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    Ecuaciones Homogeneas

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    Lucio Flores
    Este documento explica los métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas. Define qué son ecuaciones diferenciales homogéneas y presenta el método de separación de variables para convertir estas ecuaciones en una forma soluble. Luego, resuelve varios ejercicios como ejemplos aplicando este método.

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    Este documento explica los métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas. Define qué son ecuaciones diferenciales homogéneas y presenta el método de separación de variables para convertir estas ecuaciones en una forma soluble. Luego, resuelve varios ejercicios como ejemplos aplicando este método.

    Descripción original:

    EDO homogeneas

    Título original

    ecuaciones homogeneas

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    Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 11

    1.5. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas


    La función f se dice homogénea de grado “n” respecto a las variables “x e y”; si para todo
    “t” se verifica la identidad:
    f (tx, ty) = tn f (x, y)
    La ecuación diferencial
    M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
    se llama homogénea (o ecuación diferencial de primer orden homogénea) si M y N son funciones
    homogéneas del mismo grado.

    Método de Solución Sea la ecuación de primer orden


    M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
    haciendo: y = ux y dy = udx + xdu, permite convertir la ecuación Homogénea en una ecuación
    de Variables Separables.
    M (x, ux)dx + N (x, ux)(udx + xdu) = 0
    x M (1, u)dx + xn N (1, u)(udx + xdu)
    n
    = 0
    M (1, u)dx + N (1, u)(udx + xdu) = 0
    M (1, u)dx + N (1, u)udx + N (1, u)xdu = 0

    [M (1, u) + uN (1, u)]dx + xN (1, u)du = 0


    dx N (1, u)du
    + =0
    x M (1, u) + uN (1, u)
    que es una ecuación con variables separables. Una solución alternativa es también si se sustituye
    x = vy así dx = vdy + ydv
    Ejercicio 6 Resuelva la siguiente EDO homogénea
    xdx + (y − 2x)dy = 0
    Solución: Haciendo x = vy entonces dx = ydv + vdy sustituyendo esto en la ecuación dada
    se tiene:
    (yv)(ydv + vdy) + (y − 2yv)dy = 0
    vy 2 dv + yv 2 dy + ydy − 2yvdy = 0
    vy 2 dv + y(v 2 − 2v + 1)dy = 0
    Separando variables
    vdv dy
    2
    + =0
    (v − 1) y
    descomponiendo en fracciones parciales
    dv dv dy
    + 2
    + =0
    (v − 1) (v − 1) y
    integrando y reagrupando se obtiene:
    y
    ln |x − y| − x−y =C 

    Lic. Lucio Elias Flores Bustinza


    Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 12

    y
    Ejercicio 7 xy0 = y + 2xe− x
    dy y
    Solución: Acomodando x = y + 2xe− x
    dx
    y
    M (x, y) = y + 2xe− x
    ty
    M (tx, ty) = ty + 2txe− tx
    y
    tM (x, y) = t(y + 2xe− x ) M (tx, ty) = tM (x, y)
    N (x, y) = x
    N (tx, ty) = tx
    tN (x, y) = tx N (tx, ty) = tN (x, y)
    dy y
    x = y + 2xe− x
    dx 
    y = ux
    Es homogénea de primer orden y sea:
    dy = udx + xdu
    y
    xdy = (y + 2xe− x )dx
    x(udx + xdu) = (ux + 2xe−u )dx
    xudx + x2 du = uxdx + 2xe−u dx , simplificando y separando variables
    dx
    eu du = 2 , integrando
    x
    eu = 2 ln x + ln C
    eu = ln |x2 C|
    Volviendo a la variable
    y
    inicial:
    e x = ln |x2 C| 
    p
    Ejercicio 8 xdy − ydx = x2 + y2 dx
    Solución:
    p
    M (x, y) = x2 + y 2 + y
    p
    M (tx, ty) = (tx)2 + (ty)2 + ty
    p
    tM (x, y) = t( x2 + y 2 + y) M (tx, ty) = tM (x, y)
    N (x, y) = −x
    N (tx, ty) = −tx
    tN (x, y) = t(−x) N (tx, ty) = tN (x, y)
    
    p
    2 2 y = ux
    ( x + y + y)dx − xdy = 0 es homogénea de primer orden haciendo
    dy = udx + xdu
    √
    x(udx + xdu) − uxdx = x2 + u2 x2 dx , simplificando
    √
    x2 du = x 1 + u2 dx , separando variables
    du dx
    √ = , integrando
    1+u 2 x
    √
    ln |u + u2 + 1| = ln |xC| , volviendo a “y”
    r
    y y 2
    + + 1 = Cx
    x x2

    Lic. Lucio Elias Flores Bustinza


    Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 13

    p
    y+ y 2 + x2 = Cx2 

    Nota: También podemos resolver algunas EDO que no son homogéneas por el método de Ec.
    Homogéneas como se ve a continuación
    dy y x
    Ejercicio 9 = + +1
    dx x y
    
    y = ux
    Solución: Haciendo
    dy = udx + xdu
    udx + xdu 1
    =u+ +1
    dx u
    du 1
    u+x =u+ +1
    dx u
    du 1+u
    x =
    dx u
    u dx
    du = , dividiendo
     1 +u x
    1 dx
    1− du = , integrando y reagrupando
    1+u x
    u − ln |1 + u| = ln x + C , reemplazando el valor de “u”
    y y
    − ln 1 + x = C

    x x
    y
    Por lo tanto − ln |x + y| = C 
    x
    y y
    Ejercicio 10 (x + (x − y)e x )dx + xe x dy = 0
    
    y = ux
    Solución: Haciendo
    dy = udx + xdu
    (x + (x − ux)eu )dx + xeu (udx + xdu) = 0 , simplificando
    x(1 + eu )dx + x2 eu du = 0 , separando variables
    dx eu
    + du = 0 , integrando
    x 1 + eu
    ln x + ln |1 + eu | = ln C ,reemplazando el valor de “u”
    y
    x(1 + e ) = C
    x 
     y  dy y
    Ejercicio 11 x sen = y sen +x
    x dx x
    
    y = ux
    Solución: Haciendo
    dy = udx + xdu
    udx + xdu
    x sen u = ux sen u + x , simplificando
    dx
    dx
    sen udu = , integrando
    x
    − cos u = ln u + ln C ,reemplazando el valor de “u”
    y
    ln |Cx| + cos = 0 
    x

    Lic. Lucio Elias Flores Bustinza

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