Estudio de funciones. Comportamiento y Puntos singulares.

ESTUDIO DE FUNCIONES
El análisis del comportamiento de las funciones, en su dominio, conduce a estudiar además de
las intersecciones con los ejes coordenados, asíntotas y discontinuidades, algunos puntos
singulares, los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) y la concavidad de las
gráficas.
Puntos extremos relativos o locales.
Considerando la gráfica de una función 𝑓 y analizando el valor de la función en el entorno de
cada número 𝑐 se observa que:
- 𝑐1 es la abscisa de un punto mínimo relativo
de ordenada 𝑓(𝑐1 ). Siendo 𝑃(𝑐1 , 𝑓(𝑐1 ))
- 𝑐2 es la abscisa de un punto máximo relativo
de ordenada 𝑓(𝑐2 ). Siendo 𝑄(𝑐2 , 𝑓(𝑐2 ))
- 𝑐3 es la abscisa de un punto mínimo relativo
de ordenada 𝑓(𝑐3 ). Siendo 𝑅(𝑐3 , 𝑓(𝑐3 ))
- 𝑐4 es la abscisa de un punto máximo relativo
de ordenada 𝑓(𝑐4 ). Siendo 𝑇(𝑐4 , 𝑓(𝑐4 ))

Valores máximos y mínimos relativos o locales.

Def. Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función definida en 𝐼 = (𝑎, 𝑏) y 𝑐 ∈ 𝐼 entonces:

1) 𝑓(𝑐) es un valor máximo relativo de 𝑓 si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥).
2) 𝑓(𝑐) es un valor mínimo relativo de 𝑓 si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥).

Gráficamente:

∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) es 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) es 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥)

Condición necesaria para la existencia de un extremo relativo

Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función derivable en un intervalo 𝐼 = (𝑎, 𝑏) y alcanza un valor máximo o
mínimo relativo en 𝑥 = 𝑐 ∈ 𝐼,entonces𝑓’(𝑐) = 0.

44
M.Arias
 El valor de las pendientes de las rectas tangentes que pasan por los
puntos de abscisas 𝑐1 y 𝑐2 es cero  𝑓 ′ (𝑐1 ) = 0 y 𝑓 ′ (𝑐2 ) = 0
Observaciones

1) La condición 𝑓’(𝑐) = 0 no es suficiente para que exista un valor extremo relativo.

Existen funciones que no presentan valores extremos cuando 𝑓’(𝑐) = 0.

Ejemplo: La función 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 en 𝑥 = 1no tiene valor extremo, sin embargo
𝑔’(1) = 0.
La derivada de 𝑔 es: 𝑔′(𝑥) = 3(𝑥 − 1)2
𝐷𝑔′ = 𝑅  ∃ 𝑔′(1)
𝑔′(1) = 3(1 − 1)2  𝑔′(1) = 0
Es una función creciente en su dominio.
La recta tangente a gráfica en P(1,1) tiene
pendiente: 𝑚𝑡 = 0  𝑔′ (1) = 0 y no es un
punto extremo.

2) La condición carece de sentido si la función no es derivable en 𝑥 = 𝑐.

Existen funciones que presentan extremos relativos en valores donde no son derivables.

3
Ejemplo: La función 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 en 𝑥 = 0 tiene valor extremo y ∄𝑓’(0).
3
𝑓(𝑥) = √𝑥 2 con dominio𝐷𝑓 = 𝑅
2
1 1
𝑓 ′ (𝑥) = 3 𝑥 −3 𝑓 ′ (𝑥) = 3
3 √𝑥2

𝐷𝑓′ = 𝑅 − {0}∄ 𝑓′(0) sin embargo, 𝑓 tiene un

valor mínimo en x=0. En 𝑥 = 0 se observa un punto anguloso.

Conclusión: Si 𝑓 tiene un valor extremo relativo en 𝑥 = 𝑐 entonces 𝑓’(𝑐) = 0 o ∄ 𝑓’(𝑐)

¡¡¡Atención!!! Que 𝑓’(𝑐) = 0 o ∄ 𝑓’(𝑐) no es suficiente

para asegurar la existencia de un valor extremo en 𝑥 = 𝑐.

45
M.Arias
Números Críticos
Los números críticos (𝑥 = 𝑐) son valores pertenecientes al dominio de la función. En las gráficas
de las funciones, son abscisas de posibles puntos extremos. Algebraicamente, se obtienen
resolviendo la ecuación 𝑓 ′ (𝑥) = 0 y determinando los valores donde ∄ 𝑓 ′ (𝑥). Gráficamente, se
tiene en cuenta la relación entre pendiente de una recta tangente a una curva y el valor de la
derivada de la función (𝑚𝑡 = 𝑓′(𝑐) y se obtienen analizando la pendiente de la recta tangente
donde (𝑚𝑡 = 0) y donde no existe la pendiente (∄ 𝑚𝑡 ) .
En la gráfica de 𝑓, se observa que:
La recta tangente a la curva en 𝑃(𝑐1 , 𝑓(𝑐1 )) es horizontal, de modo que, 𝑚𝑡 = 0 .
 El valor 𝑐1 es un número crítico: allí 𝑓 ′ (𝑐1 ) = 0
En 𝑄(𝑐2 , 𝑓(𝑐2 )), no es posible trazar una recta tangente a la curva, (∄ 𝑚𝑡 ).
El valor 𝑐2 también, es un número crítico: ∄ 𝑓 ′ (𝑐2 ) ,

Def. Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función y 𝑐 ∈ 𝐷𝑓 entonces, 𝑥 = 𝑐 es un número o valor critico de 𝑓

si 𝑓’(𝑐) = 0 o ∄𝑓 ′ (𝑐).

Pertenecen al dominio de la función y lo dividen en intervalos de monotonía.

Los n° críticos (𝒙 = 𝒄) Son abscisas de posibles puntos extremos relativos.
Algebraicamente, se obtienen al resolver 𝑓’(𝑥) = 0 y analizar los valores donde ∄𝑓 ′ (𝑥).
1
Ejemplo1: Obtener los números críticos de 𝑓(𝑥) = 4 𝑥 4 − 𝑥 3 + 1 y escribir los intervalos en los

que se divide el dominio de 𝑓.

𝑓′(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 siendo 𝐷𝑓′ = 𝑅  no hay valores donde ∄𝑓 ′ .
Haciendo 𝑓 ′ (𝑥) = 0 se tiene: 𝑥 3 − 3𝑥 2 = 0
 𝑥 2 (𝑥 − 3) = 0
 𝑥 = 0  𝑥 = 3, ambos pertenecen al domino de la función entonces, son
números críticos: 𝑐1 = 0 y 𝑐2 = 3.
El dominio queda dividido en los intervalos: (−∞, 0); (0, 3); (3, ∞)

3
Ejemplo2: Obtener los números críticos de 𝑔(𝑥) = 3 √𝑥 + 1 + 2 .
𝐷𝑔 = 𝑅
1
𝑔′(𝑥) = 3 siendo 𝐷𝑔′ = 𝑅 − {−1}
√(𝑥+1)2

De modo que ∄𝑔′ (−1) pero, 𝑥 = −1 ∈ 𝐷𝑔

 el valor 𝑥 = −1 es un número crítico.
Haciendo 𝑔′ (𝑥) = 0 se tiene que no existe valor de 𝑥 que cumpla la igualdad.
 la función g tiene un solo número crítico: 𝑐 = −1 .
El dominio queda dividido en los intervalos: (−∞, −1); (−1, ∞)

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M.Arias
Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento
Considerando que, el valor de la derivada de una función está asociado a la pendiente de la
gráfica de la función en un punto, se puede afirmar que: Si en los intervalos del dominio,
determinados por los números críticos:
- La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función es positiva la función será
creciente en ese intervalo.
- La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función es negativa la función será
decreciente en ese intervalo.
- La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función es cero la función será
constante en ese intervalo.

Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) con dominio 𝐷 = 𝑅

En 𝑥 = 𝑐1 , 𝑓 ′ (𝑐1 ) = 0  𝑐1 es un número crítico de 𝑓.
En 𝑥 = 𝑐2 , ∄𝑓 ′ (𝑐2 )  𝑐2 es un número crítico de 𝑓.
∀𝑥 ∈ (−∞, 𝑐1 ); 𝑓 ′ (𝑥) < 0  𝑓 es decreciente en (−∞, 𝑐1 ]
∀𝑥 ∈ (𝑐1 , 𝑐2 ); 𝑓 ′ (𝑥) > 0  𝑓 es creciente en [𝑐1 , 𝑐2 ]
∀𝑥 ∈ (𝑐2 , ∞); 𝑓 ′ (𝑥) = 0  𝑓 es constante en [𝑐2 , ∞)

Teorema: Sea 𝑓 una función derivable en un intervalo abierto 𝐼 = (𝑎, 𝑏) y continua en el

intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]:
1) Si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 ′ (𝑥) > 0 entonces 𝑓 es creciente en el intervalo [𝑎, 𝑏].
2) Si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 ′ (𝑥) < 0 entonces 𝑓 es decreciente en el intervalo [𝑎, 𝑏]
3) Si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 ′ (𝑥) = 0 entonces 𝑓 es constante en el intervalo [𝑎, 𝑏]

1 1
Ejemplo: Sea 𝑔(𝑥) = 2(𝑥−1) + 2 𝑥 determinar los intervalos donde la función crece o decrece.

𝐷𝑔 = 𝑅 − {1}
1 1 𝑥 2 −2𝑥
𝑔′ (𝑥) = − 2(𝑥−1)2 + 2  𝑔′ (𝑥) = 2(𝑥−1)2

𝑔′ (𝑥) = 0  𝑥 2 − 2𝑥 = 0  𝑥 = 0 ; 𝑥 = 2
∄𝑔′ (𝑥)  2(𝑥 − 1)2 = 0  𝑥 = 1
0 ∈ 𝐷; 2 ∈ 𝐷; 1𝐷
 los n° críticos son: 𝑐1 = 0 ; 𝑐2 = 2
El dominio se divide en: (−∞, 0); (0, 1); (1, 2); (2, ∞)

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M.Arias
La tabla muestra, en forma organizada, el estudio para la determinación del comportamiento
de la función en los intervalos.
Intervalo Valor prueba Valor de 𝑔’ Signo de 𝑔’ Comportamiento de 𝑔
(−1)2 −2.(−1) 3
(−∞, 0) 𝑥 = −1 𝑔′ (−1) = = + Creciente
2(−1−1)2 8

(0.5)2 − 2. (0.5) 3
(0, 1) 𝑥 = 0.5 𝑔′ (0.5) = =− - Decreciente
2(0.5 − 1)2 2
(1.5)2 − 2. (1.5) 3
(1, 2) 𝑥 = 1.5 𝑔′ (1.5) = =− - Decreciente
2(1.5 − 1)2 2
32 −2.(3) 3
(2, ∞) 𝑥=3 𝑔′ (3) = = + Creciente
2(3−1)2 8

Respuesta: La función 𝑔 es creciente en (−∞, 0] ∪ [2, ∞) y decreciente en [0, 1) ∪ (1, 2]

Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) los números críticos dividen a 𝐷𝑓 en
¡La obtención correcta de
intervalos de monotonía y en ellos se cumple que ∀𝑥 ∈ los números críticos
𝐼, 𝑓 ′ (𝑥) > 0 o ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 ′ (𝑥) < 0. También, puede suceder garantizará un análisis
correcto del
que el valor de la derivada sea 𝑓 ′ (𝑥) = 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼, lo cual comportamiento de la
función!
indica que la función es constante en dicho intervalo.

Criterio del signo de la Primera Derivada para determinar puntos extremos relativos
Consiste en estudiar el cambio de signo de la primera derivada en un entorno de cada número
crítico. Si el cambio es de positivo a negativo existe un valor máximo relativo y si es de negativo
a positivo existe un valor mínimo relativo de 𝑓. Si no hay cambio no existe un extremo relativo.

Def. Sea 𝑓 una función continua en un intervalo abierto 𝐼 = (𝑎, 𝑏) y 𝑥 = 𝑐 ∈ 𝐼 un número

crítico, entonces:
1) 𝑓(𝑐) es un valor máximo relativo, si ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐), 𝑓 ′ (𝑥) > 0  ∀𝑥 ∈ (𝑐, 𝑏), 𝑓 ′ (𝑥) < 0.
Siendo el punto máximo 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)).
2) 𝑓(𝑐) es un valor mínimo relativo, si ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐), 𝑓 ′ (𝑥) < 0  ∀𝑥 ∈ (𝑐, 𝑏), 𝑓 ′ (𝑥) > 0.
Siendo el punto mínimo 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)).
3) Si 𝑓 ′ no cambia de signo en 𝑥 = 𝑐 entonces 𝑓 no alcanza un valor extremo en 𝑥 = 𝑐.
El punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) no será extremo relativo.

1
Ejemplo1: Obtener los puntos extremos relativos de la función 𝑓(𝑥) = 4 𝑥 4 − 𝑥 3 + 1.
1
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 + 1, dominio 𝐷𝑓 = 𝑅
4

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 , con dominio 𝐷𝑓′ = 𝑅 no hay valores donde ∄𝑓 ′ .

𝑓 ′ (𝑥) = 0  𝑥 3 − 3𝑥 2 = 0  𝑥 2 (𝑥 − 3) = 0
 𝑥 = 0 ∈ 𝐷𝑓  𝑥 = 3 ∈ 𝐷𝑓

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M.Arias
 𝑐1 = 0 y 𝑐2 = 3, son números críticos.
El dominio queda dividido en los intervalos: (−∞, 0); (0, 3); (3, ∞)

Nº critico Intervalo Valor prueba Signo de 𝑓’ Comportamiento de 𝑓 Punto Extremo Local

(−∞, 0) 𝑥 = −1 Negativo Decreciente
𝑥=0 𝐴(0, 1) no es punto extremo
(0, 3) 𝑥=1 Negativo Decreciente
𝑥=3 𝐵(3, 𝑓(3)) es un punto mínimo
(3, ∞) 𝑥=4 Positivo Creciente

Para calcular la ordenada de B se evalúa 𝑓 en 𝑥 = 3:

1 23 23
𝑓(3) = 4 34 − 33 + 1 = −  el único punto extremo de la gráfica es 𝐵 (3, − 4 )
4

33
Ejemplo2: Obtener los puntos extremos relativos de la función ℎ(𝑥) = 2 √(𝑥 − 3)2 + 𝑥

Dominio: 𝐷ℎ = 𝑅
2
3
Números críticos de ℎ(𝑥) = 2 (𝑥 − 3)3 + 𝑥
1
1
ℎ′(𝑥) = (𝑥 − 3)−3 + 1  ℎ′(𝑥) = 1 + 1 siendo 𝐷ℎ′ = 𝑅 − {3}
(𝑥−3)3

 ∄ℎ′(3) pero 𝑥 = 3 ∈ 𝐷ℎ entonces, es un número crítico.

1
1
1+(𝑥−3)3
ℎ′(𝑥) = 1 , haciendo: ℎ′(𝑥) = 0  1 + (𝑥 − 3)3 = 0 ,
(𝑥−3)3
1
 (𝑥 − 3)3 = −1  𝑥 − 3 = (−1)3  𝑥 − 3 = −1 luego, 𝑥 = 2 ∈ 𝐷ℎ .
Los números críticos son: 𝑐1 = 2 y 𝑐2 = 3
Nº critico Intervalo Valor prueba Signo de ℎ’ Punto Extremo relativo (PE)
(−∞, 2) 𝑥=0 Positivo
7
𝑥=2 𝑃(2, ) punto máximo
2
(2, 3) 𝑥 = 2.5 Negativo
𝑥=3 𝑄(3, 3) es un punto mínimo
(3, ∞) 𝑥=3 Positivo

Ejemplo3: A partir del análisis de la gráfica de una función 𝑓 con dominio 𝐷 = 𝑅, estime los
valores extremos relativos y el comportamiento de la función en su dominio.
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M.Arias
 Números críticos: 𝑐1 = −2; 𝑐2 = −1; 𝑐3 = 0 y 𝑐4 = 2
En 𝑥 = −2, 𝑚𝑡 = 0  𝑓 ′ (−2) = 0  −2 ∈ 𝐷
En 𝑥 = −1, ∄ 𝑚𝑡  ∄ 𝑓 ′ (−1)  −1 ∈ 𝐷
En 𝑥 = 0,𝑚𝑡 = 0  𝑓 ′ (0) = 0  0 ∈ 𝐷
En 𝑥 = 2, 𝑚𝑡 = 0  𝑓 ′ (2) = 0  2 ∈ 𝐷
Intervalos de monotonía:
(−∞, −2); (−2, −1); (−1, 0); (0, 2); (2, ∞)

Observación: El trazado de las rectas tangentes a la gráfica en los puntos indicados permite inferir la existencia o
no de la derivada y el valor de la misma.

Nº critico Intervalo Signo de 𝑚𝑡 Signo de 𝑓’ Comportamiento de 𝑓 Valor extremo Punto extremo local
(−∞, −2) Positivo  Positivo Creciente
𝑥 = −2 No posee T(-2, 1) no es P.E.
(−2, −1) Positivo  Positivo Creciente
𝑥 = −1 𝑓(−1) = 2 P(-1, 2) Máx. relativo
(−1, 0) Negativo  Negativo Decreciente
𝑥=0 𝑓(0) = −2 Q(0,-2) Mín. relativo
(0, 2) Positivo  Positivo Creciente
𝑥=2 𝑓(2) = 2 R(2,2) Máx. relativo
(2, ∞) Negativo  Negativo Decreciente

La función es creciente en (−∞, −1] ∪ [0,2] y decrece en [−1,0] ∪ [2, ∞)

Extremos absolutos en intervalos cerrados

Sea 𝑓 una función continua en 𝐼 = [𝑎, 𝑏]

El valor máximo absoluto es 𝑓(𝑐1 ) y el El valor máximo absoluto es 𝑓(𝑐2 ) y el

El valor mínimo absoluto es 𝑓(𝑎) y el mínimo absoluto 𝑓(𝑎). mínimo absoluto 𝑓(𝑐1 ).
máximo absoluto 𝑓(𝑏). Puntos 𝑃(𝑐1 , 𝑓(𝑐1 )) y 𝑄(𝑎, 𝑓(𝑎)) Puntos 𝑃(𝑐2 , 𝑓(𝑐2 )) y 𝑄(𝑐1 , 𝑓(𝑐1 ))
Puntos 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) y 𝑄(𝑏, 𝑓(𝑏)) (Uno está en el extremo del intervalo y (Están en valores interiores al intervalo)
(Están en los extremos del intervalo) el otro en el interior)

Def. Sea 𝑓 una función continua en 𝐼 = [𝑎, 𝑏] y 𝑐 ∈ 𝐼, entonces:

1) 𝑓(𝑐) es un valor máximo absoluto, si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) .
2) 𝑓(𝑐) es un valor mínimo absoluto, si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) .
Siendo el punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) el punto extremo absoluto en 𝐼.

50
M.Arias
Procedimiento:

Para determinar los puntos extremos absolutos en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] se procede a:
1. Determinar los números críticos que pertenecen al intervalo abierto (𝑎, 𝑏).
2. Evaluar la función en los extremos del intervalo y en los números críticos perteneciente al mismo.
3. El mayor valor es el máximo absoluto y el menor valor es el mínimo absoluto en [𝑎, 𝑏].

Ejemplo: ¿Cuáles son los puntos extremos de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 15𝑥 en [−1, 3]?
Determinación de los números críticos
La derivada es: 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 − 18𝑥 + 15  𝑓′(𝑥) = 3(𝑥 2 − 6𝑥 + 5)
El dominio de la derivada es: 𝐷𝑓′ = 𝑅  No hay valor en el intervalo donde ∄ 𝑓′(𝑥).
Haciendo: 𝑓′(𝑥) = 0  3(𝑥 2 − 6𝑥 + 5) = 0
6±√36−20 6±√16 6±4
𝑥12 = 2
 𝑥12 = 2
 𝑥12 = 2
 𝑥1 = 1 ; 𝑥2 = 5

𝑥 = 5 𝐼 y 𝑥 = 1 ∈ 𝐼  𝑐 = 1 es un número crítico perteneciente al intervalo.

Valor de la función en los números críticos y en los extremos del intervalo
Se evalúa la función en los extremos del intervalo: 𝑥 = −1; 𝑥 = 3 y
en el n° crítico 𝑐 = 1.
En 𝑥 = −1; 𝑓(−1) = (−1)3 − 9(−1)2 + 15(−1)
𝑓(−1) = −25 Valor Mínimo absoluto.
En 𝑥 = 1 𝑓(1) = (1)3 − 9(1)2 + 15. (1) = 7
𝑓(1) = 7 Valor máximo absoluto.
En 𝑥 = 3 𝑓(3) = (3)3 − 9(3)2 + 15. (3) = −9
𝑓(3) = −9 P. E. absolutos: 𝑃(−1, −25) y 𝑄(1,7)

Problemas de optimización
En general, para resolver problemas de optimización se recomienda determinar las siguientes
expresiones:
Expresión que relaciona las variables
Esta expresión vincula las variables, que intervienen, con los datos del problema.
Expresión a optimizar
La pregunta: ¿Qué es lo que se quiere hacer máximo o mínimo?, puede ayudar en la
determinación de la expresión a optimizar.
Ilustrar la situación con una gráfica, siempre que sea posible.

51
M.Arias
Problema1: Un terreno rectangular se cercará con 600 metros de alambre tejido. ¿Qué
dimensiones deberá tener el terreno para que el área encerrada sea la máxima?

Interpretación gráfica:
Expresión que relaciona las variables:
Perímetro: 𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦
 2𝑥 + 2𝑦 = 600, luego 𝑦 = 300 − 𝑥
Expresión optimizar:
El área del terreno: 𝐴 = 𝑥 . 𝑦
 𝐴(𝑥) = 𝑥 . (300 − 𝑥)

Dominio: 𝐼 = [0, 300]

Números críticos:
𝐴′(𝑥) = 300 − 2𝑥  𝐴′(𝑥) = 0 en 𝑥 = 150 ∈ 𝐼
Evaluar la función:
En los extremos del intervalo: el valor es cero.
En el n° crítico: 𝐴(150) = 150 . (300 − 150)  𝐴(150) = 22500 (valor máximo de para el área)
 si la base mide 150 m el área será máxima y la altura 𝑦 = 300 − 𝑥 también mide 150 m.

Problema2: La producción 𝑃 de cierta hortaliza en un invernadero en kg depende de la

temperatura T en °C, según la expresión: 𝑃(𝑇) = (𝑇 + 1)2 ∙ (32 − 𝑇). Calcular la temperatura
optima a mantener en el invernadero para que la producción sea máxima.

Función a optimizar: 𝑃(𝑇) = −𝑇 3 + 30𝑇 2 + 63𝑇 + 32 con dominio 𝐷𝑃 = 𝑅

𝑃′(𝑇) = −3𝑇 2 + 60𝑇 + 63  𝑃′(𝑇) = 0  −3𝑇 2 + 60𝑇 + 63 = 0
Luego, 𝑇 = −1°𝐶 y 𝑇 = 21°𝐶

Intervalo de temperatura (°C) Signo de 𝑃’

𝑇 < −1 −
Con temperatura de 𝑇 = −1°𝐶 , la producción es mínima

−1 < 𝑇 < 21 +
Con temperatura de 𝑇 = 21°𝐶 , la producción es máxima
𝑇 > 21 −

Teorema de Rolle
Si 𝑓 es una función continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], derivable en el intervalo abierto
(𝑎, 𝑏) y 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), entonces existe un número 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓’(𝑐) = 0.

52
M.Arias
Ilustración (distintas situaciones)

1. Si existe un único 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), entonces 𝑓 tendrá un valor extremo absoluto en 𝑥 = 𝑐.

En 𝑥 = 𝑐, 𝑚 𝑇 = 0  𝑓 ′ (𝑐) = 0 En 𝑥 = 𝑐, 𝑚 𝑇 = 0  𝑓 ′ (𝑐) = 0

∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥)  𝑓(𝑐) es máx. abs. ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥)  𝑓(𝑐) es mín. abs.

2. Si existen más un número 𝑐, en uno de ellos se producirá un valor extremo absoluto.

En 𝑥 = 𝑐1 y 𝑥 = 𝑐2 es 𝑚 𝑇 = 0 En 𝑥 = 𝑐1 , 𝑥 = 𝑐2 y 𝑥 = 𝑐3 es 𝑚 𝑇 = 0

 𝑓 ′ (𝑐1 ) = 𝑓 ′ (𝑐2 ) = 0  𝑓 ′ (𝑐1 ) = 𝑓 ′ (𝑐2 ) = 𝑓 ′ (𝑐3 ) = 0

𝑓(𝑐1 ) es máx. absoluto y 𝑓(𝑐2 ) mín. abs. 𝑓(𝑐1 ) es máx. absoluto.

3. Si 𝑓(𝑥) = 𝑘 (k, constante) entonces, ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 ′ (𝑥) = 0

4.

Ejemplo1: Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 2, definida en [0, 4]. Verifique las hipótesis del teorema de
Rolle y determine el o los valores donde se cumple la tesis.
Desarrollo:
Siendo 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 − 8𝑥  ∃ 𝑓 ′ ∀𝑥 ∈ 𝑅

53
M.Arias
De modo que la función 𝑓 es derivable en 𝑅, en consecuencia, es derivable en 𝐼 = (0, 4)  es
continua en [0, 4].
Al evaluar la función en los extremos del intervalo de definición se tiene que:
𝑓(0) = (0)3 − 4(0)2 + 2  𝑓(0) = 2
𝑓(4) = (4)3 − 4(4)2 + 2  𝑓(4) = 2
Así, se cumple que: 𝑓(0) = 𝑓(4)

Tesis: ∃ 𝑐 / 𝑓 ′ (𝑐) = 0
𝑓′(𝑐) = 3𝑐 2 − 8𝑐  3𝑐 2 − 8𝑐 = 0
8
Luego, 𝑐(3𝑐 − 8) = 0  𝑐 = 0  𝑐 = 3
8
𝑐 = 0(0,4)  𝑐 = ∈ (0,4)
3
8
El número donde se cumple la tesis del teorema es 𝑐 = 3.

3
Ejemplo2: Determine si en el intervalo [1, 3] la función 𝑔(𝑥) = 3 √(𝑥 − 2)2 + 1 cumple las
condiciones de Rolle.
Desarrollo:
2
Siendo 𝑔′(𝑥) = 3  ∄ 𝑔′ (2)
√𝑥−2

 no es derivable ∀𝑥 ∈ (1,3), por lo tanto, no cumple hipótesis 1).

 No se cumple una de las condiciones, aunque 𝑔 sea continua y
𝑔(1) = 𝑔(3)

Teorema del valor medio (Lagrange)

Si 𝑓 es una función continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], derivable en el intervalo abierto
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
(𝑎, 𝑏), entonces existe un número 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓’(𝑐) = .
𝑏−𝑎

Gráficamente Algebraicamente
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
La pendiente de la recta secante 𝑟𝑠 , es 𝑚𝑠 = 𝑏−𝑎
.

La pendiente de la recta tangente 𝑟𝑡 es 𝑚𝑡 = 𝑓’(𝑐)

Las rectas son paralelas, es decir, 𝑟𝑡 //𝑟𝑠
 se cumple: 𝑚𝑡 = 𝑚𝑠
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
Siendo 𝑚𝑡 = 𝑓′(𝑐)  𝑚𝑠 = 𝑏−𝑎
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
 𝑓’(𝑐) =
𝑏−𝑎

54
M.Arias
Ejemplo: Obtenga la o las abscisas de los puntos que satisfacen el teorema del Valor Medio
para la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 1 en el intervalo [−1,1].
1. Se comprueba que la función es continua en [−1,1] y derivable en (−1,1) .
La función es continua en R por ser una función polinómica, en consecuencia, es
continua en el intervalo cerrado [−1,1]
𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 siendo su dominio R, por lo tanto, la función es derivable en R y, en
consecuencia, es derivable en el intervalo (−1,1)
2. Si la función es continua en [−1,1] y derivable en (−1,1) existe al menos un número 𝑐
𝑓(1)−𝑓(−1)
en cual se cumple que 𝑓’(𝑐) = .
1−(−1)

Evaluar la función en 𝑥 = 1 y 𝑥 = −1
𝑓(1) = 13 − 12 + 1 = 1  𝑓(1) = 1
𝑓(−1) = (−1)3 − (−1)2 + 1 = −1  𝑓(−1) = −1
1−(−1)
 𝑓’(𝑐) = 1−(−1) = 1  𝑓′(𝑐) = 1 (∗)

Si 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 se reemplaza 𝑥 por 𝑐 y se tiene 𝑓 ′ (𝑐) = 3𝑐 2 − 2𝑐 (∗∗)

Luego, se iguala (∗) y (∗∗): 1 = 3𝑐 2 − 2𝑐 y se resuelve la ecuación resultante.
1
3𝑐 2 − 2𝑐 − 1 = 0  𝑐 = −3 y 𝑐 = 1
1
El valor interior al intervalo es  𝑐 = − 3.

La gráfica ilustra la situación

Derivada Sucesivas
𝑑𝑓
Si 𝑓 es una función derivable  ∃ = 𝑓′(𝑥)(derivada de primer orden)
𝑑𝑥
𝑑𝑓 ′
Si 𝑓′ es una función derivable  ∃ = 𝑓′′(𝑥)(derivada de segundo orden)
𝑑𝑥
𝑑𝑓 ′′
Si 𝑓′′ es una función derivable  ∃ = 𝑓′′′(𝑥)(derivada de tercer orden)
𝑑𝑥
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
𝑑𝑓 𝑛−1
Si 𝑓 𝑛−1 es una función derivable  ∃ = 𝑓 𝑛 (𝑥)(derivada de orden𝑛)
𝑑𝑥
55
M.Arias
 3
Ejemplo: Sea𝑔(𝑥) = 20 𝑥 5 − 2𝑥 3 + 3 y ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥. Obtener 𝑔’’’ y ℎ’’.
3 ℎ′ (𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 (regla de la cadena)
𝑔′(𝑥) = 𝑥 4 − 6𝑥 2
4 ℎ′′ (𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥. (−𝑠𝑒𝑛𝑥) (regla del producto)
3
𝑔′′(𝑥) = 3𝑥 − 12𝑥
ℎ′′ (𝑥) = 2(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)
𝑔′′′(𝑥) = 9𝑥 2 − 12
ℎ′′ (𝑥) = 2 − 4 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 (siendo 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)

Concavidad
La gráfica de una función puede presentar intervalos donde es cóncava hacia arriba y otros con
concavidad hacia abajo.
Considerando una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) derivable en 𝐼 = (𝑎, 𝑏)

En (𝑎, 𝑏)los valores de 𝑓’ aumentan En (𝑎, 𝑏) los valores de 𝑓’ disminuyen

(𝑓’ es creciente en 𝐼 y 𝑓 es cóncava (𝑓’ es decreciente en 𝐼 y 𝑓 es cóncava
hacia arriba) hacia abajo)

𝑑𝑓′
Si 𝑓’ es creciente en 𝐼 , su derivada 𝑑𝑥
es positiva (𝑓’’(𝑥) > 0) y la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba.
𝑑𝑓′
Si 𝑓’ decrece en 𝐼 , su derivada 𝑑𝑥
es negativa (𝑓’’(𝑥) < 0) y la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo.

Criterio de Concavidad
Sea 𝑓 una función derivable en 𝐼 = (𝑎, 𝑏):
1) Si 𝑓’’(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼  𝑓 es cóncava hacia arriba en 𝐼.
2) Si 𝑓’’(𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼  𝑓 es cóncava hacia abajo en 𝐼.

Ejemplo: Determinar los intervalos en los que la función ℎ(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 1 es cóncava hacia
arriba.
1.- Obtener la segunda derivada de ℎ.
ℎ′(𝑥) = 3𝑥 2 + 6𝑥 y ℎ′′(𝑥) = 6𝑥 + 6
2.- Plantear la desigualdad correspondiente para obtener los intervalos
donde la función es cóncava hacia arriba. Es decir ℎ′′ (𝑥) > 0 .
6𝑥 + 6 > 0  6𝑥 > −6  𝑥 > −1
 la función es cóncava hacia arriba en el intervalo (−1, ∞).

56
M.Arias
 Criterio del signo de la Segunda Derivada (para la determinación de extremos relativos)
Sea 𝑥 = 𝑐 un número crítico de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) derivable, entonces:
1) 𝑓(𝑐) es un valor mínimo relativo de 𝑓, si 𝑓’’(𝑐) > 0.
2) 𝑓(𝑐) es un valor máximo relativo de 𝑓, si 𝑓’’(𝑐) < 0.
3) Si 𝑓’’(𝑐) = 0; No se puede afirmar que 𝑓(𝑐) sea un extremo relativo de 𝑓.

Ejemplo1: Obtener los puntos extremos de la función 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 + 1.

Dominio: 𝐷𝑔 = 𝑅
Números Críticos
𝑔′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 , factorizada: 𝑔′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 (1 + 𝑥)
𝑔′ (𝑥) = 0  𝑒 𝑥 (1 + 𝑥) = 0  𝑥 = −1 ∈ 𝐷
De modo que es un número crítico, 𝑐 = −1
Siendo 𝐷𝑔′ = 𝑅, no hay valores donde no existe la derivada.
Criterio del signo de la segunda derivada.
𝑔′′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥  𝑔′′ (𝑥) = 2𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥
Luego, 𝑔′′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 (2 + 𝑥)
Evaluando en 𝑥 = −1 : 𝑔′′ (−1) = 𝑒 −1 (2 − 1)  𝑔′′ (−1) = 𝑒 −1
Siendo 𝑔′′ (−1) > 0
La función tiene un valor mínimo relativo en 𝑥 = −1 y el punto es: 𝑃(−1, 0.63)
1 1
Ejemplo2: ¿Cuáles son los puntos extremos de la función 𝑓(𝑥) = 5 𝑥 5 − 4 𝑥 4 ?

Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅
Números Críticos
La derivada es: 𝑓′(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 , Factor Común: 𝑓′(𝑥) = 𝑥 3 (𝑥 − 1)
Los valore pertenecen al dominio: 𝑥 = 0 ∈ 𝐷𝑓 y 𝑥 = 1 ∈ 𝐷𝑓
Siendo 𝐷𝑓′ = 𝑅, no hay valores donde no existe la derivada.
Criterio del signo de la segunda derivada.
𝑓′′(𝑥) = 4𝑥 3 − 3𝑥 2
Se evalúa en cada número crítico.
En x= 0, 𝑓′′(0) = 0 (no se puede afirmar si es abscisa de un punto extremo)
En x= 1, 𝑓′′(1) = 4(1)3 − 3(1)2  𝑓′′(1) = 1  𝑓 ′′ (1) > 0
1
 𝑥 = 1 es abscisa de un punto mínimo  𝑃 (1, − )
20

57
M.Arias
 ¿Cómo saber si hay un punto extremo en 𝑥 = 0?

Por Criterio del signo de la Primera Derivada, se analiza el signo de la derivada en el

entorno de cero (tener presente la división del dominio de la función, generada por
los números críticos).
En 𝑥 < 0, valor prueba x=-1 𝑓 ′ (−1) = (−1)4 − (−1)3 = 2 𝑓 ′ (𝑥) > 0 𝑅(0, 0)

En 0 < 𝑥 < 1, valor prueba x=0.5 𝑓 ′ (0.5) = (0.5)4 − (0.5)3 = −0.0625 𝑓 ′ (𝑥) < 0 Máx. Rel.

 𝑥 = 0 es abscisa de un punto máximo relativo, 𝑅(0, 0)

Diferencias y semejanzas entre los criterios

Criterio del:
Signo de la 1era derivada Signo de la 2da derivada
Identificar el Dominio de 𝑓. Identificar el Dominio de𝑓.
Determinar: Números críticos (𝑥 = 𝑐 ) Determinar: Números críticos (𝑥 = 𝑐 )
Estudiar: signo de f  en un entorno de cada n° 𝑥 = 𝑐 Evaluar f  en cada n° 𝑥 = 𝑐

Puntos de inflexión
Un punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) perteneciente a la gráfica de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es un punto de
inflexión si en él la gráfica cambia de concavidad y se cumple que 𝑓’’(𝑐) = 0 o ∄𝑓 ′′ (𝑐).

Def. Sea 𝑓 continua en 𝐼 = (𝑎, 𝑏) y 𝑐 ∈ 𝐼, entonces en 𝑥 = 𝑐 existe un punto de inflexión (PI)

si ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐), 𝑓 ′′ (𝑥) > 0  ∀𝑥 ∈ (𝑐, 𝑏), 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 o bien ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐), 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 
∀𝑥 ∈ (𝑐, 𝑏), 𝑓 ′′ (𝑥) > 0.

Abscisas de posibles puntos de inflexión y determinación puntos de inflexión

Las abscisas de posibles puntos de inflexión (APPI), dividen al dominio de la función en
intervalos y se determinan resolviendo 𝑓’’(𝑥) = 0 y analizando los valores donde ∄𝑓 ′′ (𝑥).
Procedimiento

- Determinar: Dominio y APPI.

- Estudiar el signo de la segunda derivada en los intervalos determinados por las APPI.
- Identificar los cambios de concavidad.

58
M.Arias
Ejemplo: Determinar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad de la función
𝑔(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 .
Dominio: 𝐷𝑔 = 𝑅
APPI
𝑔′(𝑥) = 4𝑥 3 − 6𝑥 2
𝑔′′(𝑥) = 12𝑥 2 − 12𝑥, siendo 𝐷𝑔′′ = 𝑅 por los que no hay valores
donde no existe la segunda derivada.
Haciendo 𝑔′′ (𝑥) = 0 y factorizando resulta: 12𝑥. (𝑥 − 1) = 0
𝑥 = 0 y 𝑥 = 1 son APPI (ambos pertenecen al dominio de 𝑔)
APPI Intervalo Valor prueba Signo de 𝑓′′ Concavidad de 𝑓 Punto de Inflexión (PI)
(−∞, 0) 𝑥 = −1 Positivo Hacia arriba
𝑥=0 𝑃(0, 0)
(0, 1) 𝑥 = 0.5 Negativo Hacia abajo
𝑥=1 𝑄(1, −1)
(1, ∞) 𝑥=2 Positivo Hacia arriba

La función es cóncava hacia arriba en (−∞, 0) ∪ (1, ∞) y es cóncava hacia abajo en (0, 1).

Teorema: Si 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) es un punto de inflexión entonces, 𝑓’’(𝑐) = 0 o ∄𝑓 ′′ (𝑐).

Observación: Si 𝑓’’(𝑐) = 0 o ∄𝑓 ′′ (𝑐) no se puede asegurar que existe un punto de inflexión.

Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 siendo 𝑓’’(𝑥) = 12𝑥 2 y 𝑓’’(0) = 0 sin embargo en x=0 no hay cambio de
concavidad de la gráfica porque:
Para 𝑥 < 0 , 𝑓’’(𝑥) > 0 y para 𝑥 > 0 , 𝑓’’(𝑥) > 0

Autoevaluación
Actividades de revisión e integración
 Defina valor máximo y valor mínimo de una función. Proporcione ejemplos.
 Enuncie la condición necesaria para la existencia de un valor extremo relativo.
 Proporcione un ejemplo para mostrar que la condición necesaria no es suficiente.
 Proporcione un ejemplo de una función que cumple con la condición necesaria, en cierto valor de 𝑥,
pero allí la función no tiene valor extremo. Interprete gráficamente.
 Proporcione un ejemplo de una función que no cumple con la condición necesaria, en cierto valor de
𝑥, pero allí la función presenta un valor extremo. Interprete gráficamente.
 Aplicando concepto de derivada ¿Cuándo una función es creciente, decreciente o constante en un
intervalo?
 Defina número crítico de una función.
 ¿Cómo obtiene las coordenadas de un punto crítico?

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M.Arias
 Enuncie el criterio del signo de la primera derivada para determinar si un número crítico es abscisa
de un punto extremo. Ejemplifique.
 ¿Un punto crítico es un punto extremo? Ejemplifique.
 Si 𝑥 = 𝑐 es un número crítico entonces ¿en 𝑥 = 𝑐 hay punto extremo?
 Enuncie el criterio de la segunda derivada (concavidad de una función en un intervalo).
 ¿Cuál es el comportamiento de la derivada de una función, en cuanto a crecimiento o decrecimiento,
en un intervalo donde la función es cóncava hacia abajo?
 Defina punto de inflexión.
 Si 𝑓 es continua en R; 𝑥 = 𝑐 es un número crítico y 𝑓’’(𝑐 ) = 2 entonces ¿𝑓 tiene un valor máximo en
𝑥 = 𝑐?
 ¿Cuál es el procedimiento para determinar los puntos de inflexión de una función? Ejemplifique.

Ejercitación

 Determine el valor de 𝑏 para que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 sea creciente en el intervalo [2, ∞)
 La función f ( x) = (3 − x) ¿presenta un valor extremo en x = 3 ?
3

 Pruebe que f ( x) = x e en x = 0 tiene un mínimo relativo.

2 x

1
 Determine los puntos extremos relativos de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + .
𝑥2
 La incidencia de propagación (n° de nuevos casos por día) de una enfermedad contagiosa en una
población de 200000 habitantes, está dada por: 𝑅(𝑥) = 0.02𝑥(200000 − 𝑥). Donde 𝑥 es el número
de personas infectadas. Mostrar que la incidencia de la propagación es mayor cuando la mitad de la
población está infectada.
 Pruebe que la función 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛𝑥 es cóncava hacia arriba en todo su dominio.
1
 Determine los intervalos de concavidad de la función 𝑓(𝑥) = .
𝑥

a 5 b 4
 Sea f ( x ) = x + x . Decida si son verdaderas las afirmaciones.
20 12
a) f tiene un punto de inflexión cuando b = 0  a  0
b) f no tiene un punto de inflexión cuando a = 0  b  0

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