Laboratorio de Física básica Fluidos y Termodinámica

TEORIA DE ERRORES O INCERTIDUMBRE

A. COMPETENCIA ESPECÍFICA

Evaluar el proceso de obtención datos en laboratorio mediante instrumentos de medición

para determinar la incertidumbre directa e indirecta.

B. INFORMACIÓN TEÓRICA
La Física, como toda ciencia experimental, necesita contrastar sus teorías con datos obtenidos de
mediciones, sin embargo, antes de medir se debe de desarrollar la capacidad de observar un
fenómeno y descubrir las principales magnitudes físicas que están involucradas en él, analizar su
comportamiento y estudiar cómo y con que conviene medirlas.

B.1 Precisión y exactitud

La exactitud es el grado de aproximación que tiene el valor medido con el valor verdadero, se
asocia con la calidad de calibración del instrumento con respecto a los patrones de medida.

La precisión es el grado de repetitividad de los valores medidos, se asocia con la sensibilidad del
instrumento de medición

B.2 Errores en el proceso de la medición

En todo proceso de medición se logra conocer el valor más cercano posible al valor verdadero en
la medida de las posibilidades, esta diferencia se debe a la incerteza o el error de la medición, no
hay medición con error nulo. Existen dos maneras de cuantificar el error de la medición.

● Error absoluto, Es la diferencia entre el valor medido 𝑋𝑚 y el valor real 𝑋𝑟 .

𝐸 = |𝑋𝑚 − 𝑋𝑟 | (1)
● Error relativo, Es el cociente entre el error absoluto 𝐸 y el valor real.

𝑒 = 𝐸/𝑋𝑚 (2)
● Error relativo porcentual, Es el error relativo expresado en %

𝐸 (3)
𝑒% = 𝑥100%
𝑋𝑚
B.3 Resultado de la medición

El resultado de cualquier medición se expresa por el valor medido y el error de medición con sus
respectivas unidades.

𝑋 = (𝑋𝑚 ± 𝐸 )[𝑢] (4)

● Intervalo de incerteza, Es la región acotada por el error de la medición entorno al valor
medido.
 Laboratorio de Física básica Fluidos y Termodinámica

B.4 Estimación de la incertidumbre en mediciones directas

● Estimación externa, Cuando se realiza una medición directa de una magnitud y no es

posible repetir la medición, o cuando en una serie de lecturas se obtienen los mismos
resultados, a la medición que se obtiene se le asocia una incertidumbre absoluta, igual a
la división más pequeña de la escala del instrumento.
● Estimación interna, Se da cuando al repetir varias veces una medida, estas en general
resultan diferentes, se acepta como la mejor estimación del valor verdadero a la media
aritmética o promedio de las medias, cuyo cálculo se efectúa por la siguiente expresión
aritmética.

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛 (5)
𝑋=
𝑛
La incertidumbre asociada si el número de mediciones es 𝑛 ≥ 5

(6)
∑𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑥)2
𝑠𝑥 = 𝛿𝑥 = √ 𝑖=1
𝑛−1
La incertidumbre asociada al promedio aritmético del conjunto de mediciones se
determina por la desviación estándar del promedio:

(7)
∑𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑥)2
𝑠𝑥 = 𝛿𝑥 = √ 𝑖=1
𝑛(𝑛 − 1)

B.5 Estimación de la incertidumbre en mediciones indirectas

El error de una medición indirecta es la propagación de los errores de las magnitudes directas, la
cual se obtiene de expandir mediante su serie de Taylor.

Sea 𝐿 = 𝑓(𝑋, 𝑌, 𝑍) = 𝐿(𝑋, 𝑌, 𝑍), "𝑋, 𝑌, 𝑍" son magnitudes medibles directamente.

𝑋 = 𝑋𝑚 ± 𝐸𝑋 ; 𝑌 = 𝑌𝑚 ± 𝐸𝑌 ; 𝑍 = 𝑍𝑚 ± 𝐸𝑍

𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝐿
𝐿 = 𝐿(𝑋0 , 𝑌0, 𝑍0 ) + (𝑋 − 𝑋0 ) ( ) | + (𝑌 − 𝑌0 ) ( ) | + (𝑍 − 𝑍0 ) ( ) |
𝜕𝑋 𝑋0 𝜕𝑌 𝑌0 𝜕𝑍 𝑍0
2
𝜕 𝐿
+ (𝑋 − 𝑋0 )2 ( 2 ) | + ⋯
𝜕𝑋 𝑋 0

Tomando (𝑋0 , 𝑌0, 𝑍0 ) = (𝑋𝑚 , 𝑌𝑚 , 𝑍𝑚 ) y (𝑋 − 𝑋0 ) = 𝐸𝑋 , (𝑌 − 𝑌0 ) = 𝐸𝑌 , (𝑍 − 𝑍0 ) = 𝐸𝑍 .

Despreciando los términos de orden superior a uno.

𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝐿
𝐿 = 𝐿(𝑋𝑚 , 𝑌𝑚 , 𝑍𝑚 ) + |( ) 𝐸𝑋 | + |( ) 𝐸𝑌 | + |( ) 𝐸𝑍 |
𝜕𝑋 𝜕𝑋 𝜕𝑋
Por tanto, el error de medición indirecta estará dada por:
 Laboratorio de Física básica Fluidos y Termodinámica

𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝐿 (8)
𝐸𝐿 = |( ) 𝐸𝑋 | + |( ) 𝐸𝑌 | + |( ) 𝐸𝑍 |
𝜕𝑋 𝜕𝑌 𝜕𝑍

Gráficas

Hay otras formas de obtener el valor de una magnitud a partir de mediciones directas, el método
grafico es muy útil para analizar el comportamiento entre dos variables, la relación existente entre
ellas, sus valores máximos y mínimos, etc.

B.6.1 Elaboración de graficas

● Elaboración de un papel adecuado por lo general milimetrado,

⮚ Elección de una escala adecuada, la variable seleccionada por el experimentador se

representa en el eje horizontal y la variable dependiente se representa en el eje
vertical, la gráfica debe de estar rotulada.

● Elección de software de grafico de datos

⮚ Elección correcta de los ejes para variable independiente (eje X) y para la variable
dependiente (Y)
⮚ Elección adecuada del tipo de grafico (tipo dispersión).
⮚ Elección de correcta de la aproximación de datos (ajuste lineal).
⮚ Rotular el grafico.

B.6.2 Ajuste de regresión lineal

Se obtiene cuando la relación entre las variables que describen un fenómeno es lineal la ecuación
está dada por 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥. Si los datos experimentales presentan una dispersión apreciable es
mejor utilizar las ecuaciones de regresión lineal, y a partir de ella trazar la recta que se ajusta a la
mejor función lineal.

𝑛∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖 (9)
𝐵=
𝑛∑ 𝑥𝑖 2 − (∑ 𝑥𝑖 )2

∑ 𝑥𝑖 2 𝑦𝑖 − ∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 (10)
𝐴=
𝑛∑ 𝑥𝑖 2 − (∑ 𝑥𝑖 )2
 Laboratorio de Física básica Fluidos y Termodinámica

C. MATERIALES Y ESQUEMA

● PC o Laptop con acceso a internet.

● 01 simulador de laboratorio virtual interactivo

A B

Figura 1: Instrumentos de medición utilizados para la práctica virtual, (A) balanza mono plato, (B) Calibre y resorte
para medir la constante de rigidez (C)
 Laboratorio de Física básica Fluidos y Termodinámica

APELLIDOS Y NOMBRES: Puma Mamani Brenda Luz CUI: 20200358

ESCUELA PROFESIONAL: Ingeniería Industrial FECHA: 04/05/2021
HORARIO: Martes 17:40 – 19:20 FIRMA:
PROFESOR (A); NOTA:

TEORIA DE ERRORES O INCERTIDUMBRE

D. CUESTIONARIO PREVIO.
Responda las preguntas y presente al inicio de la sesión de laboratorio para su revisión.
1. ¿Cómo se determina la incertidumbre en un instrumento de medición?
Se determina tomando en cuenta la mínima medida precisa que se obtiene en dicho
instrumento
2. ¿Cuál es la diferencia entre precisión y exactitud?
La precisión es el grado de cercanía de los valores de varias medidas, se asocia con la
sensibilidad del instrumento y la exactitud es la cercanía de una medida al valor real,
esta se asocia con la calidad de calibración de cada instrumento
3. ¿Por qué es importante expresar una medición con su incertidumbre?
Es importante expresar una medición con su incertidumbre, para poder tener el control
del error, así como saber la credibilidad del resultado
4
4. El volumen de un cilindro es 𝑉 = 𝜋𝑟 3 , siendo el error del radio de la base del cilindro 𝛿𝑟.
3
𝛿𝑉 𝛿𝑟
Demuestre que: 𝑉
=3 𝑟

4
𝑉 = ℎ ∗ 𝜋𝑟 2 = 𝜋𝑟 3
3
4
ℎ= 𝑟
3
𝛿𝑉 𝛿ℎ 𝛿𝑟 𝛿𝑉 𝛿𝑟 𝛿𝑟
( ) = ( ) + 2( ) → ( ) = ( ) + 2( )
𝑉 ℎ 𝑟 𝑉 𝑟 𝑟
𝛿𝑉 𝛿𝑟
( ) = 3( )
𝑉 𝑟

E. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

1. Ingrese al simulador de la balanza de mono plato con el siguiente link:

http://www.educaplus.org/game/balanza-monoplato
● Mida la masa de tres objetos con su respectiva incertidumbre.
Tabla 1: Masa de objetos con su incertidumbre

𝑂𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑠𝑎 (𝑔) 𝐼𝑛𝑐𝑒𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 (𝑔)

Juguete verde 185,3 ± 0,1
Torre 205,7 ± 0,1
astronauta 225,2 ± 0,1
Laboratorio de Física básica Fluidos y Termodinámica

2. Ingrese al simulador de calibre con el siguiente link:

http://www.educaplus.org/game/calibre
● Según le indique el docente utilice el calibre: 2
● Mida las dimensiones del diámetro interior, diámetro exterior y profundidad del objeto y
complete la tabla N°2.
Tabla 2: Las tres dimensiones de un objeto

𝐿𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 (0,1 𝑚𝑚) 𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 (0,1 𝑚𝑚) 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑 (0,1 𝑚𝑚)
1 8,7 mm 18,6 mm 2,4 mm

3. Ingrese al simulador Ley de Hook con el link: https://phet.colorado.edu/sims/html/hookes-

law/latest/hookes-law_es_PE.html
● Seleccione introducción.
● Habilite los parámetros de “Desplazamiento”, “Posición de equilibrio” y “Valores”.
● Según le indique el docente utilice la constante de rigidez del resorte de: 300 N/m
● Varíe la fuerza aplicada y mida la elongación del resorte y complete la tabla N°3.

Tabla 3: Lectura de la elongación cuando la fuerza aplicada varia

Lectura 1 2 3 4 5 6

Fuerza (N) 10 20 30 40 50 60

Elongación (m) 0,033 0,067 0,100 0,133 0,167 0,200

ANÁLISIS DE DATOS

1. Con los datos obtenidos de la tabla 2, halle el volumen del objeto medido con el calibre con
su respectiva incertidumbre y unidades según el sistema internacional.

ℎ ∗ 𝜋(𝐷𝑒𝑥 − 𝐷𝑖𝑛)2 2,4 ∗ 𝜋(18,62 − 8,72 )

𝑉= = = 509,45
4 4

𝛿𝑉 𝛿ℎ 𝛿𝐷𝑒𝑥 2 𝛿𝐷𝑖𝑛 2 𝛿ℎ 𝛿𝐷𝑒𝑥 2 𝛿𝐷𝑖𝑛 2

( )2 = ( )2 + 2( ) + 2( ) → 𝛿𝑉 = 𝑉 √( )2 + 2( ) + 2( )
𝑉 ℎ 𝐷𝑒𝑥 𝐷𝑖𝑛 ℎ 𝐷𝑒𝑥 𝐷𝑖𝑛

0,1 0,1 2 0,1

𝛿𝑉 = 509,45 ∗ √( )2 + 2( ) + 2( )2 = 23,11
2,4 18,6 8,7

𝑉 = (509,45 ± 23,11)𝑚𝑚3 1𝑚𝑚 = 1 ∗ 10−3 𝑚

1𝑚𝑚3 = (1 ∗ 10−3 )3 𝑚3
𝑉 = (509,45 ± 23,11) ∗ 10−9 𝑚3
2. Con los datos de la tabla 3, identifique la variable dependiente e independiente y realice la
gráfica 01 según corresponda.
La variable dependiente es la elongación y la variable independiente es la fuerza, ya que
a medida que se aplique una mayor fuerza, la elongación varia.
 Laboratorio de Física básica Fluidos y Termodinámica

Grafico 01: LA ELONGACION EN FUNCION DE LA FUERZA

0.2
0.18
∆x= 0,0033 F - 0,0001
0.16
Elongacion (m)

0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 10 20 30 40 50 60 70
Fuerza (N)

F. COMPARACIÓN Y EVALUACIÓN

1. De la gráfica 01 obtenga el valor de la pendiente e intercepto con sus respectivas unidades

según el sistema internacional.
𝑭 (𝑵)
Según la ley de Hook: 𝐹 = 𝐾∆𝒙 → ∆𝒙 (𝒎) = 𝑲 (𝑵/𝒎 )
Y según la ecuación de la gráfica es ∆𝒙 (𝒎) = 0,0033 𝐹(𝑁) − 0,0001 de donde
obtenemos que:
1
= 0,0033 → 0,0033 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑁
𝐾 (𝑚)
1
𝐿𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠: (𝑚/𝑁)
𝐾
Según la ecuación de la gráfica tenemos:
𝒎
∆𝒙 (𝒎) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑( ) 𝐹(𝑁) − 0,0001
𝑵
Si 𝐹 = 0 entonces el intercepto seria:
∆𝒙 (𝒎) = −0,0001(𝑚)
El intercepto tiene sus unidades en metros

2. Compare el valor de la constante de rigidez del resorte (k) obtenido de la gráfica 1 con el
valor designado en el punto E.3.
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑑𝑜: 𝐾 = 300 𝑁/𝑚
1 1
= 0,0033 → 𝐾=
𝑘 0,0033
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜: 𝐾 = 303 𝑁/𝑚
𝑉𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 − 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑑𝑜 303 − 300
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 % = | | ∗ 100 = | | ∗ 100 = 1,0 %
𝑉𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑑𝑜 300
 Laboratorio de Física básica Fluidos y Termodinámica

G. CONCLUSIONES

 Podemos realizar una gráfica con los datos obtenidos en una tabla
 Además, los valores obtenidos presentan un error del 1,0%, que es una cantidad
no significativa, por ello se concluye que el valor obtenido no es tan erróneo
 En una ecuación de la gráfica cada valor expresado, presenta una interpretación
con la fórmula empleada.
 Se puede obtener el error, tomando en cuenta la incertidumbre de cada valor

H. CUESTIONARIO FINAL

1. ¿Qué tipo de estimación de incertidumbre se usó en el desarrollo del experimento? Justifique

su respuesta.

 En el primer simulador se obtuvo una incertidumbre de una medida directa, ya

que el objeto se colocaba en una balanza, y obteníamos la medida directamente.
 En el segundo simulador, para hallar el volumen se tuvo una incertidumbre
indirecta, ya que para ese proceso se tuvo que realizar operaciones matemáticas
con las mediciones del diámetro exterior, interior y la profundidad
 En el tercer simulador para hallar la elongación se aplica una fórmula que es la
ley de Hook por ello es que se tiene una incertidumbre indirecta.

2. Mencione en que otros experimentos donde al graficar sus variables medidas, estas tengan
tendencia lineal. Justifique su respuesta.

Se puede obtener una gráfica lineal en la posición en función del tiempo en un

Movimiento Rectilíneo Uniforme, ya que la pendiente de esa grafica es la velocidad que
permanece constante
También encontramos una gráfica lineal en la velocidad en función del tiempo en un
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado, ya que la pendiente en esa grafica es
la aceleración que permanece constante.
3. Si se utilizan dos resortes en paralelo, ¿Cómo se calcularía el error de la constante de rigidez
resultante? Justifique su respuesta
Al ser dos resortes en paralelo, la fuerza que se aplica es diferente para cada uno de los
resortes, teniendo una elongación igual para todos por ello la constante de rigidez se
halla así:
𝐹 = 𝐾∆𝑥

𝐹1 = 𝐾1 ∆𝑥 𝐹2 = 𝐾2 ∆𝑥

𝐹𝑇 = 𝐾𝑝 ∆𝑥 = 𝐹1 + 𝐹2

𝐾𝑝 ∆𝑥 = 𝐾1 ∆𝑥 + 𝐾2 ∆𝑥

𝐾𝑝 = 𝐾1 + 𝐾2
 Laboratorio de Física básica Fluidos y Termodinámica

𝐾𝑝 − 𝐾
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 % = | | ∗ 100
𝐾𝑝

4. Si se utilizan dos resortes en serie, ¿Cómo se calcularía el error de la constante de rigidez

resultante? Justifique su respuesta
Si se tiene dos resortes en serie, la fuerza que se aplica es igual para cada uno de los
resortes, teniendo una elongación diferente para todos por ello la constante de rigidez se
halla así:
𝐹
𝐹 = 𝐾∆𝑥 → ∆𝑥 =
𝐾
𝐹 𝐹
∆𝑥1 = ∆𝑥2 =
𝐾1 𝐾2
𝐹
∆𝑥𝑇 = = ∆𝑥1 + ∆𝑥2
𝐾𝑝

𝐹 𝐹 𝐹
= +
𝐾𝑝 𝐾1 𝐾2

1 1 1
= +
𝐾𝑝 𝐾1 𝐾2

𝐾𝑝 − 𝐾
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 % = | | ∗ 100
𝐾𝑝

I. BIBLIOGRAFÍA ADICIONAL
Autor Título Edición Año
Young, H. D., Freedman, Física Universitaria. Volumen 1 2009
R. A., & Flores, V. A.

J. BIBLIOGRAFIA DE REFERENCIA

1. Guías de Laboratorio de Física Básica, Departamento Académico de Física UNSA, Año 2016.
2. Jesus Peñas, Educaplus.org, Año 1998. http://www.educaplus.org
3. Physics Education Technology (PhET) Interactive Simulations, University of Colorado
Boulder, Año 2002. https://phet.colorado.edu