CURSO 2022-23 GRADO EN QUÍMICA*

Asignatura: Física I Prácticas de Laboratorio

Introducción

NOTAS PARA EL TRATAMIENTO DE ERRORES Y REGRESIÓN LINEAL

ERROR ABSOLUTO: Se define como la diferencia entre el valor verdadero de una

magnitud xv y el valor medido x, y se denota por: Δx

∆𝐱 = 𝐱 − 𝐱 𝐯

ERROR RELATIVO: Se define como el cociente entre error absoluto Δx y valor

verdadero. Se escribe:

∆𝐱
𝛆(𝐱) =
𝐱

Se expresará en %.

El valor del resultado de un experimento se expresará siempre como:

Valor de la magnitud (x) ± Error absoluto (Δx),

acompañado de las unidades correspondientes en el sistema internacional.

Se utilizará la notación científica.

Para determinar el valor del error absoluto se tendrá en cuenta si se ha realizado: (a)
una medida directa, (b) se han hecho varias medidas directas o (c) si el valor se ha
obtenido a partir de medidas indirectas:

(a) Una medida: Valor x = valor medido, valor del error: Δx = la precisión del
instrumento.

∑ 𝐱𝐢
(b) Varias medidas: (estadística): valor magnitud 𝐱̅ = 𝐱 𝐦 = (valor medio)
𝐍
Error: Δx=3σ(x) con:

∑(𝐱 𝐢 − 𝐱 𝐦)𝟐
σ(𝐱) = √
𝐍(𝐍 − 𝟏)

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(c) Medida indirecta: PROPAGACIÓN ERRORES

Si el valor de la magnitud se ha obtenido indirectamente, a partir de medidas de otras

magnitudes con las que está relacionada, el error absoluto se obtendrá aplicando la
propagación de errores.

Se adoptarán las siguientes reglas simplificadas:

Suma y/o resta:

𝐳= 𝐱+𝐲−𝐰

Se trabaja con el error absoluto:

∆𝐳 = ∆𝐱 + ∆𝐲 + ∆𝐰

Multiplicación/división

𝐱𝐲
𝐳=
𝐰

Se trabaja con los errores relativos

𝛆(𝐳) = 𝛆(𝐱) + 𝛆(𝐲) + 𝛆(𝐰)

Una vez calculado el error relativo, se determina el error absoluto

∆𝐳 = 𝐳 𝛆(𝐳)

Si z = Nx , con N entero, entonces N no tiene error:

∆𝐳 = 𝐍∆𝐱

Si z = xN como z = x·x···x, entonces;

𝛆(𝐳) = 𝐍𝛆(𝐱)

Después de calcular 𝛆(𝐳) se determina el error absoluto de z.

∆𝐳 = 𝐳 𝛆(𝐳)

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Expresión de un resultado

El resultado se ha de dar acompañado de su correspondiente error y unidades del

sistema internacional.

Sea r la magnitud medida, daremos como resultado:

(r ± Δr) UNIDADES

El valor del resultado se expresa únicamente con cifras significativas. El número de

cifras (dígitos) significativos viene marcado por el error absoluto.
Del error sólo se toma 1 dígito salvo que las primeras cifras no nulas del error sean
menores que 25, en cuyo caso se toman 2 dígitos.
Ejemplos:

1. Δr = 2,075983 se toma como error: Δr = 2,1 (redondeo)

2. Δr = 0,002075983 se toma como error: Δr = 2,1 10-3 (redondeo)
3. Δr = 207598.3 se toma como error: Δr = 2,1 105 (redondeo)
4. Δr = 0,0013988 se toma como error: Δr = 1,4 10-3 (redondeo)
5. Δr = 2574,56 se toma como error: Δr = 3 103 (redondeo)
6. Δr = 0,00857 se toma como error: Δr = 9 10-3 (redondeo)

Supongamos que en los casos anteriores los valores de r obtenidos han sido:

1. r = 57,1235 escribiremos: 57,1 ± 2,1

2. r = 0,150389 escribiremos (150,3 ± 2,1) 10-3
3. r = 5751348.3 escribiremos: (57,5 ± 2,1) 105
4. r = 0,057513 escribiremos: (57,5 ± 1,3) 10-3
5. r = 57513.483 escribiremos: (57 ± 3) 103
6. r = 0,057513 escribiremos: (5,7 ± 0,9) 10-3

Puede ser bueno comenzar por escribir el valor y debajo el error para asegurarse de
que el orden de magnitud de los dígitos de ambos coincide.

0,057513 5,7 10-2

0,00857……… 0,8 10-2
Como se observa, se usan las potencias de diez para expresar los resultados.
5751348.3 5,75 10 6
207598.3 0,21 106

Se aconseja repasar la notación científica y el uso de las potencias de 10.

Para más información consultar con el material complementario de prácticas.

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REGRESIÓN LINEAL. MÍNIMOS CUADRADOS.

Ajuste por mínimos cuadrados de una recta (regresión lineal)

En ciencias experimentales se presenta con mucha frecuencia el problema de

encontrar una expresión matemática y = f(x) que describa la ley física que rige el
comportamiento de un determinado fenómeno. En particular, cuando la distribución
de los datos experimentales (xi, yi), tomados en una serie de N medidas, muestra una
tendencia lineal entre esas dos magnitudes x e y, entonces la ley física que gobierna
ese comportamiento viene dada por una recta y = a + bx. Debido a la relación existente
entre las magnitudes x e y, los puntos experimentales (xi, yi) tenderán a agruparse en
torno a una recta de ordenada en el origen a y pendiente b. Sin embargo, los errores
experimentales, inherentes a cualquier proceso de medida, conllevan que estos datos
(xi, yi) no se ajusten de forma perfecta a la recta que hay que determinar, aunque sigan
esa tendencia. Una buena aproximación para determinar la recta a la que ajustan los
datos (recta de ajuste) consiste en trazar una recta que esté lo más cerca posible de
todos los puntos experimentales a la vez.

La herramienta más utilizada para este fin es Y

la conocida regresión lineal (método de los yi (xi,yi)
yi-(bxi+a ) {
mínimos cuadrados para ajuste lineal), que
trata de obtener los parámetros que definen
esta recta (así como el límite de error que
afecta a dichos parámetros) de tal forma que
la suma de los cuadrados de las distancias (en y= a+bx
dirección del eje OY) de cada punto a la recta
sea mínima (ver figura). X
xi
Para ello, al conjunto de N datos (xi, yi) trataremos de ajustarle una recta y = a + bx, de
forma que la suma de las desviaciones de los datos respecto a la recta sea mínima, es
decir:

2
𝑆 = ∑𝑁
𝑖=1 (𝑦𝑖 − ( 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑖 )) = MINIMA.

Las condiciones para que S sea mínima conducen a las siguientes expresiones para a y
b:

𝑦¯ ∑𝑁 2 𝑁
𝑖=1 𝑥 𝑖 − 𝑥¯ ∑𝑖=1 𝑥 𝑖 𝑦𝑖 ∑𝑁
𝑖=1 𝑥 𝑖 𝑦𝑖 − 𝑁𝑥¯ 𝑦¯
𝑎= 𝑁 2 ; 𝑏 = ,
∑𝑖=1 𝑥𝑖 − 𝑁𝑥¯ 2 ∑𝑁 2
𝑖=1 𝑥 𝑖 − 𝑁𝑥¯
2

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∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖
siendo 𝑥¯ = e 𝑦¯ = . Estos son los valores de la ordenada en el origen (a) y de la
𝑁 𝑁
pendiente (b) de la recta que minimizan S, conocida también como recta de mejor
ajuste.

Los parámetros estadísticos σ(a) y σ(b), que miden la dispersión en los valores de a y b
(la ordenada en el origen y la pendiente, respectivamente), se pueden considerar
como los errores absolutos de estos parámetros de la recta de mejor ajuste y vienen
dados por:

𝑁
1 𝑏2 1
𝛥𝑎 = 𝜎(𝑎) = 𝜎( 𝑏)√ ∑ 𝑥𝑖2 ; 𝛥𝑏 = 𝜎 ( 𝑏) = √ ( 2 − 1) ,
𝑁 𝑁−2 𝑟
𝑖 =1

Donde

∑𝑁 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑁𝑥¯ 𝑦¯
𝑟 = 𝑁 2 𝑖=1 2 .
(∑𝑖=1 𝑥𝑖 − 𝑁𝑥¯ ) ⋅ (∑𝑁 2 ¯ 2)
𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑁𝑦

Según las expresiones anteriores, sólo es necesario conocer los cinco sumatorios
siguientes: xi, yi, xi2, yi2, xi yi para poder determinar los parámetros que definen
la recta.

Una medida de la bondad del ajuste de los datos (xi, yi) nos la proporciona el
coeficiente r, denominado coeficiente de correlación, que nos permite averiguar hasta
qué punto x e y están relacionadas mediante una relación lineal. Toma valores entre r
= 0, cuando no existe correlación entre los datos y la recta considerada, y r =±1 si
existe una dependencia exactamente lineal. Así, cuanto más se aproxima el valor
absoluto de r a la unidad, mayor es el grado de ajuste de los datos experimentales (x i ,
yi) a la recta y = a + bx.

Las posibilidades de aplicación del método de regresión lineal no están limitadas

únicamente al caso en que los datos experimentales cumplen una ley lineal, sino que
puede extenderse a otros tipos de comportamientos (es decir, a otras relaciones
matemáticas entre magnitudes más allá del caso en que las variables se relacionan por
una ley lineal), con sólo hacer un cambio de variables apropiado (por ejemplo: y = Ae b x
→ln y = ln A + bx , haciendo el cambio z = ln y, a = ln A, se recupera una relación de tipo
lineal z = a+bx, que se puede ajustar utilizando este método de regresión lineal
descrito). Muchas leyes físicas importantes son lo suficientemente simples como par a
que puedan manipularse de forma que puedan ajustarse a una recta utilizando este
método.

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INSTRUCCIONES PARA USAR EL ARCHIVO “Regresiones_Fisica_I.xls”

CÓMO REALIZAR LOS CÁLCULOS CON UN ORDENADOR

Determinar la recta de mejor ajuste conlleva calcular los parámetros a, b, a, b y r de

dicha recta. De acuerdo con el método descrito, si disponemos de un conjunto de N
parejas de datos (xi, yi) que obedecen a la ley física y = a + bx, podemos determinar los
parámetros que mejor ajustan a los datos experimentales utilizando las expresiones
anteriores.

Las operaciones matemáticas que hay que realizar consisten en calcular N, ∑xi, ∑yi, ∑xi2,
∑yi2, ∑xi yi y, posteriormente con estos sumatorios, se calcula por orden b, a, r, ∆b y ∆a.

El uso de un ordenador puede ayudar a resolver las regresiones lineales. En particular,

para la realización de las prácticas de Física I se facilita en la plataforma una plantilla de
Excel (archivo Regresiones_FisicaI.xls) para calcular los cinco sumatorio s, y a partir de
ellos, obtener a, b, a, b y r.

Regresiones_FisicaI.xls es un archivo del programa Excel, del paquete de software

propietario Office 365 de Microsoft, para Windows o Mac. Para abrirlo, se necesita
este programa y su licencia. En página web https://o365.us.es/ se explica cómo
descargarlo con la licencia de la Universidad de Sevilla, que es extensible para todos los
estudiantes. Para ello, se necesita el UVUS y la contraseña para identificarse. También
puede abrirse mediante el programa Calc, del paquete de software libre LibreOffice,
disponible gratis en https://www.libreoffice.org/ , para Windows, Mac o Linux. Este
software es el recomendado para usuarios de Linux, y se puede instalar con el
administrador de paquetes propio de cada distribución.

Estos programas comerciales, además de facilitar los cálculos requeridos, permiten

representar las gráficas a partir de los datos experimentales y ajustar linealmente los
puntos experimentales a una recta.

El archivo Regresiones_FisicaI.xls es una hoja de cálculo, que consiste en una matriz de

celdas donde se pueden colocar tanto texto como cifras numéricas. Su uso más común
es el realizar operaciones con estas cifras numéricas y registrar los resultados en otras
celdas. La ejecución de operaciones dentro de la propia hoja de cálculo, introduciendo
fórmulas que permiten realizar las operaciones necesarias, permite usarla como si
fuera nuestra calculadora 1. En la plantilla que usaremos, se facilitan las operaciones
que necesitamos ya definidas. En el archivo Regresiones_FisicaI.xls está grabado el

1
Más información en el enlace: Usar Excel como calculadora - Excel - Office Support

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conjunto de operaciones que posibilitan el cálculo de los parámetros característicos de

una recta de regresión lineal, usando el método de los mínimos cuadrados. La recta de
mejor ajuste proporciona directamente los valores de a, b, errores de a y de b y r. El
procedimiento que hay que seguir es el siguiente:

• Descargar el fichero Regresiones_FisicaI.xls de la plataforma EV.

• Abrir el archivo con Excel o Calc.
• La hoja de cálculo “Lineal” (pestaña en la parte inferior de la hoja, señalada
en la imagen con una flecha) dispone cinco columnas (x, y, x 2, y2, xy) para
facilitar los cálculos:

▪ Las columnas marcadas en verde (x e y) corresponden a las celdas en las

que se introducen los valores de los datos experimentales x i e y i . Deben
colocarse en orden, de forma que cada pareja (xi, yi) esté una junto a
otra, cada una en su columna. Para introducir un valor, simplemente hay
que pinchar en la celda correspondiente y escribir el valor del dato que
corresponda.
▪ Marcadas en rojo se encuentran las tres columnas (x 2, y2, xy) donde, una
vez introducidos los datos experimentales (xi, yi) , se calcularán
automáticamente los parámetros intermedios (valores de xi2, yi2, xiyi)
que son necesarios para el cálculo final de los parámetros de la recta de
mejor ajuste. Estas columnas no se deben modificar ni borrar
manualmente, pues invalidaría los cálculos finales.
▪ En las celdas que están en la fila con la etiqueta “SUMA=”, se calcula
automáticamente en cada una de ellas el sumatorio de todos los datos
recogistrados en cada columna, presentando el resultado de ∑xi, ∑yi,
∑xi2, ∑yi2, ∑xiyi, según el orden en el que están dispuestas las columnas
en la hoja de cálculo.
▪ Marcadas en azul, en la parte inferior de la pantalla, se muestran las
celdas en las que se calculan los parámetros de la recta de mejor ajuste
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(a, b, a, b y r) que resulta para el conjunto de datos experimentales

analizado en la hoja. Todos estos parámetros son calculados por el
archivo automáticamente al introducir los datos experimentales en las
columnas verdes.
▪ En la parte derecha de la pantalla se presenta también la gráfica en la
que se han representado los valores de y frente a x, mostrando los
puntos que corresponden a los datos experimentales y mediante una
línea en trazo continuo está representada la recta de mejor ajuste de
dichos datos. Esta gráfica se actualiza automáticamente cuando se
introducen los datos experimentales en las columnas en color verde.

CÓMO PRESENTAR LAS GRÁFICAS HECHAS EN EXCEL

Los resultados experimentales se presentan en gráficas y frente a x. En el eje de

abscisas (eje x) se representa la variable independiente y en el de ordenadas (eje y) la
variable dependiente. Las gráficas deben cumplir los siguientes requisitos:

1) Las gráficas hechas por ordenador deben presentar títulos en cada eje que
indiquen las magnitudes que están representadas en cada uno (indicando a
continuación entre paréntesis las unidades en las que se ha medido dicha
magnitud). Cada gráfica debe tener un título suficientemente explícito y
conciso que exprese claramente el contenido. Para modificar los títulos de
eje y de gráfica, se debe pinchar sobre el cuadro de texto correspondiente
y sobreescribir el título genérico indicado.
2) Las escalas deben tener las marcas señaladas a intervalos iguales múltiplos
de 1, 2, 5 ó 10. Las escalas deben seleccionarse pinchando sobre el eje,
eligiendo la extensión de los valores del eje de forma que la gráfica
abarque todo el intervalo de puntos experimentales y ocupe la mayor
porción posible del área del gráfico.
3) El origen de la escala es arbitrario y no es necesario que sea el mismo en
cada eje. El valor de inicio y final de la escala debe elegirse de forma que
sea compatible con los dos puntos anteriores.
4) Los puntos experimentales se representan en forma de punto. Las rectas de
ajuste que acompañen a los puntos experimentales se trazan con líneas
finas y continuas.

En la plantilla facilitada, si en lugar de pinchar en la hoja denominada “Lineal”, se

pincha en la pestaña denominada “Elasticidad”, “Oscilaciones” o “Newton”, se
muestran las hojas de cálculo y gráficas diseñadas específicamente para calcular las
rectas de mejor ajuste y representar las gráficas que hay incluir en los cuadernillos de
las prácticas 1, 2 y 3 respectivamente, simplemente copiándola desde este archivo y
pegándola sobre el cuadernillo correspondiente.

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