El documento presenta ejercicios sobre cálculo de derivadas direccionales, máxima razón de cambio, teorema de la función implícita y planos tangentes a superficies.
0 calificaciones0% encontró este documento útil (0 votos)
20 vistas3 páginas
El documento presenta ejercicios sobre cálculo de derivadas direccionales, máxima razón de cambio, teorema de la función implícita y planos tangentes a superficies.
El documento presenta ejercicios sobre cálculo de derivadas direccionales, máxima razón de cambio, teorema de la función implícita y planos tangentes a superficies.
El documento presenta ejercicios sobre cálculo de derivadas direccionales, máxima razón de cambio, teorema de la función implícita y planos tangentes a superficies.
Descargue como PDF, TXT o lea en línea desde Scribd
Descargar como pdf o txt
Está en la página 1/ 3
Análisis I - Matemática I - Análisis II (C) - Análisis Matemático I (Q)
Práctica 5: Diferenciación - Aplicaciones - Parte 2
Derivadas direccionales
1. Calcular la derivada direccional de f en el punto dado en la dirección del vector v.
x (a) f (x, y) = , (1, 2), v = (3, 5), x2+ y2 (b) f (x, y, z) = xey + yez + zex , (0, 0, 0), v = (5, 1, −2). 2. Calcular la deriva direccional de f en el punto dado en la dirección que indica el ángulo θ. (a) f (x, y) = x3 y 4 + x4 y 3 , (1, 1), θ = π/6, (b) f (x, y) = ye−x , (0, 4), θ = 2π/3. √ 3. Sea f : R2 → R de nida por f (x, y) = 4y x. Determinar la máxima razón de cambio de f en el punto (4, 1) y la dirección en la cual se presenta. 4. Encontrar las direcciones en las cuales la derivada direccional de f (x, y) = ye−xy en el punto (0, 2) vale 1. 5. Sea f (x, y) = x1/3 y 1/3 . (a) Usando la de nición de derivada direccional, mostrar que ∂f ∂f (0, 0) = (0, 0) = 0 ∂x ∂y y que ±e1 , ±e2 son las únicas direcciones para las cuales existe la derivada direccional en el origen. (b) Mostrar que f es continua en (0, 0). ¾Es f diferenciable en (0, 0)? 6. Consideremos la siguiente función x3 y si (x, y) 6= (0, 0), x6 + y 2 f (x, y) = si (x, y) = (0, 0). 0
Probar que f admite derivadas direccionales en el origen para todo vector unitario v ∈ R2 . Sin embargo, f tampoco es continua en el origen.
1 Análisis I - Matemática I - Análisis II (C) Práctica 5
|x|y p 2 si (x, y) 6= (0, 0) x + y 2 7. Sea f (x, y) = si (x, y) = (0, 0) 0
Probar que en el origen f es continua, admite todas las derivadas direccionales, pero f no es diferenciable. 8. Supongamos que escalas una montaña cuya forma está dada por la ecuación z = 1000 − 0, 005x2 − 0, 01y 2 donde x, y y z se dan en metros y estás en el punto (60, 40, 966). El eje de las x positivas va hacia el este y el eje de las y positivas va hacia el norte. (a) Si caminas hacia el sur, ¾empezarás a ascender o descender? ¾Cuál es la razón de cambio en esa dirección? (b) ¾En qué dirección está la máxima pendiente? ¾Cuál es la razón de cambio en esa dirección?
Teorema de la función implícita
9. Sea f : R2 → R de nida por f (x, y) = x2 − y 3 . Mostrar que sobre la curva de nivel
f (x, y) = 0 podemos despejar y en función de x (i.e. y = φ(x)) ¾Es φ de clase C 1 en un entorno del cero? ¾Puede aplicarse el teorema de la función implícita en el punto (0, 0)? 10. Para cada una de los conjuntos de nivel S y los puntos a dados a continuación (a) S = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = 1} con f (x, y) = 14 x2 − y 2 y a = (2, 0), (b) S = {(x, y) ∈ R2 : g(x, y) = 3} con g(x, y) = x5 + y 2 + xy y a = (1, 1), (c) S = {(x, y, z) ∈ R3 : h(x, y, z) = 0} con h(x, y, z) = x3 +2y 3 +z 3 −3xyz −2y −8 y a = (0, 0, 2), resolver los siguientes ítems: i. Mostrar que a ∈ S . ii. Calcular las derivadas parciales de la función en el punto a. iii. Determinar si en un entorno del punto a, el conjunto de nivel resulta ser el grá co de una función φ. iv. Calcular la derivada o las derivadas parciales, según corresponda, de cada una de las funciones φ que quedan de nidas en el ítem anterior. 11. Sea f : R3 → R de nida como f (x, y, z) = x3 − 2y 2 + z 2 . (a) Demostrar que f (x, y, z) = 0 de ne una función implícita x = ϕ(y, z) en un entorno del punto (1, 1, 1). ∂ϕ ∂ϕ (b) Encontrar (1, 1) y (1, 1). ∂y ∂z
2 Análisis I - Matemática I - Análisis II (C) Práctica 5
Planos y rectas tangentes a superficies de R3 dadas de manera implícita
12. Para cada una de las siguientes super cies de R3 determinar las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la super cie en el punto indicado. (a) 2(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 10, (3, 3, 5), (b) y = x2 − z 2 , (4, 7, 3), (c) xy + yz + zx = 5, (1, 2, 1). 13. Demostrar que el elipsoide 3x2 +2y 2 +z 2 = 9 y la esfera x2 +y 2 +z 2 −8x−6y−8z+24 = 0 son tangentes en el punto (1, 1, 2) (es decir, que tienen el mismo plano tangente en ese punto). 14. Demostrar que toda recta normal a la esfera x2 + y 2 + z 2 = r2 pasa por el centro de la esfera.
