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    PR - 4 (Polinomios de Taylor (Derivadas de Orden Superior) )

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    UNGS

    Cálculo en Varias Variables

    PRÁCTICA 4
    Polinomios de Taylor (Derivadas de orden superior)

    Funciones escalares univariables.

    1. Escribir el polinomio de Taylor de orden n en el punto x = x0 de la función f para los siguientes casos:

    a) f (x) = x + x3 , x0 = 1 y n = 2, 3.
    1
    b) f (x) = , x0 = 1 y n = 1, 2.
    1 + x2
    c) f (x) = ln(x), x0 = 1 y n = 2, 3.
    d ) f (x) = cos(x) + sen(x), x0 = 0 y n = 1, 3, 5.
    e) f (x) = ex sen(x), x0 = 0 y n = 1, 2, 4.

    (En Geogebra, grafique f y el polinomio hallado en cada caso y compare las gráficas en puntos cercanos
    a x0 .)

    2. Asumamos que p(x) = 2x2 − 1 es el polinomio de Taylor de segundo orden de f : R → R en x0 = 1.


    Hallar un valor aproximado de 3f (0,99) + f 2 (1,01).

    3. Sea f : R → R una función que admite derivadas hasta tercer orden continuas en R y cuyo polinomio
    de Taylor de tercer orden en x = 2 es p(x) = 2x3 − 2x + 1. Mostrar que la función
    (
    2f ′ (x) − 3x si x ≥ 2
    g(x) = ′′ (3)
    f (x) − f (x) + 26 si x < 2

    es continua en todo R.

    Funciones escalares multivariables.


    ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f
    4. Hallar las derivadas parciales de segundo orden , , y para cada una de las siguientes
    ∂x2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y 2
    funciones:

    a) f (x, y) = cos(xy 2 ).
    2
    b) f (x, y) = e−xy + x4 y 3 .
    1
    c) f (x, y) = 2 + xe−y .
    x +2
    5. Dar el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto x0 de la función f en los siguientes casos:

    a) f (x, y) = x2 − xy + y 3 , en x0 ∈ {(0, 0); (−1, 2)}.


    b) f (x, y) = x ln(y), x0 = (0, 1).
    c) f (x, y, z) = xy + yz + x2 z + 2y 3 − 3, en x0 ∈ {(0, 0, 0); (0, −1, 2)}.
    d ) f (x, y, z) = xey+z + zex+z , x0 = (0, 0, 0).

    (Respecto a los primeros dos ı́tems: grafique, en Geogebra, f y el polinomio hallado en cada caso y
    compare las gráficas en puntos cercanos a x0 .)

    6. Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 en el origen para la función f que cumple:

    a) xf (x, y) + yfx (x, y) = f (x, y) + 2.

    1
    b) x fy (x, y) + y fx (x, y) + 1 = f (x, y) con fx (0, 0) = 3.

    (Nota: asuma, en cada caso, que f es de tipo C 3 .)

    7. Supongamos que f es un campo escalar de clase C 2 sobre todo el plano, y asumamos que

    p(x, y) = 1 − 2x + 3y − x2 + 2xy + 3y 2

    es el polinomio de Taylor de f en el punto (1, −1).


    ∂f
    a) Dar (1, −1) para v = (3/5, 4/5).
    ∂v
    b) Decidir, justificando adecuadamente, si alguna de las siguientes afirmaciones es verdadera o no:
    i. 2fyx (1, −1) + f (1, −1) = 0.
    ii. fxx (1, −1) + fyy (1, −1) = 0.

    8. Consideremos la función f (x, y) = (x + y)2 + y 2 e1−x − g(x, y), donde g : R2 → R es un campo escalar
    de clase C 2 cuyo polinomio de Taylor (de segundo orden) en (1, −1) es p(x, y) = x − x2 − xy + 2y 2 .

    a) Dar el polinomio de Taylor de f , de segundo orden, en (1, −1).


    b) Calcular ∇f (1, −1) · ∇g(1, −1).
    c) Determinar el valor de a ∈ R que cumple fxy (1, −1) − gyx (1, −1) + a[g(1, −1) + gx (1, −1)] = 0.

    9. Asumamos que f : R2 → R es una función de tipo C 2 tal que

    ∇f (3, −2) ⊥ (1, −1) y fxx (3, −2) = fyy (3, −2) + 3.

    Calcular p(4, −1) siendo p el polinomio de Taylor de primer orden en (3, −2) de la función

    g(x, y) = fx (x, y) − fy (x, y).

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