Integrales Definidas.: Def. Sea (, ) Y, Una Partición Del Intervalo Es Un Conjunto Finito de Valores
Integrales Definidas.: Def. Sea (, ) Y, Una Partición Del Intervalo Es Un Conjunto Finito de Valores
Integrales Definidas.: Def. Sea (, ) Y, Una Partición Del Intervalo Es Un Conjunto Finito de Valores
Partición de un intervalo
Def. Sea 𝐼 = [𝑎, 𝑏] y 𝑛 ∈ 𝑁, una partición 𝑃 del intervalo 𝐼 es un conjunto finito de valores,
𝑃 = { 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 } tal que: 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < . . . < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏
Gráficamente
1 5
Ejemplo: Sea I = [−4, 4] y la partición P = {−4, −2, , , 4} . Calcular la longitud de cada
2 2
80
M. Arias
Gráficamente:
Una partición P en un intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] se dice regular si todos los intervalos tienen la
misma longitud, es decir: D𝑥 = D𝑥1 = … . . = D𝑥𝑛−1 = D𝑥𝑛
𝑏−𝑎
La longitud de cada subintervalo es: ∆𝑥 = donde 𝑎 y 𝑏 son los extremos del intervalo y 𝑛
𝑛
el número de divisiones.
Ejemplo 1: Dado el intervalo [𝑎, 𝑏] = [1, 7] efectuar una partición regular con 𝑛 = 3.
𝑏−𝑎
La longitud de cada subintervalo es: ∆𝑥 = con 𝑎 = 1 , 𝑏 = 7 y 𝑛 = 3.
𝑛
7−1
∆𝑥 = ∆𝑥 = 2
3
𝑥0 = 1 𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥 𝑥1 = 1 + 2 𝑥1 = 3
𝑥1 = 3 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥 𝑥1 = 3 + 2 𝑥2 = 5
𝑥2 = 5 𝑥3 = 𝑥2 + ∆𝑥 𝑥3 = 5 + 2 𝑥3 = 7
Respuesta: La Partición regular efectuada es 𝑃 = {1, 3, 5, 7} y el intervalo luego de la partición
se expresa: [1, 7] = [1, 3] ∪ [3, 5] ∪ [5, 7]
3 9
Ejemplo 2: Al intervalo 𝐼 = [− 2 , 2] se aplicó una partición regular con 𝑛 = 4. ¿Cuál es la
Gráfico:
Ejemplo 3: Si al intervalo 𝐼 = [2, 11]se aplicó una partición y la longitud de cada subintervalo
3
es 2. ¿Cuál es número divisiones del intervalo?
𝑛 = 6.
Ejemplo 4: Al intervalo 𝐼 = [−5, 2𝑝 − 1] se aplicó una partición regular de 𝑛 = 5 divisiones y
longitud de cada subintervalo ∆𝑥 = 3. Determine el valor de 𝑝.
𝑏−𝑎
Aplicando la fórmula: ∆𝑥 = con 𝑎 = −5 , 𝑏 = 2𝑝 − 1 y ∆𝑥 = 3
𝑛
2𝑝−1−(−5)
Reemplazando 𝑎, 𝑏 y ∆𝑥 en la fórmula: 3 = 15 = 2𝑝 + 4 11 = 2𝑝
5
11
= 𝑝 y el intervalo es 𝐼 = [−5, 15]
2
Sumatorias
El símbolo sigma permite escribir una suma de varios términos de forma compacta.
𝑛
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑖
𝑖=1
82
El índice 𝑖 aumenta en una unidad (𝑖 ∈ 𝑍), el símbolo sigma ∑ es un operador matemático.
Ejemplos:
5
∑ 𝑖 2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
𝑖=1
4
∑(𝑖 − 1) = 0 + 1 + 2 + 3 = 6
𝑖=1
3
1 1 1 1 47
∑ = + + =
𝑖 + 2 3 4 5 60
𝑖=1
5
2𝑖 − 3 1 3 7 13
∑ = + +1+ =
𝑖+1 3 4 6 4
𝑖=2
Propiedades
Cumple con todas las propiedades de la suma y algunas otras.
1. Sea 𝑎𝑖 el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 término de la suma y 𝑘 una constante.
𝑛 𝑛
∑ 𝑘𝑎𝑖 = 𝑘 ∑ 𝑎𝑖
𝑖=1 𝑖=1
∑(𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖 ) = ∑ 𝑎𝑖 ± ∑ 𝑏𝑖
𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1
3. Sea 𝑚 < 𝑛.
𝑛 𝑚 𝑛
∑ 𝑎𝑖 = ∑ 𝑎𝑖 ± ∑ 𝑎𝑖
𝑖=1 𝑖=1 𝑖=𝑚+1
∑𝑘 = 𝑘𝑛
𝑖=1
Ejemplos:
3 3
∑ 4𝑖 = 4 ∑ 𝑖 = 4(1 + 2 + 3) = 24
𝑖=1 𝑖=1
6 6 6
𝑖−1
∑(3 + 2 ) = ∑ 3 + ∑ 2𝑖−1 = 3 ∙ 6 + (20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 ) = 18 + 63 = 81
𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1
83
Suma de Riemann
Sea 𝑓 una función definida en 𝐼 = [𝑎, 𝑏], 𝑃 una partición en 𝑛 subintervalos y 𝑤𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ],
entonces se denomina suma de Riemann a la sumatoria:
𝑛
∑ 𝑓(𝑤𝑖 )∆𝑥𝑖 = 𝑆𝑅
𝑖=1
De modo que: 𝑆𝑅 = 𝑓(𝑤1 )∆𝑥1 + 𝑓(𝑤2 )∆𝑥2 + 𝑓(𝑤3 )∆𝑥3 + ⋯ + 𝑓(𝑤𝑛 )∆𝑥𝑛 siendo, 𝑆𝑅 ∈ 𝑅.
Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 8 definida en 𝐼 = [−1,7] y 𝑃 una partición regular, 𝑛 = 4. Calcule
la suma de Riemann, considerando 𝑤𝑖 (𝑖 = 1,2,3,4) al extremo inferior de cada subintervalo.
7−(−1)
𝑃 es una partición regular ∆𝑥 = ∆𝑥 = 2
4
𝑆𝑅 = −25 y −25 ∈ 𝑅
Teorema: Si 𝑓 es una función continua sobre 𝐼 = [𝑎, 𝑏], o si 𝑓 tiene un número finito de
discontinuidades de salto, entonces 𝑓 es integrable sobre 𝐼.
84
Integral Definida
Def. Si 𝑓 es una función continua en el intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏], entonces la integral definida de 𝑓
desde 𝑎 hasta 𝑏, es:
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑤𝑖 )∆𝑥𝑖 si existe el límite.
‖𝑃‖→0
𝑏
Otra forma de expresar: ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑤𝑖 )∆𝑥𝑖
𝑛→∞
𝑏
Sea 𝑓 continua en I = [a, b] y 𝐹 una primitiva de 𝑓 en I, entonces: ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝜋
4
Ejemplo: Calcular la integral, a) ∫−5 2𝑥𝑑𝑥 ; b) ∫02 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
a) b)
4 𝜋 𝜋
4 2| 2
∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥| 2
−5 −5 0
0
4 𝜋
∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 42 − (−5)2 2 𝜋
−5
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 ( ) − 𝑠𝑒𝑛(0)
0 2
4
𝜋
∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 16 − 25 ∫0 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 1 − 0
2
−5
𝜋
4
∫−5 2𝑥𝑑𝑥 = −9 ∫02 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 1
85
Propiedades
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones integrables y 𝑘 una constante.
𝑎
1) ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 (Si los límites de integración coinciden, la integral es nula)
Verificación:
𝑎 𝑎
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑎) (por Teorema de Evaluación) ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
1
¿Si la integral definida de Ejemplo: Calcular ∫−1 𝑥𝑑𝑥 . No siempre, observa
una función es cero, los el siguiente ejemplo
límites de integración son En este caso 𝑎 = −1 y 𝑏 = 1
iguales? (𝑎 ≠ 𝑏)
1 1 1
∫−1 𝑥𝑑𝑥 = 2 𝑥 2 |
−1
1 1 1
∫−1 𝑥𝑑𝑥 = ∙ 11 − (−1)2
2 2
1 1 1
∫−1 𝑥𝑑𝑥 = 2 − 2
1
∫−1 𝑥𝑑𝑥 = 0
La integral es 0 y los límites de
integración distintos.
𝑏 𝑏
2) ∫𝑎 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (La integral del múltiplo constante es igual a la cte. por la integral de la función)
2 2
Ejemplo: ∫−1 3𝑥 2 𝑑𝑥 = 3 ∫−1 𝑥 2 𝑑𝑥
Resolviendo en simultáneo cada miembro:
2 1 2
𝑥3| = 3 ∙ (3 𝑥 3 )|
−1 −1
1 1
23 − (−1)3 = 3 ∙ (3 23 − 3 (−1)3 )
8 1
8 − (−1) = 3 ∙ (3 + 3)
8 + 1 = 3 ∙ (3)
9=9 (identidad)
𝑏
3) ∫𝑎 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘 (𝑏 − 𝑎) (La integral de una cte. es igual a la cte. por la diferencia entre los extremos de integración)
5
Ejemplo: ∫2 2𝑑𝑥 = 2(5 − 2)
Aplicando propiedad:
5 5
∫2 2𝑑𝑥 = 2 ∫2 𝑑𝑥
Por Teorema de Evaluación:
5 5
∫2 2𝑑𝑥 = 2 ∙ 𝑥|
2
5
∫2 2𝑑𝑥 = 2 ∙ (5 − 2) se cumple la igualdad
𝑏 𝑏 𝑏
4) ∫𝑎 (𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 (La integral de una suma o diferencia de
funciones es igual a la suma o diferencia de las integrales de las funciones)
86
3 3 3
Ejemplo: ∫0 (𝑒 𝑥 + 𝑥)𝑑𝑥 = ∫0 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + ∫0 𝑥𝑑𝑥
Resolviendo en simultáneo cada miembro:
1 3 3 1 3
(𝑒 𝑥 + 2 𝑥 2 )| = 𝑒 𝑥 | + 2 𝑥 2 |
0 0 0
1 1 1 1
𝑒 3 + 2 32 − (𝑒 0 + 2 02 ) = 𝑒 3 − 𝑒 0 + 2 32 − 2 02
9 9
𝑒 3 + 2 − (1 + 0) = 𝑒 3 − 1 + 2 − 0
9 7
𝑒3 + 2 − 1 = 𝑒3 + 2
7 7
𝑒 3 + 2 = 𝑒 3 + 2 (identidad)
𝑏 𝑐 𝑏
5) ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝑎 < 𝑐 < 𝑏.
𝜋
𝜋 𝜋 𝜋
Ejemplo: ∫0 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ∫02 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 + ∫𝜋 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 0< <𝜋
2 2
1 𝑒
𝑙𝑛𝑥| = −𝑙𝑛𝑥|
𝑒 1
0 − 1 = −1 − (0)
−1 = −1 identidad.
Ejemplos:
3 3 3
1) Obtener ∫−2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 a partir de la siguiente información: ∫−2 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 7 y ∫−2[2𝑓(𝑥) +
𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 11
El intervalo de integración es [−2, 3]
3
∫ [2𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 11
−2
3 3
∫−2 2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫−2 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 11 (Propiedad de integral de una suma de funciones)
3 3
2 ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫−2 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 11 (Propiedad de integral de una constante por una función)
87
3 3
2 ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 7 = 11 (se reemplaza el valor de: ∫−2 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 7)
3
2 ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 11 − 7
3 3
2 ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 4 ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2
3 2𝑥 + 1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
2) Obtener ∫−1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 siendo 𝑓(𝑥) = { 1 2
𝑥 + 3 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 ≤ 3
2
Intervalo de integración:
La función 𝑓 está definida por tramos y es continua en el intervalo [−1, 3], el que se divide del
siguiente modo: [−1, 3] = [−1,2] ∪ [2,3]
3 2 3
∫−1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (Propiedad de integración)
3 2 3 1
∫−1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−1(2𝑥 + 1)𝑑𝑥 + ∫2 (2 𝑥 2 + 3) 𝑑𝑥 (Reemplazar la expresión de 𝑓(𝑥) de cada intervalo)
3 2 1 3
∫−1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥 2 + 𝑥)| + (6 𝑥 3 + 3𝑥)| (Teorema de Evaluación)
−1 2
3 1 1
∫−1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (22 + 2) − ((−1)2 − 1) + (6 33 + 3 ∙ 3) − (6 23 + 3 ∙ 2)
3 9 4
∫−1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 6 − 0 + 2 + 9 − (3 + 6)
3 9 4 3 73
∫−1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 9 + 2 − 3 ∫−1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 6
Derivada de la función 𝐹
88
1
Ejemplo 2: ∫−2 12(2𝑥 + 1)5 𝑑𝑥
1 3
Haciendo: 𝑢 = 2𝑥 + 1; 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 ∫−2 12(2𝑥 + 1)5 𝑑𝑥 = ∫−3 6𝑢5 𝑑𝑢
Nuevos límites de integración: 1 3
∫−2 12(2𝑥 + 1)5 𝑑𝑥 = 6 ∫−3 𝑢5 𝑑𝑢
𝑥 = −2 , 𝑢−2 = 2 ∙ (−2) + 1 = −3 𝑢−2 = −3
1 1 3
𝑥 = 1 , 𝑢1 = 2 ∙ 1 + 1 = 3 𝑢1 = 3 ∫−2 12(2𝑥 + 1)5 𝑑𝑥 = 6 6 𝑢6 |
−3
1
∫−2 12(2𝑥 + 1)5 𝑑𝑥 = 36 − (−3)6
1
∫−2 12(2𝑥 + 1)5 𝑑𝑥 = 0
𝑒 3 𝑙𝑛𝑥
Ejemplo 3: ∫𝑒 𝑑𝑥
𝑥
1 𝑒 3 𝑙𝑛𝑥 3
Haciendo: 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 ∫𝑒 𝑑𝑥 = ∫1 𝑢 𝑑𝑢
𝑥
Nuevos límites de integración: 𝑒 3 𝑙𝑛𝑥 1 3
∫𝑒 𝑑𝑥 = 2 𝑢2 |
𝑥 = 𝑒 , 𝑢𝑒 = ln (𝑒) = 1 𝑢𝑒 = 1 𝑥 1
𝑒 3 𝑙𝑛𝑥 1 1
𝑥 = 𝑒 3 , 𝑢𝑒 3 = 𝑙𝑛(𝑒)3 = 3ln (𝑒) 𝑢𝑒 3 = 3 ∫𝑒 𝑑𝑥 = 2 32 − 2 12
𝑥
𝑒3 𝑙𝑛𝑥
∫𝑒 𝑑𝑥 = 4
𝑥
Aplicaciones
El teorema de Evaluación establece que si 𝑓 es una función continua en I = [a, b] entonces,
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) donde 𝐹 es una primitiva de 𝑓 en I y 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥), es decir, que
𝑏
la integral definida se puede expresar del siguiente modo: ∫𝑎 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).
Interpretando la última expresión se dirá:
Si 𝑦 = 𝐹(𝑥), la derivada de 𝐹 es una función que representa la razón de cambio de 𝐹 con
𝑑𝐹
respecto a la variable 𝑥, (𝐹’(𝑥) = ).
𝑑𝑥
𝑏
∫𝑎 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) representa el cambio neto de 𝐹 en el intervalo [𝑎, 𝑏].
Ejemplos:
➢ Si 𝑦 = 𝑛(𝑡) representa la tasa de nacimientos (en miles por año) en un intervalo de
10
tiempo [0, 10] ¿Qué representa la ∫0 𝑛(𝑡)𝑑𝑡 = 3 ?
Respuesta: Si la integral definida representa el cambio neto de una función y suponiendo
𝑑𝑁
que la misma es N (n° de nacimientos), entonces, 𝑛(𝑡) = y se expresa: 𝑛(𝑡) = 𝑁′(𝑡)
𝑑𝑡
10
∫0 𝑁 ′ (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑁(10) − 𝑁(0) = 3
Cantidad de nacimientos en el período de tiempo 0 ≤ 𝑡 ≤ 10
89
3 mil es la cantidad de nacimientos en el período indicado.
➢ Si 𝑦1 = 𝑛(𝑡) representa la tasa de nacimientos e 𝑦2 = 𝑚(𝑡) la tasa de mortalidad en un
periodo de 5 años de una cierta población 𝑃.
5
a) ¿Qué significa ∫0 (𝑛(𝑡) − 𝑚(𝑡))𝑑𝑡 = 15000
b) Si la población inicial fue de 50000 individuos ¿Cuál es la población a los 5 años?
Respuesta: Suponiendo que N (cantidad de nacimientos) y M (cantidad de muertes).
𝑑𝑁 𝑑𝑀
a) 𝑛(𝑡) = , se expresa: 𝑛(𝑡) = 𝑁′(𝑡) y 𝑚(𝑡) = , se expresa: 𝑚(𝑡) = 𝑀′(𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑡
5
∫0 [𝑁′(𝑡) − 𝑀′(𝑡)] 𝑑𝑡 = N(5) − N(0) − [𝑀(5) − 𝑀(0)] = 15000
Cantidad de nacimientos Cantidad de muertes
tres años su altura es aproximadamente de 9.21 metros, determine la altura que podrían
alcanzar dichas plantas a los 8 años.
Respuesta: Si a 𝑡 = 3 es 𝐻 = 9.21, para determinar la altura total al finalizar los 8 años es
necesario calcular el incremento entre 3 ≤ 𝑡 ≤ 8.
1 2
8 8 1 − − 5
∫3 𝐻 ′ (𝑡)𝑑𝑡 = ∫3 (2 (𝑡 + 1) 2 + 3 𝑡 3 ) 𝑑𝑡
3 8
𝐻(8) − 𝐻(3) = √𝑡 + 1 + 5 √𝑡|
3
Altura a los 8 años altura a los 3 años incremento en el período [3,8]
3 3
𝐻(8) − 9.21 = (√8 + 1 + 5 √8) − (√3 + 1 + 5 √3)
𝐻(8) − 9.21 = 13 − 9.21
𝐻(8) − 9.21 = 3.79
𝐻(8) = 13 metros de altura.
90
Integrales en el cálculo de áreas
En muchos casos, el cálculo de áreas se reduce a la aplicación de ciertas fórmulas matemáticas
y ello es posible si el área a determinar corresponde a figuras geométricas como: rectángulos,
triángulos, trapecios, círculos u otras figuras que resulten de la combinación de las anteriores.
Sin embargo, en la realidad los bordes de algunas regiones del plano, están dados por curvas
cuya expresión algebraica se puede estimar para luego, aplicando el concepto de integración
determinar el área de la región limitada por la curva.
Suponiendo que 𝑛 = 4, la aproximación del área debajo de una curva positiva se obtiene
sumando las áreas de los cuatro rectángulos cuyas bases y altura son:
Si 𝑤𝑖 es el valor del extremo inferior de cada subintervalo, las áreas quedan determinadas del
siguiente modo:
91
Una mejor aproximación
Considerando, 𝑤𝑖 al valor medio de cada subintervalo se obtiene una buena aproximación al
área exacta. Esa aproximación será mejor si el número de divisiones del intervalo 𝑛 → ∞, lo
que implica que la norma de la partición ‖𝑃‖ → 0 (las bases de los rectángulos tienden a 0).
Teorema 1: Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua y 𝑓(𝑥) 0 en un intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] entonces,
el área limitada por la gráfica de 𝑓, el eje de las abscisas (𝑦 = 0 ) y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎,
𝑏
𝑥 = 𝑏 es: 𝐴 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
92
Ejemplo: Calcular el área debajo de la gráfica de 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4 en el intervalo [1, 4]
Gráfica Intervalo [𝑎, 𝑏] = [1, 4]
1
4 4
𝐴 = ∫1 (√𝑥 + 4)𝑑𝑥 𝐴 = ∫1 (𝑥 2 + 4) 𝑑𝑥
3
2 4
𝐴 = 3 𝑥 2 + 4𝑥|
1
2 3 2 3
𝐴 = 3 (√4) + 4 ∙ 4 − (3 (√1) + 4)
50
𝐴= unidades de área.
3
93
Procedimiento para calcular el área limitada por la gráfica de dos o más funciones
1.- Determinar el intervalo de integración
- Si el área está limitada por dos curvas, que se intersecan en dos
puntos, los extremos del intervalo [𝑎, 𝑏], se obtienen resolviendo el
𝑦 = 𝑓(𝑥)
sistema formado por las funciones. {
𝑦 = 𝑔(𝑥)
Se determinan dos valores, 𝑥1 = 𝑎 y 𝑥2 = 𝑏.
94
Si hay dos o más intervalos de integración el área total es la suma de las áreas determinadas
en cada subintervalo.
1
Ejemplo 2: Obtener el área limitada por las gráficas de ℎ(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥 y 𝑔(𝑥) = 3 𝑥 2 .
95
4
𝐴 = − 9 ∙ 33 + 2 ∙ 32 − 0
𝐴 = 6 unidades de área.
96
Ejemplo 2: Calcular el área limitada por las gráficas de: 𝑥 + 𝑦 2 − 𝑦 = 0 y 2𝑦 2 − 6 = 2𝑦 − 𝑥.
Escribir cada expresión en términos de la variable “𝑦”:
𝑥1 = −𝑦 2 + 𝑦 (𝑥1 = 𝑔(𝑦)) su gráfica limita la región por izquierda.
𝑥2 = −2𝑦 2 + 2𝑦 + 6 (𝑥2 = 𝑓(𝑦)) su gráfica limita la región por derecha.
𝑦2 − 𝑦 − 6 = 0
𝑦1 = −2 ; 𝑦2 = 3
Tarea En este último ejemplo (Ejemplo2) la variable de integración no puede ser 𝑥 ¿Por
qué?
97
Autoevaluación
Actividades de revisión e integración
Defina partición y norma de una partición.
¿Cuándo una partición es regular? Ejemplifique.
Es correcto o no. Justifique.
a) ∑𝑛𝑖=1(𝑖 + 1) = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 + 1
b) ∑𝑛𝑖=1(𝑏 + 1) = 𝑛(𝑏 + 1) 𝑏:cte.
c) ∑𝑛𝑖=1(𝑘𝑎𝑖 + 1) = 𝑘 ∑𝑛𝑖=1(𝑎𝑖 + 1)
d) ∑𝑛𝑖=1(𝑎𝑖 ∙ 𝑏𝑖 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 ∙ ∑𝑛𝑖=1 𝑏𝑖
Defina suma de Riemann.
¿Cuál es el resultado de la suma de Riemann?
Cuáles deben ser las condiciones de la función para que la suma de Riemann represente el área
aproximada de la curva
Defina integral definida. Ejemplifique.
Enuncie el Teorema de Evaluación (Regla de Barrow) y proporcione ejemplos.
Analice si es correcto:
𝑏
a) ∫𝑎 𝑑𝑥 = 𝑏 − 𝑎
2𝑎
b) ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎)
¿Cuál es la diferencia entre integral indefinida e integral definida? Ejemplifique.
Enuncie las propiedades de las integrales definidas.
Si el resultado de una integral definida es cero, ¿los límites de integración son iguales?
𝑏
¿Cuál es el significado geométrico de ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 cuando 𝑓(𝑥) > 0?
¿La integral definida es igual a un área? Justifique.
¿Cómo y cuándo se aplica el método de sustitución para resolver una integral definida?
¿Cómo se obtiene el área debajo de una curva positiva? Ejemplifique.
Enuncie el teorema del cálculo de un área encerrada entre dos curvas.
Explique el procedimiento para la determinación del área encerrada por dos curvas cuando la
variable de integración es el eje de las abscisas y cuando es el eje de las ordenadas.
Ejercitación
Si al intervalo [𝑎, 𝑏] = [−3, 2𝑟] de longitud 10 cm se aplica una partición regular y cada
subintervalo mide 2 cm de longitud. ¿Cuáles son los extremos del intervalo [𝑎, 𝑏] y el número n
de la partición?
𝑎 𝑏
Sea ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 y ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −3 con 0 < 𝑎 < 𝑏 aplicando propiedades determine:
𝑎 𝑏 𝑏 1
a) ∫𝑏 2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 b) ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 c) ∫0 [𝑏 + 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥
98
Determine el área de la región sombreada, limitada por las curvas:
f ( x ) = x 3 + 2 ; g( x ) = 2 x 2 − 4 x ; y = −3x + 6 (Para los intervalos de
integración utilice los datos de la gráfica)
La tasa de natalidad en cierta población es 𝑛(𝑡) = 2𝑒 0.04𝑡 millones de personas por año, y la tasa
de mortalidad, es 𝑚(𝑡) = 2𝑒 0.02𝑡 millones de personas por año.
a) Esboce la gráfica de cada expresión en un intervalo de tiempo [0, 10]
b) Explique porque el área entre las curvas representa el incremento de la población en el
período considerado.
c) Calcule el incremento de la población.
El aumento en kilogramos por día de un cerdo, a partir del primer mes de nacimiento y hasta el
1 161
año está dado por 𝑝(𝑡) = 𝑡+ donde t indica la edad en días. ¿Cuántos kilogramos
900 900
aumenta el cerdo entre los 40 y 100 días de nacido?
Los límites de una finca en el Valle de Lerma, están estimados por las siguientes funciones:
𝐿1 (𝑥) = 2.14𝑒 −0.98𝑥 − 2.6; 𝐿2 (𝑥) = −0.2𝑥 + 6; 𝐿3 (𝑥) = 6.8𝑥 − 20 y 𝐿4 (𝑥) = −15.625𝑥 +
46.25. La abscisa del punto de corte de la función 𝐿1 con la función 𝐿2 es −1.46 y con la función 𝐿4
es 3.12. Obtenga la superficie de la finca.
Imagen de la finca Área en un sistema de ejes coordenados
99