Texto de Calculo II

CALCULO II
Mgr. Hernán Flores García
Noviembre 2020
ii
Índice general
1. Vectores 1
1.1. Representación de cantidades vectoriales . . . . . . . . . . . 1
1.2. Algebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Representación geométrica del algebra vectorial . . . . . . . 4
1.3.1. Suma y diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2. Multiplicación de un escalar por un vector . . . . . . 4
1.4. Vector unitario canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Igualdad de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Representación de un vector en un sistema de coordenadas
rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8. Sistema rectangular en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9. Sistemas de coordenadas rectangulares en el espacio . . . . . 12
1.10. Vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10.1. Norma de un vector (longitud) norma Euclidiana . . 14
1.10.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.11. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.12. Vector unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.12.1. Vectores unitarios canónicos . . . . . . . . . . . . . . 16
1.13. Producto interior - Producto Escala de Dos Vectores . . . . 17
1.13.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.14. Proyección ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.15. Cosenos directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.16. Producto vectorial de dos vectores en R3 . . . . . . . . . . . 24
1.16.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iii
iv ÍNDICE GENERAL
1.17. Producto mixto - producto escalar triple . . . . . . . . . . . 26

1.17.1. Propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.18. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. Geometría analítica del espacio 37

2.1. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2. Punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. La recta en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1. Representación paramétrica de la recta . . . . . . . . 39
2.3.2. Representación cartesiana de la recta . . . . . . . . . 40
2.3.3. Relaciones entre recta-punto . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.4. Posiciones relativas de dos rectas . . . . . . . . . . . 41
2.4. La ecuación del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1. Ecuación vectorial del plano . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.2. Condición de perpendicularidad . . . . . . . . . . . . 46
2.4.3. Ecuación paramétrica del plano . . . . . . . . . . . . 47
2.4.4. Ecuación general del plano . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.5. Ecuación simétrica del plano . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.6. Ecuación del plano que pasa por tres puntos . . . . . 49
2.4.7. Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . 49
2.4.8. Ángulo entre recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.9. Intersección entre recta y plano . . . . . . . . . . . . 51
2.4.10. Posiciones relativas de dos planos . . . . . . . . . . . 52
2.4.11. Proyección ortogonal de un punto sobre un plano. . . 55
2.4.12. Proyección ortogonal de una recta sobre un plano . . 55
2.4.13. Ecuaciones incompletas del plano . . . . . . . . . . . 55
2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3. Super…cies 67
3.1. Trazado de una super…cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2. Clasi…cación de las super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3. Super…cies cuadricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.1. La esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.2. Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.3. Hiperboloide de una hoja . . . . . . . . . . . . . . . . 74
ÍNDICE GENERAL v
3.3.4. Hiperboloide de dos hojas . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.5. Paraboloide elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.6. Paraboloide hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.7. Cono elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4. Super…cies cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4. Funciones de varias variables 87

4.1. Algebra de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . 90
4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3. Límites y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.1. Límites de funciones de varias variables . . . . . . . . 96
4.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5.1. Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5.2. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.6. Derivadas parciales de funciones de dos variables . . . . . . . 103
4.7. Derivadas parciales de funciones compuestas . . . . . . . . . 108
4.7.1. Funciones con una variable independiente . . . . . . . 108
4.8. Funciones con varias variables independientes . . . . . . . . 111
4.9. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . 117
4.10. Derivadas parciales de funciones implícitas . . . . . . . . . . 124
4.11. Funciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.12. Diferencial exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5. Operaciones diferenciales 133

5.1. Gradiente, divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . 133
5.1.1. Operaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.1.2. Propiedades del operador nabla . . . . . . . . . . . . 134
6. Interpretación geométrica de la derivada 143

6.0.3. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.1. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2. Extremos de funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . 149
6.2.1. Extremos absolutos - extremos relativos . . . . . . . 149
vi ÍNDICE GENERAL
6.2.2. Criterio de las segundas derivadas parciales para ex-

tremo de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3. Matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3.1. Aplicación de la matriz Hessiana . . . . . . . . . . . 156
6.4. Extremos condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.4.1. Multiplicador de La Grange . . . . . . . . . . . . . . 165
6.4.2. Multiplicadores de Lagrange con dos restricciones . . 166
7. Integración múltiple 179

7.1. Integrales iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.2. Integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3. Interpretación geométrica de la integral doble . . . . . . . . 185
7.4. Propiedades de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.5. Cálculo de integrales dobles mediante integrales iteradas . . 186
7.6. Teorema de Fubini para regiones no rectangulares . . . . . . 188
7.7. Ejercicios desarrollados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Capítulo 1
Vectores
Existen cantidades ó magnitudes físicas, como ser: área, volumen, longi-

tud, temperatura, masa, tiempo.
Estas quedan complementamente especi…cadas mediante un número real
en una escala adecuada, a estas cantidades se las llama escalares o magni-
tudes escalares.
Las cantidades escalares abarcan muchas cosas en nuestra vida cotidiana,
como ser la estatura, edd, número de páginas.
Existen otras magnitudes que no se pueden de…nir o medir mediante
un solo número, como ser la velocidad, fuerza, peso, desplazamiento, acel-
eración, etc., estas requieren de una magnitud y una dirección, se denomina
vectores.
Escalar: Es aquella cantidad cuya determinación requiere el conocimien-

to de un número real, tiempo, longitud, energía, etc.
Vector: Es un segmento de…nido en magnitud (módulo), dirección y
sentido como ser: velocidad, fuerza, etc.
1.1. Representación de cantidades vectoriales

Los vectores se pueden enfocar desde dos direcciones:
1
2 CAPÍTULO 1. VECTORES
a) Un enfoque axiomático; de…ne el signi…cado de espacio vectorial y los

objetos (vectores) que representan los elementos de este espacio vec-
torial, que juntamente con los axiomas de…nen sus operaciones.
b) Un enfoque intuitivo, es mucho mas visual y usa segmentos de línea
orientados ó dirigidos para explicar como se opera con los vectores.
Los vectores representados por segmentos de línea, son de dominio gen-
eral y es la base para resolver problemas en dos ó tres dimensiones.
Los vectores pueden representarse geométricamente como segmentos de
rectas dirigidos en un espacio bidimensional o tridimensional.
P : Punto inicial.
Q: Punto …nal.
P Q: Longitud ó magnitud
' : Dirección.
! !
A = PQ
!
PQ = PQ = A
! !
A : Norma del vector A , magnitud siempre positiva.
Los vectores que tienenla misma longitud y dirección se denominan “vec-
tores equivalentes”.
El vector cuyo punto inicial es el origen, se dice que el vector está en
posición canónica.
Componentes de un vector en el plano:
!
A = (a1 ; a2 ) = ha1 ; a2 i
1.2. ALGEBRA VECTORIAL 3
!
Las coordenadas a1 y a2 se denominan componentes del vector A .
Si el punto inicial y el punto …nal son el origen, entonces se denomina el
!
vector nulo ó vector cero; 0 = (0; 0).
! ! !
La longitud del vector A ; se denomina también normal vector A ; A :
!
norma del vector A .
! ! !
Si: A = 0; entonces A = 0 .
1.2. Algebra vectorial

En el algebra vectorial están de…nidas las siguientes operaciones:
! ! !
Sean los vectores A ; B ; C de…nidos en un espacio vectorial Vn .
!
A = (a1 ; a2 ; : ; an )
!
B = (b1 ; b2 ; : ; bn )
!
C = (c1 ; c2 ; : ; cn )
2 R; un escalar.
a) Suma de vectores:
! ! ! ! !
C = A + B = A + B = (a1 + b1 ; a2 + b2 ; :::; an + bn )
b) Resta de vectores:
! ! ! ! !
E = A B = A+ B = (a1 b 1 ; a2 b2 ; :::; an bn )
c) Multiplicación de un escalar por un vector:

! !
D= A = (a1 ; a2 ; : ; an ) = ( a 1 ; a 2 ; : ; an )
! !
Los vectores D y A ; tienen la misma dirección.
1.3. Representación geométrica del algebra

vectorial
1.3.1. Suma y diferencia
La suma y diferencia de vectores obedece a la ley del paralelogramo.
A A
⇒
C =A + B
–B
A E = A –B
A
⇒
–B
1.3.2. Multiplicación de un escalar por un vector
8 ! !
>
> >0 ) C y A : Tienen la misma dirección
>
>
>
< y sentido.
! ! ! !
C = A = =0 ) C = 0 : Vector nulo
>
> ! !
>
> <0 ) C y A : Tienen dirección y sentido
>
:
diferentes.
! !
La suma y recta de los vectores A y B se puede representar mediante
1.3. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL ALGEBRA VECTORIAL5
un paralelogramo.
B
C ! ! !
A C = A+B
A E ! ! !
B+E = A
! ! !
E = A B
B
La suma y diferencia de dos vectores representa las diagonales de un

paralelogramo
Teorema 1.1 Propiedades del algebra vectorial.

! ! !
Sean: A ; B ; C 2 Vn ; ; 2 R.
! ! ! !
1. A + B = B + A . Propiedad conmutativa.
! ! ! ! ! !
2. A + B + C = A + B + C . Propiedad asociativa.
! ! !
3. A + 0 = A . Propiedad aditiva de la identidad.
! ! !
4. A + A = 0 . Propiedad aditiva del inverso.
! ! !
5. ( + ) A = A + A . Propiedad distributiva respecto a la suma de
escalares.
! ! ! !
6. A + B = A + B . Propiedad distributiva respecto a la suma
de vectores.
! !
7. A =( ) A.
! ! ! !
8. 1 A = A; 0 A = 0
! ! ! ! ! !
Demostrar: A + B + C = A + B + C .
! ! !
Sean: A ; B ; C 2 Vn .
! ! !
A + B + C = [(a1 ; a2 ) + (b1 ; b2 )] + (c1 ; c2 )
= (a1 + b1 ; a2 + b2 ) + (c1 ; c2 )
= (a1 + b1 + c1 ; a2 + b2 + c2 )
= (a1 + (b1 + c1 ) ; a2 + (b2 + c2 ))
= (a1 ; a2 ) + (b1 + c1 ; b2 + c2 )
= (a1 ; a2 ) + [(b1 ; b2 ) + (c1 + c2 )]
! ! !
= A+ B+C
! ! !
Demostrar: ( + ) A = A + A
!
( + ) A = ( + ) (a1 ; a2 )
= (( + ) a1 ; ( + ) a2 )
= ( a1 + a1 ; a2 + a 2 )
= ( a1 ; a2 ) + ( a 1 ; a 2 )
! !
= A+ A
Un conjunto de vectores asociado a un conjunto de escalares que satis-
facen a las propiedades; se denomina un espacio vectorial.
Teorema 1.2 Longitud de un múltiplo escalar.
! !
Sea A 2 V2 ! A = (a1 ; a2 ); 2 R.
! !
A =j j A j j : vector absoluto de “ ”
Demostración:
!
A = k (a1 ; a2 )k = k( a1 ; a2 )k
q q
!
A = ( a1 )2 + ( a2 )2 = 2
(a22 + a22 )
q
!
A = j j a22 + a22
! !
A = j j A
1.3. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL ALGEBRA VECTORIAL7
! !
De…nición 1.1 Sea A 2 V2 ; A = (a1 ; a2 ).
!
La longitud ó magnitud del vector A ; se denomina la normal del vector
! !
A y se denota por A ; se de…ne la norma:
! p !
A = a21 + a22 A >0
! ! ! !
Teorema 1.3 Vector unitario: Sea A 2 V2 ! A = (a1 ; a2 ); A =
6 0;
entonces se de…ne el vector unitario (!
u ) como:
!
! A 1 !
u = ! = ! A ; k!
uk=1
A A
Demostración: 0 1
1 ! @ 1 A!
! > 0; entonces u = ! A ; tiene la misma dirección del
A A
!
vector A .
! 1 ! ! 1 !
u = ! A !kuk= ! A
A A
1 ! 1 !
!
u = ! A = ! A ) !
u =1
A A
! !
u : Vector unitario en la dirección del vector A . El proceso de multiplicar
! 1
el vector A por ! ; para obtener un vector unitario. Se denomina “nor-
A
!
malización del vector A ”.
La magnitud de la resultante de la suma de vectores no es igual a la

suma de sus longitudes.
A ! ! !
C =B+A
! ! !
C C = B+A
B
! ! ! !
B+A B + A
Este resultado se conoce como la desigualdad triangular para vectores. La

! !
igualdad se produce solo cuando los vectores A y B tienen la misma direc-
ción.
Todo vector se representa como un múltiplo del vector unitario.
!
! ! A
A = A !
u !
u = !
A
1.4. Vector unitario canónico

Los vectores: bi = (1; 0); b
j = (0; 1).
Se denominan vectores unitarios canónicos del plano.
Teorema 1.4 Todo vector se puede expresar como una combinación lineal
respecto a sus vectores unitarios.
! !
Sea: A 2 V2 ) A = (a1 ; a2 ).
!
A = (a1 ; a2 ) = (a1 ; 0) + (0; a2 )
!
A = a1 (1; 0) + a2 (0; 1)
!
A = a1bi + a2b
j
!
Ejemplo 1.1 Sea A el vector con punto inicial P (3; 1) y punto …nal
!
Q ( 2; 4) y B = bi 3b j; escribir los siguientes vectores como una combi-
nación lineal respecto a sus vectores unitarios:
1.4. VECTOR UNITARIO CANÓNICO 9
! !
a) A = P Q = Q P = ( 2; 4) (3; 1)
! !
A = ( 5; 5) A = 5bi + 5b
j
! ! !
b) C = 3 A + 2 B
!
C =3 5bi + 5b
j + 2 bi 3b
j
!
C = 13bi + 9b
j
! p
Ejemplo 1.2 El vector A tiene una magnitud igual a 5 y forma un án-
!
gulo de 60 con respecto al eje X positivo; expresar el vector A como una
combinación lineal respecto a sus vectores unitarios.
Solución. x2 + y 2 = 25
y p
3
(x;y) ' = 60 = sen ' =
A ! p 3 1
2
A = 5 cos ' =
φ ! 2
x A = (x; y)
!
x = A cos '
!
y = A sen '
! ! ! !
A = A cos '; A sen ' = A (cos '; sen ')
p !
! p 1 3
A = 5 ;
2 2
p p
! 5b 15 b
A = i+ j
2 2
Ejemplo 1.3 Un avión se mueve a una altura constante y con in‡uencia del
viento despreciable, en dirección de 30 NO, a una velocidad de 500 km/h.
Al llegar a un cierto punto, encuentra un viento que sopla a 70 km/h en
dirección de 45 NE; ¿cuál es la velocidad resultante y su dirección?
Solución.
y
k!
v 1 k = 500
v1
!
v = k! v k cos 60 bi + k!
v 1 k sen 60 b
j
30 1 1
120 !
v1= 250bi + 433b
j
x
y
v2 k!
v 2 k = 70
!
v = k! v k cos 45 bi + k!
v 2 k sen 45 b
j
2 2
!
v 2 = 49;5bi + 49;5b
j
45
x
y
!
v =! v1+! v2
v2 !
v v = 200;5bi + 482;5bj
v1 ! 2
k v k = ( 200;5) + (482;5)2
2
45 k!v k = 522;5 km/h

x
1.5. Igualdad de vectores

! !
Sean A ; B 2 Vn
! !
A = B , ai = b i 8i
! !
Ejemplo 1.4 Calcular el valor de p y q para que los vectores A y B sean
iguales.
1.6. PARALELISMO 11
! !
a) A = (p + q 1; 6; 1) B = ( 2; 6; 3p 2q)
! ! 9 3
A = B ! p+q 1= 2 = p=
6=6 5
; 2
1 = 3p 2q q=
5
!
b) A = (p + q + 2; p 7; p q + 1)
!
B = (7; 2; 2p + 2q)
9 7
p+q+2=7 = p=
p+q =5 2
p q=2 3
; p q=2 q=
p q + 1 = 2p + 2q
2
Los valores de p y q no satisfacen a la tercera ecuación, por tanto el
sistema no tiene solución, los vectores son diferentes 8p y q.
1.6. Paralelismo
! ! ! !
Sean A , B 2 Vn ; son paralelos si existe un 2 R tal que A = B .
! ! ! !
A == B , A = B 2R
El vector nulo es paralelo a todo vector.
! !
Sea: A = 0
! ! ! ! !
B = A B = 0 = 0
! !
Ejemplo 1.5 Determinar p y q si los vectores A y B son paralelos.
!
A = (4; p + 2q; 2q p 1)
!
B = (2; p q; p + q)
Solución.
! !
A = B ! (4; p + 2q; 2q p 1) = (2; p q; p + q)
9 =2
4=2 = 1
p + 2q = (p q) p=
; 3
2q p 1 = (p + q) 1
q=
12
1.7. Representación de un vector en un sis-

tema de coordenadas rectangular
Los conceptos y operaciones vectoriales tienen mucha aplicación para la
ingeniería.
Para describir con presición un vector, se utiliza un sistema de coorde-
nadas que permitan determinar la magnitud, dirección, sentido y su proyec-
ción ó componentes de un vector.
1.8. Sistema rectangular en el plano

! !
Sea: A 2 V2 ! A = (x; y)
y
P(x;y)
2
OP =px2 + y 2
y OP = x2 + y 2
A !
φ
A = OP
.
O x x
! p !
A =x2 + y 2 (magnitud del vector A )
y !
tan ' = .. Dirección del vector A .
x
1.9. Sistemas de coordenadas rectangulares

en el espacio
Sistema de coordenadas tridimensional; se realiza colocando un eje “z”
perpendicular al origen de los ejes “x”e “y”.
Los ejes coordenados tomados de dos en dos nos determinan tres planos
coordenados el plano xy ; plano xz ; plano yz . Estos tres planos dividen
el espacio en ocho octantes. El primer octante esta conformado por puntos
1.10. VECTORES EN EL ESPACIO 13
cuyas coordenadas son positivas; todo punto esta determinado por una forma
P (x; y; z) donde:
x : Distancia dirigida de P (x; y; z) al plano yz .

y : Distancia dirigida de P (x; y; z) al plano xz .
z : Distancia dirigida de P (x; y; z) al plano xy .
1.10. Vectores en el espacio

!
En el espacio los vectores se denotan por tres componentes:: A = (x; y; z).
2
OQR : OQ = x2 + y 2
2 2
OQP : OP = OQ + z 2
2
OP = x2 + y 2 + z 2
!
OP = A
! p
A = x2 + y 2 + z 2
1.10.1. Norma de un vector (longitud) norma Euclid-

iana
! !
Sea: A = (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 Vn ; se de…ne la norma del vector A denotada
!
por A como el número real no negativo.
r
! p P
n
A = x21 + x22 + ::: + x2n = x2i 8i
i=1
1.10.2. Propiedades
! !
Sean: A , B 2 Vn ; 2 R.
!
P1. A 0.
! ! ! !
P.2. A+B A + B . Desigualdad triangular.
! !
P.3. A =j j A .
1.11. Ortogonalidad
! ! ! !
De…nición 1.2 Sean: A y B 2 Vn ; entonces son ortogonales, si: A + B =
! !
B+A .
Demostración.
B
! ! ! ! ! !
C C = A+B C = A+B
A E ! ! ! ! ! !
E = A B E = A B
! ! ! !
A ? B , C = E
B
1.12. VECTOR UNITARIO 15
! ! ! !
Sean: A , B 2 V2 A = (a1 ; a2 ); B = (b1 ; b2 ).
! ! !
C = A + B = (a1 + b1 ; a2 + b2 )
! ! !
E = A B = (a1 b1 ; a2 b2 )
! 2 ! ! 2
C = A+B = ka1 + b1 ; a2 + b2 k2
! 2 ! ! 2
E = A B = ka1 b 1 ; a2 b 2 k2
! 2 ! ! 2 9
C = A+B = a21 + 2a1 b1 + b21 + a22 + 2a2 b2 + b22 =
! 2 ! ! 2
E = A B = a21 2a1 b1 + b21 + a22 2a2 b2 + b22 ;
! 2 ! 2 ! ! 2 ! ! 2
C E = A+B A B = 4a1 b1 + 4a2 b2
! 2 ! 2 ! ! 2 ! ! 2
C E = A+B A B = 4 (a1 b1 + a2 b2 )
! !
C = E . Condición de perpendicularidad
4 (a1 b1 + a2 b2 ) = 0 ) a1 b1 + a2 b2 = 0
! ! ! ! P
n
Teorema 1.5 Sean: A ; B 2 Vn ; entonces A es ortogonal a B si: ai b i = 0
i=1
1.12. Vector unitario

! ! !
De…nición 1.3 Sea V 2 Vn ; V =
6 0 ; entonces el vector unitario paralelo
!
al vector V se de…ne:
!
v
!
u = ! k!
uk=1
kvk
1.12.1. Vectores unitarios canónicos

j = (0; 1; 0); b
Los vectores: bi = (1; 0; 0); b k = (0; 0; 1), se denominan vec-
tores canónicos unitarios del sistema espacial:
j = b
bi = b k =1
! ! ! !
Teorema 1.6 Sean: A ; B 2 V3 ; A = (a1 ; a2 ; a3 ). B = (b1 ; b2 ; b3 ); entonces
!
el vector A se puede representar como una combinación lineal con respecto
a sus vectores unitarios.
!
j + a3 b
A = a1bi + a2b k
Demostración:
Suma de vectores
! ! ! !
A = OQ + QP + RP
!
OQ = a1bi
!
QR = a2bj
! b
RP = a3 k
! ! 2
j + a3 b
A = a1bi + a2b k A = a21 + a22 + a23
!
Si el vector A esta representado por el segmento dirigido desde P (x1 ; y1 ; z1 )
!
a Q (x2 ; y2 ; z2 ) entonces el vector A se puede representar de la siguiente for-
ma:
! !
A = P Q = Q P = (x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 )
!
A = (x2 x1 ) bi + (y2 y1 ) b
j + (z2 z1 ) b
k
1.13. PRODUCTO INTERIOR - PRODUCTO ESCALA DE DOS VECTORES17
1.13. Producto interior - Producto Escala de

Dos Vectores
Hemos analizado el algebra de vectores, suma, multiplicación por un
escalar; las cuales como resultado es otro vector.
El “producto escalar”es otra operación entre vectores, cuyo resultado no
es un vector, es un escalar.
! ! ! ! ! !
De…nición 1.4 Sean A ; B 2 V3 ; A 6= 0 , B 6= 0 ; el producto escalar ó
producto punto de dichos vectores representa el valor numérico que se obtiene
al multiplicar el producto de sus normas por el coseno del ángulo que forman,
! !
denotado por “ A B ”.
8 ! ! ! ! ! !
>
< A B cos si: A 6= 0 y B 6= 0
! !
A B =
>
: ! ! ! !
0 si: A = 0 y B = 0
! ! ! !
A B = A B cos 0
1.13.1. Propiedades
! ! !
Sean A ; B y C ; vectores en el plano ó en el espacio y 2 R.
! ! ! !
P.1. A B = B A . Conmutativa.
! ! ! ! ! ! !
P.2. A B + C = A B + A C . Distributiva.
! ! ! ! ! !
P.3. A B = A B = A B .
!
P.4. 0 A = 0.
P.5. Vectores unitarios:
bi bi = bi bi cos (0 ) = 1
bi b
j = bi b
j cos (90 ) = 0
bi bi = b j=b
j b k b
k=1 bi b j b
j =b k=b
k bi = 0
!
P.6. Sean: A = (a1 ; a2 ; a3 ) = a1bi + a2b j + a3 b
k
! b b b
B = (b1 ; b2 ; b3 ) = b1 i + b2 j + b3 k
! !
A B = a1bi + a2b j + a3 bk j + b3 b
b1bi + b2b k
! !
A B = a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3
! !
A A = a1 a1 + a2 a2 + a3 a3
! ! ! 2
A A = A
! ! ! ! !
P.7. Si: A B = 0, con A 6= 0 y B 6= 0
! !
Entonces el vector A es ortogonal al vector B
! ! ! !
A B = A B cos (90 ) = 0
! ! ! ! ! !
P.8. Si: A B = A B ; entonces los vectores A y B son paralelos.
! ! ! ! ! !
A B = A B cos (0 ) = A B
! ! !
P.9 0 A = 0. El vector nulo es ortogonal a todo vector. Sean: A ,
! ! !
B 2 V3 = A = (a1 ; a2 ; a3 ); B = (b1 ; b2 ; b3 ); 2 R.
1.13. PRODUCTO INTERIOR - PRODUCTO ESCALA DE DOS VECTORES19
! ! ! !
Demostrar: A B = A B
! !
A B = a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3
! !
A B = (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )
= [( a1 ) b1 + ( a2 ) b2 + ( a3 ) b3 ]
! ! ! !
A B = A B
! !
Ejemplo 1.6 Sea: A perpendicular al vector B . Demostrar:
! ! 2 ! 2 ! 2
A+B = A + B
Solución.
! 2 ! !
A = A A
! ! 2 ! ! ! !
A+B = A+B A+B
! ! 2 ! ! ! ! ! ! ! !
A+B = A A+A B+B A+B B
! ! ! !
A B = B A = 0 Condición de perpendicularidad
! ! 2 ! 2 ! 2
A+B = A + B
! !
Teorema 1.7 Sean los vectores A y B de…nidas en el plano ó en el espacio;
! !
y diferentes de cero; Si es el ángulo entre los vectores A y B entonces:
! !
a) : es agudo , A B > 0.
! !
b) : es obtuso , A B < 0.
! !
c) = , A B = 0.
2
! ! !
1. Demostración: Los vectores A y B son diferentes de cero y A > 0;
! ! ! ! !
B >0 A B = A B cos ; es positivo, negativo o cero según
que cos sea positivo, negativo ó cero; como: 0 < < ; se tiene:
Teorema 1.8 1. es agudo si y sólo si cos > 0.

es obtuso si y sólo si cos < 0.
! !
= si y sólo si A B = 0.
2
1.14. Proyección ortogonal

De…nición 1.5 Sean: ! u; !
v vectores en el espacio entonces la proyección
ortogonal del vectores !
u sobre !
v ; es el vector denotado por:
!
u ! v !
P roy! ! P roy !
v u = u = v
k!
2
!
v vk
Demostración:
!
AB : proyección del vector sobre el vector !
v
! !
AB = v 2R
Conociendo se conoce la P roy! !

v u.
! !
BC ? !
v ) BC !
v =0
! ! !
AB + BC = AC = !
u
! ! !
BC = u AB
1.14. PROYECCIÓN ORTOGONAL 21
! !
BC ! v = 0) !u AB !
v =0
!
AB = ! v
(!u !
v) !v = 0
! !
u v ! !
(v v) = 0
!
u ! v
!
u !
v k!
vk
2
= 0 =
k!
2
vk
!
AB = P roy !
u = !
v
!
v
!
u !v!
P roy !
u = ! 2 v
!
v kvk
De…nición 1.6 Sean los vectores ! u ,!

v de…nidos en el espacio, entonces el
valor de la componente del vector !
u en la dirección del vector !
v se de…ne:
j!
u !vj
Comp!
u = !
!
v kvk
Demostración: Sea
!
u ! v!
P roy !
u = 2 v
!
v k!vk
!
u ! v!
Comp!
u = 2 v
!
v k!vk
j!
u !v j k!vk
Comp!
u =
k!
2
!
v vk
j!
u !vj
Comp!
u = !
!
v kvk
Ejemplo 1.7 Sean: !

u = (3; 0), !
v = (1; 1).
!
u ! v!
a) Calcular: P roy !
u = 2 v
!
v k!vk
! p p
u !
v =3+1=4 k!
v ku = 1 + 1 = 2
4
P roy !
u = (1; 1) P roy !
u = (2; 2)
!
v 2 !
v
j!
u !vj
b) Calcular: Comp!
u = !
!
v kvk
4 p
Comp!
u = p =2 2
!
v 2
Grá…co:
y (Proy u )
v
P . j!
u !vj
OP = Comp!
u = !
p !
v kvk
v OP = 2 2
u
O x
1.15. Cosenos directores

!
La dirección de un vector A en el espacio es conveniente medir en térmi-
! ! !
nos de los ángulos entre el vector A A 6= 0 y los tres vectores unitarios
j, b
bi, b k. Los ángulos , y se denominan ángulos directores (ángulos de
!
dirección) del vector A ; y cos , cos , cos se denominan cosenos directores
1.15. COSENOS DIRECTORES 23
!
del vector A .
z
!
A = (a1 ; a2 ; a3 )
! b
A ! b ! A i
A i = A bi cos ) cos = !
γ A
! bi = (a1 ; a2 ; a3 ) (1; 0; 0)
α β A
y ! bi = a1 ) cos = a1
A !
A
x
a2 a3
cos = ! cos = !
A A
Teorema 1.9 Sea ! v un vector no nulo en el espacio cos , cos , cos ; los
1
u = ! !
cosenos directores del vector unitario ! v , entonces:
kvk
cos2 + cos2 + cos2 =1
Demostración:
! u1
u = (u1 ; u2 ; u3 ) cos = !
kuk
u 1 = k!
u k cos u2 = k!
u k cos u 3 = k!
u k cos
!
u : vector unitario; entonces k!
v k = 1.
u1 = cos u2 = cos u3 = cos
u21 + u22 + u23 = cos2 + cos2 + cos2

!
u = (u ; u ; u ) k!
2
u k = u2 + u2 + u 2
1 2 3 1 2 3
k!
vk=1 u21 + u22 + u23 = 1
1 = cos2 + cos2 + cos2
!
Ejemplo 1.8 Sea: A = (a1 ; a2 ; a3 ) = (2; 3; 1). Determinar sus cosenos
directores y veri…car que: cos2 + cos2 + cos2 = 1.
!
Solución. A = (2; 3; 1) = 2bi 3b j+bk
! 2 ! p
A = 4 + 9 + 1 = 14 A = 14
a1 2
cos = ! = p14
A
a2 3
cos = ! = p
A 14
a3 1
cos = ! = p14
A
4 9 1
cos2 + cos2 + cos2 = + + =1) 1=1
14 14 14
1.16. Producto vectorial de dos vectores en

R3
En muchas aplicaciones de la ingeniería es necesario determinar un vector
perpendicular a dos vectores dados; la solución se encuentra en el producto
vectorial.
! !
De…nición 1.7 Sean A y B vectores en R3 y diferentes del vector nulo,
! ! !
entonces el producto vectorial de los vectores A y B es otro vector C , de
! !
dirección normal al plano formado por los vectores A y B , cuya notación
es la siguiente:
! ! ! ! ! !
C = A B = A B sen u 0
! !
u : vector unitario, que tiene la dirección del vector C .
1.16. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES EN R3 25
!
! C
u = ! Vector unitario.
C
! ! ! !
u : Vector unitario en la dirección y sentido del producto A B = C .
La de…nición del producto vectorial solo se aplica a vectores en tres di-
mensiones; el producto vectorial en el plano no esta de…nido.
1.16.1. Propiedades
! ! !
Sean los vectores A ; B ; C de…nidas en el espacio y 2 R:
! ! ! !
P.1. A B = B A .
! ! ! ! ! ! !
P.2. A B+C = A B+A C.
! ! ! ! ! !
P.3. A B = A B = A B .
! ! ! ! !
P.4. A 0 = 0 A = 0
P.5. Vectores unitarios:
bi bi = bi bi sen (0 ) ! !
u = 0
bi b
j = bi j sen (90 ) !
b u =b
k
!
bi bi = b
j j=b
b k b k= 0
bi j=b
b k b
j b
k = bi b
k bi = b
j
!
P.6. Sean: A = (a1 ; a2 ; a3 ) = a1bi + a2bj + a3 bk
!
j + b3 b
A = (b1 ; b2 ; b3 ) = b1bi + b2b k
! ! !
C = A B = a1bi + a2bj + a3 b
k b1bi + b2bj + b3 b
k
! ! !
C = A B = a1 b 1 b j a2 b 1 b
k a1 b3b k + a2 b3bi + :::
El desarrollo corresponde a un determinante
! ! ! j b
bi b k
C = A B = a1 a2 a3
b1 b2 b3
= (a2 b3 a3 b2 ) bi (a1 b3 a3 b1 ) b
j + (a1 b2 a2 b 1 ) b
k
! !
P.7. A B : Representa el área de un paralelogramo.
! ! ! ! ! ! ! ! !
P.8. Si: A B = 0; A =
6 0; B =
6 0 entonces A y B son paralelos.
! ! !
P.9. A A = 0.
1.17. Producto mixto - producto escalar triple

! ! !
Sean los vectores A , B y C de…nidos en el espacio, el producto escalar
! ! !
de A y B C .
! ! !
A = B C ; se denomina producto mixto ó producto escalar triple
! ! !
de los vectores A , B y C .
Teorema 1.10 Sean, los vectores:

!
j + a3 b
A = a1bi + a2b k
!
j + b3 b
B = b1bi + b2b k
!
j + c3 b
B = c1bi + c2b k
1.17. PRODUCTO MIXTO - PRODUCTO ESCALAR TRIPLE 27
Entonces el producto escalar triple está dado por:

a1 a2 a3
! ! !
A B C = b1 b2 b3
c1 c2 c3
Considerando las propiedades de los determinantes; si se intercambian
dos de sus …las, el valor del determinante queda multiplicado por ( 1); por
tanto si se intercambian en dos oportunidades el valor del determinante no
cambia. Por tanto los siguientes productos mixtos son iguales:
! ! ! ! ! ! ! ! !
A B C =B C A =C A B
Teorema 1.11 Interpretación geométrica del producto mixto.

! ! !
Sean los vectores A , B y C no colanarios entonces el producto mixto
representa el volumen de un paralelepípedo:
! ! !
V = A B C
! !
Area de la base = B C .
Demostración:
(B×C)
! !
A Area de la base = B C .
h Altura del paralelogramo (h).
!
h = P roy! B C
!A
Volumen = V = Altura area de la base

! ! !
! ! ! A B C ! !
V = P roy!
B
!A
C
B C = ! ! B C
B C
! ! !
V = A B C
1.17.1. Propiedad
Si los tres vectores son coplanares, entonces el volumen del paralelepípedo
es cero.
a1 a2 a3
! ! !
V = A B C = b1 b2 b3 = 0
c1 c2 c3
1.18. Ejercicios
1. Demostrar que las medianas de un triángulo se interceptan en un punto
llamado Baricentro.
Baricentro: Punto de intersección de las medianas de un triángulo
1
(Centro de gravedad de un triángulo; se encuentra a de la base
3
2
y del vértice).
3
Solución.
C
a O : Baricentro.
b P , Q : Puntos)medios.
! !
P O = xP C
! !
B AO = y AQ
!
c ! C
AP =
A 2
! ! !
AP Q : AP + P O = AO
!
C ! !
+ xP C = y AQ (1)
2
!
! ! ! C ! !
AP C : AP + P C = AC + PC = b
! 2
! ! C
PC = b
2 !
! ! ! ! a !
ABQ : AB + BQ = AQ c + = AQ
2
1.18. EJERCICIOS 29
Reemplazando en la ecuación (1)

!c ! ! c !
a
+x b =y !
c +
2 2 2
!
ABC : !
c +!a = b
!
c !
c !
a
+x ! c +!
a = y !
c +
2 2 2
!
c !
c !
a
+x +!
a = y !
c +
2 2 2
Igualando coe…cientes de los vectores !

a y! c.
9
! 1 x
c : + =y = Resolviendo:
2 2 y 1 2
!a :x= ; x= y=
2 3 3
! 1 ! ! 2 !
P O = P C AO = AQ
2 3
2. Demostrar que en todo paralelogramo, el punto de intersección de sus
diagonales es equidistante de sus vértices.
Solución.
b C
B ! ! )
AQ = xAC
a Q ! ! ::: (1)
DQ = y DB
1
Se debe demostrar que: x = y =
A D 2
b
! ! !
AQD : AD + DQ = AQ
Reemplazando las ecuaciones (1)
! ! ! ! !
b + y DB = xAC DB = !
a b
! ! !
AC = a + b
! ! !
b +y !
a b =x !
a + b
Igualando coe…cientes
!a :y=x 1
! x=y=
b :1 y=x 2
p p
3. Las diagonales de un paralelogramo
p son 74 y 14, respectivamente
y uno de sus lados mide 14. Determinar el otro lado.
Solución.
b C p
B ! ! ! !
DB = !
a b ) DB = !a b = 14
a ! ! ! ! p
a AC = !
a + b ) AC = !
a + b = 74
! 2 ! !
D A = A A
A b
8 ! 2 ! ! ! ! ! ! !
< !
a b = !
a b !
a b =!
a !
a !a b b a + b b = 14
: ! ! 2 ! ! ! ! ! !
a + b = !
a + b !
a + b =!
a !
a +!
a b + b !
a + b b = 74
! ! 2 ! 2 ! !
a b + !
a + b = 2!
a !
a +2 b b = 14 + 74
! 2 p
2 k! k!
2
ak +2 b = 88 a k = 14
! 2 ! p
2 (14) + 2 b = 88 b = 30
! !
4. Si: !
a + b +!
c = 0 . Demostrar:
! ! ! 1 ! 2
a b + b !
c +!
a ! k! + k!
2 2
c = ak + b ck
2
1.18. EJERCICIOS 31
! ! !
Solución. ! a + b +! c = 0 . Multiplicando escalarmente por !a, b
y!c , se tiene
! ! ! 9
!
a ! a +! a b +! a !c = 0 = k! ak +!
2
a b +! a ! c > >
=
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2 ! !
a b + b b + b c = 0 = a b + b + b c
>
! ! ! ! 2 >
;
a ! c + b ! c +! c !c = 0 =! a ! c + b ! c + k!ck
Sumando:
! 2 ! !
k! + k!
c k + 2!
a b + 2!
a !
c +2 b !
2 2
ak + b c = 0
! 2 ! !
k! + k!
c k +2 !
a b +!
a !
c + b !
2 2
ak + b c = 0
! 2 ! !
k! + k! 2 !
a b +!
a !
c + b !
2 2
ak + b ck = c
5. Dado un cuadrilátero demostrar que el cuadrilátero formado por los

puntos medios es un paralelogramo.
Solución. Demostrar que M P QR; es un paralelogramo; entonces:
C
R ( ! !
B Q RQ = M P
! !
MR = PQ
M M ; R; Q; P : Puntos medios.
D
A P
! !
! ! ! BC CD 1 ! !
RQ = RC + CQ = + = BC + CD
2 2 2
! ! ! ! 1 !
BD = BC + CD ) RQ = BD ::: (1)
2
! ! ! ! !
BA + AD = BD BA = 2M A
! !
AD = 2AP
! ! !
2M A + 2AQ = BD
! ! 1 ! ! ! !
M A + AP = BD M P = M A + AP
2
! 1 !
M P = BD::: (2)
2
! !
Igualando (1) y (2): RQ = M P
! !
De una forma análoga se tiene: M R = P Q
6. Demostrar vectorialmente que el triángulo inscrito en una circunfer-

encia que tiene a uno de sus lados como diámetro, es un triángulo
rectángulo:
B
! ! !
AOB : AO + OB = AB
! ! !
COB : OC + CB = OB
! ! !
A C CB = OB OC
O
! !
AB CB = 0
! !
Si: AB ? CB
! ! ! ! ! !
AB CB = AO + OB OB OC
! ! ! !
OB = OC = !
r ) AB CB = 0
Luego el triángulo es rectángulo.
!
7. Si: !
a y b , son vectores unitarios que satisfacen las siguientes rela-
ciones:
v v
u p ! u p !
! u 6 ! u 6
!a + b = t2 1 + !a b = t2 1
3 3
1.18. EJERCICIOS 33
!
¿Qué ángulo forman los vectores !
a y b?
!
Solución.k!a k = b = 1, vectores unitarios.
! ! 2
! ! ! ! ! ! ! 2
a + b = k!
ak +!
a b + b !
2
a + b = a + b a + b
! ! 2
! ! ! ! ! ! ! ! 2
b = k! !
2
a b = a b a ak a b b a + b
! ! 2
! ! 2 ! ! !
a + b a b = 2!
a b +2 b !
a = 4!
a b
p ! p !
6 6 !
2 1+ 2 1 = 4!
a b
3 3
p p
6 ! ! ! ! 6
4 =4a b ) a b =
3 3
! ! !
a b = k!
a k b cos
p p !
6 6
= cos = arc cos
3 3
8. Un vector forma con los ejes Ox y Oz, los ángulos = 120 , = 45 .

Determinar el ángulo que forma con Oy.
1
cos2 + cos2 + cos2 =1 cos =
2
1
cos = 1 cos2 (120 ) cos2 (45 ) cos =
2
1 1
cos = ) 1 = 60 cos = ) = 120
2 2
! ! ! ! ! ! ! ! ! !
9. Sean: A ; B ; C 2 V3 ) A B + C = A B + A + C.
Demostración:
! ! !
Sean: A = (a1 ; a2 ; a3 ), B = (b1 ; b2 ; b3 ) y C = (c1 ; c2 ; c3 )
! ! !
A B+C = (a1 ; a2 ; a3 ) ((b1 ; b2 ; b3 ) (c1 ; c2 ; c3 ))
! ! !
A B+C = (a1 ; a2 ; a3 ) (b1 + c1 ; b2 + c2 ; b3 + c3 )
! ! !
A B+C = a1 (b1 + c1 ) + a2 (b2 + c2 ) + a3 (b3 + c3 )
! ! !
A B+C = (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ) + (a1 c1 + a2 c2 + a3 b3 )
! ! ! ! ! ! !
A B+C = A B+A C
! ! ! !
10. Sean: A ; B 2 V2 ) A B ; representa el área de un paralelogramo.
Demostración.
B A : Área del paralelogramo.
!
h A= A h
θ h
sen = !
A B
!
h = B sen
! ! ! !
A= A B sen S= A B
11. Demostrar que la recta que une los puntos medios de dos lados de un
triángulo es paralela al tercer lado y posee la mitad de su longitud.
Demostración:
P
A C
M ; N : Puntos medios.
M N ! 1!
MP = A
! 2! !
MN + NP = MP
Q R
B
1.18. EJERCICIOS 35
! ! ! ! ! !
MN = MP NP B+C = A
! 1! 1 ! ! ! ! !
MN = A A B C = A B
2 2 !
! C 1 ! !
NP = = A B
2 2
! 1!
MN = B
2
12. Calcular el volumen del paralelepípedo, cuyas aristas adyacentes son:
! ! !
A = (3; 5; 1), B = (0; 2; 2) y C = (3; 1; 1)
Solución.
a1 a2 a3 3 5 1
! ! !
V = A B C = b1 b2 b3 = 0 2 2
c1 c2 c3 3 1 1
V = 3 (2 + 2) ( 3) (6) + (1) ( 6) = 12 + 13 6
V = 36 u3
Capítulo 2
Geometría analítica del espacio
Los puntos del espacio tridimensional pueden ponerse en una correspon-

dencia “uno a uno” con temas de números reales usando tres rectas de co-
ordenads mútuamente perpendiculares, se denominan eje X; eje Y y eje
Z.
Los ejes determinan tres planos coordenados xy ; xz ; yz ; estos tres
planos coordenados dividen el espacio tridimensional en ocho octantes.
El primer octante es en el que todas las coordenadas son positivas; un
punto P está determinado por una terna ordenada (x; y; z); donde los valores
de x; y y z son distancias dirigidas a los planos xy ; xz ; yz : 2 2 4
z
z
P(–1;2;5)
yz
xz
y
y
xy
x Q(2;–2;4)
x
En su generalidad las fórmulas obtenidas en el sistema bidimensional se

pude extender al sistema tridimensional.
37
38 CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO
2.1. Distancia entre dos puntos

Sistema bidimensional:
P1 (x1 ; y1 ) P2 (x2 ; y2 )
q
d = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2
Sistema tridimensional:
P1 (x1 ; y1 ; z1 ) P2 (x2 ; y2 ; z2 )
q
d = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 + (z2 <1 )2
2.2. Punto medio

Sean: P1 (x1 ; y1 ; z1 ) P2 (x2 ; y2 ; z2 )
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2
x= y= z=
2 2 2
M (x; y; z): Punto medio del segmento P1 P2 .
2.3. La recta en el espacio

En la geometría analítica tridimensional el concepto de pendiente es fun-
damental para el análisis de una recta.
En el espacio es más conveniente utilizar vectores para determinar la
ecuación de una recta.
Una recta queda de…nida en el espacio si se conocen:
a) Un punto de ella y la dirección de la recta.
b) Dos puntos de la recta.
c) Dos planos no paralelos que la contengan.

2.3. LA RECTA EN EL ESPACIO 39
De…nición 2.1 La recta en el espacio que contiene el punto P0 (x0 ; y0 ; z0 )

y tiene la dirección del vector !
a = (a1 ; a2 ; a3 ); se de…ne vectorialmente:
L fP0 + t!
a : t 2 Rg P = P0 + t!
a
!a : Vector direccional de la recta puede ser cualquier vector paralelo a

la recta L.
z L
P a
!
P0 P0 P : es paralelo al vector !
a.
r ! !
P0 P = t a Condición de paralelismo.
y
P P0 = t! a
P = P0 + t!
a t2R
2.3.1. Representación paramétrica de la recta

Utilizando la ecuación vectorial de la recta e igualando coordenadas se
tiene:
P = P0 + t! a
(x; y; z) = (x0 ; y0 ; z0 ) + t (a1 ; a2 ; a3 )

9
x = x0 + ta1 = Ecuación de la recta L en su
y = y0 + ta2 forma paramétrica
;
z = z0 + ta3 t2R
En la ecuación vectorial de la recta el punto P0 debe pertenecer a la
recta L como única condición; por lo que si se elige otro punto resulta otra
ecuación, la dirección del vector !
a como es paralelo a la recta L, entonces
existe una in…nidad de vectores directores.
2.3.2. Representación cartesiana de la recta

Existen dos formas de representación cartesiana de una recta:
a) Forma simétrica de la ecuación de la recta: Utilizando las ecua-

ciones paramétricas se tiene:
x = x0 + ta1
y = y0 + ta2
z = z0 + ta3
x x0 y y0 z z0
t= = =
a1 a2 a3
Forma simétrica de la ecuación de la recta con: a1 6= 0, a2 6= 0, a3 6= 0.
Se observa que la ecuación simétrica tiene dos …guras de igual lo que
signi…ca que siempre se necesita dos ecuaciones cartesianas para rep-
resentar la recta.
b) Forma general de la ecuación de la recta:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
L:
A2 x + B2 y + C2 z + D3 = 0
La recta L representa la intersección de las dos ecuaciones (planos), or

tanto los puntos de la recta satisfacen a las dos ecuaciones.
2.3.3. Relaciones entre recta-punto

De…nición 2.2 Distancia de un punto exterior a una recta, representa la
distancia mínima (distancia perpendicular del punto a la recta).
Sean: L : P = P0 + t!
a t2R
Q0 (x0 ; y0 ; z0 )
Q0
z d
sen = !
d L
P0 Q0
.
θ !
a
! P0 Q0 k!
a k sen
P0 d = P0 Q0 sen =
y k!
ak
! !
P0 Q0 a
d=
x k!
ak
Ejemplo 2.1 Calcular la distancia del punto Q0 (2; 3; 6) a la recta L.

z 2 y 7 z+1
L: = =
1 1 4
!
Solución. P0 ( 2; 7; 1), a = (1; 1; 4).
!
P0 Q0 = Q0 P0 = (4; 4; 7)
!a = (1; 1; 4)
!
P0 Q0 !a
d=
k!
ak
! !
P0 Q0 a = ( 9; 9; 0)
! ! p p
P0 Q0 a = 81 + 81 = 9 2
p p
k!
ak = 1 + 1 + 16 = 3 2
p
9 2
d= p d=3u
3 2
2.3.4. Posiciones relativas de dos rectas

Sean:
L1 : P = P0 + t!
a t2R
!
L2 : Q = Q0 + b 2R
a) Paralelismo: Dos rectas son paralelas si sus vectores direccionales son

paralelos.
! !
L1 == L2 ) ! a == b , ! a =nb n2R
1. Perpendicularidad: Dos rectas son perpendiculares si sus vectores

direccionales son perpendiculares:
! !
L1 ? L2 ) ! a ? b ,!
a b =0
2. Coincidencia: Dos rectas son coincidentes si son paralelos y un punto

cualquiera de L1 también pertenece a L2 .
Ejemplo 2.2 Determinar si las siguientes rectas son paralelas, perpendic-
ulares o coincidentes.
8 8
< x=3+t < x=2 2
L1 : y = 1 2t L2 : y =1+4
: :
z=4 t z =5+2
Solución.
! !
a = (1; 2; 1) b = ( 2; 4; 2)
!
b = 2! a ) son paralelos
P0 (3; 1; 4) 2 L1
x = 3 sustituyendo en L2
1
3=2 2 ) =
2
9
1 >
>
y =1+4 = 1 =
2
Q0 (3; 1; 4)
1 >
>
z =5+2 =4 ;
2
Conclusión:
P0 (3; 1; 4) 2 L1
P0 (3; 1; 4) 2 L2
L1 es paralelo a L2 ; entonces L1 y L2 son coincidentes.
d) Intersección de rectas: Si dos rectas en el espacio tienen intersección

se dice que las rectas se cortan, si no tienen intersección se denominan
dos rectas que se cruzan.
1. L1 \ L2 = fg no existe solución (Rectas que se cruzan).

2. L1 \ L2 = M (x0 ; y0 ; z0 ) Única solución.
3. L1 \L2 = In…nitas soluciones, entonces las rectas son coincidentes.
Ejemplo 2.3 Determinar las coordenadas del punto de intersección de las

rectas L1 y L2 .
8
z 3 < x=5
L1 : x 4 = 1 y = = t L2 : y=6 2 2R
2 :
z = 3+2
Solución.
8 Igualando coordenadas
9
< x=4+t 4+t=5 =
L1 : y=1 t 1 t=6 2
: ;
z = 3 + 2t 3 + 2t = 3 + 2
t = = 1::: (1) Solucionando las ecuaciones (1) y (2)
t 2 = 5::: (2) se tiene: t = 1
2t 2 = 6::: (3) =2
Reemplazando: t = 1 y = 2 en la ecuación (3) se obtiene una igualdad,
por tanto es solución.
9
x = 4 + ( 1) = 3 =
y = 1 ( 1) = 2 M (3; 2; 1) Punto de intersección.
;
z = 3 + 2 ( 1) = 1
e) Angulo entre dos rectas:
! !
a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 )
! !
! ! ! a b
a b = k!
a k b cos cos = !
k!
ak b
f) Distancia entre dos rectas no paralelas: Representa la distancia

perpendicular entre los rectas.
a L1
z P0
. L2 d
cos = !
d θ b
Q0 P0
Q0 !
y
d = Q0 P0 cos
!
Sea: !
c =!a b
x
!
c : Vector perpendicular a las direcciones de las rectas L1 y L2 .
!
Q0 P0 k!
c k cos !
Q0 P0 !c
d=
k!
ck d=
k!ck
Nota: Si las rectas son paralelas la fórmula nos da una indeterminación,

es aconsejable en esta situación determinar la distancia con la fórmula dis-
tancia punto recta.
Ejemplo 2.4 Calcular la distancia entre las siguientes rectas.

8
< x = 4 + 3t x 2
L1 : y = 3 2t L2 : = z + 5; y = 2
: 3
z = 2t
Solución. 8 8
< x = 4 + 3t < x=2+3
L1 : y = 3 2t L2 = y =2+0
: :
z = 2t z = 5+
! !
a = (3; 2; 2) b = (3; 0; 1)
! !
c =! a b
2.4. LA ECUACIÓN DEL PLANO 45
Q0 (4; 3; 0) 2 L1 P0 (2; 2; 5) 2 L2
!
Q0 P0 ! c !
d= ! Q0 P0 = ( 2; 5; 5)
kck
! ! p
Q0 P0 C =4 45 30 = 71 k!
ck= 4 + 81 + 36 = 11
71
d= u
11
2.4. La ecuación del plano

Un plano en el espacio queda de…nido ó determinado si se conoce:
a) Un punto del plano y dos vectores directores no paralelos.
b) Tres puntos del plano, pero no colineales.
c) Una recta que pertenece al plano y un punto del plano que no pertenez-
ca a la recta.
d) Dos rectas que se interceptan, contenidos en el plano.
e) Dos rectas que pertenecen al plano.
f) Un punto del plano y un vector perpendicular al plano (normal al
plano).
2.4.1. Ecuación vectorial del plano

La ecuación vectorial del plano, representa la descripción del movimiento
de un vector de posición, para que con su punto extremo recorra todo el
plano.
!
De…nición 2.3 Sea: P0 (x0 ; y0 ; z0 ) que pertenece al plano y N , un vector
normal al plano (perpendicular al plano). El lugar geométrico de los puntos
que satisfacen a la ecuación vectorial, se de…ne:
! !
P0 P N =0 Ecuación vectorial del plano
z
a
P0 (x0 ; y0 ; z0 ) 2 P
.
P P (x; y; z) 2 P
! !
P0 P y P0 P ? N
! !
P0 P N =0
2.4.2. Condición de perpendicularidad

De…nición 2.4 Un plano P es un conjunto de puntos P (x; y; z) 2 R3 de
tal manera que:
n ! o
!
P = P0 + r a + t b =r; t 2 R
z
N
tb P
.
P0 ra y
P
Por el grá…co la ecuación vectorial del plano se representa:

!
P = P0 + r !
a + t b =r; t 2 R
!
Donde: r!
a y t b son vectores paralelos a los vectores directores.
Se puede observar que al igual que la ecuación de la recta, existe una

in…nidad de ecuaciones vectoriales para un mismo plano, ya que basta con
tener otro punto de apoyo, ó un vector director, para que la ecuación sea
distinta.
2.4.3. Ecuación paramétrica del plano
!
P = P0 + r !
a +t b r; t 2 R
(x; y; z) = (x0 ; y0 ; z0 ) + r (a1 ; a2 ; a3 ) + t (b1 ; b2 ; b3 )
8
< x = x0 + ra1 + tb1
P : y = y0 + ra2 + tb2 r; t 2 R
:
z = z0 + ra3 + tb3
2.4.4. Ecuación general del plano

! !
Sea: P : P0 P N = 0. Ecuación vectorial del plano
!
P0 (x0 ; y0 ; z0 ) 2 P N = (A; B; C) Vector normal al plano
P (x; y; z) 2 P : Punto genérico

!
P0 P = (x x0 ; y y0 ; z z0 )
! !
P0 P N =0
(x x0 ; y y0 ; z z0 ) (A; B; C) = 0
Ax + By + Cz + ( Ax0 By0 Cz0 ) = 0
D= Ax0
Cz0 By0
!
P : Ax + By + Cz + D = 0 N = (A; B; C)
2.4.5. Ecuación simétrica del plano
Ax + By + Cz + D = 0 Ecuación general del plano
Ax + By + Cz = D
D
a=
A
x y z D
+ + =1 b=
D D D B
A B C D
c=
C
x y z
+ + =1
a b c
a, b, c : Punto de intersección con los ejes x; y y z respectivamente.
Ejemplo 2.5 Gra…car el siguiente plano:
P : 2x + 3y + z = 12
Solución.
x y z !
+ + = 1 N = (2; 3; 1)
6 4 12
z
12 N
. a=6
b=4
4 y
c = 12
6
x
2.4.6. Ecuación del plano que pasa por tres puntos

Sean: P1 (x1 ; y1 ; z1 ), P2 (x2 ; y2 ; z2 ) y P3 (x3 ; y3 ; z3 ), pertenecen al plano
z
! !
N P0 P N =0
P2 Ecuación vectorial del plano
. P3
! !
P1
P1 P N =0
y ! ! !
P N = P1 P2 P 1 P3
!
N = (P2 P1 ) (P3 P1 )
(P P1 ) [(P2 P1 ) (P3 P1 )] = 0
Ejemplo 2.6 Determinar la ecuación del plano que contiene a los siguientes
puntos: P1 (2; 1; 3), P2 (3; 0; 5) y P3 ( 2; 1; 1).
! !
Solución. P1 P N =0
! ! ! !
N = P 1 P2 P1 P3 N = (1; 1; 1)
!
P1 P2 = (1; 1; 2) (P P1 ) (1; 1; 1) = 0
!
P1 P3 = ( 4; 2; 2) (x 2; y + 1; z 3) (1; 1; 1) = 0
!
N = ( 6; 6; 6)
P :x+y z+2=0
2.4.7. Distancia de un punto a un plano

De…nición 2.5 La distancia más corta entre un punto y un plano repre-
senta la distancia perpendicular entre el punto y el plano.
Sean: Q0 (x0 ; y0 ; z0 ) 2
= P
P : Ax + By + Cz + D = 0
d
cos = !
z P0 Q0
P0
N !
θ d
d = P0 Q0 cos
θ . ! !
. P0 Q0 N cos
P1 y d= !
P N
! !
P0 Q0 N
x d= !
N
Ejemplo 2.7 Determinar la distancia del punto Q0 ( 1; 7; 4) al plano P :
P : 3x 4z 6=0
Solución. elegimos un punto del plano.
Si: z = 0 ) x = 2
P0 (2; 4; 0); Como y no interviene entonces se puede asumir un valor arbi-

trario
! ! !
P0 Q0 N P0 Q0 = ( 3; 3; 4)
d= ! !
N N = (3; 0; 4)
! !
P0 Q0 N = 9 15 = 25
! p
N = 9 + 0 + 16 = 5
25
d= =5u
5
2.4.8. Ángulo entre recta y plano

De…nición 2.6 El ángulo entre una recta y un plano es el que forma la
recta con su proyección perpendicular sobre el plano.
z
L
N Sean: P : Ax + By + Cz + D = 0
φ
a L : P = P0 + t!
a
θ ! ! ! !
. N a = N k a k cos '
y ! !
P N a
cos ' = !
φ + θ = 90° N k! ak
x
! !
N a
cos (90 ) = sen ) sen = ! !
N kak
2.4.9. Intersección entre recta y plano

Sean: P : Ax + By + Cz + D = 0
L : P = P0 + t!
a
a) L\ P = Q0 (x0 ; y0 ; z0 )
!
b) L\ P = fg Resta y plano son paralelos. Por tanto !
a NP = 0
c) L\ P = In…nitas soluciones.
La recta pertenece al plano.
!
d) Si: N = !
a 6= 0 2R
La recta y el plano son perpendiculares
! !
N a =0
Ejemplo 2.8 Determinar el punto de intersección de la recta con el plano.
P : 2x + 3y z 4 = 0
L : P = ( 3; 2; 1) + t (5; 7; 1)
Solución. expresar la recta en su forma paramétrica

8
< x = 3 + 5t Las coordenadas de la recta
L: y = 2 + 7t pertenecen a la ecuación
:
z =1+t del plano.
P : 2x + 3y z 4=0
2 ( 3 + 5t) + 3 (2 + 7t) (1 + t) 4 = 0
6 + 10t + 6 + 21t 1 t 4 = 0
9
1 13 >
>
x= 3+5 = >
6 6 >>
>
1 1 19 = 13 19 7
t= ) y =2+7 = Q0 ; ;
6 6 6 >
> 6 6 6
1 7 >
>
>
>
z =1+ = ;
6 6
2.4.10. Posiciones relativas de dos planos

La posición relativa de dos planos en el espacio, pueden ser paralelos ó
cortrse, si son paralelos y tienen un punto común entonces los planos son
coincidentes.
De…nición 2.7 Sean:

!
P1 : A1 x + B1 y + C1 y = 0 N 1 = (A1 ; B1 ; C1 )
!
P2 : A2 x + B2 y + C2 y = 0 N 2 = (A2 ; B2 ; C2 )
a) Paralelismo:
! ! ! !
P 1 k P2 , N 1 k N 2 ) N 1 = N 2 ; 2R
Los coe…cientes de las ecuaciones cartesianas de los planos deben ser

proporcionales.
A1 B1 C1
= = =
A2 B2 C2
b) Perpendicularidad:
! ! ! !
P 1 ? P2 , N 1 ? N 2 ) N 1 N 2 = 0
A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0
c) Intersección de planos:
a) P1 \ P2 = L0 (Recta).
b) P1 \ P2 = fg Planos paralelos.
c) P1 \ P2 = fg In…nitas soluciones (Planos coincidentes).
Ejemplo 2.9 Determinar la recta de intersección de los siguientes planos.

P1 : x+y 3z + 4 = 0
P2 : 2x y+z 9=0
Solución.
P1 + P2 : 3x 2z 5=0
2z + 5
x= (1)
3
P1 + 3 P2 : 7x 2y 23 = 0
2y + 23
x= (2)
7
2y + 23 2z + 5
Igualando (1) y (2): x = =
7 3
23 5
x 0 y+ z+
= 2 = 2 Ecuación simétrica de la recta
1 7 3
2 2
d) Familia de planos:
P : P 1 + k P2 = 0
P : Representa la familia de planos que pasan por la intersección de
los planos P1 y P2 .
Ejemplo 2.10 Determinar la ecuación del plano que contiene al punto Q0 (1; 2; 1)
y pasa por la intersección de los planos P1 y P2
P1 : 3x + y z 4=0 P2 : x 2y + z 9=0
Solución.
P : P1 + k P2 = 0 : 3x + y z 4 + k (x 2y + z 9) = 0
Q0 (1; 2; 1) 2 P : 3 + 2 + 1 4 + k (1 4 1 9) = 0
2 2
k= ) 3x + y z 4 + (x 2y + z 9) = 0
13 13
P : 41x + 9y 11z 70 = 0
e) Angulo entre dos planos:
El ángulo entre planos representa el ángulo entre sus normales:
! ! ! !
N 1 N 2 = N 1 N 2 cos
! !
N1 N2
cos = ! !
N1 N2
f) Distribución entre dos planos paralelos:

Si los planos son paralelos la distancia entre las dos es siempre la
misma, independientemente donde se ubica.
Para calcular la distancia, se obtiene un punto cualquiera de uno de
los planos, y se emplea la fórmula de distancia punto-plano.
! !
P0 Q0 N
d= !
N
2.4.11. Proyección ortogonal de un punto sobre un

plano.
La proyección ortogonal de un punto P0 (x1 ; y0 ; z0 ) sobre el plano P :
Ax + By + Cz + D = 0 es el punto Q (x; y; z) del plano P .
P0
L !
L : Q = P0 + t N
!
.. N : Representa la dirección de la recta L.
Q L \ P = Q (x; y; z)
2.4.12. Proyección ortogonal de una recta sobre un

plano
La proyección ortogonal de una recta L sobre el plano P ; es la rects h0 ,
que pasa por dos puntos del plano P y que representan las proyecciones
ortogonales de dos puntos, de la recta L sobre el plano P .
2.4.13. Ecuaciones incompletas del plano

Sean: P : Ax + By + Cz + D = 0 Ecuación general del plano.
1. Si D = 0 El plano contiene al origen.
2. Si x = 0 Representa el plano yz .
Si y = 0 Representa el plano xz .
Si z = 0 Representa el plano xy .
3. Si Ax + D = 0 Plano paralelo al plano yz .

Si By + D = 0 Plano paralelo al plano xz .
Si Cz + D = 0 Plano paralelo al plano xy .
4. Ax + By = 0 Contiene el eje z y es perpendicular a xy .

Ax + Cz = 0 Contiene al eje y y es perpendicular a xz .
By + Cz = 0 Contiene el eje x y es perpendicular a yz .
5. Ax + By + D = 0 Es paralelo al eje z y perpendicular a xy .

Ax + Cz + D = 0 Es paralelo al eje y y perpendicular a xz .
By + Cz + D = 0 Es paralelo al eje x y perpendicular a yz .
2.5. Ejercicios
1. Hallar la proyección ortogonal del punto P (5; 2; 1) sobre el plano
P : 2x y + 3z + 23 = 0.
Solución.
L !
N = (A; B; C) = (2; 1; 3)
P ! ! ! !
P 0 P k N ) P0 P = N 2R
N !
P P0 = N
. . !
P0 L : P = P0 + N
(x; y; z) = (x0 ; y0 ; z0 ) + (2; 1; 3)
9 9
5 = x0 + 2 = x0 = 5 2 =
2 = y0 y0 = 2 + 2 P
; ;
1 = z0 + 3 z0 = 1 3
25 2 (2 + ) + 3 ( 1 3 ) + 23 = 0
9
x0 = 1 =
= 2 ) y0 = 4 P0 (1; 4; 7)
;
z0 = 7
2. Demostrar que los tres planos concurren en una misma recta:
P1 : 2x y z+2=0 P2 : x + 2y + 3z 1=0
P3 : 7x + 4y + 7z + 1 = 0
2.5. EJERCICIOS 57
Solución.
Entre el plano P1 y P2 ; se determina la recta de intersección.
2x y z + 2 = 0 4 7z
y= y = 7x + 5
x + 2y + 3z 1 = 0 5
7x + 5 7 0 4 7z
L: = = =0
1 1 5
8 9
>
> 5 t >
>
< x= + > >
7 7 = Debe pertenecer al plano P3 para
L: y =0+t que los tres planos sean concurrentes
>
> 1 5 > >
>
: z= t >; sobre una recta L.
7 7
P3 : 7x + 4y + 7z + 1 = 0
5 t 1 5
7 + + 4 (0 + t) + 7 t +1=0
7 7 7 7
0=0 Los planos son concurrentes.
3. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P1 ( 1; 4; 1),
P2 ( 15; 2; 10) y que intercepta en los ejes de abscisas y de cotas
segmentos de igual longitud y diferente de cero.
x y z
Solución. P : + + = 1. Ecuación simétrica del plano.
a b c
z
a=c
c
x y z
+ + =1
P1 a b c 9
b 1 4 1 >
=
y P1 2 P : + + =1
a P2 a b a
13 2 10 >
P2 2 P : + + =1 ;
a b a
x
4a2 2ab = a2 b 2a2 + 21ab = 0

2
2a2 23ab = a2 b b= a
21
2 2
4a2 2a a = a2 a ) 44a2 + a3 = 0
21 21
88
a= 44 = c b =
21
x y z
Reemplazando en: + + =1
a b c
2x 21y + 2z 88 = 0
4. Hallar el punto de intersección de la recta y el plano

x 1 y+1 z
L: = = =t P : 2x + 3t + z 1=0
1 2 6
Solución. Recta en su forma paramétrica

8
< x=1+t Pertenece al plano P
L: y = 1 2t P (x; y; z) para determinar el punto
:
z = 6t de intersección.
P : 2 (1 + t) + 3 ( 1 2t) + ( 6t) 1=0

x=1+1
t = 1 ) y = 1 2 (1)
z = 6 (1)
P (2; 3; 6) Punto de intersección.
5. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de

los planos P1 y P2 y es paralelo al vector: ! a = (2; 1; 2).
P1 : 2x y + 3z 5=0 P2 : x + 2y z+2=0
Solución.
P 3 : P 1 + k P2 Familia de planos.
P3 : 2x y + 3z 5 + k (x + 2y z + 2) = 0
(2 + k) x + (2k 1) y + (3 k) z + (2k 5) = 0
2.5. EJERCICIOS 59
!
N 3 = (2 + k; 2k 1; 3 k)
! !
P3 k!a ) N3 ? ! a , N3 !a =0
(2 + k; 2k 1; 3 k) (2; 1; 2) = 0
1
4 + 2k 2k + 1 6 + 2k = 0 ) k=
2
1
P3 : 2x y + 3z 5+
(x + 2y z + 2) = 0
2
P3 : 5x + 5z 8 = 0
6. Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y

es perpendicular a los planos P1 y P2
P1 : 2x y + 3z 1=0 P2 : x + 2y + z = 0
! !
Solución. N 1 = (2; 1; 3), N 2 = (1; 2; 1)
!
P3 : Ax + By + Cz = 0 N 3 = (A; B; C)
Condición de perpendicularidad:
! ! )
N 1 N 3 = 2A B + 3C = 0 A = 7B
! ! C = 5B
N 3 N 2 = A + 2B + C = 0
!
N 3 = (A; B; C) = ( 7B; B; 5B) = B (7; 1; 5)
!
N 3 = (7; 1; 5) ) P3 : 7x y 5z = 0
Segundo método, utilizando el producto vectorial
! ! !
bi j b
b k
N3 = N1 N2 = 2 1 3 = j + 5b
7bi + b k
1 2 1
!
N3 = (7; 1; 5) ) P3 : 7x y 5z = 0
7. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P1 (1; 1; 2);
P2 (3; 1; 1) y es perpendicular al plano P : x 2y + 3z 5 = 0.
!
Solución. : Ax + By + Cz + D = 0 N = (A; B; C)
!
N P = (1; 2; 3)
9
P1 2 : A B 2C + D = 0 =
P2 2 : 3A + B + C + D = 0
! ! ;
N N P = 0 : A 2B + 3C = 0
Resolviendo el sistema en función de C

C ! C
A= 2C, B = N = (A; B; C) = 2C; ;C
2 2
! C !
N = (4; 1; 2) N = (4; 1; 2)
2
! !
: P0 P N = 0
!
P0 P = (x 1; y + 1; z + 2)
(x 1; y + 1; z + 2) (4; 1; 2) = 0
4 (x 1) (y + 1) 2 (z + 2) = 0
4x y 2z 9=0
8. Hallar las coordenadas del punto Q (x0 ; y0 ; z0 ) que es simétrico al punto

P (1; 3; 4) con respecto al plano P : 3x + y 2z = 0.
Solución.
L
Q !
NP N P = (3; 1; 2)
! ! ! !
P M k N P ) P M = tN P
!
. M L : M = P + tN P
P M = (1; 3; 4) + t (3; 1; 2)
P
2.5. EJERCICIOS 61
9
x = 1 + 3t =
y =3+t 2 P
;
z = 4 2t
3 (1 + 3t) + (3 + t) 2( 4 2t) = 0 ) t = 1
M (x; y; z) ) M ( 2; 2; 2)
! !
Según grá…co: P M = M Q M P = Q M
Q = 2M P = 2 ( 2; 2; 2) (1; 3; 4)
Q = ( 4; 4; 4) (1; 3; 4) Q = ( 5; 1; 0)
9. Hallar la distancia entre las rectas no paralelas
x+7 y+4 z+3 x 21 y+5 z 2

L1 : = = L2 : = =
3 4 2 6 4 1
Solución.
! !
Q0 P0 c !
d= !
c =!
a b
k!ck
!
Q0 = ( 7; 4; 3) P0 (21; 5; 2) ) Q0 P0 = (28; 1; 5)
!a = (3; 4; 2) !
! !
c =!
a b = ( 12; 9; 36)
b = (6; 4; 1)
! !
Q0 P0 c = (28; 1; 5) ( 12; 9; 36)
q
! ! !
Q0 P0 c = 507 k c k = (12)2 + (9)2 + (36)2 = 39
507
d= ) d = 13 u
39
10. Hallar la ecuación de la recta formada por la intersección del plano

1 : 3x y 7z + 9 = 0, con el plano que pasa por el origen OX y
por el punto E (3; 2; 5).
Solución.
z
! ! !
N2 N 2 = OA OE
! !
. OA = (1; 0; 0) OE = (3; 2; 5)
O(0;0;0) . !
y
N 2 = (0; 5; 2)
A(1;0;0)
2 : Ax + By + Cz = 0
E
2 : 5y + 2z = 0
x
L: 1 \ 2
1 : 3x y 7z + 9 = 0
2z
2 : 5y + 2z = 0 ) y =
5
5y
z=
2
5y
3x y 7 +9 = 0
2
2x 6
6x + 33y + 18 = 0 ) y =
11
2x 6 2z
L: =y=
11 5
11. Hallar la ecuación del plano que proyecta ortogonalmente la recta:
3x + 2y z 1=0
L:
2x 3y + 2z 2=0
sobre el plano
P : x + 2y + 3z 5=0
2.5. EJERCICIOS 63
Solución. Determinamos dos puntos de la recta
2y z 1 = 0 y=4
L Si: x = 0 )
P2
3y + 2z 2 = 0 z=7
P1 P1 (0; 4; 7)
1
E 3x z 1=0 x=
. Si: y = 0 ) 2
2x + 2z 2=0 1
.
z=
2
P 1 1
P2 ; 0;
2 2
: Ax + By + Cz + D = 0
! ! ! !
N = (1; 2; 3) N = (A; B; C) Condición: N P N =0
! ! 9
N P N = 0 : A + 2B + 3C = 0 >
>
= Resolviendo en función de C
P1 2 : 4B + 7C + D = 0 1 8 3
1 1 >
> A = C, B = C, D = C
P2 2 : A+ C +D =0 ; 5 5 5
2 2
Reemplazando en : Ax + By + Cz + D = 0
1 8 3
Cx Cy + Cz C=0
5 5 5
: x 8y + z 3=0
12. Hallar la ecuación canónicade la recta que pasa por el punto P0 (2; 4; 1)
y por el punto medio del segmento de la recta L contenido entre los
planos 1 y 2 .
3x + 4y + 5z 26 = 0 1 : 5x + 3y 4z + 11 = 0
L:
3x 3y 2z 5=0 2 : 5x + 3y 4z 41 = 0
Solución.
a1
1 L1
2
P0 3x + 4y + 5z 26 = 0
L:
3x 3y 2z 5=0
A Q
B
Determinando la ecuación de la recta L y expresando en su forma

simétrica:
z = y + 3 z = 3x + 14
L: 3x + 14 = y + 3 = z = t
8 9
> 14 t >
< x= =
3 3 Pertenece a los planos 1 y 2 ;
L: y=3 t
>
: >
; se determina los puntos A y B.
z =0+t
14 t
L \ 1 = A (x; y; z) : 5 + 3 (3 t) 4t + 11 = 0
3 3
t = 5 ) A (x; y; z) = A (3; 2; 5)
14 t
L \ 2 = B (x; y; z) : 5 + 3 (3 t) 4t 41 = 0
3 3
t = 1 ) B (x; y; z) = A (5; 4; 1)
! !
Grá…co: BQ = QA ) Q B=A Q
1
2Q = A + B Q = (A + B) ) Q (4; 1; 2)
2
! !
a 1 = QP0 = P0 Q = (2; 4; 1) (4; 1; 2)
!a 1 = (2; 5; 3)
!
a 1 = ( 2; 5; 3) L1
P0 = (2; 4; 1)
L1 : P P0 + t!
a1 L : P = (2; 4; 1) + t (2; 5; 3)
2.5. EJERCICIOS 65
13. Hallar la distancia del punto Q0 (3; 1; 4) a la recta L : x = 2 + 3t;

y = 2t; z = 1 + 4t.
Solución.
! !
P0 Q0 a
d=
k!
ak
P0 ( 2; 0; 1)
!
P0 Q0 = Q0 P0 = (5; 1; 3) ! !
! P0 Q0 a = (2; 11; 7)
a = (3; 2; 4)
! ! p
P0 Q0 a = 174
p p
k!
ak = 9 + 4 + 16 = 29
p
174 p
d= p d= 6u
29
Capítulo 3
Super…cies
El estudio de las super…cies es muy importante en el campo de la inge-

niería, para muchas aplicaciones en diferentes áreas.
De…nición 3.1 Una super…cie en el espacio representa el lugar geométrico
de todos los puntos que tienen representación grá…ca en tres dimensiones
que satisfacen a la siguiente ecuación:
S = (x; y; z) 2 R3 =F (x; y; z) = 0
F (x; y; z) : Representa una super…cie algebraica en tres variables x, y,
z.
Considerar las siguientes observaciones:
a) La ecuación F (x; y; z) = 0, contiene tres variables, sin embargo la
ecuación de una super…cie puede contener solamente una ó dos vari-
ables, por ejemplo la ecuación: x = k, k 2 R, representa un plano
paralelo al plano yz .
La ecuación: x2 + y 2 = 4, considerado en el espacio, representa un
cilindro circular recto.
b) Toda ecuación de la forma F (x; y; z) = 0, no necesariamente repre-
senta una super…cie, por ejemplo:
x2 + y 2 + 3z 2 = 0 (1)
+x2 + 2y 2 + 3z 2 = 4 (2)
67
68 CAPÍTULO 3. SUPERFICIES
La ecuación (1) representa un solo punto que en este caso es el origen,

ya que únicamente es satisfecha para los valores x = y = z = 0. La
ecuación (2) no representa ningún lugar geométrico, ya que la suma
de tres cantidades positivas no puede ser negativas.
c) La ecuación de la forma F (x; y; z) : x2 + y 2 = 1 expresión de dos

variables, representa una super…cie denominada cilindro.
d) Una curva en dos dimensiones se representa por una sola ecuación, esto
se debe a que se trabaja solo en el plano xy considerando z = 0.
e) Una curva en el espacio tridimensional requiere para su representación

dos ecuaciones cartesianas, lo que signi…ca que una curva puede obten-
erse como la intersección de dos super…cies. Por ejemplo una circun-
ferencia en el espacio puede representarse como la intersección de una
esfera y un plano. La recta como intersección de dos planos.
3.1. Trazado de una super…cie

Para construir la grá…ca de una super…cie se considera las siguientes
características:
1. Intersección con los ejes coordenados.
a) Intersección eje X : y = z = 0 ) F (x; 0; 0) = 0.

b) Intersección eje Y : x = z = 0 ) F (0; y; 0) = 0.
c) Intersección eje Z : x = y = 0 ) F (0; 0; z) = 0.
2. Trazas sobre los planos coordenados.

Dada la super…cie: F (x; y; z) = 0, la traza de la super…cie representa
la curva que resulta de la intersección de la super…cie con cada uno de
los planos coordenados.
a) z = 0; g (x; y) = 0 traza sobre el plano xy .

b) y = 0; g (x; z) = 0 traza sobre el plano xz .
3.1. TRAZADO DE UNA SUPERFICIE 69
c) x = 0; g (y; z) = 0 traza sobre el plano yz .
3. Simetría.
La simetría de la super…cie F (x; y; z) = 0; se determina considerando
las siguientes características.
a) Simetría respecto al origen: F (x; y; z) = F ( x; y; z).

b) Simetría con el eje X : F (x; y; z) = F (x; y; z).
c) Simetría con el eje Y : F (x; y; z) = F ( x; y; z).
d) Simetría con el eje Z : F (x; y; z) = F ( x; y; z).
e) Simetría respecto al plano xy : F (x; y; z) = F (x; y; z).
f ) Simetría respecto al plano xz : F (x; y; z) = F (x; y; z).
g) Simetría respecto al plano yz : F (x; y; z) = F ( x; y; z).
4. Secciones transversales ó secciones planas paralelas a los planos coor-

denados.
Representa la curva de intersección formada por la super…cie y la in-
tersección de los planos paralelos a los planos coordenados.
a) Secciones paralelas al plano xy con z = k. F (x; y; k) = 0, curva

de intersección del plano z = k con la super…cie F (x; y; z) = 0.
b) Secciones paralelas al plano yz con x = k. F (k; y; z) = 0, curva
de intersección del plano x = k con la super…cie F (x; y; z) = 0.
c) Secciones paralelas al plano xz con y = k. F (x; k; z) = 0, curva
de intersección del plano y = k con la super…cie F (x; y; z) = 0.
5. Extensión de la super…cie
Representa los intérvalos de variación de las valores reales que las vari-
ables pueden tener en la ecuación F (x; y; z) = 0, donde: z = g (x; y).
Determinar si la super…cie es cerrada ó inde…nida en su extensión.
6. Representación grá…ca
Considerando las características anteriores se procede a construir la
grá…ca de la super…cie.
3.2. Clasi…cación de las super…cies

Se realiza una clasi…cación de acuerdo a sus características geométricas
ó las particularidades de sus ecuaciones.
a) Super…cies alabeadas: Son aquellas que no están contenidas en sus

planos.
b) Super…cies cuadricas: Son ecuaciones de segundo grado en tres vari-

ables.
c) Super…cies cilíndricas: Se llama super…cie cilíndrica a aquellas que

se forma con el movimiento de una recta que se conserva siempre
paralelo a un vector dado y que se apoya en una curva …ja.
d) Super…cies cónicas: Se llama super…cie cónica a aquella que se gen-

era con el movimiento de una recta que pasa siempre por un punto …jo
llamado vértice y que se apoya en una curva …ja.
e) Super…cie de revolución. Son aquellas que se generan con el giro

de una curva plana llamada meridiana, alrededor de un eje contenido
en el mismo plano.
3.3. Super…cies cuadricas

Se llama super…cie cuadrica a toda ecuación polinómica de segundo grado
en tres variables, cuya representación analítica es de la forma:
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Donde por lo menos una de las constantes de las variables es diferente

de cero.
Las super…cies cuadricas se clasi…can:
3.3. SUPERFICIES CUADRICAS 71
Esfera; Elipsoide; Hiperboloide de una hoja; hiperboloide de dos hojas;

paraboloide elíptico; paraboloide hiperbólico; cono.
Elipsoide:
Con centro: Una hoja.
Hiperboloide de:
Dos hojas.
Elíptico.
Cuádricas Sin centro: Paraboloide:
Hiperbólico.
Cilíndricas.
Degeneradas: Superficies:
Cónicas.
La ecuación general no es sencilla por tanto es complicado determinar las

propiedades geométricas de las super…cies. Mediante una transformación de
coordenadas, se puede expresar la ecuación de una forma más simple; anular
los términos xy, xz, yz; mediante una rotación de ejes, y los términos de
primer grado con una traslación de ejes coordenados.
La ecuación algebraica de las super…cies, con una transformación de co-
ordenadas, se llega a simpli…car y simpli…car a dos tipos de ecuaciones:
a) Ax2 + By 2 + Cz 2 + D = 0.
Representa a las ecuaciones cuadráticas con centro ó centradas.
b) Ax2 + By 2 + Ez = 0
Representa a las ecuaciones cuadráticas sin centro ó no centradas.

3.3.1. La esfera
La super…cie esférica es el lugar geométrico de los puntos del espacio que
equidistan de un punto …jo.
z
r
(x h)2 + (y k)2 + (z l)2 = r2

r C (h; k; l)
y
r
x2 + y 2 + z 2 = r2 Eciación canónica.
a) Intersección: Con los ejes coordenados:

x= r y= r z= r
b) Trazas: Las trazas sobre los planos coordenados representa circunfer-

encias:
z = 0 ) x2 + y 2 = r2 Traza en el plano xy Circunferencia.
y = 0 ) x2 + z 2 = r2 Traza en el plano xz Circunferencia.
x = 0 ) y 2 + z 2 = r2 Traza en el plano yz Circunferencia..
c) Secciones paralelas a los planos coordenados: Representa familia
de circunferencias.
z = k ) x2 + y 2 = (r2 k2) Familia de circunferencias.
y = k ) x2 + z 2 = (r2 k2) Familia de circunferencias.
2 2 2 2
x = k ) y + z = (r k ) Familia de circunferencias.
d) Simetría:
F (x; y; z) = F ( x; y; z)
x2 + y 2 + z 2 = r2 ) ( x)2 + ( y)2 + ( z)2 = r2
Simetría respecto al origen.
3.3.2. Elipsoide
Es el lugar geométrico de los puntos (x; y; z) que satisfacen a la siguiente
ecuación:
z
c
x2 y 2 z 2
b + 2 + 2 =1
a
a2 b c
y b > a; b > c
a) Intersección: Con los ejes coordenados

x= a y= b z= c
b) Trazas:
x2 y 2
z = 0) + 2 =1 Elipse.
a2 b
x2 z 2
y = 0) 2 + 2 =1 Elipse.
a c
y2 z2
x = 0) 2 + 2 =1 Elipse.
b c
c) Secciones paralelas a los planos coordenados: Representa familia
de elipses:
x2 y 2 z2
z = k) + 2 = 1 Familia de elipse.
a2 b c2
2
x z2 k2
y = k) 2+ 2 = 1 Familia de elipse.
a c b2
2
y z2 x2
x = k) 2 + 2 = 1 Familia de elipse.
b c a2
d) Simetría: Es simétrica respecto al origen, en los ejes y a los planos
coordenados.
3.3.3. Hiperboloide de una hoja

Si la ecuación posee dos coe…cientes positivos y uno negativo se denomina
hiperboloide de una hoja.
z
b x2 y 2 z2
y + 2 =1
a a2 b c2
a) Intersección: Con los ejes coordenados.

x= a y= b z=@
b) Trazas:
x2 y 2
z = 0) + 2 =1 Elipse.
a2 b
2
x z2
y = 0) 2 =1 Hipérbola.
a c2
y2 z2
x = 0) 2 =1 Hipérbola.
b c2
c) Secciones paralelas a los planos coordenados:
x2 y 2 z2
z = k) + = 1 + Familia de elipse.
a2 b2 c2
x2 z 2 k2
y = k) 2 = 1 Familia de hipérbolas.
a c2 b2
y2 z2 x2
x = k) 2 = 1 Familia de hipérbolas.
b c2 a2
d) Simetría: Es simétrica respecto al origen; a los ejes y a los planos

coordenados es una super…cie abierta.
3.3.4. Hiperboloide de dos hojas

Si la ecuación posee dos coe…cientes negativos se denomina hiperboloide
de dos hojas.
z
x2 y2 z2
y =1
a2 b2 c2

x= a y=@ z=@
b) Trazas:
x2 y2
z = 0) = 1 Hipérbola
a2 b2
x2 z2
y = 0) 2 = 1 Hipérbola.
a c2
x = 0 ) No representa ningun lugar geométrico.

x2 y2 z2
z = k) = 1+ Familia de hipérbolas.
a2 b2 c2
x2 z2 k2
y = k) 2 = 1+ Familia de hipérbolas.
a c2 b2
Si: k > a entonces
y2 z2 x2
x = k) 2 + 2 = 1 representa familia
b c a2
de elipses.
d) Simetría: Es simétrica respecto al origen; a los ejes y a los planos

coordenados es una super…cie abierta.
3.3.5. Paraboloide elíptico

Es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen a la siguiente ecuación:
z
x2 y 2
+ 2 =z
a2 b
y

x=y=z=0
b) Trazas:
x2 y 2
z = 0) + 2 = 0 Un punto
a2 b
2
x
y = 0) 2 =z Parábola.
a
y2
x = 0) 2 =z Parábola.
b
x2 y 2
z = k) + 2 =k Familia de Elipses.
a2 b
x2 k2
y = k) 2 = z Familia de Parábolas.
a b2
y2 k2
x = k) 2 = z Familia de Parábolas.
b a2
d) Simetría: Posee dos planos de simetría xz ; yz ; llamados planos

principales y un eje de simetría (eje Z) llamado eje principal; la super-
…cie es abierta.
3.3.6. Paraboloide hiperbólico

Es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen a la siguiente ecuación:
z
x2 y2
=z
y a2 b2

x=y=z=0
b) Trazas:
x2 y 2
z = 0) = 0 Dos rectas.
a2 b2
x2
y = 0) 2 =z Parábola.
a
y2
x = 0) =z Parábola.
b2
x2 y 2
z = k) 2 =k Familia de Hipérbolas.
a b2
x2 k2
y = k) 2 = z+ 2 Familia de Parábolas.
a b
y2 k2
x = k) 2 = z Familia de Parábolas.
b a2
d) Simetría: Posee dos planos de simetría xz ; yz ; denominados

planos principales y un eje de simetría (eje Z) llamado eje princi-
pal; la super…cie es abierta; puesto que las tres variables pueden tomar
cualquier valor real.
3.3.7. Cono elíptico

Es el lugar geométrico de los puntos P (x; y; z) 2 R3 ; que satisfacen a la
siguiente ecuación:
z
x2 y 2 z2
+ =
y a2 b2 c2

x=y=z=0
b) Trazas:
x2 y 2
z = 0 ) 2 + 2 = 0 Un punto.
a b
x2 z2
y = 0) 2 = 2 Dos rectas.
a c
y2 z2
x = 0) = Dos rectas.
b2 c2
x2 y 2 k2
z = k) + = Familia de Elipses.
a2 b2 c2
2 2
x k z2
y = k) 2+ 2 = 2
a b c
z 2 x2 k2
= 2 Familia de Hipérbolas.
c2 a2 b
z2 y2 k2
x = k) 2 = 2 Familia de Hipérbolas.
c b2 a
3.4. SUPERFICIES CILÍNDRICAS 79
d) Simetría:Posee simetría respecto al origen; tiene simetría respecto a

los planos coordenados y ejes coordenados; la super…cie es abierta.
3.4. Super…cies cilíndricas

De…nición 3.2 Se llama super…cies cilíndricas a la super…cie que es gen-
erada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana conocida,
de tal manera que siempre se mantenga paralela a una recta …ja dada; que
no pertenece al plano de dicha curva.
La recta móvil se denomina generatriz y la curva plana se denomina

directriz de la super…cie cilíndrica.
Si la generatriz de una super…cie cilíndrica es perpendicular al plano de
la directriz; la super…cie se denomina cilindro recto, caso contrario cilindro
oblícuo.
Una super…cie es cilíndrica si F (x; y; z) no contiene explícitamente una
de las tres variables.
z = 0, F (x; y) = 0 Curva generatriz perteneciente al plano xy ;
rectas generatrices paralelas al eje Z.
y = 0, F (x; z) = 0 Curva generatriz perteneciente al plano xz ;
rectas generatrices paralelas al eje Y .
x = 0, F (y; z) = 0 Curva generatriz perteneciente al plano yz ;
rectas generatrices paralelas al eje X.
y
Rectas
generatrices
x Curva directriz
Ejemplo 3.1 Sc = f(x; y; z) 2 R3 =z = x2 g
Rectas
Curva directriz generatrices
z
Ejemplo 3.2 Sc = f(x; y; z) 2 R3 =x2 + z 2 = r2 g
Rectas
z generatrices
Curva directriz
Ejemplo 3.3 Sc = f(x; y; z) 2 R3 =z = sen yg

Primero gra…car la función en el plano yz ; y luego trazar rectas parale-
las al eje X.
z
En super…cies se tiene dos problemas a resolver:
a) Problema directo: Dada una curva (curva directriz) y un vector

direccional de una recta (recta generatriz); encontrar la ecuación de la
super…cie cilíndrica.
1. Sea: F (x; y) = 0 (Ecuación de la curva en el plano xy .

z=0
L : Recta generatriz con !

a = (a; b; c) (vecor direccional).
L:P !
L
8 = P0 + t a
y < x = x0 + ta
P0 (x0;y0;z0) L: y = y0 + tb
:
z = z0 + tc
x
a
x0 = x ta x0 = x z
c
b
y0 0y tb y0 = y z
z c
t=
c
P0 (x; y; 0) 2 F (x; y) = 0
c 6= 0
F (x0 ; y0 ) = 0
a b c 6= 0
F x z; y z =0
c c Ecuación de la super…cie cilíndrica.
2. Sea: F (x; z) = 0 !
a = (a; b; c) b 6= 0
a c
F (x0 ; z0 ) F x y; z y =0
b b
3. Sea: F (y; z) = 0 !
a = (a; b; c) b 6= 0
b c
F (y0 ; z0 ) F y x; z x =0
a a
Ejemplo 3.4 Hallar la ecuación de la super…cie directriz y = x2 y recta

generatriz con vector direccional !
a = (1; 2; 3).
Solución.
y = x2 F (x; y) = 0. La curva directriz está en el plano xy

8 z 9
< x = x0 + t x0 = x t =
x0 = x
L: y = y0 + 2t y0 = y 2t 3z F (x0 ; y0 ) = 0
: z y0 = y 2 ;
z = 3t t= 3
3
2 z
y = x2 y0 = x20 y= z= x
3 3
9x2 + z 2 9y + 6z 6xz = 0 y
b) Problema inverso: Conocida la ecuación de una super…cie cilíndrica,

encontrar la curva directriz que la genera y el vector direccional de la
recta generatriz.
1. Sea G (x; y; z) = 0; la ecuación de la super…cie cilíndrica, si la cur-

va directriz esta en el plano xy ; entonces z = 0; luego G (x; y; 0)
genera una curva que se encuentra en el plano xy . Entonces
F (x; y) = 0 representa la ecuación de la curva; el vector direc-
cional !a = (a; b; c); se determina con la ecuación de la forma
directriz de la siguiente forma:
a b
F x z; y z =0 c 6= 0
c c
De la ecuación se identi…can los valores de a, b y c.

2. Sea: G (x; y; z) = 0 la ecuación de la super…cie cilíndrica; si la
curva esta en el plano yz ; entonces x = 0; luego F (y; z) = 0
genera una curva en el plano yz (curva directriz). El vector
direccional !a = (a; b; c) se encuentra con la ecuación de la curva

directriz de la siguiente manera:
b c
F y x; z x = 0 a 6= 0
a a
De la ecuación se identi…can los valores de a, b y c. Igual que el

punto (2) solo.
3. Cambiar; en el punto (2)
Sea: G (x; y; z) = 0
Esta en el plano xz entonces y = 0, luego F (x; z) = 0 genera
una curva en el plano xz (curva directriz). El vector direccional
!
a = (a; b; c), se encuentra con la ecuación de la curva directriz
de la siguiente forma:
a c
F x y; z y = 0 b 6= 0
b b
De la ecuación se identi…can los valores de a, b y c.
Ejemplo 3.5 Hallar la ecuación de la directriz y el vector direccional de la

recta generatriz si la ecuación de la super…cie cilíndrica es:
17x2 + 2y 2 + z 2 8xy 6xz 2=0
Solución.
Sea: x = 0 ) 2y 2 + z 2 2 = 0. Pertenece al plano yz .
y2 z2
+ = 1 Elipse; F (y; z) = 0
1 2
b c
F (x0 ; y0 ) = 0 F y x; z x = 0 a 6= 0
a a
2
b c 2
2y02 + z02 2=0 2 y x + z x 2=0
a a
17x2 + 2y 2 + z 2 8xy 6xz 2=0
Agrupando
8x2 8xy + 2y 2 + z 2 6xz + 9x2 2 = 0

2 y2 4xy + 4x2 + z 2 6xz + 9x2 2 = 0
9 9
2 (y 2x)2 + (z 3x)2 2 = 0 = 2=
b =
2
ac b = 2a
b c 2
2 y x + z x 2=0 ; 3 = ; c = 3a
a a a
!a = (a; b; c) = (a; 2a; 3a) = a (1; 2; 3)
!
a = (1; 2; 3)
2 2 y2 z2
2y + z 2=0 + =1 Curva directriz
1
! 2
a = (1; 2; 3) Recta generatriz.
Ejemplo 3.6 Hallar la ecuación de la curva directriz y el vector direccional

a la recta generatriz si la ecuación de la super…cie cilindrica es:
9x2 + z 2 9y + 9z 6xz = 0
Solución.
Sea: z = 0 ) 9x2 9y = 0
y = x2 ; pertenece al plano xy : Curva directriz.
a b
F (x; y) = 0 F (x0 ; y0 ) = 0 F x z; y z = 0 c 6= 0
c c
b a 2
y z= x z
c c
9x2 + z 2 9y + 6z 6xz = 0
Agrupando:
9y 6z = 9x2 6xz + z 2
2 2 z2
9 y z = 9 x2 xz +
3 3 9
9 9
2 z 2
>
= b 2 > 2
y z= x = = b= c
3 3 c 3 3
b a 2
> a 1 1
y z= x z ; = >; a= c
c c c 2 2
! 1 2 c
a = (a; b; c) = c; c; c = (1; 2; 3)
3 3 3
!
a = (1; 2; 3) Vector direccional
2
y = x : Curva directriz.
y = x2
z
a = (1;2;3)
y
x
Resumen
Cuádricas centradas: Ax2 + By 2 + Cz 2 = D

A; B; C Super…cie
Todos positivos Elipsoide
Dos (+) y uno ( ) Hiperboloide de una hoja.
D > 0 Uno (+) y dos ( ) Hiperboloide de dos hojas.
Uno cero, dos (+) Cilindro eliptico recto.
Uno cero, uno (+) y uno ( ) Cilindro hiperbólico recto.
D = 0 Dos (+) y uno ( ) Curvas rectas.
Cuádricas no centradas: Ax2 + By 2 = Ez

A; B Super…cie
E > 0 Igual signo Paraboloide elíptico.
Signos opuestos Paraboloide Hiperbólico.
Uno cero Cilindros parabólicos.
Capítulo 4
Funciones de varias variables
Hasta el momento se ha utilizado funciones de una sola variable inde-

pendiente.
Una función f : A ! B j y = f (x); no vacío de pares ordenados; tal
que dos pares diferentes no tienen igual de primera componente, es función.
Toda función cumple con las condiciones de unicidad y de existencia.
Condición de unicidad: Todo elemento del dominio tiene una y

solamente una imagen.
Condición de existencia: Todo elemento del dominio tiene imagen.
p
Ejemplo 4.1 Sea y = f (x) = 4 x2 ; función. Determinar el dominio y
rango.
Solución. Condición de existencia:
4 x2 0
(2 x) (2 + x) 0
2 x = 0 ) x1 = 2 –∞ +∞
2 + x = 0 ) x2 = 2 –2 2
Df : [ 2; 2] Rf : [0; 2]
p
f : [ 2; 2] ! [0; 2] j y = f (x) = 4 x2
87
88 CAPÍTULO 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Existen muchas fórmulas ó magnitudes de uso frecuente que son funciones

de dos ó más variables, por ejemplo el trabajo es función de la distancia y
la fuerza aplicada W = F d; el área de un triángulo es función de la base
1
y la altura A = b h, el volumen de un cilindro circular recto, es función
2
del radio de la circunferencia y la altura V = r2 h. El volumen de un
paralelepípedo es función del área de la base por la altura V = x y z.
La notación matemática para las funciones de dos o tres variables es
similar a lo utilizado para funciones de una variable independientemente.
y = f (x) = x2 3x + 8, función de una variable independiente.

p
z = f (x; y) = x2 y 2 , función de dos variables independientes.
u = f (x; y; z) = log (x + y + z), función de tres variables independi-
entes.
De forma general se considera funciones cuyo dominio son conjuntos de

números reales. Consideremos el dominio de una función como un conjunto
de pares ordenados de números reales, ó n-ordenados de números reales.
f : R2 ! R j y = f (x; y)
Función cuyo dominio es el conjunto de pares ordenados (x; y).
A = f[(1; 2) ; 3] ; [(2; 1) ; 3] ; [( 2; 4) ; 6] ; [(1; 1) ; 4]g
Representa una función de dos variables independientes cuyo dominio y ran-

go son:
Df = f(1; 2) ; (2; 1) ; ( 2; 4) ; (1; 1)g

Rf = f3; 6; 4g
Función real de “n”variables independientes
f : Rn ! R j y = f (x1 ; x2 ; x3 ; :::; xn )
D Rn : Dominio de la función.
I R : Recorrido de la función.
89
De…nición 4.1 Una función f de dos variables; x e y (variables independi-

entes) es una regla de correspondencia que asigna un valor real único f (x; y)
a cada par (x; y) de algún conjunto “D” que pertenece al plano xy :
El conjunto “D” representa el dominio de la función es el conjunto de
puntos que pertenecen al plano xy en la cual esta de…nida la función.
y
?2
D
P2 P1 (x1;y1)
f : R2 ! R j z = f (x; y)
p
x f : R2 ! R j z = x y 4
f : R2 ! R j z = f (x; y) = ln ( x y)
z2 z1 z
De…nición 4.2 Una función “f ” de tres variables independientes es una

correspondencia que asocia a cada tema (x; y; z) del conjunto “A” un único
número real en el conjunto “B”.
z
?3
P1 (x1;y1; z1)
P2
f : R3 ! R j u = f (x; y; z)
P3 y x+y
f : R3 ! R j u = 2
z y
x
?
z2 z3 z1
De…nición 4.3 Una función f de R en R asigna a cada vector (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2

R uno y solamente un vector (y1 ; y2 ; :::; yn ) 2 Rm .
f : Rn ! Rm j y = f (x1 ; x2 ; x3 ; :::; xn )
Rn : Conjunto inicial.
Rm : Conjunto …nal.
D Rn : Dominio de la función.
D0 Rm : Recorrido de la función.
Si: m = 1, la función se denomina, función real de variable vectorial.
Si: m > 1, la función se denomina, función vectorial de variable vectorial.
Notación 4.1 Por su generalidad el estudio se basará en campos escalares

a dos o tres variables, estas funciones vienen expresados de dos formas:
Forma Explícita:
z = f (x; y) = x2 ln (x + y) + sen x2 + y 2 + 1
Forma Implícita:
x + xyz ln (xyz) + z 4 4=0
4.1. Algebra de funciones de varias variables

Las funciones de varias variables se pueden combinar de la misma forma
que las funciones de una sola variable independiente.
(f g) (x; y) = f (x; y) g (x; y)

(f g) (x; y) = f (x; y) g (x; y)
f f (x; y)
(x; y) = g (x; y) 6= 0
g g (x; y)
En general la composición de funciones de varias variables no esta de…ni-

da.
4.2. Ejercicios
Determinar y gra…car el dominio de las siguientes funciones:
1. z = f (x; y) = ln (x2 y).

Solución.
4.2. EJERCICIOS 91
Condición de existencia: x2 y > 0.

y < x2 ; se gra…ca asumiendo la igualdad y = x2 ; la grá…ca es discon-
tinua, porque la desigualdad es estrictamente menor (<)
y
y = x2
(5;0) x
El plano xy queda dividido en dos partes una que es interior a la

parábola y la otra es la parte exterior.
El dominio se obtiene seleccionando un punto arbitrario en la parte
interna ó externa de la parábola P (5; 0)
x2 y > 0
25 > 0 Verdadero
El dominio representa la parte externa a la parábola.

s
x2 + y 2
2. z = f (x; y) = .
x2 y 2
Solución.
x2 + y 2
Condición de existencia: 0; x2 y 2 6= 0.
x2 y 2
x2 + y 2 0
x2 y 2 > 0 (x y) (x + y) > 0
y
y = –x y=x
x y=0 y=x
x
x+y =0 y = x
(6;0)
Gra…ca discontinua por ser estrictamente mayor.

La grá…ca divide al plano en 4 partes; se asume un punto de prueba.
P (6; 0) (x y) (x + y) > 0
36 > 0 Verdadero
p
3. z = f (x; y) = (x2 + y 2 1) (4 x2 y2)
Solución.
Condición de existencia: (x2 + y 2 1) (4 x2 y2) 0.
x2 + y 2 1 = 0 x2 + y 2 = 1 C1 (0; 0) x1 = 1
4 x2 y 2 = 0 x2 + y 2 = 4 C2 (0; 0) x2 = 2
Seleccionando un punto
arbitrario P (4; 0)
P (4;0)
P (4 : 0) (x2 + y 2 1) (4 x2 y 2 ) 0
1 2 x
(+) ( ) 0
( ) 0 (Falso)
El dominio de la función representa el semiplano comprendido entre

las dos circunferencias.
s
x2 + y 2 x
4. z = f (x; y) = .
2x x2 y 2
4.2. EJERCICIOS 93
Solución.
x2 + y 2 x
Condición de existencia: 0; 2x x2 y 2 6= 0
2x x2 y2
2
1 1 1 1
x2 + y 2 x=0 x + y2 = C1 ;0 r1 =
2 4 2 2
2
2x x2 y2 = 0 (x 1
1) + y = 1 C2 (1; 0) r2 = 1
y
Seleccionamos un punto
arbitrario P (4; 0)
P (4;0) x2 + y 2 x
x
0
O 1 2 2x x2 y 2
(+)
0 ( ) 0 (Falso)
( )
El dominio de la función representa el semiplano comprendido entre

las dos semicircunferencias.
q
5. z = f (x; y) = 1 (x2 + y 2 )2 .
Solución.
2
Condición de existencia: 1 (x2 + y 2 ) 0.
2
1 x2 + y 2 = 0 x2 + y 2 = 1
Seleccionamos un punto arbitrario

2
P (6;0) P (6; 0) 1 (x2 + y 2 ) 0
O 1 x ( ) 0 (Falso)
El dominio de la función es el semiplano interior a la circunferencia.

p p
6. z = f (x; y) = x2 4 + 4 y 2
Solución.
Condición de existencia: x2 4 0
V F V
(x 2) (x + 2) 0 –∞ +∞
–2 2 x
x 2 ( 1; 2] [ [2; 1)
Condición de existencia: 4 y2 0
F V F
(2 y) (2 + y) 0 –∞ +∞
–2 2 x
y 2 [ 2; 2]
Gra…car: x = 2, x = 2, y = 2, y = 2
y=2
p
u (x) = px2 4
O 1 2 x v (y) = 4 y 2
Df : u (x) \ v (y)
y = –2
x = –2 x=2
1
7. z = f (x; y) = p p
y x
Solución.
4.2. EJERCICIOS 95
p
Condición de existencia: y x>0
y
p p
y> x y= x
Seleccionamos un punto p
(6;0) x arbitrario P (6; 0) yp x>0
6 > 0 (Falso)
p
y x2 + y 2
Ejemplo 4.2 Hallar f (x) si: f =
x y
Solución.
p s s
y x2 + y 2 x2 + y 2 x2
f = = = +1
x y y2 y2
v
y u 1 y
f = u t +1 u=
x y 2
x
x
r r
1 1 + u2 1p
f (u) = +1= = 1 + u2
u u2 u
p
1 + x2 x 6= 0
f (x) =
x
Ejemplo 4.3 Hallar f (x; y) si: f (x + y; x y) = xy + y 2
Solución.
u=x+y
f (x + y; x y) = y (x + y) u v = 2y
v=x y
1
y = (u v)
2
1 u
f (u; v) = (u v) u = (u v)
2 2
x
f (x; y) = (x y)
2
4.3. Límites y Continuidad

4.3.1. Límites de funciones de varias variables
El concepto de límites para funciones de varias variables es muy im-
portante y complicado, existe una gran diferencia entre los límites de una
variable independiente y los de varias variables independientes. La existencia
del limite de una función con una sola variable, se analiza dos posibilidades,
que los límites laterales deben ser iguales:
l m f (x) = l m f (x) = L
x!x+
0 x!x0
Para el estudio del límite de una función de dos o más variables, existen
muchas maneras para acercarse al punto (x0 ; y0 ).
De…nición 4.4 Sea f : R2 ! R j z = f (x; y), una función de dos variables

de…nida en un recinto “R” (Disco abierto y centrado en (x0 ; y0 ) de radio )
excepto quizas en el punto (x0 ; y0 ) entonces “L” (número real) representa el
límite de la función, cuando el par (x; y) se aproxima al punto (x0 ; y0 ).
lm f (x; y) = L
(x;y)!(x0 ;y0 )
Si para cada > 0 existe un > 0 tal que:
jf (x) Lj < Siempre que: 0 < jx x0 j < ^ jy y0 j <
Se puede expresar de la siguiente forma:
l m f (x; y) = L
x!x0
y!y0
Si: para cada > 0 existe un > 0 tal que:

q
jf (x; y) Lj < siempre que 0 < (x x0 )2 + (y y0 )2 <
4.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 97
Gra…camente la de…nición de límite implica que para cualquier punto

(x; y) 6= (x0 ; y0 ) en el centro de radio “ ” el valor de f (x; y) esta entre
(L + ) y (L ).
La de…nición anterior es similar a la del límite de una variable, para saber
si una función de una variable tiene límite es su…ciente determinar que los
límites laterales son iguales.
Para una función de dos variables z = f (x; y) la a…rmación: (x; y) !
(x0 ; y0 ) signi…ca que el punto (x; y) se le permite aproximarse hacia el punto
(x0 ; y0 ) de muchas formas; si el límite no tiene el mismo valor entonces el
límite no existe.
El límite es único, se puede hacer el cálculo si nos aproximamos al punto
(x0 ; y0 ) mediante el eje X ó el eje Y .
lm l m f (x; y) = l m l m f (x; y) = x!x

l m f (x; y) = L
x!x0 y!y0 y!y0 x!x0 0
y!y0
Ejemplo 4.4 Calcular el siguiente límite
x 2y
lm
(x;y)!(0;0) x2 + y 2
Solución.
h i
L = l m l m f (x; y) = l m l m f (x; y)
x!0 y!0 y!0 x!0
x 2y x 1
lm lm = lm =lm =1
x!0 y!0 x2 + y 2 x!0 x 2 x!0 x
x 2y 2y 2
lm lm 2 = lm 2 =lm = 1
y!0 x!0 x + y 2 y!0 y y!0 y
El límite no existe.
La grá…ca de la función es:
4.4. Continuidad
De…nición 4.5 Una función f (x; y) de dos variables se llama continua en
el punto (x0 ; y0 ) si se satisfacen las siguientes condiciones:
a) f (x0 ; y0 ) : Esta de…nido, existe.
b) El límite existe:
L = x!x
l m f (x; y)
0
y!y0
c) lm f (x; y) = f (x0 ; y0 ) = L
(x;y)!(x0 ;y0 )
xy
Exercise 4.1 Sea: f (x; y) = .
x2 + y 2
Ejemplo 4.5 Determinar, si la función es continua en el punto P ( 1; 2).

Solución.
a) f (x0 ; y0 ) : Existe
( 1) (2) 2
f (x0 ; y0 ) = f ( 1; 2) = 2 2 = , existe.
( 1) + (2) 5
4.4. CONTINUIDAD 99
b) El límite existe:
xy 2x 2
L = lm lm = lm =
x! 1 +yy!2 x2
2 x! 1 2
x +4 5
xy y 2
L = lm lm 2 2
=lm 2
=
y!2 x! 1 x + y y!2 1+y 5
c) f (x0 ; y0 ) = x!x
l m f (x; y) = L
0
y!y0
2 2
=
5 5
La función es continua en el punto P ( 1; 2).
Exercise 4.2 Analizar la existencia de los siguientes límites.
Ejemplo 4.6 1.
x2 y 2
a) x!x
lm
0 x2 + y 2
y!y0
Solución.
x2 y 2 x2
L = lm lm =lm =1
x!0 y!0 x2 + y 2 x!0 x2
x2 y 2 y2
L = lm lm 2 =lm = 1
y!0 x!0 x + y 2 x!0 y2
Los límites son diferentes; el límite no existe.
sen (xy)
b) lm
(x;y)!(5;0) y
Solución.
sen (xy) sen (xy)
L=lm lm = l m xl m
x!5 y!0 y x!5 y!0 xy
sen x
lm= 1 ) L = l m (x) = 5
x!0 x x!5
sen (xy) sen (5y) sen (5y)

L=lm lm =lm = 5l m =5
y!0 x!5 y y!0 y y!0 (5y)
El límite existe:
sen (xy)
lm =5
(x;y)!(5;0) y
y x
c) x!1
lm 1+ k2R
x
y!k
Solución. h xi
y
L= lm lm 1+
y!k x!2 x
4.4. CONTINUIDAD 101
x
k
lm 1+ = ek Límite fundamental
x!2 x
L = l m (ey ) = ek
y!k
x
y x k
L= lm lm 1+ = lm 1+ = ek
x!1 y!k x x!1 x
y x
El límite existe: x!1
lm 1+ = ek
x
y!k
Exercise 4.3 Demostrar el siguiente límite
l m (3x + y) = 5
x!1
y!2
Solución. f (x; y) = 3x + y
L=5 (x; y) ! (x0 ; y0 )

(x; y) ! (1; 2)
Se debe demostrar:
Para cada > 0 existe un > 0 tal que:
jf (x) Lj < Siempre que: 0 < jx x0 j < ; 0 < jy y0 j <
j3x + y 5j < 0 < jx 1j < ; 0 < jy 2j <

j3x + y 5j = j3 (x 1) + (y 2)j Utilizando la
desigualdad triangular
j3x + y 5j = j3 (x 1) + (y 2)j j3 (x 1)j + jy 2j
3 jx 1j + jy 2j <
jx 1j < 6 jy 2j <
3 + = )4 = =
4
Se cumple 8 > 0; 9 > 0.
4.5. Derivadas parciales
El concepto de la derivada de una función f (x), surge como solución del

problema de trazar la recta tangente a la curva y = f (x) es un punto que
pertenece a la curva.
Para una función de dos variables f (x; y), nos planteamos el problema
de hallar el plano tangente a la super…cie z = f (x; y) en un punto de la
super…cie, de dicho planteamiento surge de manera natural y por analogía
con la de…nición de la derivada, la noción de diferencial de un campo es-
calar de dos variables. De esta manera surge el concepto fundamental de las
derivadas parciales, que son las que se obtienen derivando una función de
varias variables con respecto a una de ellas manteniendo como constantes
las demás.
El cálculo diferencial e integral se aplica a los campos escalares y a los
campos vectoriales.
4.5.1. Campos escalares
Son funciones que dependen de dos o más variables cuyos valores son
números reales.
f (x; y) = xy : Representa un campo escalar, que expresa el área de un
rectángulo.
4.5.2. Campos vectoriales
Las funciones que dependen de una o más variables y cuyas imágenes

son vectores.
!r = (x; y; z) = xbi + ybj + zbk: Representa un campo vectorial; a cada
punto (x; y; z) se asigna un vector posición.
4.6. DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES103
4.6. Derivadas parciales de funciones de dos

variables
Se puede determinar el ritmo de cambio de una función “f ”con respecto
a una de sus variables independientes, a este proceso se denomina derivada
parcial, y el resultado se llama la derivada parcial de la función “f ” con
respecto a la variable independiente.
De…nición 4.6 Sea la función f : R2 ! R j z = f (x; y) de…nido en un

recinto “R”, entonces las derivadas parciales respecto a sus variables inde-
pendientes se de…ne:
f (x +
x; y) f (x; y)
fx (x; y) = lm y = constante
x!0 x
f (x; y + y) f (x; y)
fy (x; y) = lm x = constante
y!0 y
Si el límite existe.
Notación 4.2 La notación para las derivadas parciales son:
z = f (x; y)
@z @
fx = zx = fx0 (x; y) = = f (x; y)
@x @x
@z @
fy = zy = fy0 (x; y) = = f (x; y)
@y @y
El valor de la primera en un punto P (a; b), se denota:
@z @z
= fx (a; b) = fy (a; b)
@x (a;b) @y (a;b)
De…nición 4.7 Sea la función f : R3 ! R j u = f (x; y; z) entonces las

derivadas parciales respecto a sus variables independientes se de…nen:
f (x + x; y; z) f (x; y; z)
fx = lm y; z = constante
x!0 x
f (x; y + y; z) f (x; y; z)
fy = lm x; z = constante
y!0 y
f (x; y; z + z) f (x; y; z)
fz = lm x; y = constante
z!0 z
Ejemplo 4.7 Hallar por de…nición la primera derivada parcial respecto a
la variable “x” de las siguientes funciones:
a) z = f (x; y) = xy 3x2 y 2 + y 3
Solución.
f (x + x; y; z) f (x; y; z)
zx = l m y; z = constante
x!0 x
f (x + x; y; z) = (x + x) y 3 (x + x)2 y 2 + y 3
(x + 3 (x + x)2 y 2 + y 3
x) y
zx = lm
x!0 x
( x) y 6x ( x) y 2 3 ( x)2 y 3
zx = lm
x!0 x
2
zx = l m y 6xy 3 ( x) y 3
x!0
@z
zx = =y 6xy 2
@x
p
b) z = x2 y2
Solución.
f (x +
x; y; z) f (x; y; z)
zx = l m
x!0 x
q
f (x + x; y; z) = (x + x)2 y 2
q p
(x + x)2 y2 x2 y2
zx = l m
x!0 x
multiplicando y dividiendo por su conjugada.
q p q p
2
(x + x) y 2 x 2 y 2 (x + x)2 y2 + x2 y2
zx = l m q p
x!0 x
(x + x)2 y2 + x2 y2
(x + x)2 y 2 (x2 y 2 ) 2x ( x) + ( x)2
zx = lm q p = lm p
x!0 x!0
x (x + x)2 y 2 + x2 y 2 x 2 x2 y 2
2x + x
lm p
x!0 2 x2 y2
@z x
zx = = fx = p
@x x2 y 2
4
c) z = f (x; y) = .
x2 y2
Solución.
f (x + x; y; z) f (x; y; z)
zx = l m y; z = constante
x!0 x
4
f (x + x; y; z) =
(x + x)2 y2
4 4
(x + x)2 y2 x2 y2
fx = lm
x!0 x
x 2
y 2
(x + x)2 y2
fx = 4 l m
x!0 ( x) (x + x)2 y 2 (x2 y2)
2x ( x) ( x)2 2x x
fx = 4 l m = 4 l m
x!0 ( x) (x2 y 2 ) (x2 y 2 ) x!0 (x2 y 2 )2
@z 2x 8x
zx = = 4 =
@x (x2 y 2 )2 (x2 y 2 )2
Exercise 4.4 Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones, uti-
lizar tabla y propiedades de las derivadas.
1. z = f (x; y) = xy .
Solución.
@z
a) fx = = yxy 1 y : ctte:
@x
@z
b) fy = = xy ln y x : ctte:
@y
z
x
2. u = .
y
Solución. z
x xz
u= = = xz y z
y yz
a) ux = zxz 1
y z
y; z : ctte:
z z 1
b) uy = x ( z) y x; z : ctte:
z
x x
c) uz = ln x; y : ctte:
y y
1=2
x2 y 2
3. z = f (x; y) = arcsen .
x2 + y 2
Solución.
@z 1 1 2x (x2 + y 2 ) 2x (x2 + y 2 )
= zx = s s
@x x2 y 2 x2 y 2 (x2 + y 2 )2
1 2
x2 + y 2 x2 + y 2
(x2 + y 2 ) (4xy 2 ) 2xy 2
zx = p p = p p
2y 2 (2) x2 y 2 (x2 + y 2 )2 2y x2 y 2 (x2 + y 2 )
p
2xy
zx = p
(x2 + y2) x2 y2
x y
4. z = f (x; y) = .
x+y
Solución. Propiedad de la división.
(x + y) (x y) 2y
fx = 2 =
(x + y) (x + y)2
(x + y) (x y) 2x
fy = 2 =
(x + y) (x + y)2
y
sen
5. z = f (x; y) = e x .
Solución.
y sen y y 1
a) zx = e x cos
x2 x x
y sen y y
zx = 2 e x cos
x x
y y 1
sen
b) zy = e x cos
x x
1 sen xy y
zy = e cos
x x
r
x
6. Si: z = f (x; y) = xy +
y
a) Hallar: fx (2; 1).

b) Hallar: fy (1; 2).
Solución.
1 1
a) fx = r y+
x y
2 xy +
y
1
fx (2; 1) = p (1 + 1)
2 2+2
1
fx (2; 1) = .
2
1 x
b) fy = r x
1 y2
2 xy +
y
p
1 1 2 3
fy (1; 2) = r 1 = p
1 4 2 5 4
2 2+
2
p p
3 2 3 10
fy = p = .
8 5 40
4.7. Derivadas parciales de funciones com-

puestas
4.7.1. Funciones con una variable independiente
Teorema 4.5 Sea: f : R2 ! R j z = f (x; y), si x = ' (t); y = (t); siendo
' y funciones derivables de “t”, entonces la derivada de la función “z”
compuesta a la variable “t” es:
dz @z dx @z dy
= + (Regla de la cadena)
dt @x dt @y dt
donde: z = f (x; y) = f [' (t) ; (t)].

y
Ejemplo 4.8 Sea: z = f (x; y) =
x
x = ln t
y = et
dz
Hallar: .
dt
4.7. DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES COMPUESTAS 109
Solución.
dz @z dx @z dy
= +
dt @x dt @y dt
y y 1
z= zx = 2
zy =
x x x
dx 1 dy
= = et
dt t dt
Reemplazando
dz y 1 1 t
= + e
dt x2 t x
dz et 1 et
= +
dt ln2 t t ln t
dz et 1
= 1
dt ln t t ln t
Nota: Se puede obtener la derivada reemplazando en la función z = f (x; y)
y
z= x = ln t y = et
x
et
et dz et ln t t
z= = t = e (t ln t 1)
ln t dt ln2 t t ln2 t
dz et 1
= 1
dt ln t t ln t
Ejemplo 4.9 z = f (x; y) = ln (2x2 + y)

p dz
x= t y = t2=3 Hallar:
dt
Solución.
z = ln 2x2 + y
z = ln 2t + t2=3
dz 1 2 1=3
= 2+ t
dt 2t + t2=3 3
1=3
dz 2 t
= 1+
dt 2t + t2=3 3
Ejemplo 4.10 z = f (x; y) = e1 xy
dz
x = t1=3 y = t3 Hallar:
dt
Solución.
z = e1 (t )(t ) = e1 t
1=3 3 10=3
dz 10=3 10 7=3
= e1 t t
dt 3
dz 10t7=3 1 t10=3
= e
dt 3
Ejemplo 4.11 Sea: z = f (x; y) = x2 y2
x = et y=e t
dz
Hallar: .
dt
Solución.
dz @z dx @z dy
= +
dt @x dt @y dt
dx dy
zx = 2x zy = 2y = et = e t
dt dt
dz
= 2x et + ( 2y) e t
= 2et et + 2e t e t
dt
dz
= 2e2t + 2e 2t
dt
dz
= 2 (e2t + e 2t
)
dt
4.8. FUNCIONES CON VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES 111
Otro método:
z = x2 y2 x = et y=e t
2 t 2
z = et + e
dz
= 2et et 2e t e t
( 1)
dt
dz
= 2 (e2t + e 2t
)
dt
4.8. Funciones con varias variables indepen-

dientes
Teorema 4.6 Sea: f : R2 ! R j z = f (x; y),
Si: x = ' (u; v) y = (u; v)
Siendo “'” y “ ” funciones de variables de “u” y “v”; entonces las
derivadas parciales de la función “z” con respecto a las variables “u” y “v”;
se obtiene utilizando la regla de la cadena.
z = f [' (u; v) ; (u; v)]
@z @z @x @z @y
= +
@u @x @u @y @u
@z @z @x @z @y
= +
@v @x @v @y @v
Ejemplo 4.12 Si: z = f (x; y) = exy

u
x = 2u + v y=
v
@z @z
Determinar; ; ; usando la regla de la cadena.
@u @v
Solución.
a)
@z @z @x @z @y
= +
@u @x @u @y @u
@z @z
= yexy = xexy
@x @y
@x @y 1
=2 =
@u @u v
@z 1
= yexy (2) + xexy
@u v
u! u!
@z u (2u+v) (2u+v) 1
= e v (2) + (2u + v) e v
@u v v
u
@z e(2u+v)( v )
= (4u + v)
@u v
b)
@z @z @x @z @y
= +
@v @x @v @y @v
@z @z 1
=1 =
@x @y v2
@x @y u
= yexy (1) =
@v @v v2
@z u
= yexy (1) + xexy
@v v2
@z u
= exy y x
@v v2
Otro método:
u
z = exy x = 2u + v y=
v
Reemplazando
u
z = e(2u+v)( v )
u
@z e(2u+v)( v )
= (4u + v)
@u v
2u2 + uv
@z uv (2u2 + uv)
=e v
@v v2
2u2 + uv
@z 2u2
=e v
@v v2
x
Ejemplo 4.13 Si: z = f (x; y) = arctan
y
x = u sen v y = u cos v
@z @z
Determinar: ; ; usando la regla de la cadena.
@u @v
Solución.
@z 1 1 y @x @x
= 2 = 2 2
= sen v = u cos v
@x x y x +y @u @v
1+ 2
y
@z 1 x x @y @y
= 2 2
= 2 2
= cos v = u sen v
@y x y x +y @u @v
1+ 2
y
x2 + y 2 = (u sen v)2 + (u cos v)2•= u2
a)
@z @z @x @z @y
= +
@u @x @u @y @u
@z y x
= 2 2
sen v + (cos v)
@u x +y x + y2
2
@z u cos v u sen v
= 2
sen v cos v
@u u u2
@z
=0
@u
b)
@z @z @x @z @y
= +
@v @x @v @y @v
@z y x
= 2 2
u cos v + ( u sen v)
@v x +y x + y2
2
@z u cos v u sen v
= u cos v + u sen v
@v u2 u2
@z
= cos2 v + sen2 v = 1
@v
Otro método:
x
z = arctan
y
x = u sen v y = u cos v
Reemplazando:
u sen v
z = arctan
u cos v
z = arctan (tan v)
tan z = tan v
z = u
@z @z
=0 =1
@u @v
xy
Ejemplo 4.14 Sea: z = 2
x + y2
x = r cos y = r sen
@z @z
Calcular: ; ; en: r = 3; = .
@r @ 6
Solución.
xy (r cos ) (r sen )
z = =
x2 + y 2 (r cos )2 + (r sen )2
r2 cos sen
z = 2
r (cos2 + sen2 )
z = f (x; y) = cos sen
@z
=0
@r
@z
= sen sen + cos cos
@
@z
= cos2 sen2
@
p
3 1
cos = cos = sen = sen =
6 2 6 2
p !2 2
@z 3 1 3 1
= =
@ (3; ) 2 2 4 4
6
@z 1
=
@ (3; ) 2
6
Ejemplo 4.15 Sea: w = f (u; v)
u = x + at v = y + bt
a, b: constantes.
@w @w @w
Demostrar: =a +b
@t @x @y
Demostración:
@w @w @u @w @v
= +
@t @u @t @v @t
@w @w
= fu (a) + fr (b) = afu + bfv (1)
@t @t
@w @w @u @w @v @w
= + = fu + (0) fv = fu (2)
@x @u @x @v @x @x
@w @w @u @w @v @w
= + = fu (0) + fv = fv (3)
@y @u @y @v @y @y
@w @w @w
=a +b Reemplazando
@t @x @y
afu + bfv = afu + bfv
y
Ejemplo 4.16 Sea z = xy + x' .
x
Demostrar que satisface a la ecuación:
@z @z
x +y = xy + z
@x @y
' : función diferenciable.

Demostración:
y y y
zx = y + ' + x'0
x x x2
y y 0 y
zx = y + ' '
x x x
y 1
zy = x + x'0
x x
y
zy = x + '0
x
8
< xzx = xy + x' y y'0
y
x x
: yzy = xy + y'0 y
x
sumando:
y
xzx + yzy = xy + xy + x'
| {z x }
z
@z @z
x +y = xy + z
@x @y
Ejemplo 4.17 Demostrar que la función:
z = y' x2 y2
satisface a la ecuación:
1 @z 1 @z z
+ = 2
x @x y @y y
' : función diferenciable.
Solución.
zx = y'0 (x2 y 2 ) (2x) zy = ' (x2 y 2 ) + y'0 (x2 y 2 ) ( 2y)
zx = 2xy'0 (x2 y 2 ) zy = ' (x2 y 2 ) 2y 2 '0 (x2 y 2 )
9
1 >
zx = 2y'0 (x2 y 2 ) =
x
1 1
zy = ' (x2 y 2 ) 2y'0 (x2 y2) >
;
y y
4.9. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR 117
sumando:
1 @z 1 @z 1 y
+ = ' x2 y 2
x @x y @y y y
1 @z 1 @z y' (x2 y 2 )
+ =
x @x y @y y2
1 @z 1 @z z
+ = 2
x @x y @y y
Ejemplo 4.18 Sea: u = ' (x2 + y 2 + z 2 )
x = R cos cos y = R cos sen z = R sen
@u @u
' : función diferenciable; determinar ; .
@ @
Solución.
x2 + y 2 + z 2 = (R cos cos )2 + (R cos sen )2 + (R sen )2
= R2 cos2 cos2 + sen2 + R2 sen2
= R2 cos2 + R2 sen2 = R2 cos2 + sen2
= R2
@u @u
u = ' R2 =0 =0
@ @
4.9. Derivadas parciales de orden superior

De forma similar como sucedía para las derivadas ordinarias, es posible
calcular derivadas parciales de orden superior (segundos, terceros, o de orden
“n”), si el límite existe. Estas derivadas parciales de orden superior se denota
con subíndices colocados en el orden que se realizan las derivaciones.
Notación 4.3 Sea “f ” función de dos varibles independientes.

@ @f @2f
= ; orden de derecha a izquierda
@y @x @y@x
(fx )y = fxy ; orden de izquierda a derecha
Por ejemplo para la función z = f (x; y) hay cuatro derivadas parciales

de segundo orden.
@ @f @2f
a) = = fxx .
@x @x @x2
@ @f @2f
b) = = fyy .
@y @y @y 2
@ @f @2f
c) = = fxy .
@y @x @y@x
@ @f @2f
d) = = fyx .
@x @y @x@y
Las derivadas parciales (c) y (d) se denominan derivadas parciales mixtas

(cruzadas).
Teorema 4.7 Sea: f : R2 ! R j z = f (x; y) de…nida en una región “D”, y

fx , fy , fxy , fyx ; con continuas en la región D R2 entonces 8 (x; y) 2 D se
cumple:
@ 2 f (x; y) @ 2 f (x; y)
= fxy = fyx
@y@x @x@y
El teorema es válido para funciones de tres o más variables, siempre que

las derivadas parciales de segundo orden de u = f (x; y; z) sean continuas en
una región, entonces el orden de sus derivadas parciales es irrelevante. Si las
derivadas parciales de tercer orden son continuas, el orden de la derivación
parcial también es irrelevante.
Ejemplo 4.19 Demostrar: a) fxy = fyx .

b) fxzz = fzxz = fzzx para la siguiente función:
u = f (x; y; z) = yex + x ln z:
Solución. f (x; y; z) = yex + x ln z.

a) fx = yex + ln z fxy = ex
fy = ex fyx = ex
fxy = fyx
b) fx = yex + ln z
1 1
fxz = fxzz =
z z2
x 1 1
fz = fzx = fzxz =
z z z2
x x 1
fz = fzz = fzzx =
z z2 z2
fxzz = fzxz = fzzx
x+y
Ejemplo 4.20 z = arctan .
1 xy
Demostrar: fxy = fyx
Solución.
1 1 xy + y (x + y)
fx = 2
(x + y) (1 xy)2
1+
(x y)2
1 + y2 1
fx = 2 2 2
= fxy = 0
(1 + y ) + x (1 + y ) 1 + x2
1 1 xy + x (x + y)
fy = 2
(x + y) (1 xy)2
1+
(x y)2
1 + x2 1
fy = 2 2 2
fy = fyx = 0
(1 + x ) + y (1 + x ) 1 + y2
fxy = fyx
r
x y
Ejemplo 4.21 z = arcsen
x
Solución.
1 x (x y) 1
fx = r r
x y x2 x y
1 2
x x
!
y 1 y
fx = p p = p
2x y x y 2x xy y 2
p (x 2y) y
xy y 2 p
1 2 xy y 2
fxy =
2x xy y 2
1 xy
fxy = p
4x (xy y 2 ) xy y 2
y @ @z
fxy = =
4 (xy y 2 )3=2 @y @x
fxy = fyx
Ejemplo 4.22 Hallar las derivadas indicadas de las siguientes funciones:
1. z = eyx sen y.
Hallar: zx ; zy ; zxy ; zyx ; zxx ; zyy .

Solución.
zx = yeyx sen y
zy = xeyx sen y + eyx cos y
zy = eyx (x sen y + cos y)
zxy = eyx sen y + yxeyx sen y + yeyx cos y
zxy = eyx (sen y + yx sen y + y cos y)
zyx = yeyx (x sen y + cos y) + eyx (sen y)
zyx = eyx (sen y + yx sen y + y cos y)
zxx = y 2 eyx sen y
zyy = xeyx (x sen y + cos y) + eyx (x cos y sen y)
zyy = eyx x2 sen y + 2x cos y sen y
x
2. f (x; y; z) = e sen (yz).
Hallar fx ; fy ; fz ; fxx ; fyy ; fzz ; fxyx ; fyyy .
Solución.
fx = e x sen (yz) fxx = e x sen (yz)

fy = ze x cos (yz) fyy = z 2 e x sen (yz)
fz = ye x cos (yz) fzz = y 2 e x sen (yz)
fxy = ze x cos (yz)
fxyx = ze x cos (yz)
fyyy = z 3 e x cos (yz)
1 y
3. f (x; y) = (e e y ) sen x.
2
Hallar: fx ; fy ; fyy ; fyyy .
Solución.
1
fx = ey e y
cos x
2
1
fy = ey + e y
sen x
2
1
fyy = ey e y
sen x
2
1
fyyy = ey + e y
sen x
2
fyyy = fy
y
sen
4. f (x; y) = e x .
Hallar: fx ; fy ; fyy .
Solución.
y sen y y
fx = e x cos
x2 x
1 sen xy y
fy = e cos
x x
1 1 sen xy y y sen
y y 1
fyy = e cos cos +e x sen
x x x x x x
1 1 sen xy y 1 sen y y
fyy = e cos2 e x sen
x x x x x
y
sen
e x y y
fyy = cos2 sen
x2 x x
Ejemplo 4.23 Sea: z = f (u; v)
u = x2 + y 2 v = xy
Determinar: zx ; zy ; zxx ; zyy .

Solución. Regla de la cadena:
@z @z @u @z @v
zx = = +
@x @u @x @v @x
@z @z @u @v
= fu = fv = 2x =y
@u @v @x @x
@z
zx = = fu (2x) + fv y zx = 2xfu + yfv
@x
@z @u @z @v
zy = +
@u @y @v @y
@u @v
= 2y =x
@y @y
zy = fu (2y) + fv (x) zy = 2yfu + xfv
zxx : Se aplica nuevamente la regla de la cadena.
@2z @ @z @
zxx = 2
= = (2xfu + yfv )
@x @x @x @x
@ @z
zxx = 2 (xfu ) + y fv
@x @x
@ @z
zxx = 2 fu + x fu + y fv
@x @x
Regla de funciones compuestas:
@fu @fu @u @fu @v

= +
@x @u @x @v @x
@fu
= f u (2x) + fuv (y) = 2xf u + yfuv
@x
@fv @fv @u @fv @v
= +
@x @u @x @v @x
@fv
= fvu (2x) + fvv (y) = 2xfvu + yfvv
@x
Reemplazando:
zxx = 2 (fu + x (2xf u + yfuv )) + y (2xfvu + yfvv )

@ @z
zyy =
@y @y
@
zyy = (2yfu + xfv )
@y
@ @
zyy = 2 (yfu ) + x (fv )
@y @y
@fu @fv
zyy = 2 fu + y +x
@y @y
zyy = 2 (fu + y (fuu (2y) + fuv (x))) + x (fvu (2y) + fvv (x))
zyy = 2 (fu + y (2yfuu + xfvv )) + x (2yfvu + xfvv )
4.10. Derivadas parciales de funciones implíc-

itas
Para determinar la derivada de una función implícita, se aplica la regla
de la cadena.
a) Derivada de la función implícita, co una variable independiente.
f (x; y) = 0
Aplicando la regla de la cadena se tiene:

@f dx @f dy
+ = 0
@x dx @y dx
@f @f dy
+ = 0
@x @y dx
@f
dy @x dy fx0
= =
dx @f dx fy0
@y
dy
Ejemplo 4.24 Determinar ; de las siguientes funciones cimplícitas.
dx
4.10. DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES IMPLÍCITAS 125
1. x2 + y 2 = R2
Solución.
f (x; y) = 0 f (x; y) = x2 + y 2 R2
dy fx0
fx = 2x fy = 2y =
dx fy0
dy 2x dy x
= =
dx 2y dx y
2. y = 1 + y x
Solución.
1 + yx y=0 f (x; y) = 1 + y x y
fx = y x ln y fy = xy x 1
1
x
dy fx y ln y
= =
dx fy xy x 1 1
x
3. y 2 = 6; evaluar en el punto (0; 2)
x2 + y 2
x x
y2 6=0 f (x; y) = y2 6
x2 + y2 x2 + y2
x2 + y 2 2x x y 2 x2
fx = =
(x2 + y 2 )2 (x2 + x2 )2
yx
vy = 2y
(x2 + y 2 )2
y 2 x2
dy fx (x2 + x2 )2
= = yx
dx fy 2y
(x + y 2 )2
2
dy y 2 x2
=
dx 2yx + 2y (x2 + y 2 )2
dy 1
=
dx (0;2) 16
b) Derivada parcial de la función implícita con varias variables indepen-

dientes.
F (x; y; z) = 0
Aplicando la regla de la cadena.
@F @x @F @y @F @z
+ + = 0
@x @x @y @x @z @x
@y @z
Fx + Fy + Fz = 0
@x @x
@z
=? y = ctte: ) Fy = 0
@x
@z @z Fx
Fx + Fz =0 = Fz 6= 0
@x @x Fz
@z
De forma similar se obtiene
@y
@F @x @F @y @F @z
+ + = 0
@x @y @y @y @z @y
@x @z
Fx + Fy + Fz = 0
@y @y
@z
=? x = ctte: ) Fx = 0
@y
@z @z Fy
Fy + Fz =0 = Fz 6= 0
@y @y Fz
Ejemplo 4.25 Sea: x sen y + y sen z + z sen x = 0.
Determinar: zx ; zy .
Solución. F (x; y; z) = x sen y + y sen z + z sen x
Fx = sen y + z cos x Fy = x cos y + sen z

Fz = y cos z + sen x
4.10. DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES IMPLÍCITAS 127
Fz y cos z + sen x
zx = =
Fx sen y + z cos x
@z Fy x cos y + sen z
zy = = =
@y Fz y cos z + sen x
Ejemplo 4.26 Sea: z = ex sen (y + z).

Solución.
F (x; y; z) = ex sen (y + z) z
Fx = ex sen (y + z) Fy = ex cos (y + z)
Fx = ex cos (y + z) 1
@z Fx ex sen (y + z)
= =
@x Fz ex cos (y + z) 1
@z Fy ex cos (y + z)
= =
@y Fz ex cos (y + z) 1
Ejemplo 4.27 Sea: F (x az; y bz) = 0
a; b 2 R
Solución.
F (x az; y bz) = 0
u=x az v=y bz ) F (u; v) = 0
@z Fx
=
@x Fz
@F @F @u @F @v
Fx = = +
@x @u @x @v @x
@F @F @u @F @v
Fz = = +
@z @u @z @v @z
@F @F @u @F @v
Fy = = +
@y @u @y @v @y
@u @u @u
= 1 =0 = a
@x @y @z
@v @v @v
= 0 =1 = b
@x @y @z
Fx = Fu (1) + Fv (0) = Fu
Fy = Fu (0) + Fv (1) = Fv
Fz = Fu ( a) + Fv ( b) = (aFu + bFv )
@z Fx Fu @z Fy Fv
= = = =
@x Fz aFu + bFv @y Fz aFu + bFv
Ejemplo 4.28 Sea: F (x y; y z; z x) = 0
Solución. F (x y; y z; z x) = 0
u=x y v=y z w=z x ) F (u; v; w) = 0
@F @u @F @v @F @w
Fx = + +
@u @x @v @x @w @z
@F @u @F @v @F @w
Fy = + +
@u @y @v @y @w @y
@F @u @F @v @F @w
Fz = + +
@u @z @v @z @w @z
@u @u @u
= 1 = 1 =0
@x @y @z
@v @v @v
= 0 =1 = 1
@x @y @z
@w @w @w
= 1 =0 =1
@z @y @z
Fx = Fu Fw Fy = Fu + Fv Fz = Fv + fw
Fx Fu Fw Fy Fu + Fv
zx = = zy = =
Fz Fv + Fw Fz Fv + fw
4.11. FUNCIONES HOMOGÉNEAS 129
4.11. Funciones homogéneas

De…nición 4.8 La función f : Rn ! R j z = f (x1 ; x2 ; :::; xn ) es homogénea
de grado “n” si para todo número real (8k 2 R) se cumple:
f (kx1 ; kx2 ; kx3 ; :::; kxn ) = k n f f (x1 ; x2 ; x3 ; :::; xn )
Ejemplo 4.29 Determinar si las siguientes funciones funciones son ho-
mogéneas.
1. f (x; y) = x2 3xy 2 + yx2 y2.
Solución.
f (kx; ky) = (kx)2 3 (kx) (ky)2 + (ky) (kx)2 (ky)2
f (kx; ky) = k 3 x2 3xy 2 + yx2 y 2
f (kx; ky) = k 3 f (x; y)
Homogénea de grado tres.
y y
2. f (x; y) = x sen + y cos .
x x
Solución.
(ky) (ky)
f (kx; ky) = (kx) sen + (ky) cos
(kx) (kx)
y y
(kx; ky) = k x sen + y cos
x x
(kx; ky) = kf (x; y)
Homogénea de grado uno.
y y
3. f (x; y) = arctan + arcsen .
x x
Solución.
(ky) (ky)
f (kx; ky) = arctan + arcsen
(kx) (kx)
y y
f (kx; ky) = arctan + arcsen
x x
0
f (kx; ky) = k f (x; y)
Homogénea de grado cero.
axy 2 + bx2 y
4. f (x; y) = , a; b 2 R.
x+y
Solución.
a (kx) (ky)2 + b (kx)2 (ky)

f (kx; ky) =
(kx) + (ky)
k (axy 2 + bx2 y)
3
axy 2 + bx2 y
f (kx; ky) = = k2
k (x + y) x+y
2
f (kx; ky) = k f (x; y)
Homogénea de grado dos.
Teorema 4.8 Teorema de Euler. Sea: f : Rn ! R j z = f (x1 ; x2 ; :::; xn ),

una función homogénea de grado “n” de…nida en un recinto “R”, entonces
se cumple:
@f @f @f
x1 + x2 + ::: + xn = nf (x1 ; x2 ; :::; xn )
@x1 @x2 @xn
@2f @2f 2
2@ f
x2 + 2xy + y = n (n 1) f (x1 ; x2 ; :::; xn )
@x2 @x@y @y 2
4.12. Diferencial exacta

Teorema 4.9 Sean: M (x; y); N (x; y) funciones continuas con derivadas
parciales de primer orden continuas, entonces la expresión M (x; y) dx +
N (x; y) dy es una diferencial exacta si solo si:
@M (x; y) @N (x; y)
= ; 8 (x; y) 2 R
@y @x
df (x : u) = M (x; y) dx + N (x; y) dy
Ejemplo 4.30 Indicar si cumple con el teorema de Euler las siguientes fun-
ciones.
4.12. DIFERENCIAL EXACTA 131
y
1. z = f (x; y) = ln x 6= 0
x
Solución.
ky y
f (kx; ky) = ln = ln
kx x
0
f (kx; ky) = k f (x; y)
Homogénea de grado cero.
Por el teorema de Euler. n = 0.
@f @f
x +y = nf (x; y)
@x @y
y
f (x; y) = ln = ln y ln x
x
1 1
fx = fy =
x y
Reemplazando:
1 1
x +y = 0
x y
1 + 1 = 0 ) 0 = 0 Cumple.
2. f (x; y) = x3 y y 3 x.
f (kx; ky) = (kx)3 (ky) (ky)3 (kx)
f (kx; ky) = k 4 x3 y y 3 x
Homogéneo de grado cuatro.
Teorema de Euler: xfx + yfy = 4f (x; y)
fx = 3x2 y y3 fy = x3 3y 2 x
x 3x2 y y 3 + y x3 3y 2 x = 4f (x; y)
3x3 y xy 3 + yx3 3y 3 x = 4f (x; y)
4x3 y 4x3 y = f (x; y)
4 x3 y y 3 x = 4f (x; y)
4f (x; y) = 4f (x; y)
x+y
3. f (x; y) = p .
3
x2 + y 2
Solución.
kx + ky
f (kx; ky) = q
3
(kx)2 + (ky)2
k (x + y)
f (kx; ky) = p
k 2=3 3 x2 + y 2
f (kx; ky) = k 1=3 f (x; y)
1
Homogénea de grado n = .
3
Teorema de Euler:
xfx + yfy = nf (x; y)
p 2x (x + y)
3
x2 + y 2
3 (x2 + y 2 )2=3
fx =
(x2 + y 2 )2=3
3 (x2 + y 2 ) 2x (x + y) x2 2xy + 3y 2
fx = =
3 (x2 + y 2 )4=3 3 (x2 + y 2 )4=3
p 2y (x + y)
3
x2 + y 2
3 (x2 + y 2 )2=3 3x2 2xy + y 2
fy = =
(x2 + y 2 )2=3 3 (x2 + y 2 )4=3
! !
x2 2xy + 3y 2 3x2 2xy + y 2 1
x 4=3
+y 4=3
= f (x; y)
3 (x2 + y 2 ) 3 (x2 + y 2 ) 3
x3 + x2 y + xy 2 + y 2 1
= f (x; y)
3 (x2 + y 2 )4=3 3
x (x2 + y 2 ) + y (x2 + y 2 ) 1
= f (x; y)
3 (x2 + y 2 )4=3 3
!
1 x+y 1
p = f (x; y)
3 3
x2 + y 2 3
Capítulo 5
Operaciones diferenciales
5.1. Gradiente, divergencia y rotacional

5.1.1. Operaciones diferenciales
Gradiente, divergente y rotacional
!
Operador Vectorial Nabla r . Este operador se de…ne de la
siguiente manera:
! @ @ @ @ @ @
r = bi + b j+ b k = bi +b
j +b
k
@x @y @z @x @y @z
El operador nabla se aplica a funciones escalares y vectoriales de vari-

able vectorial.
Gradiente. Sea la función (x; y; z) un campo escalar de…nida y
derivable al igual que sus derivadas parciales, entonces el gradiente
se de…ne:
! @b @b @
r = i+ j+ b k (x; y; z)
@x @y @z
! @ b @ b @ b
r = i+ j+ k
@x @y @z
133
134 CAPÍTULO 5. OPERACIONES DIFERENCIALES
!
r : El gradiente de nos de…ne un campo vectorial.
! !
j + V3 b
Divergente. Sea V (x; y; z) = V1bi + V2b k donde V nos de…ne un
!
campo vectorial derivable, entonces el divergente de V se de…ne:
! ! @b @b @
r V = i+ j+ b k j + V3 b
V1bi + V2b k
@x @y @z
! ! @V1 @V2 @V3
r V = + + función escalar de variable
@x @y @z
vectorial.
!
Rotacional. Sea V (x; y; z) un campo vectorial de variable vectorial
entonces:
! ! @b @b @
r V = i+ j+ b k j + V3 b
V1bi + V2b k
@x @y @z
bi b
j b
k
! ! @ @ @
r V = función vectorial de variable
@x @y @z vectorial.
V1 V2 V3
5.1.2. Propiedades del operador nabla

! !
Sean: A ; B : Funciones vectoriales.
Sean: ; : Funciones escalares.
! ! !
P.1: r ( + ) = r + r .
! ! ! ! ! ! !
P.2: r A + B = r A + r B.
! ! ! ! ! ! !
P.3: r A+B =r A+r B.
! ! ! !
P.4: r r = r 2 Donde r 2 operador Laplace.
! ! !
P.5: r r = 0 Rotacional del gradiente es cero.
5.1. GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL 135
! ! !
P.6: r r A = 0 Divergente del rotacional es cero.
! ! ! ! ! !
P.7: r A = r A+ r A .
! ! ! ! ! !
P.8: r A = r A+ r A .
! ! !
Ejemplo 5.1 Demostrar: r ( + ) = r + r .
Demostración.
! @b @b @
r( + ) = i+ j+ b k ( + )
@x @y @z
@ b @ b @ b @ b @ b @ b
= i+ i+ j+ j+ k+ k
@x @x @y @y @z @z
@ b @ b @ b @ b @ b @ b
= i+ j+ k + i+ j+ k
@x @y @z @x @y @z
@b @b @ @b @b @
= i+ j+ b k + i+ j+ b k
@x @y @z @x @y @z
! !
= r +r
! ! ! ! ! ! !
Ejemplo 5.2 Demostrar: r A + B = r A + r B.
! !
j + A3 b
Demostración. Sean A = A1bi + A2b j + B3 b
k, B = B1bi + B2b k
! !
j + (A3 + B2 ) b
A + B = (A1 + B1 ) bi + (A2 + B2 ) b k
! ! ! @b @b @b h i
r A+B = i+ j+ k b b b
(A1 + B1 ) i + (A2 + B2 ) j + (A3 + B2 ) k
@x @y @z
@A1 b @A2 b @A3 b @B1 b @B2 b @B3 b
= i+ j+ k + i+ j+ k
@x @y @z @x @y @z
! ! ! !
= r A+r B
!
Ejemplo 5.3 Si: ! k. Hallar r j!
j + zb
3
r = xbi + yb rj .
Solución.
p
j! j!
3 3=2
r j = x2 + y 2 + z 2 r j = x2 + y 2 + z 2
! !3 @b @b @ 3=2
rjrj = i+ j+ b k x2 + y 2 + z 2
@x @y @z
! !3 3 2 3=2 3 2 3=2
rjrj = x + y2 + z2 (2x) bi + x + y2 + z2 (2y) b
j+
2 2
3 3=2
+ x2 + y 2 + z 2 (2z) b
k
2
! !3 3=2
bi + 3y x2 + y 2 + z 2 3=2 b 3=2 b
r j r j = 3x x2 + y 2 + z 2 j + 3z x2 + y 2 + z 2 k
! !3
r j r j = 3 j!
r j!
r
!
Teorema 5.1 Demostrar que el gradiente de r es un vector perpen-
dicular en la super…cie (x; y; z) = C. Siendo C una constante. x2 +y 2 +z 2 =
52
z (r~ )=A ~
P.
d~r (x; y; z) = C
~r
y
x
Los puntos de la super…cie se pueden determinar mediante su vector posición

(!
r ).
! j + zb
r = xbi + yb k
! j + dz b
d r = dxbi + dyb k
d!
r : Esta situada en el plano tangente es la super…cie (x; y; z) = C en
el punto P .
Si (x; y; z) = C entonces su diferencial es:

@ @ @
dx + dy + dz = 0
@x @y @z
@b @b @
i+ j+ b k j + dz b
dxbi + dyb k = 0
@x @y @z
! !
) r d!
r = 0 ) r ? d! r.
Ejemplo 5.4 Hallar el vector unitario normal a la super…cie (x 1)2 +y 2 +

(z + 2)2 = 0 en el punto Q (3; 1; 4).
Solución.
(x; y; z) = (x 1)2 + y 2 + (z + 2)2
! @b @b @
r = i+ j+ b k
@x @y @z
!
r = 2 (x 1) bi + 2yb j + 2 (z 2) b
k
!
Q (3; 1; 4) ) r = 4bi + 2bj + ( 4) b
k
!
j 4b
A = 4bi + 2b k vector normal
!
! A ! 2 ! 2
u = ! A = 16 + 4 + 16 A =6
A
! 2 b b ! 1 b b
u = 2i + j 2b
k u = 2i + j 2b
k Vector unitario.
6 3
z = x2 + y 2
Ejemplo 5.5 . Hallar la ecuación del plano tangencial y la
P0 (1; 2; 5)
recta normal a la super…cie en el punto dado.
Solución.
(x;y;z) = x2 + y 2 z
! ! @ b @ b @ b
n = r = i+ j+ k
@x @y @z
! j b
n = 2xbi + 2yb k
! !
T : P0 P n =0
Ecuación del plano tangente T :

(x 1; y + 2; z 5) (2; 4; 1) = 0
2x 4y z 5=0
Ecuación de la recta normal LN :
! !
P0 P == !n ) P0 P = !
n
(x; y; z) = (1; 2; 5) + (2; 4; 1)
La grá…ca del ejercicio:
( x y
Ejemplo 5.6 2z + 2z = 5
P0 (2; 2; 1)
Solución.
(x; y; z) = 2x=z + 2y=z = 5
! ! y=z 1b y=z 1 b h x=z x y ib
n r = 2 ln 2 i + 2 ln 2 j + 2 ln 2 2
+ 2y=z ln 2 k
z z z z2
! b b
n = 4 ln 2i + 4 ln 2j 16 ln 2k b
!n = 4 ln 2 (1; 1; 4) ) ! n = (1; 1; 4)
Ecuación del plano tangente T :

!
P0 P !n = 0
!
(P P0 ) ( n ) = 0
(x 2; y 2; z 1) (1; 1; 4) = 0
x+y 4z = 0
Ecuación de la recta normal LN :
! !
P0 P == !n ) P0 P = !
n
P = P0 + !
n
(x; y; z) = (2; 2; 1) + (1; 1; 4)
Ejemplo 5.7 Dada la super…cie describir las ecuaciones de los planos tan-
gente que son paralela al plano
x2 + 2y 2 + 3z 2 = 21
: x + 4y + 6z = 0
Solución.
x2 y2 z2
+ + =1
21 21=2 21=3
(x; y; z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 21
!
r = 2xbi + 4yb j + 6z b
k
!n = (2x0 + 4y0 + 6z0 ) = 2 (x0 + 2y0 + 3z0 )
!
N = (1; 4; 6)
! ! !
n == N ) !n = N
(2x0 + 4y0 + 6z0 ) (1; 4; 6)
9
x0 = =
y0 = 2 2 super…cie ) + 2 (2 )2 + 3 (2 )2 = 21
2
;
z0 = 2 = 1
a) =1
x0 = 1
y0 = 2
z0 = 2
! !
P0 P N = 0
(x 1; y 2; z 2) (1; 4; 6) = 0
x + 4y + 6z 21 = 0
LN :
! ! ! !
P0 P == N ) P0 P = P N
(x; y; z) = (1; 2; 2) + k (1; 4; 6)
b) = 1
x0 = 1
y0 = 2
z0 = 2
! !
P0 P N = 0
(x + 1; y + 2; z + 2) (1; 4; 6) = 0
x + 4y + 6z + 21 = 0
LN :
! ! ! !
P0 P == N ) P0 P = P N
(x; y; z) = ( 1; 2; 2) + k (1; 4; 6)
Capítulo 6
Interpretación geométrica de la
derivada
Sea: z = f (x; y) una super…cie de…nida en una región “R”.

Si: y = y0 ; entonces z = f (x; y0 ) representa la curva de intersección de
la super…cie z = f (x; y) con el plomo y = f0 (Representa la traza de la
super…cie sobre el plano y = y0 ). Por tanto: fx (x0 ; y0 ) es la pendiente de la
curva de intersección en el punto (x0 ; y0 ; f (x0 ; y0 )).
De la misma forma fy (x0 ; y0 ) representa la pendiente de la curva de
intersección en el punto (x0 ; y0 ; f (x0 ; y0 )).
@f (x0 ; y0 ) @f (x0 ; y0 )
Los valores ; representan las pendientes de la su-
@x @y
per…cie en las direcciones de x e y respectivamente.
De…nición 6.1 Si consideramos el punto P (a; b; c) en la grá…ca de la su-

per…cie z = f (x; y) de manera que c = f (a; b); y cortamos dicha super…-
cie con el plano de ecuación y = b (Plano perpendicular el eje Y ) obten-
emos una curva “C1 ” en dicho plano (Traza). Entonces la derivada parcial
fx (a; b) representa la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto
P (a; b; f (a; b)).
Análogamente la derivada parcial fy (a; b) representa la pendiente de la

recta tangente en el punto P (a; b; f (a; b)) a la curva “C2 ”(Traza) que resulta
143
144CAPÍTULO 6. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
de cortar la grá…ca de la super…cie z = f (x; y) con el plano x = a (Plano

perpendicular al eje X)
6.0.3. Conclusión
a) La derivada parcial con respecto a la variable “y”, representa la pend-
inte de la recta tangente a la curva de intersección del plano que pasa
por x = a, y la super…cie z = f (x; y).
La ecuación de la tangente a la curva de intersección de la super…cie
z = f (x; y) con el plano x = a en el punto para el cual y = b, viene
dada por la expresión.
z f (a; b) = fy (a; b) (y b)
b) La derivada parcial con respecto a la variable “x”representa la pendi-

ente de la recta tangente a la curva de intersección del plano que pasa
por y = b, y la super…cie z = f (x; y).
La ecuación de la recta tangente a la curva de intersección de la su-
per…cie z = f (x; y) con el plano y = b, en el punto para el cual x = a,
viene dada por la expresión:
z f (a; b) = fx (a; b) (x a)
6.1. DERIVADAS DIRECCIONALES 145
Ejemplo 6.1 Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de

intersección de la super…cie f (x; y) = 2x2 + 3xy 2 5xy con los planos x = 2
y y = 2.
Solución.
fx = 4x + 3y 2 5y
fy = 6xy 5x
Evaluamos la función y las derivadas parciales en el punto (2; 2).
z = f (2; 2) = 2 (2)2 + 3 (2) ( 2)2 5 (2) ( 2) = f (a; b)

z = f (2; 2) = 52 = c = f (a; b)
fx (2; 2) = 4 (2) + 3 ( 2)2 5 ( 2) = 30 = fx (a; b)
fy (2; 2) = 6 (2) ( 2) 5 (2) = 34 = fy (a; b)
P (a; b; c) = P (2; 2; 52)

Recta en el plano y = 2
z f (a; b) = fx (a; b) (x a)
z 52 = 30 (x 2) ) z = 30x 8
Recta en el plano x = 2
z f (a; b) = fy (a; b) (y b)
z 52 = 34 (y + 2) ) z = 30y 16
6.1. Derivadas direccionales

Las derivadas parciales fx ; fy representan las razones de cambio de
f (x; y) en direcciones paralelas a los ejes “X”e “Y ”.
Las derivadas parciales fx ; fy nos dan la pendiente de los vectores tan-
gentes a las curvas de intersección de la super…cie z = f (x; y) con los planos
y = ctte ó x = ctte respectivamente.
@z
Por tanto = fx ; es la razón de cambio de la función f (x; y) en la
@x
@z
dirección del vector unitario bi; = fy ; es la razón de cambio en la dirección
@y
del vector unitario b
j.
De…nición 6.2 La derivada de una función z = f (x; y) en la dirección

arbitraria de un vector unitario !
u = cos bi + sen b
j se de…ne como:
f (x + h cos ; y + h sen ) f (x; y)

lm
h!0 h
Si el límite existe.
Cuando la función es diferenciable en el punto P (a; b); la derivada di-
reccional se puede expresar en función de las derivadas parciales.
@z @f (a; b)
! = = fx (a; b) cos + fy (a; b) sen
@u @
La derivada direccional es una generalización de la derivada parcial.

En esta sección se investigará las razones de cambio de z = f (x; y) en
otras direcciones.
Demostración:
Sea: z = f (x; y) de…nida en una región “R” P0 (x0 ; y0 ) un punto …jo en
el plano xy ; y sea “L” una recta en el plano xy que pasa por el punto
P0 (x0 ; y0 ). Si un punto P (x; y) se mueve sobre la recta “L”, existe un punto
correspondiente “Q”situado en la parte superior del primero; que se mueve
sobre la super…cie z = f (x; y) describiendo una curva “C”.
Sea “s” la distancia de “P0 ” a “P ” medida sobre “L”, entonces uno se
puede preguntar acerca de la razón a la que cambia la coordenada “z” de
6.1. DERIVADAS DIRECCIONALES 147
“Q”con respecto al cambio “s”.
z y L
Q C
s P
u
θ
y P0
L
P(x;y) O x
!
u = k!u k cos t + k!
u k sen t
P0(x0;y0)
x !
u = (u ; u )
1 2
Para estudiar esta razón de cambio se introducirá un vector unitario ! u =

u1bi + u2b
j; con un punto inicial P0 (x0 ; y0 ) y punto …nal P (x; y) sobre la recta
!
“L”. El vector P0 P se relaciona con el vector ! u.
!
P0 P = s !
u
(x x0 ; y y0 ) = s (u1 ; u2 ) = (su1 ; su2 )

x = x0 + su1 Ecuaciones paramétricas
y = y0 + su2 de la recta “L”.
z = f (x; y) ) z = f (x0 + su1 ; y0 + su2 )
La razón a la que cambia “Z”con relación a “s”se obtiene utilizando la
regla de la cadena.
@z dx dy
= fx + fy = fx u1 + fy u2
@s ds ds
u1 = k!
u k cos = cos ; u2 = k!
u k sen = sen k!uk=1
u1 = k!u k cos = cos u 2 = k!
u k sen = sen
@z
= fx (cos ) + fy (sen )
@s
@z @z @z
= cos + sen
@s @x @y
Ejemplo 6.2 Hallar la derivada de la función en el punto P0 (1; 2) y en la

dirección = 60 respecto al eje horizontal, de la siguiente función:
z = f (x; y) = x2 xy 2y 2
Solución. P (1; 2), = 60 =

3
@z @z @z
= cos + sen
@s @x @y
z = f (x; y) = x2 xy 2y 2
@z
= fx = 2x y fx (1; 2) = 0
@x
@z
= fy = x 4y fy (1; 2) = 9
@y
p
1 3
cos = sen =
3 2 3 2
p !
@z 1 3 @z 9p
=0 + ( 9) ) = 3
@s 2 2 @s 2
p
Ejemplo 6.3 Sea: z = f (x; y) = 25 x2 y 2 , P0 (1; 2). Determinar el
valor mínimo de t para que el valor de la derivada direccional sea mínimo.
Solución.
p
2x x 1 5
fx = p =p f (1; 2) = p =
2 25 x2 y 2 25 x2 y 2 20 10
p
2y y 2 5
fy = p = p fy (1; 2) = p =
2 25 x2 y 2 25 x2 y 2 20 5
@z
= fx cos + fy sen
@s
p p
@z 5 5
= cos sen = f ( )
@s 10 5
6.2. EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 149
p p p
0 5 5 5 sen
f ( )= sen cos = cos
10 5 5 2
sen sen
f0 ( ) = 0 cos = 0 = cos
2 2
2
tan = 2 = = 63;49 f 00 ( ) > 0
1
2 5 2 1
sen = p cos = p
5 5
θ
1
@z
= fx cos + fy sen
@s
p p !
@z 5 1 5 2 1 2 1
= p + p = =
@s 10 5 5 5 10 5 2
@z 1
=
@s 2
Valor de la derivada direccional en la dirección donde “ ” es mínimo.
6.2. Extremos de funciones de dos variables

Una aplicación fundamental de la derivada de funciones de una variable
es el estudio de máximos y mínimos; utilizando varios criterios; que permitan
determinar extremos relativos, se aplica a una gran variedad de problemas
geométricos y físicos.
6.2.1. Extremos absolutos - extremos relativos

De…nición 6.3 Sea “D” una región del plano, donde la función “f ” esta
de…nida (D R2 ).
La función f : D R2 ! R alcanza un valor máximo absoluto sobre el

conjuntos “D”; si existe un punto P0 (x0 ; y0 ) 2 D tal que f (x0 ; y0 ) f (x; y)
8 (x; y) 2 D; por tanto f (x0 ; y0 ) es el máximo absoluto de la función en la
región “D”.
de…nida (D R2 ).
La función f : D R2 ! R, alcanza un valor mínimo absoluto sobre el
conjunto “D”; si existe un punto P0 (x0 ; y0 ) 2 D tal que: f (x0 ; y0 ) f (x; y)
8 (x; y) 2 D; por tanto f (x0 ; y0 ) es el mínimo absoluto de la función en la
región “D”.
De…nición 6.5 Sea la función; f : D R2 ! R, de…nida en un conjunto

abierto; y el punto P0 (x0 ; y0 ) esta en “D”, entonces:
a) La función “f ” tiene un mínimo relativo en P0 (x0 ; y0 ) si: f (x0 ; y0 )

f (x; y) 8 (x; y) que pertenece a un disco abierto que contiene al punto
P0 (x0 ; y0 ).
b) La función “f ” tiene un máximo relativo en P0 (x0 ; y0 ) si: f (x0 ; y0 )

f (x; y) 8 (x; y) que pertenece a un disco abierto que contiene al punto
P0 (x0 ; y0 ).
A los valores máximos y mínimos relativos de la función se denominan

extremos de la función.
Teorema 6.1 Teorema de los valores extremos

Sea f (x; y) de…nida y continua en una región cerrada y acotada “D”
2 R2 , entonces se tiene las siguientes a…rmaciones.
a) Existe al menos un punto en “D” donde la función alcanza un valor

máximo.
b) Existe al menos un punto en “D” donde la función alcanza un valor

mínimo.
Observación:
a) Si la función tiene un máximo relativo en (x0 ; y0 ); signi…ca que en

ningún punto cercano, la grá…ca de z = f (x; y) es mayor que en el
punto (x0 ; y0 ; z0 ).
b) Si la función tiene un mínimo relativo en (x0 ; y0 ); signi…ca que en

ningún punto cercano, la grá…ca de z = f (x; y) es menor que en el
punto (x0 ; y0 ; z0 ).
de…nida (D R2 ).
Si existe un punto (x0 ; y0 ) 2 D donde la función no tiene un extremo
relativo, se lo denomina punto silla.
En funciones de una variable la condición de la f 0 (x0 ) = 0, no es su…-

ciente para asegurar que la función tenga un extremo relativo en “x0 ”, la
grá…ca puede tener un punto de in‡exión con una tangente horizontal en
x = x0 .
En funciones de dos variables independientes es similar; las condiciones
fx (x0 ; y0 ) = 0; fy (x0 ; y0 ) = 0 no son su…cientes para asegurar que la función
tiene un extremo relativo en (x0 ; y0 ), a este punto se le conoce como punto
silla de la función z = f (x; y).
Las super…cies que poseen máximos, mínimos o puntos silla tienen la
siguiente forma:
z z P(x0; y0; z0)

a) b)
P(x0; y0; z0)

y y
(x0; y0) (x0; y0)
Mínimo Relativo Máximo Relativo
x x
c) z z = x2 –y2
P(x0; y0; z0)
x
Punto Silla
z P(x0; y0; z0) z

d) e)
P(x0; y0; z0)

y y
x (x0; y0) x (x0; y0)
La función no es diferenciable en (x0 ; y0 ) tiene máximo en (x0 ; y0 ; z0 ).

Una condición necesaria para que una función de dos variables presente un
extremo relativo en el punto P0 (x0 ; y0 ) es que el plano tangente a su grá…ca
en (x0 ; y0 ; f (x0 ; y0 )) sea paralelo al plano xy :
Teorema 6.2 Condiciones necesarias para la existencia de extremos

relativos:
Sea z = f (x; y) de…nida en un recinto “D”y sus derivadas fx , fy existen
en un punto (x0 ; y0 ) 2 D, entonces f (x; y) tiene un valor extremo, máximo
o mínimo relativo si:
a) fx (x0 ; y0 ) = 0; fy (x0 ; y0 ) = 0.
b) Si fx (x0 ; y0 ) ó fy (x0 ; y0 ) no existen.
Si buscamos los extremos relativos de una función, se debe analizar los

puntos donde las derivadas parciales sean igual a cero ó no existen dichos
puntos se llaman puntos críticos o estacionarios de la función.
Para localizar los extremos relativos de la función se debe investigar los

puntos con los que el gradiente de la función es cero y aquellos en las que
las derivadas parciales de la función no existen.
Utilizando la de…nición del operador Nabla se tiene: Sea z = f (x; y).
! @f b @f b
rf = i+ j
@x @y
! !
rf = 0 ) rf = 0bi + 0b j (Gradiente igual cero)
@f @f
= fx = 0 = fy = 0
@x @y
!
rf (x0 ; y0 ) = fx (x0 ; y0 ) bi + fy (x0 ; y0 ) b
j = 0bi + 0b
j
Las derivadas direccionales en (x0 ; y0 ) son igual a cero, esto implica que
el plano tangente de la función en el punto (x0 ; y0 ) es horizontal, por tanto
representa un extremo relativo.
z z
P(x0; y0; z0)
Plano tangente
paralelo al xy Plano tangente
paralelo al xy
P(x0; y0; z0)

y y
(x0; y0) (x0; y0)
Máximo Relativo
x x
6.2.2. Criterio de las segundas derivadas parciales para

extremo de funciones
Los extremos relativos de una función se presenta en los puntos críticos
fx (x0 ; y0 ) = 0; fy (x0 ; y0 ) = 0 pero no siempre son extremos relativos, en
muchos casos representan puntos sillas.
El criterio de las segundas derivadas parciales es análogo, para funciones
de dos variables; del criterio de la segunda derivada para funciones de una
variable.
Teorema 6.3 Sea f : R2 ! R, de…nida en el conjunto abierto “D”, de tal

manera que las derivadas parciales primeras y segundas de la función sean
continuas en la región abierta y contienen al punto (x0 ; y0 ) de tal forma que:
fx (x0 ; y0 ) = 0, fy (x0 ; y0 ) = 0.
Para determinar si en dicho punto existe un extremo relativo de la fun-

ción; de…nimos la siguiente cantidad.
2
@ 2 f (x0 ; y0 ) @ 2 f (x0 ; y0 ) @ 2 f (x0 ; y0 )
=
@x2 @y 2 @x@y
Sean: A = fxx (x0 ; y0 ) C = fyy (x0 ; y0 )

B = fyx (x0 ; y0 ) = A C B2
a) Si: > 0 ^ A > 0. Entonces la función tiene un mínimo

relativo en (x0 ; y0 ).
b) Si: > 0 ^ A < 0. Entonces la función tiene un máximo

relativo en (x0 ; y0 ).
c) Si: < 0 Entonces la función tiene un punto silla

en (x0 ; y0 ).
d) Si: = 0 El criterio no es concluyente

(es indeterminado).
La fórmula “ ”se puede recordar, con el criterio de la segunda derivada,

que viene dada por el determinante.
fxx (x0 ; y0 ) fxy (x0 ; y0 ) Donde:

=
fyx (x0 ; y0 ) fyy (x0 ; y0 ) fxy = fyx
= fxx (x0 ; y0 ) fyy (x0 ; y0 ) [fyx (x0 ; y0 )]2
= A C B2 Discriminante.
Ejemplo 6.4 Determinar los extremos de la siguiente función:
z = f (x; y) = x3 + y 3 18xy
6.3. MATRIZ HESSIANA 155
Solución.
fx = 3x2 18y fxx = 6x fyy = 6y

fy = 3y 2 18x fxy = 18
fx = 0 = 3x2 18y x2 6y = 0
fy = 0 = 3y 2 18x y2 6x = 0
2
x2 x2
y= ) 6x = 0 x1 = 0 y1 = 0
6 6
x2 = 6 y2 = 6
Q1 (0; 0), Q2 (6; 6) puntos críticos.
= AC B2
Q1 (0; 0) : A = fxx (0; 0) = 0, B = fxy (0; 0) = 1, C = fyy (0; 0) = 0
= AC B 2 < 0 ) Punto silla.
z = f (0; 0) = 0 + 0 0 = 0 P1 (0; 0; 0) Punto silla.

Q2 (6; 6) : A = fxx (6; 6) = 36, B = fxy (x; y) = 18, C = fyy = (6; 6) =
36
= AC B 2 > 0 ^ A > 0 Mínimo
z = f (6; 6) = (6)3 + (6)3 18 (6) (6) = 216 P2 (6; 6; 216) Mínimo
6.3. Matriz Hessiana

La matriz hessiana de una función “f ” de “n” variables, representa la
matriz cuadrada de n n; de las segundas derivadas parciales. La matriz
hessiana de una función, organiza todas las derivadas parciales de segundo
orden en una matriz simétrica.
De…nición 6.7 Sea f : Rn ! R, una función real de “n” variables reales.

Si todas las segundas derivadas parciales de la función existen, entonces

se de…ne la matriz hessiana de la función como H (f ); donde:
@ 2 f (x)
H (f (x))bibj =
@xbi @xbj
Se representa como una matriz cuadrada de n n de la siguiente forma:

2 3
@2f @2f @2f
6 @x2 @x1 @x2 @x1 @xn 7
6 1 7
6 @2f @ 2
f @ 2
f 7
6 7
6 7
H (f ) = 6 @x2 @x1 @x22 @x2 @xn 7
6 .. .. .. .. 7
6 . . . . 7
6 7
4 @2f @2f @2f 5
@xn @x1 @xn @x2 @x2n
La matriz hessiana esta de…nida y es simétrica (consultar teorema de

Schwarz)
6.3.1. Aplicación de la matriz Hessiana

La aplicación fundamental de la matriz hessiana es la determinación de
los extremos de funciones.
Sea f : R2 ! R; una función real de dos variables reales. Si todas sus
segundas derivadas parciales existen entonces la matriz hessiana se de…ne.
2 2 3
@ f @2f
6 @x2 @y@x 7 Matriz simétrica:
6
= H (f ) = 4 2 7 @2f @2f
@ f @2f 5 =
@x@y @y@x
@x@y @y 2
Esta función se aplica en su generalidad entre puntos críticos (x0 ; y0 ) que

pertenecen al dominio de la función:
@ f (x0 ; y0 ) @ f (x0 ; y0 )
=0 =0
@x @y
Si A = fxx (x0 ; y0 ), B = fxy (x0 ; y0 ) y C = fyy (x0 ; y0 ).
A B
= H (x0 ; y0 ) = ) = AC B2
B C
Teorema 6.4 Sea f : R2 ! R j z = f (x; y) de…nida en un recinto “R” y

Q0 (x0 ; y0 ) pertenece al recinto “R” (Punto Crítico).
fx (x0 ; y0 ) = 0 fy (x0 ; y0 ) = 0
a) Si = H (x0 ; y0 ) > 0 y fxx (x0 ; y0 ) > 0 entonces Q0 (x0 ; y0 ) representa

un mínimo local.
b) Si = H (x0 ; y0 ) > 0 y fxx (x0 ; y0 ) < 0 entonces Q0 (x0 ; y0 ) representa

un máximo local.
c) Si = H (x0 ; y0 ) < 0 entonces Q0 (x0 ; y0 ) representa un punto silla.
d) Si = H (x0 ; y0 ) = 0 entonces Q0 (x0 ; y0 ) no es concluyente; no se

puede a…rmar nada acerca de la naturaleza del punto crítico Q0 (x0 ; y0 ).
Ejemplo 6.5 Determinar los extremos de la siguiente función:
1
z = f (x; y) = ln x2 + y 2 + 1
ln (10)
Solución.
1 2x 2x
fx = fx = 0 =0
ln (10) x + y 2 + 1
2 x2 + y2 + 1
1 2y 2y
fy = fy = 0 =0
ln (10) x + y 2 + 1
2 x + y2 + 1
2
x 9
= 0 =
x2 + y 2 + 1 x=0 y=0
y
=0 ; Q0 (0; 0)
x + y2 + 1
2
2 x2 + y 2 + 1 2x2 2 y 2 x2 + 1
fxx = =
ln (10) (x2 + y 2 + 1)2 ln (10) (x2 + y 2 + 1)2
2y 2x 4 xy
fxy = 2 =
ln (10) (x2 + y 2 + 1) ln (10) (x2 + y 2 + 1)2
2 x2 + y 2 + 1 2y 2 2 x2 y 2 + 1
fyy = =
ln (10) (x2 + y 2 + 1)2 ln (10) (x2 + y 2 + 1)2
fxx (x0 ; y0 ) fyx (x0 ; y0 )

= H (x0 ; y0 ) = Q0 (x0 ; y0 ) = Q0 (0; 0)
fxy (x0 ; y0 ) fyy (x0 ; y0 )
1 2
fxx (0; 0) = fxy = fyx (0; 0) = 0 fyy (0; 0) =
ln (10) ln (10)
2
0
ln (10) 4
= H (0; 0) = 2 ) = H (0; 0) = 2
0 ln (10)
ln (10)
> 0; fxx (0; 0) > 0 ) Q0 (0; 0) ; Mínimo.
x0 = 0 y0 = 0 z0 = log (x20 + y02 + 1) = 0
P (0; 0; 0) : Punto mínimo.
Analizar los extremos de las siguientes funciones:
1. z = f (x; y) = x3 + 3xy 2 15x 12y
Ejemplo 6.6 Solución.

9
@z >
= 3x2 + 3y 2 15 = 0 =
@x
@z >
= 6xy 12 = 0 ;
@y
3x2 + 3y 2 15 = 0 x2 + y 2 5 = 0
6xy 12 = 0 xy 2 = 0 2
z = f (x; y) = ( 2)3 + 3 ( 2) ( 1)2 15 ( 2) 12 ( 1)

2
x2 + y 2 5 = 0 xq + 2xy + y 2 9=0
) p
2xy 4 = 0 (x + y)2 = 32
x+y = 3
a) x + y = 3 ) y = 3 x
x (3 x) 2 = 0
3x x2 2 = 0
x2 3x + 2 = 0
(x 2) (x 1) = 0
x1 = 1 ) y1 = 2
Q1 (1; 2) ; Q2 (2; 1)
x2 = 2 ) y2 = 1
b) x + y = 3)y= 3 x
x ( 3 x) 2 = 0
3x x2 2 = 0
x2 + 3x + 2 = 0
(x + 2) (x + 1) = 0
x3 = 1 ) y3 = 2
Q3 ( 1; 2) ; Q4 ( 2; 1)
x4 = 2 ) y4 = 1
00 Q1 (1; 2) : Q2 (2; 1)
A = zxx = 6x
00 A = 6, B = 12, C = 6 A = 12, B = 6, C = 12
B = zxy = 6y
00 = AC B 2 = 36 144 < 0 = 144 36 > 0
C = zyy = 6x
x1 = 1, y1 = 2, z1 = 26 x2 = 2, y2 = 1, z2 = 28
P1 (1; 2; 26) Punto silla. P2 (2; 1; 28) Punto mínimo.
Q3 ( 1; 2) : Q4 ( 2; 1)
A = 6, B = 12, C = 6 A = 12, B = 6, C = 12
= AC B 2 = 36 144 < 0 = 144 36 > 0
x3 = 1, y3 = 2, z3 = 26 x4 = 2, y4 = 1, z4 = 28
P3 ( 1; 2; 26) Punto silla. P4 ( 2; 1; 28) Punto máximo.
4 2
1. z = xy + + :
x y
Solución. 9
4 >
zx0 =y =0 =
x2
2
zy0 = x =0 >
;
y2
9
4 > 4
y =0 = 2 y=
x2 xy 4=0 x2
2 > xy 2 2=0 16
x =0 ; x 2=0
y2 x4
8 x3 = 0 x=2
)
x3 = 23 y=1
Q = (2; 1)
00 8
A = zxx = A = 1, B = 1, C = 4
00
x3 P (2; 1; 6)
B = zxy =1 = AC B 2 = 3 > 0
4 Punto mínimo
00
C = zyy = 3 x = 2, y = 1, z = 6
y
2. z = f (x; y) = x3 + 3xy 2 3x2 3y 2 + 4
Solución.
fc = 3x2 + 3y 2 6x 3x2 + 3y 2 6x = 0
fy = 6xy 2 6y 6xy 2 6y = 0
x2 + y 2 2x = 0 xy y = 0
xy y = 0 6xy 6y = 0
y = 0 ) x2 2x = 0 ) x (x 2) = 0 x1 = 0 x2 = 2
Q1 (0; 0) Q2 (2; 0)
x 1=0 x=1 x2 + y 2 2x = 0 1 + y2 2=0
y2 = 1 y= 1 Q3 (1; 1) Q4 (1; 1)
= AC B2
fxx = 6x 6 fxy = 6x fyy = 6x 6
Q0 (0; 0) : A = fxx (0; 0) = 6 B = fxy (0; 0) = 0 C = fyy (0; 0) = 6
= AC B 2 = 36 0 > 0; A < 0 Máximo
Q1 (0; 0) z = f (x; y) = x3 + 3xy 2 3x2 3y 2 + 4 ) z = 4
P1 (0; 0; 4) Punto máximo
Q2 (2; 0) : A = fxx (2; 0) = 6 B = fxy (2; 0) = 0 C = fyy (2; 0) = 6
= AC B 2 = 36 0 > 0; A > 0 Mínimo
Q2 (0; 0) z = f (x; y) = x3 + 3xy 2 3x2 3y 2 + 4 ) z = 0
P2 (2; 0; 0) Punto mínimo
Q3 (1; 1) : A = fxx (1; 1) = 0 B = fxy (1; 1) = 6 C = fyy (1; 1) = 0
= AC B2 = 0 36 <0 Punto silla
Q3 (1; 1) z = f (x; y) = x3 + 3xy 2 3x2 3y 2 + 4 ) z = 2
P3 (1; 1; 2) Punto silla
Q4 (1; 1) : A = fxx (1; 1) = 0 B = fxy (1; 1) = 6 C = fyy (1; 1) = 0
= AC B 2 = 36 0 <0 Punto silla
Q4 (1; 1) z = f (x; y) = x3 + 3xy 2 3x2 3y 2 + 4 ) z = 2
P4 (1; 1; 2) Punto silla
3. z = f (x; y) = x ln y + x.
Solución.
x
fx = ln y + 1 fy =
y
) 1
fx = 0 ln y + 1 = 0 ln y = 1 y=e 1
= 1
x x e Q 0;
fy = 0 =0 =0 e
y y x=0
1 x
fxx = 0 fyx = fyy =
y y2
1 1
Q 0; : A = fxx 0; =0
e e
1
B = fyx 0; =e
e
1
C = fyy 0; =0
e
= AC B2 = 0 e2 <0 Punto silla
1
Q 0; z = f (x; y) = x ln y + x ) z = 0
e
1
P 0; ; 0 Punto silla
e
4. z = f (x; y) = x3 y 2 (12 x y).

Solución.
z = f (x; y) = 12x3 y 2 x4 y 2 x3 y 3
fx = 36x2 y 2 4x3 y 2 3x2 y 3
fy = 24x3 y 2x4 y 3x3 y 2
fx = 0 : 36x2 y 2 4x3 y 2 3x2 y 3 = 0
fy = 0 : 24x3 y 2x4 y 3x3 y 2 = 0
x2 y 2 (36 4x 3y) = 0
x1 = 0 y1 = 0
x3 y (24 2x 3y = 0)
Q1 (0; 0)
36 4x 3y = 0
12 2x = 0 x2 = 6
24 2x 3y = 0
y2 = 4
Q2 (6; 4)
fxx = 72xy 2 12x3 y 2 6xy 3

fxy = 72x2 y 8x3 y 9x2 y 2
fyy = 24x3 2x4 6x2 y
Q1 (0; 0) : A = fxx (0; 0) = 0

B = fxy (0; 0) = 0
C = fyy (0; 0) = 0
= AC B2 = 0 Indeterminado
Q1 (0; 0) : z = x3 y 2 (12 x y) ) z = 0
P1 (0; 0; 0) Punto Silla
Q2 (6; 4) : A = fxx (6; 4) = 2304
B = fxy (6; 4) = 1728
C = fyy (6; 4) = 2590
= AC B 2 = ( 2304) ( 2590) ( 1728)2 = 2985984
> 0; A < 0 Punto máximo
Q2 (6; 4) : z = x3 y 2 (12 x y) ) z = 6912
P2 (6; 4; 6912) Punto Máximo
5. z = f (x; y) = ex y
(x2 2y 2 )
Solución.
fx = ex y x2 2y 2 + ex y (2x) = ex y x2 2y 2 + 2x
fy = ex y x2 2y 2 + ex y ( 4y) = ex y x2 + 2y 2 4y
fx = 0 ) ex y (x2 2y 2 + 2x) = 0 x2 2y 2 + 2x = 0
fy = 0 ) ex y ( x2 + 2y 2 4y) = 0 x2 + 2y 2 4y = 0
Sumando: 2x 4y = 0 ) x = 2y
Reemplazando: (2y)2 + 2y 2 4y = 0
y 2 + 2y = 0 y (y + 2) = 0 y1 = 0 x1 = 0
y2 = 2 x2 = 4
fxx = ex y x2 2y 2 + 4x + 2
fxy = fyx = ex y
x2 + 2y 2 4y 2x
fyy = ex y x2 2y 2 + 8y 4
Q1 (0; 0) : A = fxx (0; 0) = 2

B = fxy (0; 0) = 0
C = fyy (0; 0) = 4
= AC B 2 = (2) ( 4) 0 <0 Punto Silla
Q1 (0; 0) : z = ex y
x2 2y 2 ) z = 0
P1 (0; 0; 0) Punto Silla
Q2 ( 4; 2) : A = fxx ( 4; 2) = 6e 2
B = fxy ( 4; 2) = 8e 2
C = fyy ( 4; 2) = 12e 2
2 2
= AC B 2 = 6e 2 12e 2 8e
> 0; A < 0 Máximo
x y 2
Q2 ( 4; 2) : z = e x 2y 2 ) z = 8e 2
2
P2 4; 2; 8e Punto Máximo
2 2 x4
6. z = f (x; y) = x + y .
2
Solución.
fx = 2x 2x3 fx = 0 2x 2x3 = 0 x x3 = 0
fy = 2y fy = 0 2y = 0 y=0
6.4. EXTREMOS CONDICIONALES 165
x1 = 0 y1 = 0 Q1 (0; 0)
x (1 x2 ) = 0
x2 = 1 y2 = 0 Q2 (1; 0)
y=0
x3 = 1 y3 = 0 Q3 ( 1; 0)
fxx = 2 6x2 fxy = fyx = 0 fyy = 2
Q1 (0; 0) : A = fxx (0; 0) = 2
B = fxy (0; 0) = 0
C = fyy (0; 0) = 2
= AC B2 > 0; A > 0 Mínimo
Q1 (0; 0) ; z = 0 P1 (0; 0; 0) Punto Mínimo
Q2 (1; 0) : A = fxx (1; 0) = 4
B = fxy (1; 0) = 0
C = fyy (1; 0) = 2
= AC B2 <0 Punto Silla
1 1
Q2 (1; 0) ; z = P2 1; 0; Punto Silla
2 2
Q3 ( 1; 0) : A = fxx ( 1; 0) = 4
B = fxy ( 1; 0) = 0
C = fyy ( 1; 0) = 2
= AC B2 <0 Punto Silla
1 1
Q3 ( 1; 0) ; z = P3 1; 0; Punto Silla
2 2
6.4. Extremos condicionales

6.4.1. Multiplicador de La Grange
Es un procedimiento para determinar máximos y mínimos de funciones
de varias variables sujeto a restricciones. Este método reduce el problema re-
stringido con “n”variables a una sin restricciones de (n + ) variables donde
“ ”es el número de restricciones y cuyas ecuaciones pueden ser resueltos de
una forma más simple. Las nuevas variables escalares desconocidas una para
cada restricción se denomina multiplicadores de La Grange.
En algunas aplicaciones es necesario obtener los valores extremos de una
función cuyo dominio esta restringido a cierto subconjunto del plano. Es-
tos problemas se resuelven de forma más simple utilizando el método de
multiplicadores de La Grange.
En muchos problemas de optimización, los valores admisibles están su-
jetos a ligadores (restricciones). Estas restricciones tienden a complicar los
problemas ya que la solución óptima puede darse en un punto de la frontera
del dominio. Para resolver este tipo de problemas se utiliza el método de los
multiplicadores de Lagrange.
Se debe recordar que dos curvas son tangentes en un punto si y sólo si sus
ectores gradientes son paralelos. Esto signi…ca que en el punto de tangencia
! !
rf (x; y) debe ser un múltiplo de rg (x; y).
! !
rf (x; y) paralela a rg (x; y).
! !
Entonces: rf (x; y) = rg (x; y) 2R
: Multiplicador de Lagrange.
Teorema 6.5 Teorema de Lagrange

Sean las funciones f (x; y) y g (x; y) con sus primeras derivadas parciales
continuas, tales que f (x; y) tiene un extremo en el punto (x0 ; y0 ) sobre la
!
curva de restricción g (x; y) = C (C : ctte). Si rg (x0 ; y0 ) 6= 0; entonces
existe un número real “ ” tal que:
! !
rf (x0 ; y0 ) = rg (x0 ; y0 )
6.4.2. Multiplicadores de Lagrange con dos restric-

ciones
Existen problemas donde se debe determinar los valores extremos de una
función derivable f (x; y; z); cuyas variables están sujetas a dos restricciones
g1 (x; y; z) = 0; g2 (x; y; z) = 0.
! !
g1 y g2 , son derivables y rg1 no es paralela a rg2 ; se obtiene los ex-
tremos locales de la función f (x; y; z), introduciendo dos multiplicadores de
Lagrange, que satisfacen simultáneamente a las siguientes ecuaciones.

! ! !
rf = 1 rg1 + 2 rg2
g1 (x; y; z) = 0 g2 (x; y; z) = 0
Método de multiplicadores de Lagrange: Sean las funciones f (x; y; z)
!
y g (x; y; z) derivables y que rg 6= 0; cuando g (x; y; z) = 0; para determinar
los valores máximos y mínimos locales de f (x; y; z) sujeto a la restricción
g (x; y; z) = 0; se obtienen los valores de x, y, z y que satisfacen en forma
simultánea a las ecuaciones
! !
rf = rg; g (x; y; z) = 0
! @f b @f b @f b ! @g @g @g b
rf = i+ j+ k rg = bi + b j+ k
@x @y @z @x @y @z
! ! @f @g @f @g @f @g
rf = rg ) = = =
@x @x @y @y @z @z
8
>
> fx = gx
< Sistema de ecuaciones y se obtienen
fy = gy
los valores de x, y, z y ; que satisfacen
>
> fz = gz
: simultáneamente a las ecuaciones.
g (x; y; z) = 0
En función del análisis se puede concluir que el método de multiplicadores
de Lagrange se lo puede de…nir de la siguiente forma:
F (x; y; z; ) = f (x; y; z) + g (x; y; z)
F (x; y; z; ) : Función de Lagrange.

g (x; y; z) : Función condicional.
: Multiplicador de Lagrange.
f (x; y; z) : Función a Maximizar o Minimizar (función primitiva).
Fx = fx + gx Fx = 0 ) fx = gx
Fy = fy + gy Fy = 0 ) fy = gy
Fx = fx + gx Fz = 0 ) fz = gz
F = g (x; y; z) F =0 ) g (x; y; z) = 0
Exercise 6.6 1. Determinar los puntos en la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 que

esten más cercanos al punto Q0 (3; 1; 1).
Solución.
d2 = (x 3)2 + (y 1)2 + (z + 1)2
Distancia entre dos puntos.
d : La distancia es la función a minimizar.
g (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 4 Función condicionante
F (x; y; z; ) = f (x; y; z) + g (x; y; z)

F (x; y; z; ) = (x 3)2 + (y 1)2 + (z + 1)2 + x2 + y 2 + z 2 4
x 3
Fx = 2 (x 3) + 2 x = 0 = ::: (1)
x
y 1
Fy = 2 (y 1) + 2 y = 0 = ::: (2)
y
z+1
Fz = 2 (z + 1) + 2 z = 0 = ::: (3)
z
F = x2 + y 2 + z 2 4 = 0::: (4)
(1) = (2):
x 3 y 1 x
= y=
x y 3
(1) = (3):
x 3 z+1 x
= z=
x z 3
x 2 x 2
x2 + y 2 + z 2 4=0 x2 + + 4=0
3 3
9x2 + x2 + x2 = 36 11x2 = 36
6 2 2
x= p y=p z= p
11 11 11
2. Obtener los valores mayores o menores que forma la función f (x; y) =

x2 y 2
xy; sobre la Elipse + = 1.
8 2
Solución.
f (x; y) = xy (función a maximizar y minimizar).
x2 y 2
g (x; y) = + 1 función condicional.
8 2
F (x; y; z) = f (x; y) + g (x; y)
x2 y 2
F (x; y; z) = xy + + 1
8 2
4y 4y x
Fx = y + x = 0 = =
4 x x y
x 2 2
Fy = x + y = 0 = 4y = x
y
x2 y 2
F = + 1=0 4y 2 x2 = 0
8 2
(2yx) (2y + x) = 0
x x
y= y=
2 2
x2 y 2 x 2
y 2
+ 1=0 + =1 x= 2
8 2 8 2
x1 = 2 y1 = 1 x2 = 2 y2 = 1
f (x; y) = xy f (x; y) = 2 f (x; y) = 2
3. Determinar la distancia mínima del punto Q (1; 2; 3) al plano P :

x y + 2z 4 = 0.
Solución.
d2 = (x 1)2 + (y 2)2 + (z 3)2 función primitiva
g (x; y; z) = x y + 2z 4 función condicionante
F (x; y; z; ) = f (x; y; z) + g (x; y; z)

F (x; y; z; ) = (x 1)2 + (y 2)2 + (z 3)2 + (x y + 2z 4)
Fx = 2 (x 1) + = 0 = 2 (x 1) 2 (x 1) = 2 (y 2)
Fy = 2 (y: 2) = 2 (y 2) y = x+3
Fz = 2 (z 3) + 2 = 0 = (z 3) 2 (x 1) = (z 3)
F = x y + 2z 4 = 0 z = 2x + 1
Reemplazando en: x y + 2z 4=0
5 13 16
x ( x + 3) + 2 (2x + 1) 4=0 x= y= z=
6 6 6
2 2 2
5 13 16
d2 = (x 1)2 +(y 2)2 +(z 3)2 = 1 + 2 + 3
6 6 6
p
6
d=
6
Este ejemplo se puede resolver con la fórmula de un punto al plano:
Ax0 + By0 + Cz0 + D
d= p P : x y + 2z 4=0
A2 + B 2 + C 2 Q0 (1; 2; 3)
p
1 (2) + 2 (3) 4 1 6
d= p =p =
1+1+4 6 6
4. Expresar el número “a” como suma de tres números positivos de tal
forma que el producto de dichos números sea máximo.
Solución.
a=x+y+z g (x; y; z) = x + y + z a función condicionante
P = xyz f (x; y; z) = xyz función primitiva
F (x; y; z; ) = f (x; y; z) + g (x; y; z)

F (x; y; z; ) = xyz + (x + y + z a)
Fx = yz + = 0 = yz Igualando:
Fy = xz + = 0 = xz yz = xz y=z
Fz = xy + = 0 = xy yz = xy z=x
F =x+y+z a=0
Reemplazando: x + z + z a=0
a
x=y=z=
3
5. Determinar tres números positivos cuyo producto sea 24, de tal forma
que la suma de dichos números sea mínima.
Solución.
24 = xyz g (x; y; z) = xyz 24 función condicionante
S =x+y+z f (x; y; z) = x + y + z función primitiva
F (x; y; z; ) = f (x; y; z) + g (x; y; z)

F (x; y; z; ) = x + y + z + (xyz 24)
1
Fx = 1 + yz = 0 = Igualando:
yz
1 1 1
Fy = 1 + xz = 0 = = y=x
xz yz xz
1 1 1
fz = 1 + xy = 0 = = z=x
xy yz xy
F = xyz 24 = 0
Reemplazando: xxx 24 = 0
p
3
x=y=z= 24
6. Calcular las dimensiones de una caja rectangular sin tapa de volumen

máximo si posee 108 cm2 de super…cie.
Solución.
z
V = xyz = f (x; y; z)
S = 2yz + 2xz + xy = 108
g (x; y; z) = 2yz + 2xz + xy 108
x
y
F (x; y; z; ) = f (x; y; z) + g (x; y; z)

F (x; y; z; ) = xyz + (2yz + 2xz + xy 108)
yz
Fx = yz + (2z + y) = 0 =
2z + y
xz
Fy = xz + (2z + x) = 0 =
2z + x
xy
Fz = xy + (2y + 2x) = 0 =
2y + 2x
F = 2yz + 2xz + xy 108 = 0
Igualando:
yz xz
= y=x
2z + y 2z + x
yz xy x
= z=
2z + y 2y + 2x 2
Reemplazando:
x x
2x + 2x + x (x) = 108
2 2
3x2 = 108
x=6 y=6 z=6
7. Hallar el valor máximo de f (x; y) = 4xy, x > 0; y > 0 sujeto a la

x2 y 2
condición: + = 1.
9 16
Solución.
f (x; y) = 4xy función primitiva

x2 y 2
g (x; y; z) = + 1 función condicionante
9 16
F (x; y; z; ) = f (x; y; z) + g (x; y; z)

x2 y 2
F (x; y; z; ) = 4xy + + 1
9 16
2x 18y 18y 32x

Fx = 4y + =0 = =
9 x x y
y 32x 4
Fy = 4x + =0 = y= x
8 y 3
x2 y 2
F = + 1=0
9 16
Reemplazando:
16 2
x2 x x2 x2
+ 9 =1) + =1
9 16 9 9
p
3 3 2 p
x= p = y=2 2
2 2
8. Demostrar que la caja rectangular de mayor volumen que puede in-

scribirse en una esfera de radio R es un cubo.
Solución.
x2 + y 2 + z 2 = R 2 Escuación de la esfera
V = xyz Considerando sólo en el primer octante
P(x; y; z) V = f (x; y; z) = xyz función primitiva

y g (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 R2 función condicionante
F (x; y; z; ) = f (x; y; z) + g (x; y; z)

F (x; y; z; ) = xyz + x2 + y 2 + z 2 R2
yz
Fx = yz + 2x = 0 = Igualando:
2x
xz yz xz
Fy = xz + 2y = 0 = = )y=z
zy 2x zy
xy yz xy
Fz = xy + 2z = 0 = = )z=x
2 2 2 2
2z 2x 2z
F =x +y +z R =0
y = x, z = x ) La cada rectangular es un Cubo.
9. Sean a, b, c, números positivos. Hallar el valor máximo de f (x; y; z) =

xa y b z c con la restricción: x + y + z = 1.
Solución.
F (x; y; z; ) = f (x; y; z) + g (x; y; z)
f (x; y; z) = xa y b z c función primitiva
g (x; y; z) = x + y + z 1 Función condicional
F (x; y; z; ) = xa y b z c + (x + y + z 1)
Fx = axa 1 y b z c + = 0 = axa 1 y b z c
Fy = by b 1 xa z c + = 0 = by b 1 xa z c
Fz = cz c 1 xa y b + = 0 = cz c 1 xa y b
F = x + y + z 1::: (1)
Igualando:
b
axa 1 y b z c = by b 1 xa z c ) y = x
a
c
axa 1 y b z c = c 1 a b
cz x y ) z = x
a
Reemplazando en (1):
b c
x+ x+ x 1 = 0
a a
ax + bx + cx = a
a b c
x= y= z=
a+b+c a+b+c a+b+c
a b c
P0 (x0 ; y0 ; z0 ) = P ; ; Punto crítico
a+b+c a+b+c a+b+c
Reemplazando en: f (x; y; z) = xa0 y0b z0c

a b c
a b c
f (x0 ; y0 ; z0 ) =
a+b+c a+b+c a+b+c
aa + b b + c c
f (x0 ; y0 ; z0 ) =
(a + b + c)a+b+c
Veri…car con: = AC B 2 que representa un máximo.
10. Determinar el valor mínimo de la función f (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 con

las siguientes restricciones
x + 2y + 3z = 6 ; x y z=1
Solución.
F (x; y; z; ) = f (x; y; z) + 1 g1 (x; y; z) + 2 g2 (x; y; z)
f (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 función primitiva

g1 (x; y; z) = x+2y+3z 6 g2 (x; y; z) = x y z 1 funciones condicionantes
F (x; y; z; ) = x2 + y 2 + z 2 + 1 (x + 2y + 3z 6) + 2 (x y z 1)
1
Fx = 2x + 1 + 2 =0 x= ( 1 + 2 ) ::: (5)
2
1
Fy = 2y + 2 1 2 =0 y= (2 1 2 ) ::: (6)
2
1
Fz = 2z + 3 1 2 =0 z= (3 1 2 ) ::: (7)
2
F 1 = x + 2y + 3z 6 = 0::: (1)
F 2 = x y z 1 = 0::: (2)
Reemplazando en las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:
x + 2y + 3z 6 = 0
1 1 1
( 1 + 2) +2 (2 1 2) +3 (3 1 2) 6 = 0
2 2 2
14 1 +4 2 12 = 0::: (3)
x y z+1 = 0
1 1 1
( 1 + 2) (2 1 2) (3 1 2) +1 = 0
2 2 2
4 1 3 2 + 2 = 0::: (4)
Resolviendo (3) y (4):
14
14 1 + 4 2 12 = 0 1 =
13
4 1 3 2+2=0 10
2 =
13
Reemplazando en las ecuaciones (5); (6) y (7) se obtiene:
12 9 16
x= y= z=
13 13 13
f (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2
12 9 16 144 81 256 481
f ; ; = + + =
13 13 13 169 169 169 169
12 9 16 37
f ; ; = Mínimo de la función f (x; y; z)
13 13 13 13
11. Hallar los puntos de la super…cie z 2 xy = 1, mas próximos al origen.
Solución.
F (x; y; z; ) = f (x; y; z) + g (x; y; z)
g (x; y; z) = z 2 xy 1 función condicional
2 2 2 2
d = x + y + z = f (x; y; z) función primitiva
d : Distancia de un punto de la super…cie al origen
F (x; y; z; ) = x2 + y 2 + z 2 + z2 xy 1
2x 2x 2y
Fx = 2x y =0 = = ) x2 = y 2
y y x
2y
Fy = 2y x =0 = x2 y2 = 0
x
Fz = 2z + 2z = 0 = 1 (x y) (x + y) = 0
F = z 2 xy 1 = 0 z=0 y=x y= x
z=0 z2 xy 1 x2 1=0 Solución imaginaria

y=x
y= x z xy 1=0 x ( x) 1=0 x= 1 y= 1
P1 (1; 1; 0) P2 ( 1; 1; 0) Representan los puntos
más próximos al origen.
Capítulo 7
Integración múltiple
En capítulos anteriores se de…nía la derivada de una función de varias

variables independientes con respecto a una de ellas, manteniendo constante
las demás variables. De la misma forma se pueden integrar funciones de
varias variables.
Ejemplo 7.1 Si conocemos la derivada parcial respecto a la variable “x”de
una determinada función z = f (x; y).
f (x; y) = 5x4 y 2 +6, se puede realizar la integración respecto a la variable
“x”.
Z
f (x; y) = fx (x; y) dx La variable es “x”; y = ctte:
Z Z Z
4 2 4 2
f (x; y) = 5x y + 6 dx = 5x y dx + 6dx
Z Z
2 4
f (x; y) = 5y x dx + 6 dx
f (x; y) = y 2 x5 + 6x + C (y)
C (y) : Constante que depende de la variable “y”.
Se puede observar que integrando en función de la variable “x”, se puede
reconstruir la función f (x; y) de forma parcial, una reconstrucción total
de una función de dos variables independientes se obtiene a partir de sus
derivadas parciales.
179
180 CAPÍTULO 7. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
De forma similar se puede integrar respecto a la variable “y”, mantenien-

do “x”constante, también es válida el teorema fundamental del cálculo.
Z h2 (y)
h (x)
fx (x; y) dx = [f (x; y)]h21 (x) = f (h2 (y) ; y) f (h1 (y) ; y)
h1 (y)
Z g2 (x)
g (x)
fy (x; y) dy = [f (x; y)]g21 (x) = f (x; g2 (x)) f (x; g1 (x))
g1 (x)
Los límites de una integral no pueden estar en función de la variable de

integración
Z y2 +4
(y + 4) dy : No tiene sentido esta integral.
y
Los límites interiores de integración pueden ser variables con respecto a

la variable exterior de integración.
Los límites exteriores de integración tienen que ser constantes con re-
specto a las dos variables de integración. Realizada la integración interior,
se llega a una integral de…nida ordinaria, por tanto la segunda integración
produce como resultado un número real.
La de…nición de integral para una función de dos variables es una ex-
tensión de los conceptos utilizados para de…nir la integral de una función de
una variable independiente. La integración de f (x) se realiza en un intervalo
cerrado del eje X; mientras que la integración de la función f (x; y) se realiza
en una región cerrada “R”que pertenece al plano xy :
Las integrales múltiples están estrechamente relacionados con las inte-
grales iteradas, los cuales son necesarios para resolver las integrales múlti-
ples.
La diferencia entre integrales múltiples e iteradas es que una se re…ere
al concepto matemático de integral aplicada a varias variables, y la otra al
procedimiento por el cua se resuelve la integral múltiple.
7.1. Integrales iteradas

El cálculo de una integral múltiple (varias variables) se reduce a calcular
las integrales de una variable en el orden especi…cado. El diferencial indica
7.2. INTEGRAL DOBLE 181
acerca del nombre de la variable con respecto a la que debemos de integrar y

su posición indica el orden de integración, correspondiendo las diferenciales
más interiores a las integrales que se debe calcular primero.
Z bZ d Z b Z d
f (x; y) dydx = f (x; y) dy dx
a c a c
Rd
c
f (x; y) dy : variable “y”, se considera “x”constante.
Una integral doble esta de…nida con respecto a una región “R” que
pertenece al plano xy ; una integral doble existe si las dos integrales it-
eradas existen y son iguales. La integral doble existe sin importar el orden
de integración puede ser (dydx) ó (dxdy); por lo general se procede con un
solo orden para calcular la integral doble.
En algunos casos las dos integrales iteradas existen y no son iguales en
este caso se concluye que la integral doble no existe.
Z bZ d Z d Z b
f (x; y) dydx 6= f (x; y) dxdy
a c c a
Existe el teorema de FUBINI que asegura que el orden de integración es

irrelevante.
Se puede concluir que una integral iterada es un caso particular de la
integral de…nida, por tanto las propiedades de las integrales de…nidas son
válidas y se pueden utilizar.
7.2. Integral doble

Introducción: El concepto de integral de…nida de una función y = f (x),
se puede extender a funciones de dos o más variables.
La integral de…nida para funciones de una variable se realiza mediante
los siguientes procedimientos:
Sea y = f (x) de…nida en un intérvalo [a; b].
a) Se divide el intevalo [a; b] en “n”subintérvalos de longitud: x1 , x2 ;

, xn .
b) Se elige un punto arbitrario en cada subintérvalo denotado por: x1 , x2 ,

, xn .
X
n
c) Se realiza la suma de Riemann: f (xk ) xk .
k=1
d) Repetir el proceso con más subdivisores de tal forma que n ! 1

Z b Xn
I= f (x) dx = l m f (xk ) xk
a n!+1
k=1
Esta integral se puede interpretar como el área bajo la curva y = f (x);

x 2 [a; b].
La de…nición de integral para una función de dos variables es una exten-
sión natural del procedimiento de la integral para funciones de una variable
independiente. La integración de f (x) se efectúa en un intérvalo cerrado
[a; b] sobre el eje X; mientras que la integración de f (x; y) se hace en una
región cerrada “R”que pertenece al plano xy .
Para de…nir la integral doble se procede de la siguiente manera:
a) Utilizando líneas paralelas a los ejes coordenados, se divide en rectán-
gulos la región “R”, no se consideran los rectángulos que están fuera
de “R”, el área de los rectángulos se denotan por A1 ; A2 ; ; An .
b) Se elige un punto arbitrario de cada rectángulo interior denotado por:
(x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) ; ; (xn ; yn ).
c) Se realiza la suma de Riemann:
X
n n X
X m
f (xk ; yk ) Ak = f (xi ; yi ) xi yj
k=1 i=1 j=1
d) Repetir el proceso con más subdivisiones de modo que el largo y ancho

de cada rectángulo tienda a cero, por tanto n ! 1.
ZZ Xn X m
I= f (x; y) dxdy = l m f (xi ; yi ) xi yj
n!1
R m!1 i=1 j=1
7.2. INTEGRAL DOBLE 183
ZZ
f (x; y) dxdy : Se denomina integral doble de f (x; y) en “R”.
R
La integral doble se puede interpretar como el volumen del sólido limitado

por la parte superior con la super…cie z = f (x; y) y la parte inferior por la
región “R”.
De…nición 7.1 Sea z = f (x; y) una función de dos variables de…nidas en

una región plana, cerrada y acotada “R” del plano xy , entonces al limite
de la suma de Riemann.
X
n X
m
L= lm f (xi ; yi ) xi yj
n!1
m!1 i=1 j=1
se le denomina integral doble si el limite existe; z = f (x; y) es integrable

sobre “R”; si sólo si el limite existe.
ZZ
Pn Pm
L= f (x; y) dxdy = l m i=1 j=1 f (xi ; yi ) xi yj
n!1
R m!1
Demostración: Sea z = f (x; y) una función de…nida en una región

plana “R”; gra…cando la super…cie; y utilizando líneas paralelas a los ejes
coordenados; se puede realizar la sumatoria de Riemann.
z z = f(xi,yj) z = f(x,y)
z = f(xi,yj)
y
∆xi R
∆yj
x (xi ; yi)
Las particiones de la región “R”, relativo a sus dimensiones no necesaria-

mente son iguales.
La ij ésima partición tiene forma rectangular donde su área esta dada:
Aij = Ax2 yi
(xi ; yj ) : Representa cualquier punto ij-ésimo rectángulo.

El volumen del ij-ésimo paralelepípedo denotado por Vij esta dada por:
Vij = f (xi ; yi ) xi yi
Calculando el volumen bajo la super…cie, se tendría que sumar los volúmenes

de una cantidad in…nita de paralelepípedos.
V 0 = f (x1 ; y1 ) A1 + f (x2 ; y2 ) A2 + + f (xn ; yn ) An

Xn X m
0
V = f (xi ; yj ) xi yj
i=1 j=1
Para incluir los paralelepípedos que están en la frontera de “R”, se debe

repetir el proceso con mayor cantidad de subdivisiones por tanto (n ! 1) y
(m ! 1).
X
n X
m
V = lm f (xi ; yj ) xi yj
n!1
m!1 i=1 j=1
Xn X m
V = lm f (xi ; yj ) xi yj
xi !0
xj !0 i=1 j=1
Por tanto:
ZZ ZZ
Pn Pm
I= f (x; y) dA = f (x; y) dxdy = l m i=1 j=1 f (xi ; yj ) xi yj
xi !0
R R xj !0
7.3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL DOBLE185
7.3. Interpretación geométrica de la integral

doble
a) Si la función: f (x; y) 6= 0 y f (x; y) 6= 1 entonces la integral doble
representa un volumen.
ZZ ZZ
V = f (x; y) dA = f (x; y) dxdy
R R
b) Si la función f (x; y) = 1; entonces la integral doble representa un área.

ZZ ZZ
A= dA = dxdy
R R
7.4. Propiedades de la integral doble

Sean, f y g; funciones continuas, de…nidas en una región “R” cerrada y
acotada en el plano xy y “k”una constante.
ZZ ZZ
P.1. kf (x; y) dA = k f (x; y) dA.
R R
ZZ ZZ ZZ
P.2. [f (x; y) g (x; y)] dA = f (x; y) dA g (x; y) dA.
R R R
ZZ
P.3. f (x; y) dA 0, si f (x; y) 0.
R
ZZ ZZ
P.4. f (x; y) dA g (x; y) dA, si f (x; y) g (x; y).
R R
ZZ ZZ ZZ
P.5. f (x; y) dA = f (x; y) dA + f (x; y) dA R = R1 + R2 .
R R1 R2
7.5. Cálculo de integrales dobles mediante

integrales iteradas
Consideramos tres casos; para el cálculo de las integrales dobles.
a) Sección rectangular
Sea: z = f (x; y), de…nida en una región “R”. Donde: R = f(x; y) 2 R2 j a x b^c y dg
y
Franja vertical:
ZZ Z bZ d
d
f (x; y) dxdy = dydx
a c
R RZ Z Z Z
c b d b d
= f (x; y) dy dx = dx f (x; y) dy
x a c a c
a b
Orden de integración primero respecto a la variable “y” y luego re-

specto a la variable “x”.
Franja horizontal:
ZZ Z bZ dZ b
f (x; y) dxdy = dxdy
a c a
R
Z d Z b Z d Z b
= f (x; y) dx dy = dy f (x; y) dx
c a c a
Orden de integración primero respecto a la variable “x” y luego re-

specto a la variable “y”.
Las integrales que …guran en los regundos miembro de las anteriores
igualdades se denominan integrales iteradas. Las dos integrales iteradas
proporcionan dos técnicas para el cálculo de la integral doble y ambas
dan el mismo resultado.
El teorema de Fubini a…rma que es posible calcular la integral doble
cambiando el orden de integración; si la función es continua.
7.5. CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES MEDIANTE INTEGRALES ITERADAS187
Por lo general las integrales iteradas se expresan sin el uso de parén-

tesis:
Z bZ d
Primero respecto a la variable “y”
I = f (x; y) dydx
a c y luego respecto a la variable “x”.
Z dZ b
Primero respecto a la variable “x”
I = f (x; y) dxdy
c a y luego respecto a la variable “y”.
x=a
b) R = f(x; y) 2 R2 j f1 (x) y f2 (x) 8x 2 [a; b]g
x=b
y
y2 = f2(x)
Franja vertical.
y R y = y2 y1 = f2 (x) f1 (x)
ZZ
I= f (x; y) dxdy
y1 = f1(x) R
x
a b
Z Z Z bZ Z Z !
b f2 (x) f2 (x) b f2 (x)
I= dx f (x; y) dy = f (x; y) dydx = f (x; y) dy dx
a f1 (x) a f1 (x) a f1 (x)
y=c
c) R = f(x; y) 2 R2 j g1 (y) x g2 (y) 8y 2 [c; d]g
y=d
y
x1 = g1(y) x2 = g2(y) Franja horizontal.
d ZZ
R I= f (x; y) dxdy
x
c Z Rf2 (x) Z b
I= dy f (x; y) dx
x f1 (x) a
Z dZ Z Z !
g2 (y) d g2 (y)
I= f (x; y) dxdy = f (x; y) dx dy
c g1 (y) c g1 (y)
Colocar un rectángulo en la región “R”, ayuda a determinar el orden de

integración e identi…car los límites de la integración. Un rectángulo vertical
implica el orden (dydx), un rectángulo horizontal implica el orden (dxdy).
Teorema 7.1 Teorema de Fubini: Sea “f ” una función de dos variables

de…nida en una región plana “R”R = f(x; y) 2 R2 j a x b ^ c y dg
si “f ” es continua en “R” entonces:
ZZ Z d Z b Z b Z d
f (x; y) dA = f (x; y) dx dy = f (x; y) dy dx
c a a c
R
7.6. Teorema de Fubini para regiones no rec-

tangulares
Sea f (x; y) función continua de…nida en una región “R”.
ZZ Z bZ f2 (x)
a) f (x; y) dA = f (x; y) dydx franja vertical.
a f1 (x)
R
ZZ Z dZ g2 (y)
b) f (x; y) dA = f (x; y) dxdy franja horizontal.
c g1 (y)
R
7.7. Ejercicios desarrollados

1. Dibujar el recinto de integración de la siguiente integral doble:
Z 3Z x+y
I= f (x; y) dydx
1 x2
Solución. Primero determinar el orden de integración

Z 3 Z x+y
I= dx f (x; y) dy (franja vertical)
1 x2
7.7. EJERCICIOS DESARROLLADOS 189
y = x2 y
(3;12)
(1;10)
(3;9)
x = 1 ; y = x2
R:_
x=3 ; y =x+9 y=x+9
(1;1)
x=1 x=3
2. Cambiar el orden de integración de la siguiente integral doble

Z 3 Z x+y
I= f (x; y) dydx
1 x
Solución. Identi…car el orden de integración.

Dibujar el recinto y encontrar los puntos de intersección
Z 3 Z x+y
I= dx f (x; y) dy (franja vertical)
1 x2
x=1 y = x2
R=
x=3 y =x+9
y = x2 y
(3;12)
x= y (1;10)
R3 Para cambiar el orden de integración
R2
(3;9) se debe asumir franja horizontal
en el recinto se identi…ca tres
R1 regiones:
y=x+9 Z d Z f2 (x)
x = y –9
(1;1)
I= dy f (x; y) dx
x c f1 (x)
x=1 x=3
Z 9 Z p
3 Z 10 Z 3 Z 12 Z 3
I= dy f (x; y) dx + dy f (x; y) dx + dy f (x; y) dx
1 1 9 1 10 y 9
3. Colocar los límites de integración en uno y otro orden (franja verti-

cal - franja horizontal) del siguiente recinto, considere el recinto que
contiene el origen de coordenadas.
R : y2 x2 = 1 x=2 x= 2
Solución. El recinto esta formado por la hipérbola y dos rectas verti-

cales.
y = 1 + x2
y
(− 2; 5 ) (2; 5 ) a) Franja vertical
1 Z b Z f2 (x)
x I= dx f (x; y) dy
a f1 (x)
Z 2 Z 1+x2p
–1
(− 2;− 5 ) (2;− 5 ) I= dx p dy
2 1+x2
x = 2 y = − 1+ x
2
x = –2
b) Franja horizontal: Se identi…ca cinco recintos

p p
x= y2 1 x = y2 1
Z p
1Z y2 1 Z 1 Z 2
I = p
f (x; y) dx + p
dy p f (x; y) dx
5 2 5 y2 1
Z 1 Z 2 Z p
5 Z p y2 1
+ dy f (x; y) dx + dy f (x; y) dx
1 2 1 2
Z p
5 Z 2
+ dy p f (x; y) dx
1 y2 1

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CALCULO II

Mgr. Hernán Flores García

1.17. Producto mixto - producto escalar triple . . . . . . . . . . . 26

2. Geometría analítica del espacio 37

3.3.4. Hiperboloide de dos hojas . . . . . . . . . . . . . . . 75

4. Funciones de varias variables 87

5. Operaciones diferenciales 133

6. Interpretación geométrica de la derivada 143

6.2.2. Criterio de las segundas derivadas parciales para ex-

7. Integración múltiple 179

Existen cantidades ó magnitudes físicas, como ser: área, volumen, longi-

Escalar: Es aquella cantidad cuya determinación requiere el conocimien-

1.1. Representación de cantidades vectoriales

a) Un enfoque axiomático; de…ne el signi…cado de espacio vectorial y los

1.2. Algebra vectorial

c) Multiplicación de un escalar por un vector:

1.3. Representación geométrica del algebra

1.3.2. Multiplicación de un escalar por un vector

La suma y diferencia de dos vectores representa las diagonales de un

Teorema 1.1 Propiedades del algebra vectorial.

La magnitud de la resultante de la suma de vectores no es igual a la

suma de sus longitudes.

Este resultado se conoce como la desigualdad triangular para vectores. La

1.4. Vector unitario canónico

45 k!v k = 522;5 km/h

1.5. Igualdad de vectores

1.7. Representación de un vector en un sis-

1.8. Sistema rectangular en el plano

1.9. Sistemas de coordenadas rectangulares

x : Distancia dirigida de P (x; y; z) al plano yz .

1.10. Vectores en el espacio

1.10.1. Norma de un vector (longitud) norma Euclid-

1.12. Vector unitario

1.12.1. Vectores unitarios canónicos

1.13. Producto interior - Producto Escala de

P.5. Vectores unitarios:

Teorema 1.8 1. es agudo si y sólo si cos > 0.

1.14. Proyección ortogonal

Conociendo se conoce la P roy! !

De…nición 1.6 Sean los vectores ! u ,!

Ejemplo 1.7 Sean: !

1.15. Cosenos directores

cos2 + cos2 + cos2 =1

u1 = cos u2 = cos u3 = cos

u21 + u22 + u23 = cos2 + cos2 + cos2

1.16. Producto vectorial de dos vectores en

P.5. Vectores unitarios:

El desarrollo corresponde a un determinante

1.17. Producto mixto - producto escalar triple

Teorema 1.10 Sean, los vectores:

Entonces el producto escalar triple está dado por:

Teorema 1.11 Interpretación geométrica del producto mixto.

Volumen = V = Altura area de la base

Reemplazando en la ecuación (1)

Igualando coe…cientes de los vectores !

5. Dado un cuadrilátero demostrar que el cuadrilátero formado por los

6. Demostrar vectorialmente que el triángulo inscrito en una circunfer-

8. Un vector forma con los ejes Ox y Oz, los ángulos = 120 , = 45 .

Geometría analítica del espacio