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    INFORME N°2 Ecuaciones Empiricas

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    Edith Johanna Munévar
    El documento describe métodos para desarrollar ecuaciones empíricas a partir de datos experimentales, incluyendo el método de mínimos cuadrados y el uso de logaritmos. Se realizó un experimento para medir el área de círculos con diferentes radios y ajustar una curva a los datos usando estos métodos, con el fin de establecer una relación entre el radio y el área.

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    Edith Johanna Munévar
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    El documento describe métodos para desarrollar ecuaciones empíricas a partir de datos experimentales, incluyendo el método de mínimos cuadrados y el uso de logaritmos. Se realizó un experimento para medir el área de círculos con diferentes radios y ajustar una curva a los datos usando estos métodos, con el fin de establecer una relación entre el radio y el área.

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    INFORME N°2 Ecuaciones Empiricas

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    El documento describe métodos para desarrollar ecuaciones empíricas a partir de datos experimentales, incluyendo el método de mínimos cuadrados y el uso de logaritmos. Se realizó un experimento para medir el área de círculos con diferentes radios y ajustar una curva a los datos usando estos métodos, con el fin de establecer una relación entre el radio y el área.

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    INFORME N°2

    DESARROLLO DE ECUACIONES EMPIRICAS

    Integrantes:  Edwin Bejarano Hernández


     Edith Johanna Munevar Daza
     Yeimmy Alexandra Estupiñan Vargas

    Objetivos General:

     Desarrollar métodos gráficos y analítica para tener información del


    experimento en estudio..

    Objetivos Específicos:

     Representar y analizar gráficamente un conjunto de datos experimentales.


     Estudiar diferentes métodos de ajustes de curvas para encontrar las
    ecuaciones asociadas a un grupo de medidas
     Ajustar una función del tipo potencial a una serie de datos mediante el
    método de los logaritmos y con la ayuda de excel

    Introducción

    Una ecuación se le denomina como una igualdad de dos expresiones


    matemáticas; que se va verificar para algún conjunto particular de valores que
    tome la variable (incógnita).

    De tal manera las ecuaciones se presentan de dos formas muy importantes como
    las algebraicas y las no algebraicas (trascendentes). Que para nuestro caso
    usaremos lo que es la trascendente por motivo de aplicación de logaritmos
    (natural) u otras formas de variables.
    La física es una ciencia experimental por excelencia y como tal en el estudio de un
    fenómeno físico, no puede realizar mediciones. Generalmente, en el laboratorio al
    empezar el estudio de fenómeno físico, se obtiene un conjunto de valores
    correspondientes a dos variable, una dependiente de la otra. Esta dependencia
    entre variables se puede expresar matemáticamente mediante una ecuación que
    tome el nombre de una ecuación empírica.
     Resumen (español y en ingles)

    Es posible definir un sistema a estudiar de acuerdo a las variables que lo


    describen. Dichas variables, generalmente, se encuentran estrechamente
    relacionadas, experimentando lo que se denota como relación funcional. Esta
    última puede ser descrita en términos matemáticos que permitirán determinar una
    variable si se conocen otras tantas. Sin embargo, esa expresión matemática que
    relaciona las variables debe ser determinada de manera experimental, es decir,
    recolectando una cantidad apropiada de datos y analizando a los mismos para
    establecerla, este hecho se conoce como determinación de ecuaciones empíricas.
    Entre otros métodos para analizar datos experimentales y establecer una ecuación
    que los relacione se destacan el método de mínimos cuadrados y ajuste de curva.

    Una ecuación empírica se basa en la observación y estudio experimental de un


    fenómeno del cual generalmente se desconoce o se tiene poca información de las
    leyes fundamentales que lo gobiernan, o donde la intervención de dichas leyes
    puede ser tan complicada que impide construir un modelo analítico obligando a
    recurrir al uso de ecuaciones empíricas para su comprensión.

    Marco teórico

    Para el ajuste de una función lineal se suele utilizar el método de los minimos
    cuadrados. En que consiste:

    Ajuste por mínimos cuadrados: Existen numerosas leyes físicas en las que se
    sabe de antemano que dos magnitudes x e y se relacionan a través de una
    ecuación lineal y = ax + b donde las constantes b (ordenada en el origen) y a
    (pendiente) dependen del tipo de sistema que se estudia y, a menudo, son los
    parámetros que se pretende encontrar.

    Ejemplo: La fuerza F de tracción sobre un muelle y el alargamiento l que


    experimenta éste están ligadas a través de una ley lineal:

    l = (1/K)F con ordenada en el origen cero y donde el inverso de la pendiente (K) es


    una característica propia de cada muelle: la llamada constante elástica del mismo.
    El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como
    técnica de mínimos cuadrados.

    Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos


    valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el
    correspondiente valor medido para la variable dependiente y. De este modo se
    dispone de una serie de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que, representados
    gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin embargo, los errores
    experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente
    alineados. El método de mínimos cuadrados determina los valores de los
    parámetros a y b de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales. Sin
    detallar el procedimiento, se dará aquí simplemente el resultado:
    Donde n es el número de medidas y Σ representa la suma de todos los datos que
    se indican.
    Los errores en las medidas, se traducirán en errores en los resultados de a y b. Se
    describe a continuación un método para calcular estos errores. En principio, el
    método de mínimos cuadrados asume que, al fijar las condiciones experimentales,
    los valores yi de la variable independiente se conocen con precisión absoluta (esto
    generalmente no es así, pero lo aceptamos como esencial en el método). Sin
    embargo, las mediciones de la variable x, irán afectadas de sus errores
    correspondientes, si ε es el valor máximo de todos estos errores, entonces se
    tiene:

    La pendiente de la recta se escribirá a ± ∆ a, y la ordenada en el origen b ± ∆ b. El


    coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución
    bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El
    coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula:
    Su valor puede variar entre 1 y -1.
    Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación
    que es perfecta e inversa.
    Si r = 0 no existe ninguna relación entre las variables.
    Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación
    que es perfecta y directa

    Materiales

     Papel milimetrado
     Regla
     Compas
     tijeras

    Procedimiento

    1. Dibujar cinco circunferencias en el papel milimetrado, todas las diferencias


    radios.

    2. posteriormente recórtelas. Mida el área de cada círculo contando la cantidad de


    cuadritos del papel milimetrado que hay en él. Recuerde que cada cuadrito tiene
    1mm2 de área anote los datos en la tabla 1.
    Tabla 1. Medidas de área de los círculos en función de su radio
    r (mm) 20 10 15 30 25
    2
    A (mm ) 400 100 225 900 625
    Ar ( π∗r 2) 1256,63 314,15 706,85 2827,43 1963,49

    3. De acuerdo con la investigación realizada en el punto 1 del pre informe,


    encuentre la ecuación con la ayuda del papel logarítmico. (Comparar resultados
    obtenidos con la teórica).
    n ( ∑ X i Y i )−( ∑ X i )( ∑Y i )
    a= 2 2 ( ∑ X i ) −a(∑ Y i )
    n ( ∑ X i ) −( ∑Y i ) b=
    n

    ∆ a= √n ε
    n n ε
    √ 2
    n ∑ X −( ∑ X i )
    i
    i
    i
    2
    ∆ b=
    √n

    n ( ∑ X i Y i ) −( ∑ X i)( ∑ Y i)
    r= 2
    √ [ n(∑ X )−∑ ( X ) ][n ( ∑ Y )−(∑ Y ) ]
    2
    i i
    2 2
    i i

    4. realizar la gráfica asociada a estos datos. Seleccionar la curva y agregar línea


    de tendencia

     Análisis de Resultados
    Tablas y cálculos

     Conclusiones

     Bibliografía
    http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fisica-i/practicas-1/Ajuste%20por
    %20minimos%20cuadrados.pdf

    http://es.slideshare.net/eltalishare/tipos-de-errores-en-las-mediciones?
    next_slideshow=1

    http://es.scribd.com/doc/41997374/Error-Sistematico-y-Aleatorio

    http://www.escritoscientificos.es/trab21a40/cifrassignificativas/00cifras.htm

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