Infinitesimos

1
1º PARCIAL DFVV (GRUPO B). 3 de diciembre de 2013
Apellidos, Nombre:
Teorı́a. (3 Puntos) Elige y demuestra uno de los siguientes teoremas:

Condición suficiente de diferenciabilidad: Si la función f : A ⊂ Rn → Rm tiene
derivadas parciales con respecto a cada una de las variables y estas son continuas en a ∈ A,
entonces f es diferenciable en a.
Teorema del valor medio: Sea f : A ⊂ Rn → Rm , diferenciable en A abierto y conexo.
Sean a, b ∈ A y sea s el segmento que los une. Entonces, para cada vector v ∈ Rm existe un
punto z en el interior del segmento s tal que hh, f (b) − f (a)i = hh, Df (z)(b − a)i.
Problema 1. (3 ptos.) Sea la función f : R2 \ { kπ }

2 k∈Z
7→ R, f (x, y) = |y|α tan x, α > 0.
1. Calcula lı́m(x,y)→(0,0) f (x, y).
2. ¿Para qué valores de α f es continua en R2 \ { kπ } ?
2 k∈Z
3. Calcula sus derivadas parciales de f .

4. ¿Para que valores de α f es diferenciable en (0, 0)? Justifica la respuesta y calcula la
derivada total de f en (0, 0) si existe.
5. Calcula la derivada total de f en (1, π).
Problema 2. (4 ptos.)Sea la función g : R2 7→ R, g(x, y, z) = x2 + yex z .
1. Decide si g es diferenciable en R2 . Justifica la respuesta.
∂g ∂g ∂g
2. Calcula las derivadas parciales ,
∂x ∂y
y ∂z
.
√
3. ¿Cuánto vale la derivada g en el punto (1, 2, 0) según la dirección del vector (3/4, 3/2, 1/2).
4. ¿En que dirección es máxima la variación de g en dicho punto (1, 2, 0)? ¿Y mı́nima?
5. Escribe la expresión para el plano tangente a la superficie definida por w = g(x, y, z) en el
punto (1, 2, 0).
6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (1, 2, 0).
2
2º PARCIAL DFVV (GRUPO B). 10 de enero de 2014
Apellidos, Nombre:
Teorı́a. (3 Puntos) Enuncia y demuestra la condición necesaria y suficiente de extremo libre

de una función de varias variables.
Problema 1. (2 ptos.)
Sea la ecuación z 3 + 2(x + y)2 z + ez−1 − 4 = 0.
1. Prueba que la ecuación anterior define una función z = f (x, y) en el entorno U del punto
(0, −1, 1) y que dicha función es una función C (∞) (U ) en dicho U .
∂f ∂f
2. Calcula las derivadas parciales ∂x
y ∂y
en dicho punto.
3. Escribe el polinomio de Taylor de orden 1 de f en (0, −1, 1).
Sea la función
f : A ⊂ R3 7→ R, f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 3, 3
donde A es la región definida por

z 0
A = {(x, y, z) ∈ R3 , |x2 + y 2 + z 2 ≤ 9, x ≥ 0}.
1. Calcula todos los puntos crı́ticos de dicha función.

-3
2. ¿Alcanza f su máximo y mı́nimo globales en A? Jus-

tifica tu respuesta.
-3
y 0
3. Calcula, si existen, dichos máximo y mı́nimo globales 3 0
x
de f .
3
EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 7 de febrero de

2014 RECUPERACIÓN 1º o 2º PRUEBA o SUBIR NOTA DFVV1
Apellidos, Nombre:
Teorı́a Examen Final. (2 puntos) Demuestra uno de los siguientes teoremas:
de Heffter-Young. Teorema de la función implı́cita.
Problema 1 (3.5 puntos) Se considera la función f : R2 → R definida por

 α
 |x|
p
arctan y
, si (x, y) 6= (0, 0),
f (x, y) = x2 + y 2

0, si (x, y) = (0, 0).
(a). Demuestra que para α > 0, la función f es continua en (0, 0).

∂f ∂f
(b). Para α > 0, escribe el valor de (0, 0) y (0, 0) .
∂x ∂y
(c). Demuestra que f es diferenciable en (0, 0) cuando α > 1.
(d). ¿Es f diferenciable en (0, 0), cuando α = 1?. Razona la respuesta.
Problema 2 (1 punto) Estudia el siguiente lı́mite

y(x − sin x)
lı́m
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
y calcúlalo caso de que exista.
Problema 3 (3.5 puntos)

Sea f : R2 \ {(0, 0)} → R definida por f (x, y) = log x2 + y 2 .
(a) Encuentra todos los extremos relativos de f en la región

A = {(x, y) : x ≥ 1, (x − 1)2 + y 2 ≤ 4}.
(b) Prueba que f tiene extremos absolutos en dicha región A. Calcúlalos razonadamente.
(c) Prueba que f no tiene ni extremos relativos y ni absolutos en R2 \ {(0, 0)}
1 Examen final: problemas 1, 2 y 3. Recuperación 1º parcial: problemas 1 y 4. Recuperación 2º parcial: Problemas 3 y 5. Subir
nota: problemas 1c,d, 3 y 6.

4
EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 7 de febrero de 2014 RECUPERACIÓN 1º o 2º

PRUEBA o SUBIR NOTA DFVV2
Teorı́a exámenes de recuperación. (3 puntos). Demuestra uno de los siguientes teoremas:

1º prueba: de Heffter-Young o Teorema de Taylor con resto.
2º prueba: Teorema de la función implı́cita.
Problema 4 (3.5 puntos)

Sea la función f : R3 7→ R f (x, y, z) = (x cos(y 2 + 1) + y sin(zex ))ez .
1. Decide si f es diferenciable en R3 . Justifica la respuesta.
∂g ∂g ∂g
∂x ∂y
y ∂z
.
3. En caso de ser diferenciable escribe la derivada total de f en un punto (x, y, z).
√ √
4. ¿Cuánto vale la derivada f en el punto (0, 1, −1) según la dirección del vector (−1/ 2, 0, 1/ 2).
5. Escribe la expresión para el plano tangente a la superficie definida por w = f (x, y, z) en
el punto (0, 1, −1).
6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (0, 1, −1).
Problema 5 (3.5 puntos) Sea la ecuación z 3 − xyz + y 2 = 16.

a) Prueba que dicha ecuación define una función z = f (x, y) en cierto entorno U de (1, 4, 2) y
que dicha función f es C (p) (U ) para todo p ∈ N.
b) Calcula la expresión formal de ∂f ∂x
y ∂f
∂y
en un punto (x, y) de U .
c) Calcula los valores numéricos de las derivadas parciales ∂f ∂x
(1, 4) y ∂f
∂y
(1, 4). ¿Cuánto vale la
derivada direccional de f en la dirección (1, −2) en dicho punto (1, 4)?
2 2
d) Calcula el valor de ∂∂xf2 (x, y) y ∂∂xf2 (1, 4)
Problema 6 Calcula razonadamente el siguiente lı́mite
3/2
1 − e|xy|
lı́m .
(x,y)→(0,0) arctan2 (x) + arctan2 (y)
2 Examen final: problemas 1, 2 y 3. Recuperación 1º parcial: problemas 1 y 4. Recuperación 2º parcial: Problemas 3 y 5. Subir
nota: problemas 1c,d, 3 y 6.

5
1º PARCIAL DFVV (GRUPO B). 25 de noviembre de 2014
Apellidos, Nombre:
Acotación de las aplicaciones lineales Teorema del valor medio
Problema 1 (3.5 puntos) Se considera la función f : R2 → R definida por

 α
|x| sin xy
p , si (x, y) 6= (0, 0),
f (x, y) = 2x2 + y 2

0, si (x, y) = (0, 0).
(a). Demuestra que para α > −1, la función f es continua en (0, 0).
∂f ∂f
(b). Para α > −1, escribe el valor de (0, 0) y (0, 0) .
∂x ∂y
(d). ¿Para α = 0 es f diferenciable en (0, 0)? Razona la respuesta.
Problema 2 (3.5 puntos) Sea la función g : R3 7→ R,

g(x, y, z) = xyez + xz sin(y) + x4 yz.

∂g ∂g ∂g
∂x ∂y
y ∂z
.
3. En caso de ser diferenciable escribe la derivada total de g en un punto (x, y, z).
4. ¿Cuánto vale el gradiente de g en (1, π, 0)?
5. Calcula la derivada de g en el punto (1, π, 0) según la dirección del vector (1, −1, 1).
6. Escribe la expresión para el plano tangente a la superficie definida por w = g(x, y, z) en
el punto (1, π, 0).
7. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (1, π, 0).
6
2º PARCIAL DFVV (GRUPO B). 15 de enero de 2015
Apellidos, Nombre:
Teorı́a. (3 Puntos) Enuncia y demuestra la condición necesaria y suficiente de extremo libre

de una función de varias variables.
Sea la ecuación F (x, y, z) := x2 y 2 z 2 + exp(x + y + 2z) + 5y 3 − 4y − 2 = 0.
1. Prueba que la ecuación anterior define una función z = f (x, y) en el entorno U del punto
(−1, 1, 0) y que dicha función es una función C (∞) (U ) en dicho U .
∂f ∂f
y ∂y
en dicho punto.
3. Calcula la derivada direccional de f en el punto (−1, 1) según la dirección (1, 1). ¿En que
dirección dicha derivada direccional es mı́nima?
Sea la función
f : A ⊂ R3 7→ R, f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 4z − 4x,

región A
A = {(x, y, z) ∈ R3 , |x2 + 2y 2 + z 2 ≤ 16, z ≤ 1}. 1
0
-1
1. Calcula todos los posibles extremos locales de dicha -2
-3
función. Decide, cuando sea posible, si lo son. -4
4
1 23
2. ¿Alcanza f su máximo y mı́nimo globales en A? Jus- -4 -3 0 y
-2 -1 -2-1
tifica tu respuesta. x 0 1 2 3 -4-3
4
3. Calcula, si existen, dichos máximo y mı́nimo globales
de f .
7
EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 22 de enero de 2015
Apellidos, Nombre:
Teorı́a. (2 puntos) Elige y demuestra uno de los siguientes teoremas:
Problema 1: 3.5 puntos Sea la función f : R2 −→ R definida por

 3
 x cos y si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2

0 si (x, y) = (0, 0) .
1. Prueba que f es continua en todo su dominio.
∂f ∂f
2. Encuentra las derivadas parciales ∂x
y ∂y
en R2 .
3. Prueba que la derivada direccional Dû f (0, 0) = u31 cualquiera sea el vector unitario ~u =
(u1 , u2 ).
4. Decide si f es diferenciable (0, 0). ¿Y en R2 \ {(0, 0)}?
5. En caso que f sea diferenciable en 1, π2 , calcula el vector gradiente ∇f 1, π2 .

6. Usando el apartado anterior si es neceario escribe la ecuación del plano tangente a la
función f (x, y) en el punto 1, π2 .
x|y|
Problema 2: 1 punto Estudiar el lı́mite lı́m .
(x,y)→(0,0) |x| + |y|
Problema 3: 3.5 puntos

Sea el conjunto D := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 4 ≤ 1 } y sea f : D −→ R la función definida por
f (x, y) = 4x2 + 2y 4 − y.
(a) Encuentra todos los extremos relativos de f en D.
(b) Prueba que f tiene extremos absolutos en D. Calcúlalos razonadamente.
(c) ¿Tiene f extremos absolutos (globales) en D ∪ {(x, y)|x ≥ 0} ? Justifica tu respuesta y
calcúlalos si procede.
8
Recuperación parcial 1 DFVV (GRUPO B). 22 de enero de 2015
Apellidos, Nombre:
PARCIAL 1 de Heffter-Young. Teorema de Taylor.
Problema 1: 3.5 puntos Se considera la función f : R2 → R definida por
 α
 |x|
p
tan(xy)
, si (x, y) 6= (0, 0),
f (x, y) = x2 + 4y 2

0, si (x, y) = (0, 0).
(a). Decide si para α > −1, la función f es continua en (0, 0).

∂f ∂f
(b). Para α > 0, escribe el valor de (0, 0) y (0, 0) .
∂x ∂y
(d). ¿Es f diferenciable en (0, 0), cuando α = 0?. Razona la respuesta.
Problema 2: 3.5 puntos Sea la función f : R2 −→ R definida por

 3
 x cos y si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2

0 si (x, y) = (0, 0) .
1. Prueba que f es continua en todo su dominio.
∂f ∂f
2. Encuentra las derivadas parciales ∂x
y ∂y
en R2 .
3. Prueba que la derivada direccional Dû f (0, 0) = u31 cualquiera sea el vector unitario ~u =
(u1 , u2 ).
4. Decide si f es diferenciable (0, 0). ¿Y en R2 \ {(0, 0)}?
5. En caso que f sea diferenciable en 1, π2 , calcula el vector gradiente ∇f 1, π2 .

6. Usando el apartado anterior si es neceario escribe la ecuación del plano tangente a la
función f (x, y) en el punto 1, π2 .
x|y|
Problema 3: 1 punto Estudiar el lı́mite lı́m .
(x,y)→(0,0) |x| + |y|
9
Recuperación 2º parcial DFVV (GRUPO B). 22 de enero de 2015
Apellidos, Nombre:
Teorı́a. (2 puntos) Demuestra el Teorema de la función implı́cita.
Problema 1: 4 puntos Sea el conjunto D := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 4 ≤ 1 } y sea f : D −→ R

la función definida por f (x, y) = 4x2 + 2y 4 − y.
(a) Encuentra todos los extremos relativos de f en D.
(b) Prueba que f tiene extremos absolutos en D. Calcúlalos razonadamente.
(c) ¿Tiene f extremos absolutos (globales) en D ∪ {(x, y)|x ≥ 0} ? Justifica tu respuesta y
calcúlalos si procede.
Problema 2: 4 puntos
Si x1 , x2 , x3 son las raices del polinomio p(x) = x3 + y1 x2 + y2 x + y3 , existe la siguiente
relación con los coeficientes:
y1 = −(x1 + x2 + x3 ),
y 2 = x 1 x2 + x1 x3 + x2 x3 , (Ecuaciones de Cardano-Vieta)
y3 = −x1 x2 x3 .
Demostrar que en un entorno de una terna de raices reales (a, b, c) distintas dos a dos está
definida una función de clase C 1 que expresa las raices en término de los coeficientes. Calcula
una de las derivadas parciales de una de las componentes de dicha función.
10
EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 10 de septiembre de 2015

Teorema de Taylor. Teorema de a función implı́cita.
Problema 1 Se considera la función f : R2 → R definida por

2α
x p log(1 + x2 )
, si (x, y) 6= (0, 0),

f (x, y) = x4 + y 4

β, si (x, y) = (0, 0).
(a) Decide para que valores de α y β, la función f es continua en todo R2 .

∂f ∂f
(b) Para dichos valores de α, β, escribe el valor de (0, 0) y (0, 0).
∂x ∂y
(c) ¿Es diferenciable f en (0, 0) para todos los valores de α encontrados en el apartado anterior?
En caso de que no, encuentra para que valores de α f es diferenciable en (0, 0). Razona la
respuesta.
Problema 2: Sea la función f (x, y) : R2 7→ R definida por

2
sin(x2 )e−y
f (x, y) = .
1 + x2 + y 2
(a) ¿Decide si es diferenciable en R2 ? Si no lo es, describe la región donde lo sea. En dicha
región escribe la derivada de f . √
(b) Encuentra, si es posible, las derivadas parciales de f en el punto A = ( π, 0).
(c) Encuentra el gradiente de f en el punto A anterior. ¿En que dirección decrece más rápida-
mente f en A?
(d) Encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie √ z = f (x, y) en el punto A anterior.
(d) ¿Que ángulo forman los planos tangente a f en A = ( π, 0) y B = (0, 0)?
Problema 3: Sea el conjunto D := {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 9 z ≤ 1} y sea f : D −→ R
la función definida por f (x, y) = (x + y)2 + (z + 1)2 + 4.
(a) Encuentra todos los puntos singulares f en D.
(b) Cuales de dichos puntos singulares son extremos (máximos y mı́nimos) relativos de f en D.
(c) Prueba que f tiene extremos absolutos en D. Calcúlalos razonadamente.
11
Apellidos, Nombre:
Teorema de Schwarz Teorema del valor medio
|x|α arcsin y
Problema 1. (3 ptos.) Sea f : R2 \ {(0, 0)} 7→ R, f (x, y) = p , α > 0.
x2 + 2y 2
1. Calcula, si es posible, los lı́mites lı́m(x,y)→(0,0) f (x, y) y lı́m(x,y)→(1,1) f (x, y).
2. ¿Para qué valores de α se puede definir f en (0, 0) de forma que f sea continua en R2 ?
Justifica la respuesta.
3. Calcula, si es posible, las derivadas parciales de f en (0, 0).
derivada total (diferencial) de f en (0, 0) si existe.
2 +y 2
Problema 2. (4 ptos.)Sea g : R2 7→ R, g(x, y, z) = −y sin(z + x) + z 3 ex + xyz.

∂g ∂g ∂g
∂x ∂y
y ∂z
.
3. ¿Cuánto vale la derivada g en el punto (π/2, 1, 0) según la dirección del vector (−3, 0, 4).
4. ¿En que dirección es máxima la variación de g en dicho punto (π/2, 1, 0)? ¿Y mı́nima?
punto (π/2, 1, 0)?
6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (π/2, 1, 0).
2º Parcial DFVV (GRUPO B). 11 de enero de 2016 12
Apellidos, Nombre:
Problema 1. 4 puntos: Sea la función f : A ⊂ R3 7→ R,

f (x, y, z) = z 2 − 2z + 2y 2 + 4x2 − 3,
donde A es la región definida por (paraboloide elı́ptico)
4
3 2 2
A = {(x, y, z) ∈ R , x + y ≤ z ≤ 4}. 3
2
1
-2 -1 0
0 -1
1 2-2

2. ¿Alcanza f su máximo y mı́nimo globales en A? Justifica tu respuesta.
3. Calcula, si existen, dichos máximo y mı́nimo globales de f .
2 −1 2 2
Problema 2. 3 puntos: Sea la ecuación ez + (xey + ex y)z − 1 = 0.
1. Para que valores de a ∈ R la ecuación anterior define una función z = f (x, y) en el entorno
U del punto (0, 0, a). ¿Para alguno de dichos puntos la función z = f (x, y) es diferenciable?
¿Cuántas veces? Justifica la respuesta.
∂z ∂z
2. Calcula, si es posible, las derivadas parciales ∂x
y ∂y
en el entorno de los puntos obtenidos
en el apartado 1.
3. Escribe, si es posible, la ecuación del plano tangente a la curva z = f (x, y) en los puntos
obtenidos en el apartado 1.
13
EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 20 de enero de 2016
Apellidos, Nombre:
Problema 1: 3 puntos Sea la función f : R2 −→ R definida por
α
 |x| arctan(y) si (x, y) 6= (0, 0)

f (x, y) = x4 + 2y 2

0 si (x, y) = (0, 0) .
1. Prueba que f es continua en todo su dominio para α > 2.
∂f ∂f
2. Encuentra, si existen, las derivadas parciales ∂x
y ∂y
en R2 .
3. Decide para que valores de α f es diferenciable (0, 0). ¿Y en R2 \ {(0, 0)}?
Problema 2: 1 punto
sin(x|y|3/2 )
Estudiar el lı́mite lı́m .
(x,y)→(0,0) |x|2 + |y|
Problema 3: 4 puntos
Sea la función f : A ⊂ R3 7→ R,
f (x, y, z) = z 2 − 2z + y 2 − 2y + 2x2 − 3,
2
1.8
1.6
1.4
1.2
A = {(x, y, z) ∈ R3 , 4x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≥ 1}. 1
-2-1
y 012 1
3 -1 -0.5 0 x 0.5

14
Recuperación parcial 1 DFVV (GRUPO B). 20 de enero de 2016
Apellidos, Nombre:
de Heffter-Young. Teorema de Taylor.
Problema 1. 3.5 puntos: Sea la función f : R2 −→ R definida por

α
 |x| arctan(y) si (x, y) 6= (0, 0)

f (x, y) = x4 + 2y 2

0 si (x, y) = (0, 0) .
∂f ∂f
y ∂y
en R2 .
Problema 2. 1 punto:
sin(x|y|3/2 )
Estudiar el lı́mite lı́m .
(x,y)→(0,0) |x|2 + |y|
Problema 2. 3.5 puntos: Sea la función

g : R2 7→ R, g(x, y, z) = x2 + yex z .

∂g ∂g ∂g
∂x ∂y
y ∂z
.
3. ¿Cuánto vale la derivada g en el punto (1, 2, 0) según la dirección del vector (3, 0, −4).
5. Escribe la expresión para el plano tangente a la superficie definida por w = g(x, y, z) en
el punto (1, 2, 0).
6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (1, 2, 0)
15
Recuperación 2º parcial DFVV (GRUPO B). 20 de enero de 2016
Apellidos, Nombre:
f (x, y, z) = z 2 − 2z + y 2 − 2y + 2x2 − 3,
2
1.8
1.6
1.4
1.2
A = {(x, y, z) ∈ R3 , 4x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≥ 1}. 1
-2-1
y 012 1
3 -1 -0.5 0 x 0.5
1. Calcula todos los posibles puntos crı́ticos de dicha función.

Problema 2. 4 puntos: Sea la ecuación x2 z − z 2 x + x cos(xz 2 ) − 1 = 0

1. Para que valores de a, b ∈ R la ecuación anterior define una función z = f (x, y) en el
entorno U del punto (a, b, 0). ¿Es para alguno de dichos puntos la función z = f (x, y)
diferenciable? ¿Cuántas veces? Justifica la respuesta.
∂z ∂z
y ∂y
en los puntos anteriores donde sea posible.
3. En que dirección es máxima la variación de z = f (x, y) en el punto (1, 1, 0).
16
SUBIR NOTA DFVV (GRUPO B). 20 de enero de 2016
Apellidos, Nombre:
Problema 1. 2 puntos: Sea la función f : R2 −→ R definida por
α
 |x| arctan(y) si (x, y) 6= (0, 0)

f (x, y) = x4 + 2y 2

0 si (x, y) = (0, 0) .

f (x, y, z) = z 2 − 2z + y 2 − 2y + 2x2 − 3,

2
1.8
1.6
1.4
1.2
A = {(x, y, z) ∈ R3 , 4x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≥ 1}. 1
-2-1
y 012 1
3 -1 -0.5 0 x 0.5
1. Calcula todos los posibles extremos locales de dicha función.

2. Calcula, si existen, dichos máximo y mı́nimo globales de f . Justifica tu respuesta.
sin(x|y|3/2 )
Problema 3. 1 punto: Estudiar el lı́mite lı́m .
(x,y)→(0,0) |x|2 + |y|
17
EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 1 de septiembre de 2016
Apellidos, Nombre:
de Schwarz. Condición suficiente de extremo).
Problema 1: 3 puntos Sea la función f : R2 −→ R definida por
α
 |y| arcsin(2x) si (x, y) 6= (0, 0)

f (x, y) = 4x2 + y 4

0 si (x, y) = (0, 0) .
1. ¿Para qué valores de α f es continua en todo su dominio?.
∂f ∂f
y ∂y
en R2 .
3. Decide para que valores de α f es diferenciable (0, 0). ¿Y en R2 \ {(0, 0)}? Justifica tu
respuesta.
Problema 2: 1 punto
y(x − sin(x))
Estudiar el lı́mite lı́m f (x, y) = .
(x,y)→(0,0) x4 + 3y 2
Problema 3: 4 puntos Sea la función f : A ⊂ R3 7→ R, región A
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y + 1,
√
A = {(x, y, z) ∈ R3 , x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≤ 3}.
1. Calcula todos los posibles extremos locales de dicha función.

18
Apellidos, Nombre:

De la equivalencia de las normas en Rn Del valor medio
|x|α cos(x) arcsin(xy)
Problema 1. (3 ptos.) Sea f : R2 \ {(0, 0)} 7→ R, f (x, y) = p , α ∈ R.
3x2 + y 2
1. Demuestra que para α > −1 existe el lı́mite lı́m(x,y)→(0,0) f (x, y).
2. ¿Qué valor ha de tomar f en (0, 0) para que sea continua en R2 ? Justifica la respuesta
derivada (diferencial) de f en (0, 0) si existe.
5. ¿Es diferenciable para α = 0? Justifica la respuesta.
x2 cos(y) + y 2 cos(x)
Problema 2. (4 ptos.)Sea g : R2 7→ R, g(x, y) = .
2
∂g ∂g
y ∂y
.
3. ¿Cuánto vale la derivada de g en el punto (0, π/4) según la dirección del vector (1, −1).
4. ¿En que dirección es máxima la variación de g en dicho punto (0, π/4)? ¿Y mı́nima?
5. Escribe la expresión para el plano tangente a la superficie definida por z = g(x, y) en el
punto (0, π/4)?
6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (0, π/4).
19
2º Parcial DFVV (GRUPO B). 11 de enero de 2017
Apellidos, Nombre:
1. Dada la elipse de ecuación x2 − xy + y 2 = 1, encuentra los puntos más cercanos y alejados

del punto (2, 2).
Puntos más cercanos: , ...
Puntos más alejados: , ...
2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = x2 + 4y − 4.
a) Decide si f tiene extremos relativos en R2 . En caso de que los tenga calcúlalos.
¿Tiene extremos? .
¿Dónde? , ...
b) Decide si f tiene extremos absolutos sobre la circunferencia x2 + y 2 = 9 y en caso de

tenerlos encuentra dónde se encuentran y cuáles son sus valores.
¿Tiene extremos? .
Máximos locales , , , ...
Mı́nimos locales , , ...

20
Problema 2. (3 ptos.) Sea la ecuación

2 +a
F (x, y, z) = x2 e−z+y + x2 y 2 z 2 − x3 y, a ∈ R.
1. ¿Para qué valores de a la ecuación anterior define una función z = f (x, y) en el entorno
U del punto (1, 1, 0)? Justifica la respuesta.
Valor de a .
2. ¿Cuántas veces podemos derivar la función resultante z = f (x, y) en el entorno U del

punto (1, 1, 0)? Justifica la respuesta.
No. de veces: .
∂f ∂f
y ∂y
en dicho punto.
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y
4. Calcula la derivada direccional de f en el punto (1, 1) según la dirección u = (2, −1).
Du (f (1, 1) =
5. Escribe, si es posible, el plano tangente a la superficie definida por la ecuación F (x, y, z) =

0 en el punto (1, 1, 0).
21
Exámenes Parciales 1 y 2 de problemas DFVV (GRUPO A).2017/2018
Problema 1. (2.5 ptos.)

|y|α cos(x) sin(x)
Sea f : [−1, 1] × [−1, 1] \ {(0, 0)} 7→ R, f (x, y) = , α ∈ R.
sin(x2 ) + sin(y 2 )
1. Demuestra que para α > 1 existe el lı́mite lı́m(x,y)→(0,0) f (x, y).
4. Demuestra que para α > 2 f es diferenciable en (0, 0)? Justifica la respuesta.
Problema 2. (2.5 ptos.)Sea g : R2 7→ R, g(x, y) = xey + yex + 2xy.
∂g ∂g
2. Calcula, si es posible, las derivadas parciales ∂x
y ∂y
, ası́ como todas las derivadas parciales
de orden 2.
3. ¿Cuánto vale la derivada g en el punto (0, 0) según la dirección del vector (2, 1).
4. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (0, 0).
Problema 3. (2.5 ptos.) Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = x2 + 4y − 4.
1. Decide si f tiene extremos relativos en R2 . En caso de que los tenga calcúlalos.
2. Sea la elipse de ecuación 2x2 + 4y 2 = 1. Decide si f tiene extremos absolutos sobre dicha
elipse y en caso de tenerlos encuentra dónde se encuentran y cuál es su valor.
2 +y 2 −1
Problema 4. (2.5 ptos.) Sea la ecuación F (x, y, z) = −3xez + x2 z 2 + 3y 2 z − a = 0,
con a ∈ R.
∂f ∂f
y ∂y
en dicho punto.
4. Calcula la derivada direccional de f en el punto (0, 1) según la dirección (1, 1).
0 en el punto (0, 1, 1).
22
Examen final de DFVV (GRUPO A).2017/2018
|y|α e2x sin(x)

Problema 1. (3 ptos) Sea f : R2 \ {(0, 0)} 7→ R, f (x, y) = p , α ∈ R.
x2 + 2y 2
1. Demuestra que para α > 0 existe el lı́mite lı́m(x,y)→(0,0) f (x, y) y calcúlalo.
f (0, 0) =
3. Calcula cuando sea posible las derivadas parciales de f en (0, 0).
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =
derivada (diferencial) de f en (0, 0) si existe. Df (0, 0) =
Problema 2. (4 ptos) Sea la superficie S de R3 definida por la fórmula x2 + 2y 2 + 4z 2 = 9.
√
1. Sea la función f : S 7→ R, f (x, y, z) = x − y + 3 z definida sobre S. Encuentra todos los
puntos crı́ticos de f en S y decide si son extremos locales o puntos de silla.
Puntos , , , ...
Puntos , , , ...
2. ¿Tiene f extremos absolutos sobre S. Justifica la respuesta y en caso de tenerlos encuéntra-

los. ¿Tiene extremos absolutos? .
Máximo Mı́nimo
3. Encuentra, si existen, los puntos de la superficie S más próximos y más alejados del punto
(0, 0, 3).

Problema 3. (3 ptos)
2 2 2
Sea la ecuación F (x, y, z) = x2 y 2 ez +y +x −a + 4 x y z − x4 − 3 = 0, con a ∈ R.

23
∂f ∂f
y ∂y
en dicho punto.
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y
4. Calcula la derivada direccional de f en el punto (1, 2) según la dirección (−1, 2).

0 en el punto (1, 2, 0).
6. Escribe la expresión del polinomio de Taylor de orden 1 de f (x, y) alrededor del punto
(1, 2).
Examen final DFVV GRUPO B. 18 de enero de 2017 24
Apellidos Nombre:
Instrucciones: Lee atentamente las instrucciones y marca con una cruz el examen elegido. En
caso contrario el profesor elegirá.
Recuperación 1º parcial Recuperación 2º parcial Examen final
Examen para subir nota
El examen debe estar escrito con bolı́grafo y debe ser legible y sin tachaduras. Cada uno de los
exámenes consta de las siguientes partes:
Teorı́a. Demuestra uno de los siguientes teoremas:
1º prueba (3 puntos): Schwarz o Teorema de Taylor con resto.
2º prueba (2 puntos): Condiciones necesarias y suficiente de extremos.
Final (3 puntos): Schwarz o Condición suficiente de extremos.
Problemas
Recuperación 1º parcial: Problemas 1 (3 puntos) y 2 (4 puntos)
Recuperación 2º parcial: Problemas 3 (3 puntos) y 4 (5 puntos)
Examen final: Problemas 1 (3 puntos) y 4 (4 puntos).
Examen para subir nota: Problemas 4 (4 puntos), 5 (4 puntos) y 6 (2 puntos).
2
2 |x|α e3x arcsin(2x)
Problema 1. Sea f : R \ {(0, 0)} 7→ R, f (x, y) = p , α ∈ R.
2x2 + y 2
1. Demuestra si α > 0 existe el lı́mite lı́m(x,y)→(0,0) f (x, y) y calcúlalo.
f (0, 0) =
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =
Df (0, 0) =
2 −1 2 −1
Problema 2. Sea g : R3 7→ R, g(x, y, z) = (y 2 + x2 ) ez − 2 ex (z 2 + y 2 ).
∂g ∂g ∂g
∂x ∂y
y ∂z
.
3. ¿Cuánto vale la derivada g en el punto (1, 0, 1) según la dirección del vector (3, 4, 0).
punto (1, 0, 1)?
6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 de g en el punto (0, 0, 0).
2 +y 2 +x2 −a
Problema 3. Sea F (x, y, z) = x2 y 2 ez + 4xyz − x4 − 3 = 0, a ∈ R.
∂f ∂f
y ∂y
en dicho punto.
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y
4. Calcula la derivada direccional de f en el punto (1, 2) según la dirección (−1, 2).
0 en el punto (1, 2, 0).
(1, 2).
Problema 4. Sea la superficie S de R3 definida por x2 + 2y 2 + 4z 2 = 9.
√
1. Sea la función f : S 7→ R, f (x, y, z) = x − y + 3 z definida sobre S. Encuentra todos los
Puntos , , , ...
Puntos , , , ...
2. ¿Tiene f extremos absolutos sobre S. Justifica la respuesta y en caso de tenerlos encuéntra-
los. ¿Tiene extremos absolutos? .
Máximo absoluto Mı́nimo absoluto
3. Encuentra, si existen, los puntos de la superficie S más próximos y más alejados del punto
(0, 0, 3).
|x|α cos(2x) arctan(x)

Problema 5. Sea α ∈ R y sea f (x, y) = .
sin(x2 ) + sin(y 2 )
1. Encuentra la mayor región de R2 donde se pueda definir f .
2. En los puntos donde no esté definida decide si para algún valor de α se puede redefinir de
forma que sea continua. Justifica la respuesta
4. Demuestra que para α > 2 f es diferenciable en (0, 0)? Justifica la respuesta.
Problema 6. Calcula, si es posible, el siguiente lı́mite
x2 + 3y 2 + 6xy − 5xy 2
lı́m p =
(x,y)→(0,0) x2 + 2y 2
Examen final DFVV GRUPO A. 4 de septiembre de 2018 1
.
Problema 1. (3 puntos):
Sea F (x, y, z) = x2 y 2 cos x2 + y 2 + 2z 2 − a + 4xyz − x3 − 3 = 0, a ∈ R.
U del punto (1, −2, 0)? Justifica la respuesta.
punto (1, −2, 0)? Justifica la respuesta.
∂f ∂f
y ∂y
en dicho punto (1, −2, 0).
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y
4. Calcula la derivada direccional de f en el punto (1, −2) según la dirección (2, 1).
0 en el punto (1, −2, 0).
(1, −2).
sin(|xy|)|y|α cos x2
Problema 2. (3 puntos): Sea f : R2 \ {(0, 0)} 7→ R, f (x, y) = p , α ∈ R.
x2 + 5y 2
1. Demuestra que si α > 0 existe el lı́mite lı́m(x,y)→(0,0) f (x, y) y calcúlalo.
f (0, 0) =
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =
Df (0, 0) = ..................
Problema 3. (4 puntos): Sea la región S de R3 definida por 4x2 + 2y 2 + 4z 2 ≤ 9.

Examen final DFVV GRUPO A. 4 de septiembre de 2018 2
1. Sea la función f : S 7→ R, f (x, y, z) = x + y + z definida sobre S. Encuentra todos los

Puntos , , , ...
Puntos , , , ...
2. ¿Tiene f extremos absolutos en S. Justifica la respuesta y en caso de tenerlos encuéntralos.

¿Tiene extremos absolutos? .
Máximo absoluto Mı́nimo absoluto
3. Encuentra, si existen, los puntos de la superficie de S más próximos y más alejados del
punto (3, 0, 0).

1º PARCIAL DFVV (GRUPO C). 23 de noviembre de 2018 1
Apellidos, Nombre:
Regla de la cadena Teorema del valor medio
Nota importante: Todas las respuestas deben estar escritas en la hoja del examen
2
|y|α e1−x sin(2x)
Problema 1. (3 ptos.) Sea f : R2 \ {(0, 0)} 7→ R, f (x, y) = p , α ≥ 0.
2x2 + y 2
1. Calcula, si es posible, los lı́mites
lı́m f (x, y) = lı́m f (x, y) =
(x,y)→(0,0) (x,y)→(1,1)
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =
4. ¿Para que valores de α f es diferenciable en (0, 0)? Justifica la respuesta y calcula, si

existe, la derivada total (diferencial) de f en (0, 0).
Problema 2. (4 ptos.)Sea g : R2 7→ R, g(x, y, z) = (ex sin (πy) + cos (πx) ey−1 ) z
∂g ∂g ∂g
∂x ∂y
y ∂z
.
gx (x, y, z) =
gy (x, y, z) =
gz (x, y, z) =
3. ¿Cuánto vale la derivada de g en el punto (0, 1, 1) según la dirección del vector (−3, 0, 4).
4. Encuentra la dirección de máxima la variación de g en dicho punto (0, 1, 1). Encuentra la

dirección donde dicha variación es mı́nima. Justifica la respuesta.

punto (0, 1, 1)?

1º PARCIAL DFVV (GRUPO B). 26 de noviembre de 2018 1
Apellidos, Nombre:
Teorema del valor medio de Taylor con resto de Lagrange
|2x|α cos(x2 ) log(1 + y 2 )

Problema 1. (3 ptos.) Sea f : R2 \ {(0, 0)} 7→ R, f (x, y) = , α ≥ 0.
|x| + 2y 2
1. Calcula, si es posible, los lı́mites
lı́m f (x, y) = lı́m f (x, y) =

(x,y)→(0,0) (x,y)→(1,1)
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

(e2x cos y+ey sin(2x)) z

Problema 2. (4 ptos.)Sea g : R2 7→ R, g(x, y, z) = 2
∂g ∂g ∂g
∂x ∂y
y ∂z
.
gx (x, y, z) =
gy (x, y, z) =
gz (x, y, z) =
3. ¿Cuánto vale la derivada de g en el punto (0, 0, 2) según la dirección del vector (1, 1, 2).
Justifica la respuesta

punto (0, 0, 2)?

2º Parcial DFVV (GRUPO A). 17 de enero de 2019 1
2º Parcial DFVV (GRUPO A). 17 de enero de 2019
Apellidos, Nombre:
Teorı́a. (2 puntos) Demuestra la Condición suficiente de extremo.
1. Dado la esfera hueca de ecuación x2 + y 2 + z 2 = 3, encuentra los puntos más cercanos y
alejados del punto (2, 2, 2).
2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = 5x + 5y 2 .
¿Tiene extremos? .
¿Dónde? , ...
b) Encuentra todos los puntos crı́ticos de f sobre la la circunferencia T : x2 + y 2 − 3x = 4

y decide si son extremos o puntos silla.
Máximos locales: , , , ...
Mı́nimos locales: , , ...
Puntos silla: , , ...
¿Tiene f extremos globales sobre T ? . Justifica la respuesta y en caso de tenerlos

encuéntralos razonadamente.
Máximo absoluto: , valor de la función
Mı́nimo absoluto: , valor de la función

F (x, y, z) = xy 2 sin(2z + a) + x2 y cos(2z + a) a ∈ R.

U del punto A = (1, −1, 0)? Justifica la respuesta.
Valor de a .

punto A? Justifica la respuesta.
No. de veces: .
∂f ∂f
y ∂y
en dicho punto A.
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y
4. Calcula la derivada direccional de z = f (x, y) en el punto a = (1, −1) según la dirección

u = (−4, 3).
Du (f (a))

0 en el punto A.
2º Parcial DFVV (GRUPO B). 18 de enero de 2019
Apellidos, Nombre:
1. Dado el elipsoide de ecuación x2 + 2y 2 + z 2 = 4, encuentra los puntos más cercanos y
alejados del punto (0, 0, 4).
2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = x2 + y.
¿Tiene extremos? .
¿Dónde? , ...
b) Encuentra todos los puntos crı́ticos de f sobre la la circunferencia T : y 2 − 3y + x2 = 4

y decide si son extremos o puntos silla.


F (x, y, z) = x2 ze2z+a + xy 2 e2z − 1 a ∈ R.

U del punto A = (1, 0, 1)? Justifica la respuesta.
Valor de a .

punto A? Justifica la respuesta.
No. de veces: .
∂f ∂f
y ∂y
en dicho punto A.
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y
4. Calcula la derivada direccional de z = f (x, y) en el punto a = (1, 0) según la dirección

u = (−1, 1).
Du (f (a))

0 en el punto A.
Examen FINAL DFVV (GRUPOS B y C). 31 de enero de 2019 1
Apellidos, Nombre:
Acotación de las aplicaciones lineales Heffter-Young
Nota importante: Todas las respuestas deben estar escritas en la hoja del examen
Problema 1. (2 ptos.) Sea f : R2 7→ R, y α, β ∈ R definida por

|y|α cos(2xy) log(1 + 2|xy|)
f (x, y) = p , (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = β.
x2 + 3y 2
1. Para que valores de α y β existen los lı́mites siguientes y en su caso calcúlalos razonada-
mente:
lı́m f (x, y) = lı́m f (x, y) =

(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,1)
2. ¿Se puede definir f en (0, 0) de forma que f sea continua en R2 ? En caso afirmativo, en
que condiciones. Justifica la respuesta.
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =
4. ¿Para que valores de α y β f es diferenciable en (0, 0)? Justifica la respuesta y calcula, si

Problema 2. (2.5 ptos.) Sea la ecuación
F (x, y, z) = 4x2 exp(z + y) − a a ∈ R.

U del punto A = (1, −1, 1)? Justifica la respuesta. Valor de a .

punto A? Justifica la respuesta. No. de veces: .
∂f ∂f
y ∂y
en un entorno de dicho punto A ası́ como los
valores en A.
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y
4. Calcula la derivada direccional de z = f (x, y) en a = (1, −1) según la dirección u =

(−2, 1).
Du (f (a))

0 en el punto A.
6. Encuentra, si es posible, el polinomio de orden 2 de z = f (x, y) en el punto a = (1, −1).

1. Dado el elipsoide de ecuación 4z 2 + 2y 2 + (x − 1)2 = 9, usa el método de Lagrange para

encontrar, si los tiene, los puntos más cercanos y alejados del punto (1, 0, 3).
2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = 4(x − 1)2 − 4y.

¿Tiene extremos? .
¿Dónde? , ...
b) Encuentra todos los puntos crı́ticos de f sobre la la circunferencia T : y 2 − 3y + (x −

1)2 = 4 y decide si son extremos o puntos silla.


Recuperación 1º parcial DFVV (GRUPOS B y C). 31 de enero de 2019 1
Apellidos, Nombre:
Acotación de las aplicaciones lineales Heffter-Young
Importante: Todas las respuestas deben estar escritas en la hoja del examen. Duración 2h15min

|y|α cos(2xy) log(1 + 2|xy|)
f (x, y) = p , (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = β.
x2 + 3y 2
mente:
lı́m f (x, y) = lı́m f (x, y) =

(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,1)
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =


Problema 2. (4 ptos.)Sea g : R2 7→ R, g(x, y, z) = xy sin x ez/2 + e2x cos (2y)
∂g ∂g ∂g
∂x ∂y
y ∂z
.
gx (x, y, z) =
gy (x, y, z) =
gz (x, y, z) =
3. ¿Cuánto vale la derivada de g en el punto A = (0, π, 0) según la dirección del vector

(1, 2, 2).
4. ¿En que dirección es máxima la variación de g en dicho punto A? ¿Y mı́nima? Justifica

la respuesta

punto A anterior?
6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto A.

Apellidos, Nombre:
Teorı́a. (2 ptos) Demuestra la Condición necesaria y la suficiente de extremo. Importante:
Todas las respuestas deben estar escritas en la hoja del examen. Duración 2h15min
F (x, y, z) = 4x2 exp(z + y) − a a ∈ R.


∂f ∂f
y ∂y
valores en A.
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y
4. Calcula la derivada direccional de z = f (x, y) en a = (1, −1) según la dirección u =

(−2, 1).
Du (f (a))

0 en el punto A.
1. Dado el elipsoide de ecuación 4z 2 + 2y 2 + (x − 1)2 = 9, usa el método de Lagrange para

encontrar, si los tiene, los puntos más cercanos y alejados del punto (1, 0, 3).
2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = 4(x − 1)2 − 4y.

¿Tiene extremos? .
¿Dónde? , ...
b) Encuentra todos los puntos crı́ticos de f sobre la la circunferencia T : y 2 − 3y + (x −

1)2 = 4 y decide si son extremos o puntos silla.


1a PRUEBA DFVV (GRUPO B). 28 de noviembre de 2019 4
Apellidos, Nombre:
Todas las respuestas (debidamente justificadas) deben estar escritas en las hojas del examen. Duración 1h45min

Teorema de la equivalencia de las normas Teorema de Taylor
|y|α arctan(xy)
x2 + 2y 2
1. Decide, razonadamente, para que valores de α existen los lı́mite lı́m f (x, y) y lı́m f (x, y)
(x,y)→(−1,1) (x,y)→(0,0)
y calcúlalos en caso de que existan.
2. ¿Es posible definir f en (0, 0) de forma que sea continua en R2 ? Justifica la respuesta
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

1a PRUEBA DFVV (GRUPO B). 28 de noviembre de 2019 5
2 +2y 2 +z 2 −6
Problema 2. (4 ptos.)Sea g : R2 7→ R, g(x, y, z) = ex .
2. Calcula las derivadas parciales:

∂g
=
∂x
∂g
=
∂y
∂g
=
∂z
3. ¿Cuánto vale la derivada de g en a = (0, 1, 2) según la dirección del vector u = (1, 0, 1).
Du g(a) =
4. ¿En que dirección es máxima la variación de g en dicho punto a? ¿Y mı́nima?
5. Escribe la expresión para el plano tangente a la superficie definida por la función g(x, y, z)
en el punto a anterior?
6. Encuentra, razonadamente, el polinomio de Taylor de orden 2 de g en el punto b = (0, 0, 0).

• Opcional: Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto a.
1a PRUEBA DFVV (GRUPO C). 26 de noviembre de 2019 6
Apellidos, Nombre:

Acotación de las aplicaciones lineales Teorema de Taylor
|y|α ex+y sin(2x)

4x2 + y 2
1. Decide, razonadamente, para que valores de α existen los lı́mite lı́m f (x, y) y
(x,y)→(−1/2,1)
lı́m f (x, y) y calcúlalos en caso de que existan.
(x,y)→(0,0)
2. ¿Es posible definir f en (0, 0) de forma que sea continua en R2 ? Justifica la respuesta
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

1
Problema 2. (4 ptos.)Sea g : R3 7→ R, g(x, y, z) = √ sin 4x2 + y 2 + z 2 .

π

∂g
=
∂x
∂g
=
∂y
∂g
=
∂z
√ √ √
3. ¿Cuánto vale la derivada de g en a = ( π, − π, π) según la dirección del vector u =
(−1, 1, 0).
Du g(a) =
6. Encuentra, razonadamente, el polinomio de Taylor de orden 2 de g en (0, 0, 0).

2ª PRUEBA DFVV (GRUPO B). 9 de enero de 2020 1
Apellidos, Nombre:


F (x, y, z) = x4 y − y 2 z 2 + x2 z 5 + a a ∈ R.
U del punto A = (1, 1, −1)? Justifica la respuesta.
Valor de a .

punto A? Justifica la respuesta. Nº de veces: .
∂f ∂f
3. Calcula las derivadas parciales zx = ∂x
y zy = ∂y
en un entorno de dicho punto A y en el
propio punto A.
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y

u = (4, 3).
Du (f (a)) =
5. Escribe, si es posible, la ecuación del plano tangente a la superficie definida por la ecuación
F (x, y, z) = 0 en el punto A.
Problema 2. (5 ptos.) Usar el método de los coeficientes indeterminados de Lagrange.
1. Dado el elipsoide de ecuación x2 + y 2 + 4(z − 1)2 = 1, encuentra, si existen, los puntos

más cercanos y alejados del punto (0, 2, 1).
2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = x2 + 2y 2 .
a) Decide si f tiene puntos crı́ticos en R2 y en caso de que los tenga clasifı́calos.
Máximos: , , , ...
Mı́nimos: , , , ...
Puntos silla: , , , ...
b) Encuentra (usando el método de Lagrange) todos los puntos crı́ticos de f sobre la la

circunferencia T : x2 + y 2 + 3x − 4 = 0 y decide si son extremos o puntos silla.

Máximo absoluto en: , valor de la función
Mı́nimo absoluto en: , valor de la función

2ª PRUEBA DFVV (GRUPO C). 13 de enero de 2020 1
Apellidos, Nombre:


F (x, y, z) = 3xy 2 + 2zy 3 − 2x2 z 4 + a a ∈ R.
U del punto A = (−1, 2, 1)? Justifica la respuesta.
Valor de a .

∂f ∂f
y zy = ∂y
propio punto A.
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y
4. Calcula la derivada direccional de z = f (x, y) en el punto a = (−1, 2) según la dirección

u = (4, 3).
Du (f (a)) =
1. Dado el elipsoide de ecuación 4(x − 1)2 + y 2 + z 2 = 1, encuentra, si existen, los puntos


2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = 2x2 + y 2 .

Máximos: , , , ...
Mı́nimos: , , , ...

circunferencia T : x2 + y 2 − 3y − 4 = 0 y decide si son extremos o puntos silla.


Examen final DFVV (GRUPOS B y C). 21 de enero de 2020 1
Apellidos, Nombre:

Regla de la cadena Schwarz

2
|x|α e−x arctan(2xy)
f (x, y) = p , (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = β.
4x2 + y 2
mente:
lı́m f (x, y) = lı́m f (x, y) =
(x,y)→(0,0) (x,y)→(−1,0)
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

F (x, y, z) = exp(x3 + y 2 + az) + xyz, a ∈ R.


∂f ∂f
y ∂y
valores en A.
∂f (x, y) ∂f (A)
= =
∂x ∂x
∂f (x, y) ∂f (A)
= =
∂y ∂y
4. Calcula la derivada direccional de z = f (x, y) en a = (1, −1) en la dirección u = (−2, 1).
Du (f (a)) =

0 en el punto A.
7. (opcional) Calcula, si es posible, el valor de zxy en el punto a = (1, −1).


1. Sea el elipsoide de ecuación 4x2 + y 2 + (z − 2)2 = 1, encuentra usando el método de
los coeficientes indeterminados de Lagrange los puntos más cercanos y alejados del punto
(−1, 0, 2).

2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = x2 − 2y 2 .
Máximos: , , , ...
Mı́nimos: , , , ...

circunferencia T : x2 + y 2 − 3x − 4 = 0 y decide si son extremos o puntos silla.


Apellidos, Nombre:

Regla de la cadena Schwarz

2
|x|α e−x arctan(2xy)
f (x, y) = p , (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = β.
4x2 + y 2
mente:
lı́m f (x, y) = lı́m f (x, y) =
(x,y)→(0,0) (x,y)→(−1,0)
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

Problema 2. (4 ptos.) Sea g : R3 7→ R, g(x, y, z) = exp(x2 − 2y 2 + z 2 ) − 2xy.

∂g
=
∂x
∂g
=
∂y
∂g
=
∂z
3. ¿Cuánto vale la derivada de g en a = (1, 1, −1) según la dirección del vector u = (1, −1, 1).
Du g(a) =
6. Encuentra, razonadamente, el polinomio de Taylor de orden 2 de g en (0, 0, 0).

Apellidos, Nombre:
Teorı́a (2 ptos.) Demuestra la Condición suficiente de extremo.

F (x, y, z) = exp(x3 + y 2 + az) + xyz, a ∈ R.


∂f ∂f
y ∂y
valores en A.
∂f (x, y) ∂f (A)
= =
∂x ∂x
∂f (x, y) ∂f (A)
= =
∂y ∂y
4. Calcula la derivada direccional de z = f (x, y) en a = (1, −1) en la dirección u = (−2, 1).
Du (f (a)) =

0 en el punto A.
7. (opcional) Calcula, si es posible, el valor de zxy en el punto a = (1, −1).


1. Sea el elipsoide de ecuación 4x2 + y 2 + (z − 2)2 = 1, encuentra usando el método de
los coeficientes indeterminados de Lagrange los puntos más cercanos y alejados del punto
(−1, 0, 2).

2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = x2 − 2y 2 .
Máximos: , , , ...
Mı́nimos: , , , ...

circunferencia T : x2 + y 2 − 3x − 4 = 0 y decide si son extremos o puntos silla.


Examen final DFVV (GRUPOS B y C). 1 de septiembre de 2020 1
Apellidos, Nombre:

Condición suficiente de diferenciabilidad Heffter-Young

|y|α log(x2 + 2) sin(xy)
f (x, y) = p , (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = β.
x2 + 3y 2
1. Para que valores de α y β existen los siguientes lı́mites calculándolos razonadamente en
caso que existan:
lı́m f (x, y) = lı́m f (x, y) =
(x,y)→(0,0) (x,y)→(−1,0)
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

F (x, y, z) = z(x2 + y 2 ) + ayz 2 , a ∈ R.

U del punto A = (2, 1, −1)? Justifica la respuesta. Valor de a .

∂f ∂f
y ∂y
valores en A.
∂f (x, y) ∂f (A)
= =
∂x ∂x
∂f (x, y) ∂f (A)
= =
∂y ∂y
4. Calcula la derivada direccional de z = f (x, y) en a = (2, 1) en la dirección u = (−1, 2).
Du (f (a)) =

0 en el punto A.
6. Encuentra, si es posible, el polinomio de Taylor de orden 1 de z = f (x, y) en el punto

a = (2, 1).
7. (opcional) Calcula, si es posible, el valor de zyy en el punto a = (2, 1).


1. Sea el elipsoide de ecuación (x − 1)2 + 4y 2 + (z + 1)2 = 1, encuentra usando el método
de los coeficientes indeterminados de Lagrange los puntos más cercanos y alejados
del punto (1, 2, −1).

2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = y 2 − 2y + 3x2 + 1.

b) Encuentra usando el método de Lagrange todos los puntos crı́ticos de f sobre la

elipse T : 6x2 + y 2 − 9 = 0 y decide si son extremos o puntos silla.


1º PARCIAL DFVV (GRUPO C). 15 de diciembre de 2020. Duración 1h 45min 1
Apellidos, Nombre:

Regla de la cadena Acotación de las aplicaciones lineales
Todas las respuestas (debidamente justificadas) deben estar escritas en las hojas del examen.
|y|α arcsin(1 − 2x2 ) sin(2x)

Problema 1. (3 ptos.) Sea f : R2 \ {(0, 0)} 7→ R, f (x, y) = p .
x2 + 3y 2
1. Para que valores de α existen los siguientes lı́mites y calcúlalos cuando sea posible
•α ∈ lı́m f (x, y) = •α∈ lı́m f (x, y) =

(x,y)→(0,0) (x,y)→(−1,1)
2. ¿Para algún valor de α se puede definir f (0, 0) de forma que f sea continua en R2 ? Justifica
la respuesta.
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

existe, la derivada total (diferencial) de f en (0, 0). • α ∈ , Df (0, 0) =
Problema 2. (4 ptos.) Sea g : R2 7→ R, g(x, y) = (x − 1)(y − 1) exp(x2 + y 2 )
∂g ∂g
y ∂y
.
gx (x, y) =
gy (x, y) =
3. ¿Cuánto vale la derivada de g en el punto A(0, 0) según la dirección del vector (1, −1).
4. Encuentra la dirección de máxima la variación de g en dicho punto A. Encuentra la di-

rección donde dicha variación es mı́nima. Justifica la respuesta.
5. Escribe la expresión para el plano tangente a la superficie definida por w = g(x, y) en el

punto A?

1º PARCIAL DFVV (GRUPO B). 16 de diciembre de 2020. Duración 1h45min 1
Apellidos, Nombre:
Teorema del valor medio Condición suficiente de diferenciabilidad
|x|α (1 + x2 ) arctan(4y)
Problema 1. (3 ptos.) Sea f : R2 \ {(0, 0)} 7→ R, f (x, y) = .
3x2 + y 2
•α ∈ lı́m f (x, y) = •α∈ lı́m f (x, y) =
(x,y)→(0,0) (x,y)→(−1,1)
la respuesta.
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

Problema 2. (4 ptos.) Sea g : R2 7→ R, g(x, y) = xy exp((x − 1)2 + (y − 1)2 )
∂g ∂g
y ∂y
.
gx (x, y) =
gy (x, y) =
3. ¿Cuánto vale la derivada de g en el punto A(1, 1) según la dirección del vector (3, 4).


punto A?

2º PARCIAL DFVV (GRUPO C). 21 de enero de 2021. Duración 1h 45min 1
Apellidos, Nombre: Nº
Teorı́a. (2 Puntos) Demuestra la Condición suficiente de extremo:

F (x, y, z) = y z 3 + 2 x y z + x2 y 2 + a, a ∈ R.
Valor de a .

∂f ∂f
y zy = ∂y
propio punto A.
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y

u = (−1, 3).
Du (f (a)) =
6. (Opcional) Encuentra el valor de zxy en el punto A.

1. Dada la esfera de ecuación x2 + (y + 1)2 + z 2 = 4, encuentra, si existen, los puntos más

cercanos y alejados del punto (1, −1, 0).
2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = x2 + 4y 2 .
b) Encuentra (usando el método de Lagrange) todos los puntos crı́ticos de f sobre

la la circunferencia T : x2 + y 2 − 3x − 4 = 0 y decide si son extremos o puntos silla.
noindent ¿Tiene f extremos globales sobre T ? . Justifica la respuesta y en caso

de tenerlos encuéntralos razonadamente.
2º PARCIAL DFVV (GRUPO B). 22 de enero de 2021. Duración 1h 45min 1
F (x, y, z) = x z 3 + x y 2 z + x3 y 3 + a, a ∈ R.
U del punto A = (−1, 1, 0)? Justifica la respuesta.
Valor de a .

∂f ∂f
y zy = ∂y
propio punto A.
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y
4. Calcula la derivada direccional de z = f (x, y) en el punto a = (−1, 1) según la dirección

u = (1, −2).
Du (f (a)) =
6. (Opcional) Encuentra el valor de zyy en el punto A.

1. Dada la esfera de ecuación x2 + y 2 + (z + 1)2 = 16, encuentra, si existen, los puntos más
cercanos y alejados del punto (0, 1, −1).
2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = 2x2 − 4y 2 .


la la circunferencia T : x2 + y 2 + 3x − 4 = 0 y decide si son extremos o puntos silla.
noindent ¿Tiene f extremos globales sobre T ? . Justifica la respuesta y en caso

de tenerlos encuéntralos razonadamente.
FINAL DFVV (GRUPOS B y C). 15 de febrero de 2021. 1
Apellidos, Nombre:
Teorema de Heffe-Young Condición suficiente de extremos
|y|α cos(x2 + y 2 ) sin(2x)

Problema 1. (2 ptos.) Sea f : R2 \ {y = 0} 7→ R, f (x, y) = p .
3x2 + 2y 2
1. Para que valores de α ∈ R existen los siguientes lı́mites y calcúlalos cuando sea posible
•α ∈ lı́m f (x, y) = • α∈ lı́m f (x, y) =
(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,1)
2. ¿Para algún valor de α se puede definir f (0, 0) de forma que f sea continua en (0, 0)?
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

F (x, y, z) = x3 exp(yz) + y 2 exp(2z) + z 3 + a, a ∈ R.

1. ¿Para qué valores de “a” la ecuación anterior define una función z = f (x, y) en el entorno
Valor de a .

∂f ∂f
y zy = ∂y
propio punto A.
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y

u = (−1, 1).
Du (f (a)) =
6. Encuentra el valor de zxy en el punto A.

Problema 3. (3.5 ptos.) Usar el método de los coeficientes indeterminados de Lagrange.
1. Dada la esfera de ecuación (x − 1)2 + y 2 + (z + 1)2 = 16, encuentra, si existen, los puntos
más cercanos y alejados del punto (1, 2, −1).
2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = (x − 1)2 − 4y 2 .


c) ¿Tiene f extremos globales sobre T ? . Justifica la respuesta y en caso de tenerlos

Recuperación 1º PARCIAL DFVV (GRUPOS B y C). 15/02/2021. Duración 1h 45min 1
Apellidos, Nombre:

Regla de la cadena Heffe-Young
|y|α cos(x2 + y 2 ) sin(2x)

Problema 1. (2 ptos.) Sea f : R2 \ {y = 0} 7→ R, f (x, y) = p .
3x2 + 2y 2
•α ∈ lı́m f (x, y) = • α∈ lı́m f (x, y) =
(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,1)
2. ¿Para algún valor de α se puede definir f (0, 0) de forma que f sea continua en (0, 0)?
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

Problema 2. (4 ptos.) Sea g : R2 7→ R, g(x, y) = 41 (x + y)2 exp(x + y − 2)
∂g ∂g
y ∂y
.
gx (x, y) =
gy (x, y) =
3. ¿Cuánto vale la derivada de g en el punto A(2, 0) según la dirección del vector (−4, 3).


punto A?

Apellidos, Nombre:
Teorı́a. (2 Puntos) Demuestra la Condición suficiente de extremos.
F (x, y, z) = x3 exp(yz) + y 2 exp(2z) + z 3 + a a ∈ R.

Valor de a .

∂f ∂f
y zy = ∂y
propio punto A.
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y

u = (−1, 1).
Du (f (a)) =
6. (Opcional) Encuentra el valor de zxy en el punto A.

1. Dada la esfera de ecuación (x − 1)2 + y 2 + (z + 1)2 = 16, encuentra, si existen, los puntos
más cercanos y alejados del punto (1, 2, −1).
2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = (x − 1)2 − 4y 2 .


c) ¿Tiene f extremos globales sobre T ? . Justifica la respuesta y en caso de tenerlos

1º PARCIAL DFVV (GRUPO A). 25 de noviembre de 2021.. Duración 1h 45min 1
Apellidos, Nombre:

Regla de la cadena Teorema de completitud en dimensión finita
ITodas las respuestas (debidamente justificadas) deben estar escritas en las hojas del examen.
|x|α sin(1 − 2x2 ) arctan(3y)

Problema 1. (3 ptos.) Sea f : R2 \ {(0, 0)} 7→ R, f (x, y) = p ,
x2 + 3y 2
α ≥ 0.
1. Para qué valores de α existen los siguientes lı́mites y calcúlalos cuando sea posible
•α ∈ lı́m f (x, y) = •α∈ lı́m f (x, y) =

(x,y)→(0,0) (x,y)→(1,−1)
la respuesta.
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

2 −1
Problema 2. (4 ptos.) Sea g : R2 7→ R, g(x, y) = (x − 1)2 e2y − y ex .
∂g ∂g
y ∂y
.
gx (x, y) =
gy (x, y) =
3. ¿Cuánto vale la derivada de g en el punto A(−1, 0) según la dirección del vector (2, 1).
4. Encuentra la dirección de máxima la variación de la función g en dicho punto A. Encuentra

la dirección donde dicha variación es mı́nima. Justifica la respuesta.
5. Escribe la expresión del plano tangente a la superficie definida por w = g(x, y) en A.
7. Opcional (no puntúa). Estima el error de la fórmula de Taylor en un entorno de A de

radio 1.
1º PARCIAL DFVV (GRUPO C). 25 de noviembre de 2021. Duración 1h45min 1
Apellidos, Nombre:
Teorema del valor medio Acotación de las aplicaciones lineales
2
|y|α ex −1 sin(4y)
x2 + 4y 2
•α ∈ lı́m f (x, y) = •α∈ lı́m f (x, y) =
(x,y)→(0,0) (x,y)→(1,−1)
la respuesta.
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

Problema 2. (4 ptos.) Sea g : R2 7→ R, g(x, y) = πx2 ey + (y + 1) sin(πx).
∂g ∂g
y ∂y
.
gx (x, y) =
gy (x, y) =
3. ¿Cuánto vale la derivada de g en el punto A(1, 0) según la dirección del vector (1, −2).

5. Escribe la expresión del plano tangente a la superficie definida por w = g(x, y) en A.
7. Opcional (no puntúa). Estima el error de la fórmula de Taylor en un entorno de A de

radio 1.
2º PARCIAL DFVV (GRUPO A). 14 de enero de 2022. Duración 1h 45min 1


F (x, y, z) = 6 x y ez−1 + α z 2 + y 2 + x2 ,

α ∈ R.
U del punto A = (−1, 1, 1)? Justifica la respuesta. Valor de α .

∂f ∂f
y ∂y
en un entorno de A y en el propio punto A.
∂f ∂f
= (A) =
∂x ∂x
∂f ∂f
= (A) =
∂y ∂x
4. Calcula la derivada direccional de f (x, y) en a = (−1, 1) según la dirección u = (2, −3).
Du (f (a)) =
6. (Opcional) Encuentra el valor de zxx en el punto A.

1. Dado el elipsoide de ecuación (x−1)2 +y 2 +2(z −3)2 = 4, encuentra, si existen, los puntos
2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = 3x2 − 2y 2 − 3y + 1.

2a. Decide si f tiene puntos crı́ticos en R2 y en caso de que los tenga clasifı́calos.
2b. Encuentra, usando el método de Lagrange, todos los puntos crı́ticos de f sobre la
elipse T : 6x2 + y 2 − 9 = 0 y decide si son extremos o puntos silla.
¿Tiene f extremos absolutos sobre T ? . Justifica la respuesta y en su caso encuéntra-

los razonadamente.
2c. (Opcional) Encontrar los puntos crı́ticos de f en D : 6x2 + y 2 − 9 ≤ 0 y clasifı́calos.



F (x, y, z) = 3 (x − 1) (y − 1) ez−1 + y 2 + x2 z + α .

U del punto A = (1, 1, 1)? Justifica la respuesta. Valor de α .

∂f ∂f
y ∂y
∂f ∂f
= (A) =
∂x ∂x
∂f ∂f
= (A) =
∂y ∂x
4. Calcula la derivada direccional de f (x, y) en a = (1, 1) según la dirección u = (2, −3).
Du (f (a)) =
6. (Opcional) Encuentra el valor de zyy en el punto A.

1. Dado el elipsoide de ecuación (x−1)2 +2y 2 +(z −3)2 = 8, encuentra, si existen, los puntos
2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = 2x2 − 3y 2 − 8x + 4.

elipse T : 2x2 + 3y 2 − 8 = 0 y decide si son extremos o puntos silla.

los razonadamente.
2c. (Opcional) Encontrar los puntos crı́ticos de f en D : 2x2 + 3y 2 − 8 ≤ 0 y clasifı́calos.

FINAL DFVV (GRUPOS A y C). 27 de enero de 2022. Duración 3 horas 1
Apellidos, Nombre:
Teorema de Heffe-Young Teorema del valor medio
|x|α log(2 + y 2 ) arctan(2x)

Problema 1. (2 ptos.) Sea f (x, y) = p si x 6= 0 y β en otro caso.
x2 + 3y 2
•α ∈ lı́m f (x, y) = •α∈ lı́m f (x, y) =
(x,y)→(0,0) (x,y)→(1/2,0)
2. ¿Para algún valores de α y β se puede definir f (0, 0) de forma que f sea continua en
(0, 0)? Justifica la respuesta. (Opcional: ¿y en R?)
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

F (x, y, z) = α ez−2 + x2 − y 2 z 2 + y 2 z = 0.

1. ¿Para qué valores de α la ecuación anterior define una función z = f (x, y) en el entorno

∂f ∂f
y ∂y
∂f ∂f
= (A) =
∂x ∂x
∂f ∂f
= (A) =
∂y ∂x

Du (f (a)) =

2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = x2 + 8x − 3y 2 + 1.
elipse T : x2 + 3y 2 − 8 = 0 y decide si son extremos o puntos silla.

los razonadamente.
2c. (Opcional) Encontrar los puntos crı́ticos de f en D : x2 + 3y 2 ≤ 8 y clasifı́calos.

Recuperación 1º PARCIAL DFVV (GRUPOS A y C). 27/01/2022. Duración 1h45min 1
Apellidos, Nombre:

Acotación de las aplicaciones lineales Heffe-Young
|x|α log(2 + y 2 ) arctan(2x)

Problema 1. (2 ptos.) Sea f (x, y) = p si x 6= 0 y β en otro caso.
x2 + 3y 2
•α ∈ lı́m f (x, y) = •α∈ lı́m f (x, y) =
(x,y)→(0,0) (x,y)→(1/2,0)
2. ¿Para algún valores de α y β se puede definir f (0, 0) de forma que f sea continua en
(0, 0)? Justifica la respuesta. (Opcional: ¿y en R?)
fx (0, 0) =
fy (0, 0) =

Problema 2. (4 ptos.) Sea g : R2 7→ R, g(x, y) = x2 ey−1 + ex+1 y 2 + 4 x y.
∂g ∂g
y ∂y
.
gx (x, y) =
gy (x, y) =
3. ¿Cuánto vale la derivada de g en el punto A(−1, 1) según la dirección del vector (3, 4).

5. Escribe la expresión para el plano tangente a la superficie definida por z = g(x, y) en A?

Apellidos, Nombre:
Teorı́a. (2 Puntos) Demuestra la Condición suficiente de extremos.
F (x, y, z) = α ez−2 + x2 − y 2 z 2 + y 2 z = 0.

1. ¿Para qué valores de α la ecuación anterior define una función z = f (x, y) en el entorno

∂f ∂f
y ∂y
∂f ∂f
= (A) =
∂x ∂x
∂f ∂f
= (A) =
∂y ∂x

Du (f (a)) =

2. Sea f : R2 7→ R, f (x, y) = x2 − 3y 2 + 8x + 1.
elipse T : x2 + 3y 2 − 8 = 0 y decide si son extremos o puntos silla.

los razonadamente.
2c. (Opcional) Encontrar los puntos crı́ticos de f en D : x2 + 3y 2 − 8 ≤ 0 y clasifı́calos.

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1º PARCIAL DFVV (GRUPO B). 3 de diciembre de 2013

Teorı́a. (3 Puntos) Elige y demuestra uno de los siguientes teoremas:

Problema 1. (3 ptos.) Sea la función f : R2 \ { kπ }

3. Calcula sus derivadas parciales de f .

Teorı́a. (3 Puntos) Enuncia y demuestra la condición necesaria y suficiente de extremo libre

donde A es la región definida por

1. Calcula todos los puntos crı́ticos de dicha función.

2. ¿Alcanza f su máximo y mı́nimo globales en A? Jus-

EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 7 de febrero de

Problema 1 (3.5 puntos) Se considera la función f : R2 → R definida por

(a). Demuestra que para α > 0, la función f es continua en (0, 0).

Problema 2 (1 punto) Estudia el siguiente lı́mite

Problema 3 (3.5 puntos)  

(a) Encuentra todos los extremos relativos de f en la región

nota: problemas 1c,d, 3 y 6.

EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 7 de febrero de 2014 RECUPERACIÓN 1º o 2º

Teorı́a exámenes de recuperación. (3 puntos). Demuestra uno de los siguientes teoremas:

Problema 4 (3.5 puntos)

Problema 5 (3.5 puntos) Sea la ecuación z 3 − xyz + y 2 = 16.

nota: problemas 1c,d, 3 y 6.

Problema 1 (3.5 puntos) Se considera la función f : R2 → R definida por

Problema 2 (3.5 puntos) Sea la función g : R3 7→ R,

1. Decide si g es diferenciable en R3 . Justifica la respuesta.

Teorı́a. (3 Puntos) Enuncia y demuestra la condición necesaria y suficiente de extremo libre

donde A es la región definida por

EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 22 de enero de 2015

Problema 1: 3.5 puntos Sea la función f : R2 −→ R definida por

Problema 3: 3.5 puntos

Recuperación parcial 1 DFVV (GRUPO B). 22 de enero de 2015

(a). Decide si para α > −1, la función f es continua en (0, 0).

Problema 2: 3.5 puntos Sea la función f : R2 −→ R definida por

Recuperación 2º parcial DFVV (GRUPO B). 22 de enero de 2015

Problema 1: 4 puntos Sea el conjunto D := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 4 ≤ 1 } y sea f : D −→ R

Teorı́a. (2 puntos) Elige y demuestra uno de los siguientes teoremas:

(a) Decide para que valores de α y β, la función f es continua en todo R2 .

Problema 2: Sea la función f (x, y) : R2 7→ R definida por

1. Decide si g es diferenciable en R2 . Justifica la respuesta.

Problema 1. 4 puntos: Sea la función f : A ⊂ R3 7→ R,

donde A es la región definida por (paraboloide elı́ptico)

1. Calcula todos los puntos crı́ticos de dicha función.

EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 20 de enero de 2016

3. Decide para que valores de α f es diferenciable (0, 0). ¿Y en R2 \ {(0, 0)}?

1. Calcula todos los puntos crı́ticos de dicha función.

Recuperación parcial 1 DFVV (GRUPO B). 20 de enero de 2016

Problema 1. 3.5 puntos: Sea la función f : R2 −→ R definida por

3. Decide para que valores de α f es diferenciable (0, 0). ¿Y en R2 \ {(0, 0)}?

Problema 2. 3.5 puntos: Sea la función

1. Decide si g es diferenciable en R2 . Justifica la respuesta.

Recuperación 2º parcial DFVV (GRUPO B). 20 de enero de 2016

Problema 1. 4 puntos: Sea la función f : A ⊂ R3 7→ R,

1. Calcula todos los posibles puntos crı́ticos de dicha función.

Problema 2. 4 puntos: Sea la ecuación x2 z − z 2 x + x cos(xz 2 ) − 1 = 0

SUBIR NOTA DFVV (GRUPO B). 20 de enero de 2016

Problema 2. 4 puntos: Sea la función f : A ⊂ R3 7→ R,

donde A es la región definida por

1. Calcula todos los posibles extremos locales de dicha función.

EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 1 de septiembre de 2016

Problema 3 (3.5 puntos)