E SCUELA P OLITÉCNICA N ACIONAL

C ÁLCULO V ECTORIAL • H OJA DE EJERCICIOS NO . 7

Semestre 2021-B Departamento de Formación Básica

1. Suponga que la función f : R2 → R cumple que

e xy − ey f ( x,y) + f ( x, y)e x − 1 = 0

para todo ( x, y) ∈ R2 . Determine D1 f y D2 f en el punto (0, 0).

Solución.
D1 f (0, 0) = −1.

D2 f (0, 0) = 1.

2. Suponga que la función f : R2 → R, verifica que

x2 f 2 ( x, y) + xy2 − f 3 ( x, y) + 4y f ( x, y) = 5,

para todo ( x, y) ∈ R2 . Determinar D1 f ( x, y) y D2 f ( x, y) para ( x, y) ∈ R2 .

Solución. Derivando la ecuación con respecto a x y y respectivamente se tiene

2x f 2 + 2x2 f D1 f + y2 − 3 f 2 D1 f + 4yD1 f = 0 y
2 2
2x f D2 f + 2xy − 3 f D2 f + 4 f + 4yD2 f = 0,

de aquí
2x f 2 ( x, y) + y2
D1 f ( x, y) = − y
2x2 f ( x, y) − 3 f 2 ( x, y) + 4y
2xy + 4 f ( x, y)
D2 f ( x, y) = − 2
2x f ( x, y) − 3 f 2 ( x, y) + 4y
para todo ( x, y) ∈ R2 tal que 3 f 2 ( x, y) − 2x2 f ( x, y) − 4y 6= 0.

3. Del ejercicio anterior, si se sabe que f (1, 1) = 1, determine la derivada de f en el punto (1, 1) con respecto
al vector (3, 4).

Solución.
f ′ ((1, 1); (3, 4)) = −11.

4. Las funciones f , g : R2 → R verifican

x2 g( x, y) + y( f 2 ( x, y) − g2 ( x, y)) = 1 (1)
2
x f ( x, y) − xg( x, y) + y = 0. (2)

Suponiendo que f y g tienen derivadas parciales, determinar las derivadas parciales de f y g en (1,0).

1
 Solución. Derivamos ambas ecuaciones con respecto a x

2xg + x2 D1 g + 2y( f D1 f − gD1 g) = 0 y

2
2x f + x D1 f − g − xD1 g = 0,

para ( x, y) = (1, 0), de (1) y (2) se tiene que f (1, 0) = 1 y g(1, 0) = 1, entonces se tiene el sistema

2 + D1 g(1, 0) = 0
2 + D1 f (1, 0) − 1 − D1 g(1, 0) = 0,

de aquí D1 g(1, 0) = −2 y D1 f (1, 0) = −3.

De manera similar, derivamos (1) y (2) con respecto a y

x2 D2 g + f 2 − g2 + 2y f D2 f − 2ygD2 g = 0
x2 D2 f − xD2 g + 1 = 0,

para ( x, y) = (1, 0) se tiene el sistema

D2 g(1, 0) = 0
D2 f (1, 0) − D2 g(1, 0) + 1 = 0,

de aquí D2 g(1, 0) = 0 y D2 f (1, 0) = −1.

5. Clasifique los puntos críticos de la función

C : R2 −→ R
x 7−→ 3x12 + 2x1 x2 + 4x22 − 12x1 − 26x2 + 50.

Solución. Las derivadas parciales del campo escalar C son

D1 C ( x ) = 6x1 + 2x2 − 12 y D2 C ( x ) = 8x2 + 2x1 − 26

para todo x ∈ R2 . Ahora, para encontrar los puntos críticos del campo escalar debemos resolver el
sistema (
6x1 + 2x2 = 12
8x2 + 2x1 = 26,

que es equivalente a ∇C ( x ) = 0. La solución del sistema anterior es x1 = 1 y x2 = 3. Para determinar si

el punto crítico (1, 3) es un mínimo o un máximo debemos hallar la Hessiana. Así,
!
6 2
H f (x) =
2 8

para cada x ∈ R2 . La matriz Hessiana es constante y

H f ( x )2 = 48 − 4 = 44 > 0
H f ( x )1 = 6 > 0.

Como los dos menores de la matriz Hessiana son siempre positivos, por el criterio de Sylvester, se
deduce que f alcanza su mínimo en (1, 3) y este mínimo es

f (1, 3) = 3 + 2(3) + 4(9) − 12 − 26(3) + 50 = 5.

6. Sea
f : R2 −→ R
( x, y) 7−→ 4 + x3 + y3 − 3xy,

2
 clasificar sus puntos críticos.

Solución. Notemos que f es derivable para todo ( x, y) ∈ R2 , con gradiente

∇( x, y) = (3x2 − 3y, 3y2 − 3x ),

para todo ( x, y) ∈ R2 , además, sus dos primeras derivadas parciales D1 f y D2 f son continuas para todo
( x, y) ∈ R2 , por lo tanto f es diferenciable con continuidad en todo R2 .
Encontremos los puntos críticos de f , para obtenerlos igualemos el gradiente a cero, es decir

∇ f ( x, y) = (0, 0).

A partir de lo cual se obtiene el siguiente sistema

3x2 − 3y = 0,
3y2 − 3x = 0.

Resolviendo el sistema anterior se tienen los puntos críticos de f

a1 = (0, 0), y a2 = (1, 1).

La matriz hessiana de f está dada por

"
#
6x − 3
H f ( x, y) = ( J∇ f ( x, y)) T = .
−3 6y

para todo ( x, y) ∈ R2 .

a) Ahora, si analizamos la matriz hessiana de f en a1 , obtenemos

" #
0 − 3
H f ( a1 ) = ( J∇ f ( a1 )) T = ,
−3 0
dado que los valores propios son 3 y −3, se concluye que a1 es un punto de ensilladura de f .
b) Y si analizamos la matriz hessiana de f en a2 , obtenemos
" #
T 6 −3
H f ( a2 ) = ( J∇ f ( a2 ) = ,
−3 6
dado que los determinantes de los menores principales son positivos, se concluye que f en a2
alcanza un mínimo relativo con valor igual a 3.

Finalmente, se concluye que en a1 = (0, 0) hay un punto de ensilladura y que en a2 = (1, 1) f alcanza
un mínimo relativo con valor igual a 3.

7. Se conoce que el campo escalar

f: R4 −→ R
4y3 + 2w2 − y2 − w3
(w, x, y, z) 7−→
1 + x2 + 2z2
tiene dos puntos críticos
4 1
   
a= , 0, 0, 0 y b= 0, 0, , 0 .
3 6
Además, se conoce que
 
4 − 6w 0 0 0
 0 2w3 − 4w2 − 8y3 + 2y2 0 0 
H f (w, 0, y, 0) = 
 
 0 0 24y − 2 0


0 0 0 3 2 3
4w − 8w − 16y + 4y 2

3
 para cada w, y ∈ R. Determine la naturaleza de los puntos críticos.

Solución. Por las hipótesis, se tiene que

−4 0 0 0 4 0 0 0
   

 0 − 64 0 0 1
0 0 0
   

H f ( a) = 
 27 
y H f (b) = 
 54 .

 0 0 −2 0  0 0 2 0

128 1
   
0 0 0 − 0 0 0
27 27
Por Álgebra Lineal sabemos directamente que
64 128
−4, − , −2 y −
27 27
son los 4 valores propios de H f ( a); luego, por el criterio de los valores propios, H f ( a) es definida nega-
tiva, de donde f alcanza un máximo relativo en a. De igual forma,
1 1
4, , 2 y
54 27
son los 4 valores propios de H f (b); luego, por el criterio de los valores propios, H f (b) es definida posi-
tiva, de donde f alcanza un mínimo relativo en b. Por lo tanto,
32 1
f ( a) = y f (b) = −
27 108
son un máximo y un mínimo local, respectivamente.

8. Dada la función
u: R3 −→ R
( x, y, z) 7−→ − x2 − 2y2 − z3 + xy + 75z + 16x + 27y + 120
Determine sus puntos críticos y su naturaleza

Solución. Se encuentran los puntos críticos de u, para ello debe cumplirse que ∇u( x, y, z) = 0.
Se tiene que:
D1 u( x, y, z) = −2x + y + 16 = 0
D2 u( x, y, z) = −4y + x + 27 = 0
D3 u( x, y, z) = −3z2 + 75 = 0.
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene dos puntos críticos (13, 10, 5) y (13, 10, −5), para deter-
minar si es un máximo o mínimo aplicamos el criterio de Sylvester. Entonces la matriz Hessiana de u
estará dada por  
−2 1 0
Hu ( x, y, z) =  1 −4 0 
 
0 0 −6z
En ( x, y, z) = (13, 10, 5),  
−2 1 0
Hu (13, 10, 5) =  1 −4 0 
 
0 0 −30
de donde se obtiene que sus determinantes menores son

H1 (13, 10, 5) = −2
H2 (13, 10, 5) = 7
H3 (13, 10, 5) = −210,

4
 la matriz Hessiana se define negativa, por lo que en el punto ( x, y, z) = (13, 10, 5) hay un máximo.
Mientras que en ( x, y, z) = (13, 10, −5),
 
−2 1 0
Hu (13, 10, −5) =  1 −4 0 
 
0 0 30
de donde se obtiene que sus determinantes menores son

H1 (13, 10, 5) = −2
H2 (13, 10, 5) = 7
H3 (13, 10, 5) = 210,
por lo que la naturaleza de este punto es un punto silla; es decir, no es ni máximo ni mínimo.

9. Dada la función
f: I −→ R
1
( x, y) 7−→ x2 + y2 +
x 2 y2
con I = {( x, y) ∈ R2 : x 6= 0 ∧ y 6= 0} determinar la naturaleza de sus puntos críticos.

Solución. Primero se buscan los puntos críticos, estos son los puntos en donde el gradiente es cero
2 2
 
∇ f ( x, y) = 2x − 3 2 , 2y − 2 3 .
x y x y
Las soluciones del sistema

2
2x − =0
x 3 y2
2
2y − =0
x 2 y3
son (1, 1), (1, −1), (−1, 1) y (−1, −1). Para determinar si estos puntos son máximos, mínimos o puntos
de silla, se analiza la matriz hesiana
6 4
 
 2 + x 4 y2 x 3 y3 
H f ( x, y) =  4 6 

2+ 2 4

x 3 y3 x y
Se verifica que H f ( a, b)2 > 0 y H f ( a, b)1 > 0 donde ( a, b) es cualquiera de los puntos críticos. Entonces
en cada punto crítico hay un mínimo y f ( a, b) = 3 para todos los puntos críticos.

10. Dada la función

u : R + × R + −→ R
xy x2 y2
( x, y) 7−→ 655x + 468y + − −
30 40 80
determinar sus puntos críticos y naturaleza.

Solución. Para optimizar la función, calculamos primero su gradiente y obtenemos

 y x x y
∇u( x, y) = 655 + − , 468 + −
30 20 30 40

5
 Se calcula los puntos para los cuales ∇u( x, y) = (0, 0) y se determina que su punto crítico es a =
(230220, 325680). Para determinar su naturaleza, calculamos la matriz hessiana
!
1 1
− 20 30
Hu ( x, y) = 1 1
30 − 40

Se verifica que para todo ( x, y) ∈ R + × R +

1 1 1
Hu( a)1 = − <0 y Hu( a)2 = − > 0,
20 800 900
se concluye que la función u tiene un valor máximo relativo en el punto a = (230220, 325680).

11. Sea el campo escalar

f: I −→ R
( x, y) 7−→ x2 − xy + y2 + 3x − 2y + 1
donde I es una región rectangular definida por {( x, y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ 0, y 0 ≤ y ≤ 1}. Hallar los
máximos y mínimos de la función f .

12. Una empresa de Quito produce principalmente arroz y café. Imagine que es contratado para determinar
la cantidad que debe producirse de cada uno para que el costo de producción sea lo menor posible.
Empíricamente se conoce que los costos de producción del arroz y café están dados respectivamente
por
3x2 − 12x + 15 y 2y2 − 13y + 5

donde x y y representan la cantidad en toneladas de arroz y café producidos. Por otro lado, por la época
de sequía, la producción de café es el doble de costosa que lo normal. Finalmente, el costo del transporte
de ambos productos está dada por
25 + 2xy

donde x y y representan la cantidad en toneladas de arroz y café producidos, respectivamente. Determi-

ne la cantidad de arroz y café que debe producir la empresa para que el costo sea mínimo.

Solución. Se utilizará la siguiente notación

• x : cantidad producida de toneladas de arroz

• y : cantidad producida de toneladas de café
• C ( x, y) : costo de producción.

Se sabe que el costo de producción resulta de la suma del costo de producción de arroz, costo de pro-
ducción de café y costo de transporte. Además, durante el mes en análisis, el costo de producción del
café es el doble de lo normal, entonces el costo de producción total viene dado por

C : R + × R + −→ R
( x, y) 7−→ (3x2 − 12x + 15) + 2(2y2 − 13y + 5) + (25 + 2xy) = 3x2 + 2xy + 4y2 − 12x − 26y + 50.
Es importante tomar en cuenta que como no existe producción negativa se debe considerar el dominio
de C a R + × R + .
La función C es la que se quiere optimizar, encontrar el mínimo en este caso. De acuerdo al ejercicio
1, la producción de arroz y café, para que el costo de producción sea mínimo, debe ser 1 y 3 toneladas
respectivamente.

13. Una fábrica produce dispositivos de dos tipos, A y B, cuyos precios por unidad son 700 y 500 dólares,
respectivamente. El costo de producir x dispositivos tipo A y y dispositivos tipo B está dado por la

6
 siguiente función
C : R + × R + −→ R
xy x2 y2
( x, y) 7−→ 45x + 32y −
+ + .
30 40 80
Determine los valores de x y y para que la utilidad sea máxima.

Solución. Primero, utilizaremos las siguientes notaciones:

• x : cantidad de objetos A producidos,

• y : cantidad de objetos B producidos,
• U ( x, y): Utilidad, en dólares, al vender x dispositivos tipo A y y dispositivos tipo B,
• V ( x, y): ingreso, en dólares, producido al vender x dispositivos tipo A y y dispositivos tipo B,
• C ( x, y): costo de producción, en dólares, de x dispositivos tipo A y y dispositivos tipo B.

Se sabe que la utilidad es la diferencia entre el ingreso y el costo de producción. El ingreso viene dado
por
V : R + × R + −→ R
( x, y) 7−→ 700x + 500y,
por tanto la función a maximizar es

U : R + × R + −→ R
xy x2 y2
( x, y) 7−→ 655x + 468y + − + .
30 80 40
Del ejercicio 6 se sabe que si se producen 230220 dispositivos de tipo A y 25680 dispositivos de tipo B,
la utilidad será máxima.

14. Dado los campos escalares

d: Ω −→ R g: Ω −→ R
y 1
( x, y, z) 7−→ x2 + y2 + z2 ( x, y, z) 7−→ z −
xy
con Ω = {( x, y, z) ∈ R3 : x 6= 0 ∧ y 6= 0}. Resolver el problema

Opt. d( x, y, z)


sujeto a:

 g( x, y, z) = 0.


Solución. Para resolver el problema, se define la función L : R × Ω → R

1
 
2 2 2
L(λ, x, y, z) = d( x, y, z) − λ( g( x, y, z) − 0) = x + y + z − λ z −
xy
cuyo gradiente es
1
 
λ λ
∇ L(λ, x, y, z) = −z + , 2x − 2 , 2y − 2 , 2z − λ
xy x y xy
para (λ, x, y, z) ∈ R × Ω. Los puntos en los que ∇ L(λ, x, y, z) = 0, es decir, los puntos críticos de L son:

a1 = (2, 1, 1, 1),
a2 = (2, −1, −1, 1),
a3 = (−2, 1, −1, −1) y
a4 = (−2, −1, 1, −1).

7
 Para determinar la naturaleza de los puntos críticos, se calcula la matriz hesiana
1 1
 
 0 − 2
x y
− 2 −1
xy
 
 
 
 1 2λ λ 
 x2 y 2 + x3 y 0 
−
2
x y 2 
HL (λ, x, y, z) =  .
 
 
 1 λ 2λ 
− 2 + 0 
 xy2 x 2 y2 xy3
 

 
 
−1 0 0 2
Con esto se tiene  
0 −1 −1 −1
 −1 6 2 0 
H L ( a1 ) =  ,
 
 −1 2 6 0 
−1 0 0 2
 
0 1 1 −1
 1 6 2 0 
H L ( a2 ) =  ,
 
 1 2 6 0 
−1 0 0 2
 
0 1 −1 −1
 1 6 −2 0 
H L ( a3 ) = 
 
 −1 −2 6 0 


−1 0 0 2
y  
0 −1 1 −1
 −1 6 −2 0 
H L ( a4 ) =  .
 
 1 −2 6 0 
−1 0 0 2
Por otro lado se tiene que n = 3 y m = 1 entonces se calcula para cada punto crítico (−1)m H2m+1 y
(−1)m Hm+n , entonces
− H L3 ( a 1 ) = 8 y − HL4 ( a1 ) = 48,
− H L3 ( a 2 ) = 8 y − HL4 ( a2 ) = 48,
− H L3 ( a 3 ) = 8 y − HL4 ( a3 ) = 48,
− H L3 ( a 4 ) = 8 y − HL4 ( a4 ) = 48.
Se puede notar que, para todos los puntos críticos, la secuencia de determinantes consta solamente de
números positivos, entonces d tiene un mínimo, con un valor de 3, en todos los puntos críticos.

15. Dado Ω = {( x, y, z) ∈ R3 : x + y − z = 1 ∧ x = 2y}, encuentre los extremos relativos del campo escalar

f: Ω −→ R
( x, y, z) 7−→ x2 − xy + xyz2 .

Solución. Dado que el dom( f ) 6= R3 , debemos utilizar multiplicadores de Lagrange para determinar los
extremos relativos de f . Definamos

L: R2 × Ω −→ R
(λ1 , λ2 x, y, z) 7−→ f ( x, y, z) − λ1 ( x + y − z − 1) − λ2 ( x − 2y).

8
 Por definición de gradiente y hessiana, se tiene que para todo (λ1 , λ2 , x, y, z) ∈ R2 × Ω,

∇ L(λ1 , λ2 , x, y, z) = (1 + z − x − y, 2y − x, 2x + y(z2 − 1) − λ1 − λ2 , x (z2 − 1) − λ1 + 2λ2 , 2xyz + λ1 )

y
0 0 −1 −1 1
 
 0 0 −1 2 0 
 
HL (λ1 , λ2 , x, y, z) = −1 −1

2 2
z − 1 2yz  .

 −1 2 z2 − 1 0 2xz 
 

1 0 2yz 2xz 2xy

Se puede ver que el único punto tal que ∇ L(λ1 , λ2 , x, y, z) = 0 es a = (0, 0, 0, 0, −1).
Se tiene que
0 0 −1 −1 1
 
 0 0 −1 2 0
 
H L ( a ) =  −1 −1 2 0 0 .
 
 −1 2 0 0 0
 

1 0 0 0 0

Dado que m = 2 y n = 3, se analiza (−1)2 HL ( a)5 .

Se tiene que
HL ( a)5 = 8,

entonces f alcanza un mínimo relativo en (0, 0, −1).

16. Dado los campos escalares

m: R3 −→ R p: R3 −→ R
y
( x, y, z) 7−→ 6x − y2 + xz + 60 ( x, y, z) 7−→ x2 + y2 + z2
Hallar los mínimos de 
Opt. m( x, y, z)


sujeto a:

 p( x, y, z) = 36.


Solución. Definimos el campo

h: R4 −→ R
(λ, x, y, z, ) 7−→ m( x, y, z) − λ( p( x, y, z) − 36).
Notemos que se tiene que

h(λ, x, y, z) = (6x − y2 + xz + 60) − λ x2 + y2 + z2 − 36

para todo ( x, y, z, λ) ∈ R4 , además, h es una función diferenciable en R4 , con vector gradiente

−( x2 + y2 + z2 − 36)
 
 6 + z − 2λx 
∇h(λ, x, y, z) = 
 
−2y − 2λy

 
x − 2λz
Determinemos ahora, los puntos críticos de h, para esto igualamos el vector gradiente a 0, es decir,

9
 hacemos ∇ h(λ, x, y, z) = 0, obteniendo el siguiente sistema:

x2 + y2 + z2 = 36
6 + z = 2λx
−2y = 2λy
x = 2λz
√ √   √ √ 
Las soluciones de este sistema son: (0, 0, 0, −6), 3/2, 3 3, 0, 3 , − 3/2, −3 3, 0, 3 y (−1, −4, ±4, 2) .
La matriz hessina de h viene dada por
 
0 −2x −2y −2z
−2x −2λ 0 1 
Hh (λ, x, y, z) = 
 
 −2y 0 −2 − 2λ 0 


−2z 1 0 −2λ
para cada (λ, x, y, z) ∈ R4 .
Analizando la naturaleza de los puntos críticos, se determina que m tiene mínimos en (−4, ±4, 2)

17. Dado los campos escalares

f: R3 −→ R g: R3 −→ R h: R3 −→ R
y
( x, y, z) 7−→ xy + zy, ( x, y, z) 7−→ x2 + y2 ( x, y, z) 7−→ yz
Resolver el problema 


 Opt. f ( x, y, z)

sujeto a:




 g( x, y, z) = 2 y

 h( x, y, z) = 2.


Solución. Para resolver el problema, se define la función L : R5 → R

L(λ1 , λ2 , x, y, z) = f ( x, y, z) − λ1 ( g( x, y, z) − 2) − λ2 ( h( x, y, z) − 2) = xy + zy − λ1 x2 + y2 − 2 − λ2 (yz − 2)

cuyo gradiente es

T
− x 2 + y2 − 2


 − (yz − 2) 

∇ L(λ1 , λ1 , x, y, z) =  y − 2λ1 x  .
 
 x + z − 2λ1 y − λ2 z
 

y − λ2 y
Los puntos críticos se obtiene igualando el gradiente a 0. Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtie-
nen los siguientes puntos críticos
1
 
a1 = , 1, 1, 1, 2 ,
2
1
 
a2 = − , 1, 1, −1, −2 ,
2
1
 
a3 = − , 1, −1, 1, 2 ,
2
1
 
a4 = , 1, −1, −1, −2 .
2

10
 Para determinar la naturaleza de estos puntos se calcula la matriz hesiana

0 0 −2x −2y 0
 
 0 0 0 −z −y 
 
HL (λ1 , λ2 , x, y, z) = −2x 0 −2λ1 1 0 ,
 
 −2y −z 1 −2λ1 1 − λ2 
 

0 −y 0 1 − λ2 0
de donde
0 0 −2 −2 0
 
 0 0 0 −2 −1
 
H L ( a1 ) =  −2 0 −1 1 0 ,
 
 −2 −2 1 −1 0 
 

0 −1 0 0 0

0 0 −2 2 0
 
 0 0 0 2 1
 
H L ( a2 ) =  −2 0 1 1 0 ,
 
 2 2 1 1 0
 

0 1 0 0 0

0 0 2 −2 0
 
 0 0 0 −2 −1
 
H L ( a3 ) =  2 0 1 1 0 ,
 
 −2 −2 1 1 0 
 

0 −1 0 0 0
y
0 0 2 2 0
 
0 0 0 2 1
 
H L ( a4 ) = 2 0 −1 1 0 .
 
2 2 1 −1 0
 

0 1 0 0 0
Nótese que en este caso m = 2 y n = 3 entonces para cada punto crítico se busca el valor de (−1)m H2m+1 ,
se tiene

HL5 ( a1 ) = −16,
HL5 ( a2 ) = 16,
HL5 ( a3 ) = 16,
HL5 ( a4 ) = −16.

Analizando la secuencia de gradientes para cada punto crítico, se puede ver que en los puntos a1 y a4 se
tiene un máximo de valor 3 y en los puntos a2 y a3 se tiene un mínimo de valor 1.

18. Dadas la funciones

V: R3 −→ R
( x, y, z) 7−→ xyz
y
A: R3 −→ R
( x, y, z) 7−→ 2xy + 2xz + 2zy.

11
 Resolver el problema 
 Opt. V ( x, y, z)


sujeto a:

 A( x, y, z) = 21600.


1
19. Se tiene una superficie de ecuación z = , con ( x, y) ∈ R2 tal que xy 6= 0. Hallar los puntos de la
xy
superficie más cercanos al origen.

Solución. Se utilizará la siguiente notación

• ( x, y, z) : punto sobre la superficie

• d( x, y, z) : distancia del punto ( x, y) al origen, en unidades de longitud
• D ( x, y, z) : cuadrado de la distancia del punto ( x, y, z) al origen.

x2 + y2 + z2 , como d ≥ 0
p
Se sabe que la distancia de un punto al origen viene definida por d =
2 2 2
entonces la distancia será mínima cuando x + y + z sea mínimo. Finalmente se definen las funciones

D: R3 −→ R
( x, y, z) 7−→ x2 + y2 + z2
y
g : R ∗ × R ∗ × R −→ R
1
R 7−→ z − .
xy
Con esto se tiene el problema 
Opt. D ( x, y, z)


sujeto a:

 g( x, y, z) = 0.


Del ejercicio 9, se sabe que la distancia es mínima en los puntos (1, 1, 1), (1, −1, −1), (−1, −1, 1) y
√
(−1, 1, −1) y será d = 3.
Otra forma de optimizar este problema se detalla en el ejercicio 5.

20. Dado un número natural mayor que cero, dividirlo en tres sumandos de manera que su producto sea el
máximo.

Solución. Sea a ∈ N ∗ , supongamos que:

• x: el primer sumando,
• y: el segundo sumando,
• z: el tercer sumando.
a
x=y=z= .
3

21. Se desea instalar un radiotelescopio sobre la superficie de un planeta recién descubierto. Para minimizar
la interferencia, se quiere colocar el radiotelescopio donde el campo magnético del planeta sea más débil.
El planeta es esférico con un radio de 36 unidades. Con base en un sistema de coordenadas cuyo origen
es el centro del planeta, la fuerza del campo magnético está dada por m( x, y, z) = 6x − y2 + xz + 60.
¿Dónde se debe ubicar el radiotelescopio?

12
 Solución. Se usará la siguiente notación

• ( x, y, z) : punto sobre la superficie del planeta,

• m( x, y, z) : fuerza del campo magnético, unidades de fuerza.

Se quiere encontrar el punto donde la fuerza ejercida por el campo magnético sea mínima. Además los
puntos donde se quiere medir este campo está sobre la superficie del planeta, entonces se definen la
funciones
m : R3 −→ R p : R3 −→ R
y
( x, y, z) 7−→ 6x − y2 + xz + 60 ( x, y, z) 7−→ x2 + y2 + z2 .
Se quiere optimizar 
Opt. m( x, y, z)


sujeto a:

 p( x, y, z) = 36.


En base al ejercicio 12, los puntos donde la intensidad del campo magnético es mínima, donde se debería
instalar el radiotelescopio, son (−4, 4, 2) y (−4, −4, 2).

22. La temperatura en un punto ( x, y, z) del espacio tridimensional está dada por la función

T: R3 −→ R
( x, y, z) 7−→ xy + zy.
Determinar los puntos donde la temperatura es máxima y mínima, sobre la intersección de las superfi-
cies de ecuación x2 + y2 = 2 y yz = 2.

Solución. Se utiliza la siguiente notación

• ( x, y, z) : punto del espacio R3 que pertenece a las superficies de ecuación x2 + y2 = 2 y yz = 2,

• t( x, y, z) : temperatura en el punto ( x, y, z), en unidades de temperatura.

Se definen las funciones

t: R3 −→ R g : R3 −→ R h: R3 −→ R
y
( x, y, z) 7−→ xy + zy ( x, y, z) 7−→ x2 + y2 ( x, y, z) 7−→ yz.
Se quieren encontrar los puntos donde la temperatura es máxima y mínima, entonces se resolverá el
siguiente problema de optimización



 Opt. t( x, y, z)

sujeto a:




 g( x, y, z) = 2 y

 h( x, y, z) = 2.


Del ejercicio 13, se tiene que en los puntos (1, 1, 2) y (−1, −1, −2) la temperatura es máxima e igual a 3,
mientras que en los puntos (1, −1, −2) y (−1, 1, 2) la temperatura es mínima e igual a 1.

23. Se desea construir una cisterna hermética, en forma de un paralelepípedo regular de área 21600 m2 , de
tal forma que su el volumen sea máximo. Encontrar las dimensiones que debe tener la cisterna.

Solución. Primero utilizaremos las siguientes notaciones:

• x: ancho de la cisterna en metros,

13
 • y: largo de la cisterna en metros,
• z: altura de la cisterna en metros,
• V ( x, y, z): volumen de la cisterna en metros cúbicos,
• A( x, y, z): área de la cisterna en metros cuadrados.

Nótese que se quiere encontrar el valos máximo de V sabiendo que tiene una limitación (restricción),
el área. Por otro lado, sabemos que las dimensiones de la cisterna serán reales positivos. Se definen las
funciones
V : R + × R + × R + −→ R
( x, y, z) 7−→ xyz
y,
A : R + × R + × R + −→ R
( x, y, z) 7−→ 2xy + 2xz + 2zy.
Se quiere resolver el problema 


 máx V ( x, y, z)
sujeto a:

 A( x, y, z) = 21600.


En base al ejercicio 14, se tiene que las dimensiones de la cisterna, para que el volumen de ésta sea
máximo, son (60, 60, 60). Nótese que el punto crítico (−60, −60, −60) no es considerado ya que no son
parte del dominio de V en este problema.

24. Se tiene material para elaborar 150π cm2 de láminas de aluminio. Si se desea construir un recipiente
cilíndrico, determinar sus dimensiones para que su volumen sea máximo.

Solución. Primero, utilizaremos las siguientes notaciones:

• r: radio del cilindro en cm.

• h: altura del cilindro en cm.
• V (r, h): volumen del cilindro de radio r y altura h, en cm3 .
• A(r, h): material utilizado en un cilindro de radio r y altura h, en cm2 .

Con esto, se tiene que

V : R + × R + −→ R
(r, h) 7−→ V (r, h) = πr2 h
y que
A : R + × R + −→ R
(r, h) 7−→ A(r, h) = 2πrh + 2πr2 .
Con esto, debemos optimizar 
 máx V (r, h)

sujeto a:
A(r, h) = 150π.



Luego del proceso de optimización, se tiene que las dimensiones para que el volumen sea máximo son
5 cm de radio y 10 cm de altura.

14