Tipos de - Logica
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Tipos de Lgica
De proposiciones
Formal
LGICA
Tipos
De predicados
RAZONAMIENTO
Informal
Falacias
} }
NDICE
1. Introduccin 2. Lgica formal 2.1. Lgica proposicional o de enunciados 2.2. Lgica de predicados 3. Lgica informal 3.1. Las falacias 3.2. Paradojas, entimemas y sorites
Tipos de Lgica
1. Introduccin
En el tema 9 hemos estudiado que con la lgica no producimos nuevos conceptos o categoras con los que intentamos explicar las cosas, que es lo propio de las disciplinas tericas, pero tampoco encontramos en ella una dimensin inmediatamente pragmtica que promueva alguna transformacin en el orden del mundo. Sin embargo, recuerda que hemos dicho que sirve, entre otras cosas, como introduccin y preparacin para cualquier tipo de ciencia o quehacer, pues nos ayuda a formar el razonamiento permitindonos reconocer las mltiples y diversas formas de la realidad y establecer un orden en las cosas, sean ideales o materiales. Asimismo, hemos dicho que el ser humano construye intencionadamente lenguajes simblicos artificiales para que la correspondencia entre signo y significado sea unvoca, es decir, cada signo tiene siempre un nico significado, siendo el significado siempre el correlativo de un solo signo. Se dice por tanto que los lenguajes matemtico, fsico y lgico poseen signos que estn individualmente definidos de un modo exacto. Por ejemplo:
4, v, p,
= , +... en el lenguaje matemtico. e, t... en el lenguaje fsico. q, &, V , , , ... en el lenguaje lgico.
La lgica traduce en frmulas el lenguaje ordinario mediante smbolos y signos de la misma manera que lo hacen otras ciencias y disciplinas, como por ejemplo ocurre en el lenguaje musical.
Adems, estos lenguajes disponen de un conjunto de reglas que permiten establecer con claridad lo que significan cada una de las posibles uniones de signos dentro de una misma expresin (4+5, e/t, p q...), as como sus respectivas equivalencias (4 + 5 = 9; v= e/t, p & (p q) q...). No obstante, pese a que el lenguaje lgico tiene unas caractersticas propias, hay varios tipos o clases de lgica. Se puede hablar de la lgica formal y de la lgica informal, de la lgica proposicional, de predicados, etc. A continuacin vamos a referirnos a las principales divisiones de la lgica formal clsica, para luego dedicar algn tiempo a revisar ciertas cuestiones de la lgica informal.
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De la lgica formal clsica podemos destacar tres tipos diferentes: a) La lgica proposicional o de enunciados. Durante mucho tiempo se crey que Aristteles haba dejado completo el estudio de las cuestiones lgicas. No obstante, despus de l otros siguieron desarrollndola, aunque centrndose en aspectos como la analtica. Esta disciplina fue especialmente estudiada por los estoicos (siglo III a.C.), quienes formularon los principios de la lgica proposicional o de enunciados. Los estoicos enfatizaron sobre el uso y la importancia de los conectores y analizaron casos concretos de razonamientos paradjicos. b) La lgica de predicados. Desarrollada durante la Edad Media, los escolsticos tambin se ocuparon de estas cuestiones, y aunque seguan prcticamente las enseanzas aristotlicas, tambin trataron cuestiones como las propiedades de los trminos y el estudio de la consecuencia en las relaciones de condicionalidad, lo que dar lugar a la denominada lgica de predicados. Los escolsticos se preocuparon mucho por establecer el proceso que lleva a la verdad y la estructura correcta del razonamiento. c) La lgica de clases tambin llamada teora de los conjuntos. Fue creada por el matemtico alemn G. Cantor a finales del siglo XIX y principios del XX. Este tipo de lgica se ocupa de las agrupaciones de objetos (conjuntos o clases) que poseen alguna propiedad en comn (por ejemplo, los reptiles aluden a aquellos animales que tienen una serie de caractersticas comunes relacionadas con la forma de reproducirse, moverse, etc.; los morenos o las rubias hacen referencia a aquellos seres humanos con determinado color de pelo; etc.). Actualmente, hay muchas tendencias que rompen con los esquemas de la lgica clsica, aunque estos sigan siendo valiosos instrumentos para asegurar la correccin de razonamientos complejos que contienen multiplicidad de variables. Esas nuevas formulaciones responden, en algunos casos, a las exigencias que las nuevas aplicaciones tecnolgicas demandan y en otros, a tcnicas de habla y de argumentacin. Por esta razn, en la Modernidad, adems de mantener la idea de que la lgica es un camino de enseanza preparatorio para la ciencia, se ha impulsado otra dimensin que los clsicos, como el propio Aristteles, consideraban fundamental: se trata de la dimensin hermenutica, es decir, la lgica como arte de la interpretacin y la argumentacin. En este sentido, la lgica sirve para la formacin de argumentos intercambiados en espacios pblicos, lo que resulta muy til en actividades como el proceso judicial, la tribuna pblica o el anlisis de los discursos mediticos. Como ejemplo podemos ver que en algunas pelculas sobre juicios, ya sea la fiscala o la defensa presentan un discurso, acusatorio o de defensa, bastante estructurado con el objetivo de persuadir y convencer al jurado o al tribunal correspondiente. De ah que la denominada revolucin de la moderna lgica simblica haya seguido esos dos caminos (ciencia y argumentacin), ejemplificados en escritos de autores como Frege, Gdel, Whitehead y B. Russell, quienes con sus aportaciones (Principia Mathematica) renovaron el fundamento de la Matemtica. La lgica tambin aparece en el arte literario, como por ejemplo en las obras de Lewis Carroll, creador de las aventuras de Alicia, o Conan Doyle, inventor del genial Sherlock Holmes, quien razona con precisin los casos que investiga y utiliza la lgica para resolverlos. Veamos a continuacin las dos principales clases de lgica formal.
Vocabulario Hermenutica: arte de interpretar. Ciencia o disciplina que se ocupa de la interpretacin de cualquier conjunto de signos.
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2. Lgica formal
2.1. Lgica proposicional o de enunciados
Anteriormente hemos afirmado, de modo general, que a la lgica le interesa la relacin entre los conceptos y las proposiciones de un razonamiento, ms que el contenido material de tales proposiciones. Tambin comentamos que las proposiciones aparecen a su vez asociadas entre s de una manera particular, y es esa asociacin lo que da lugar a los razonamientos. Razonamos cuando extraemos ciertos enunciados o proposiciones llamados conclusiones, a partir de otros enunciados que denominamos premisas. Decamos que el razonamiento es un tipo particular de pensamiento en el que se realizan inferencias, es decir, se extraen o derivan conclusiones de unas premisas, de conocimientos previos con los que contamos de antemano. Cada da nos enteramos de las cosas porque recibimos informacin a partir de datos previos que combinamos para deducir ms conocimiento. Pues bien, cuando la lgica se ocupa de la relacin entre las proposiciones o enunciados con sentido semntico, sin detenerse en el anlisis de los trminos y conceptos particulares que los componen, decimos que estamos en presencia de una lgica de enunciados o lgica proposicional. Para ello, tal como sealamos, utiliza una serie de smbolos o signos y un conjunto de reglas que clarifican el significado de las posibles uniones de signos dentro de una misma expresin. En este caso, la lgica toma la forma de un clculo lgico, tendiendo a sustituir los enunciados por smbolos, con los que se pueden componer o traducir en frmulas lgicas las frases proposicionales elementales del lenguaje ordinario.
Vocabulario Proposiciones elementales: en el sentido de Withehead y Russell, se trata de las proposiciones que toman nicamente individuos (cosas, personas, etc.) como sus trminos. Asimismo, una proposicin elemental puede estar compuesta de otras proposiciones, pero nunca es una frase acerca de proposiciones.
En el lenguaje de la lgica se traducen en frmulas las proposiciones elementales. Dichas proposiciones se toman del lenguaje ordinario y cotidiano.
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Dentro de la lgica proposicional es necesario distinguir entre dos tipos de proposiciones: las simples o atmicas y las compuestas o moleculares. Las proposiciones simples son aquellas que no pueden dividirse sin que pierdan su significado, por ejemplo: Juan escribi la carta. Si decimos Juan escribi, podra ser una proposicin simple, pues contina siendo una unidad con sentido, pero el resto de la proposicin, la carta, perdera su sentido separado de la afirmacin Juan escribi, por tanto, toda ella constituye una proposicin indivisible (simple o atmica). Sin embargo, las proposiciones moleculares son aquellas que s pueden dividirse en dos o ms proposiciones atmicas, ya que por separado, cada oracin tendra sentido: Juan escribi la carta pero Mara no la recibi. El lenguaje de la lgica, como lenguaje artificial, adems de ser simblico es formal. Para l no cuenta el contenido sino la forma abstracta de los argumentos expresados. Dispone, por tanto, de una tabla de smbolos formales entre los que hay que distinguir las variables y las constantes. Los smbolos variables representan los enunciados o proposiciones con las que hacemos los razonamientos. Son signos a los que se puede atribuir cualquier contenido. Normalmente se utilizan letras, minsculas o maysculas segn sea el caso, (p, P, x, y...). Por ejemplo, a la frase La lluvia es buena para el campo le asignamos la letra p o la x como smbolo variable, por tanto, La lluvia es buena para el campo es igual a p. En cambio, los smbolos constantes como &, V , tre variables, y se denominan:
&
conjuntor (tambin suele identificarse con el smbolo . Podemos traducirlo con la conjuncin y pero, aunque, sin embargo...). (que se traduce como o). implicador (tambin suele identificarse con el smbolo y puede traducirse por si... entonces. Un ejemplo: Si llueve, llevo paraguas, que en modo smbolo queda p q).
V disyuntor,
negador (traducido como no, Como ejemplo, No llueve que se simboliza como p). bicondicional, que puede traducirse por si y solo si... (Un ejemplo: Solo cuando hace sol llevo gafas de sol, simbolizado como p q).
Son conocidos generalmente como conectores o conectivas, pues sirven para componer y combinar proposiciones a partir de otras ms simples. Por ejemplo: Llueve y el cielo est nublado se podra representar utilizando tanto las variables como las constantes de la siguiente manera: p & q. Adems, tanto las variables como las constantes siguen una serie de reglas que se utilizan para construir frmulas lgicas a travs de sus signos. As, en algunos casos en que se hace necesario agrupar diversos signos se usan signos auxiliares como los parntesis (...) y los corchetes [...], lo que permite a la vez reconocer la conectiva principal. De lo dicho sobre las constantes, las variables y los corchetes resulta, por ejemplo, que las proposiciones: a) Vi la pelcula, aunque no le la novela. b) Ni vi la pelcula ni le la novela.
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c) No es cierto que viese la pelcula ni leyese la novela. d) No vi la pelcula, pero le la novela. pueden ser formalizadas simblicamente de la siguiente manera: Siendo p: ver la pelcula, y n: leer la novela. a) p&n b) p&n c) (p&n) d) p&n Otro caso relevante es el de las proposiciones llamadas condicionales, formadas por dos o ms enunciados unidos por la conectiva condicional si..., entonces.... En ellas el enunciado que sigue a la palabra si (antecedente) establece las condiciones que son requisito para que se cumpla u ocurra la expresin o enunciado que sigue a la palabra entonces (consecuente). Por ejemplo: a) Si hay dioses, entonces el universo est regido conforme a la providencia divina. b) Si la gente utilizara el cinturn de seguridad, entonces se podran salvar cientos de vidas al ao. Tambin podemos formalizar esas proposiciones condicionales as: a) Siendo D: Existen dioses, y U: El universo est regido conforme a la providencia divina, se simboliza: D U b) Siendo S: La gente utiliza el cinturn de seguridad, y C: Se salvan cientos de vidas al ao, se simboliza: S C En el caso de las proposiciones condicionales debemos diferenciar las que expresan una condicin suficiente de aquellas que contienen una condicin necesaria. El primer caso se da cuando el consecuente (suficientemente o con cierta probabilidad) procede del antecedente (por ejemplo: Si no bebes, conducirs ms seguro). En este caso, no beber puede ser causa suficiente para conducir con ms seguridad, pero esto ltimo tambin puede darse por otras vas, como no ir rpido, ser prudente y cumplir las normas de seguridad vial, cuidar y revisar peridicamente el coche, etc.).
La condicin suficiente es causa probable pero no necesaria del antecedente que la precede. No beber es la causa probable de conducir ms seguro.
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El segundo caso se produce cuando el consecuente est implicado en el antecedente, por lo que resulta de aquel necesariamente, ineludiblemente. Por ejemplo: Si hay vida, entonces hay oxgeno, toda vez que sabemos que el oxgeno es condicin necesaria para mantener la vida. O bien, en el caso anterior, Solo si hay dioses, entonces el universo est regido conforme a la providencia divina, la existencia de dioses es causa necesaria de la providencia divina. De otro lado, ten en cuenta que, en el lenguaje habitual, cuando usamos el si sin ms especificacin estamos expresando una condicin suficiente, mientras que si usamos la expresin solo si generalmente estaremos expresando la condicin necesaria. Por ejemplo, Solo si hay oxgeno, hay vida: la primera premisa es condicin necesaria, se produce con toda seguridad. Los anteriores casos pueden ser transformados simblicamente as:
Condicin suficiente
Si no estudias, suspenders, siendo A (consecuente): suspender y B (antecedente): estudiar; A si no B, o bien, si no B entonces A, lo cual se puede expresar con implicador as: B A.
Condicin necesaria
Si hay vida, entonces hay oxgeno, siendo A (antecedente): hay vida, y B (consecuente): hay oxgeno; A solo si B, o bien, solo si B entonces A; lo cual puede expresarse con implicador as: A B.
Actividades
1. Siguiendo los ejemplos anteriores y el que seguidamente te proponemos, formaliza los siguientes enunciados o proposiciones en frmulas que combinen distintos conectores. (Propuesta: No es el caso que ni llueva ni nieve. Se simboliza: (L&N) en donde L equivale a llueve; y N equivale a nieve) a) No es cierto que llueve, pero no nieva. b) Llueve o nieva. c) Juan ir a la fiesta solo si Mara va. d) O los hombres han nacido iguales o no son libres. e) Democracia significa un modo de vida en el que la libertad y la justicia estn presentes. 2. Inventa cuatro enunciados con proposiciones moleculares y luego formalzalos en el lenguaje lgico. Procura que aparezcan los diferentes conectores que hemos estudiado.
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Si te das cuenta, a cada frase se le asigna una letra (A o B), siendo A el antecedente y B el consecuente.
Las relaciones entre el antecedente y el consecuente han sido uno de los problemas fundamentales de la lgica, el modus ponens fue la manera en que los estoicos explicaron esa relacin.
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b) Modus tollens (tollere = quitar). Tambin creada por los estoicos. En este caso, si se dan determinadas premisas se daran determinadas conclusiones, pero con la diferencia de que si alguna de las premisas es negativa, puedo deducir una conclusin negativa que coincide con la negacin del antecedente. Por ejemplo: Si cuando llueve (A), llevo gabardina (B), y resulta que no llevo gabardina (B), entonces no llueve (A) A B B A
Vocabulario Implicacin lgica: se trata de la relacin que conecta dos premisas o elementos proposicionales, de modo que siempre que la primera premisa es verdadera la segunda tambin lo es.
En ambos casos, la premisa mayor es una implicacin (condicin necesaria), mientras que la premisa menor es un dato positivo o negativo que permite, o bien afirmar (ponere) el consecuente o bien negar (tollere) el antecedente. c) Otra regla es la cadena transitiva implicacional, que resulta cuando se conectan condicionalmente entre s dos proposiciones A y C, mediante una tercera B, que opera como eslabn intermedio. De esta manera: Si todos los buenos alumnos (A) son estudiosos (B). A B Si todos los alumnos estudiosos (B) obtienen buenas notas. entonces, los buenos alumnos obtienen buenas notas.
B A
C C
d) Una regla de mucha utilidad en la elaboracin de argumentaciones contrapuestas, como en el caso del debate judicial, o bien en el anlisis de las teoras de las ciencias empricas, es la reduccin al absurdo (reductio ad absurdum). Se trata, en este caso, de rechazar toda hiptesis de la que se sigan consecuencias contradictorias. Por ejemplo: Si pensamos en el hecho de que nuestro amigo Jos est en casa (A), A pero resulta que en todo caso las luces de su casa estn encendidas y no estn encendidas al mismo tiempo (B y no B), B&B entonces llegamos a la conclusin (absurda) de que Juan no est en casa (no A). A Ms adelante, este mecanismo nos permitir superar o aclarar las contradicciones que aparecen en las paradojas. d) Finalmente, existen una reglas deductivas o principios de suma importancia que estn relacionados principalmente con el uso de la negacin. Se trata de las siguientes:
Principio de identidad Regla de la doble negacin A=A Una cosa es igual a s misma: Si fuiste a la fiesta, fuiste a la fiesta. Negar una negacin es equivalente a afirmar el contenido de aquella: No es cierto que no fuiste a la fiesta, por tanto, fuiste a la fiesta. La afirmacin y la negacin de lo mismo no pueden ser verdaderas simultneamente: No es cierto que fuiste y no fuiste a la fiesta. Entre la afirmacin y la negacin de una cosa no existe una tercera posibilidad: Fuiste a la fiesta o no fuiste a la fiesta.
A
A
(A & A)
A V A
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De la misma manera, existen otras reglas que dan lugar a estrategias lgicas diversas, pero por ahora, son suficientes las mencionadas para que podamos comprender la utilidad de la lgica.
Cada una de las proposiciones, ya sean las premisas o la conclusin, puede afirmarse por separado que son verdaderas. Pero a la vez, vistas en la forma en que se encadenan, de modo que la conclusin se deriva necesariamente de las premisas, observamos que se trata de un razonamiento vlido o correcto, lo que se conoce como razonamiento silogstico. Lo anterior, como habamos anticipado, nos lleva al hecho de que la lgica clsica generalmente es una lgica bivalente; es decir, solo admite dos valores de verdad: verdadero y falso, que se pueden representar en una tabla como la que sigue:
p 1 0
p
0 1
Donde p es cualquier proposicin ya sea verdadera (1) o falsa (0), y, correlativamente, p ser falsa (0) o verdadera (1), pues segn lo vimos con la regla del tercero excluido, no puede haber otra tercera alternativa.
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Siguiendo con el ejemplo de Todos los caballos son mamferos, puede ser verdadero (1) o falso (0). Si es verdadero (1) que Todos los caballos son mamferos, entonces es falso (0) que No todos los caballos son mamferos; y si fuera falso (0) que Todos los caballos son mamferos, entonces es verdad (1) que No todos los caballos son mamferos.
Ahora bien, usando las conectivas podemos analizar relaciones entre proposiciones atmicas. Como, al menos, son dos y cada proposicin es susceptible de ser verdadera o falsa, entonces hay cuatro posibles combinaciones. Estas generan las siguientes tablas:
La
La conjuncin es verdadera solo si ambas proposiciones son verdaderas, en cualquier otro caso ser falsa. En este caso si es verdad que (p) camino y tambin es verdad que (q) sonro, la proposicin (p&q) camino y sonro es verdadera.
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La
Si es verdad que (p) camino o (q) sonro, entonces tambin lo es que (p V q) camino o sonro. La disyuncin solo es falsa si ambas proposiciones son falsas. Este tipo de disyuncin se denomina inclusiva, como ocurre en el ejemplo propuesto, ya que en este caso pueden darse a la vez las dos acciones que se afirman: (p V q) camino o sonro. No obstante, la disyuncin exclusiva es aquella en la que no se pueden dar las dos a la vez. Por ejemplo: Hace fro o calor. En este caso una excluye a otra. Suele simbolizarse mediante el disyuntor, el negador y el conjuntor, adems de parntesis: (p V q) & (p & q). No puede ser que haga a la vez fro y calor.
El
condicional o implicador p
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0
p q 1 0 1 1
El condicional solo es falso si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, ya que eso es la condicin. En todos los dems casos es verdadero.
El
El bicondicional es falso si uno de sus componentes es falso; en los dems casos es verdadero. Evidentemente, puede darse el caso de tener ms de dos proposiciones atmicas, por lo que las posibilidades de combinacin se multiplican.
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Curiosidad filosfica
El cdigo Enigma era uno de los principales instrumentos de codificacin durante la Segunda Guerra Mundial. Se trataba de una mquina con un teclado en idioma alemn que combinaba secuencias numricas con secuencias de letras y fue utilizado por los militares nazis para enviar mensajes cifrados a sus tropas quienes, al mismo tiempo, los decodificaban a media que los iban recibiendo. Los submarinos alemanes provocaron muchas bajas a los aliados mediante la mquina Enigma. Los servicios secretos aliados, especialistas en lgica, gracias a los polacos y al matemtico britnico y uno de los padres de la inteligencia artificial, Alain Turing, lograron interceptar y descodificar el complejo cdigo en el que se basaba el funcionamiento de la mquina. De esta manera, los mensajes secretos de los alemanes podan ser descifrados y ledos sin que ellos lo supieran. Al saberse con antelacin sus movimientos estratgicos, los aliados ganaron numerosas contiendas.
La utilidad de las tablas de verdad es la posibilidad de determinar el valor de verdad que encontramos en un razonamiento. Por tanto, se puede recurrir a las tablas de verdad para comprobar la validez o invalidez de un razonamiento. Un razonamiento es vlido cuando la conclusin se sigue necesariamente de las premisas. Dicho razonamiento ha de tener la forma de un condicional, cuyo antecedente est formado por las diversas premisas, unidas por conjunciones; y cuyo consecuente es la conclusin. Tras construir su correspondiente tabla de verdad, si en todos los casos resulta ser verdadero, estamos ante una tautologa. Si en todos los casos resulta ser falso, estaremos ante una contradiccin. Y si resulta en unos casos verdaderos y en otros falsos diremos que es una indeterminacin o una proposicin contingente. Veamos el siguiente ejemplo: Si no estudias, no aprobars el examen. No has estudiado. Luego no has aprobado el examen. La tabla de verdad sera la siguiente:
p V V F F q V F V F p F F V V q F V F V p V V F V q (p q) & p F F F V [(p q) & p] q V V V V
Podemos comprobar que se trata de una tautologa y, por tanto, que es un razonamiento formalmente vlido.
Actividades
3. Formaliza en el lenguaje lgico los siguientes argumentos y comprueba, mediante su correspondiente tabla de verdad, si son vlidos o no: a) Si Antonio no ha ido a trabajar, entonces la fbrica estar cerrada; pero la fbrica est abierta; por tanto, l ha ido a trabajar. b) Si subes las escaleras, entonces estars cansado; por tanto, si no ests cansado es que no has subido las escaleras.
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c) Te dije que estudiaras o suspenderas el examen. Y has suspendido, luego no has estudiado. d) Si no hay justicia en el mundo, la riqueza no estar bien repartida. Y si la riqueza no est bien repartida, habr personas que mueran de hambre. Luego, si no hay justicia, morirn personas de hambre. e) Slo si se lleva una vida sana, se podr vivir muchos aos. l ha muerto joven; por tanto, no llevaba una vida sana. 4. Construye un razonamiento con dos proposiciones unidas por una conjuncin (&) y establece la correspondiente tabla de verdad. 5. Haz lo mismo pero con un razonamiento que est estructurado por una bicondicional ( ).
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a los que se les puede aplicar ese nombre, mientras que si decimos caballo andaluz reducimos el nmero de posibilidades, pues, en ese caso, dentro del campo de significacin (connotacin) de ese concepto ya no caben, por ejemplo, los caballos percherones.
Simblicamente, el generalizador puede ser representado mediante el smbolo , y el particularizador con el smbolo V . De esta forma, si decimos Todos los caballos son corredores veloces, y si x es un caballo, entonces x es un corredor veloz (C) y lo representamos as: A la vez, si decimos Algn caballo es un corredor veloz, lo representamos as:
V x Cx V Universal positiva (A) Universal negativa (E) Particular positiva (I) Particular negativa (O)
x Cx
Con lo que estamos indicando que, al menos un individuo, posee la caracterstica anotada. Estos cuantificadores han quedado incorporados en la lgica tradicional, derivada de las enseanzas de Aristteles, quien dividi las proposiciones en cuatro categoras, segn la cantidad y la cualidad de los trminos que utiliza, de forma que, por la cantidad, las proposiciones se dividen en universales y particulares, mientras que por la cualidad se dividen en positivas y negativas.
Todos los caballos son mamferos. Ningn caballo es ovparo. Algn caballo es de raza andaluza. Algn caballo no es corredor.
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Puestas en relacin estas cuatro clases de proposiciones, se establecen las siguientes oposiciones:
A Contrarias E
Subcontrarias
Difieren en cantidad y cualidad: la A y la O; la E y la I. Son universales, pero difieren en la cualidad: la A y la E. Son particulares, pero difieren en la cualidad: la I y la O. Difieren en la cantidad: la A y la I; la E y la O.
Ahora bien, si mezclamos las dos caractersticas o propiedades de los conceptos (connotacin y denotacin) y la divisin aristotlica de las proposiciones, siguiendo las reglas deductivas o principios antes mencionados, aparecen las reglas y relaciones de los juicios, entre las que se pueden mencionar las siguientes:
Las proposiciones contradictorias Las proposiciones contrarias Las proposiciones subcontrarias Las proposiciones subalternas Siempre una ser verdadera y otra falsa, pues no pueden ser ambas verdaderas ni ambas falsas. Ambas no pueden ser verdaderas, pero ambas s pueden ser falsas; incluso, una puede ser verdadera y otra falsa. Ambas pueden ser verdaderas, pero ambas no pueden ser falsas. Ambas pueden ser verdaderas, pero tambin ambas pueden ser falsas; incluso, una puede ser verdadera y otra falsa.
Actividades
6. Formaliza los siguientes enunciados, determinando en cada caso el cuantificador correspondiente. Sigue la secuencia de este siguiente ejemplo: Los hipoptamos nunca trepan a los rboles x(Hx Tx) (H: hipoptamo; T: trepa a los rboles) a) Los hombres no son siempre ricos. b) Un nio seal con el dedo al emperador. c) Los leones son felinos. d) El catarro comn nunca es mortal. 7. Inventa y formaliza tres enunciados diferentes determinando en cada caso el cuantificador correspondiente.
V
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2.2.2. El silogismo
Con lo explicado anteriormente resulta ms fcil comprender el silogismo, que fue la forma lgica de los razonamientos ms destacada de la lgica clsica. En este caso, tenemos un razonamiento compuesto por tres enunciados o proposiciones. Las dos primeras son denominadas premisas y la tercera conclusin, la cual se deriva deductivamente, es decir, necesariamente, de las primeras. El ejemplo clsico de silogismo:
Todos los seres humanos son mortales. Scrates es un ser humano. Scrates es mortal. Premisa mayor Premisa menor Conclusin
Como puedes ver, la conclusin se deduce lgicamente de sus premisas. Adems, en este caso no importa si el contenido de las proposiciones es verdadero o falso para que la forma del razonamiento sea correcta; en nada cambia el significado de la premisa mayor. Lo que importa es la inferencia que se da a partir de las dos premisas. Si son correctos formalmente, entonces la conclusin se derivara necesariamente de ellas, por tanto, el razonamiento es correcto. El silogismo se estructura con tres trminos bsicos: el mayor, el menor y el medio. La forma en que estos aparecen en la estructura del silogismo es la siguiente: el trmino mayor hace de predicado en la conclusin, el trmino menor hace de sujeto en la conclusin, y el trmino medio solo hace de trmino comparativo entre ambas premisas.
Trmino mayor Trmino menor Trmino medio son mortales Scrates los seres humanos
En el caso anterior, resultara as: Gracias al silogismo podemos comprobar cmo con el razonamiento podemos entendernos cuando hablamos. Finalmente, para que un silogismo sea correcto o vlido debe ajustarse a las siguientes reglas:
Solo
Los trminos mayor y menor no pueden tener una extensin diferente en la con-
clusin que en las premisas. En el ejemplo anterior, la extensin, es decir, el conjunto de entes al que hacen referencia los trminos, no vara, pues mortales se refiere a los seres humanos, grupo al que pertenece Scrates.
El
trmino medio debe tomarse en toda su extensin, por lo menos una vez, en el razonamiento. Por ejemplo, en la premisa mayor se considera la totalidad de la clase de los seres humanos.
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Tipos de Lgica
El
trmino medio no debe entrar en la conclusin. Por ejemplo, en la conclusin se excluye el trmino seres humanos. premisas afirmativas no pueden concluir en una negativa. En el ejemplo analizado, ambas premisas son afirmativas, responden a un estado de cosas empricamente comprobable y la conclusin es igualmente verdadera. dos premisas negativas no se deduce ninguna conclusin. Por ejemplo:
Dos
De
Ningn ser humano es mortal. El filsofo Scrates no es un ser humano. Scrates es inmortal. En cualquiera de los tres casos nos encontramos con situaciones evidentemente falsas.
La
conclusin tiene ms posibilidades de hacer que el silogismo sea falso, es decir, si hay una premisa positiva y otra negativa, la conclusin ser siempre negativa. Por ejemplo:
Todos los seres humanos son inmortales. (F) El filsofo Scrates es un ser humano. (V) Scrates es inmortal. (F)
Si
se trata de una premisa universal y otra particular, la conclusin debe ser particular. Esta regla se cumple en el ejemplo propuesto.
Todos los seres humanos son mortales. (Universal) Scrates es un ser humano. (Particular) Scrates es mortal (Particular)
Scrates estableci uno de los postulados ms importantes de la lgica del que han partido numerosos estudiosos hasta la actualidad. De esta misma forma, en nuestra vida cotidiana establecemos premisas para sacar conclusiones.
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Algunos seres humanos son filsofos. Scrates es un ser humano. Scrates es filsofo. En este caso, la conclusin no se sigue necesariamente de las premisas, como lo suponen las reglas del silogismo.
3. Lgica informal
Los dos tipos de lgica revisados hasta el momento forman parte de la lgica deductiva o lgica formal. En ella la conclusin de los razonamientos se deduce necesariamente de las premisas, como en el prototpico caso del silogismo. Mediante ella, hemos visto que razonamos bien sabiendo cundo acertamos y cundo nos equivocamos en funcin de lo que nos dicen. Sin embargo, en la vida cotidiana, normalmente no procedemos mediante razonamientos deductivos de ese tipo, sino que en nuestras argumentaciones ordinarias mezclamos elementos racionales con otros volitivos, pasionales, valorativos, etc., que complican la objetividad y la certeza de lo que decimos. Asimismo, en no pocas ocasiones formulamos argumentaciones con el propsito de convencer o persuadir a nuestros interlocutores, intentando darles la apariencia de que son ciertas o correctas, aunque en realidad pueden esconder falacias, mentiras, paradojas o falsos argumentos, que debemos dilucidar y descubrir.
Lo abstracto escapa de las leyes de la lgica y ahonda en los sentimientos profundos del ser humano.
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Tipos de Lgica
Esto es lo que da lugar a la denominada lgica informal, que ha tenido un fuerte impacto en las investigaciones y el desarrollo de diversas aplicaciones tecnolgicas. En este breve recorrido por los caminos de la lgica, nos interesa ahora revisar algunos de los casos ms relevantes en materia de lgica informal, principalmente el anlisis de algunas de las falacias ms representativas y de los argumentos paradjicos clsicos.
No debemos confundir este caso con el modus ponens, el cual es una forma vlida de razonamiento donde la premisa menor es el antecedente, pero no el consecuente de la mayor (sera A, siendo la conclusin B: A B). Adems, en el caso de la falacia del consecuente, no por el hecho de estar cansado (B) se deduce que se haya corrido (A). Sin embargo, en adelante, nos centraremos en el estudio de las llamadas falacias no formales, en la medida en que son las ms comunes en la vida cotidiana y ya no se quedan en el plano formal de las proposiciones, sino en el contenido de los razonamientos. Los griegos denominaban sofismas y los latinos falacias al tipo de argumentacin que, pretendiendo persuadir, formula aparentemente un razonamiento, pero de manera defectuosa. As, falacias, que es la denominacin que seguiremos, es un tipo de argumentacin incorrecta. Una falacia bastante grave sera decir que como Diego Armando Maradona es argentino, los mejores futbolistas son argentinos. Entre las falacias informales podemos reconocer dos tipos: falacias de atinencia y falacias de ambigedad.
Vocabulario Atinencia lgica: se dice de los razonamientos en los que la conclusin muestra o tiene relacin o consecuencia con las premisas de las que se desprende. Tambin puede ser sustituida por su sinnimo atingencia.
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a) Apelacin a la fuerza (argumentum ad baculum). Cometemos este error cuando se apela a la fuerza o a la amenaza de fuerza para provocar en el interlocutor la aceptacin de una conclusin. Puede tratarse de mtodos de intimidacin diferentes a la fuerza fsica, pero que tienden a producir un efecto anlogo. En el mbito de las relaciones interpersonales, el argumentum ad baculum puede presentarse, por ejemplo, cuando se doblega la voluntad de alguien con la amenaza del abandono. En el mbito internacional, por su parte, est presente en la amenaza del uso de la fuerza o mediante la guerra. b) Argumento ofensivo (argumentum ad hominem). Incurrimos en este error cuando en vez de refutar la verdad de lo que afirma nuestro interlocutor lo atacamos directamente. Este argumento es falaz ya que el carcter personal de quien afirma algo no tiene relevancia lgica para determinar la verdad o falsedad de lo que dice. Este tipo de argumentacin aparece comnmente en los procesos judiciales, en los casos en que, en vez de demostrar la autora de una accin delictiva por parte de una persona, se exhibe su trayectoria vital como una muestra de su responsabilidad en los hechos que se le imputan. As, por ejemplo, cuando se pretende demostrar que una persona es responsable de un robo porque no tiene trabajo conocido o abandon su hogar. Este argumento se da, por ejemplo, cuando ante nuestros padres no admitimos la responsabilidad de alguna falta, objetando que ellos tambin lo hicieron en su momento. c) Argumento por ignorancia (argumentum ad ignorantiam). Cuando pretendemos que algo es cierto solo por el hecho de que no se ha probado su falsedad, o a la inversa, que es falso porque no se ha demostrado su verdad, incurrimos en este tipo de falacia. Por ejemplo, afirmar que es cierto que los ovnis no existen puesto que no se ha logrado probar la existencia de vida extraterrestre, es un caso de argumento por ignorancia; ahora bien, afirmar lo contrario configurara el mismo tipo de error. En este caso, se debe a que es un asunto sobre el cual, con la informacin de que se dispone, no se puede emitir un juicio racional. d) Apelacin a la piedad (argumentum ad misericordiam). Se cae en este error cuando se recurre a las emociones y los sentimientos, como la piedad, la comprensin, la solidaridad, etc., para que se acepte una determinada conclusin. Esta situacin se
Las falacias estn presentes en nuestro da a da, por ello debemos reflexionar sobre las argumentaciones de los dems para descubrir si los razonamientos expuestos son defectuosos o bien son correctos.
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da, por ejemplo, cuando se pretende afirmar la inocencia de alguien basndose en su buena presentacin y exquisitos modales. Con este tipo de pseudorazonamientos se pueden establecer conclusiones realmente ridculas. e) Apelacin a la autoridad (argumentum ad verecundiam). En esta apelacin a la autoridad se basa en el respeto que se tiene hacia personas socialmente reconocidas, como argumento para lograr el asentimiento a una conclusin, con independencia de si sus argumentaciones se expresan con rigor y con conocimiento de causa. Hoy en da, en un medio dominado por la imagen, particularmente la imagen televisiva, muchas personas forman sus criterios en base a lo que afirma este colectivo, o bien, les citan como autoridad para probar lo que estn afirmando. f) La causa falsa (non causa pro causa). Cuando se toma como causa de un evento algo que no lo es, nos encontramos con este tipo de falacia. Por ejemplo, la idea de que sudar mucho es un medio para adelgazar, o bien, pensar que si se toca el claxon del coche insistentemente har avanzar la fila de vehculos cuando estamos en un embotellamiento. g) Peticin de principio (petitio principii). Este error consiste en dar por demostrado lo que habra que demostrar para obtener la conclusin que se desea. Cuando en una argumentacin la conclusin repite exactamente alguna premisa, el error queda muy evidente. Sin embargo, en el habla comn es posible formular la misma proposicin con oraciones diversas, como habamos visto ms atrs, as que esto puede oscurecer el hecho de que una y la misma proposicin aparece como premisa y como conclusin. De esta forma, si se dice que una pelcula de cine fantstico es mejor que otras porque las personas de buen gusto as lo consideran, pero ante la pregunta acerca de quines son las personas de buen gusto, se afirma que son aquellas que ven pelculas fantsticas, incurrimos en una peticin de principio.
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8. Determina el tipo de falacia en que se incurre en cada uno de estos casos y explica en qu consiste. a) Ningn matemtico ha logrado nunca demostrar la verdad del famoso ltimo teorema de Fermat; por lo tanto, debe ser falso. b) Hoy me toca a m batear. A fin de cuentas, es mi pelota. c) Ese estudiante dice que yo soy su profesor favorito; y debe de decir la verdad, porque ningn estudiante le mentira a su profesor favorito. d) Lo que el labrador siembra en la primavera, lo recoge en el otoo. En la primavera siembra trigo de dos euros el kilogramo. Por lo tanto, en el otoo, el labrador cosecha trigo de dos euros el kilogramo. 9. Construye un razonamiento que sea un ejemplo de falacia: a) De apelacin a la fuerza. b) De apelacin a la autoridad. c) De argumento por ignorancia.
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Estos son solo algunos ejemplos de falacias a las que nos vemos expuestos diariamente. Intentar clarificarlas tiene un efecto prctico muy importante, pues su deteccin y comprensin es importante para defendernos y estar atentos ante posibles engaos.
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10. Determina el tipo de falacia que contienen los siguientes pasajes, y explica en qu consiste cada una de ellas. a) El seor Rodrguez es un pobre hombre y pierde siempre que juega a las cartas. Por lo tanto, el seor Rodrguez es un pobre perdedor. b) El padre de ella tiene una apariencia distinguida, de modo que debe ser un hombre distinguido. c) Las amenazas terroristas no son nuevas. Por lo tanto, las amenazas terroristas son buenas nuevas, ya que no son antiguas. 11. Construye una falacia que tenga elementos de equvoco y composicin.
En los aos 60, el movimiento hippie mezcl smbolos blicos con flores para protestar contra las guerras. En esta simbologa expresaban sus ideales a travs de la paradoja.
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En la Antigedad, Zenn de Elea (siglo V a.C.), discpulo de Parmnides de Elea, trat de demostrar la validez de las enseanzas de su maestro frente a la existencia y posibilidad del movimiento. Ambos pensaban que este no era posible y para ello formul varias paradojas que ms tarde Aristteles expuso y discuti en su Fsica.
Curiosidad filosfica La paradoja del mentiroso, tambin llamada la paradoja de Epimnides o del cretense, es un tipo de paradoja semntica desconcertante y que plantea un problema a quien pretenda construir sistemticamente una teora de las relaciones entre el lenguaje y la realidad. Por medio de ella se dice que Epimnides el cretense haba declarado que todos los cretenses son mentirosos. Resulta que l mismo era cretense. Estaba entonces diciendo la verdad? Existe una versin ms simple y popular cuando alguien afirma Miento. Quien as se expresa, est diciendo la verdad? Cmo se puede decir la verdad mintiendo o cmo se puede mentir diciendo la verdad?
De este modo, entre las dos paradojas aristotlicas tenemos: a) La paradoja que podemos denominar de la quietud, que afirma que nada se mueve, pues de lo contrario el mvil debera alcanzar el punto medio del camino antes de poder llegar al final. Pero, tambin, cada vez debe llegar primero al punto intermedio entre la mitad del camino y antes de llegar a su meta, y as sucesivamente. Este razonamiento podra reconstruirse as: Si algo se desplaza de un punto a otro ha de recorrer una distancia. Toda distancia es ilimitadamente divisible. La suma de las partes resultantes de dividir ilimitadamente una distancia es igual a infinito. Nadie es capaz de recorrer una distancia infinita. No obstante, el argumento, que se formula para demostrar la imposibilidad del movimiento, terminara afirmando una proposicin contradictoria; por tanto, en virtud del mtodo de la reduccin al absurdo tendramos que desecharlo, aunque este paso nunca fue dado por Zenn. b) Otra de las paradojas de Zenn, que Aristteles recogi, es el argumento llamado Aquiles, que consiste en afirmar que un corredor ms lento nunca ser alcanzado por uno ms rpido, pues para esto el ltimo debera primero llegar al lugar de donde parti el corredor perseguido, con lo cual el corredor ms lento siempre estar un poco ms adelante. Este argumento vuelve sobre la tesis de la divisin infinita de una distancia y tiene el mismo desenlace absurdo que el anterior.
Vocabulario Entimema: silogismo abreviado que, por sobreentenderse una de las premisas, nicamente consta de dos proposiciones, llamadas antecedente y consecuente.
Otro tipo de dificultad que enfrentamos en el reconocimiento y reconstruccin de los razonamientos est representado por el entimema, que es un silogismo incompleto en el que falta una o incluso las dos premisas. De alguna manera, aparece este tipo de razonamiento en las mximas o aforismos, por ejemplo, en la expresin No es oro todo lo que reluce, que es una conclusin pero se han omitido las premisas, que podran ser las siguientes:
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Los objetos de oro siempre relucen. El sol siempre reluce. Por tanto, no es oro todo lo que reluce. Tambin: El Sol alumbra, luego es de da puede llevar al equvoco de que siempre ser de da mientras el Sol ilumine aunque no alumbre en el lado donde es de noche, en la Tierra. Adems, para terminar este rpido recorrido por los campos de la lgica, debemos mencionar el sorites, que es una cadena de argumentos en la que la conclusin del primero sirve de premisa para el segundo, y as sucesivamente, hasta alcanzar la conclusin definitiva. Se trata de argumentos sucesivos, como en el caso siguiente: Los empleados fijos trabajan ms a gusto, con lo que se identifican mejor con la empresa, lo que les anima a preocuparse ms por la calidad del producto. Si contratamos trabajadores fijos, mejorar la calidad de nuestros productos. De otro lado, se puede inducir al error cuando omitimos alguna parte de la cadena de argumentos, en este caso, cuando decimos que Los empleados fijos trabajan ms a gusto y con ellos se mejora la calidad de nuestros productos.
Vocabulario Sorites: raciocinio compuesto de muchas proposiciones encadenadas, de modo que el predicado de la proposicin antecedente pasa a ser el sujeto de la proposicin que le sigue, hasta que en la conclusin se une el sujeto de la primera proposicin con el predicado de la ltima proposicin.
El sorites es un trmino lgico poco conocido, sin embargo, este tipo de argumentos sucesivos se utilizan con frecuencia en nuestra vida cotidiana para justificar nuestras explicaciones.
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Las sorites aparecen por tanto de dos formas. En la primera, llamada por los escolsticos regresiva, el predicado de cada proposicin es el sujeto de la siguiente. Por ejemplo: A es B B es C C es D Luego A es D Jerez est en Cdiz Cdiz est en Andaluca Andaluca est en Espaa Jerez est en Espaa
En este caso, la conclusin se refiere al mismo sujeto con que se inici la cadena, aunque cambia el predicado. Un razonamiento incompleto sera decir que Jerez est en Espaa porque est en Cdiz. Por el contrario, en la segunda forma, denominada progresiva, cambia el sujeto de la conclusin, pero no el predicado; en esta forma el sujeto de cada proposicin es el predicado de la siguiente: C es D B es C A es B Luego A es D Andaluca est en Espaa Cdiz en Andaluca Jerez en Cdiz Jerez est en Espaa
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12. Reconstruye las premisas que podran tener como conclusin el siguiente enunciado, de modo que resulte un razonamiento vlido: Quien a buen rbol se arrima, buena sombra le cobija. 13. Halla la conclusin del sorites en cada uno de los ejercicios siguientes: a) A menos que sea culto, nadie recibe el Times. b) Ningn erizo sabe leer. c) Los que no saben leer no son cultos. d) Los bebs son ilgicos. e) Nadie que pueda dominar a un cocodrilo es menospreciado. f) Las personas ilgicas son menospreciadas.
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