Cód.

1501-2024

Matemática Dpto. de Matemática

 Una aproximación a la noción de Derivada
Recta Tangente a la curva determinada por una función en un punto

Sea:

𝑦 = 𝑓(𝑥) una función definida en un

intervalo abierto.

𝑝0 un punto de la gráfica de dicha función,

por lo tanto, si llamamos 𝒂 a la abscisa del
punto, se tendrá 𝒂 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) y las
coordenadas de 𝒑𝟎 (𝒂, 𝒇(𝒂)).

𝑻, la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el

punto 𝑝0 (punto de tangencia).

𝒒 otro punto de la curva determinada por la función, de coordenadas (𝑎 + ℎ; 𝑓(𝑎 + ℎ))

𝑺, la recta secante a la curva que pasa por 𝑝0 y 𝑞.

Podemos “notar” que si tomamos valores más pequeños de 𝒉, el punto 𝒒 se irá “acercando”
por la curva de la función al punto 𝒑𝟎 , y de está manera la recta secante 𝑺 tenderá a ser la recta
tangente 𝑻.

Así, el ángulo 𝛽, cuya tangente trigonométrica es la pendiente de 𝑆, tenderá a ser el ángulo 𝛼,

ligado a la pendiente de 𝑇.

1
Derivada

Matemática
Observando el gráfico, tenemos que si 𝒉 → 𝟎, la pendiente de la recta 𝑆 (𝑚𝑠 ) tiende a ser la
pendiente de la recta tangente 𝑇 (𝑚 𝑇 ).
Entonces:
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
Si ℎ → 0 ⇒ 𝑚𝑠 ⟶ 𝑚 𝑇 ⟹ tan 𝛽 → tan 𝛼 ⟹ ⟶ tan 𝛼
ℎ

Matemáticamente lo anterior, lo podemos expresar como:

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
tan 𝛼 = lim
ℎ→0 ℎ
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
 Al cociente , se lo denomina COCIENTE INCREMENTAL.
ℎ

Definición

Dadas una función 𝑓 definida en un intervalo abierto 𝐼 y un punto 𝑝0 (𝑎, 𝑓(𝑎)),

con 𝑎 ∈ 𝐼, definimos la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝒇 en el punto
𝒑𝟎 (𝒂, 𝒇(𝒂)) a:
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
lim
ℎ→0 ℎ
siempre que dicho límite exista

Ejemplo

Obtiene una ecuación para la recta tangente a la curva determinada por la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 en el
punto 𝑝0 (−1; 1).
Resolución:
𝑇) 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝐻
(−1; 1) ∈ 𝑇
𝑓(−1+ℎ)−𝑓(−1)
Por la definición anterior, resulta que, si existe, lim entonces el resultado
ℎ→0 ℎ
del mismo será la pendiente de la recta tangente 𝑇, es decir: 𝑚.

Calculando dicho límite, nos queda:

𝑓(−1 + ℎ) − 𝑓(−1) (−1 + ℎ)2 − 1 1 − 2ℎ + ℎ2 − 1 −2ℎ + ℎ2

lim = lim = lim = lim =
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
−2
ℎ ∙ (−2 + ℎ)
= lim = lim (−2 + ℎ) = (−2)
ℎ→0 ℎ ℎ→0

Por lo anterior, resulta 𝑚 = −2

2
 Entonces: 𝑦 = (−2)𝑥 + 𝐻

Como (−1; 1) ∈ 𝑇 ⟹ 1 = (−2) ∙ (−1) + 𝐻 ⟹ 𝐻 = −1

Rta.: 𝑻) 𝒚 = (−𝟐)𝒙 − 𝟏

Definición de Derivada de una función en un punto

𝑓′(𝑎) se Sea 𝑓(𝑥), cuyo dominio es un conjunto abierto, 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), definimos:

lee
“efe La derivada de la función 𝒇(𝒙) en un punto de abscisa 𝒙 = 𝒂 y simbolizamos
prima” 𝒇´(𝒂) a:
𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂)
𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉
Siempre que exista el límite (y sea finito), es decir:
𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂)
𝒇′ (𝒂) = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉

OBSERVACIONES IMPORTANTES
 Observando la definición de derivada, vemos que, cuando calculamos la
pendiente de una recta tangente a la curva de una función, estamos calculando
una derivada.
 La definición de derivada plantea el calculo del límite de un cociente que, a
priori, es una indeterminación, entonces podemos tener distintos tipos de
resultados:
o Existe y da un número real, en este caso diremos que 𝑓 es derivable en
𝑥 = 𝑎.
o Da por resultado algún tipo de infinito: en este caso diremos que 𝑓 no es
derivable en 𝑥 = 𝑎.
o No existe, por ende 𝑓 no es derivable en 𝑥 = 𝑎.
 De la expresión 𝑥 = 𝑎 + ℎ, podemos despejar ℎ, quedando ℎ = 𝑥 − 𝑎, y
entonces cuando ℎ tiende a cero no quedará otra posibilidad que 𝑥 tienda a 𝑎.
Con lo cual, una forma equivalente de calcular la derivada es:
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒂)
𝒇′ (𝒂) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂 𝒙−𝒂

3
Derivada

Matemática
ACTIVIDADES
1. Determina, en cada caso, una ecuación para la recta tangente a la gráfica de la función en el punto
indicado. Gráfica la función y la recta tangente obtenida:
a. 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 1, en el punto de abscisa 𝑥 = 1.
b. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1, en el punto de abscisa 𝑥 = 3.
c. 𝑔(𝑥) = sen 𝑥, en el punto de abscisa 𝑥 = 0.

1
2. Dada la función 𝑓(𝑥) = , determina, si existen:
𝑥
a. 𝑓′(1) b. 𝑓′(-2) c. 𝑓′(0)

3. Obtiene 𝑤′(2) sabiendo que la recta tangente a la gráfica de 𝑤 en el punto de abscisa 𝑥 = 2 es

𝑇) 5𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0. ¿Cuál es el valor de 𝑤(2)?

Una interpretación útil de la derivada de una función

Razón de cambio
Velocidad promedio. Velocidad instántanea.

Supongamos que la posición de una partícula en función del tiempo viene dada por una
función 𝑦 = 𝑓(𝑥), donde 𝑥 es el tiempo.

Si el tiempo cambia de 𝑥0 a 𝑥1 , entonces el cambio en 𝑥, llamado también incremento de 𝑥,

será ∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 . Y el cambio que le corresponde en la posición, será ∆𝑓 = 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 ).

La velocidad promedio en el intervalo de tiempo [𝑥0 ; 𝑥1 ] será:

∆𝑓 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 )
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 = =
∆𝑥 𝑥1 − 𝑥0

La velocidad instantánea en el instante 𝑥 = 𝑥0 la podemos aproximar haciendo que el

incremento de 𝑥 sea cada vez más pequeño. Es decir ∆𝑥 → 0, entonces:
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 )
𝑣(𝑥0 ) = lim
𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0

Lo que notamos es que, entonces, de existir este último límite, tenemos que 𝑣(𝑥0 ) = 𝑓′(𝑥0 ).

Por lo que la velocidad instantánea es la derivada de la función posición en un instante.

4
 Cómo afecta la gráfica de una función continua, la no derivabilidad.

Siendo la función 𝑓(𝑥) continua en 𝑥 = 𝑥0 ,

la no derivabilidad en dicho punto puede
establecerse por dos motivos:

No existe el límite del cociente incremental

porque los límites laterales dan distintos.
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = |𝑥| en 𝑥 = 0 El límite del cociente incremental da
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0) |ℎ| infinito:
lim = lim
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ 3
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = √𝑥 en 𝑥 = 0
|ℎ| |ℎ|
Si ℎ > 0: |ℎ| = ℎ ⟹ ℎ
= 1 ⟹ lim+ ℎ
=1 𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0) √ℎ
3
ℎ→0
lim = lim
|ℎ| |ℎ|
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
Si ℎ < 0: |ℎ| = −ℎ ⟹ = −1 ⟹ lim− = −1 1
ℎ ℎ→0 ℎ = lim 3 = +∞
ℎ→0 √ℎ2
|ℎ|
Luego ∄ lim
ℎ→0 ℎ En la gráfica podemos notar la curva
de la gráfica de la función tiene recta
En la gráfica podemos notar que no hay un
tangente en el punto (0; 0) pero es lo
cambio “suave”, lo que llamamos “punto
que llamamos una “tangente vertical”
anguloso”

Teorema

Si una función 𝒇 es derivable en 𝒙 = 𝒂, entonces 𝒇 es continua en 𝒙 = 𝒂

Demostración:
Como 𝑓 es derivable en 𝑥 = 𝑎, tenemos que existe el límite del cociente incremental
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
∃𝑓′(𝑎) = lim
𝑥→𝑎 𝑥−𝑎

5
Derivada

Matemática
Entonces:
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) (1) 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
lim [𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = lim ∙ (𝑥 − 𝑎) = lim ∙ lim (𝑥 − 𝑎) = 𝑓 ′ (𝑎) ∙ 0 = 0
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 𝑥→𝑎

Luego: lim [𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 0 ⟹ lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) ∴ 𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑎.

𝑥→𝑎 𝑥→𝑎

(1)El límite del producto de funciones es el producto de los límites (siempre que existan)

OBSERVACIÓN IMPORTANTE
 El recíproco de este teorema no es válido. Como ejemplo tenemos la función
𝑓(𝑥) = |𝑥| en 𝑥 = 0, donde es continua pero, como vimos anteriormente no es
derivable.

ACTIVIDAD

4. En cada caso, indica, justificando gráficamente, si la función dada posee derivada en el punto
indicado. En el caso de tener, realiza una estimación del valor de la misma:

a. b.

c. d.

e. f.

6
 Función Derivada

Sea la función 𝑓(𝑥), cuyo dominio es un conjunto abierto.

La Función Derivada de la función 𝒇(𝒙), que simbolizamos 𝒇´(𝒙), es la

función que asigna a cada valor 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) el valor, si existe, del límite
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉

OBSERVACIÓN IMPORTANTE
 Viendo la definición de función derivada, vemos que: 𝐷𝑜𝑚(𝑓′) ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓).

Algunas funciones derivadas destacadas

 Función constante 𝒇(𝒙) = 𝒌, 𝒌 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑘−𝑘 0
𝑓 ′ (𝑥) = lim = lim = lim = 0
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ

𝒇′(𝒙) = 𝟎 𝐷𝑜𝑚(𝑓′) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ

 Función identidad 𝒇(𝒙) = 𝒙

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑥+ℎ−𝑥 ℎ
𝑓 ′ (𝑥) = lim = lim = lim = lim 1 = 1
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0

𝒇′(𝒙) = 𝟏 𝐷𝑜𝑚(𝑓′) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ

 Función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐

′
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) (𝑥 + ℎ)2 − 𝑥 2 2𝑥ℎ + ℎ2
𝑓 (𝑥) = lim = lim = lim = lim (2𝑥 + ℎ) = 2𝑥
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0

𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒙 𝐷𝑜𝑚(𝑓′) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ

7
Derivada

Matemática
 Función raíz cuadrada 𝒇(𝒙) = √𝒙
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) √𝑥 + ℎ − √𝑥 √𝑥 + ℎ − √𝑥 √𝑥 + ℎ + √𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = lim = lim = lim ∙ =
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ √𝑥 + ℎ + √𝑥
2 2
√𝑥 + ℎ − √𝑥 𝑥+ℎ−𝑥 ℎ
= lim = lim = lim =
ℎ→0 ℎ ∙ (√𝑥 + ℎ + √𝑥) ℎ→0 ℎ ∙ (√𝑥 + ℎ + √𝑥) ℎ→0 ℎ ∙ (√𝑥 + ℎ + √𝑥)
1 1
= lim =
ℎ→0 (√𝑥 + ℎ + √𝑥) 2√𝑥

𝟏 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ+
0 𝐷𝑜𝑚(𝑓′) = ℝ
+
𝒇′(𝒙) =
𝟐√𝒙

Tabla de Derivadas
𝒇(𝒙) 𝒇′(𝒙) 𝒇(𝒙) 𝒇′(𝒙)

𝒌 0 𝒆𝒙 𝒆𝒙

𝒙 1 𝒂𝒙 𝐥𝐧 𝒂 ∙ 𝒂𝒙

𝟏
√𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 −𝐬𝐞𝐧 𝒙
𝟐√ 𝒙

𝒏 ∈ ℝ, 𝒏 ≠ 𝟎: 𝒙𝒏 𝒏 𝒙𝒏−𝟏 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙

𝟏
𝐥𝐧 𝒙
𝒙
𝟏 𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 ∙
𝐥𝐧 𝒂 𝒙

8
 Reglas de Derivación
Álgebra de derivadas
Sean las funciones 𝑓 y 𝑔 derivables en 𝑥 = 𝑎, entonces:
I. (𝒇 + 𝒈)′ (𝒂) = 𝒇′(𝒂) + 𝒈′(𝒂)

II. (𝒇 − 𝒈)′ (𝒂) = 𝒇′ (𝒂) − 𝒈′(𝒂)

III. (𝒌 ∙ 𝒈)′ (𝒂) = 𝒌 ∙ 𝒈′(𝒂) , siendo 𝒌 ∈ ℝ

IV. (𝒇 ∙ 𝒈)′ (𝒂) = 𝒇′(𝒂) ∙ 𝒈(𝒂) + 𝒇(𝒂) ∙ 𝒈′(𝒂)

𝒇 ′ 𝒇′ (𝒂)∙𝒈(𝒂)−𝒇(𝒂)∙𝒈′(𝒂)
V. (𝒈) (𝒂) = (𝒈(𝒂))𝟐
, siempre que 𝒈(𝒂) ≠ 𝟎

Demostraremos la I y la III

Demostración I:
(𝑓 + 𝑔)(𝑎 + ℎ) − (𝑓 + 𝑔)(𝑎) 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) + 𝑔(𝑎 + ℎ) − 𝑔(𝑎)
(𝑓 + 𝑔)′ (𝑎) = lim = lim =
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) 𝑔(𝑎 + ℎ) − 𝑔(𝑎) (1) 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) 𝑔(𝑎 + ℎ) − 𝑔(𝑎) (2)
= lim [ + ] = lim + lim =
ℎ→0 ℎ ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
= 𝑓′(𝑎) + 𝑔′(𝑎)

Demostración III:
𝑘 ∙ 𝑔(𝑎 + ℎ) − 𝑘 ∙ 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑎 + ℎ) − 𝑔(𝑎) (3) 𝑔(𝑎 + ℎ) − 𝑔(𝑎) (2)
(𝑘 ∙ 𝑔)′ (𝑎) = lim = lim 𝑘 ∙ = 𝑘 ∙ lim =
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
= 𝑘 ∙ 𝑔′(𝑎)
(1) El límite de una suma, es la suma de los límites, siempre que existan.
(2) Por hipótesis 𝑓 y 𝑔 son derivables en 𝑥 = 𝑎.
(3) El límite de una constante por una función, es la constante por el límite de la función.

Ejemplos
(1) (2)𝑦 (3) (2)
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3 ∙ cos 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥 3 )′ + (3 ∙ cos 𝑥)′ = 3 ∙ 𝑥 2 + 3 ∙ (cos 𝑥)′ = 3𝑥 2 + 3(−sen 𝑥)

Luego 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 3sen 𝑥 (1) La derivada de una suma es la suma de

las derivadas.
′
𝑥 2 (4) (𝑥 2 ) ∙sen 𝑥−𝑥 2 (sen 𝑥)′ (2) 2𝑥∙sen 𝑥−𝑥 2 cos 𝑥 (2) Tabla de derivadas
b. 𝑔(𝑥) = sen 𝑥
⇒ 𝑔′ (𝑥) = (sen 𝑥)2
= sen2 𝑥 ′
(3) (𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)) = 𝑘 ∙ 𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥) ′ 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
(4) ( ) = [𝑔(𝑥)]2
𝑔(𝑥)

9
Derivada

Matemática
ACTIVIDADES

5. En cada caso, determine la derivada de la función dada.

a. 𝑓(𝑥) = 5√𝑥 − 𝑥 2 cos 𝑥 d. 𝑓(𝑥) = tan 𝑥

3 𝑒 𝑥 ∙𝑥 2
b. 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 + √𝑥 e. 𝑓(𝑥) =
sen 𝑥

3 𝑥 5 −√𝑥 3 +𝑥
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 f. 𝑓(𝑥) =
√𝑥

6. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva determinada por la función 𝑔(𝑥) = 𝑥 ∙ cos 𝑥 en
el punto de abscisa 𝑥 = 𝜋 .

7. Determine el o los puntos de la gráfica de la función 𝑝(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 36𝑥 + 30 cuya recta

tangente sea horizontal.
8. La función posición de una partícula en el instante 𝑡 está dad por la expresión 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 − 12𝑡 + 1,
donde 𝑡 se mide en segundos y 𝑥 en metros.
a. Obtiene la velocidad instantánea de dicha partícula cuando 𝑡 = 10𝑠.
b. ¿Existe algún instante en el cual la partícula se detiene?
c. ¿Cuál es la velocidad promedio de la partícula en el intervalo [1; 3]?¿Existe algún instante en
dicho intervalo en el cuál la velocidad instantánea coincida con la velocidad promedio?
9. En qué puntos de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 1 + 6𝑒 𝑥 − 3𝑥 la recta tangente es paralela a la recta
𝑅) 3𝑥 − 𝑦 = 5
Corolario
Las funciones polinómicas son derivables en ℝ.
Las funciones racionales son derivables en su dominio.

Derivada de función compuesta: REGLA DE LA CADENA

Si una función 𝑔 es derivable en 𝑥 y la función 𝑓 es derivable en 𝑔(𝑥), entonces la función
𝐹(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) es derivable en 𝑥, y su derivada se obtiene de la siguiente forma:

𝑭′(𝒙) = 𝒇′(𝒈(𝒙)) ∙ 𝒈′(𝒙)

No realizaremos la demostración.

Ejemplos
1
3
a. ℎ(𝑥) = √𝑥 2 + 𝑥 = (𝑥 2 + 𝑥)3
1
Tenemos que la función ℎ es la composición de 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 con 𝑓(𝑥) = 𝑥 3
1 2
1 1
Luego ℎ′ (𝑥) = 3 ∙ (𝑥 2 + 𝑥)3−1 ∙ (𝑥 2 + 𝑥)′ = 3 ∙ (𝑥 2 + 𝑥)−3 ∙ (2𝑥 + 1)

10
b. ℎ(𝑥) = cos(ln 𝑥)

Tenemos que la función ℎ es la composición de 𝑔(𝑥) = ln 𝑥 con 𝑓(𝑥) = cos 𝑥

1 sen(ln 𝑥)
Luego ℎ′ (𝑥) = − sen(ln 𝑥) ∙ (ln 𝑥)′ == − sen(ln 𝑥) ∙ 𝑥 = − 𝑥

ACTIVIDADES

10. En cada caso, determine la derivada de la función dada.

a. 𝑓(𝑥) = (3𝑥 4 − 𝑥 2 + 2𝑥 − 1)10

b. 𝑓(𝑥) = cos √𝑥 2 + 1

sen(𝑥 2 )
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥

11. Si 𝑔(𝑥) = ln[1 + 2𝑓(𝑥)], obtiene la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑔 en punto de
abscisa 𝑥 = 1, sabiendo que, además, 𝑓(1) = 5 y 𝑓′(1) = 3.

12. Teniendo en cuenta la siguiente tabla de valores y las funciones 𝑟(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) y
𝑝(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)

𝑓 𝑔 𝑓′ 𝑔′

𝑥=1 2 3 1 5

𝑥=2 3 1 6 2

𝑥=3 1 2 5 4

Calcula: 𝑟′(2), 𝑟 ′ (3), 𝑝′ (1) y 𝑝′ (3).

Derivada de funciones del tipo (𝒇(𝒙))𝒈(𝒙) : DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

Veamos con un ejemplo como utilizar esta técnica de derivación

 ℎ(𝑥) = 𝑥 cos 𝑥

Primero aplicamos la función logaritmo natural a ambos miembros

𝐥𝐧(ℎ(𝑥)) = 𝐥𝐧(𝑥 cos 𝑥 )

11
Derivada

Matemática
Aplicando propiedad de los logaritmos

ln(ℎ(𝑥)) = cos 𝑥 ⋅ ln 𝑥

Ahora derivamos miembro a miembro

[ln(ℎ(𝑥))]′ = [cos 𝑥 ⋅ ln 𝑥]′

1 1
⋅ ℎ′ (𝑥) = − sen 𝑥 ⋅ ln 𝑥 + cos 𝑥 ⋅
ℎ(𝑥) 𝑥

Entonces, nos queda:

cos 𝑥
ℎ′ (𝑥) = [− sen 𝑥 ⋅ ln 𝑥 + ] ⋅ ℎ(𝑥)
𝑥

cos 𝑥
ℎ′ (𝑥) = [− sen 𝑥 ⋅ ln 𝑥 + ] ⋅ 𝑥 cos 𝑥
𝑥

Generalizando y sistematizando:

 ℎ(𝑥) = [𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥)

Primero aplicamos la función logaritmo natural a ambos miembros

𝐥𝐧(ℎ(𝑥)) = 𝐥𝐧([𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥) )

Aplicando propiedad de los logaritmos

ln(ℎ(𝑥)) = 𝑔(𝑥) ⋅ ln[𝑓(𝑥)]

Ahora derivamos miembro a miembro

[ln(ℎ(𝑥))]′ = [𝑔(𝑥) ⋅ ln[𝑓(𝑥)]]′

1
⋅ ℎ′ (𝑥) = 𝑔′(𝑥) ⋅ ln[𝑓(𝑥)] + 𝑔(𝑥) ⋅ [ln[𝑓(𝑥)]]′
ℎ(𝑥)

Entonces, nos queda:

𝑔′ (𝑥) = [𝑔′(𝑥) ⋅ ln[𝑓(𝑥)] + 𝑔(𝑥) ⋅ [ln[𝑓(𝑥)]]′] ⋅ [𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥)

12
OBSERVACIÓN IMPORTANTE
 Para derivar funciones del tipo (𝑓(𝑥)) 𝑔(𝑥) se puede utilizar la regla de la cadena
si tenemos en cuenta que (𝑓(𝑥)) 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑔(𝑥)∙ln[𝑓(𝑥)] .

ACTIVIDAD

13. En cada caso, determine la derivada de la función dada

2)
a. 𝑓(𝑥) = (cos 𝑥)(𝑥 d. 𝑔(𝑥) = (𝑥 2 − 5)6𝑥 + ln 𝑥

b. 𝑓(𝑥) = (𝑥 4 + 3𝑥)𝑥 e. 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 (sen 𝑥)𝑥

3−𝑥 𝑥 𝑥 ln 𝑥
c. 𝑓(𝑥) = (cos 𝑥) f. 𝑔(𝑥) = cos 𝑥

Derivadas de orden superior

Si 𝑓 es una función derivable, entonces 𝑓′ es su función derivada, si está nueva función es
derivable, entonces se puede definir una nueva función derivada de 𝑓′, se escribe 𝒇′′ y se lee
derivada segunda de 𝒇.
′
Generalizando: 𝒇(𝒏) (𝒙) = [𝒇(𝒏−𝟏) (𝒙)] con 𝒏 ∈ ℕ y 𝒏 > 𝟏, siempre que las funciones sean
derivables.

ACTIVIDADES
14. En cada caso, determine la derivada de orden 𝑛 indicado, de la función dada
a. 𝑓(𝑥) = cos 2 (𝑥) 𝑛=2
1 1
b. 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 + 2 𝑥 2 − 𝑥 − 2 𝑛=3

15. Obtenga el polinomio de grado 4, 𝑝(𝑥) = 𝑎4 𝑥 4 + 𝑎3 𝑥 3 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , sabiendo que:

𝑝(0) = −3, 𝑝′ (0) = 1, 𝑝′′ (0) = 0, 𝑝′′′ (0) = −30 y 𝑝(1) = −3

16. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑔(𝑥) = 𝑒 sen 𝑥 en el punto de
abscisa 𝑥 = 𝜋.

17. Obtiene:
a. 𝑓 ′ (𝑥) si 𝑓(𝑥) = (sen 𝑥)𝑥+1
b. La constante 𝒌 si 𝑝(𝑥) = 𝒌𝑥 2 + 𝑎𝑥 y 𝑝′′ (4) = 6

13
Derivada

Matemática
Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Admitiremos, sin demostrar, las funciones derivadas de las siguientes funciones:
1
 Si 𝑓(𝑥) = arctan 𝑥 ⟹ 𝑓 ′ (𝑥) = 1+𝑥 2 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ′ ) = ℝ

1
 Si 𝑓(𝑥) = arcsen 𝑥 ⟹ 𝑓 ′ (𝑥) = √1−𝑥 2 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−1; 1] 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ′ ) = (−1,1)

1
 Si 𝑓(𝑥) = arccos 𝑥 ⟹ 𝑓 ′ (𝑥) = − √1−𝑥 2 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−1; 1] 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ′ ) = (−1,1)

ACTIVIDADES

18. En cada caso, determine la derivada de la función dada

a. 𝑓(𝑥) = arctan √𝑥
b. 𝑓(𝑥) = ln(arccos 𝑥 + 2𝑥)
c. 𝑓(𝑥) = (arctan 𝑥)𝑥

19. Explique por qué no existe ningún punto en la gráfica de la función

𝑟(𝑥) = arctan 𝑥 + 5𝑒 3𝑥 + 6𝑥

donde la recta tangente a dicha gráfica tenga pendiente igual a 4.

Respuestas
1 5
1)a) 𝑦 = −4𝑥 b) 𝑦 = 𝑥 + c) 𝑦 = 𝑥
4 4
1
2)a) ∃𝑓 ′ (1) = −1 b) ∃𝑓 ′ (−2) = − c) ∄𝑓 ′ (0) ya que 0 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
4
5 11
3) 𝑤 ′ (2) = , 𝑤(2) =
2 2
′ (1) ′ (1)
4)a) ∃𝑓 =2 b) ∄𝑓 pues 𝑓 no es continua en 𝑥 = 1 c) ∄𝑓 ′ (0) pto. anguloso
1
d) ∃𝑓 ′ (1) = −1 e) ∄𝑓 ′ (1) tangente vertical f) ∃𝑓 ′ (0) = −
3
5 1 1 3
5)a) − 2𝑥 cos 𝑥 + 𝑥 2 sen 𝑥 b) + 3 c) − d) sec 2 𝑥
2√𝑥 𝑥 2 √𝑥 2 𝑥2
𝑒 𝑥𝑥 9 1
e) (𝑥 sen𝑥 − 𝑥 cos 𝑥 + 2sen 𝑥) f) √𝑥 7 − 1 +
𝑠en2 𝑥 2 2√𝑥

6)T) 𝑦 = −𝑥
7) (−2; 74) (3,3)

13
8) a) 288 𝑚⁄𝑠 b) 𝑡 = 2𝑠 c) 𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 = 1 𝑚⁄𝑠 , 𝑡 = √ 𝑚⁄𝑠 ≅ 2,08 𝑚⁄𝑠
3

9) (0; 7)

14
 𝑥 sen √𝑥 2 +1 2𝑥 2 cos(𝑥 2 )−sen(𝑥 2 )
10)a) 10(12𝑥 3 − 2𝑥 + 2)(3𝑥 4 − 𝑥 2 + 2𝑥 − 1)9 b) − c)
√𝑥 2 +1 𝑥2

6
11) 𝑚 =
11

12) 𝑟 ′ (2) = 2 ; 𝑟 ′ (3) = 24 ; 𝑝′ (1) = 2 ; 𝑝′ (3) = 25

2 4𝑥 3 +3
13)a) [2𝑥 ln(cos 𝑥) − 𝑥 2 tan 𝑥] (cos 𝑥)𝑥 b) [ln(𝑥 4 + 3𝑥) + ] (𝑥 4 + 3𝑥) 𝑥
𝑥 3 +3
3−𝑥 𝑥 3 sen 𝑥−cos 𝑥−𝑥 sen 𝑥 3−𝑥 𝑥
c) [ln ( )+ ]( ) e) (sen 𝑥) 𝑥 [2𝑥 + 𝑥 2 ln(sen 𝑥) + 𝑥 cotan 𝑥]
cos 𝑥 3−𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥
𝑥 ln 𝑥 (2 ln 𝑥 cos 𝑥+𝑥 sen 𝑥)
f)
𝑥𝑐os2 𝑥

14) a) 4sen2 𝑥 − 2 b) 2
15) 4𝑥 4 − 5𝑥 3 + 𝑥 − 3
16) 𝑦 = −𝑥 + 1 + 𝜋
17) a) [sen 𝑥 + (𝑥 + 1) cos 𝑥](sen 𝑥)𝑥+1 b) 3
1 1 1 𝑥
18)a) b) (2 − ) c) [ln(arctan 𝑥) + (1+𝑥 2 ) ] (arctan 𝑥)𝑥
2√𝑥(1+𝑥) arccos 𝑥+2𝑥 √1−𝑥 2 arctan 𝑥

19) A cargo del estudiante.

Bibliografía

 Apunte “Derivada”. Autores: Alet, Ana Laura; Bologna, María Noel; Gutierrez, Gabriela.
 Matemática II – Ed. SANTILLANA polimodal. Autores: Buschiazzo, Noemí; Fongi,
Eduardo; González, María Inés; Lagreca, Liliana.
 Cálculo de una variable. Trascendentes Tempranas – 7ma. Ed. CENGASE Learning.
Autor: Stewart, James.

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