Introducción al Álgebra

PRÁCTICA 1
Lógica y Teorı́a de Conjuntos

Lógica
1. Sean P : llueve, Q. brilla el sol, R: hay nubes. Traducir a notación lógica:

(a) Está lloviendo y el sol está brillando

(b) Si está lloviendo, entonces hay nubes

(c) Si no está lloviendo, entonces el sol no está brillando y hay nubes

(d) El sol está brillando si y sólo si no está lloviendo

(e) Si no hay nubes, entonces el sol está brillando

2. Sean P, Q y R como en el ejercicio anterior. Traducir al español:

(a) (P ∧ Q) → R (b) ∼ (P ↔ (Q ∨ R))
(c) (P → R) → Q (d)∼ (P ↔ (∼ Q ∧ R))
(e) ∼ (P ∨ Q) ∧ ∼ R

3. Evaluar el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes sabiendo que P
es F , Q es V y R es F :
(a) P ∨ Q (e) P ∨ ∼ (Q ∧ R)
(b) ∼ P ∨ ∼ Q (f)∼ (P ∨ Q) ∧ (∼ P ∨ R)
(c) P ∨ ∼ Q (g) ∼ (P ∧ Q) ∨ (∼ P ∧ R)
(d)Q ∨ (P ∨ R) (h) (P ∨ Q) ∧ (∼ P ∨ Q) ∧ (P ∨ ∼ Q) ∧ (∼ P ∨ ∼ Q)

4. Evaluar el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes sabiendo que
P y Q son verdaderas y R y S son falsas:

(a) P ∨ (Q ∧ R)

(b) (P ∧ (Q ∧ R)) ∨ ∼ ((P ∨ Q) ∧ (R ∨ S))

(c) (∼ (P ∧ Q) ∨ ∼ R) ∨ (((∼ P ∧ Q) ∨ R) ∧ S)

5. Para las proposiciones compuestas siguientes elabore las tablas de verdad correspon-
dientes:

(a) (P → Q) → [(P ∨ ∼ Q) → (P ∧ Q)]

(b) [(P ∨ Q) ∧ R] → (P ∧ ∼ Q)

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 Introducción al Álgebra

(c) [(P ↔ Q) ∨ (P → Q)] → (∼ Q ∧ P )

6. Se sabe que P → Q es falsa. Indicar los posibles valores de verdad para

(a) P ∧ Q (b) P ∨ Q
(c) Q → P (d)∼ P ∨ Q

7. Sean a, b, c ∈ R. Representar en forma simbólica los enunciados siguientes tomando

P : a < b, Q : b < c, R : a < c:

(a) a < b < c

(b) (a ≥ b y b < c) ∨ a ≥ c

(c) No es cierto que (a < b y a < c)

(d) No es verdad que (a < b y (a < c ∨ b < c)) ∨ (a ≥ b y a < c)

8. Comprobar con tablas de verdad, las propiedades distributivas de la disyunción y de

la conjunción:

(a) (P ∨ Q) ∧ R ≡ P ∧ R ∨ Q ∧ R (b) (P ∧ Q) ∨ R ≡ (P ∨ R) ∧ (Q ∨ R)

9. Comprobar con tablas de verdad las leyes de De Morgan:

(a) ∼ (P ∧ Q) ≡∼ P ∨ ∼ Q (b) ∼ (P ∨ Q) ≡∼ P ∧ ∼ Q

10. En la columna de la izquierda hay una lista de proposiciones. Para cada una de ellas,
indicar si la proposición correspondiente de la derecha, es o no su negación. Si no lo es
escribir correctamente su negación:

Hace frı́o Está caluroso

4 es múltiplo de 8 4 es divisor de 8
a≤b a>b
a≥b a≤b
a<b≤c a>b≥c
a<b≤c a≥b∨b>c
∼ (P ∧ Q) ∼ P∧ ∼ Q

11. Determinar el valor de verdad de las proposiciones siguientes:

(a) Si 2 + 2 = 4 entonces 2 + 4 = 8

(b) Si 2 + 2 = 5 entonces 2 + 4 = 8

(c) Si 2 + 2 = 4 entonces 2 + 4 = 6

(d) Si 2 + 2 = 5 entonces 2 + 4 = 6

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12. Sea P → Q definimos

Recı́proca: Q → P

Contrarrecı́proca: ∼ Q →∼ P con P → Q ≡∼ Q →∼ P

Escribir la recı́proca y la contrarecı́proca de cada una de las implicaciones siguientes:

(a) Si 4 es par entonces 1 > 0

(b) 2 + 3 = 5 si 1 + 1 < 3

(c) Si 4 es impar entonces 1 > 0

(d) Si 1 + 4 < 8 entonces 2 = 4

13. Supongamos que todos los dı́as que llueve Juan usa paraguas.¿Cuáles de las proposi-
ciones siguientes son verdaderas y de cuáles no puede afirmarse nada?

(a) Si llueve entonces Juan usa paraguas.

(b) Si Juan usa paraguas entonces llueve.

(c) Si Juan no usa paraguas entonces no llueve.

(d) Si no llueve entonces Juan no usa paraguas.

(e) Si no llueve entonces Juan usa paraguas.

14. Traducir a un lenguaje lógico las expresiones siguientes, definiendo el universo de dis-
curso, esquemas proposicionales y cuantificadores adecuados:

(a) Todas las ranas son anfibios.

(b) Algunos estudiantes estudian lógica.

(c) Ningún pino pierde sus hojas en otoño.

(d) Algunos figuras son pentágonos.

(e) Todos los pentágonos tienen cinco lados.

15. Se toma como universo del discurso a los números naturales. Traducir a un lenguaje
lógico las frases siguientes y luego negarlas:

(a) Algunos primos son pares.

(b) Todos los números pares son mayores que 1.

(c) Hay por lo menos 2 números pares

(d) No hay primos menores que 3.

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(e) Todos los números múltiplos de 4 son multiplos de 2.

(f) Algunos números pares no son múltiplos de 4.

16. Analizar el valor de verdad y escribir, en forma simbólica, su negación en cada una de
las proposiciones siguientes. Asumir que las variables toman valores en el conjunto de
los números reales.
(a) (∃x) [3x − 2 = −4x + 1] (b) (∃x) [x2 + x + 1 = 0]
(c) (∀x) [(x + 1) (x − 1) = x2 − 1] (d) (∃x) [x2 + 1 ≥ 0]
(e) (∀x) [x2 + 3x + 2 = 0] (f) (∃x) [x = −x]
(g) (∃x) [x3 + 6x2 + 11x + 6 = (x + 3) (x + 1)] (h) (∀x) [x + x = 0]
(i) (∀x) (∃y) x2 + y 2 = (x + y)2
 
(j) (∀x) (∀y) [x + y = y + x]
(k) (∃x) (∀y) [x + y = 0] (l) (∀x) (∀y) [x + y > 3]
(m) (∀x) (∃y) [x + y = 0]

17. En cada uno de los ejercicios siguientes deducir la conclusión:

(a) Deducir ∼ T (b) Deducir C (c) Deducir M ∨ N

R →∼ T A→B∧D ∼J →M ∨N
S→R B∧D →C F ∨ G →∼ J
S A F ∨G

(d) Deducir ∼ N
R →∼ S
R
∼S→Q
Q →∼ N

18. Escribir el lenguaje simbólico y deducir la validez o invalidez de los razonamientos

siguientes:

(a) Si no compramos una computadora nueva, entonces 64 K no es mejor que nada.

Compramos una computadora nueva. Por lo tanto, 64 K es mejor que nada

(b) Si 64 K es mejor que nada, entonces compramos una computadora nueva. Si com-
pramos una computadora nueva, entonces compramos mayor capacidad de memo-
ria. 64 K es mejor que nada. Luego, compramos mayor capacidad de memoria

(c) Si estudio mucho, entonces obtengo A como calificación o me hago rico. No obtengo
A como calificación y no me hago rico. Entonces, no estudio mucho.

(d) Si estudio mucho, entonces obtengo A como calificación. No estudio mucho. Por lo
tanto, no obtengo A como calificación

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Introducción al Álgebra

Conjuntos
1. En cada caso, para el conjunto universal U que se indica, probar que las proposiciones
dadas son falsas: o exhibiendo un contraejemplo o demostrando que su negación es
verdadera
(a) U = R; ∀x [−|z + 1| < 0] (b) U = N0 ;
∀x∀y [y > 1 − x]
(d) U = R; ∀x (x − 3)2 < x
 
(c) U = R; ∀x∃y [xy = 1]
h i
∀n n > 2n ∨ n = n2 x
 
(e) U = N; (f) U = N; ∀x∀y∃z y−z =1

Discutir si es posible redefinir U para que cada proposición resulte verdadera.

2. Dados los subconjuntos A, B, C de un conjunto universal U, probar las Leyes del

Álgebra de Conjuntos. Puede usarse el Principio de Dualidad.

3. Se dan los conjuntos:

P = {n ∈ N : n es par} M = {n ∈ N : n es impar}
I = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 1} M1 = {n ∈ N : n es impar y n < 31}
P1 = {n ∈ N : n es par y n = 5k, k ∈ N}

Describir los subconjuntos de R siguientes . En cada caso verificar si es posible que

estos subconjuntos estén contenidos en N.
(a) P ∩ M (b) P ∪ M (c) M − M1
(d) P − (P1 ∩ I) (e) I ∪ N (f) (M1 − P1 ) ∩ I
(g) P ∆M (h) I∆N (i) N − (R − I)

4. Dados los conjuntos A, B, C, probar que

(a) A ⊂ B y B ⊂ C ⇒ A ⊂ C

(b) Explicar la cadena de contenciones, atendiendo a la definición de estos conjuntos

de números:

{1} ⊂ N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

5. Dados los conjuntos A, B, C, D, probar:

(a) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B ⇔ B ⊂ A

(b) A∆B = ∅ ⇔ A = B

(c) A ∩ (B∆C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)

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Introducción al Álgebra

(d) A∆ (B∆C) = A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ (A ∩ B ∩ C)

Observar: A∆ (B∆C) = (A∆B) ∆C

(e) (A ∪ B) ∩ C ∪ B = B ∩ C

6. Determine si cada uno de las afirmaciones siguientes es verdadera o falsa:

(a) ∅ ⊆ ∅ (h) {∅} ∈ {∅}

(b) ∅ ∈ ∅ (i) {a, b} ⊆ {a, b, c, {a, b, c}}

(c) ∅ ⊆ {∅} (j) {a, b} ∈ {a, b, c, {a, b, c}}

(d) ∅ ∈ {∅} (k) {a, b} ⊆ {a, b, {{a, b}}}

(e) {∅} ⊆ ∅ (l) {a, b} ∈ {a, b, {{a, b}}}

(f) {∅} ∈ ∅ (m) {a, ∅} ⊆ {a, {a, ∅}}

(g) {∅} ⊆ {∅} (n) {a, ∅} ∈ {a, {a, ∅}}

S T
7. Para las familias siguientes (Ai )i∈I que se indican, calcular i∈I y i∈I :

(a) I = {4, 5, 6, 10}; Ai = {d ∈ N : d divide a i}

(b) I = N ; Ai = {1, 2, , . . . , i}
(c) I = N; Ai = {i} × {i}
(d) I = N ; Ai = [i, ∞)
= N ; Ai = − 1i , 1i


(e) I
(f) I = N; Ai = [i, i + 1)

8. Dada una familia indexada de conjuntos (Ai )i∈I con un conjunto de ı́ndice I, y dado
un conjunto B, siendo todos ellos subconjuntos de un conjunto universal U probar
las Leyes distributivas y de De Morgan:
S
S
(a) B ∩ i∈I Ai = i∈I (Ai ∩ B)
T
T
(b) B ∪ i∈I Ai = i∈I (Ai ∪ B)
S T
(c) i∈I Ai = i∈I Ai
T S
(d) i∈I Ai = i∈I Ai

9. Dados los conjuntos A, B, C, probar:

(a) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
(b) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)
(c) (A − B) × C = (A × C) − (B × C)
(d) A × (B∆C) = (A × B) ∆ (A × C)

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Introducción al Álgebra

10. De los 200 estudiantes, 50 toman el curso del Introducción al Álgebra, 140 el curso
de Programación y 24 ambos cursos. Como ambos cursos programaron exámenes
para el dı́a siguiente, sólo los estudiantes que no están en ninguno de estos cursos
podrán ir a la fiesta de la noche anterior. Queremos saber cuántos estudiantes están
en la fiesta

11. Supongamos que 60 de los 200 estudiantes del ejercicio anterior son estudiantes de los
primeros años. De estos 20 toman Introducción al Álgebra, 45 toman Programación
y 16 cursan ambas materias. Queremos saber cuántos estudiantas de los últimos
años estarán en la fiesta

12. Se ha realizado una encuesta sobre transportes urbanos. A cada persona se le pre-
guntó si para concurrir a su trabajo utiliza una de estas tres opciones: colectivo,
automóvil o subterráneo, permitiéndose más de una respuesta. La información que
arroja dicha encuesta es: 30 eligieron colectivo, 35 subterráneo, 100 automóvil, 15
colectivo y subterráneo, 15 colectivo y automóvil, 20 subterráneo y automóvil y 5
los tres medios de transporte. ¿Cuántas personas respondieron esta encuesta?

13. Según una encuestadora, de una muestra de 1000 personas, 234 consumen café,
helado y vino, 359 café, helado y galletitas dulces, 200 galletitas y vino pero ni café
ni helados, 45 las cuatro cosas, 250 solamente galletitas y 12 ninguna de las cuatro
cosas. Un estudiante aventajado nos explicó que esta encuesta es errónea. ¿Por qué?

14. De un grupo de 6 becarios que realizan trabajos en ninguna, una o varias de las
empresas que se citan más adelante, están matriculados en los últimos cursos de
ingenierı́a, y se conocen los datos siguientes: 50 trabajan en IBM, 40 en Techint, 45
en Globant, 20 trabajan en IBM y Techint, 20 trabajan en IBM y Globant, 15 lo hacen
en Techint y Globant, y 5 trabajan para las 3 empresas

(a) ¿Cuántos becarios no trabajan en ninguna de las tres empresas citadas?

(b) ¿Cuántos becarios trabajan sólo en IBM?

(c) ¿Cuántos becarios trabajan solamente en Globant?

(d) ¿Cuántos estudiantes becarios no trabajan ni IBM ni en Globant?

(e) De los becarios que trabajan en IBM o en Techint ¿Cuántos no trabajan en

Globant?

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Introducción al Álgebra

Leyes del Cálculo Proposicional Leyes del Álgebra de Conjuntos

Dados P , Q y R proposiciones Dados A, B y C subconjuntos
con universo del discurso U de un conjunto universal U
+ se verifican las Leyes siguientes:
Leyes asociativas Leyes asociativas
(1a) P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R (1a) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
(1b) P ∧ (Q ∧ R) ≡ (P ∧ Q) ∧ R (1b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Leyes conmutativas Leyes conmutativas
(2a) P ∨ Q ≡ Q ∨ P (2a) A ∪ B = B ∪ A
(2b) P ∧ Q ≡ Q ∧ P (2b) A ∩ B = B ∩ A
Leyes distributivas Leyes distributivas
(3a) P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) (3a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(3b) P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) (3b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Leyes de absorción Leyes de absorción
(4a) P ∨ (P ∧ Q) ≡ P (4a) A ∪ (A ∩ B) = A
(4b) P ∧ (P ∨ Q) ≡ P (4b) A ∩ (A ∪ B) = A
Leyes idempotentes Leyes idempotentes
(5a) P ∨ P ≡ P (5a) A ∪ A = A
(5b) P ∧ P ≡ P (5b) A ∩ A = A
Leyes de identidad Leyes de identidad
(6a) P ∨ F ≡ P (6a) A ∪ ∅ = A
(6b) P ∧ T ≡ P A∩U =A
Leyes de dominación Leyes de dominación
(7a) P ∨ T ≡ T (7a) A ∪ U = U
(7b) P ∧ F ≡ F (7b) A ∩ ∅ = ∅
Leyes de inversos Leyes de inversos
(8a) P ∨ ∼ P ≡ T (8a) A ∪ A = U
(8b) P ∧ ∼ P ≡ F (8b) A ∩ A = ∅
Leyes de De Morgan Leyes de De Morgan
(9a) ∼ (P ∨ Q) ≡∼ P ∧ ∼ Q (9a) (A ∪ B) = A ∩ B
(9b) ∼ (P ∧ Q) ≡∼ P ∨ ∼ Q (9b) (A ∩ B) = A ∪ B
Ley de la doble negación Ley de la doble negación
(10) ∼ (∼ P ) = P (10) A = A