Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología

Capítulo 2: Relaciones y Funciones

Relación
Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre elementos de dos conjuntos o
de un mismo conjunto.
Ejemplos:
Reglas de correspondencias: “hermano de”; “madre de”; “la abscisa de un punto es el doble de la
ordenada”; “Área de un terreno circular”, “área foliar de las hojas con relación del área de
dimensión largo por ancho de las hojas”, “número de bacterias en el tiempo”…
Gráficas que representan relaciones:

Función
Definición: Una función f de un conjunto 𝐴 a un conjunto 𝐵 es una regla que asigna a cada
elemento x de un conjunto 𝐴 exactamente un elemento, llamado imagen y = f (x) , de un
conjunto 𝐵.
𝑓: 𝐴 → 𝐵 si a cada 𝑥 ∈ 𝐴 le corresponde una y solo una imagen 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵
"𝒙" recibe el nombre de variable independiente o argumento de f
"𝒚" variable dependiente o imagen de la variable independiente.

Dominio
Definición: El dominio de una función es el conjunto formado por los valores de la variable
independiente que están relacionados.
Simbólicamente: Sea 𝑓: 𝐴→𝐵 entonces D f = x  A / y = f ( x)

Ejemplo:
Enunciado: “El perímetro de un cuadrado”
Algebraicamente se expresa: P(l ) = 4l

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 Capítulo 2
l es la longitud de cada lado del cuadrado, entonces es un número real positivo o igual a cero. De
modo que: DP = l  R / l  0 o bien se puede expresar DP = 0,  )
Imagen
Definición: El rango o imagen de una función es el conjunto cuyos elementos son las imágenes de
la variable independiente. Simbólicamente: 𝐼𝑓 = {𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵/𝑥 ∈ 𝐷𝑓 }
En el ejemplo anterior los elementos del conjunto imagen son el valor del perímetro de los
posibles cuadrados, entonces: 𝐼𝑃 = {𝑃 ∈ 𝑅/𝑃 ≥ 0}
Función de variables real
Definición: Una función f , de un conjunto A  R a un conjunto B  R , es una regla que asigna
a cada elemento x  A exactamente un elemento, llamado imagen y = f ( x)  B .
Simbólicamente: f : A  R → B  R
Representaciones semióticas del concepto de función
El concepto de función puede estar representado mediante:
Un enunciado
Ejemplos:
"La producción de tomate depende de la cantidad de fertilizante que se suministre a la plantación"
"El área foliar de las hojas depende del área del rectángulo de lados, largo y ancho de la misma"
Una expresión algebraica
3 2x
y = x2 + x − 2 x3 f ( x) =
4 x−3
Una gráfica

Datos de Estación Meteorológica Parque Bicentenario Salta- 22/11/19-23/11/19

Una tabla
Ejemplo: En Meteorología las variaciones del alcance visual reciben el nombre de visibilidad
horizontal, que se define como la distancia máxima a la que un observador puede distinguir
claramente algunos jalones de referencia en el horizonte. La tabla muestra esa relación:
DISTANCIA (metros) 50 200 500 1.000 2.000 4.000 10.000 20.000 50.000
TAMAÑO DEL OBJETO (metros) 0.05 0.20 0.50 1 2 4 10 20 50
Consulta en www.rumtor.com

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Reconocimiento de funciones
Desde una gráfica
Para determinar si una gráfica representa una función al recorrer el dominio de la relación con una
recta paralela al eje de las ordenadas (recta vertical) la misma debe cortar en un sólo punto a la
gráfica.
Es decir: “a cada elemento “𝑥”del dominio le corresponde uno y solo un valor de 𝑦 = 𝑓(𝑥)”.
Ejemplos:
a) b)

En la gráfica del inciso a): En la gráfica del inciso b):

Dominio: D = (− ,−2  0, ) Dominio: D = x  R / − 2  x  3.5
Al recorrer el dominio, la recta vertical corta Al recorrer el dominio se observa que una
a la gráfica en un solo punto. recta, corta a la gráfica en más de un punto.
La gráfica representa una función: a cada Ejemplo: el elemento x1 del dominio tiene
elemento del dominio le corresponde una dos imágenes; y1 e y2 (ver gráfica).
sola imagen. Por lo tanto: No representa una función.
Desde una tabla
Los pares de valores de una tabla pertenecen a una función, si No se repiten los valores de la
variable independiente. Ello indica que cada elemento del dominio tiene una sola imagen.
Ejemplo:
Tabla1
DISTANCIA (metros) 50 200 500 1.000 2.000 4.000 10.000 20.000 50.000
TAMAÑO DEL OBJETO (metros) 0.05 0.20 0.50 1 2 4 10 20 50

La relación entre los

elementos de la Tabla1 La Tabla2 NO representa
representa una función, Tabla2 una función al elemento
depende de la distancia Edad (años) 5 10 20 12 35 20 20 le corresponden dos
para poder observar un Estatura (metros) 0. 5 1.2 1.67 1.2 1.78 1.8 imágenes (dos personas
objeto de determinado de la misma edad con
tamaño. distinta estatura)

Desde una fórmula

Para identificar si una fórmula corresponde a una función es necesario analizar si a cada valor de la
variable dependiente le corresponde un único valor como imagen.
1
Ejemplo: La expresión: y = x 3 − 1 ; tiene como dominio: D = R
2
x  R existe un único valor como imagen.
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 Capítulo 2
La expresión: y = x NO es función.
2

Su domino es el conjunto 𝐷 = [0, ∞) , y como ejemplo: a 𝑥 = 1 le corresponden dos valores de

𝑦 = ±1 , es decir, tiene dos imágenes.
Funciones polinómicas
Una función polinómica tiene la forma:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 con 𝑎𝑛 ≠ 0  𝑛 ∈ 𝑁
Su dominio es el conjunto de los números reales: 𝐷𝑓 = 𝑅. Se cumple que x  R , existe un único
valor 𝑦 = 𝑓(𝑥) como imagen de 𝑥.
1
Ejemplo: 𝑦 = 2 𝑥 3 − 1 es una función polinómica de grado 3; siendo su dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅.

Función racional
Una función racional se define como un cociente de polinomios.
𝑃(𝑥)
Simbólicamente: 𝑓(𝑥) = 𝑄(𝑥) con 𝑃 y 𝑄 polinomios y 𝑄(𝑥) ≠ 0

El dominio de una función racional tiene como elementos a todos los valores de 𝑥 que hacen que
exista la fracción (denominador distinto de cero).
Entonces: 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑄(𝑥) ≠ 0}
2𝑥
Ejemplo 1: ¿Cuál es el dominio de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥−3?

Para determinar el dominio de la función 𝑓, la condición es: "denominador distinto de cero"

Es decir: den  0 entonces x − 3  0

Sumando en ambos miembros 3: x −3+3 0+3

x3
El dominio es: D = R − 3 o bien, se escribe D = x  R / x  3

También, se puede escribir en notación de intervalo: D = (− , 3)  (3, )

𝑥−1
Ejemplo 2: Muestre que el dominio de 𝑔(𝑥) = 𝑥 2+4 son todos los números reales.

Por condición 𝑥 2 + 4 ≠ 0, en este caso ∀𝑥 ∈ 𝑅 el denominador es distinto de cero entonces, el

dominio es: 𝐷𝑔 = 𝑅
Función irracional
Se definirá a una función irracional como: 𝑓(𝑥) = 𝑛√𝑃(𝑥) siendo 𝑃(𝑥) un polinomio.
Es preciso distinguir dos casos: raíz de índice par o raíz de índice impar.
Expresiones con raíces de índice par
Para que exista una raíz con índice par el "radicando es mayor o igual a cero"
Entonces el dominio es: D = x  R / P( x)  0

Ejemplo: Determinar el domino de ℎ(𝑥) = √2𝑥 − 4

Por condición: 𝑟𝑎𝑑 ≥ 0  2𝑥 − 4 ≥ 0
Resolver la inecuación (despejar 𝑥)
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Sumando en ambos miembros 4 resulta: 2𝑥 − 4 + 4 ≥ 0 + 4 entonces 2𝑥 ≥ 4

1 1
Multiplicando por el inverso de 2: (2𝑥) ≥ ∙ 4 resulta, 𝑥≥2
2 2

El dominio es: 𝐷ℎ = [2, ∞)

Expresiones con raíces de índice impar

Una raíz de índice impar existe para cualquier número real, implica que no hay condiciones para el
radicando, el dominio son todos los números reales.
Ejemplo: y = x 2 − x , dominio D = R
3

Otros casos de funciones con raíces y fracciones

Es frecuente encontrar expresiones con raíces y fracciones, en esos casos es preciso tener en
cuenta, la condición de existencia de una fracción (denominador ≠0) y la condición para que exista
una raíz de índice par (radicando ≥ 0), para luego realizar las intersecciones de los conjuntos
correspondientes.
x +1 2
Ejemplo: f ( x) = 3 +
x 5− x

1er término 2do término

La raíz del primer término tiene índice impar y el radicando es un cociente de polinomios ello
implica que para que exista la fracción del radicando el denominador debe ser distinto de cero.
En el segundo término, está presente una fracción cuyo denominador es una raíz de índice par,
entonces surge una condición: radicando mayor que cero ya que no puede ser cero por estar en el
denominador.
Las condiciones a tener presente son: 𝑑𝑒𝑛 ≠ 0 para la fracción del radicando del primer término y
𝑟𝑎𝑑 > 0 para la raíz de índice par que se encuentra en el denominador.
𝑥 ≠ 0  5−𝑥 > 0
 𝑥 ≠ 0  5−𝑥−𝟓> 0−𝟓
 𝑥 ≠ 0  −𝑥 > −5
 𝑥 ≠ 0  (−1). (−𝑥) < (−1). (−5)
 𝑥≠0  𝑥<5

El dominio es: D = (− ,0)  (0, 5)

Intersecciones de las gráficas con los ejes cartesianos

Ceros o raíces de una función
Los ceros o raíces de una función y = f (x) son los valores de la variable independiente 𝑥 para los
cuales la función es nula. Para determinar esos valores se resuelve la ecuación f ( x) = 0

Ejemplo: f ( x ) = 2 x 3 + 4 x 2

Haciendo f ( x) = 0 resulta, 2 x3 + 4 x 2 = 0
Resolviendo la ecuación: 2 x 2 ( x + 2) = 0

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 Capítulo 2
Aplicando propiedad, los valores que verifican la igualdad son: x = 0; x = −2

Gráficamente son los valores donde la gráfica de la

función interseca al eje de las abscisas

Los puntos son: 𝐴(0,0) y 𝐵(−2,0)

Valor de la función para 𝒙 = 𝟎

El valor de una función y = f (x) en 𝑥 = 0 es único, se obtiene resolviendo y = f (0) .
Ejemplo: f ( x ) = x 2 − 3x + 2
y = 02 − 3(0) + 2  y = 2
Gráficamente: 𝑦 = 2 es el valor donde
la gráfica de la función interseca al eje
de las ordenadas (ordenada al origen)

El punto es: P(0,2)

Comportamientos de una función
Intervalos de monotonía, en ellos la función es creciente, decrece o permanece constante.
La gráfica representa a una función f definida en un intervalo cerrado ⌈𝑎, 𝑏⌉
Observe que:
En el intervalo [𝑎, 𝑐1 ] la función es
decreciente (los valores de 𝑓 disminuyen a
medida que los valores de 𝑥 aumentan).
En el intervalo [𝑐1 , 𝑐2 ] la función es
constante (los valores de 𝑓 no varían en
ese intervalo).
En el intervalo [ 𝑐2 , 𝑏] la función es
creciente (los valores de 𝑓 aumentan a
medida que los valores de 𝑥 aumentan).

Definición: Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función definida en el intervalo I = a, b

1. Si x1  x2  I es f ( x1 )  f ( x2 ) , la función es creciente en I .
2. Si x1  x2  I es f ( x1 )  f ( x2 ) , la función es decreciente en I .
3. Si x1  x2  I es f ( x1 ) = f ( x2 ) , la función es constante en I .
Gráficamente:

∀𝑥1 < 𝑥2 ∈ 𝐼 es 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) ∀𝑥1 < 𝑥2 ∈ 𝐼 es 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) ∀𝑥1 < 𝑥2 ∈ 𝐼 es 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 )
𝑓 crece en 𝐼 𝑓 decrece en 𝐼 𝑓 es constante en 𝐼

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Autoevaluación
Actividades de revisión e integración
 Defina función, dominio e imagen. Proporcione ejemplos. Explicite los métodos que utilizaría para
reconocer si una gráfica, una fórmula, los valores de una tabla o un enunciado representa a una
función. Proporcione ejemplos que ilustren cada situación.
 Realice un cuadro con los distintos tipos de funciones algebraicas (ej. Polinómicas, racionales…).
¿Cuáles son las condiciones para determinar el dominio de cada una de las funciones que
mencionó? Ejemplifique.
 Proporcione un ejemplo de una función racional cuyo dominio sea el conjunto de los números
reales.
 ¿Es posible que una función irracional de índice par tenga como dominio al conjunto de los
números reales? Fundamente su respuesta.
𝑛
√𝑃(𝑥)
 Analice todas las posibilidades para determinar el dominio de la función 𝑓(𝑥) = ; 𝑃(𝑥) y
𝑄(𝑥)
𝑄(𝑥) son expresiones polinómicas. Escriba el dominio que corresponda en cada caso.
 ¿Cómo determina los intercepto de la gráfica de una función con los ejes coordenados?
 ¿En cuántos valores del eje de las abscisas puede cortar la gráfica de una función? y ¿al eje de las
ordenadas?
 Defina función creciente y decreciente en un intervalo. Ejemplifique.
 Proporcione ejemplos de una función: a) creciente ∀𝑥 ∈ 𝑅; b) decreciente ∀𝑥 ∈ 𝑅; c) constante
∀𝑥 ∈ 𝑅.
 Analice si las afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Los ceros de una función son los números donde la gráfica interseca al eje de las abscisas.
b) La gráfica de una función polinómica siempre interseca al eje de las abscisas.
c) El dominio de una función racional depende de los ceros del polinomio denominador.

Ejercitación

 Determine el dominio y las intersecciones con los ejes coordenados, si corresponde, de las
3 1 1−𝑥
funciones: a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − √ ; b) 𝑔(𝑥) = + 1 ; c) ℎ(𝑥) = √9 − 𝑥 − √𝑥 + 1
2𝑥 3𝑥−4

2𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < −1
 Analice el comportamiento de la función 𝑓(𝑥) = { 1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2en su dominio.
3−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 2
 Considere las relaciones representadas por las gráficas y las tablas:
a) Justificando mediante métodos correspondientes, determine si representan funciones.
b) Si las gráficas o tablas representan funciones: exprese dominio, imagen, estime intersecciones
con los ejes coordenados y estudie el comportamiento de las mismas.

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 Capítulo 2

i) ii)

iii) iv)

v) vi) vii)

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