02 - Analisis de Datos - 2019 P 11-21 PDF
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I. OBJETIVO
- Identificar las leyes que responden a fenómenos físicos mediante el análisis de datos.
- Aprender la representación de datos usando papeles gráficos y hojas de cálculo.
- Aprender el método de regresión lineal por mínimos cuadrados para el ajuste de curvas,
haciendo uso de la calculadora científica y la hoja de cálculo más popular MS-EXCELL.
En cualquier caso, esa ley se expresa en forma de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) que exprese de
forma fidedigna la correlación entre 𝑥 e 𝑦.
Cuando se busca una fórmula de este tipo se dice que se está buscando una regresión entre
esas dos variables. Por tanto, hallar una regresión entre dos variables se refiere siempre a
hallar una fórmula o ecuación que represente la relación aproximada entre esas dos
variables.
NUBE DE PUNTOS
Para estudiar y medir la relación entre dos variables, el primer paso es recoger los datos
que muestren los correspondientes valores de las variables consideradas. El segundo paso,
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRÓNICA
es representar en un gráfico cartesiano (𝑥, 𝑦). A este conjunto de puntos que así se obtiene
se suele denominar diagrama de dispersión o más sencillamente nube de puntos.
Conocida en inglés como least-squares fit (ajuste por mínimos cuadrados). Es una
herramienta muy poderosa para determinar la función o curva que mejor describe a una
serie de puntos experimentales. El primer caso sencillo donde se aplicó este método fue
para una distribución unidimensional de datos {𝑥𝑖 } que consistió en determinar el valor
medio, es decir, el número real 𝑥̅ , que mejor representa a la distribución 𝑥𝑖 .
REGRESIÓN LINEAL
El segundo caso sencillo para aplicar el método de mínimos cuadrados corresponde a una
distribución de pares ordenados {𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 } que se pretende ajustar a una línea recta.
Analíticamente, optamos por buscar una recta de ajuste que se adecue mejor a nuestra
nube de puntos, cuya ecuación es
(1)
𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥
Esta recta de ajuste seleccionada es la llamada recta de regresión por mínimos cuadrados
que se obtiene seleccionando de entre todas las rectas de ajuste posibles, aquélla que hace
mínimo la suma de los cuadrados de las distancias verticales (residuos) de los puntos a la
recta, es decir:
𝝏𝝌𝟐 𝝏𝝌𝟐
=𝟎 ∧ =𝟎
𝝏𝒂 𝝏𝒃
𝑛 ∙ ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑ 𝑥𝑖 ∙ ∑ 𝑦𝑖 (2)
𝑏=
𝑛 ∙ ∑ 𝑥𝑖2 − (∑ 𝑥𝑖 )2
∑ 𝑦𝑖 − 𝑏 ∙ ∑ 𝑥 (3)
𝑎=
𝑛
Una vez que se tienen los valores de la pendiente 𝒃 y del intercepto 𝒂 es necesario
expresar de forma cuantitativa y cualitativa la calidad de ajuste.
𝑛 ∙ ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑ 𝑥𝑖 ∙ ∑ 𝑦𝑖
𝑟= (4)
√{𝑛 ∙ ∑ 𝑥𝑖2 − (∑ 𝑥𝑖 )2 } ∙ {𝑛 ∙ ∑ 𝑦𝑖2 − (∑ 𝑦𝑖 )2 }
este coeficiente expresa la calidad del ajuste en forma relativa, es un número sin unidades,
y está ligado al chi-cuadrado 𝜒 2
1 2
(5)
𝜒2 = ∙ {𝑛 ∙ ∑ 𝑦𝑖2 − (∑ 𝑦𝑖 ) } ∙ (1 − 𝑟 2 )
𝑛
y al residuo medio 𝜎
χ2 (6)
σ=√
(n − 2)
de forma que:
(7)
𝜒2 = 0 si y solo si 𝑟=1
Por lo que, cuanto más cercano a 1 sea el valor de 𝑟, mejor será el ajuste. Es posible
demostrar que ´𝑟 nunca puede ser mayor que 1.
EL ORDENADOR
Se puede usar software tales Gnupolt, Geogebra o Excel, que permiten mostrar la gráfica y
obtener la curva y la ecuación de regresión y su respectivo coeficiente de correlación.
También pueden descargarse al Smartphone aplicaciones como Vernier Graphical Analysis
4 o similares para análisis de datos.
Como apéndice, al final del documento se muestra el procedimiento para el Excel 2010.
LA CALCULADORA CIENTÍFICA
Las calculadoras científicas actuales se pueden realizar además de la Regresión Lineal los
siguientes cálculos estadísticos (STAT).
El estudio de este método, relativamente sencillo, tiene doble interés: de un lado, este tipo
de dependencia es frecuente entre magnitudes físicas, de otro lado, muchas otras
dependencias más complicadas pueden reducirse a esta sencilla mediante un cambio de
variable adecuado.
𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 𝒙𝟐 = 𝒛 𝒚 = 𝒂𝒛
𝒚 = 𝒂√𝒙 √𝒙 = 𝒛 𝒚 = 𝒂𝒛
Tabla 1
Mediciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
L (m) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
T (s) 0.52 0.73 0.89 1.03 1.15 1.26 1.37 1.46 1.55 1.63
Gráficas y ajustes.
Tabla 2
𝑥=𝐿 𝑦=𝑇
0.1 1.55
0.2 2.20
⋮ ⋮
2. Usando el Excel
2.1 En un solo papel, presente las gráficas en escalas milimetrada, logarítmica y
semilogarítmica, presente también la línea de tendencia, la ecuación y el coeficiente
de correlación en cada una de las gráficas.
Observación: Vea el procedimiento en el apéndice 2.
VI. CUESTIONARIO
1. ¿Cuál es su comentario acerca de las cuatro formas utilizadas para calcular los
coeficientes de correlación? ¿Existen diferencias en los resultados?
2. Teóricamente se conoce que el periodo de oscilación para un péndulo simple es 𝑇 =
2𝜋√𝐿⁄𝑔, donde 𝑔 = 9.8 m/s2 es la aceleración de la gravedad. Entonces, comparando
esta ecuación con la ecuación experimental 𝑇 = 𝑇(𝐿) obtenida en la sección anterior,
encuentre el valor experimental de la gravedad.
3. ¿A qué se denomina interpolación y extrapolación?
4. Calcule el valor de 𝑇 para 𝐿 = 45 cm y 110 cm.
5. Conociendo la ecuación teórica, realice el siguiente cambio de variable 𝑧 = √𝐿. ¿Qué
tipo de tipo de relación existe entre 𝑇 y 𝑧? Grafique en papel milimetrado esta nueva
relación de variables y realice el ajuste correspondiente. Presente la ecuación 𝑇 =
𝑇(𝐿) que se obtiene según este método.
OBSERVACION:
Tabla 3
H (cm) 30 10 4 1
1.5 66 37 22 9
2 37 20 12 5
3 17 9 6 2
5 7 4 2 1
Haciendo uso de los papeles gráficos y del método regresión por mínimos cuadrados,
determinar:
a. La ecuación 𝑡 = 𝑓(𝐻).
b. La ecuación 𝑡 = 𝑓(𝐷).
c. La ecuación 𝑡 = 𝑓(𝐻, 𝐷).
d. El valor de 𝑡 cuando 𝐻 = 20 cm y 𝐷 = 4 (interpolación)
e. El valor de 𝑡 cuando 𝐻 = 40 cm y 𝐷 = 6 (extrapolación)
7. Graficar usando la carta polar (a mano) y también usando el Excel en este caso el ángulo
debe expresarse en radianes. Identifique cada gráfica.
a) 𝑟 = 4 𝑠𝑒𝑛 2 b) 𝑟 = 4/ (1 − 𝑐𝑜𝑠 ) c) 𝑟 2 = 4
VIII. BIBLIOGRAFÍA
IX. APÉNDICE
A : SHIFT + A + = C : SHIFT + C + =
B : SHIFT + B + = r : SHIFT + r + =
Regresión lineal
Estimación Lineal
Manual de regresión lineal en Excel
Análisis de graficas
Análisis de regresión
Casio, Manual. Modelo𝑓𝑥 − 115𝐸𝑆; 𝑓𝑥 − 570𝐸𝑆; 𝑓𝑥 − 991𝐸𝑆,
Casio, Apéndice. Modelo 𝑓𝑥 − 115𝐸𝑆; 𝑓𝑥 − 570𝐸𝑆; 𝑓𝑥 − 991𝐸𝑆,
Gnuplot, http://www.gnuplot.info/download.html