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Tema 1 Calculo

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Tema 1: 1.

1 Funciones de una variable

El Dominio de la función 𝑓 es el subconjunto de números reales para los cuales existe la


función:
Dom 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ ∃ 𝑦 ∈ ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑦}

La Imagen o Recorrido de 𝑓 será el conjunto de números reales que toma la variable 𝑦:

Im 𝑓 = 𝑅𝑒𝑐(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ ∶ ∃ 𝑥 ∈ ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑦}

Gráfica de una función:Es el conjunto de todos los pares (𝑥, 𝑓(𝑥)), donde 𝑥 pertenece al
dominio de 𝑓.
𝐺𝑟 𝑓 = { 𝑥, 𝑓 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 , 𝑦 = 𝑓 𝑥 }

Funciones polinómicas:

● Funciones lineales:
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 donde 𝑚, 𝑏 ∈ ℝ
Su gráfica es una recta.
❖ 𝑚 ∶ Pendiente
❖ 𝑏 ∶ Ordenada en el origen

● Funciones cuadráticas:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
Su gráfica es una parábola.
Máximo o mínimo: Vértice.

1
Funciones potenciales:

● Potencias enteras positivas pares:

𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑛 dónde n entero y par, 𝑛 ≥ 2

● Potencias enteras positivas impares:


𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑛 dónde 𝑛 entero y impar, 𝑛 ≥ 3

● Potencias enteras negativas:


−𝑛 1
𝑓𝑥= 𝑥 = 𝑛
𝑛

● Potencias racionales:

1
𝑛
𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑛 = 𝑥 . Si 𝑛 par, sólo definida para 𝑥 ≥ 0

𝑚
𝑛 𝑚
𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑛
= 𝑥 , 𝑛 ≥ 1, 𝑚 ≥ 1

𝑝
𝑓 𝑥 = 𝑥 , con p ∈ ℝ

2
Funciones racionales:

● Funciones de proporcionalidad inversa:


𝑘
𝑓 (𝑥) = 𝑥
𝑐𝑜𝑛 𝑘 ≠ 0
𝐷𝑜𝑚 𝑓 (𝑥) = 𝑅 − (0)
Gráfica: Hipérbola

Funciones exponenciales:

𝑥
𝑓 𝑥 =𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1

Propiedades:

Funciones logarítmicas:

𝑓 (𝑥) = ln(𝑥)
𝑥
Es la inversa de la función exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑒
No corta al eje Y → El eje Y es una asíntota vertical

Propiedades:

Funciones trigonométricas:

3
Tema 1: 1.2 Límites y Continuidad

Límite de una función en un punto: Si se aproxima 𝑥 al valor 𝑎 una distancia menor que 𝛿,
la función 𝑓(𝑥) se aproxima al valor 𝑳 a una distancia menor que 𝜀.

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 / [𝑥 − 𝑎] < 𝛿 [𝑓(𝑥) − 𝐿] < 𝜀

Límite lateral por la derecha: Se dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 por la derecha de
la función 𝑓(𝑥) es igual a 𝐿, y se escribe: lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 𝐿 , si para todo 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal
que [𝑓(𝑥) − 𝐿] < 𝜀 cuando 𝑥0 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛿

Límite lateral por la izquierda: Análogamente, se dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑥0
por la izquierda de la función 𝑓(𝑥) es igual a 𝐿, y se escribe: lim 𝑥→𝑥0 − 𝑓(𝑥) = 𝐿 , si para todo 𝜀
> 0 existe un 𝛿 > 0 tal que 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 cuando 𝑥0 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑥0

El límite de f(x) en el punto 𝑥0 existe si y sólo si existen los límites laterales y son iguales:

Límites infinitos:

Límites en el infinito:

Operaciones con infinito:

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Indeterminaciones:

Las indeterminaciones son:

NO son indeterminaciones:

Pasos:
1. Reescribir 𝑓(𝑥) antes de calcular el límite. Factores comunes.
2. Si 𝑝(𝑥) es un polinomio de grado 𝑝 con coeficiente de mayor grado 𝑎𝑝 y 𝑞(𝑥) es un
polinomio de grado 𝑞 con coeficiente de mayor grado 𝑏𝑞, se pueden dividir
numerador y denominador por la mayor potencia de 𝑥.
3. Si 𝑝(𝑥) = polinomio de grado 𝑝 con coeficiente de mayor grado 𝑎𝑝 y 𝑞(𝑥) = polinomio
de grado 𝑞 con coeficiente de mayor grado 𝑏𝑞:

4. Regla de L´Hôpital.

1. Reescribir 𝑓(𝑥) antes de calcular el límite


2. Si 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) son polinomios y lim 𝑥→𝑎 𝑝(𝑥) = 0 𝑦 lim 𝑥→𝑎 𝑞(𝑥) = 0 , (𝑥 − 𝑎) es factor
común de ambos.
3. Si 𝑝(𝑥) y/o 𝑞(𝑥) contiene una raíz, se puede multiplicar ambos por el conjugado.
4. Regla de L´Hôpital

1. Reescribir f(x) antes de calcular el límite.


2. Si contiene raíces, multiplicar y dividir por el conjugado.
3. Reescribir f(x)-g(x) para transformarlo en 0.

1. Uso de logaritmos
2. Aplicar la fórmula:

1. Uso de logaritmos
2. Aplicar la fórmula:

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Asíntotas:

● Verticales:
𝑥=𝑎
lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = ±∞

● Horizontales:
𝑦=𝐿
lim 𝑥→±∞ 𝑓(𝑥) = L

● Oblicuas:

Continuidad de una función en un punto:

Una función 𝑓: ℝ → ℝ es continua en un punto 𝑥0 si se cumple:


1. El punto 𝑥0 pertenece al dominio de la función, es decir, existe 𝑓(𝑥0).
2. Existe lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥).
3. Se verifica que lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)

Continuidad por la derecha: lim𝑥→𝑥0+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) e izquierda: lim𝑥→𝑥0− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)

Teorema de Bolzano:
● Si 𝑓 es una función real y continua en [𝑎, 𝑏] y signo 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑓(𝑎) ≠ 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑓(𝑏) → entonces
existe al menos un 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓(𝑐) = 0.

Teorema de los valores intermedios:


● Si 𝑓 es una función real y continua en 𝑎, 𝑏 , la función tomará en ese intervalo todos
los valores comprendidos entre 𝑓 𝑎 y 𝑓(𝑏).

6
Discontinuidad de una función en un punto:

Diremos que una función 𝑓: ℝ → ℝ es discontinua en el punto 𝑥 = 𝑎 si no cumple alguna de


las condiciones de continuidad. Las discontinuidades pueden ser de tres tipos:

7
Tema 1: 1.3 Operaciones de Funciones

Operaciones con gráficas elementales:

Conocida la curva y = 𝑓(𝑥):

● Traslación vertical: Si 𝑐>0, la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) +


𝑐 es la de 𝑦 = 𝑓(𝑥) desplazada 𝑐 unidades
verticalmente hacia arriba, mientras que la de 𝑦 =
𝑓(𝑥)− 𝑐 es la de 𝑦 = 𝑓(𝑥) desplazada 𝑐 unidades
verticalmente hacia abajo.
● Traslación horizontal: Si c > 0, la gráfica de 𝑦 =
𝑓(𝑥) + 𝑐 es la de 𝑦 = 𝑓(𝑥) desplazada 𝑐 unidades
horizontalmente hacia la izquierda, mientras que
la de 𝑦 = 𝑓(𝑥)− 𝑐 es la de 𝑦 = 𝑓(𝑥)desplazada 𝑐
unidades horizontalmente hacia la derecha.

Operaciones con gráficas elementales:

Conocida la curva y = 𝑓(𝑥), si 𝑐 > 0 :


● Dilatación vertical: y = 𝑐𝑓(𝑥), si c > 1 se dilata y si c < 1 se comprime verticalmente en
ese factor c.
● Dilatación horizontal: 𝑦 = 𝑓(cx) si 𝑐 <1 se dilata y si 𝑐 >1 se contrae horizontalmente en
ese factor c.
● Simetría a lo largo del eje OY: 𝑦 = 𝑓(−𝑥) es la imagen simétrica de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) con
respecto del eje OY.
● Simetría a lo largo del eje OX: y = −𝑓(𝑥) es la imagen simétrica de la curva y = 𝑓(𝑥) con
respecto del eje OX.

Interpolar y extrapolar:

Diremos que la función función 𝑓: ℝ → ℝ: es una


función de interpolación de los datos representados
es el plano XY, cuando es usada para aproximar
valores dentro del intervalo [𝑥1, 𝑥𝑛], en cambio, es
una función de extrapolación cuando es usada para
aproximar valores que quedan fuera del intervalo
[𝑥1, 𝑥𝑛].

● Interpolar: es una técnica que se utiliza para estimar datos que se encuentran dentro
de un intervalo donde conocemos los extremos.
● Extrapolar: es una técnica que se utiliza para estimar datos que se encuentran fuera
de un intervalo de datos conocidos, pero próximo a sus extremos.

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Interpolación y extrapolación Polinómica:

Polinomio de interpolación: función polinómica de menor grado que conecta los datos.

● Lineal: la función es un polinomio de grado 1

● Cuadrática: la función es un polinomio de grado 2

Interpolación vs Regresión o Ajuste a una curva:

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