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Regla de La Potencia para Integrales
Regla de La Potencia para Integrales
Regla de La Potencia para Integrales
Dada la funcin F ( x ) = ( g ( x ) )
n1
Su respectiva derivada es: f ( x ) = n ( g ( x ) )
.g(x)
Ahora, si se plantea la funcin: f ( x ) = ( g ( x ) ) n . g ( x )
Su respectiva integral se obtiene as:
De la integral
( g ( x ) )n g ' ( x ) dx se hace u = g ( x )
sin el exponente.
( g ( x ) )n g ' ( x ) dx =
u n du =
un + 1
+c
n+1
( g ( x ) )n g ' ( x ) dx =
( g ( x ) )n + 1
+ c Regla de potencia para integrales
n+1
Ejercicios: Resuelva las siguientes integrales, haciendo uso de la Regla de potencia para
integrales.
1.
( x 2 + 1 ) 5 2x dx
Solucin:
2
* Se hace u = x + 1.
Luego, du = 2x dx
* Se sustituyen u y du en la integral.
( x 2 + 1 ) 5 2x dx =
u 5 du
( x 2 + 1 )5 2x dx =
u 5 du =
u5 + 1
u6
+c=
+c
5 +1
6
( x 2 + 1 ) 5 2x dx =
* Finalmente:
u 5 du =
( x 2 + 1 ) 5 2x dx =
u6
( x 2 + 1 )6
+c=
+c
6
6
( x 2 + 1 )6
+c
6
o tambin
2.
6x 2
2x 3 7
( x 2 + 1 ) 5 2x dx =
1 2
( x + 1 )6 + c
6
dx
Solucin:
3
* Se hace u = 2x 7.
Luego, du = 6x dx
* Se sustituyen u y du en la integral.
6x 2
dx =
2x 7
3
6 x 2 dx
2x 7
3
du
u 1/ 2 du
6x 2
2x 3 7
dx =
u 1/ 2 du =
u 1/ 2 + 1
u1/ 2
2
+c=
+ c = u1/ 2 + c
1
1
1
+1
2
2
6x 2
2x 7
3
* Finalmente:
dx =
6x 2
2x 7
3
o tambin
3.
1 1/ 2
u + c = 2 ( 2x 3 7 )1/ 2 + c
2
dx = 2 ( 2x 3 7 )1/2 + c
6x 2
2x 7
3
dx = 2
2x 3 7 + c
( 2 x 3 ) 3 x 2 3 x dx
Solucin:
2
* Se hace u = x 3x.
Luego, du = ( 2x 3 ) dx
* Se sustituyen u y du en la integral.
( 2x 3 ) 3 x 2 3 x dx =
u du =
u1/ 3 du
( 2x 3 ) 3 x 2 3 x dx =
u1/ 3 du =
u1/ 3 + 1
u4 / 3
3
+c=
+ c = u4 / 3 + c
1
4
4
+1
3
3
( 2x 3 ) 3 x 2 3 x dx =
* Finalmente:
( 2x 3 ) 3 x 2 3x dx =
o tambin
4.
x2
3 4/3
3
u
+ c = ( x 2 3x )4 / 3 + c
4
4
3
( x 2 3x ) 4/3 + c
4
( 2x 3 ) 3 x 2 3x dx =
3
4
( x 2 3x ) 4 + c
dx
( x 3 + 2 )4
Solucin:
3
* Se hace u = x + 2.
Luego, du = 3x dx , pero
du
= x 2 dx
3
* Se sustituyen u y du en la integral.
x2
( x +2)
3
dx =
x 2 dx
( x +2)
3
du
3 =
u4
du
3 =
u4
1
du
3u
1
3
u 4 du
x2
dx =
( x 3 + 2 )4
1
3
u 4 du =
1 u 4 + 1
1 u 3
1
+c=
+c=
u 3 + c
3 4 +1
3 3
9
=
1 3
u +c
9
x2
( x +2)
3
* Finalmente:
5.
18 x 2 15
( 2x 3 5 x ) 7
dx =
1 3
1
u +c= 3
9
9u
x2
( x +2)
3
dx =
+c=
1
9 ( x + 2 )3
3
+c
dx
Solucin:
Luego, du = ( 6x2 5 ) dx
* Se sustituyen u y du en la integral.
1
9 ( x + 2 )3
3
+c
18 x 2 15
( 2x 5 x )
3
dx =
3 ( 6x 2 5 )
( 2x 5 x )
3
dx = 3
6x 2 5
( 2x 5 x )
3
dx = 3
du
u7
18 x 2 15
( 2x 3 5 x ) 7
dx = 3
du
u7
= 3 u 7 du = 3
u 7 + 1
u 6
1
+c =3
+c= 6 +c
7 +1
6
2u
18 x 2 15
( 2x 3 5 x ) 7
* Finalmente:
6.
dx =
2u 6
18x 2 15
( 2x 5x )
3
+c=
dx =
1
2 ( 2x 3 5x )6
1
2 ( 2x 5x ) 6
3
+c
+c
4 x 2 dx
Solucin:
* Se hace u = 4 x2.
Luego, du = 2x dx , pero
du
= x dx
2
* Se sustituyen u y du en la integral.
4 x 2 dx =
x ( 4 x 2 )1/ 2 dx =
( 4 x 2 )1/ 2 x dx =
u1/ 2
1
2
4 x 2 dx =
1
2
u1/ 2 du =
1 u1/ 2 + 1
1 u3 / 2
+c=
+c
2 1
2 3
+1
2
2
1 2 3/2
1
u
+ c = u3 / 2 + c
2 3
3
18 x 2 15
( 2x 3 5 x ) 7
* Finalmente:
dx =
1
2u 6
+c=
4 x 2 dx =
o tambin
1
2 ( 2x 3 5x )6
+c
1
( 4 x 2 ) 3/2 + c
3
4 x 2 dx =
1
3
( 4 x 2 )3 + c
du
2
u1/ 2 du