Presentar apoyo a una idea determinada que resulta buena para el argumentador, y
que para el oponente es mala, sin notar esta ambigüedad. Lo que para un animal es
alimento, para otro puede ser veneno.
165
Táctica de debate que consiste en cambiar la definición de una idea continuamente a
medida que sus principios van siendo refutados por el oponente, sin conceder nunca
la victoria. Generalmente se basa en algún elemento crucial a la idea, que se
posiciona de manera que no puede ser alcanzado. Un ejemplo común es el de la
inteligencia artificial (IA). Sus detractores dicen: "sí, una computadora quizá pueda
jugar al ajedrez y entender algunas palabras, pero las cosas que nos hacen
verdaderamente humanos...", y luego sigue su característica preferida (percibir los
sentimientos de otros, amar, conversar sobre cualquier tema, etc.). En cuanto la IA
logra que una computadora haga o simule convincentemente alguna de esas cosas,
cambian su "punto crucial" a algo más difícil o complicado.
Omnisciencia
El argumentador asume que lo sabe todo y que habla por toda la raza humana, sin
permitirse pensar que haya concebiblemente una posibilidad de que no sea así.
Antecedente pretencioso
Consiste en afirmar que una tesis ha sido establecida con firmeza cuando lo único
que se ha hecho previamente es una breve referencia o especulación sobre sus
principios, que no ha sido discutida precisamente por su poca sustancia.
Autoexclusión
Concepto robado
166
Supresión del agente
Consiste en usar una estructura gramatical donde los causantes de las acciones son
omitidos.
Objeto incognoscible
Enciclopedia china
(De una referencia a Borges, "Otras inquisiciones", en Foucault, "Les mots et les
choses".) Consiste en utilizar una clasificación de un conjunto de objetos en
categorías no excluyentes, según un criterio arbitrario, pretendiendo que una división
hecha de manera diferente sería incorrecta.
Ad ignorantiam
167
Argumento de incredulidad personal
Yo no puedo explicar o entender esto, por lo tanto no puede ser verdad. El argumento
preferido de los creacionistas, quienes argumentan que no pueden imaginarse como
la complejidad de la vida pudo resultar de la evolución aparentemente ciega y
aleatoria. Obviamente esto no significa que la evolución no sea posible.
Esta es similar a la falacia post-hoc en que se asume causa y efecto de dos variables
simplemente porque están correlacionadas, pero difiere en que la relación no es
temporal. Generalmente esta falacia es usada para crear una correlación estadística de
una interpretación casual. Por ejemplo: durante los años 90 creció la asistencia a misa
y el consumo de droga. Sería una falacia asumir que el incremento de asistencia a
misa genere consumo de droga. También es posible que el consumo de droga cause
incremento de religiosidad, o que ambas se vean incrementadas por una tercera
variable, como una mayor agitación social. También es posible que ambas variables
sean independientes la una de la otra y que sea una mera coincidencia que ambas
crezcan al mismo tiempo. Un corolario a esto es invocar esta falacia para argumentar
que una asociación no representa una causa, en cambio es mejor decir que una
correlacion no implica necesariamente una causa pero es posible. Además múltiples
correlaciones independientes pueden apuntar a una causa y puede ser un argumento
perfectamente valido.
Continumm falso
La idea de que porque no haya una línea clara de separación entre dos extremos la
distinción entre ambos extremos no sea significante: Hay una débil línea entre cultos
y religión, por lo tanto ambos son lo mismo.
Falsa dicotomía
Arbitrariamente reducir una serie de posibilidades a solo dos. Por ejemplo, como la
evolución no es posible se deduce que hemos sido ‘creados’. Esta falacia es
normalmente usada para simplificar una amplia variedad de elecciones a blanco y
negro. Por ejemplo, la ciencia y la seudociencia son no dos entidades completamente
distintas, los métodos y teorías que utilice alguien para explicar un fenómeno caen en
algún lugar entremedio a los dos extremos.
168
Inconsistencia
Aplicar un criterio o serie de reglas para justificar otra regla, creencia, argumento o
posición pero no aplicarlo para otros. Por ejemplo, algunos defensores del
consumidor dicen que necesitamos más regulación para las drogas de prescripción
para asegurar su seguridad y eficacia, pero al mismo tiempo argumentan que las
hierbas medicinales deberían ser vendidas sin regulación alguna para su seguridad y
efectividad.
La portería móvil
Un método que consiste en mover el criterio de prueba o aceptación fuera del alcance
de la evidencia existente.
Non sequitur
En latín este termino traduce a ‘no sigue’. Esto se refiere a un argumento en el que la
conclusión no sigue las premisas. Es decir, se sugiere que hay una conexión lógica
donde no la hay.
Esta falacia tiene el formato básico “A precede B, por lo tanto A implica B” y asume
causa y efecto para dos eventos solo porque están temporalmente relacionados. En
latín esto traduce a “después de esto, por lo tanto a causa de esto”.
Reductio ad absurdum
El hombre de paja
Discutir en contra de una posición que uno crea específicamente para que sea fácil
oponerse a, en vez de la posición que verdaderamente tienen sus oponentes.
Tautología
Una tautología es un argumento que utiliza razonamiento circular, lo que quiere decir
que la conclusión es su propia premisa. La estructura de estos argumentos es A=B,
169
por lo tanto A=B aunque la premisa y conclusión se formulan de una manera que
hace que no sea inmediatamente aparente que esto es así. Por ejemplo, decir que el
toque terapéutico funciona porque manipula la fuerza vital es una tautología porque
la definición de toque terapéutico es la supuesta manipulación (sin tocar) de la fuerza
vital.
Esta falacia ocurre cuando uno asume una premisa que no ha sido explícitamente
declarada. Por ejemplo, argumentar que toda la comida con colesterol debería tener
una indicación asume que 1. el colesterol en la comida causa alto nivel de colesterol
en la sangre, 2. marcar la comida va a reducir el consumo, 3. que tener un alto nivel
de colesterol es malo.
Deducción
Abducción
Inducción
170
para llegar a una conclusión general. El método inductivo es la base de la
investigación científica. La forma más común del método inductivo es la siguiente:
Si se conoce que P ( a ) , P ( b ) ,……., P ( n ) son verdaderas, entonces se puede
concluir que “ X , P ( X ) es también verdadero
Otro aspecto del razonamiento monotónico es que si más de una inferencia lógica
puede ser hecha a un tiempo específico y una de ellas se realiza, las inferencias que
quedan serán todavía aplicables después que dicha inferencia haya sido hecha.
CAPITULO 8
TEORIA INTERPRETATIVA
METODO SEMANTICO
171
8.1 Especificación de la Teoría
Para poder evaluar una formula predicada se debe definir en forma previa una serie de
elementos que nos permitan dicha evaluación.
Se basa en la relación entre las proposiciones componentes y las conectivas que las
relacionan, se da en base a las tablas de verdad.
Tabla Negación
Ejemplos :
172
Tabla Conjunción
Ejemplos :
Tabla Disyunción
Ejemplos :
Tabla Implicación
173
En el caso de la proposición resultante de la relación entre otras dos con el conectivo de
la implicación, tan solo esta es falsa cuando el antecedente es verdadero y el
consecuente falso, caso contrario la proposición resultante es siempre verdadera.
Ejemplos :
Tabla Bicondicional
Ejemplos :
174
Vemos que para ambos elementos del dominio de referencia la formula es verdadera,
por lo tanto esta es valida en ese dominio de referencia y con las cláusulas
especificadas.
Si: Carmen y Lucia son las únicas mujeres bonitas, y Maria se sabe que es fea.
En este caso existe un elemento del dominio de referencia que no satisface el enunciado
de la oración predicativa, por lo tanto la formula no es valida.
En este caso se ve que existen dos elementos del dominio de referencia, los cuales se
asignan a la variable que satisfacen la formula, por lo tanto esta será verdadera.
En este caso la formula será falsa, ya que ningún elemento del dominio de referencia,
satisface la formula.
Para poder interpretar una formula, se den tomar en cuenta tres elementos básicos del
cálculo de predicados, a saber: Dominio de Referencia, Términos y Predicados
175
- Dominio de Referencia
- Términos
Se debe asignar a los términos, los elementos del domino de referencia, de tal
modo que se puedan evaluar estos. Esta asignación se la efectúa de la siguiente
manera:
A cada letra de término constante se le asigna un elemento concreto del
dominio de referencia.
x[A(x) → D(x)]
176
- Interpretación de las letras de Predicado
Ejemplos:
Sabiendo que:
Maria y Carlos son primos entre si
Juan no es primo de nadie
Donde cada predicado es de una plaza y el dominio de referencia, esta constituido por
tres elementos, por lo tanto de acuerdo a la formula, tendremos que para cada predicado
existen tres acepciones de valores } V , F }
De acuerdo a la interpretación se construye la tabla de verdad
177
(-) P(-)
M V
C V
J F
En función de la formula
(x) xP(x)
M V
C V
J F
Vemos que la formula es satisfacible para dos elementos del dominio de referencia
Sea la formula: x ( Ñ ( x ) → F ( x ) ) “ Todos los niños juegan al fútbol “ D = {
Las personas } Evaluarla en el dominio D = { Lucia, Remberto, Gonzalo } Sabiendo
que:
Vemos que la formula es satisfacible, pero no es valida, ya que existe una acepción que
nos da valor falso.
178
1) Sea el enunciado “ Todos los enemigos de Sergio son amistosos “
Se pide:
Formalizar en el dominio D = } Las Personas }
Evaluarla en el dominio D = { Sergio, Luís, Gonzalo }, sabiendo que:
1. Luís y Gonzalo son amistosos, Sergio no lo es
2. Sergio es enemigo de Gonzalo y de si mismo
3. Gonzalo es enemigo tan solo de Sergio
4. Luís es enemigo de todos y de si mismo
1) Formalización
E ( - , - ) – es enemigo de –
A ( - ) – es amistoso
x[A(x) → E(x,s)]
2) Evaluación
El predicado E ( - , - ) es de dos plazas, y los elementos del dominio de
referencia para evaluar la formula es de tres, de acuerdo a la formula D n
→ { V , F } tendremos 9 → { V , F }
El predicado A ( - ) es de una plaza, tendremos 3 → { V , F }
Por lo que tendremos la siguiente interpretación en función de los enunciados para los
cuales debemos evaluar la formula.
- A(-) - - E(-,-)
S F S s V
L V s l F
G V s g V
l s V
l l V
l g V
g s V
g l F
g g F
Por lo tanto la formula será valida para el dominio especificado, ya que es satisfacible
para cada línea de la tabla de verdad.
179
2) Sea el enunciado: “ Todos los del barrio aman a una persona “
Se pide:
Formalizar en el dominio D = { Las personas }
Evaluarla en el domino D = { Carmen. Maria, Luisa }, sabiendo que:
1. Carmen y Luisa son las únicas que viven en el barrio
2. Carmen solo ama a Luisa
3. María ama a todos y a si misma
4. Luisa odia a María y a Carmen pero se ama a si misma
1) Formalización
A ( - , - ) – ama a –
B ( - ) – pertenece al barrio
x[B(x) → A(x,y)]
2) Evaluación
El predicado A ( - , - ) es de dos plazas, y los elementos del dominio de
referencia para evaluar la formula es de tres, de acuerdo a la formula D n
→ { V , F } tendremos 9 → { V , F }
El predicado B ( - ) es de una plaza, tendremos 3 → { V , F }
Por lo que tendremos la siguiente interpretación en función de los enunciados para los
cuales debemos evaluar la formula.
- B(-) - - A(-,-)
C V c c F
m F c m F
l V c l V
m c V
m m V
m l V
l c F
l m F
l l V
180
Por lo tanto, como para cada línea de la tabla de verdad la formula es satisfacible, por lo
tanto la formula es valida, para el dominio especificado, tomando en cuenta la
evaluación de las letras de termino en los predicados correspondientes.
3) Sea el enunciado: “ Existen algunos perros, que para todos los gatos, los gatos aman
a los perros “
Se pide:
Formalizar en el dominio D = { Los Animales }
Evaluarla en el dominio
D1 = { gato Félix, gato Gigo, gato Melón };
D2 = { perro Nerón, perro Cido, perro Poch }
Sabiendo que:
1) Formalización
G ( - ) – es gato A ( - , - ) – ama a –
P ( - ) – es perro
xG(x) → y[P(y) → A(x,y)]
2) Evaluación
El predicado A ( - , - ) es de dos plazas, y los elementos del dominio de
referencia para evaluar la formula es de tres, de acuerdo a la formula D n
→ { V , F } tendremos 9 → { V , F }
El predicado P ( - ), y G ( - ) son de una plaza, tendremos 3 → { V , F }
Por lo que tendremos la siguiente interpretación en función de los enunciados para los
cuales debemos evaluar la formula.
181
La evaluación de la formula en base a la construcción de las tablas, en las que se evalúa
la formula en base a las acepciones de los términos, que ocupan en los predicados será:
Sea el enunciado: “ Todos los constructores no son muy trabajadores, entonces algunos
fabricantes no son rápidos y se casaran “
Se pide:
Formalizar en el dominio D1 : { Los constructores} ; D2={ Los fabricantes }
Evaluarla en el D1 = { Mario, Lucas, Juan } D 2 = { Gonzalo, Roberto, Daniel },
sabiendo que:
1. Mario y Juan son los únicos constructores
2. Gonzalo y Daniel son los únicos fabricantes
3. Lucas y Juan son los únicos que no trabajan
4. Gonzalo y Daniel son rápidos
5. Tan solo Roberto y Daniel se casaran
1) Formalización
T ( - ) – es trabajador
R ( - ) – es rápido
C ( - ) – se casara
x~T(x) → y[~R(y) Λ C(y)]
2) Evaluación
Todos los predicados son de una plaza y la interpretación de los términos
en dicha plaza es de tres, por lo tanto tendremos para todos ellos 3 → {
V,F}
Por lo que tendremos la siguiente interpretación en función de los enunciados para los
cuales debemos evaluar la formula.
182
(-) T(-) (-) R(-) (-) C(-)
M F g V g F
L V r F r V
J V d V d V
Dados los siguientes ejercicios, evaluar las formulas en base a lo enunciado en cada
ejemplo.
183
c) “ Si los carpinteros no son buenos trabajadores, entonces sus patrones no son
buenos gerentes y quebraran “
184
CAPITULO 9
TEORIA DE LA DEMOSTRACIÓN
Como hemos visto en cálculo de proposiciones, un sistema formal esta constituido por
cuatro elementos básicos, los cuales permiten la construcción del mismo, y por ende su
aplicación sobre un sin numero de argumentos y formulas que pueden ser demostrados
por este.
S=(A,F,A,R)
9.2.1 Alfabeto
Conjunto de reglas y de principios mediante los cuales podemos cerificar que una
formula de cálculo de predicados, es en si una formula bien formada o bien construida.
185
1. Conjunto de Axiomas
Los cuales son formulas F.B.C, las cuales no requieren de demostración previa para
su uso, y que a su vez son modelos de formulas que nos permiten la demostración de
otras formulas del sistema llamados teoremas.
2. Reglas de Inferencia
Son reglas de paso que aplicadas sobre un conjunto de formulas validas nos
permiten la obtención de otras formulas validas del sistema, y que a su vez nos
permiten la demostración del conjunto de teoremas del sistema.
Una formula es un conjunto finito de formulas Fi, tal que el ultimo elemento de la
sucesión de formulas de las cuales esta constituida es la formula a demostrar, de manera
que dentro del concepto cada Fi es una formula valida. F1 , F2 , F3 ,,,,Fi…. Fn, tal que
cada Fi es:
Pi , P2 , P3 ,,,,,Pi,,,,,,,Pn Q
1. Una premisa
2. Una formula valida del sistema, ya sea axioma o teorema
3. Una formula deducida a partir de las anteriores por aplicación de una regla de
inferencia
4. El ultimo elemento de la sucesión de formulas es la formula o demostrar es decir
la conclusión Q.
186
En Cálculo de Predicados no se cumplen en todos los casos todas las propiedades
señaladas en Cálculo de Proposiciones para los sistemas formales, preferentemente la
decidibilidad.
Completud
Coherencia
Decidibilidad
Este sistema de demostración de formulas dentro del campo de predicados, esta basado
en el sistema L de Cálculo de Proposiciones, por lo tanto todos los teoremas del sistema
L, son teoremas validos del sistema formal de cálculo de predicados C.
C=(A,F,X,R)
9.6.1.1 A : Alfabeto
187
2. Símbolos de Predicados, representados por letras mayúsculas o combinación de
estas: A , B , AB, PQ……
Símbolos de Conectivas y de Agrupación → , ~ , ( ) [ ] { }
3. Símbolos de Cuantificación
9.6.1.3 X: Axiomas
A1: ├ A → ( B → A)
A2: ├ ( A → ( B → C )) → [ ( A → B ) → ( A → C ) ]
A3: ├( ~A→ ~ B) → ( B → A )
A4: ├ (A → B(t))→ (A → xB(x))
A5: ├ xB(x) → B(t)
├ A , ├ A → B
├ B Modus Ponens
A1: ├ A → ( B → A)
T.D A B → A
Dada una formula valida, cualquier otra es deducible si esta esa como consecuente de
una implicación
188
A 2 : ├ ( A → ( B → C )) → [ ( A → B ) → ( A → C ) ]
T.D A → ( B → C ), A → B , A C
A3:├( ~A→ ~ B) → ( B → A )
T.D ~A→ ~ B, B A
Dada una formula valida para un dominio de referencia, la misma es valida para un
elemento concreto de ese domino de referencia
9.6.1.6 Relacion entre las Deducciones Correctas y los Teoremas del Sistema
189
T 23 : ├ x[P(x) → Q(x)] → [ xP(x) → xQ(x)]
T 24 : ├ x[P(x) → A] → [ xP(x) → A]
T 25 : ├ x[A → P(x)] → [ A → xP(x)]
T 26 : ├ xP(x) → yP(y)
T 27 : ├ ~x~P(x) → ~y~P(y)
T1: ├ A → A
T2: ├ ( A → B)→ [( B → C) → ( A → C)]
T3: ├A → ((A → B) → B)
T4: ├ ~ ~A → A
T5: ├ A → ~~A
T6: ├ ( B → ~A) → ( A → ~ B)
T7: ├( ~A → B) → ( ~ B → A)
T 8 : ├ A → ( B → ~ ( A → ~ B ))
T9: ├A → ( ~ A → B)
T 10 : ├ ~ ( A → ~ B ) → A
T 11 : ├ A → ~ ( A → ~ A )
T 12 : ├ ( A → ~ A ) → ~ A
T 13 : ├ ( ~ A → A ) → A
T 14 : ├ ( A → C ) → [ ( B → C ) → ( ( ~ A → B ) → C ) ]
T 15 : ├ ( A → B ) → [ ( A → ~ B ) → ~ A ]
T 16 : ├ ( A → B ) → [ ( ~ A → B ) → B ]
T 17 : ├ ( A → B ) → [ ( A → ( B → C )) → ( A → C ) ]
Para demostrar los teoremas del sistema se deben tomar en cuenta las siguientes reglas
enunciadas para cálculo de proposiciones, las cuales son validas para cálculo de
predicados, mas unas anexas a estas, referidas puntualmente para predicados.
190
E) Dependiendo del tipo de formula que se debe demostrar, se deben construir
formulas, las cuales son Axiomas o teoremas ya demostrados, los cuales se
constituyen en Secundarios en el proceso de demostración del teorema.
F) En cada paso del proceso de demostración, se debe señalar que axioma, teorema
y regla de inferencia se aplica.
G) Se deben elegir los axiomas y teoremas a ser usados en el proceso de
demostración, de tal manera que contengan elementos o formulas fáciles de
obtener y demostrar en el proceso.
H) El proceso de demostración del teorema concluye cuando se obtiene dicha
formula final del axioma o teorema principal, al ser obtenido este por aplicación
de la regla de inferencia del Modus Ponens.
I) Se debe construir en base a los teoremas y axiomas una formula en la cual se
pueda aplicar la regla de inferencia de la generalización Universal Condicional. (
GUC )
J) No se puede aplicar un teorema en el proceso de demostración de otro, sin que
este haya sido en forma previa demostrado.
Teoremas
T 19 : ├ P ( t ) → ~ x ~ P ( x ) ( Generalización Existencial )
1) ├ x ~ P ( x ) → ~ P ( t ) A5
2) ├ [ x ~ P ( x ) → ~ P( t ) ] → [ P ( t ) → ~ x ~ P ( x ) ] T.C.P
3) P ( t ) → ~ x ~ P ( x ) M.P ( 2 , 1 )
T 20 : ├ x P ( x ) → ~ x ~ P ( x ) ( Descenso Cuantificacional )
1) ├ x P ( x ) → P ( t ) A5
2) ├ P ( t ) → ~ x ~ P ( x ) T 19
3) ├ ( x P(x) → P(t)) → [(P(t) → ~ x ~ P(x)) → (xP(x) → ~ x ~ P(x))] T2
4) (P ( t ) → ~ x ~ P ( x )) → ( x P ( x ) → ~ x ~ P ( x )) M.P ( 3 , 1 )
5) x P ( x ) → ~ x ~ P ( x ) M.P ( 4 , 2 )
191
En la demostración de este teorema el primer paso es aplicar el axioma cinco de manera
que la formula sea valida para un elemento concreto, se sigue en el proceso de
demostración para poder relacionar las formulas, la aplicación del teorema del
silogismo, el cual permite la relación entre una formula y otra tercera mediante el paso
de una segunda, y por ende la aplicación va por la construcción de elementos de M.P los
cuales nos permiten demostrar la formula en cuestión.
Al realizar la equivalencia entre las formulas tendremos el siguiente esquema:
T 21 : ├ x ~ P ( x ) → ~ ~ x ~ P ( x )
1) ├ x ~ P ( x ) → ~ ~ x ~ P ( x ) T5
La cual queda automáticamente demostrada por aplicación del teorema cinco, el cual es
la introducción de la doble negación.
Realizando la equivalencia entre cuantificadores tendremos:
x~P(x) ~xP(x)
Por lo que se puede implicar lo siguiente: Si una formula P ( x ) es falsa para todos los
elementos del dominio de referencia, entonces podemos inferir que no existe un sub
conjunto de ese dominio de referencia que verifique dicha formula,
T 22 : ├ ~ x P ( x ) → ~ x ~ ~ P ( x ) ( Interdefinición de Cuantificadores )
1) ├ ~ P ( t ) → ~ x P ( x ) ~ ~ P ( x ) T 19
2) ├ ( ~ P (t) → ~ x P (x) ~ ~ P (x)) → ( ~ ~ x ~ ~ P(x) → P (t)) T.C.P
3) ~ ~ x ~ ~ P( x ) → P ( t ) M.P ( 2 , 1 )
4) ~ ~ x ~ ~ P( x ) → x P ( x ) GUC ( 3 )
5) ├ ( ~ ~ x ~ ~ P(x) → x P(x)) → ( ~ x P(x) → ~ x ~ ~ P(x)) T.C.P
6) ~ x P ( x ) → ~ x ~ ~ P ( x ) M.P ( 5 , 4 )
192
T 23 : ├ x [ P ( x ) → Q ( x ) ] → x P ( x ) → x Q ( x ) (Distributiva del
Cuantificador)
T.D x [ P ( x ) → Q ( x ) ] x P ( x ) → x Q ( x )
1) x [ P ( x ) → Q ( x ) ] P
2) ├ x [ P ( x ) → Q ( x ) ] → (P(t) → Q(t)) A5
3) P ( t ) → Q ( t ) M.P ( 2 , 1 )
4) ├ x P ( x ) → P ( t ) A5
5) ├( x P(x) → P (t)) → [ (P(t) → Q(t)) → (x P (x) → Q (t))] T2
6) ( P ( t ) → Q ( t ) ) → ( x P ( x ) → Q ( t ) ) M.P ( 5 , 1 )
7) x P ( x ) → Q ( t ) M.P ( 6 , 3 )
8) x P ( x ) → x Q ( x ) GUC ( 7 )
En este teorema se ve que podemos distribuir el cuantificador para cada uno de los
predicados, de tal manera que sigue siendo valida la formula para el mismo dominio en
la cual esta especificada.
T 24 : ├ x [ P ( x ) → A ] → [ x P ( x ) → A ]
T.D x [ P ( x ) → Q ( x ) ] x P ( x ) → x Q ( x )
1) x [ P ( x ) → A ] P
2) ├ x [ P ( x ) → A ] → (P(t) → A) A5
3) P ( t ) → A M.P ( 2 , 1 )
4) ├ x P ( x ) → P ( t ) A5
5) ├( x P(x) → P (t)) → [ (P(t) → A) → (x P (x) → A)] T2
6) ( P ( t ) → A ) → ( x P ( x ) → A ) M.P ( 5 , 1 )
7) x P ( x ) → A M.P ( 6 , 3 )
T 25 : ├ x [ A → P ( x ) ] → [ A → x P ( x ) ]
T.D x [ A → P ( x ) ] A → x P ( x )
1) x [ A → P ( x ) ] P
2) ├ x [ A → P ( x ) ] → ( A → P ( t ) ) A5
3) A → P ( t ) M.P ( 2 , 1 )
4) A → x P ( x ) GUC ( 3 )
193
T 26 : ├ x P ( x ) → y P ( y ) ( Modificación de la Variable Cuantificada )
T.D x P ( x ) y P ( y )
1) x P ( x ) P
2) ├ x P ( x ) → P ( t ) A5
3) P ( t ) M.P ( 2 , 1 )
4) ├ P ( t ) → ( A → P ( t ) ) A1
5) A → P ( t ) M.P ( 4 , 3 )
6) ├ P ( t ) → ( ~ A → P ( t ) ) A1
7) ~ A → P ( t ) M.P ( 6 , 3 )
8) ├ A → x P ( x ) GUC ( 5 )
9) ├ ~ A → x P ( x ) GUC ( 7 )
10) (A→ x P(x))→ [(~A→ x P(x)) → ((~ A→ ~ A)→ yP(y))] T 14
11) ( ~ A→ x P ( x ) ) → ( ( ~ A → ~ A ) → y P( y )) M.P ( 10 , 8 )
12) ( ~ A → ~ A )→ y P ( y ) M.P ( 11 , 9 )
13) ├ ~ A → ~ A T1
14) y P ( y ) M.P ( 12 , 13 )
Si una formula es válida en un determinado dominio sin especificar este por medio de
una determinada variable, lo será también si cambiamos la variable que representa dicho
dominio.
T 27 : ├ ~ x ~ P ( x ) → ~ y ~ P ( y )
T.D ~ x ~ P ( x ) ~ y ~ P ( y )
1) ~ x ~ P ( x ) P
2) ├ y ~ P ( y ) → x ~ P ( x ) T 26
3) ├ ~ ~ y ~ P ( y ) → y ~ P ( y ) T4
4) (~ ~ y ~ P ( y ) → y ~ P ( y )) → [( y ~ P ( y ) → x ~ P ( x ))
→ (~ ~ y ~ P ( y ) → ( x ) ~ P ( x ))] T2
5)( y ~ P( y ) → x ~ P ( x )) → (~ ~ y ~ P ( y ) → ( x ) ~ P (x )) M.P ( 4 , 3 )
6) ( ~ ~ y ~ P ( y ) → ( x ) ~ P ( x ) ) M.P ( 5 , 2 )
7) ├ x ~ P ( x ) → ~ ~ x ~ P ( x ) T5
8) ├ ( ~ ~ y ~ P ( y ) → x ~ P ( x )) → [( x ~ P ( x) → ~ ~ x ~ P ( x ))
→ (~ ~ y ~ P ( y ) → ~ ~ ( x ) ~ P ( x ))] T2
9) ( x ~ P(x) → ~ ~ x ~ P(x))→ ( ~ ~ y ~ P(y) → ~ ~ (x) ~ P(x))M.P ( 8 , 6 )
10) ~ ~ y ~ P ( y ) → ~ ~ ( x ) ~ P ( x ) M.P ( 9 , 7 9
11)├ ( ~ ~ y ~ P(y)→ ~ ~ (x) ~ P(x)) → (~ x ~ P(x)→ ~ y ~ P(y)) A 3
12) ~ x ~ P ( x ) → ~ y ~ P ( y ) M.P ( 11 , 10 )
194
~x~P(x) → ~y~P(y) xP(x) → yP(y)
1) ├~~x~P(x) → x~P(x)
2) ├ ~x~~P(x) → ~xP(x)
3) ├yP(y) → xP(x)
4) ├~y~P(y) → ~x~P(x)
5) ├ xA(x) → x A(x)
6) ├x ~ ~A(x) →x A(x)
7) ├ (xB(x) →x~A(x)) → (xA(x) →x~ B(x))
8) ├ x A ( x ) → ( x B ( x ) → ~ ( x A ( x ) → x ~ B ( x )))
9) ├xA(x)→ (x~ A(x) →xB(x))
Este sistema de demostración de formulas dentro del campo de predicados, esta basado
en el sistema K de Cálculo de Proposiciones, por lo tanto todos los teoremas del sistema
K, son teoremas validos del sistema formal de cálculo de predicados K.
K=(A,F,X,R)
9.8.1.1 A: Alfabeto
195
9.8.1.2 Reglas de Sintaxis F
9.8.1.3 X: Axiomas
A1: ├ A → (B → A)
A 2 : ├ ( A → B ) → [ (( A → ( B → C ) ) → ( A → C ) ]
A3: ├ A → ( B → A Λ B)
A4: ├ A Λ B → A ├ A Λ B → B
A5: ├ A → A ν B ├ B → A ν B
A6: ├ ( A → C) → [ ( B → C) → ( A ν B) → C]
A7: ├ ( A → B) → [ (A → ~ B) → ~ A]
A8: ├ ~ ~ A → A
A 10 : ├ A ( t ) → x A ( x )
Interpretación de Axiomas
A1: ├ A → (B → A)
Aplicando el teorema de la Deducción
A B → A
196
De una formula valida siempre es posible obtener o deducir otra cualquiera que lleve
esta como consecuente de una implicación.
A 2 : ├ ( A → B ) → [ (( A → ( B → C ) ) → ( A → C ) ]
A → B,A → (B → C),A C
A3: ├ A → ( B → A Λ B)
A,B A Λ B
Dadas dos formulas validas, siempre es posible obtener la conjunción entre ambas como
formula valida
A4: ├ A Λ B → A ├ A Λ B → B
A Λ B A
Si la conjunción entre dos formulas es una formula valida, entonces cada formula
componente lo mes
A5: ├ A → A ν B ├ B → A ν B
Basta demostrar que cualquiera de las formulas componentes de una disyunción es
valida, para que la disfunción entre estas sea valida
A6: ├ ( A → C) → [ ( B → C) → ( A ν B) → C]
A → C,B → C,A ν B C
Dadas dos implicaciones con el mismo consecuente, tal que este es la formula a
demostrar, y teniendo la disyunción entre los antecedentes de las implicaciones, siempre
es posible demostrar como formula valida el consecuente de ambas implicaciones
197
A7: ├ ( A → B) → [ (A → ~ B) → ~ A]
A → B, A → ~ B ~A
A8: ├ ~ ~ A → A
Negar dos veces, es lo mismo que afirmar, por lo tanto la formula es valida
Si una formula es valida para todo un dominio de referencia, también es valida para un
elemento concreto de ese dominio de referencia
A 10 : ├ A ( t ) → x A ( x )
Si una formula es valida para un elemento concreto de un dominio, será valida también
para un sub conjunto, aunque este compuesto por un único elemento, el elemento valido
al cual se refiere el antecedente.
Una regla de inferencia es una regla de paso, cuya aplicación sobre un conjunto de
formulas nos permite obtener otra formula valida del sistema.
├ B
├ xA(x)
198
Generalización Existencial ( GE ) ├ A(y)
├ xA(x)
├ A(y)
├ B
├ xA(x)
1) ├ A ( y ) F.V
2) ├ A ( y ) → ( C → A ( y ) ) A1
3) C → A ( y ) M.P ( 2 , 1 )
4) ├ C → x A ( x ) GUC ( 3 )
5) ├ A ( y ) → ( ~ C → A ( y ) ) A1
6) ~ C → A ( y ) M.P ( 5 , 1 )
7) ├ ~ C → x A ( x ) GUC ( 6 )
8) ├ (C → x A(x))→ [(~ C → x A(x))→ (C ν ~ C → xA(x))] A 6
9) ( ~ C → x A ( x ) )→ ( C ν ~ C → x A ( x ) ) M.P ( 8 , 4 )
10) C ν ~ C → x A ( x ) M.P ( 9 , 7 )
11) C ν ~ C Tercio Excluso
12) x A ( x ) M.P ( 10 , 11 )
├ xA(x)
1) ├ A ( y ) F.V
2) ├ A ( y ) → x A ( x ) A 10
3) ├ x A ( x ) M.P ( 2 , 1 )
199
3) Especificación Universal ( EU ) ├ xA(x)
├ A(y)
1) ├ x A ( x ) F.V
2) ├ x A ( x ) → A ( y ) A9
3) ├ A ( y ) M.P ( 2 , 1 )
├ B
1) ├ x A ( x ) F.V
2) ├ A ( y ) → B F.V
3) ├ x A ( x ) → B GEC ( 2 )
4) ├ B M.P ( 3 , 1 )
1) x A ( x )
2) ├ x A ( x ) → A ( t )
3) A ( t )
( t ) = es un termino cualquiera
1) x ( A ( x ) → B ( x ) ) P
2) A ( a ) P
3) A ( a ) → B ( a ) EU ( )
4) B ( a ) M.P ( 3 , 2 )
2) n + 1 A(y)
3) -------
4) ------
5) ------
6) P B
7) P + 1 B
200
Esta demostración se basa y puede justificarse por el teorema de la deducción y la regla
de EE, del mismo modo en la aplicación en el paso P + 1 del teorema de la deducción
para cancelar el supuesto A ( y ), por tanto, de acuerdo con el T.D, la variable “ y “ no
debe haber sido objeto de aplicación de ninguna regla de generalización, dentro de la
deducción subsidiaria, originada en A ( y ), para llegar a la formula “ B “
Debe por lo tanto, generarse una nueva variable cada vez que se realiza una EE.
Las cuatro reglas complementarias, permiten plantear un método de cálculo secuencial
deductivo, aplicable a deducciones con premisas cuantificadas de las que debe deducirse
conclusiones cuantificadas, y se debe observar lo siguiente:
T 24 : ├ x P ( x ) → y P ( y )
T 25 : ├ x P ( x ) → y P ( y )
T 26 : ├ x P ( x ) → x P ( x )
T 27 : ├ x y P ( x , y ) → y x P ( x , y )
T 28 : ├ x y P ( x , y ) → y x P ( x , y )
T 29 : ├ x y P ( x , y ) → y x P ( x , y )
T 30 : ├ ~ x P ( x ) → x ~ P ( x )
T 31 : ├ ~ x P ( x ) → x ~ P ( x )
T 32 : ├ x P ( x ) Λ x Q ( x ) → x [ P ( x ) Λ Q ( x ) ]
T 33 : ├ A Λ x P ( x ) → x [ A Λ P ( x ) ]
T 34 : ├ x [ P ( x ) Λ Q ( x ) ] → x P ( x ) Λ x Q ( x )
T 35 : ├ x [ A Λ P ( x ) ] → A Λ x P ( x )
T 36 : ├ x P ( x ) ν x Q ( x ) → x [ P ( x ) ν Q ( x ) ]
201
T 37 : ├ x [ A ν P ( x ) ] → A ν x P ( x )
T 38 : ├ x [ P ( x ) ν Q ( x ) ] → x P ( x ) ν x Q ( x )
T 39 : ├ x [ A ν P ( x ) ] → A ν x P ( x )
T 40 : ├ x [ P ( x ) → Q ( x ) ] → x P ( x ) → x Q ( x )
T 41 : ├ x [ P ( x ) → A ] → x P ( x ) → A
T 42 : ├ x [ A → P ( x ) ] → A → x P ( x )
T 43 : ├ x [ P ( x ) → A ] → x P ( x ) → A
T1 ├(A → A)
T3 ├A →[(A → B) → B]
T5 ├(A → B) → ( ~B → ~A)
T7 ├(A → B) → ~A ν B
T8 ├~(A Λ B) → ~A ν ~B
T9 ├~(A ν B) → ~A Λ ~ B
T 10 ├ A Λ B → B Λ A
T 11 ├ A Λ ( B Λ C) → (A Λ B) Λ C
T 12 ├ A Λ ( B ν C) → (A Λ B) ν (A Λ C)
T 13 ├ A Λ A → A
202
T 14 ├ A Λ (A ν B) → A
T 15 ├ A ν B → B ν A
T 16 ├ A ν( B ν C) → (A ν B) ν C
T 17 ├ A ν (B Λ C) → (A ν B) Λ ( A ν C)
T 18 ├ A ν A → A
T 19 ├ A ν ( A Λ B) → A
T 20 ├ ( A → ( B → C )) → (( A Λ B ) → C )
T 21 ├ ( A Λ B → C ) → ( A → ( B → C ))
T 22 ├ ( A ↔ B) → [(B → A) → ( A → B)]
T 23 ├ ( A ↔ B) → ( A → B)
T 24 ├ ( A ↔ B) → (B → A)
T 25 ├ A ↔ A
T 26 ├ ( A ↔ B) → [(B ↔ C) → (A ↔ C)]
T 27 ├ ( A ↔ B) → ( B ↔ A)
A) Teoremas Generales
Para poder generalizar una formula existencialmente, en forma previa se debe levantar
el cuantificador que cuantifica a esta, luego recién se podrá generalizar universalmente
ese predicado, del mismo modo se ve que en forma previa se puede aplicar el T.D, de tal
manera de demostrar el ultimo elemento de la sucesión de formulas, y al demostrar este
se demuestra todo el teorema.
203
T 25 : ├ x P ( x ) → y P ( y ) Modificación de Variable Cuantificada
1) x P ( x ) P
2) P ( y ) EE ( 1 )
3) y P ( y ) GE ( 2 )
T 26 : ├ x P ( x ) → x P ( x ) Descenso Cuantificacional
1) x P ( x ) P
2) P ( y ) EU ( 1 )
3) x P ( x ) GE ( 2 )
Si se tiene una formula cuantificada universalmente siempre es posible que esta pueda
ser cuantificada existencialmente, ya que si la formula es valida para un dominio, será
valida para un sub conjunto de ese dominio.
T 27 : ├ x y P ( x , y ) → y x P ( x , y ) Propiedad Conmutativa
1) xyP(x,y) P
2) y(Px1,y) EU ( 1 )
3) P(x1,y1) EU ( 2 )
4) xP(x,y1) GU ( 3 )
5) yxP(x,y) GU ( 4 )
T 28 : ├ x y P ( x , y ) → y x P ( x , y ) Propiedad Conmutativa
T.D x y P ( x , y ) y x P ( x , y )
1) x y P ( x , y ) P
2) y P ( x 1 , y ) EE ( 1 )
3) P ( x 1 , y 1 ) EE ( 2 )
4) x P ( x , y 1 ) GE ( 3 )
5) y x P ( x , y ) GE ( 4 )
204
Del mismo modo que en el caso anterior se ve que para una formula cuantificad
existencialmente, también es valida la propiedad conmutativa, tomando en cuenta que
se debe levantar el cuantificador de afuera hacia adentro, es decir de la formula
cuantificada externamente hacia la formula que cuantifica mas interiormente.
T 29 : ├ x y P ( x , y ) → y x P ( x , y ) Propiedad Conmutativa
T.D x y P ( x , y ) y x P ( x , y )
1) x y P ( x , y ) P
2) y ( P x 1 , y ) EE ( 1 )
3) P ( x 1 , y 1 ) EU ( 2 )
4) x P ( x , y 1 ) GE ( 3 )
5) y x P ( x , y ) GU ( 4 )
B) Teoremas de Negación
T 30 : ├ ~ x P ( x ) → x ~ P ( x ) Intercambio de Cuantificadores
T.D ~ x P ( x ) x ~ P ( x )
1) ~ xP(x) P
2) ├ ~P(y) → x~P(x) A 10
3) ├ ( ~ P ( y ) → x P ( x )) → ( ~ x ~ P ( x ) → P ( y )) T.C.P
4) ~x~P(x) →P(y) M.P ( 3 , 2 )
5) ~x~P(x) →xP(x) GUC ( 4 )
6) ├ (~ x ~ P(x)→ x P(x)) → (~ x P(x) → x ~ P(x)) T.C.P
7) ~ x P ( x ) → x ~ P ( x ) M.P ( 6 , 5 )
8) x ~ P(x) M.P ( 7 , 1 )
En este caso para construir la formula que se debe demostrar es necesario recurrir al
axioma 10 de tal manera que el ultimo elemento sea la formula a demostrar, en el paso 5
se ve que la formula anterior presenta el esquema clásico para poder aplicar la regla
GUC, y siempre se puede levantar la negación de una formula mediante el uso del
Teorema de contraposición, herramienta muy útil en los procesos de demostración.
T 31 : ├ ~ x P ( x ) → x ~ P ( x ) Intercambio de Cuantificadores
1) ├ P(y) → xP(x) A 10
2) ├ ( P ( y ) → x P ( x ) ) → ( ~ x P ( x ) → ~ P ( y )) T.C.P
3) ~xP(x) → ~P(y) M.P 8 2 , 1 )
4) ~xP(x) → x~P(x) GUC ( 3 )
205
Este es otro caso de negación de una formula, la cual nos permite hallar la formula
equivalente cuantificada mediante otro cuantificador, del mismo modo se ve que puede
afectar a la parte predicada de la formula.
C) teoremas de Conjunción
T 32 : ├ x P ( x ) Λ x Q ( x ) → x [ P ( x ) Λ Q ( x ) ]
1) ├ xP(x) → P(y) A9
2) ├ xQ(x) → Q(y) A9
3) ├ P ( y ) → ( Q ( y ) → P ( y ) Λ Q ( y )) A3
4) ├xP(x) →( Q(y) → P(y) Λ Q(y)) Sil ( 1 , 3 )
5) ├ Q ( y ) → ( x P ( x ) → P ( y ) Λ Q ( y )) Mut ( 4 )
6) ├ x Q ( x ) → ( x P ( x ) → P ( y ) Λ Q ( y )) Sil ( 2 , 5 )
7) ├xP(x) →(xQ(x) → P(y) ΛQ(y)) Mut( 6 )
8) ├xP(x) Λ xQ(x) → P(y) Λ Q(y) Impor ( 7 )
9) ├xP(x) Λ xQ(x) → x[P(x) Λ Q(x)] GUC ( 8 )
T 33 : ├ A Λ x P ( x ) → x [ A Λ P ( x ) ]
1) ├ A Λ x P ( x ) → A A4
2) ├ A Λ x P ( x ) → x P ( x ) A4
3) ├ x P ( x ) → P ( y ) A9
4) ├ A Λ x P ( x ) → P ( y ) Sil ( 2 , 3 )
5) ├ P ( y ) → ( A → A Λ P ( y )) A3
6) ├ A Λ x P ( x ) → ( A → A Λ P ( y ) ) Sil ( 4 , 5 )
7) ├ A → ( A Λ J x P ( x ) → A Λ P ( y )) Mut ( 6 )
8) ├ A Λ x P ( x ) → ( A Λ x P ( x ) → A Λ P ( y )) Sil ( 1 , 7 )
9) ├ A Λ x P ( x ) Λ A Λ x P ( x ) → A Λ P ( y ) Imp ( 8 )
10)├ A Λ x P ( x ) → A Λ P ( y ) Idem ( 9 )
11)├ A Λ x P ( x ) → x ( A Λ P ( x )) GUC ( 10 )
T 34 : ├ x [ P ( x ) Λ Q ( x ) ] → x P ( x ) Λ x Q ( x )
1) ├ P(y) → xP(x) A 10
2) ├Q(y) → xQ(x) A 10
3) ├P(y) Λ Q(y) → P(y) A4
4) ├P(y) Λ Q(y) → Q(y) A4
5) ├ x P ( x ) → ( x Q ( x ) → x P ( x ) Λ x Q ( x )) A3
6) ├ P(y) Λ Q(y) →xP(x) Sil ( 3 , 1 )
7) ├P(y) ΛQ(y) → xQ(x) Sil ( 4 , 2 )
206
8) ├ P (y) Λ Q (y) → ( x Q (x) → x P (x) Λ x Q(x)) Sil ( 6 , 5 )
9) ├ x Q (x) → ( P(y) Λ Q (y) → x P(x) Λ x Q(x)) Mut ( 8 )
10)├ P ( y) Λ Q (y) → ( P (y) Λ Q (y) → x P (x) Λx Q(x)) Sil ( 7 , 9 )
11)├ P ( y) Λ Q (y) Λ ( P (y) Λ Q (y) → x P (x) Λx Q(x)) Impor ( 10)
12)├ P ( y) Λ Q (y) → x P (x) Λx Q(x)) Idemp ( 11)
13)├ x [ P ( x ) Λ Q ( x ) ] → x P ( x ) Λ x Q ( x ) GEC ( 12 )
T 35 : ├ x [ A Λ P ( x ) ] → A Λ x P ( x )
1) ├ P ( y ) → x P ( x ) A 10
2) ├ A Λ P ( y ) → P ( y ) A4
3) ├ A Λ P ( y ) → x P ( x ) Sil ( 2 , 1 )
4) ├ A Λ P ( y ) → A A4
5) ├ x P ( x ) → ( A → A Λ x P ( x )) A3
6) ├ A Λ P ( y ) → ( A → A Λ x P ( x ) ) Sil ( 3 , 5 )
7) ├ A → ( A Λ P ( y ) → A Λ x P ( x )) Mut ( 6 )
8) ├ A Λ P ( y ) → ( A Λ P ( y ) → A Λ x P ( x )) Sil ( 4 , 7 )
9) ├ A Λ P ( y ) Λ A Λ P ( y ) → A Λ x P ( x ) Impor ( 8 )
10)├ A Λ P ( y ) → A Λ x P ( x ) Idemp ( 9 )
11)├ x [ A Λ P ( x ) ] → A Λ x P ( x ) GEC ( 10 )
En los dos casos anteriores, como se trata de una formula cuantificad existencialmente,
es necesario emplear el axioma 10, así como el axioma 3 y cuatro de manera de hacer
uso de la conjunción entre formulas, otra herramienta útil es el teorema de importación
que nos permite intercambiar el conectivo de la conjunción por el de implicación
D) teoremas de Disyunción
T 36 : ├ x P ( x ) ν x Q ( x ) → x [ P ( x ) ν Q ( x ) ]
1) ├ xP(x) → P(y) A9
2) ├ xQ(x) → Q(y) A9
3) ├P(y) → P(y) ν Q(y) A5
4) ├Q(y) → P(y) ν Q(y) A5
5) ├ xP(x) → P(y) ν Q(y) Sil ( 1 , 3 )
6) ├ xQ(x) → P(y) ν Q(y) Sil ( 2 , 4 )
7) ├ xP(x) → x[P(y) ν Q(y)]] GUC ( 5 )
8) ├ xQ(x) → x[P(y) ν Q(y)] GUC ( 6 )
9) ├ ( x P ( x ) → x [ P( y) ν Q(y )) → [( x Q ( x ) → x [ P ( y ) ν Q ( y )])
→ x P ( x ) ν x Q ( x ) ) → x [ P ( y ) ν Q ( y )] ] A6
10) ( x Q ( x ) → x[P(y) ν Q(y )])→ x P(x) ν x Q (x ))→ x[P(y) ν Q y )]
M. P ( 9 , 7 )
11) x P ( x ) ν x Q ( x ) ) → x [ P ( y ) ν Q ( y )] M.P ( 10 , 8 )
207
T 37 : ├ x [ A ν P ( x ) ] → A ν x P ( x )
T 38 : ├ x [ P ( x ) ν Q ( x ) ] → x P ( x ) ν x Q ( x )
1) ├ P ( y ) → x P ( x ) A 10
2) ├ Q ( y ) → x Q ( x ) A 10
3) ├ x P ( x ) → x P ( x ) ν x Q ( x ) A5
4) ├ x Q ( x ) → x P ( x ) ν x Q ( x ) A5
5) ├ P ( y ) → x P ( x ) ν x Q ( x ) Sil ( 1 , 3 )
6) ├ Q ( y ) → x P ( x ) ν x Q ( x ) Sil ( 2 , 4 )
7) ├ (P ( y ) → x P ( x ) ν x Q ( x )) → [(Q ( y ) → x P ( x ) ν x Q ( x ))
→ ( P ( y ) ν Q ( y ) ) → x P ( x ) ν x Q ( x )] A6
8) (Q(y)→ x P(x) ν x Q(x))→ ( P(y) ν Q (y)) → x P(x) ν xQ(x) M.P ( 7 , 5 )
9) ( P ( y ) ν Q ( y ) ) → x P ( x ) ν x Q ( x ) M.P ( 8 , 6 )
10) ├ x [ P ( x ) ν Q ( x ) ) → x P ( x ) ν x Q ( x ) GEC ( 9 )
T 39 : ├ x [ A ν P ( x ) ] → A ν x P ( x )
1) ├ P ( y ) → x P ( x ) A 10
2) ├ x P ( x ) → A ν x P ( x ) A5
3) ├ P ( y ) → A ν x P ( x ) Sil ( 1 , 2 )
4) ├ A → A ν x P ( x ) A5
5) ├ (A→ A ν x P(x))→ [(P(y)→ A ν x P(x))→ (A ν P(y)→ A ν xP(x))] A 6
6) (P( y )→ A ν x P ( x )) → (A ν P( y )→ A ν x P ( x )) M.P ( 5 , 4)
7) A ν P ( y ) → A ν x P ( x ) M.P ( 6 , 3 )
8) ├ x [ A ν P ( x ) ] → A ν x P ( x ) GEC ( 7 )
En los casos anteriores dada la naturaleza de la formula a demostrar se hace uso del
axioma 6, el cual nos permite la relación entre dos formulas mediante el conectivo de la
disyunción.
E) Teoremas de Implicación
208
T 40 : ├ x [ P ( x ) → Q ( x ) ] → x P ( x ) → x Q ( x )
1) x [ P ( x ) → Q ( x ) ] P
2) x P ( x ) P
3) P ( y ) → Q ( y ) EU ( 1 )
4) P ( y ) EU ( 2 )
5) Q ( y ) M.P ( 3 , 4 )
6) x Q ( x ) GU ( 5 )
T 41 : ├ x [ P ( x ) → A ] → x P ( x ) → A
1) x [ P ( x ) → A ] P
2) x P ( x ) P
3) P ( y ) → A EU ( 1 )
4) P ( y ) EU ( 2 )
5) A M.p ( 3 , 4 )
T 42 : ├ x [ A → P ( x ) ] → A → x P ( x )
1) x [ A → P ( x ) ] P
2) A P
3) A → P ( y ) EU ( 1 )
4) P ( y ) M.P ( 3 , 2 )
5) x P ( x ) GU ( 4 )
T 43 : ├ x [ P ( x ) → A ] → x P ( x ) → A
1) x [ P ( x ) → A ] P
2) P ( y ) → A EU ( 1 )
4) x P ( x ) → A GEC ( 2 )
209
9.9 Ejercicios Propuestos
1.- ├ y P ( y ) → x P ( x )
2.- ├ x P ( y ) → x P ( x )
3.- ├ y x P ( x , y ) → x y P ( x , y )
4.- ├ y x P ( x , y ) → x y P ( x , y )
5.- ├ x ~ P ( x ) → ~ x P ( x )
6.- ├ x ~ P ( x ) → ~ x P ( x )
7.- ├ ~ x ~ P ( x ) → x P ( x )
8.- ├ x P ( x ) → ~ x ~ P ( x )
9.- ├ ~ x ~ P ( x ) → x P ( x )
10.-├ x ( P ( x ) Λ Q ( x ) ) → x P ( x ) Λ x Q ( x )
11.-├ x ( A Λ P ( x ) ) → A Λ x P ( x )
12.-├ A Λ x P ( x ) → x ( A Λ P ( x ))
13.-├ A ν x P ( x ) → x ( A ν P ( x ))
14.-├ x P ( x ) ν x Q ( x ) → x ( P ( x ) ν Q ( x ))
15.-├ A ν x P ( x ) → x ( A ν P ( x ))
16.-├ ( A → x P ( x )) → x ( A → P ( x ))
17.-├ x ~ ( P ( x ) → A ) → ( x P ( x ) → A )
18.-├ ~ x ( P ( x ) → A ) → ~ ( x P ( x ) → A )
19.-├ [ x P ( x ) Λ x Q ( x )] → x ( P ( x ) Λ Q ( x ))
20.-├ [ A Λ x P ( x ) ] → x ( A Λ P ( x ))
21.-├ x ( P ( x ) Λ Q ( x ) ) → x P ( x ) Λ x Q ( x )
22.-├ x P ( x ) ν x Q ( x ) → x ( P ( x ) ν Q ( x ))
23.-├ x ( P ( x ) → Q ( x )) → x P ( x ) → x Q ( x )
24.-├ x ( P ( x ) → A ) → x P ( x ) → A
25.-├ x ( P ( x ) ↔ Q ( x )) → ( x P ( x ) ↔ x Q ( x ))
a)
- Solo los tontos alimentan a los osos salvajes
- Cristina alimenta a Nicolás, pero no es tonta
Por lo tanto Nicolás no es un oso salvaje
b)
- Solo las buenas persona ayudan a los pobres
- Ninguna buena persona es aficionada a la fotografía
- Antonio ayuda a Juan
- Antonio es aficionado a la fotografía
Por lo tanto Juan es pobre
210
c)
- Todos los perros pueden matar a cualquier gato
- Juan no puede matar a Adolfo
- Adolfo es un gato
Por lo tanto, Juan no es un perro
d)
- Todos los que ayudan a Juan viven en casa de manolo
- Antonio ayuda a todos los que trabajan con el
- Juan trabaja con todos los amigos de Carlos
- Antonio es amigo de Carlos
Por lo tanto, Antonio vive en casa de manolo
e)
- Lanzarote ama a la reina Ginebra
- Lanzarote no ama a ninguno de sus amigos
- el rey Arturo es amigo de Lanzarote
- los amigos de Lanzarote odian a aquellos a quienes Lanzarote ama
Por lo tanto Arturo odia a Ginebra
f)
- Todos los animales que no cocean son flemáticos
- Los asnos no tienen cuernos
- Un búfalo puede siempre lanzarlo a uno contra una puerta
- Ningún animal que cocea es fácil de engullir
- Ningún animal sin cuernos puede a uno lanzarlo contra una puerta
- Todos los animales son no flemáticos excepto los búfalos
Por lo tanto, los asnos no son fáciles de engullir
g)
- Todos los colibríes tienen vivos colores
- Ningún pájaro de gran tamaño se alimenta de miel
- Los pájaros que no se alimentan de miel tienen colores apagados
Por lo tanto, ningún colibrí es grande
h)
- todos los enfermos de sida tienen anulado el sistema inmunológico
- Ningún enfermo que no este muy grave padece enfermedad infecciosa
- Pedro padece el sarcoma de kaposi
- Ningún enfermo esta muy grave a menos que padezca el sida
- nadie. sino un enfermo infeccioso, puede tener el sarcoma de kaposi
Por lo tanto Pedro tiene anulado el sistema inmunológico
211
i)
- Todos los miembros de la cámara baja tienen perfecto dominio de si
mismos
- Ningún parlamentarios que use corona de nobleza participara en una
carrera de burros
- todos los miembros del senado usan corona de nobleza
Por lo tanto, ningún parlamentario participara en una carrera de burros a menos que
tenga un perfecto dominio de si mismo
j)
- Ningún tiburón duda nunca de su buena preparación
- Un pez que no sea capaz de bailar un minuto es despreciable
- Ningún pez esta seguro de su buena preparación si no tiene tres filas de
dientes
- Todos los peces excepto los tiburones son amables con los niños
- Ningún pez obeso puede bailar un minuto
- Un pez con tres filas de dientes no es despreciable
Por lo tanto, todos los peces obesos son amables con los niños
k)
- Todo el que quiere a Lourdes escogerá a Javier para su partido
- Javier no es amigo de nadie que sea amigo de marcos
- Cristina no escogerá a nadie que no sea amigo de patricia para su partido
Por lo tanto, si patricia es amiga de marcos, entonces cristina no quiere a Lourdes
212
CAPITULO X
DEDUCCION NATURAL
De tal manera que una vez demostrada la formula Fn, decimos que esta es consecuencia
lógica del conjunto de premisas.
Especificación Universal ( E. U )
├ xA(x)
├ A(t)
Especificación Existencial ( E . E )
├ xA(x) ├ A(y) → B
├ B
Generalización Universal ( G . U )
├A(y)
├ xA(x)
213
Generalización Existencial ( G. E )
├A(t)
├ xA(x)
Esta regla puede aplicarse siempre a cualquier término, dado que si una formula es
valida para todo un dominio de referencia, será por lo tanto valida para un elemento
concreto que pertenezca al dominio de referencia citado.
1) x[A(x) → B(x)] P
2) A(a) P
3) A(a) → B(a) E. U ( 1 )
4) B(a) MP(3,2)
xA(x) A(y)
1) x A ( x ) P
2) A ( y ) P.A
3) .
4) . Deducción Subsidiaria
5) .
N) B
214
3.- Generalización Universal ( G. U )
Si una formula es valida para un elemento del dominio de referencia, también será
valida si dicha formula se cuantifica de tal manera que el dominio de referencia
contenga a dicho elemento o este sea el único elemento de ese dominio de referencia.
1) A(a) P
2) A(x) → B(t) P
3) xA(x) G.E ( 1 )
4) B(t) MP ( 2 , 3 )
Como se indico las reglas básicas por Deducción Natural de Cálculo de Proposiciones,
así como las reglas derivadas, son reglas que también forman parte del conjunto de
Reglas por Deducción Natural de Cálculo de Predicados, por lo que se hace una
referencia de estas en este capitulo.
A
B R.I Λ
A Λ B
A Λ B ; A Λ B R.E Λ
A B
A ; B R.I ν
A ν B A ν B
A C,B C R.E ν
A ν B C
A B,A ~B R.I ~
~A
~~ A R.E ~
A
215
A B R.I →
A → B
A → B R.E →
A
B
Este conjunto de reglas son aplicables en el campo del cálculo de predicados por
Deducción natural, la demostración de las mismas se la realizado en el tomo de cálculo
de proposiciones.
A → B Silogismo
B → C
A → C
A → ( B → C) Mutación de Premisas
B → (A → C)
A Identidad
A
A Introducción de Antecedente
A → B
A Λ B Conmutativa Conjunción
B Λ A
(A Λ B) Λ C Asociativa Conjunción
A Λ ( B Λ C)
A Λ ( B ν C) Distributiva Λ ν
(A Λ B) ν (A Λ C)
A Λ A Idempotencia
A
A Λ ( A ν B) Absorción
216
A ν B Conmutativa Disyunción
B ν A
(A ν B) ν C Asociativa ν
A ν ( B ν C)
A ν (B ΛC) Distributiva ν Λ
(A ν B) Λ (A ν C)
A ν A Idempotencia ν
A
A ν ( A Λ B) Absorción ν
A
A → B Modus Tollens
~ B
~ A
A → B Contraposición
~B → ~A
A Introducción ~ ~
~~A
A Λ ~A ECQ
A ν B Tollendo Ponens
~ B
A → ( B → C) Importación
A Λ B → C
A Λ B → C Exportación
A → ( B → C)
217
~ A ν B Interdefinción ν →
A → B
~( A Λ ~ B) Interdefinición Λ →
A → B
~( A Λ B) De Morgan Λ ν
~ A ν ~ B
~ ( A ν B) De Morgan ν Λ
~ A Λ ~ B
A ν B DDS
A → C
B → C
A ν B DDC
A → C
B → D
C ν D
xA(x)
yA(y)
1) x A ( x ) P
2) P ( t ) E.U ( 1 )
3) y A ( y ) G.U ( 2 )
218
2.- Cambio de Variable Cuantificada
xA(x)
yA(y)
1) x A ( x ) P
2) A ( x 1 ) P.A
3) y A ( y ) G.E ( 2 )
4) A ( x 1 ) → y A ( y ) Cancelación
5) y A ( y ) E.E ( 1 , 4 )
xA(x)
xA(x)
1) x A ( x ) P
2) A ( t ) E.U ( 1 )
3) x A ( x ) G.E ( 2 )
219
4.- Conmutatividad
xyA(x,y)
yxA(x,y)
1) x y A ( x , y ) P
2) y A ( x 1 , y ) E.U ( 1 )
3) A ( x 1 , y 1 ) E.U ( 2 )
4) x A ( x , y 1 ) G.U ( 3 )
5) y x A ( x , y ) G.U ( 4 )
5.- Conmutatividad
xyA(x,y)
yxA(x,y)
1) x y A ( x , y ) P
2) y A ( x 1 , y ) P.A
3) A ( x 1 , y 1 ) P.A
4) x A ( x , y 1 ) G.E ( 3 )
5) y x A ( x , y ) G.E ( 4 )
6) A ( x 1 , y 1 ) → y x A ( x , y ) Cancelación
7) y x A ( x , y ) E.E ( 2 , 6 )
Al tratarse de una formula que cuantifica a dos variables distintas, se debe partir de
sendas premisas auxiliares, iniciar las secuencias deductivas pertinentes, cancelar las
mismas, e introducir la formula en la secuencia deductiva principal por especificación
existencial.
x A ( x ) Λ x B ( x )
x[A(x) Λ B(x)]
1) x A ( x ) Λ x B ( x ) P
2) x A ( x ) R.E Λ ( 1 )
3) x B ( x ) R.E Λ ( 1 )
220
4) A ( y ) E.U ( 2 )
5) B ( y ) E. U ( 3 )
6) A ( y ) Λ B ( y ) R.I Λ ( 4 , 5 )
7) x [ A ( x ) Λ B ( x ) ] G.U ( 6)
x[A(x) Λ B(x)]
xA(x) Λ xB(x)
1) x [ A ( x ) Λ B ( x ) ] P
8) A ( y ) Λ B ( y ) → x A ( x ) Λ x B ( x ) Cancelación
9) x A ( x ) Λ x B ( x ) E.E ( 1 , 8 )
x [ A Λ B ( x ) ]
A Λ x B(x)
1) x [ A Λ B ( x ) ] P
2) A Λ B ( y ) E. U ( 1 )
3) A R.E Λ ( 2 )
4) B ( y ) R.E Λ ( 2 )
5) x B ( x ) G.U ( 4 )
6) A Λ x B ( x ) R.I Λ ( 3 , 5 )
221
9.- Conjunción entre formulas predicadas Existencialmente
x[A Λ B(x)]
A Λ xB(x)
1) x [ A Λ B ( x ) ] P
2) A Λ B(y) P.A
3) A R.E Λ ( 2 )
4) B(y) R.E Λ ( 2 )
5) xB(x) G.E ( 4 )
6) A Λ xB(x) R.I Λ 3 , 5 )
7) A Λ B ( y ) → A Λ x B ( x ) Cancelación
8) A Λ x B ( x ) E.E ( 1 , 7 )
xA(x) ν xB(x)
x[A(x) ν B(x)]
1) x A ( x ) ν x B ( x ) P
2)xA(x) P.A
3) A ( y ) E.U ( 2 )
4) A ( y ) ν B ( y ) R.I ν ( 3 )
5) xB(x) P.A
6) B(y) E.U ( 5 )
7) A(y) ν B(y) R.I ν ( 6 )
222
11.- Disyunción entre formulas cuantificadas existencialmente
x[A(x) ν B(x)]
xA(x) ν xB(x)
1) x[A(x) ν B(x)] P
3) A(y) P.A
4)xA(x) G.E ( 3 )
5) xA(x) ν xB(x) R.I ν ( 4 )
6 ) B( y ) P.A
7) xB(x) G.E ( 6 )
8) xA(x) ν xB(x) R.I ν ( 7 )
10 ) A ( y ) ν B ( y ) → x A ( x ) ν x B ( x ) Cancelación
11 ) x A ( x ) ν x B ( x ) E.E ( 1 , 10 )
A ν xB(x)
x[A ν B(x)]
1) A ν xB(x) P
2) A P.A
3) A ν B ( y ) R.I ν ( 2 )
4) x B ( x ) P.A
5) B ( y ) E.U 8( 4 )
6) A ν B ( y ) R.I ν ( 5 )
223
13.- Disyunción entre formulas cuantificadas existencialmente
A ν xB(x)
x[A ν B(x)]
1) A ν x B ( x ) P
2) A P.A
3) A ν B ( y ) R.I ν ( 2 )
4) x [ A ν B ( x ) ] G.E(3)
5) x B ( x ) P.A
6) B ( y ) P.A
7) A ν B ( y ) R.I ν ( 6 )
8) x [ A ν B ( x ) ] G.E ( 7 )
9) B ( y ) → x [ A ν B ( x ) ] cancelación
10) x [ A ν B ( x ) ] E.E ( 5 , 9 )
x[A(x) → B(x)]
xA(x) → xB(x)
1) x [ A ( x ) → B ( x ) ] P
2) x A ( x ) P.A
3) A ( y ) → B ( y ) E.U ( 1 )
4) A(y) E.U ( 2 )
5) B ( y ) M.P 8 3 , 4 )
6) x B ( x ) G.U ( 5 )
7) x A ( x ) → x B ( x ) R.I → ( 2-6)
x[B(x) → A]
xB(x) → A
224
1) x [ B ( x ) → A ] P
2) x B ( x ) P.A
3) B ( y ) → A E.U ( 1 )
4) B ( y ) E.U ( 2 )
5) A M.P ( 3 , 4 )
6) x B ( x ) → A R.I → ( 2-5)
x[A → B(x)]
A → xB(x)
1) x [ A → B ( x ) ] P
2) A P.A
3) A → B(y) E.U ( 1 )
4) B(y) M.P ( 3 , 2 )
5) xB(x) G.U ( 4 )
6) A → x B ( x ) R.I → (2-5)
a)
- Solo los tontos alimentan a los osos salvajes
- Cristina alimenta a Nicolás, pero no es tonta
Por lo tanto Nicolás no es un oso salvaje
b)
- Solo las buenas persona ayudan a los pobres
- Ninguna buena persona es aficionada a la fotografía
- Antonio ayuda a Juan
- Antonio es aficionado a la fotografía
Por lo tanto Juan es pobre
c)
- Todos los perros pueden matar a cualquier gato
- Juan no puede matar a Adolfo
- Adolfo es un gato
Por lo tanto, Juan no es un perro
225
d)
- Todos los que ayudan a Juan viven en casa de manolo
- Antonio ayuda a todos los que trabajan con el
- Juan trabaja con todos los amigos de Carlos
- Antonio es amigo de Carlos
Por lo tanto, Antonio vive en casa de manolo
e)
- Lanzarote ama a la reina Ginebra
- Lanzarote no ama a ninguno de sus amigos
- el rey Arturo es amigo de Lanzarote
- los amigos de Lanzarote odian a aquellos a quienes Lanzarote ama
Por lo tanto Arturo odia a Ginebra
f)
- Todos los animales que no cocean son flemáticos
- Los asnos no tienen cuernos
- Un búfalo puede siempre lanzarlo a uno contra una puerta
- Ningún animal que cocea es fácil de engullir
- Ningún animal sin cuernos puede a uno lanzarlo contra una puerta
- Todos los animales son no flemáticos excepto los búfalos
Por lo tanto, los asnos no son fáciles de engullir
g)
- Todos los colibríes tienen vivos colores
- Ningún pájaro de gran tamaño se alimenta de miel
- Los pájaros que no se alimentan de miel tienen colores apagados
Por lo tanto, ningún colibrí es grande
h)
- todos los enfermos de sida tienen anulado el sistema inmunológico
- Ningún enfermo que no este muy grave padece enfermedad infecciosa
- Pedro padece el sarcoma de kaposi
- Ningún enfermo esta muy grave a menos que padezca el sida
- nadie. sino un enfermo infeccioso, puede tener el sarcoma de kaposi
Por lo tanto Pedro tiene anulado el sistema inmunológico
i)
- Todos los miembros de la cámara baja tienen perfecto dominio de si
mismos
- Ningún parlamentarios que use corona de nobleza participara en una
carrera de burros
- todos los miembros del senado usan corona de nobleza
Por lo tanto, ningún parlamentario participara en una carrera de burros a menos que
tenga un perfecto dominio de si mismo
226
j)
- Ningún tiburón duda nunca de su buena preparación
- Un pez que no sea capaz de bailar un minuto es despreciable
- Ningún pez esta seguro de su buena preparación si no tiene tres filas de
dientes
- Todos los peces excepto los tiburones son amables con los niños
- Ningún pez obeso puede bailar un minuto
- Un pez con tres filas de dientes no es despreciable
Por lo tanto, todos los peces obesos son amables con los niños
k)
- Todo el que quiere a Lourdes escogerá a Javier para su partido
- Javier no es amigo de nadie que sea amigo de marcos
- Cristina no escogerá a nadie que no sea amigo de patricia para su partido
Por lo tanto, si patricia es amiga de marcos, entonces cristina no quiere a Lourdes
1)
1. P ( a , b ) → ∃ y S ( y )
2. P( a , b )
∃yS(y)∨Q(b)
2)
1. P( a ) ∨ Q ( a ) → S ( a , b )
2. P ( a ) ∧ Q ( a )
∃zS(a,z)
3)
1. S ( a ) → ∀ x P( x )
2. ∀ x P ( x ) → R ( c )
3. S ( a )
∃xR(x) ∨Q(b)
4)
1. Q ( a )
∃x(P(x) → Q(x)
5)
1. ∀ x ( P ( x ) → ( Q ( x ) ∨ R ( x ))
2. ~ Q ( b )
3. ~ R ( b )
~∀xP(x)
227
6)
1. ∀ x ( P ( x ) → Q ( x , a )
2. ~ Q ( c , a )
~P ( c ) ∨ ∃ y R ( y )
7)
1. ∀ y ( P ( y ) →~ Q ( y ) )
2. ∀ x ( R ( x ) → P ( x )
3. ∀ y Q ( y )
~∀xR(x)
8)
1. ∃ x P ( x )
2. ∀ x ( P ( x ) → Q ( x ) )
∃yQ(y)
9)
1. ∀ x ( P ( x ) ∧ Q ( x , a )
∀ x ( P ( x ) ∨ S ( x , b)
10)
1. ∃ x ( P ( x ) ∧ Q ( x ) )
∃xP(x) ∨∀ yQ(y)
11)
1. ∀ x P ( x ) ∨ ∀ x Q ( x )
∀x(P(x) ∨Q(x))
12)
1. ∃ x ( P ( x ) ∨ R ( x ))
∃xP(x)∨∃xR(x)
13)
1. ∃ x P ( x ) → ( Q ( a ) ∨ R ( a ))
2. ~ Q ( a )
3. ∃ x P ( x )
R(a)
228
14)
1. ∀ y ( Q ( y ) → R ( y ) )
2. ∃ x ( P ( x ) ∧ Q ( x ))
~ ∀ x ( P ( x ) →~ R ( x ))
15)
1. ∀ x ( P ( x ) → ( Q ( x ) ∨ R ( x ) )
2. ∀ x ( Q ( x ) → R ( x ))
3. ∀ x ( R ( x ) →~ S ( x ))
∀ x ( P ( x ) →~ S ( x ))
16)
1. ∃ x ( Q ( x ) ∧ S ( x ) )
2. ∀ x ( ( P ( x ) ∧ Q ( x ) → R ( x ))
∃ x ( P ( x ) → R ( x ))
17)
1. P ( a ) → R ( b )
( ( Q ( a , b ) → R ( b )) → ( ( P ( a ) ∨ Q ( a , b ) → R ( b ))
18)
1. ∀ x ( P ( x ) → Q ( x ))
∃ x ~ ( P ( x ) ∧ ~ Q ( x ))
19)
1. ∃ x P ( x )
∃yP(y)
20)
1. P ( a )
P ( a ) ∨ ( ∃ y Q ( a , y))
21) 1. ∀ x ( P ( x ) → Q ( x ))
∃xP(x) → ∃xQ(x)
229
CAPITULO XI
Se va a demostrar que si una formula es valida en una teoría también debe ser valida en
otra teoría, ya que partiendo del principio de equivalencia entre teorías una fórmula
cualquiera debe ser posible de demostración en cualquier teoría. Para lo cual
demostraremos la equivalencia entre teoría interpretativa y teoría de la demostración.
Tomaremos los axiomas del sistema C de cálculo de Predicados y los evaluáremos de
acuerdo a la teoría interpretativa, es decir bajo el concepto semántico de validez de una
formula, y en forma reciproca tomaremos una formula semántica valida y la
evaluaremos bajo la teoría de la demostración.
Para esta demostración se toman los axiomas del sistema C de cálculo de predicados,
los cuales deben ser demostrados como semánticamente validos para que exista
coherencia entre los sistemas.
Axiomas
A1: ├ A → ( B → A)
A2: ├ ( A → ( B → C )) → [ ( A → B ) → ( A → C ) ]
A3: ├( ~A→ ~ B) → ( B → A )
A4: ├ (A → B(t))→ (A → xB(x))
A5: ├ xB(x) → B(t)
Reglas de Inferencia
├ A , ├ A → B
├ B Modus Ponens
230
├ A → B(y) Generalización Universal Condicional ( GUC )
├A → xB(x)
A) AXIOMAS TAUTOLOGIAS
A1: ├ A → (B → A)
A B A → B → A
V V V V
V F V V
F V V F
F F V V
Al ver la columna correspondiente a la salida de este axioma, se observa que para cada
línea el valor de salida es verdadero, por lo tanto se trata de una tautología.
231
A 2 : ├ ( A → ( B → C ) → [ (( A → B ) ) → ( A → C ) ]
A B C A → B → C → A → B → A → C
V V V V V V V V V
V V F F F V V F F
V F V V V V F V V
V F F V V V F V F
F V V V V V V V V
F V F V F V V V V
F F V V V V V V V
F F F V V V V V V
En el caso de este axioma del mismo modo se observa que cada línea de salida es un
modelo interpretativo de la formula, es decir la formula es tautológica.
A3: ├( ~A→ ~ B) → ( B → A )
A B ~A ~B ~A → ~B → B → A
V V F F V V V
V F F V V V V
F V V F F V F
F F V V V V V
Como se puede observar las salidas para cada una de las líneas de la tabla de verdad de
la evaluación semántica del axioma son modelo interpretativos de la formula, por lo
tanto se trata de una tautología, con lo que queda demostrada la coherencia entre
formulas.
232
Por otra parte una interpretación que no satisficiera a la formula seria aquella en la cual
se asignase valor Verdadero a la formula ( A → B ( t ) ) , valor Falso a la formula
A → xB(x).
Para que esto ocurra es esta interpretación ha de tener “A“ valor verdadero y x B ( x ),
valor falso, lo que indica que existe un elemento cualquiera del dominio de referencia
que falsea la formula B ( - ), asignando este elemento cualquiera a “ t “, observamos
que el antecedente del axioma se convierte en falso, y por lo tanto el consecuente
x B ( x ) seria falso, haciendo de este modo la formula valida, por lo que se demuestra
que no existe ningún elemento del dominio de referencia asignado a las letras de
termino que falsee este axioma.
B xB(x) → B(t)
V V
F V
Reglas de Inferencia
├ A→[(A → B) → B]
A B A → A → B → B
V V V V V
V F V F V
F V V V F
F F V V F
Como se puede observar, también la regla de inferencia del modus ponens es una
tautología, ya que todas las salidas en el conectivo principal son modelos interpretativos
de la formula.
233
2.- Generalización Universal Condicional
├ A → B(y)
├A → xB(x)
(A → B(y)) → (A → xB(x))
A B A → B(y) → A → xB(
x)
V V V V V
V F F V F
F V V V V
F F V V V
Bajo el análisis que se ha expuesto de los dos anteriores axiomas, procedemos de igual
manera para la demostración de esta regla de inferencia.
Tenemos que demostrar que siempre que la formula A → B ( y ) es semánticamente
valida, también será semánticamente valida la formula A → x B ( x ). Es decir que si
no existe una interpretación que falsee el antecedente, por lo tanto tampoco existirá una
interpretación que falsee el consecuente, por lo tanto esta regla de inferencia es valida
semánticamente.
Al demostrar que los axiomas y las reglas de inferencia son semánticamente validas,
demostramos implícitamente que los teoremas también son formulas semánticamente
validas, ya que los teoremas derivan de los axiomas por aplicación de una regla de
inferencia, y al ser estas formulas semánticamente validas, las formulas que se deriven
de estas también son semánticamente validas.
234
A) Eliminación de los conectivos “ → “ , “ ↔ “, por aplicación de las reglas de
intercambio, las cuales son validas dentro de la interdefinición de conectivas
├ ( A → B) ~ A ν B
├ ( A ↔ B) (~A ν B) Λ ( ~ B ν A)
├ ~ ( A Λ B) ~ A ν ~ B
├ ~ ( A ν B) ~ A Λ ~ B
├ ~ xA(x) x ~ A(x)
├ ~ xA(x) x ~ A(x)
├ x A(x) y A(y)
├ x A(x) y A(y)
Ejemplos de transformación
235
1.- Obtención de su FNP
x ~ [~A(x) ν yB(y)]
x [ A(x) Λ ~ yB(y)]
A.- Desarrollo de x
[ ( A ( a ) Λ ~ B ( a )) Λ ( A ( a ) Λ ~ B ( b )) ] ν [ ( A ( a ) Λ ~ B ( b )) Λ ( A ( b ) Λ ~ B ( b )) ]
236
Ahora se pueden extraer los dos cuantificadores
A.- Desarrollo de y
B.- Desarrollo de w
[z(~A(1,1)νB(2,z)Λz(~A(2,1)νB(2,z)] ν
[z(~A(1,2) νB(2,z)Λz(~A(2,2)νB(2,z)]
C.- Desarrollo de z
Y dado que los axiomas preposicionales y la regla del MP están definidos en el sistema
formal de cálculo de predicados, podemos indicar que la formula A * también es
demostrable en el sistema formal predicativo, es decir es una formula formalmente
valida de Cálculo de Predicados, por lo tanto la formula A es demostrable en cualquiera
de los sistemas formales de la Teoría de la demostración.
237
CAPITULO XII
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
12.1.1 Orden
Es la posición que ocupa una cifra en un número dado, y en sistema decimal, cada orden
representara en forma consecutiva: Las unidades, Las decenas, Las Centenas y así
sucesivamente.
N – 1 cifras significativas
1 cifra no significativa
De tal manera que en el sistema de base 10, tenemos:
l al 9 + 0
En el sistema de base cinco, tendremos:
1 al 4 + 0
Para un sistema de numeración mayor al decimal tomamos como símbolos de cifras las
letras mayúsculas, a partir de la A, de tal modo que tendremos:
SIMBOLO = VALOR
A = 10
B = 11
C = 12
D = 12
… … …..
La menor base en la que se puede escribir o representar un número será la base dos, y la
mayor base indefinida, tomando en cuenta que necesariamente en cualquier base, debe
existir como cifra el cero.
238
Así: 4852146 ( 9 )
12.1.3 Cifra
Una cifra es un símbolo que denota una cantidad, así el cuatro, representa cuatro
unidades en cualquier sistema de numeración.
Es el valor intrínseco que tiene la cifra en un numero dado sin importar la posición en la
que se encuentre, así por ejemplo, en el numero: 584234947584 ( Todos las cifras
cuatro representan el mismo valor )
El valor de una cifra en este caso depende de la posición en la que se encuentre esta en
el número dado, es así que en el número: 5865045, el valor de la cifra cinco varia en
función de la posición que esta tiene en el número, de tal manera que el cinco vale, 5
unidades, 5000 unidades, 5.000.000 millones de unidades.
Todo número de m cifras en una base dada n, puede descomponerse como una suma de
los productos de la cifra correspondiente multiplicado por la base, elevada esta a un
potencia, que representa el orden menos uno de dicha cifra en el número dado.
Tomando en cuenta que todas las cifras de dicho número deben ser menores que la base
dada.
N = abdje…yz ( n )
N = a.n m – 1 + b.n m – 2 + d.n m – 3 + j.n m – 4 + e.n m – 5 + …. + y.n 1
+ x.n 0
239
N = 5.6 4 + 4.6 3 + 2.6 2 + 3.6 1 + 1.6 0
N = 0.abjio…… ( n )
N = a.n – 1 + b.n – 2 + j.n – 3 + i.n –4
+ o.n – 5 + …. +
Al igual que todo lenguaje, entre uno y otro existen equivalencias de modo que todos se
puedan entender en estas diferentes lenguas, es así que en los sistemas de numeración
existen procedimientos mediante los cuales es posible hallar la equivalencia entre los
distintos números descritos estos en bases diferentes.
Sea N = 35812 ( 9 ) → #
240
Sea N = 58792 → # ( 12 )
58792 12
(4) 4899 12
(3) 408 12
(0) 34 12
(A) 2
# ( 12 ) = 2A034
N = 0.35642 ( 7 ) → 0.#
N = 0.549889
Para transformar un número No Entero dado en base diez a cualquier base n, se supone
que el número en base n, tiene un numero de cifras iguales al dado no entero en base 10,
este numero supuesto se iguala a la expresión polinómica de números no enteros del
numero dado. Se aplica el concepto de igualdad de ecuaciones y se multiplica ambos
miembros por un denominador común que viene a ser la base del número dado. Cada
coeficiente entero que se obtenga de esta operación será igual a una cifra del numero en
base n pedido.
241
Sea N = 0.4587 → 0.# ( 5 )
–1 –2
7 . ( 0.4587 ) = ( a.7 + b.7 + c.7 – 3 + d.7 –4
).7
–1
3,2109 = a. + b.7 + c.7 – 2 + d.7 –3
a=3
–1
7 . ( 0.2109 ) = ( b.7 + c.7 – 2 + d.7 –3
).7
b=1
c=3
–1
7 . ( 0,3341 ) = ( d.7 ).7
2,3387 = d
d=2
Dadas ambas base n , m distintas de diez, primero se transforma la base diez y luego a la
base m pedida.
Reglas Generales
Entre las reglas que se indica para efectuar estas operaciones básicas podemos señalar
las siguientes:
- En toda operación todos los elementos como ser de la adición, los
sumandos deben estar en la misma base.
242
- En las operaciones se debe tomar en cuenta que un número de unidades
de un orden cualquiera igual a la base, representa una unidad del orden
inmediatamente superior.
- En cualquier base, se debe tomar en cuenta que la cifra significativa
mayor de esa base, es siempre una unidad menor que la base.
Los elementos distinguibles de esta operación son: Los Sumandos, El Resultado o Suma
y el Signo u Operador de la Operación.
5869425
+ 458721
8971251
45789
784152
16.129.338
B) Adición en Base n
246523 ( 7 )
364553 ( 7 )
366544412 ( 7 )
552233616 ( 7 )
24542123 ( 7 )
1310621163 ( 7 )
Del mismo modo que se ha procedido en base diez, se efectúa la operación en este caso
en base siete, tomemos como ejemplo la operación de la suma de las cifras de la primera
columna: 3 + 3 + 2 + 6 + 3 = 17 En diez y siete, esta contenida dos veces la base, por lo
que se anota tres como resultado y se lleva dos unidades al orden siguiente.
A) En Base Diez
54879214536
- 987438777
53891775759
243
En esta operación como ejemplo indicamos la primera columna, se ve que la cifra 7 del
sustraendo es mayor que la del minuendo, por lo que tomamos una unidad del siguiente
orden que equivale a 10 unidades del primer orden, de tal modo que 10+6 = 16 y 7 al
16 será igual a 9, y el 3 de la segunda columna correspondiente al sustraendo se
convierte en 2.
B) En Base n
57264375 ( 8 )
- 35755325 ( 8 )
21307050 ( 8 )
Del mismo modo en este caso de la operación en base 8, podemos ver que en la cuarta
columna la cifra del sustraendo es mayor que la del minuendo, por lo tanto tomamos
una unidad del siguiente orden, que en este caso equivale a 8 unidades del anterior
orden, de este modo tendremos 4 + 8 = 12 y del 5 al 12 hay 7 que se anota en el
resultado, la cifra 6 de la quinta columna se convierte en 5.
5896428
X 54876
35378568
+ 41274996
47171424
23585712
29482140
323571362928
B) Operación en Base n
463 ( 8 )
X 52 ( 8 )
1146
2777
31136 ( 8 )
244
12.4.4 División
5487935 / 36578
Tabla Nemotécnica
36578 X 1 = 36578
36578 X 2 = 73156
36578 X 3 = 109734
36578 X 4 = 146312
36578 X 5 = 182890
36578 X 6 = 219468
36578 X 7 = 256046
36578 X 8 = 292624
36578 X 9 = 392202
5487935 36578
- 36578
- 183013 150
182890
0001235
B) Operación en Base n
23012231 ( 4 ) / 1302 ( 4 )
Tabla Nemotécnica
1302 X 1 = 1302
1302 X 2 = 3210
1302 X 3 = 11112
245
23012231 ( 4 ) 1302 ( 4 )
- 1302
3332 12032 ( 4 )
- 3210
12223
- 11112
11111
- 3210
( 1301 ) ( 4 )
a) 582547------------------------------# ( 5 )
b) 2598637-----------------------------# ( 2 )
c) 358794-------------------------------# ( 8 )
d) 6895478-----------------------------# ( 16 )
e) 8759547-----------------------------# ( 9 )
a) 3224132 ( 5 )--------------------------------#
b) 6542134 ( 7 )--------------------------------#
c) 7842546 ( 9 )--------------------------------#
d) ABC8947 ( 16 )-----------------------------#
e) AB54238 ( 12 )------------------------------#
a) 7854236 ( 6 )------------------------------------# ( 13 )
b) 1010111001 ( 2 )--------------------------------# ( 4 )
c) 5234253 ( 8 )-------------------------------------# ( 11 )
d) ABD45897 ( 16 )---------------------------------# ( 7 )
e) 32312032 ( 4 )-------------------------------------# ( 8 )
a) 0.32235641 -----------------------------------# ( 5 )
b) 25.3698794------------------------------------ # ( 8 )
c) 365.1258745 --------------------------------- # ( 16 )
d) 589.2158741----------------------------------# ( 2 )
e) 98.125847-------------------------------------- # ( 9 )
a) 23423.210032 ( 5 )--------------------------------------#
b) 63524.56204 ( 8 )----------------------------------------#
246
c) CD95.356489 (16)---------------------------------------#
d) 1001.0011001 ( 2 )---------------------------------------#
e) 3652.562143 ( 7 )-----------------------------------------#
e) Dado el número abc ( 12 ) Determinar el valor de las cifras, sabiendo que la cifra
de las centenas es una unidad menor que la cifra de las decenas y que la cifra de
las unidades es una unidad mayor que las decenas y que la suma de las cifras en
base 5 es 21202 ( 5 )
247
CAPITULO XIII
ALGEBRA BOOLEANA
El Algebra Booleana es una ciencia que trata de los símbolos y de sus combinaciones, y
que se utiliza para representar operaciones matemáticas de acuerdo con las reglas de la
lógica.
Dentro del empleo de acepciones para representar los enunciados o sistemas de trabajo
en el campo del Algebra booleana, existen tan solo dos expresiones:
Es así que para una comprensión mejor, damos algunos ejemplos en los cuales cada
expresión tan solo puede asumir un único valor y solo este.
Cierto 1 falso 0
Alto 1 bajo 0
248
Gordo 1 flaco 0
Seguro 1 inseguro 0
Licito 1 ilícito 0
Cerrado 1 abierto 0
Mas 1 menos 0
Blanco 1 negro 0
Aprobado 1 reprobado 0
Tal como se puede observar de acuerdo a una convención anterior asignamos valores
{ 0 } , { 1 } a los enunciados, de manera que solo asumen ese único valor. De manera
que a una expresión se le puede asignar { 1 } { 0 }, es decir un 1 o un 0 pero no ambos
valores a la vez.
El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde
distintos puntos de vista matemáticos:
Como retículo
El álgebra de Boole es un retículo (A, , +), donde el conjunto A esta formado por dos
elementos A={0, 1}, como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes
principales son estas:
1. Ley de Idempotencia
2. Ley de Asociatividad
3. Ley de Conmutatividad
4. Ley Cancelativa
Como anillo
249
Grupo abeliano respecto a (+)
2. Es asociativa:
5. Conmutativa:
7. Es asociativa:
10. Conmutativa
250
Distributivo
Como resultado podemos decir que el Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de
anillo conmutativo y con elemento neutro respecto a las dos operaciones (+) y ( ).
1. Ley de idempotencia
2. Ley de involución
3. Ley conmutativa
4. Ley asociativa
5. Ley distributiva
251
6. Ley de cancelación
7. Leyes de De Morgan
Modos de representación
Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que podemos
destacar las siguientes:
Algebraica
Por tabla de verdad
Numérica
Gráfica
El uso de una u otra, como veremos, dependerá de las necesidades concretas en cada
caso.
Algebraica
252
de productos de sumas (product-of-sums, POS, en inglés), la c); su característica
principal es la aparición de cada una de las variables (A, B y C) en cada uno de los
sumandos o productos. Las d) y e) son funciones simplificadas, esto es, reducidas a su
mínima expresión. Las dos últimas expresiones tienen la particularidad de que
exclusivamente utiliza funciones NO-Y, la f), o funciones NO-O, la g).
Una tabla de verdad contiene todos los valores posibles de una función lógica
dependiendo del valor de sus variables. El número de combinaciones posibles para una
función de n variables vendrá dado por 2n. Una función lógica puede representarse
algebraicamente de distintas formas como acabamos de ver, pero sólo tiene una tabla de
verdad. La siguiente tabla corresponde a la función lógica del punto anterior.
ABCF
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
La forma más cómoda para ver la equivalencia entre una tabla de verdad y una
expresión algebraica es cuando esta última se da en su forma canónica. Así, la función
canónica de suma de productos (o forma canónica disyuntiva)
Nos indica que será 1 cuando lo sea uno de sus sumandos, lo que significa que tendrá
por lo tanto cuatro combinaciones que lo serán (010 para A’BC’, 100 para AB’C’, 101
para AB’C y 110 para ABC’) siendo el resto de combinaciones 0. Con la función
canónica de producto de sumas (o forma canónica conjuntiva) se puede razonar de
forma análoga, pero en este caso observando que la función será 0 cuando lo sea uno de
sus productos.
253
También es fácil obtener la tabla de verdad a partir de la función simplificada, pero no
así a la inversa.
Numérica
F = Σ3(2, 4, 5, 6) = Π3(0, 1, 3, 7)
F = [Σn(i)]' = Πn(2n-1-i )
A modo de ejemplo se puede utilizar esta igualdad para obtener el producto de sumas a
partir de la suma de productos del ejemplo anterior:
Gráfica
254
Representación gráfica de dos funciones lógicas
Métodos de simplificación
A continuación se indican los modos más usuales de simplificar una función lógica.
Algebraico
Para la simplificación por este método no sólo bastará con conocer todas las
propiedades y teoremas del álgebra de Boole, además se debe desarrollar una cierta
habilidad lógico-matemática que se adquiere fundamentalmente con la experiencia.
Observando cada uno de los sumando podemos ver que hay factores comunes en los
sumandos 2º con 5º y 4 con 5º que conllevan simplificación:
255
Note que el término 5º se ha tomado dos veces, de acuerdo con la propiedad que
diceque A + A´ = 1. Aplicando las propiedades del álgebra de Boole, queda
F = A’( C’ + C) + B( C’ + C) = A’ + B
No siempre las funciones son tan fáciles de simplificar como la anterior. El método
algebraico, por lo general, no resulta cómodo para los no expertos, a los cuales, una vez
simplificada una ecuación le pueden quedar serias dudas de haber conseguido la
máxima simplificación.
Gráfico de Karnaugh
Es una práctica común numerar cada celda con el número decimal correspondiente al
término canónico que albergue, para facilitar el trabajo a la hora de plasmar una función
canónica.
Para simplificar una función lógica por el método de Karnaugh se seguirán los
siguientes pasos:
256
2º) Se coloca un 1 en los cuadros correspondientes a los términos canónicos que forman
parte de la función.
3º) Se agrupan mediante lazos los unos de casillas adyacentes siguiendo estrictamente
las siguientes reglas:
b) Cada lazo debe contener el mayor número de unos posible, siempre que dicho
número sea potencia de dos (1, 2, 4, etc.)
c) Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya cuadrículas que
pertenezcan a dos o más lazos diferentes.
4º) La función simplificada tendrá tantos términos como lazos posea el diagrama. Cada
término se obtiene eliminando la o las variables que cambien de estado en el mismo
lazo.
F = Σ3(0,2,3,4,7) = Π3(1,2,6)
De acuerdo con los pasos vistos anteriormente, el diagrama de cada función quedará del
siguiente modo:
257
La función simplificada tendrá tres sumandos en un caso y dos productos en el otro. Si
nos fijamos en el mapa correspondiente a la suma de productos, observamos que en el
lazo 1 cambia la variable A (en la celda 0 es negada y en la 4 directa), en el lazo 2 es la
C y en el lazo 3 vuelve a ser A. por lo tanto, la ecuación simplificada es:
F = B’C’ + A’B + BC
F = (B + C’)(A’ + B’ + C)
Numérico de Quine-McCluskey
F = S4 (0,1,2,3,5,9,11,12,13,15)
2º) Se forma una tabla con el valor decimal de la combinación, el estado de las variables
y el índice (número de unos que contiene el estado de las variables).
258
Comb. Estado Índice
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 1
3 0011 2
5 0101 2
9 1001 2
11 1011 3
12 1100 2
13 1101 3
15 1111 4
3º) Se agrupan las combinaciones cuyos estados difieren en una sola variable,
sustituyéndola por un guión bajo (_). Las combinaciones utilizadas se marcan con un
aspa (X). Hay que fijarse en las combinaciones cuya diferencia entre sus respectivos
índices es la unidad.
4º) Se repite el proceso anterior las veces que sean necesarias y se van eliminando
estados idénticos.
259
Nueva agrupación de las combinaciones
5º) Se forma una tabla con las combinaciones finales y las no agrupadas. Se toman
como filas las combinaciones finales y las no agrupadas y como columnas los valores
decimales de dichas combinaciones. Cada celda que contenga el valor decimal de una
combinación se marca con un aspa. A continuación nos fijamos en aquellas columnas
con una sola aspa; sus combinaciones serán esenciales. Finalmente se toman aquellas
combinaciones de los valores decimales no seleccionados, teniendo precaución de no
tomar aquellas combinaciones cuyos valores decimales hayan sido ya tomados en otras
combinaciones. La función simplificada final viene dada por las combinaciones
esenciales y estas últimas.
13.2.1 Negación
260
Tabla Negación ( Lógica )
Ejemplos :
Representación en circuito
El signo de la negación es una barra horizontal sobre la variable o una comilla simple a
continuación de la variable
261
sistema esta cerrado, es decir, si asumimos una variable Booleana para el circuito de
energía, supongamos la variable A , si A = 1 el sistema esta cerrado, pasa la electricidad
y el bombillo se enciende, si por el contrario el sistema esta abierto, la variable será
negativa, y por tanto esta asumirá el valor de cero A = 0.
A = 1 ; 1 = 1
Ā = 0 , 1 = 0
1 0
Puerta NO (NOT)
13.2.2 Operación Y
Tabla Conjunción
262
Como se puede observar en la relación de dos proposiciones mediante el conectivo de la
conjunción, la proposición resultante tan solo es verdadera cuando ambas proposiciones
componentes tiene valor de verdad verdadero, caso contrario la proposición resultante
es falsa.
Ejemplos :
Ejemplos :
263
Representación en circuito
1 1
Puerta Y (AND)
1 0 0 1
13.2.3 Operación O
264
Tabla Disyunción
Ejemplos :
Tabla Operación O
Tal como se observa en el caso del resultado de operar dos variable mediante el
operador O, el valor de verdad de esta es tan solo cero, cunado ambas variables tiene
valor de verdad cero.
Representación en Circuito
265
Ejemplos :
1 1
Puerta O (OR)
1 0 0 1
1 1
266
13.2.4 Operación O exclusiva
1 1
0 0 1 1 1
0
1 1
267
13.3 Construcción de Tablas de Verdad
Para construir una tabla de verdad, se debe tomar en cuenta el número de variables
distintas que intervienen en la fórmula, para poder determinar el número de líneas que
tendrá la tabla, y del mismo modo la asignación de valores de verdad a las variables
dentro de la lógica bivalente, que es la base del algebra de Boole, es decir el uso de
valores { 1 , 0 }.
A B C D
1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 1 0
0 1 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
Tal como se puede observar en la tabla, para cada variable distinta el número de valores
{ 1 , 0 } es el mismo, lo único que varia es la repartición de valores, es así que para la
primera variable, los valores verdaderos ( 1 ) son ocho y los falsos ( 0 ) también ocho,
de manera que primero van los ocho verdaderos y a continuación los ocho falsos, para la
segunda variable, la repartición es la mitad de la anterior, cuatro verdaderos, cuatro
falsos, seguidos de cuatro verdaderos y cuatro falsos, haciendo también el total de 16
valores de verdad, para el resto de las variables se toma en cuenta la mitad del anterior
de valores verdaderos, seguido de la mitad de valores de verdad falsos, y así
sucesivamente hasta contemplar las diez y seis líneas de la tabla.
2 n = líneas de la tabla
Donde la base 2 representa los valores de verdad { 1 , 0 } que asumen las variables
dentro del ámbito de la lógica bivalente sujeto de estudio, en el que se basa el principio
del algebra de Boole y n representa el número de variables distintas que intervienen en
la fórmula. De este modo si tenemos una fórmula con seis variables distintas el cálculo
será :
268
2 6 = 64 líneas que tendrá la tabla de verdad
Estos valores de verdad están repartidos en la tabla de verdad para cada proposición
distinta de la manera siguiente.
Así sucesivamente de manera que para la última variables será una verdadera ( 1 ),
una falsa ( 0 ), hasta completar el número de líneas de la tabla de verdad de acuerdo a la
fórmula dada.
Ejemplos
1.- ( A + B ` . C ) + A` . B
2.- ( A . B ` + C . A ` ) . ( A + B + C )
3.- ( A . B ` . C ` ) + ( A + B + C ` ) + A
4.- ( A ` . B ` ) + ( B ` . A . C ) . ( A ` + B )
A B C A+B` + C + A`.B
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 0 1 1 0 0 0
1 0 1 1 1 1 1 0
1 0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 1 0 1 0
Mediante las líneas se puede ver cual es el operador de salida de esta formula o
expresión booleana, dentro de la lógica bajo la definición semántica de conectivas, esta
expresión vendría a ser una contingencia.
269
13.4 Teoremas de Negación de De Morgan
A) La negación de “ A “ es “ A `
B) La negación de “ 1 “ es “ 0 “
A B AB ( AB ) `
1 1 1 0
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 1
Teoremas de De Morgan
La expresión: ( ABCD ) ` = A` + B` + C` + D`
La expresión: ( A + B+ C + D ) ` = A`.B`.C`.D`
A) ( A.B ) ` A ` + B `
B) ( A + B ) ` A` . B `
270
A) ( A.B ) ` A` + B`
A B (A.B)` A` + B`
1 1 0 0
1 0 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
B) ( A + B ) ` A` . B `
A B (A+B)` A` . B`
1 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
X`=(A+B.C)`
X`= A`.(B.C)`
X`=A`.(B`+C`)
X`= (A.B.C`+A.B`)`
X`=(A.B.C`)`.(A.B`)`
X`=(A`+B`+C).(A`+B)
X ` = A ` . A ` + A `. B ` + A ` . C + A `. B + B ` . B + B . C
X`=A`+A`.B`+A`.C+A`.B+0+B.C
X`=A`. ( B`+C+1)+B.C
X`=A`+B.C
(X`)` =( A`+B.C)`
X = A. ( B ` + C ` )
13.5 Ejercicios
1.- Dada la siguiente operación, construir su circuito e indicar que tipo de circuito es
X = A.B.C.D
271
2.- Dada la siguiente operación, construir su circuito e indicar que tipo de circuito es X
=A+B+C+D
3.- Dada la siguiente operación, construir su circuito e indicar que tipo de circuito es X
= ( A + B ) . ( C + D ) . ( A.D + B )
4.- Dada la siguiente operacion, construir su circuito e indicar que tipo de circuito es
X = A + B . ( C.D + A ) + ( C.A + B.D )
A.- ) { A . B + C } + { ( A . B . C ) + ( A + D .C ) } `. { ( A + B + C ) . ( D . C ) }
B.- ) {(A+B.D)+(A+D.B)}.{(A.D+A.C)`+(A+D+A.D}
C.- ) { ( A + B ` + C + D ` ) ` + ( A . B . C . D ) . ( A .D . B . C ) } + ( A .B..C.D )
D.- ) { ( A + +B+ C+ D ) . ( A .B .C . D ) } + { ( A .D + A .C ) + ( A + D` . C + B )` }
A.- ) { ( A + B` + C ) . ( A + B + D` ) } `. { ( A . D` . C ) + ( A` + D + C ) }
B.- ) { ( A . C` . D )` + ( A . D . C` ) . ( A + B.C + D )` }` + ( A + B` + C + D )
C.- ) { ( A + C` . D + B `) . ( A + D + C` + B ) `+ ( A . B . C . D ) + ( A + B . C . D ) }
A.- ) {(A`+B.C`).(B`.C+D`)}`.(B`.C`.D`+A+B`)`
B.- ) (A+B.C.D`)+(B+C.D`).(B`.C`+A.B`)`
C.- ) {(A.C.B.D.E`)`.(B.D`+A.B`)+(A`.C`+C.D.E`)
D.- ) (A.B.C.D)`.(A`.B`.C`.D) `.(A`.C+D`.C`)`
272
13.6 Tecnicas de Minimización ( Diagramas de Veitch I )
Mediante esta técnica es posible obtener una expresión booleana lo mas simple
correspondiente a la dada.
Esta técnica emplea diagramas correspondientes a expresiones booleanas comprendidas
entre dos y cuatro variables distintas, para lo cual se premian los cuadrados o
cuadriculas correspondientes a la expresión dad mediante un “ 1 “.
A A`
B 1
B`
A A`
B 1
B` 1
A A`
B 1 1
B` 1
A A`
B 1 1
B` 1
De tal forma que el diagrama de Veitch representa todos los casos en el que el resultado
de la expresión es “ 1 “
273
13.6.2 Diagrama para tres variables
a. Represente la expresión X = A . B ` . C
A A A` A`
B
B` 1
C` C C C`
b. Represente la expresión X = A . B ` + A ` . B . C `
A A A` A`
B 1
B` 1 1
C` C C C`
c. Represente la expresión: X = A ` . B ` + C ` + A ` . B . C `
A A A` A`
B 1
B` 1 1 1
C` C C C`
274
A) Representar la expresión: X = A .B .C ` + A `. B + A .B `.C.D` + A . B `. C . D
A A A` A`
B 1 1 1 D`
B 1 1 1 D
B` 1 D
B` 1 D`
C` C C C`
A A A` A`
B 1 D`
B 1 D
B` 1 D
B` 1 1 D`
C` C C C`
Para representar expresiones booleanas que consten de más de cuatro variables se puede
efectuar esta representación mediante el siguiente diagrama.
A A A` A` A A A` A`
B 1 1 D`
B 1 D
B` D
B` 1 D`
C` C C C` C` C C C`
E E E E E` E` E` E`
275
De la misma forma se pude distribuir para una expresión que contenga un numero dado
de variables, siempre manteniendo la regla de distribución que permita la combinación
total de las variables y el premio con un “ 1 “ de la cuadricula correspondiente a la
expresión dada.
13.7 Ejercicios
A.- ) {(A`+B`.C)`.(D+E+C`)+A`.B`+A+C.D`}+A.B`
B.- ) {(A.B`+C.D`)+(A.B.C.D`).(A.B`+C.D`}+A.B`.C.D`
C.- ) { ( A . B ` + C . D . E ` ) ` . ( A + B ` . D + E . A ` ) } `+ ( B ` + C + D . E ` ) `
D.- ) (A.B`+C.D.E`).(B`+C.D.E`)`+(A.B.C+D+E`)+A.B`
E.- ) (A.B`+C.D.E.F`)`+(A.B`+C.E`.A`).(C`+D`+E`)
13.8.1 Regla 1
“ Los términos pueden combinarse y expresarse como un solo termino que identifique la
columna o fila, si se premian todos los cuadrados correspondientes de dicha fila o
columna “
A A`
B 1
B` 1
X=A.B + A.B`
X=A.(B+B`)
X=A B+B`=1 y A.1=A
276
b. Sea La expresión X = A `. B . C + A ` . B ` . C , Representar en un
diagrama de Veitch y simplificarla aplicando la regla 1 de minimización.
A A A` A`
B 1
B` 1
C` C C C`
X = A `. B . C + A ` . B ` . C
X = A `. ( B . C + B ` . C )
X = A `. ( C . ( B + B ` ) )
X=A`.C B+B`=1
C) Sea la expresión: X = A .B `. C ` + A .B `. C + A ` . B ` . C + A ` . B ` . C `,
representar en un diagrama de Veitch y aplicar La regla 1 y hallar La expresión
más simple correspondiente a la dada.
A A A` A`
B
B` 1 1 1 1
C` C C C`
La expresión reducida aplicando la regla dad viene a ser: B `; la cual se puede demostrar
aplicando las reglas del Algebra de Boole.
X = A .B `. C ` + A .B `. C + A ` . B ` . C + A ` . B ` . C `
X = A . B `. ( C ` + C ) + A ` . B `. ( C ` + C )
X=A.B`+ A`.B` C + C` = 1
X = B `. ( A ` + A )
X=B A + A` = 1
A A A` A`
B D`
B D
B` D
B` 1 1 1 1 D`
C` C C C`
277
13.8.2 Regla 2
A A A` A`
B
B` 1 1
C` C C C`
X = A ` . B ` . C + A ` . B `. C `
X = A `. B` . ( C + C ` )
X = A `. B ` C+C`=1
A A A` A`
B
B` 1 1
C` C C C`
X = A .B `. C + A` .B `. C
X=B`.C.(A + A`)
X = B `. C A+A`=1
A A A` A`
B D`
B D
B` D
B` 1 1 D`
C` C C C`
278
Aplicando la regla 1, la expresión simplificada obtenida mediante la observación del
diagrama es: B`.C .D`, que puede demostrarse aplicando las reglas o principios del
algebra de Boole.
X = A.B`.C.D` + A`.B`.C.D`
X = B `. C . D `. ( A + A ` )
X=B`.C.D` A+A` = 1
A A A` A`
B 1 1 1
B` 1
C` C C C`
13.8.3 Regla 3
A A A` A`
B 1 1
B`
C` C C C`
A A A` A`
B 1 1 D`
B 1 D
B` 1 1 1 D
B` 1 D`
C` C C C`
279
Aplicando la regla 1, referente a fila o columna completa la expresión resultante será:
A ` . C ; Al aplicar la regla 3 de extremos de columna o fila el resultado de aplicar esta
regla es: B `. C ` . D y B . C . D `; lo que nos da como expresión simplificada de la
dada, la expresión: X = B `.C `.D + B.C.D ` + A`.C
A A A` A`
B D`
B 1 1 D
B` 1 1 1 D
B` D`
C` C C C`
En este caso aplicando las reglas de minimización podemos hallar dos respuestas
alternativas, las cuales son solución al diagrama elaborado y que satisfacen las reglas
descritas.
13.8.4 Regla 4
A A A` A`
B 1 1
B` 1 1
C` C C C`
280
A A A` A`
B 1 1 D`
B D
B` D
B` 1 1 D`
C` C C C`
13.8.5 Regla 5
“ Los términos pueden agruparse y expresarse como un solo termino cuando conforman
una estructura de cuadrado, y la expresión se forma por las variables comunes a los
cuadrados premiados que conforman la estructura “
A A A` A`
B 1 1
B` 1 1
C` C C C`
A A A` A`
B D`
B 1 1 D
B` 1 1 D
B` D`
C` C C C`
Al aplicar la regla se ve que las variables comunes en todas las expresiones parciales de
la expresión dada y que se representan en el diagrama son: A ` y D ; por lo tanto la
expresión simplificada correspondiente a la dada será: A `. D
281
13.9 Ejercicios
A) ( A + B ) ` = A`.B`
B) ( A.B ) ` = A ` + B `
De esta manera podemos ver y demostrar que si una expresión esta en La forma “ O “,
invirtiéndola mediante el teorema de De Morgan se obtiene la forma “ Y “ y viceversa.
Por lo tanto, aun cuando el diagrama de Veitch está adaptado a expresiones dadas en
forma “ O “, cualquier expresión en forma “ Y “ puede invertirse y representarlo en un
diagrama de Veitch. Sin embargo es necesario volver a invertir, para obtener la
respuesta correcta.
X ` = ( B . C . ( A` + C ) ) ` = B ` + C ` + A . C `
A A A` A`
B 1 1
B` 1 1 1 1
C` C C C`
Aplicando las técnicas de minimización I, la expresión más simple que se puede extraer
del diagrama es X = C ` + B ` , pero esta expresión resultante es la expresión invertida
X `, por lo que debemos volver a invertir para hallar la expresión resultante de la
expresión original dada.
282
(X`)`= (B` + C`)
X = B.C
X=A.B.(A+C`).(A`+C)
X`=(A.B.(A+C`).(A`+C))`
X`=(A.B)`+(A+C`)`+(A`+C)`
X`=A`+B`+ A`.C +A+C`
A A A` A`
B 1 1 1
B` 1 1 1 1
C` C C C`
X`=A`+B`+C`
( X `)`=(A`+B`+C`)`
X=A.B.C
X=A`.B.(A+C).(B`+D`+C)
X`=(A`.B.(A+C).(B`+D`+C))`
X ` = ( A `. B ) ` + ( A + C ) ` + ( B ` + C + D ` ) `
X`=A+B`+A`.C`+B.C`+D
A A A` A`
B 1 1 1 D`
B 1 1 1 D
B` 1 1 1 1 D
B` 1 1 1 1 D`
C` C C C`
283
X`=A+B`+C`
(X`)`=(A+B`+C`)`
X=A`.B.C
A ) Hallar la expresión más simple, aplicando la regla descrita, para la expresión dada:
X=(A`+C).(A+B)
X=(A`+C).(A+B)
X `=((A`+C).(A+B))`
X`=(A`+C)`+(A+B)`
X`=A.C`+A`.B`
A A A` A`
B 1
B` 1 1 1
C` C C C`
X=A.C + A`.B
X`=(A.C + A`.B`)`
X`=(A`+C`).(A+B )
X=(A+C`).(A`+B).(C+D)
X` =((A+C`).(A`+B).(C+D))`
X`=(A+C`)`+(A`+B)`+(C+D)`
X`=A`.C + A.B` + C`.D`
A A A` A`
B 1 1 1 D`
B 1 D
B` 1 1 1 D
B` 1 1 1 1 D`
C` C C C`
284
X = A.B.D+A.B.C +A`.C`.D
X ` = (A . B . D + A . B . C + A ` . C ` . D ) `
X`=(A`+B`+D`).(A`+B`+C`).(A.C.D`)
X=A.B + B`.C
A A A` A`
B 1 1
B` 1 1
C` C C C`
13.11 Ejercicios
A.- ) X=A+B`+(A.B.C`)+(A.B`.C`.D`)`+(A.C`.D`)`
B.- ) X=A`+B.C`+(A+B.C`+B.D`)`+(A.B.C.D`)`
C.- ) X = ( A . B ` + C . D ` ) ` . ( C . D ` ) + ( A. B . C . D ` ) . ( A . B ` + A . D ` ) `
D.- ) X=A.B`.C`.D+A`.B`.D +A`.B`.C.D`+A.B.C.D`
E.- ) X = ( A . B . C . D ` ) + ( A . B ` . D ` ) + A . B ` + ( A ` . B + C `` . D ) `
F.- ) X=A.B.C`+A.B`.C`+A.B.C.D+A.B`C.D`+A`.C`
G.- ) X=A.B.C`+A`.B.C`+A.B.C+A.D+B`.D`
H.- ) X=(A+B.C`)`.(A+B.C.D`)`+(A.B.C.D`)`+A.C`.D`
I.- ) X = ( A `. B ` + C . D ` ) . ( A . C ` + B ` . D ) ` + ( A. C ` + B . D ` ) `
J.- ) X = ( A . B . C `. D ) + ( A ` . B ` + C . D ` ) . ( A ` . B ` . C `` . D ` ) `
K.- ) X = ( A + B + C + D ` ) ` . ( A `. B . C ` ) + ( A + B . C ` ) ` + A ` . D `
285
13.12 Demostración de Axiomas y teoremas de los Sistemas Axiomáticos de la
Lógica mediante el Algebra de Boole
(A → B) → ~(A Λ ~B)
(A → B) → ~A ν B
b) Teoremas de De Morgan
~(A Λ B) → ~A ν ~B
~(A ν B) → ~A Λ ~ B
c) Reglas Booleanas
X.Y=Y.X
Z.(X+Y)=Z.X + Z.Y
Z+X.Y =(X+Y).(X+Z)
X.X=X
X.( X + Y ) = X
X+(X.Y)=X
X+X`=1
(X+Y)`=X`.Y`
(X.Y)`=X`+Y`
1+ X ` = 1
X`.Y`+X.Y=1
Para poder demostrar los axiomas, teoremas y otra formula de la Lógica mediante el
Algebra de Boole, se deben seguir los siguientes pasos de demostración:
286
1. Transformar las formulas Lógicas que contengan los conectivos de
Interdefinición y Bicondicional, en formulas que tan solo contengan los
conectivos de: Negación, Conjunción y Disyunción; aplicando para ello los
teoremas de Interdefinición.
2. Operar dentro de la formula, aplicando correctamente los signos de agrupación.
3. Llegar a la expresión Lógica más simple, para lo cual se debe aplicar los
teoremas de de Morgan.
4. Transformar la expresión Lógica obtenida en una expresión Booleana, para lo
cual cada formula o proposición distinta lógica, equivale a una variable
Booleana, mediante la asignación de significados, mediante la función Boolena
“ Sig { } = Variable Booleana
5. Operar en la expresión booleanas usando las reglas del Algebra de Boole
6. Toda formula Lógica será válida si y solo si la expresión final resultante es igual
a“1“
1.- Axiomas
A1: ├ A → (B → A)
A → (B → A)
1.- ) ~ A ν ( ~ B ν A )
2.- ) Sig ( A ) = X ; Sig ( B ) = Y
3.- ) F = X ` + Y ` + X
4.- ) F = X ` + X + Y
5.- ) F = 1 + Y
6.- ) F = 1
A 2 : ├ ( A → B ) → [ (( A → ( B → C ) ) → ( A → C ) ]
( A → B ) → [ (( A → ( B → C ) ) → ( A → C ) ]
1.- ) ~ ( ~ A ν B ) ν ( ~ ( ~ A ν ( ~ B ν C ) ) ν ( ~ A ν C ) )
2.- ) ( A Λ ~ B ) ν ( A Λ ~ ( ~ B ν C ) ν ( ~ A ν C ) )
3.- ) ( A Λ ~ B ) ν ( A Λ B Λ ~ C ) ν ( ~ A ν C ) )
4.- ) ~ (~ A ν B ) ν ~ ( ~ A ν ~ B ν C ) ν ( ~ A ν C ) )
4.- ) Sig ( A ) = X ; Sig ( B ) = Y ; Sig ( C ) = Z
5.- ) F = ( X ` + Y ) ` + ( X ` + Y ` + Z ) ` + X ` + Z
6.- ) F = X . Y ` + X . Y . Z ` + X ` + Z
7.- ) F = ( X ` + X ) . ( X ` + Y ` ) + ( X ` + X ) . ( X ` + Y . Z ` ) + Z
8.- ) F = X ` + Y ` + X ` + Y . Z ` + Z
9.- ) F = X ` + Y ` + Z + Y . Z `
10.- ) F = X ` + 1
11.- ) F = 1
287
2.- Teoremas
T1 ├(A → A)
T3 ├A →[(A → B) → B]
T5 ├(A → B) → ( ~B → ~A)
T1 ├(A → A)
1.- ) A → A
2.- ~ A ν A
3.- ) Sig ( A ) = X
4.- ) F = X ` + X
5.- ) F = 1
T3 ├A →[(A → B) → B]
1.- ) A → [ ( A → B ) → B ]
2.- ) ~ A ν ( ~ ( ~ A ν B ) ν B )
3.- ) Sig ( A ) = X ; Sig ( B ) = Y
4.- ) F = X ` + ( X ` + Y ) ` + Y
5.- ) F = X ` + X . Y ` + Y
6.- ) F = ( X ` + X ) . ( Y + Y ` )
7.- ) F = 1 . 1
8.- ) F = 1
T5 ├(A → B) → ( ~B → ~A)
1.- ) ( A → B ) → ( ~ B → ~ A )
2.- ) ~ ( ~ A ν B ) ν ( B ν ~ A )
3.- ) Sig ( A ) = X ; Sig ( B ) = Y
4.- ) F = ( X ` + Y ) ` + ( Y + X ` )
5.- ) F = X . Y ` + X ` + Y
6.- ) F = ( X + X ` ) . ( Y + Y ` )
7.- ) F = 1
13.13 Ejercicios
1.- Dados los siguientes Axiomas del Sistema K, demuestre por Algebra de Boole su
validez
A3: ├ A → ( B → A Λ B)
A4: ├ A Λ B → A ├ A Λ B → B
A5: ├ A → A ν B ├ B → A ν B
288
A6: ├ ( A → C) → [ ( B → C) → ( A ν B) → C]
A7: ├ ( A → B) → [ (A → ~ B) → ~ A]
A8: ├ ~ ~ A → A
2.- Dados los siguientes Teoremas del Sistema K, demuestre su validez por Algebra de
Boole
T1 ├(A → A)
T2 ├(A →B) → [(B → C)→ (A → C)]
T3 ├A →[(A → B) → B]
T4 ├ (A → B) → [(A → C)→(A → B Λ C)]
T5 ├(A → B) → ( ~B → ~A)
T6 ├(A → B) → ~(A Λ ~B)
T7 ├(A → B) → ~A ν B
T8 ├~(A Λ B) → ~A ν ~B
T9 ├~(A ν B) → ~A Λ ~ B
T 10 ├ A Λ B → B Λ A
T 11 ├ A Λ ( B Λ C) → (A Λ B) Λ C
T 12 ├ A Λ ( B ν C) → (A Λ B) ν (A Λ C)
T 13 ├ A Λ A → A
T 14 ├ A Λ (A ν B) → A
T 15 ├ A ν B → B ν A
T 16 ├ A ν( B ν C) → (A ν B) ν C
T 17 ├ A ν (B Λ C) → (A ν B) Λ ( A ν C)
T 18 ├ A ν A → A
T 19 ├ A ν ( A Λ B) → A
T 20 ├ ( A → ( B → C )) → (( A Λ B ) → C )
T 21 ├ ( A Λ B → C ) → ( A → ( B → C ))
T 22 ├ ( A ↔ B) → [(B → A) → ( A → B)]
T 23 ├ ( A ↔ B) → ( A → B)
T 24 ├ ( A ↔ B) → (B → A)
T 25 ├ A ↔ A
T 26 ├ ( A ↔ B) → [(B ↔ C) → (A ↔ C)]
T 27 ├ ( A ↔ B) → ( B ↔ A)
3.- Dados los siguientes Axiomas del Sistema L, demuestre por Algebra de Boole su
validez
A1: ├ A → ( B → A)
A 2 : ├ ( A → ( B → C )) → [ ( A → B ) → ( A → C ) ]
A3: ├( ~A→ ~ B) → ( B → A )
4.- Dados los siguientes Teoremas del Sistema L, demuestre su validez por Algebra de
Boole
289
T1: ├ A → A
T2: ├ ( A → B)→ [( B → C) → ( A → C)]
T3: ├A → ((A → B) → B)
T4: ├ ~ ~A → A
T5: ├ A → ~~A
T6: ├ ( B → ~A) → ( A → ~ B)
T7: ├( ~A → B) → ( ~ B → A)
T 8 : ├ A → ( B → ~ ( A → ~ B ))
T9: ├A → ( ~ A → B)
T 10 : ├ ~ ( A → ~ B ) → A
T 11 : ├ A → ~ ( A → ~ A )
T 12 : ├ ( A → ~ A ) → ~ A
T 13 : ├ ( ~ A → A ) → A
T 14 : ├ ( A → C ) → [ ( B → C ) → ( ( ~ A → B ) → C ) ]
T 15 : ├ ( A → B ) → [ ( A → ~ B ) → ~ A ]
T 16 : ├ ( A → B ) → [ ( ~ A → B ) → B ]
T 17 : ├ ( A → B ) → [ ( A → ( B → C )) → ( A → C ) ]
5.- Dados los siguientes enunciados lógicos, formalice y transforme la formula lógica en
una expresión booleanas
290
6.- Dados los siguientes razonamientos, aplique las reglas de interdefinición y
demuestre la validez de los mismos por Algebra de Boole
1.-
1) A ν B P
2) B → C P
3) A → C P
C
2.-
1) ~ S ν ~ T → P Λ Q P
2) ~ P P
S ν R
3.-
1) P ν Q → R Λ S P
2) ~ ( ~ P ν ~ R ) P
3) ~ T → ~ ( P Λ S )P
T
4.-
1) P → Q P
2) R → S P
3) S Λ Q → T P
P Λ R → T
5.-
1) P ν Q ν R P
2) Q → S Λ R → T P
3) ~ S Λ ~ P
R
6.-
1) P → ~ Q P
2) ~ Q → ~ R P
3) ~ R → ~ S P
4) P P
~S
7.-
1) R → P P
2) ~ Q → ~ R P
3) S → Q P
4) P Λ Q → T P
5) ~ S ν P P
R ν S → T
291
8.-
1) S → ( T → U) P
2) U → ~ U P
3) V → S ΛP →T P
V → ~P
9.-
1) P ν Q P
2) P → R P
3) R → S P
4) Q → T Λ T → S P
5) ~ S ν U P
U
10.-
1) P → ( R → Q ) P
2) ~ S ν P
S → Q
7.- Dados los siguientes razonamientos, formalice y aplique las reglas de interdefinición
y demuestre la validez de los mismos por Algebra de Boole
1.-
- O hace repara su moto o compra una nueva
- Si hace repara su moto, deberá mucho dinero al taller
- Si debe mucho dinero al taller, tardara en salir de sus deudas
- Si compra una moto nueva, debe entonces pedir un préstamo al banco, tardara
entonces en salir de sus deudas
- O sale pronto de sus deudas o sus acreedores lo llevan a la ruina
Por lo tanto, Sus acreedores lo llevan a la ruina
2.-
- Si una persona se lleva siempre por su sentido de la obligación, deberá quitarse
algunos placeres de la vida, y si esta persona se guía por los placeres de la vida, su
sentido de la obligación dejara mucho que desear.
- Las personas están siempre guiadas por su sentido de la obligación o por los placeres
de la vida
- Si una persona esta siempre guiada por su sentido de la obligación, entonces nunca
deja abandonada su obligación, y si siempre esta guiada por su deseo de placer,
entonces no dejara placer sin probar
Por lo tanto, Una persona deberá dejar muchos placeres sin probar si no quiere dejar
abandonado su sentido de obligación
3.-
- Si Cristina esta en lo cierto, entonces Marcos esta equivocado
- Si Marcos esta equivocado, entonces Pablo también esta equivocado
- Si Pablo esta equivocado, entonces el espectáculo no es esta noche
- O el espectáculo es esta noche o Javier no lo vera
- Cristina esta en lo cierto
Por lo tanto, Javier no vera el espectáculo
292
4.-
- Si voy a mi primera clase mañana tendré que madrugar y si no voy al baile esta noche
me acostare tarde
- Si me acuesto tarde y madrugo tendré que vivir tan solo con cinco horas de sueño
- No puedo vivir con solo cinco horas de sueño
Por lo tanto, O no voy a mi primera clase mañana o no voy al baile esta noche
5.-
- Si nombran a Pérez seré feliz
- Si Pérez es feliz, no hará buena campaña
- Si no le nombran perderá la confianza de su partido
- Si pierde la confianza del partido, no hará buena campaña
- Si no hace buena campaña, debe dimitir en el partido
Por lo tanto, Pérez debe dimitir en el partido
6.-
- Si tomo el autobús y el autobús llega tarde, faltare a mi cita
- Sin falto a mi cita y me siento desmoralizado, no iré a casa
- Si no consigo el empleo, me sentiré desmoralizado y me iré a casa
Por lo tanto, Si tomo el autobús y el autobús llega tarde conseguiré el empleo
7.-
- Una de dos, o X es menor que Z, o bien X es igual a Z
- Si X es igual a Z, necesariamente Z no es igual a cinco
- Si X no es igual a cuatro, entonces no ocurre que X sea menor que Z, y Z sea igual a
cinco, pero Z es igual a cinco
Por lo tanto, X es igual a cuatro
8.-
- Si Ana engorda, su novio decididamente la deja plantada
- Ana come mucho cochinillo y adora el vodka con limón
- Si Ana come mucho cochinillo, necesariamente engorda
Luego, Ana adora el vodka con limón y su novio la dejara plantada
9.-
- Miguel tiene una tía en Francia
- Si Miguel no es mayor de 18 años, necesariamente no tiene una tía en Francia
Por lo tanto, Miguel tiene más de 18 años o su padre le comprara un auto
10.-
- Beatriz solo se queda en cama si tiene gripe
- Si Beatriz no se queda en cama no se curara
- Beatriz no va a trabajar a menos que se cure
- No ocurre que Beatriz haga vida relajada y no se cure
- O va a trabajar o hace vida relajada
Luego, Beatriz tiene gripe o sarampión
293
Bibliografía
294