PROGRAMACIÓN LINEAL

Mgtr. Ing. Marcos Gregorio Baca López

mbaca@unitru.edu.pe
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
 OBJETIVOS
✓ Expresar la realidad problemática a través del
modelo matemático de programación lineal
PROGRAMACIÓN LINEAL
 CONTENIDO

✓ Programación lineal
✓ Estructura
✓ Solución gráfica
 PROGRAMACION LINEAL

• El término Programación no se refiere a la programación en computadora; sería más

bien un sinónimo de planificación. El adjetivo lineal, significa que todas las funciones
matemáticas en el modelo construido sean funciones lineales. Por lo tanto la
programación lineal comprende la planificación de actividades para obtener un
resultado óptimo entre todas las alternativas factibles.

• Es una técnica de optimización que consiste en la maximización o minimización de

una función lineal llamada función objetivo, sujeta a restricciones (condiciones)
también lineales.

• El modelo de programación lineal es determinístico porque todos los datos

relevantes utilizados, son conocidos.

• Debe cuidarse que los elementos componentes del modelo sean expresados para el
mismo período de tiempo.
 PROGRAMACION LINEAL

MODELO LINEAL GENERAL

Max (Min) Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 +...................+ CnXn Función objetivo

Sujeto a:
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + a14 X4 + .................. + a1n Xn [ > = < ] b1
a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 + a24 X4 + .................. + a2n Xn [ > = < ] b2
a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 + a34 X4 + .................. + a3n Xn [ > = < ] b3
...... Restricciones
......
am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 + am4 X4 +...............+ amn Xn [ > = < ] bm

xj ≥ 0; j = 1, 2, ..., n Condición de no negatividad

PROGRAMACION LINEAL

EJEMPLO 1: Inversión (maximización)

Una persona puede invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo con
un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%. ¿Cómo
deberá invertir su dinero para maximizar sus intereses anuales?
• Se tiene S/500 000 para invertir.
• Se decide invertir como máximo S/300 000 en A.
• Se decide invertir como mínimo S/100 000 en B.
• Se decide invertir en A por lo menos tanto como en B.

Variables de decisión:
A= miles de S/ a invertir en acciones de tipo A
B= miles de S/ a invertir en acciones de tipo B

Función objetivo:
Max Z = 0.10A + 0.07B Maximizar intereses

Restricciones:
A+B<=500 Dinero disponible GRAFICA
A<=300 Dinero máximo a invertir en A GRAFICA
B>=100 Dinero mínimo a invertir en B GRAFICA
A>=B Invertir en A por lo menos tanto como en B GRAFICA

A, B >= 0 No negatividad
GRAFICACION
A+B<=500 Dinero disponible

B
600

500 A=500
B=0
Z=50

Ma
400

A+

x=
B<

0.1
=5

0A
00

+0
300

.07
B
200

100
Solución óptima

0
0 100 200 300 400 500 600 A
Región factible
PROGRAMACION LINEAL

EJEMPLO 1: Inversión (maximización)

Una persona puede invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo con
un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%. ¿Cómo
deberá invertir su dinero para maximizar sus intereses anuales?
• Se tiene S/500 mil para invertir.
• Se decide invertir como máximo S/300 mil en A.
• Se decide invertir como mínimo S/100 mil en B.
• Se decide invertir en A por lo menos tanto como en B.

Variables de decisión:
A= miles de $ a invertir en acciones de tipo A
B= miles de $ a invertir en acciones de tipo B

Función objetivo:
Max Z = 0.10A + 0.07B Maximizar intereses

Restricciones:
A+B<=500 Dinero disponible GRAFICA
A<=300 Dinero máximo a invertir en A GRAFICA
B>=100 Dinero mínimo a invertir en B GRAFICA
A>=B Invertir en A por lo menos tanto como en B GRAFICA

A, B >= 0 No negatividad
GRAFICACION
A+B<=500 Dinero disponible
A<=300 Dinero máximo a invertir en A
B
600

Ma
500 A=300

x =0
B=200

A<=300
0A .1
Z=44

+0
400

A+

.07 00
B<

B
=5
300
Solución óptima

200

100

0
0 100 200 300 400 500 600 A
PROGRAMACION LINEAL

EJEMPLO 1: Inversión (maximización)

Una persona puede invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo
con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%.
¿Cómo deberá invertir su dinero para maximizar sus intereses anuales?
• Se tiene S/500 mil para invertir.
• Se decide invertir como máximo S/300 mil en A.
• Se decide invertir como mínimo S/100 mil en B.
• Se decide invertir en A por lo menos tanto como en B.

Variables de decisión:
A= miles de $ a invertir en acciones de tipo A
B= miles de $ a invertir en acciones de tipo B

Función objetivo:
Max Z = 0.10A + 0.07B Maximizar intereses

Restricciones:
A+B<=500 Dinero disponible GRAFICA
A<=300 Dinero máximo a invertir en A GRAFICA
B>=100 Dinero mínimo a invertir en B GRAFICA
A>=B Invertir en A por lo menos tanto como en B GRAFICA

A, B >= 0 No negatividad
 GRAFICACION

A+B<=500 Dinero disponible

A<=300 Dinero máximo a invertir en A
B>=100 Dinero mínimo a invertir en B B
600

500 A=300
B=200

A<=300
Z=44
400

300
Solución óptima

200

100
B>=100

0
0 100 200 300 400 500 600 A
PROGRAMACION LINEAL

EJEMPLO 1: Inversión (maximización)

Una persona puede invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo
con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%.
¿Cómo deberá invertir su dinero para maximizar sus intereses anuales?
• Se tiene S/500 mil para invertir.
• Se decide invertir como máximo S/300 mil en A.
• Se decide invertir como mínimo S/100 mil en B.
• Se decide invertir en A por lo menos tanto como en B.

Variables de decisión:
A= miles de $ a invertir en acciones de tipo A
B= miles de $ a invertir en acciones de tipo B

Función objetivo:
Max Z = 0.10A + 0.07B Maximizar intereses

Restricciones:
A+B<=500 Dinero disponible GRAFICA
A<=300 Dinero máximo a invertir en A GRAFICA
B>=100 Dinero mínimo a invertir en B GRAFICA
A>=B Invertir en A por lo menos tanto como en B GRAFICA

A, B >= 0 No negatividad
GRAFICACION
A+B<=500 Dinero disponible
A<=300 Dinero máximo a invertir
en A
B>=100 Dinero mínimo a invertir B
en B
600
A>=B Invertir en A por lo menos
tanto como en B
500 A=300
B=200

A<=300
Z=44
400

300
Solución óptima

200

100
B>=100

0
0 100 200 300 400 500 600 A
PROGRAMACION LINEAL
EJEMPLO 2: Campaña publicitaria (minimización)
Una campaña para promocionar productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogurt
con sabor a vainilla y de yogurt sabor a fresa. Se decide repartir al menos 500 litros de
yogurt para degustar.

Cada litro de yogurt de vainilla requiere 100gr de un ingrediente de fermentación y cada

litro de yogurt de fresa necesita 150gr de ese mismo ingrediente . Se dispone de 75kg del
ingrediente de fermentación. El costo de producción de un litro de yogurt de fresa es el
doble de un litro de yogurt de vainilla, el costo de este último es de S/. 0.75. Se debe
producir de yogurt de fresa por lo menos la misma cantidad de yogurt de vainilla. ¿Cuántos
litros de cada tipo de yogurt deben producirse para que el costo de la campaña sea el
mínimo? Variables de decisión:
x1 = número de litros a elaborar de yogurt de vainilla
x2 = número de litros a elaborar de yogurt de fresa

Función objetivo:
Min Z = 0.75x1 + 1.50x2 Minimizar costo

Restricciones:
x1 + x2 > 500 Producción mínima GRAFICA
100x1+150x2 ≤ 75000 Ingrediente de fermentación GRAFICA
x 1 < x2 ó x1 - x 2 < 0 Fresa mínimo igual a vainilla GRAFICA

x1 , x2 ≥ 0 No negatividad
 GRAFICACION

x1 + x2 > 500 Producción mínima

X2

600

500

400

300

200
X1
+X
2>
=5

100
00

0
0 100 200 300 400 500 600 700 X1
PROGRAMACION LINEAL
EJEMPLO 2: Campaña publicitaria (minimización)
Una campaña para promocionar productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogurt
con sabor a vainilla y de yogurt sabor a fresa. Se decide repartir al menos 500 litros de
yogurt para degustar.

Cada litro de yogurt de vainilla requiere 100gr de un ingrediente de fermentación y cada

litro de yogurt de fresa necesita 150gr de ese mismo ingrediente . Se dispone de 75kg del
ingrediente de fermentación. El costo de producción de un litro de yogurt de fresa es el
doble de un litro de yogurt de vainilla, el costo de este último es de S/. 0.75. Se debe
producir de yogurt de fresa por lo menos la misma cantidad de yogurt de vainilla. ¿Cuántos
litros de cada tipo de yogurt deben producirse para que el costo de la campaña sea el
mínimo? Variables de decisión:
x1 = número de litros a elaborar de yogurt de vainilla
x2 = número de litros a elaborar de yogurt de fresa

Función objetivo:
Min Z = 0.75x1 + 1.50x2 Minimizar costo

Restricciones:
x1 + x2 > 500 Producción mínima GRAFICA
100x1+150x2 ≤ 75000 Ingrediente de fermentación GRAFICA
x 1 < x2 ó x1 - x 2 < 0 Fresa mínimo igual a vainilla GRAFICA

x1 , x2 ≥ 0 No negatividad
GRAFICACION
x1 + x2 > 500 Producción mínima
100x1 + 150x2 ≤ 75000 Ingrediente de
fermentación

X2

600

500

400

300
10
0X
1+
200 15
0X
2<
X1

=7
+X

50
00
2>
=5

100
00

0
0 100 200 300 400 500 600 700 X1
PROGRAMACION LINEAL
EJEMPLO 2: Campaña publicitaria (minimización)
Una campaña para promocionar productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogurt
con sabor a vainilla y de yogurt sabor a fresa. Se decide repartir al menos 500 litros de
yogurt para degustar.

Cada litro de yogurt de vainilla requiere 100gr de un ingrediente de fermentación y cada

litro de yogurt de fresa necesita 150gr de ese mismo ingrediente . Se dispone de 75kg del
ingrediente de fermentación. El costo de producción de un litro de yogurt de fresa es el
doble de un litro de yogurt de vainilla, el costo de este último es de S/. 0.75. Se debe
producir de yogurt de fresa por lo menos la misma cantidad de yogurt de vainilla. ¿Cuántos
litros de cada tipo de yogurt deben producirse para que el costo de la campaña sea el
mínimo? Variables de decisión:
x1 = número de litros a elaborar de yogurt de vainilla
x2 = número de litros a elaborar de yogurt de fresa

Función objetivo:
Min Z = 0.75x1 + 1.50x2 Minimizar costo

Restricciones:
x1 + x2 > 500 Producción mínima GRAFICA
100x1+150x2 ≤ 75000 Ingrediente de fermentación GRAFICA
x 1 < x2 ó x1 - x 2 < 0 Fresa mínimo igual a vainilla GRAFICA

x1 , x2 ≥ 0 No negatividad
GRAFICACION
x1 + x2 > 500 Producción mínima
100x1 + 150x2 ≤ 75000 Ingrediente de fermentación
x1 < x2 ó x1 - x2 < 0 Fresa mínimo igual a vainilla

X2

600

500 A=250
Región factible B=250
Z=562.50

X2
400

<=
X1
300
Min 10
Z 0X
=0 1+
200 .75 15
X1 0X
+1
.50 2<=
X1

X2 75
+X

Solución óptima 00
2>

0
=5

100
00

0
0 100 200 300 400 500 600 700 X1
Referencias
Introducción a la Investigación de Operaciones (s.f.). Universidad
Autónoma de Hidalgo. Recuperado de:
https://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/icea/asignatura/m
ercadotecnia/investigacion_operaciones_antonioangelesvilleda.pptx

Guzman M. (2018).Clases de Investigación de Operaciones I, Introducción a

la Investigación de operaciones.

Mathias Klapp (2018), Optimización, Presentación Pontificia Universidad de

Católica de Chile.

Ling-Chieh Kung (2022).National Taiwan University. Operations Research

(1) [MOOC]. Coursera. https://www.coursera.org/learn/operations-
researchmodeling/home/welcome

* Mgtr. Ing. Manuel Sánchez Terán. Diapositivas de IO

Mgtr. Ing. Marcos Gregorio Baca López
mbaca@usat.edu.pe
www.unitru.edu.pe