Tema 1 Calculo
Tema 1 Calculo
Tema 1 Calculo
Gráfica de una función:Es el conjunto de todos los pares (𝑥, 𝑓(𝑥)), donde 𝑥 pertenece al
dominio de 𝑓.
𝐺𝑟 𝑓 = { 𝑥, 𝑓 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 , 𝑦 = 𝑓 𝑥 }
Funciones polinómicas:
● Funciones lineales:
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 donde 𝑚, 𝑏 ∈ ℝ
Su gráfica es una recta.
❖ 𝑚 ∶ Pendiente
❖ 𝑏 ∶ Ordenada en el origen
● Funciones cuadráticas:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
Su gráfica es una parábola.
Máximo o mínimo: Vértice.
1
Funciones potenciales:
𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑛 dónde n entero y par, 𝑛 ≥ 2
● Potencias racionales:
1
𝑛
𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑛 = 𝑥 . Si 𝑛 par, sólo definida para 𝑥 ≥ 0
𝑚
𝑛 𝑚
𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑛
= 𝑥 , 𝑛 ≥ 1, 𝑚 ≥ 1
𝑝
𝑓 𝑥 = 𝑥 , con p ∈ ℝ
2
Funciones racionales:
Funciones exponenciales:
𝑥
𝑓 𝑥 =𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1
Propiedades:
Funciones logarítmicas:
𝑓 (𝑥) = ln(𝑥)
𝑥
Es la inversa de la función exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑒
No corta al eje Y → El eje Y es una asíntota vertical
Propiedades:
Funciones trigonométricas:
3
Tema 1: 1.2 Límites y Continuidad
Límite de una función en un punto: Si se aproxima 𝑥 al valor 𝑎 una distancia menor que 𝛿,
la función 𝑓(𝑥) se aproxima al valor 𝑳 a una distancia menor que 𝜀.
Límite lateral por la derecha: Se dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 por la derecha de
la función 𝑓(𝑥) es igual a 𝐿, y se escribe: lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 𝐿 , si para todo 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal
que [𝑓(𝑥) − 𝐿] < 𝜀 cuando 𝑥0 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛿
Límite lateral por la izquierda: Análogamente, se dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑥0
por la izquierda de la función 𝑓(𝑥) es igual a 𝐿, y se escribe: lim 𝑥→𝑥0 − 𝑓(𝑥) = 𝐿 , si para todo 𝜀
> 0 existe un 𝛿 > 0 tal que 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 cuando 𝑥0 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑥0
El límite de f(x) en el punto 𝑥0 existe si y sólo si existen los límites laterales y son iguales:
Límites infinitos:
Límites en el infinito:
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Indeterminaciones:
NO son indeterminaciones:
Pasos:
1. Reescribir 𝑓(𝑥) antes de calcular el límite. Factores comunes.
2. Si 𝑝(𝑥) es un polinomio de grado 𝑝 con coeficiente de mayor grado 𝑎𝑝 y 𝑞(𝑥) es un
polinomio de grado 𝑞 con coeficiente de mayor grado 𝑏𝑞, se pueden dividir
numerador y denominador por la mayor potencia de 𝑥.
3. Si 𝑝(𝑥) = polinomio de grado 𝑝 con coeficiente de mayor grado 𝑎𝑝 y 𝑞(𝑥) = polinomio
de grado 𝑞 con coeficiente de mayor grado 𝑏𝑞:
4. Regla de L´Hôpital.
1. Uso de logaritmos
2. Aplicar la fórmula:
1. Uso de logaritmos
2. Aplicar la fórmula:
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Asíntotas:
● Verticales:
𝑥=𝑎
lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = ±∞
● Horizontales:
𝑦=𝐿
lim 𝑥→±∞ 𝑓(𝑥) = L
● Oblicuas:
Continuidad por la derecha: lim𝑥→𝑥0+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) e izquierda: lim𝑥→𝑥0− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)
Teorema de Bolzano:
● Si 𝑓 es una función real y continua en [𝑎, 𝑏] y signo 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑓(𝑎) ≠ 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑓(𝑏) → entonces
existe al menos un 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓(𝑐) = 0.
6
Discontinuidad de una función en un punto:
7
Tema 1: 1.3 Operaciones de Funciones
Interpolar y extrapolar:
● Interpolar: es una técnica que se utiliza para estimar datos que se encuentran dentro
de un intervalo donde conocemos los extremos.
● Extrapolar: es una técnica que se utiliza para estimar datos que se encuentran fuera
de un intervalo de datos conocidos, pero próximo a sus extremos.
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Interpolación y extrapolación Polinómica:
Polinomio de interpolación: función polinómica de menor grado que conecta los datos.