Lenguaje Matema Tico

1
Universidad de Playa Ancha

Departamento de Matemáticas y Estadı́stica
Gua Lógica
Álgebra
2016
0.1. Ejercicios
1. Siendo p : José es estudioso y q : Juan es estudioso, escribir en forma simbólica:
a) José es estudioso y Juan no es estudioso.

b) José no es estudioso y Juan es estudioso.
c) José y Juan, no son estudiosos.
d ) No es cierto que Juan o José sean estudiosos.
2. En cual de sus significados está .o”(no excluyente) en las siguientes proposiciones:
a) Si ganáse mucho dinero o ganara la loterı́a, haráa un viaje.

b) El lunes iré a la estación de trenes o al terminal de buses.
c) x = 3 ó x = −2
3. Verificar, utilizando tablas de verdad, cuáles de las siguientes proposiciones son equiva-
lentes:
a) pY ∼ q
b) ∼ p ∨ q
c) (p ∧ q) ∨ (∼ p∨ ∼ q)
d ) (p∨ ∼ q) ∧ (∼ p ∨ q)
4. Encuentre el valor de verdad de
[∼ (p ⇒ q) ∧ (∼ p ∧ q)] ∨ (r ⇒∼ p)
si p : el número 2 es par, q es F y r : los gatos tienen 5 patas
5. Construya las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:

2
a) [(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)] ⇔ (p∨ ∼ q)

b) p Y (q ∨ r)
c) ∼ (∼ p ⇔ q)
d ) (p∧ ∼ q) ⇒ (∼ p ∨ q)
e) [p ∧ (∼ q ⇒ p)] ∧ [(p ⇔∼ q) ⇒ (q∨ ∼ p)]
6. Pruebe que son tautologı́as:
a) [p ∨ (p ∧ q) ⇔ p]
b) (p ∧ q) ⇒∼ (∼ p∧ ∼ q)
c) q ⇒ (p ⇒ q)
d ) (p ∧ q) ⇒ r ⇔ (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)
e) p ⇒ [q ⇒ (p ∧ q)]
f ) (p ⇒ (q ∧ r)) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)
g) p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
7. Probar las siguientes equivalencias
a) p Y (q Y r) ≡ (p Y q) Y r
b) p ∧ (q Y r) ≡ (p ∧ q) Y (p ∧ r)
c) p ∨ q ≡ (p Y q) Y (p ∧ q)
d ) p ∧ q ≡ p Y (p∧ ∼ q)
e) p ∧ (p ∨ q) ≡ p
f ) ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q
g) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
8. Averiguar si son equivalentes las siguientes proposiciones:
(p ∧ q) ⇒ r ó [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)]
9. Encuentre el valor de verdad de: [(p ⇒ q) ∨ (∼ p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q) si:
a) p es V, q es V, r es F
b) p,r son F, q es V
c) p es F, q es F, r es V
d ) si todas son verdaderas
10. Simplificar las siguientes proposiciones:
a) p ∧ (q∧ ∼ p)
b) (p ∧ q) ∨ p
c) (p ⇒ q)∨ ∼ p
3
d ) (p ⇒ q) ∨ p
e) (q ⇒ p) ⇒ p
f ) (p ⇒ q) ⇒ p
g) (p ⇒∼ q) ∨ q
h) p∧ ∼ (q ⇒ p)
i ) [p ∨ (q ⇔∼ p)] ⇒∼ q
j ) [∼ (p ⇒ q) ∧ (∼ p ∨ q)] ∨ [r ⇒ (p ∨ r)]
k ) ∼ p ∧ (q ∧ p)
l ) [p ⇒ (∼ p ∨ r)] ∧ [r ⇒∼ p]
m) [∼ (p ⇒ q) ⇒∼ (q ⇒ p)] ∧ (p ∨ q)
11. Derive a partir de las equivalencias elementales, las siguientes equivalencias:
a) ((p ∧ q) ⇒ r) ≡ ((p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r))

b) ((p ⇒ q) ∧ q) ⇒∼ p ≡ q ⇒∼ p
12. Sean p, q proposiciones. Se define una nueva proposición: p ~ q de acuerdo a la siguiente

tabla de verdad:
p q p~q
V V F
V F V
F V F
F F F
a) Verifique que p ~ q ≡ (p ⇒ q).

b) Simplificar al máximo (p ~ q) ~ q.
13. Demostrar sin el uso de tabla de verdad:
a) p ∨ (p ∧ q) ≡ p
b) p ∧ (p ∨ q) ≡ p
c) ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∨ q) ≡∼ p
d ) (∼ (p ⇒∼ q)) ≡ (p ∧ q)
e) (p∧ ∼ q) ⇒ r ≡∼ p ∨ (q ∨ r)
f ) [{(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ t)} ∨ {(r ⇒ p) ∧ (r ⇒ t)}] ≡ {(p ∧ r) ⇒ (q ∧ t)}
14. Exprese en sı́mbolos lógicos y después niegue las oraciones:
a) Todo múltiplo de 4 es primo.

b) Si 2 es par entonces todos los números son pares.
c) Todo número mayor que 2 es la suma de dos números primos.
4
15. Sea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Escribir en sı́mbolos y averiguar el valor de verdad de:
a) Hay un elemento que es mayor que todos.

b) Existe un único elemento cuyo cuadrado es 4.
c) Para todos los elementos de A, sea x el elemento que sumado 1 unidad, siempre es
mayor que que cero entonces su cuadrado es menos que 35.
d ) Para cada elemento existe otro que es menor o igual que él.
16. Si las proposiciones a y b son tales que la proposición ∼ (a ∧ b) ⇒ (a ∨ b) es verdadera,

determine el valor de verdad de (a ∧ b) ∨ (a ∨ b).
17. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}
a) Hallar el valor de verdad de los siguientes enunciados.

b) Negar estos enunciados.
1) (∃x ∈ A)(x + 3 = 10)
2) (∀x ∈ A)(x + 3 < 10)
3) (∃x ∈ A)(x + 3 < 5)
4) (∀x ∈ A)(x + 3 ≤ 7)
5) (∃!x ∈ A)(x2 − 3x + 2 = 0)
18. Escribir en sı́mbolos las siguientes expresiones.Considere como universo el conjunto de

los números naturales.
a) Todo número es mayor o igual que si mismo.

b) Si el número x es menor que y, entonces no es mayor que 9.
c) x sumado con algún número resulta x.
d ) EL producto de x con y es mayor que x, y mayor que y.
19. Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?
a) Si p ∨ q ≡ F entonces ∼ [(∼ q ⇒ p)∧ ∼ p] es una tautologı́a.

b) Es suficiente que p Y q sea falsa para que p y q sean equivalentes.
c) No es necesario que p sea verdadera y q falsa para que [p ∨ (q∧ ∼ p)]∨ ∼ q sea
verdadera.
20. Demuestre las siguientes equivalencia sin uso de tablas de verdad.
a) (p ⇒ q) ≡ {(p∧ ∼ q) ⇒ q}
b) (p ⇔ q) ≡ (∼ p ⇔∼ q)
c) {p ⇒ (q ∧ r)} ≡ {(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)}
d ) {(p ∧ q) ⇒ r} ≡ {(p∧ ∼ r) ⇒∼ q}
e) {p ⇒ (p∧ ∼ (q ∨ r))} ≡∼ p ∨ (∼ q∧ ∼ r)
f ) [(∼ p ∨ q) ∨ (∼ r∧ ∼ p)] ≡ (q∨ ∼ p)
5
21. Indique en cuáles de los siguientes casos p es condición suficiente para q; y en cuales p
es condición necesaria y suficiente para q.
p : A es múltiplo de 4
a)
q : A es número par
p : A y B son pares
b)
q : A + B es par.
22. Si las proposiciones compuestas
i) p ⇔ (∼ q∨ ∼ r) y
ii) ∼ p Y q
son siempre verdaderas, demuestre que la proposición [∼ r ∧ (p ∨ s)] ⇒ s ∨ q es también

verdadera.
23. Negar las siguientes afirmaciones:
a) ∀x∃y(x + y = 5 ⇒ y = −x)
b) ∀x∀y[(x + y es impar) ⇒ (x es impar ∨ y es impar))]
c) ∃x∀y(x < y ∧ x2 ≥ y)
d ) ∀x∀y∃z(x < y ⇒ x + z = y)
24. Averiguar el valor de verdad siendo U = R.
a) ∀x ∈ R(x < 0 ⇒ x < 3)

b) ∃x ∈ R(x2 ≥ 0 ⇒ x4 = x3 )
c) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R(x2 + y 2 = 1)
d ) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R(y < x ⇒ 2y < 10)
25. Dada la proposición, 8 no es impar divisible por 2, porque 9 no es múltiplo de 3. Deter-

mine el valor de verdad de la proposición y negarla.
26. Dadas las proposiciones abiertas: p(x) : x2 ≥ x y q(x) : x ≥ 0. Determine el valor de

verdad de las siguientes proposiciones:
i) [p( 21 ) ⇒ q(1)] ⇒ [p(x) ∧ q(x)]

ii) ∀x ∈ R :∼ p(x) ⇒∼ q(x)
27. Si la proposición (p∧ ∼ q) ⇒ (∼ r ⇒∼ t) es falsa, determine el valor de verdad de la

proposición (p ∧ t) ⇒ (r ∨ q) ⇒ (u ⇔ v)
28. Demostrar:
a) Si n es par y m es impar, entonces (n + m) es impar, n, m ∈ N.

b) Si xy = 0 entonces x = 0 ∨ y = 0.
c) Si ab es impar, entonces a es impar y b es impar.
6
29. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) ∀x ∈ R : x2 ≥ x
b) ∃x ∈ R : 2x = x
2x−1 1
c) ∀x ∈ R : 4x−2 = 2
d ) ∃x ∈ R : x2 + 2x + 1 ≤ 0
e) ∀x ∈ R : −x2 + 4x − 5 > 0
30. Sea A = N, sean p(x) : x es par, q(x) : x es divisible por 3; r(x) : x < 6, s(x) : x ≥ 7,
t(x) : x es múltiplo de 6.
Determine el valor de verdad de
a) (∀x ∈ A)(p(x) ∨ q(x)).

b) (∃x ∈ A)(r(x) ⇒ s(x)).
c) (∃x ∈ A)(p(x) ∧ q(x) ∧ r(x)).
d) (∀x ∈ A)((p(x) ∧ q(x)) ⇔ t(x)).

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Universidad de Playa Ancha

1. Siendo p : José es estudioso y q : Juan es estudioso, escribir en forma simbólica:

a) José es estudioso y Juan no es estudioso.

2. En cual de sus significados está .o”(no excluyente) en las siguientes proposiciones:

a) Si ganáse mucho dinero o ganara la loterı́a, haráa un viaje.

4. Encuentre el valor de verdad de

si p : el número 2 es par, q es F y r : los gatos tienen 5 patas

5. Construya las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:

a) [(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)] ⇔ (p∨ ∼ q)

6. Pruebe que son tautologı́as:

7. Probar las siguientes equivalencias

8. Averiguar si son equivalentes las siguientes proposiciones:

9. Encuentre el valor de verdad de: [(p ⇒ q) ∨ (∼ p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q) si:

10. Simplificar las siguientes proposiciones:

11. Derive a partir de las equivalencias elementales, las siguientes equivalencias:

a) ((p ∧ q) ⇒ r) ≡ ((p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r))

12. Sean p, q proposiciones. Se define una nueva proposición: p ~ q de acuerdo a la siguiente

a) Verifique que p ~ q ≡ (p ⇒ q).

13. Demostrar sin el uso de tabla de verdad:

14. Exprese en sı́mbolos lógicos y después niegue las oraciones:

a) Todo múltiplo de 4 es primo.

a) Hay un elemento que es mayor que todos.

16. Si las proposiciones a y b son tales que la proposición ∼ (a ∧ b) ⇒ (a ∨ b) es verdadera,

17. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}

a) Hallar el valor de verdad de los siguientes enunciados.

18. Escribir en sı́mbolos las siguientes expresiones.Considere como universo el conjunto de

a) Todo número es mayor o igual que si mismo.

19. Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

a) Si p ∨ q ≡ F entonces ∼ [(∼ q ⇒ p)∧ ∼ p] es una tautologı́a.

20. Demuestre las siguientes equivalencia sin uso de tablas de verdad.

son siempre verdaderas, demuestre que la proposición [∼ r ∧ (p ∨ s)] ⇒ s ∨ q es también

23. Negar las siguientes afirmaciones:

24. Averiguar el valor de verdad siendo U = R.

a) ∀x ∈ R(x < 0 ⇒ x < 3)

25. Dada la proposición, 8 no es impar divisible por 2, porque 9 no es múltiplo de 3. Deter-

26. Dadas las proposiciones abiertas: p(x) : x2 ≥ x y q(x) : x ≥ 0. Determine el valor de

i) [p( 21 ) ⇒ q(1)] ⇒ [p(x) ∧ q(x)]

27. Si la proposición (p∧ ∼ q) ⇒ (∼ r ⇒∼ t) es falsa, determine el valor de verdad de la

a) Si n es par y m es impar, entonces (n + m) es impar, n, m ∈ N.

29. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) (∀x ∈ A)(p(x) ∨ q(x)).

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