Matemática para Ingreso A Ingenieria
Matemática para Ingreso A Ingenieria
Matemática para Ingreso A Ingenieria
tica
Temas de Matema
tica Ba
Matema sica para Ingeniera
mica e Ingeniera Forestal
Agrono
1. Ecuaciones 1
1.1. Conjuntos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Solucion de ecuaciones por factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2. Ecuaciones bicuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3. Ecuaciones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4. Ecuaciones no algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Sistemas de Ecuaciones Mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Metodos de resoluci
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Conjuntos en el plano 13
2.1. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1. Introducci
on. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1. Coordenadas de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3. Punto medio de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4. Lugar geometrico, ecuaciones y gr
aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1. Ecuaciones en dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
iii
iv
2.4.2. Gr
afica de una ecuaci
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5. La recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1. Rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2. Rectas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.3. Interseccion entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. C
onicas 27
3.1. Ecuaciones cuadraticas en dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1. Gr
afica de una ecuaci
on cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1. Dilataciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.2. La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4. Par
abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5. Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4. Vectores en el plano 41
4.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1. Magnitudes escalares y vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.2. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.3. Igualdad de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2. Componentes y cosenos directores de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1. Componentes de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.2. Cosenos directores de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.2. Producto de un escalar por un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4. Versores fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.1. Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.2. Dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.3. Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.4. Gr
afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6. Introducci
on a derivadas e integrales 61
6.1. Pendiente de la recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.2. Cociente de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2. Derivada de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2.1. Interpretaci
on geometrica. Recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2.2. Propiedades de la derivada (reglas de derivaci
on) . . . . . . . . . . 64
6.2.3. Raz
on de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.3. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.4. La Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.4.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.4.2. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.5. La Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.5.1. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7. Matrices y Determinantes 73
7.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.1.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.1.2. Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1.3. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.1.4. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2. Determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.1. C
alculo de determinantes por fila (o columna) . . . . . . . . . . . . . 77
7.3. Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3.2. Existencia de la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3.3. Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
vi
7.3.4. C
alculo de la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9. Vectores en el espacio 97
9.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.1.1. Componentes de un vector en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.1.2. Cosenos directores de un vector en el espacio . . . . . . . . . . . . . 98
9.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.2.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.2.2. Producto de un escalar por un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.2.3. Versores fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.3. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.3.1. Angulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.3.2. Trabajo efectuado por una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.4.1. Componentes del producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.Combinatoria 125
11.1. Introducci
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.2. Principio de multiplicaci
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.3. Principio de adicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.4. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.4.1. Permutaciones de n objetos diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.4.2. Permutaciones con grupos de objetos repetidos . . . . . . . . . . . . 128
11.5. Variaciones de n elementos tomando k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.5.1. Variaciones de n elementos tomando k. Sin repetici
on . . . . . . . . 129
11.5.2. Variaciones de n elementos tomando k. Con repetici
on . . . . . . . . 130
11.6. Combinaciones de n elementos tomando k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
11.6.1. Combinaciones de n elementos tomando k. Sin repeticion . . . . . . 130
11.6.2. Combinaciones de n elementos tomando k. Con repeticion . . . . . . 131
11.7. C
alculo de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Anexo 225
Bibliografa 229
xii
PROLOGO
El prop
osito de este libro de catedra es constituir un soporte para el desarrollo del
curso de Matem
atica para Ingeniera Agronomica e Ingeniera Forestal de la Facultad de
Ciencias Agrarias y Forestales de la Universidad Nacional de La Plata.
La Matem
atica puede considerarse una ciencia formal, utiliza la deduccion para justificar
sus enunciados y funciona como cualquier disciplina cientfica con sus problemas, metodos
y tematicas propias; pero adem
as tiene un gran valor instrumental ya que se constituye en
lenguaje y herramienta de las ciencias facticas. La Ingeniera Agronomica y la Ingeniera
Forestal son disciplinas cientfico-tecnologicas y se desarrollan en ambitos de conocimiento
con una finalidad practica actuando sobre la realidad, adoptan la metodologa cientfica
y presuponen conocimientos de otras ciencias como: Fsica, Qumica, Biologa, Geologa,
Meteorologa, etc. En este contexto, los temas presentados pretenden ser un aporte a la
formacion de los futuros ingenieros mostrando a la Matem
atica en sus facetas basica e
instrumental.
Para estas notas se ha decidido una transposicion consistente en prescindir de las demos-
traciones formales de algunos teoremas y propiedades, adem
as algunos topicos se presentan
de manera intuitiva, no formalmente.
Al final de cada captulo se proponen una serie de ejercicios con el objeto de reforzar los
contenidos y una serie de problemas que resignifican el conocimiento en el marco de las
aplicaciones.
Los n
ucleos centrales sobre los que gira el desarrollo corresponden a distintas ramas de
la Matem
atica: Algebra, Geometra, Calculo Diferencial, Calculo Integral y Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias. Con respecto al Algebra, los principales temas son: resoluci
on
de ecuaciones, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. En lo que se
refiere a la Geometra, los temas m
as relevantes son: sistemas de coordenadas, gr
aficas
de ecuaciones en dos variables y de lugares geometricos, vectores, rectas y planos en R3 .
En cuanto al C
alculo Diferencial y el Calculo Integral de funciones de una variable real
los n
ucleos centrales son: funciones, el concepto de derivada o razon de cambio de una
funcion, estudio de funciones, integrales indefinidas, integrales definidas y aplicaciones de
la integral y las ecuaciones diferenciales ordinarias, metodos de resoluci
on por variables
separables.
En general se busca fortalecer los aspectos relacionados con el desarrollo de competencias
matem
aticas, es decir, las capacidades para identificar y entender la funcion que desem-
xiii
pe
na la matem
atica no solo en el orden disciplinar sino en su relaci
on con un sinn
umero de
actividades academicas, emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse con el conocimien-
to de forma que se puedan satisfacer las necesidades que surgen en los distintos contextos
cientfico-tecnologicos.
Un cometido colateral es incorporar el uso de software matem
atico de una manera integra-
da en lo que se refiere a las actividades propuestas como ejercitaciones y a la posibilidad
de resolver problemas y modelizar situaciones m
as complejas. Los dos tipos basicos de
aplicaciones contempladas son software de matem
atica din
amica y programas de algebra
computacional, en cada ejercicio esta sugerido la utilizaci
on de alguna de estas aplicaciones.
Ecuaciones
Los n
umeros mas comunes son los llamados Naturales o Enteros positivos: 1, 2, 3,....
Para designar a este conjunto se usa N.
Los n
umeros -1, -2, -3,... se llaman Enteros negativos. Si queremos hablar del conjunto de
los enteros positivos con los enteros negativos y el 0, los llamamos sencillamente Enteros.
Para designar a este conjunto se usa la letra Z.
as de los enteros tenemos fracciones, como 34 , 12 , 52 , 56
Adem 23
22 , 10 , ... que pueden ser po-
sitivas o negativas, y que se pueden escribir como cocientes m/n, donde m, n son enteros
y n no es igual a cero. Dichas fracciones se llaman N
umeros racionales. Todo entero m es
un n
umero racional, pues se puede escribir como m/1. Para designar a este conjunto se
usa la letra Q.
Los n
umeros que no pueden expresarse como cociente de dos enteros, por ejemplo: 2, ,
3, 4 5... se llaman N
umeros irracionales.
A la uni
on entre el conjunto de los n
umeros racionales y el conjunto de los n
umeros irra-
cionales se lo llama N
umeros reales y para designarlo se usa la letra R.
Los n
umeros reales se representan geometricamente como la colecci
on de todos lo puntos
de una recta, eligiendo una unidad arbitraria.
on 1/0 o 01 no est
Aclaracion: La expresi a definida. En otras palabras, no es posible
dividir por cero.
1
2
32 20
17
2 1 0 1 2 3
Comentario:
Si queremos saber entre que dos n umeros enteros se encuentra un irracional podemos
pensarlo del siguiente modo: como 1 = 1 y 4 = 2 el irracional 2 se encuentra entre 1
y 2, es decir 1 < 2 < 2.
Entre que n umeros enteros esta el n
umero irracional 29 ? Como 25 = 5 y 36 = 6
entonces 5 < 29 < 6.
Esto resulta util cuando se necesita estimar un numero de la forma n a. Este metodo se
puede refinar por tanteos para acotar entre dos racionales el n
umero n a.
1.2. Ecuaciones
1.2.1. Soluci
on de ecuaciones por factorizaci
on
Para cualesquiera n
umeros reales a y b, a.b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0.
Ejemplos:
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. (x + 4)(x 2) = 0
debe ser:
x+4=0 o x2=0
La ecuaci
on tiene dos soluciones: 4 y 2. El conjunto solucion esta formado por las
soluciones de las dos ecuaciones es: {4, 2}
3
2. 7x(4x + 5) = 0
debe ser:
7x = 0 o 4x + 5 = 0
on: x = 0 o x = 45
resolviendo cada ecuaci
El conjunto solucion es: {0, 45 }
3. x3 3x2 + x = 0
Factorizando: x3 3x2 + x = x(x2 3x + 1)
on se puede escribir: x(x2 3x + 1) = 0 cuyas soluciones son x = 0
Luego la ecuaci
y las soluciones de x2 3x + 1 = 0.
Luego las soluciones
de la ecuaci
onc
ubica son:
3+ 5 3 5
x1 = 0 x2 = x3 =
2 2
Una ecuaci
on de cuarto grado de la forma:
ax4 + bx2 + c = 0
on x2 = t
se llama bicuadrada. Este tipo de ecuaciones se resuelve utilizando la sustituci
Ejemplos:
Resolver las siguientes ecuaciones
1. x4 5x2 + 4 = 0
2. x4 1 = 0
Son las ecuaciones en las que la incognita tambien aparece en el denominador. Siempre
es posible, operando convenientemente transformar una ecuaci
on fraccionaria en otra no
fraccionaria, entre cuyas soluciones estaran las de la ecuaci
on original.
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones
1.
1 2 2
+ + 2 =0
x x1 x
2) Como la divisi
on por cero no es posible, debemos excluir como posibles soluciones
los n
umeros que anulan el denominador. En este caso x no puede valer ni 0 ni 1.
3x2 + x 2 = 0
que adem
as son distintas de 0 y 1. Resolviendo esta ecuaci
on cuadratica obtenemos:
2
x1 = 3 y x2 = 1
2.
4x 2
= 1
x2 1 x 1
5
4x 2
+1=0
x2 1 x 1
4x 2(x + 1) + x2 1
=0
(x 1)(x + 1)
o sea
x2 + 2x 3
=0
(x 1)(x + 1)
3) Debemos excluir como posibles soluciones los n
umeros 1 y 1 que anulan el
denominador.
Son ecuaciones donde las incognitas aparecen en los argumentos de funciones trascen-
dentes (logartmicas, exponenciales, trigonometricas, etc.)
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones
1. log(log x) = 1
Luego x = 1010
x2 3x
1
2. =4
2
aplicando logaritmo en base 2 a ambos miembros de la ecuaci
on
1
(x2 3x) log2 = log2 4
2
(x2 3x)(1) = 2
x2 3x + 2 = 0
Definici
on: Un sistema de k ecuaciones con n incognitas es mixto si por lo menos
una de las ecuaciones del sistema no es lineal.
6
Llamaremos soluci
on del sistema a todo conjunto de n
umeros (s1 , s2 , ..., sn ) que
reemplazados en el lugar de las incognitas hagan verdaderas las k ecuaciones simult
anea-
mente.
1.4. M
etodos de resoluci
on
En los casos en que una o mas ecuaciones son cuadraticas es posible resolver sistemas
mixtos aplicando los metodos de sustituci
on o eliminacion.
1.4.1. Ejemplos
1. En el caso en que una de las ecuaciones sea lineal y la otra cuadratica, se puede
resolver el sistema por sustituci
on, pues de la ecuaci
on lineal se puede despejar una
de las incognitas.
2x2 + y 2 =
41
xy = 7
1) Despejamos x de la ecuaci
on lineal: x = y + 7
on cuadratica: 2(y + 7)2 + y 2 = 41
2) Sustituimos x por y + 7 en la ecuaci
3) Resolvemos la ecuaci
on anterior y obtenemos dos valores:
y1 = 3; y2 = 19
3
4) Como x = y + 7, se tiene:
para y1 = 3: x1 = 3 + 7 = 4
para y2 = 19
3 : x2 = 19
3 +7=
2
3
x1 = 4 y1 = 3
y
2 19
x2 = y2 =
3 3
x1 = 3 y1 = 1
x2 = 3 y2 = 1
11 77
x3 = y3 =
5 5
11 77
x4 = y4 =
5 5
3. Problemas de aplicacion:
El siguiente paso sera identificar las cantidades que se quieren conocer (incognitas)
1.5. Ejercicios
J
1. Resolver las siguientes ecuaciones
a) x4 x2 2 = 0 Rta: 2; 2
1 1 1 1
b) 8x4 6x2 + 1 = 0 Rta: ; ; ;
2 2 2 2
c) x4 3x2 = 0 Rta: 3; 3; 0
1 6
d) x(3x + 1)(5x 6) = 0 Rta: ; ; 0
3 5
9
1 1
e) 6x2 (x 1) = 2(x 1) Rta: ; ; 1
3 3
f) x2 4 = x3 2x2 Rta: 1; 2
g) x3 + 4x2 8x 32 = 0 Rta: 4; 8; 8
1
j) log2 (xlog2 x ) = 4 Rta: 4; 4
1
k) xlog10 x = 100x Rta: 100; 10
3. Encontrar x + y + z si: log2 (log3 (log4 (x))) = 0 log3 (log2 (log4 (y))) = 0
log4 (log3 (log2 (z))) = 0
J
7. Un tanque puede llenarse utilizando dos canillas: A y B. Con la canilla A, el
tanque se llena en 18 horas. Con las dos canillas el tiempo que tarda en llenarse es
de 9, 9 horas. Cuanto tiempo se tardar
a en llenarse el tanque usando la canilla B?.
J
8. Un aeroplano vuela 1062 km. con el viento a favor. En el mismo tiempo puede
volar 738 km. con el viento en contra. La velocidad del aeroplano cuando no sopla el
viento es de 200 km/h. Determinar la velocidad del viento. Recordar que la velocidad
promedio se define como v = d/t.
J
9. La suma de un n
umero y 21 veces su recproco es 10. Determinar el n
umero .
J
10. Resolver los siguientes sistemas:
yx= 2
a) R: y1 = 3; x1 = 1 y2 = 8; x2 = 6
x2 6x + 8 = y
2x y 2 = 0
b) R: y1 = 4; x1 = 1 y2 = 2; x2 = 2
xy = 4
x+y = 1
c) R: y1 = 14 (2 + 2); x1 = 41 (2 2)
x2 + y 2 =
6xy
y2 = 41 (2 2); x2 = 14 (2 + 2)
x2 + y 2 =
13
d) R: y1 = 2; x1 = 3 y2 = 3; x2 = 2
xy = 6
y3 = 3; x3 = 2 y4 = 2; x4 = 3
xy = 18
e) R: x1 = 3(1 3); y1 = 3(1 3)
1 1 1
x y = 3
x2 = 3(1 + 3); y2 = 3(1 + 3)
2x2 + 4y 2 =
18
f) R: sin solucion
x2 y 2 = 12
x2 + 2y 2 =
25
g) R: x1 = 5; y1 = 10 x2 = 5; y2 = 10
2x2 y 2 =
0
x3 = 5; y3 = 10 x4 = 5; y4 = 10
(x 2)(y + 1) = 1
q q
h) R: x1 = 6; y1 = 32 x2 = 6; y2 = 3
2
xy = 3
11
J
11. En el gr
afico a) hay dos cuadrados y el area total es de 130 metros cuadrados,
hallar la longitud del lado de cada cuadrado. R: 7 m. y 9 m.
area:15m2
16m
J
12. En los fondos de una vivienda hay un parque de 28 metros por 40 metros donde
se desea construir una pileta rectangular de 160 metros cuadrados. Se desea que la
franja de parque que rodeara a la pileta sea de una ancho uniforme. Cuales deberan
ser las dimensiones de la pileta? R: 20 metros por 8 metros.
J
13. Un tren de carga viajando a 5 km/h menos que su velocidad acostumbrada tarda
una hora mas para realizar un viaje de 210 km. Cual es la velocidad normal del
tren? R: 35km/h
J
14. Dos amigos parten con sus autos desde el mismo punto sobre una ruta y recorren
un trayecto rectilneo con velocidades medias de 70 km/h y 90 km/h respectivamente.
Si uno de ellos parte dos horas despues que el otro. Hallar el tiempo que tardan en
encontrarse y la distancia recorrida hasta el encuentro. R: 9 horas y 630 km.
J
15. El permetro de un campo rectangular es de 204 metros y el area de 2565 metros
cuadrados. Hallar las dimensiones del campo. R: 45 metros por 57 metros.
J
16. El
area de un rectangulo es de 300 metros cuadrados y la longitud de una de sus
diagonales es de 25 metros. Encontrar las dimensiones del rectangulo. R: 20 metros
por 15 metros.
tiempo se tardar
a en llenar el tanque con la canilla B?
J
19. Dos ciudades A y B distan 180 km entre s. A las 9 de la ma
nana sale de un auto
de cada ciudad y los dos autos van en el mismo sentido. El que sale de A circula a
90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. a) Calcular el tiempo que tardar
an en
encontrarse. b) Calcular la hora del encuentro. c) Calcular la distancia recorrida por
cada uno.
J
20. Un comerciante tiene dos clases de cafe, la primera a 40$ el kg y la segunda a
60$ el kg. Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de cafe para obtener 60
kilos de mezcla a 50$ el kg?
21. Un reloj marca las 3 en punto. A que hora entre las 3 y las 4 se superpondr
an las
agujas?
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
Captulo 2
Conjuntos en el plano
2.1. Desigualdades
2.1.1. Introducci
on. Intervalos
Los n
umeros reales se pueden representar mediante puntos en una recta.
5
2 1 0 1 2 2 3
Sean a y b n
umeros y supongamos que a < b.
El conjunto de n
umeros x tales que a < x < b se llama intervalo abierto entre a y b
y se denota (a, b).
El conjunto de n
umeros x tales que a x b se llama intervalo cerrado entre a y
b y se denota [a, b].
El conjunto de n
umeros x tales que a x < b se llama intervalo semicerrado entre
a y b y se denota [a, b), de manera similar el conjunto de n
umeros x tales que a < x b
se llama intervalo semicerrado entre a y b y se denota (a, b].
Si a es un n
umero , llamamos intervalo infinito a la colecci
on de n
umeros x > a que
se denota (a, +) o x a que se denota [a, +) o x < a que se denota (, a) o x a
que se denota (, a].
13
14
( ) [ ]
a b a b
Abierto Cerrado
( ] [ )
a b a b
Semiabiertos o Semicerrados
)
a
Infinito
2.1.2. Desigualdades
2.1.3. Propiedades
Ejemplos:
1. 16 7y 10y 4
15
7y 10y 20
17y 20
1 1 1
.(17y) .(20) Multiplicando por e invirtiendo el signo
17 17 17
de la desigualdad.
20
y
17
2. 3 3c 4 2c Los n
umeros que verifican ambas desigualdades son los que
verifican simult
aneamente las desigualdades simples:
3 3c 4 y 3c 4 2c
Resolviendo cada una:
1
c y c4
3
El conjunto solucion es: [ 31 , 4]
1
3 4
[ ]
Sea a un n
umero . Se define el valor absoluto de a como:
a, si a 0
(
|a| =
a, si a < 0
16
2.2.1. Propiedades
1. Si a es cualquier n
umero , entonces: |a| = a2
2. Si a y b son n
umeros , entonces: |ab| = |a||b|
|a|
umeros , entonces: ab =
3. Si a y b son n |b|
4. Si a y b son n
umeros , entonces: |a + b| |a| + |b|
5. Sea a un n
umero positivo, un n
umero x satisface la desigualdad |x| < a si y solo si
a < x < a
6. Sea a un n
umero positivo, un n
umero x satisface la desigualdad |x| > a si y solo si
x < a o x > a
Ejemplos:
Desigualdades con valor absoluto
Por la propiedad 5. :
Por la propiedad 6. :
Por la propiedad 5. :
Como es una desigualdad doble el conjunto solucion sera la interseccion de los con-
juntos soluciones de las dos desigualdades:
17
y0 r (x , y )
0 0
r
0 x0 x x0 x
z0
b (x0 , y0 , z0 )
y0
y
x0
y
r
Q
y2
r
P
y1
x1 x2 x
Consideremos dos puntos en R, P (x1 ) y Q(x2 ), el punto medio entre ellos es M (x)
x2 + x1
donde x =
2
r r r
P (x1 ) M (x) Q(x2 )
x1 x x2 x
19
x2 + x1 y 2 + y1 z2 + z1
x= y= z=
2 2 2
A = {P : C1 , C2 , C3 , ...}
Entre las condiciones que figuran dentro de la llave pueden aparecer reemplazando a las
comas los smbolos: o .
El smbolo se lee o y significa que los puntos deben cumplir una u otra condici
on de
manera no excluyente.
El smbolo se lee y y significa que los puntos deben cumplir ambas condiciones de manera
simult
anea.
Dados un par de n
umeros (x, y), una constante c, y una relaci
on entre ellos, llamaremos
ecuaci
on en dos variables a una expresi
on de la forma:
F (x, y) c = 0
2
Ejemplo: La ecuaci
on lineal y = x 4 determina la ecuaci
on en dos variables: 2x
3
3y 12 = 0
2.4.2. Gr
afica de una ecuaci
on
La gr
afica de una ecuaci
on es el lugar geometrico de los puntos (x, y) del plano que
satisfacen dicha ecuaci
on, es decir, tal que: F (x, y) = c
Ejemplos:
a) La ecuaci
on 2x 3y 12 = 0 es el lugar geometrico de los puntos del plano que se
2
encuentran sobre la recta y = x 4. Graficamente:
3
20
2
y = x 4
3
x
r r
P (3) 0 P (3) x
r
0 P (3) x
2.5. La recta
Llamaremos ecuaci
on lineal (o simplemente recta) a una ecuaci
on de la forma:
y = mx + b
Donde m y b son n
umeros reales cualesquiera, a m se la llama pendiente y a b ordenada
al origen de la recta.
Dados dos puntos P1 (a1 , b1 ), P2 (a2 , b2 ) de la recta,
Pr2
b2
b2 b1
r
cambio en y
b1
a2 a1
r
P1
y cambio en x
P
x a1 a2
y b1 b2 b 1
=
x a1 a2 a1
que es lo mismo que:
b2 b1
y b1 = (x a1 )
a2 a1
la pendiente es
b2 b1
m=
a2 a1
es el cambio en y dividido por el cambio en x y esta relacionada con el angulo que hace la
recta con el eje x mediante:
tan = m
eje y eje y
x=a
(0, c) y=c
eje x (a, 0) eje x
c) La ecuaci
on de la recta que pasa por los puntos P1 (1, 3) y P2 (2, 4) es:
y3 x (1)
=
4 3 2 (1)
y3 x+1
=
7 3
7
y 3 = (x + 1)
3
7
La pendiente es m = .
3
d) La ecuaci
on de la recta con pendiente 3 y que pasa por el punto Q(4, 6) es:
y (6) = 3(x 4)
m1 = m2
Ejemplo:
La ecuaci
on de la recta que pasa por el punto P (4, 1) que es paralela a la recta de
ecuaci
on y + 6 = 3(x 4) es:
1
m1 =
m2
23
Ejemplo:
La ecuaci
on de la recta que pasa por el punto P (4, 1) que es perpendicular a la
recta de ecuaci
on y + 6 = 3(x 4) es:
1
y (1) = (x (4))
3
2.5.3. Intersecci
on entre rectas
6
Cuya solucion es x = 7 y = 17
7 un es: ( 67 , 17
Por lo tanto el punto com 7 )
2.6. Ejercicios
N
1. Resolver las desigualdades siguientes y graficar el conjunto solucion en la recta
real:
a) 2x 7 > 3 b) 5 3x 3 c) 1 5x 3 + 2x
g) (x 1)(x 2) > 0 h) x3 x2 0 i) x2 3
m) |x 4| < 3 n) |5 x| > 2 n
) |5x + 6| 1
24
3 9
o) |5x 4| < 6 p) |8x 7| > 4 q) |5x + 6| 8
a) A = {(x, y) : x = 1 y = 3}
b) B = {(x, y) : x = 1 y = 3}
d ) D = {(x, y) : x + y 4 x 1 y x 8}
f ) F = {(x, y) : x 1 x 1}
4. Demostrar que si dos rectas son perpendiculares, una con pendiente m1 y la otra con
1
pendiente m2 se cumple que m2 = . (Considerar que m1 > 0 y que tan 1 =
m1
m1 donde 1 es el angulo que la recta forma con el eje x medido este en sentido
contrario a las agujas del reloj. Recordar que sen( + ) = sen cos + cos sen
y cos( + ) = cos cos sen sen ).
N
5. Determinar si las gr
aficas de cada par de ecuaciones son paralelas, perpendiculares
o ninguna de ambas. Graficar.
a) x + 6 = y yx+2=0
b) y = 4x 5 4y = 8 x
c) y = 3x + 3 2y + 2 = 6x
d) y + x = 7 y =x+3
e) y + 8 = 6x 2x + y = 5
N
6. Escribir la ecuaci
on de la recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta
dada. Graficar.
a) P (3, 7) x + 2y = 6
b) P (0, 3) 3x y = 7
N
7. Escribir la ecuaci
on de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a la
recta dada. Graficar.
25
a) P (3, 7) x + 2y = 6
b) P (0, 3) 3x y = 7
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
Captulo 3
C
onicas
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
3.1.1. Gr
afica de una ecuaci
on cuadr
atica
Es el lugar geometrico de los puntos (x, y) del plano que satisfacen dicha ecuaci
on, es
decir, tal que: Ax2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0.
3.2. Circunferencia
Ejemplos:
a) La circunferencia con centro en el origen (0, 0) y radio 1 es el lugar geometrico de
on: x2 + y 2 = 1
los puntos (x, y) que satisfacen la ecuaci
b) La circunferencia con centro en el punto C(1, 2) y radio 3 es el lugar geometrico de
on: (x 1)2 + (y 2)2 = 9
los puntos que satisfacen la ecuaci
Si consideramos:
x = x 1 y y = y 2
27
28
x2 + y 2 = 9
y
q(1, 2)
x
x
c) El conjunto de puntos (x, y) que estan a una distancia 2 del punto (1, 3) son los
que satisfacen la ecuaci
on:
(x (1))2 + (y (3))2 = 4
O,
(x + 1)2 + (y + 3)2 = 4
(x h)2 + (y k)2 = r2
Se puede considerar
x = x h y = y k
x2 + y 2 = r2
Reeemplazando en(1):
(x + 4)2 16 + (y 21 )2 1
4 = 59/4
(x + 4)2 + (y 12 )2 = 59/4 + 16 + 1/4
(x + 4)2 + (y 12 )2 = 3/2
(x + 4)2 + (y 12 )2 = ( 3/2)2
p
que es la ecuaci
on de una circunferencia con
centro en el punto de coordenadas C(4, 21 ) y radio
p
3/2
3.3. Elipse
3.3.1. Dilataciones
Sea (x, y) un punto del plano xy, entonces si x = 2x y y = 2y; (x , y ) = (2x, 2y) es
el punto obtenido al estirar sus coordenadas en un factor 2.
y
r ,y )
y
(x
r (x, y)
x x
Definici
on. Si c es un n
umero positivo y (x, y) un punto del plano, el punto de coor-
denadas (cx, cy) es el punto del plano x y dilatado a partir de (x, y) en el factor c.
Ejemplo:
Sea una circunferencia centrada en el origen y de radio 1 cuya ecuaci
on es:
x2 + y 2 = 1
La dilataci
on de la circunferencia de radio 1 en un factor c > 0 es una circunferencia
de radio c
3.3.2. La elipse
x = 2x y = 3y
x2 + y 2 = 1
x 2 y 2 (2x)2 (3y)2
+ = + 2 = x2 + y 2 = 1
22 32 22 3
3 2 1 1 2
1
Definici
on. Una elipse es el conjunto de puntos del plano que satisfacen la ecuaci
on
x2 y 2
+ 2 =1
a2 b
x2 y 2
+ =1
25 4
31
Tengamos en cuenta que podemos pensarla como una circunferencia dilatada en los factores
5 y 2 respectivamente.
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
1
Ejemplo 2:
Trazar la gr
afica de la elipse
(x 1)2 (y + 2)2
+ =1
4 16
x = x 1 y = y + 2
Entonces la ecuaci
on queda
x2 y 2
+ =1
4 16
(1, 2)
2 b
eje y eje y
1
eje x
3 2 1 1 2 3 4 5
eje x
6 b (1, 6)
Observaci
on: Desarrollando cuadrados y agrupando terminos en ecuaciones del tipo
(x h)2 (y k)2
+ =1 (3.1)
a2 b2
3.4. Par
abola
Una par
abola es el conjunto de puntos del plano que verifican la ecuaci
on
y = ax2
donde a es un n
umero real distinto de cero.
8
y = 2x2
6
y = 3x2
y = x2
4 2 2 4 6
y= 12 x2
2
y = x2
4
y = 4x2
Par
abolas con v
ertice en otro punto afica de y = (x 1)2 es como la de
La gr
y = x2 pero tiene el vertice en el punto (1, 0)
afica de y = (x + 2)2 es como la de y = x2 pero tiene el vertice en el punto (2, 0)
La gr
4
y = x2
3
y = (x + 2)2 2
y = (x 1)2
1
4 3 2 1 1 2 3 4
2 1 1 2 3 4
1 y = (x 1)2
4
y = 2x2
5
4 3 2 1 1 2
1
y = (x + 2)2
2
3 y = x2
p 5
4
y 1 = (x + 2)2
2
y = x2
V
b
1
y = (x + 2)2
4 3 2 1 1 2
La gr
afica de
y k = a(x h)2 (3.2)
35
Ejemplo:
on y 2 6y + 4x + 17 = 0, completar cuadrados para verificar que se
Dada la ecuaci
trata de la ecuaci
on de una par
abola.
a) Completamos cuadrados:
y 2 6y + 4x + 17 = 0
(y 3)2 9 + 4x + 17 = 0
(y 3)2 = 8 4x
(y 3)2 = 4(x + 2) (1)
b) La ecuaci
on (1) es la de una par
abola con vertice: V (2, 3)
Par
abola con ramas horizontales Si consideramos la ecuaci
on
x = y2
abola con ramas horizontales y del mismo modo que antes, x+3 = (y 1)2
tenemos una par
es la ecuaci
on de una par
abola con vertice en (3, 1).
x + 3 = (y 1)2
x = y2
2
4 2 2 4 6
La gr
afica de
x h = a(y k)2 (3.3)
36
on (3.3) se tiene: Ay 2 +
Desarrollando cuadrados y agrupando terminos en la ecuaci
Dx + Ey + F = 0. Recprocamente, una ecuaci
on de la forma anterior representa una
par
abola , siempre y cuando, luego de completar los cuadrados se verifique la ecuaci
on
(3.3).
3.5. Hip
erbola
Consideremos la ecuaci
on xy = 1, si queremos trazar la gr
afica:
Por lo cual, la gr
afica queda as:
f
6 4 2 2 4 6 8
h
8 6 4 2 2 4 6
x y = (x h)(y k) = 1
(2, 1) 2
b
bg
8 6 4 2 2 4 6
6
38
3.6. Ejercicios
N
1. Hallar la ecuaci
on de la circunferencia con centro C(2, 3) y que pasa por (5, 1).
Graficar.
N
2. Hallar la ecuaci
on de la circunferencia sabiendo que uno de sus di
ametros es el
segmento de extremos (3, 7) y (9, 5). Graficar.
N
3. Encontrar centro y radio de las siguientes circunferencias:
(a) x2 + y 2 2y = 0 (b) x2 + y 2 4x = 0 (c) x2 + y 2 14x + 4y 11 = 0
N
4. Hallar la ecuaci
on de la circunferencia concentrica (que tiene el mismo centro)
on x2 + y 2 6x 10y + 30 = 0 y que pasa por el
con la circunferencia de ecuaci
origen. Graficar.
N
5. Encontrar la ecuaci
on de la circunferencia que pasa por los puntos (7, 3) y (5, 5),
sabiendo que su centro esta sobre la recta de ecuaci
on: y 4x = 1.
N
6. Hallar los puntos interseccion, si existen, de la circunferencia de ecuaci
on
x2 + y 2 6x 4y 7 = 0 a) con la recta y = x b) con la recta y = 3x 6.
Graficar.
N
7. Graficar los conjuntos del plano:
N
8. Hallar los puntos interseccion, si existen, de las circunferencias cuyas ecuaciones
son x2 + y 2 6x 4y + 7 = 0 , x2 + y 2 8x 8y + 31 = 0. Graficar. Comprobar que
el punto medio del segmento determinado por los puntos de interseccion hallados
pertenece a la recta que pasa por los centros de las circunferencias.
N
9. Trazar las gr
aficas de las elipses cuyas ecuaciones son :
x2 y 2 x2 y2
a) i) + = 1. ii) + = 1. iii) 9x2 + 16y 2 = 1
25 9 25 169
(x + 3)2 (y 2)2 (y + 2)2
b) iv) + 100 =1 v) (x 4)2 + =1
4 9
4
(x + 1)2 (y + 2)2 (y + 1)2 (x + 2)2
c) vi) + =1 vii) + =1
9 16 9 16
39
N
10. Trazar las gr
aficas de las siguientes par
abolas:
N
11. Consideremos el acontecimiento de tirar una piedra (sin esconder la mano) for-
mando un cierto
angulo con la horizontal. Tomemos como sistema de referencia el
plano, con el eje y vertical y el eje x horizontal, en el que se produce el movimiento.
La posicion de la piedra, referida a este sistema, y despreciando cualquier interacci
on
que no sea la gravitatoria, sera:
gt2
x = xo + vox t y = yo + voy t
2
b) La trayectoria parab
olica de la piedra (esto se logra despejando el tiempo en
una de las ecuaciones y reemplazandolo en la otra)
c) Graficar la par
abola del tiro teniendo en cuenta que esta empieza en (xo , yo )
(tener en cuenta que si intenta hacer una tabla de valores para graficar la
par
abola todo este trabajo practico habr
a sido en vano).
1
a) 9x2 + 18y 2 + 54x 36y + 79 = 0 b)y = 4
x2
c) xy = 4 d) x2 + 6x 16y + 17 = 0
40
e) y 2 4x 2y 3 = 0 f) 3x2 + 4y 2 + 6x 16y + 31 = 0
i) x2 + 2y 2 4x 2y 3 = 0 j) (y + 3)(x 2) = 1
N
13. Hallar, si existen, los puntos de interseccion entre las siguientes conicas y rectas.
Representar gr
aficamente:
3
a) (y 1)2 = 4(x + 3) y = x3
2
b) (y 1)2 = 4(x + 3) x+y =2
1
c) +3=y y=x
(x 1)
(x + 1)2 (y 3)2
d) + =1 x=2
9 1
e) (y + 1)(x 3) = 1 yx=1
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
Captulo 4
Vectores en el plano
4.1. Definiciones b
asicas
41
42
Definici
on 1: Se dice que una magnitud es un escalar cuando el conjunto de sus
valores se puede poner en correspondencia biunvoca y continua con el conjunto de los
n
umeros reales o una parte del mismo.
Definici
on 2: Una magnitud se llama vectorial cuando el conjunto de sus valores
puede ponerse en correspondencia biunvoca y continua con el conjunto de los segmentos
orientados o con una parte del mismo. Un segmento de recta queda determinado por sus
dos puntos extremos, cuando estos puntos estan dados en un cierto orden, se dice que el
segmento es orientado.
4.1.2. Vectores
Definici
on 3: Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos
que lo determinan se llama origen y el segundo extremo del vector.
La recta que contiene el vector determina la direccion del mismo y la orientaci
on
sobre la recta, definida por el origen y el extremo del vector, determina el sentido de este
u
ltimo. Todos los vectores situados sobre una misma recta o rectas paralelas tienen la
misma direccion. Sobre cada recta hay dos sentidos opuestos. Toda magnitud vectorial
puede representarse por un vector, cuya longitud sea proporcional a la intensidad y cuya
direccion y sentido sean los correspondientes a la magnitud.
Notacion: Hay varias formas de nombrar simbolicamente los vectores. En estas notas
utilizaremos letras con una flecha encima. Tambien un par de letras may
usculas con una
flecha encima, en esta forma de indicar un vector, las letras representan al origen y extre-
mo del vector en ese orden. Por ejemplo: A~ ~v
PQ
Definici
on 4: Se llama m
odulo de un vector a la longitud del segmento orientado que
lo define.
El m
odulo de un vector es siempre un n ~ =
umero positivo. Si el vector es A
P Q, el
m
odulo puede representarse por cualquiera de las tres maneras:
~ = |
~ = |A|
modA
P Q|
43
Ejemplo : Si el vector A~ tiene por origen P (2, 1) y por extremo Q(6, 3), entonces
q
(recordar el teorema de Pit ~ = (6 2)2 + (3 1)2 = 20
agoras): |A|
Q(6, 3)
~
A
1)
P (2,
x
Cuando el m
odulo es nulo el segmento se reduce a un punto y no puede hablarse de
vector, puesto que faltan la direccion y el sentido. Sin embargo, por conveniencia se define
como vector nulo al que tiene su m
odulo igual a cero.
Definici
on 5: Dos vectores se dicen iguales cuando tienen el mismo m
odulo, la misma
direccion y el mismo sentido.
Con este criterio de igualdad, todos los vectores iguales pueden ser trasladados de
manera que tengan el mismo origen O(0, 0). De esta manera cada vector y todos sus
iguales tendr
an un solo representante como vector de origen O.
A~
~
C
B~ ~
D
x
O
~B
Los vectores A ~ C
~ D
~ son iguales. El vector B
~ es su representante con origen en O.
44
a1 = x2 x1 a 2 = y2 y1
y
Q (x2 , y2 )
B
~
a2 = y2 y1 Q(x2 , y2 )
P (x1 , y1 ) a1 = x2 x1 ~
A
a2 = y2 y1
P (x1 , y1 ) a1 = x 2 x 1 x
~ yB
Si a1 = a1 y a2 = a2 entonces A ~ son vectores iguales ya que tienen las mismas
componentes.
~=B
Notacion: A ~ = ha1 , a2 i = hx2 x1 , y2 y1 i.
~=
Ejemplo: Sea el vector A
P Q, donde P (2, 1) y Q(6, 3), entonces las componentes de
~ son a1 = 6 2 = 4 y a2 = 3 1 = 2. El vector puede escribirse como A
A ~ = h4, 2i y su
m ~ = 42 + 22 = 20.
odulo es |A|
Un vector con las mismas componentes ~
que A pero con origen en P1 (8, 3) debe tener
x1 8 = 4
extremo en Q1 (x1 , y1 ) de modo que: Luego, x1 = 12 y y1 = 1
y1 (3) =
2
Un vector con las mismas componentes ~ pero con origen en O(0, 0) debe tener
que A
x2 0 =
4
extremo en Q2 (x2 , y2 ) de modo que: Luego, x2 = 4 y y2 = 2.
y2 0 =
2
Definici
on 7: Se llaman
angulos directores de un vector, respecto de un sistema de
coordenadas ortogonales con origen O y ejes x, y a los angulos que el vector forma con el
semiejes positivos coordemados. Los angulos se toman entre 0 y .
45
Definici
on 8: Se llaman cosenos directores de un vector, respecto de un sistema de
coordenadas ortogonales con origen O y ejes x, y, a los cosenos de los angulos directores.
Los cosenos directores pueden ser positivos o negativos.
~ = ha1 , a2 i y sus
Si A angulos directores son y , se cumple que
~ cos
a1 = |A| ~ cos
a2 = |A|
~ cos
|A|
~
A
~ cos x
|A|
Adem
as es sencillo comprobar que
cos2 + cos2 = 1
46
4.3.1. Suma
Definici ~ = ha1 , a2 i y B
on 9: El vector suma de dos vectores A ~ = hb1 , b2 i es el vector
~+B
A ~ = ha1 + b1 , a2 + b2 i.
Metodo gr ~ = ha1 , a2 i y B
afico: Para sumar dos vectores A ~ = hb1 , b2 i se procede de la
~ con el origen de B
siguiente manera: se hace coincidir el extremo de A ~ y el vector cuyo
~ y cuyo extremo es el extremo de B
origen es el origen de A ~ es el vector A
~ + B.
~ Al mismo
~ y B
resultado se llega tomando A ~ con el mismo origen, el vector suma coincide con la
~+B
A ~
~ ~
B B A ~+B
~
~
A O ~
A
Ejemplos:
~ = h5, 5i y B
1) Si A ~ = h3, 2i entonces A
~+B
~ = h2, 7i
7
~+B
A ~ = h2, 7i
5
~
A = h5, 5i
2
~ = h3, 2i
B
3 O 2 5 x
~ = h5, 3i y llamamos A
2) Si A ~ x = h5, 0i que tiene la direccion del eje x y
~ y = h0, 3i que tiene la direccion del eje y. Entonces A
A ~ = h5, 0i + h0, 3i = A
~x + A
~y
Cualquier vector se puede escribir como la suma de dos vectores que tienen la direccion
de los ejes coordenados.
47
~ = h5, 3i
A
~ y = h0, 3i
A
~ x = h5, 0i x
A
tiene:
a) el m
odulo igual al producto del m ~ por el valor absoluto de
odulo de A
~
b) la misma direccion que A
~ si es positivo y el sentido opuesto si es negativo.
c) el mismo sentido que A
~
A
~
2A ~
3A
48
Observaci
on: si = 1 ~ sera un vector de m
entonces el vector A, odulo unidad y
~
|A|
~ llamado vector unitario o versor.
de la misma direccion y sentido que A
Por ejemplo:
D E
~ = h2, 4i, entonces |A|
~ = ~ u = 2 , 4
p
Si A (2)2 + 42 = 20 y el vector: A 20 20
tiene
~ pero con m
la misma direccion y sentido que A odulo 1.
Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes
y coincidiendo con el sentido positivo de los mismos los versores: ~, ~ cuyas componentes
son:
~ = h1, 0i ~ = h0, 1i
~ = a1~ + a2~
A
Esta descomposicion de un vector como suma de dos vectores en la direccion de los ejes
coordenados es muy importante y u
til. A esta forma de expresar el vector se la llama
descomposici
on can
onica.
Ejemplos:
~ con origen en P (3, 5) y extremo en Q(4, 7) podemos escribirlo
1) Dado el vector A,
en funcion de sus componentes como:
~ = h7, 2i = 7~ + 2~
A
~ = h2, 6i puede representarse gr
2) B aficamente como sigue:
y
~ = 2~ + 6
B
6~
O 2~ x
49
4.5. Ejercicios
~ = h4, 2i; hallar:
1. Dado A
c) el m ~
odulo de A.
~ = h3/13 , 4/13i
3. Calcular los cosenos directores del vector A
4. Puede un vector formar con dos ejes coordenados los siguientes angulos?
a) = /6 = /4
b) = /3 = /3
c) = 5/6 = /6
N
5. Hallar las componentes y los cosenos directores de vectores paralelos a los ejes
coordenados. Graficar.
6.
N
Representar en el mismo gr ~ 1 = h4, 3i A
afico los vectores A ~ 2 = h2, 5i y su suma
~ =A
S ~1 + A
~ 2 . Calcular el m ~ y el angulo que forma S
odulo de S ~ con A
~ 1 y con A
~2
7.
N
Representar en el mismo gr ~ 1 = h4, 2i B
afico los vectores B ~ 2 = h2, 1i
~ 3 = h1, 1/2i S
B ~1 = B
~1 + B
~2 S
~2 = B
~1 + B
~ 3 . Calcular el m ~1 y S
odulo de S ~2 .
Calcular el ~1 con B
angulo que forma S ~ 1 . Calcular el angulo que forma S
~2 con B
~ 3.
8.
N
Representar en el mismo gr ~ 1 = h6, 3i B
afico los vectores B ~ 2 = h2, 5i
~ 1 = 2B
R ~1 R ~ ~
~2 = 1B ~ ~ ~ ~
2 1 R3 = 3B2 T1 = R1 + R3 .
afico los vectores F~1 y F~2 representan fuerzas. En cada caso encontrar
N
9. En el gr
la magnitud (m
odulo) de la fuerza resultante y el angulo que forma con el eje x
positivo.
50
y y
a) ~1
F b)
~
~1 | = 20kg
|F ~1 | = 200N
|F F1
~2 | = 16kg
|F ~2 | = 300N
|F
PP
30
45
60
Pq x x
~P
F 2
~2
F
~
F
~1
F
~2
F
r ..... 30
.........
......
45
.
N
11. Dados el vector AB, de origen en A(1, 2) y extremo en B(2, 3) y el vector AP ,
de origen en A(1, 2) y extremo en P (x, y) es un punto cualquiera de la recta que
contiene a AB.
a) Representar gr
aficamente esta situacion.
N
14. Un cuerpo es colgado con dos cuerdas, una de 3 metros y la otra de 4 metros.
Las cuerdas se atan en sendos ganchos, fijos en el techo, que distan entren s 5
metros. El peso del cuerpo (fuerza con que la tierra lo atrae) es de 120 Newton.
Cada cuerda ejerce sobre el cuerpo una fuerza que llamaremos tension. La tension
tiene la direccion que da la cuerda tensa. Realizar un esquema de la situacion, utilizar
los teoremas del seno o del coseno (ver al final del ejercicio) para calcular los angulos
del tri
angulo determinado por las cuerdas y el techo. Se pretende calcular el m
odulo
de cada tension, para ello asumiremos que el cuerpo esta quieto, luego la suma de
las fuerzas exteriores que se aplican sobre el cuerpo debe ser cero. Desarrolle los
siguientes procedimientos.
15. Si en las mismas condiciones del problema anterior los datos fueran las tensiones
obtenidas calcular el peso.
A B C
= =
sen sen sen
A2 = B 2 + C 2 2BC cos
B 2 = A2 + C 2 2AC cos
C 2 = A2 + B 2 2AB cos
52
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
Captulo 5
5.1. Definiciones b
asicas
5.1.1. Funci
on
Ejemplos:
1) Consideremos la funcion que a cada n umero asocia el n umero x2 . Si f denota a esta
funcion , tenemos f (x) = x2 . En particular: f (2) = 4, f ( 2) = 2, f (x + 1) = x2 + 2x + 1.
2) Consideremos un rectangulo de permetro 12 cm. Si queremos expresar el area del
rectangulo como funcion de la longitud de uno de sus lados:
El permetro es: 2a + 2b = 12 y el area a
12 2a b
ab = a = a(6 a)
2
Luego el
area como funcion del lado a es: A(a) = a(6 a)
5.1.2. Dominio
53
54
2) El dominio de la funcion h(u) = 2u + 3 es el conjunto de los n
umeros que cumplen
con la condici
on:
2u + 3 0
x3 2x2 3x = 0
5.1.3. Imagen
5.1.4. Gr
afica
A cada par de n
umeros (x, f (x)) se le asocia un punto sobre el plano, la gr
afica se
corresponde con una colecci
on de puntos sobre el plano que se llama representaci
on
gr
afica de f (x). Habitualmente no se hace distincion entre gr
afica y representaci
on gr
afica.
Como a cada valor x en el dominio le corresponde exactamente un valor f (x), una
curva en el plano es la gr
afica de una funcion si y solo si ninguna recta vertical corta a la
curva mas de una vez.
y y
q
x=a
x=a ...............................
..................................... .........................
......... ..... ................... ..
....... .................
..
.......
....
....
(a, b) ....
......
...
.
.... ... ..
..
..
.... ... .......
.
.. ... .......
.......
q (a, c)
..
. ...
.
... .......
....... ..
.
.
.. ...
... .......
.
... .....
........
.. ...
.... ........
....... .
. ... .......
........ .
.. ... ........ ... ........
......... .
... ......... .... ........
............ .
..................................
..
..
. ... ............ .
..................................
..
..
. ........
........
...
.
x
x
Gr
afica de una funcion No es la gr
afica de una funcion
Ejemplos:
x2 si x 2 0
(
1) f (x) = |x 2| =
(x 2) si x 2 < 0
la gr
afica de f (x) es:
y
2 x
2x + 3 si x 0
2) g(x) = 1 si 0 < x < 2
x1 si x 2
la gr
afica de g(x) es:
q
3
2 x
56
5.2. Ejercicios
NJ
1. Hallar el dominio, graficar y determinar la imagen de las siguientes funciones
lineales y cuadraticas, en el caso de las cuadraticas hacerlo encontrando las coorde-
nadas del vertice y los puntos de interseccion con los ejes coordenados:
NJ
2. Hallar el dominio, graficar y determinar la imagen de las siguientes funciones:
2
d) w(x) = e) u(t) = t1 f)f (x) = |x + 1|
x2
1 f3 (x + h) f3 (x) 1
c) f3 (x) = Mostrar que si h 6= 0 =
x h x(x + h)
N J
4. En los casos siguientes encontrar una formula que represente una funcion,
hallar su dominio y graficarla
a) Un rectangulo tiene
area 16 metros cuadrados, hallar el permetro como funcion
de uno de sus lados.
b) La superficie de un cubo como funcion de su volumen.
c) Una empresa de taxis cobra $2 por el primer kilometro recorrido (o menos) y
cobra $0, 11 por cada decimo de kilometro siguiente. Expresar el costo en $ de un
viaje en funcion de la distancia recorrida x si 0 < x < 1,5.
NJ
5. Para las siguientes funciones: dar su dominio y trazar las gr
aficas aproximadas
57
1
a) f (x) = b) G(x) = 2x + 3
(x + 2)2
x
c) F (x) = |x| x d) g(x) =
|x|
x si x < 0
(
0 si x 0
e) h(x) = f) g(x) = 2 si x = 0
1 si x > 0
x si x > 0
(
|x| + x si 1 x 1
g) u(x) = h) w(x) = x2 + 3x 1
3 si x > 1
3
x si x 0
i) v(x) = 1 si 0 < x < 2
x2
si x 2
N J
6. Se define la funcion parte entera de x con dominio en todos los n
umeros
reales como: f (x) = [x] = el mayor entero que es menor o igual que x. Por ejem-
plo: [2] = 2 [2, 1] = 2 [1] = 1 [0, 9] = 1. Graficar las"funciones:
#
x
a) f (x) = [x] b) f (x) = [2x] c) f (x) =
2
y y
...................................
........
......
...... .....
.....
....
..
..... ....
... ....
.. ...
...
. ... ..
... ...
. ... ...
.
.
..
.. ...
... .
...
..
... ...
...
...
...
...
... ...
..
.
...
.. ...
.
0
...
...
.
...
..
. x
... ...
...
.. ... ...
.. ...
.... ....
.
..
.... ....
x ....
....
......
........ .
..
..
...
.....
....
.
...................................
gr
afica de una funci
on par gr
afica de una funci
on impar
NJ
Determinar si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos
cosas y graficarlas:
a) f1 (x) = 3x b) f2 (x) = 3x + 3 c) h(x) = x2 + 1 d) g(x) = x3 + 4
e) h(x) = |x| f) p(x) = x3 g) T (x) = |x 3|
58
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
60
Captulo 6
Introducci
on a derivadas e
integrales
6.1.1. Definiciones b
asicas
y recta tangente
q
Q 1 Q
q
................................................................
............. ..........
2
..........
........ ........
.. ........
q
..
..
.
..
.....
. .......
.......
.
...
......
......
P
.
....... ......
...
. ......
..
.. ....
.... ....
.. ....
..... ....
..
... ....
..
... ....
.. ....
..
. ....
...
.
... ....
.
.
. .
..
..
....
.
...
....
...
...
.
....
.
...
...
...
...
...
...
...
.
...
..
x
...
...
...
.
Ejemplo
Sea f (x) = 13 x2 . Queremos determinar la pendiente de la recta tangente a la gr
afica en el
punto (1, 13 ).
En general, la abscisa de un punto cercano a (1, 13 ) se puede escribir como 1 + h, donde h
61
62
es alg
un n
umero peque
no, positivo o negativo distinto de 0
f (1 + h) = 13 (1 + h)2 = 31 (1 + 2h + h2 ), entonces el punto (1 + h, 13 (1 + h)2 ) esta sobre la
curva.
y
... .
... ...
... ...
... ...
... ...
...
... ...
... ...
... ...
q Q(1 + h, 1 (1 + h)2 )
... .
....
... .
... ...
... ....
... ...
...
... ....
.
.... ..
.... .... 3
.... ....
.... ... si h > 0
.... .
.....
.
.... ..
.... ....
.... ....
.... ...
...... .....
q
.
..
.
...... .
...
...... ......
q
...... 1 ...............
.......
....... )
P (1, ...
.......
......... 3 .
........... ...
..
..
................ ........
........................................
(1 + h, 13 (1 + h)2 ) x
si h < 0
1 1 1
3 (1 + 2h + h2 ) 3 3 (2h + h2 ) 1
= = (2 + h) ya que h 6= 0
(1 + h) 1 h 3
A medida que el n
umero h tiende a cero (es decir, que h es un n
umero que se va acercando
a 0), el punto Q(1 + h, 31 (1 + 2h + h2 )) se acerca al punto P (1, 13 ). Cuando h tiende a cero,
las pendientes de las rectas que pasan por P y Q se van acercando a 32 . Luego, pendiente
de la recta tangente a la curva en el punto P (1, 13 ) es 32 .
f (x + h) f (x)
h
Representa la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x, f (x)) y (x+h, f (x+h))
63
q
...................................................
..........
f (x + h) ........
.......
........
.......
.
..
.. .......
. ......
......
......
.
....... ....
....
. ....
....
..
... ....
..
..
. ....
q
... ....
..
. ....
..
.
....
.
...
...
.. ...
f (x) ..
.
...
.
. ...
...
...
. ...
..
. ...
... ...
... ...
..
. ...
.. ...
.
... ...
.. ...
. ..
...
...
...
.
...
...
..
...
...
x x+h
1 1
3 (1 + h)2 3 1
= (2 + h)
h 3
1
3 (x + h)2 13 x2 1
h(2x + h) 1
= 3 = (2x + h)
h h 3
df f (x + h) f (x)
f (x) = = lm
dx h0 h
f (x + h) f (x)
donde lmh0 es el valor al que se acerca el cociente de Newton cuando
h
df
h se aproxima a 0. Tanto f (x) como se leen derivada de f respecto de x
dx
6.2.1. Interpretaci
on geom
etrica. Recta tangente
y f (a) = f (a)(x a)
64
4. Sea f (x) y g(x) dos funciones que tiene derivadas f (x) y g (x) respectivamente y
tales que g(x) 6= 0. Entonces la derivada del cociente f (x)/g(x) existe y es igual a:
f (x) f (x)g(x) f (x)g (x)
=
g(x) g(x)2
Ejemplos
1 2
5. Hallar la ecuacion de la recta tangente a u(t) =
5 2
= t 5 en el punto de abscisa 2
t
2 57 2
u (t) = 5 t = 5
5 t7
2 1
La pendiente de la recta tangente es u (2) = 5 7
=
5 2 554
1 2
La ecuacion de la recta tangente a la curva en t = 2 es y 5
= (t 2)
4 554
65
6.2.3. Raz
on de cambio
y f (x2 ) f (x1 )
f (x1 ) = lm = lm
x0 x x2 x1 x2 x1
y
recta tangente
........ q
.............................
f (x2 ) ........................ .......... recta secante
.......
....
...
......
.....
....
....
....
.
r
.... ....
..
..
....
....
....
.
. ....
. ....
.
. ....
f (x1 ) ..... .
..
.
.
. ....
....
...
...
.. ...
.. .
......
..
.
.......
x1 x2 x
Raz
on de cambio en Fsica:
Una partcula se mueve a lo largo de cierta recta una distancia que depende del tiempo
t. Entonces la distancia s es una funcion de t, que escribimos s = f (t). Para dos valores
del tiempo t1 y t2 , el cociente:
f (t1 ) f (t2 )
t2 t1
se puede considerar como la rapidez promedio de la partcula. En un tiempo dado t0 es
razonable considerar el lmite
f (t) f (t0 )
f (t0 ) = lm
tt0 t t0
Ejemplo
La posicion de una partcula esta dada por la funcion s = f (t) = t3 6t2 + 9t donde t se
mide en segundos y s en metros.
Cual es la velocidad en el instante t?
La funcion velocidad es la derivada de la funcion posicion: v(t) = f (t) = 3t2 12t + 9
Cual es la velocidad a los 2 segundos?
antanea cuando t = 2, es decir: v(2) = 3(2)2
Esto significa calcular la velocidad inst
12(2) + 9 = 3m/seg.
En que momento la partcula esta en reposo?
La partcula se encuentra en reposo en el tiempo t en que la velocidad es 0 o sea cuando:
v(t) = 0
3t2 12t + 9 = 3(t2 4t + 3) = 3(t 1)(t 3) = 0
esto se cumple cuando t = 1 o t = 3.
Es decir que la partcula esta en reposo en t = 1 segundos y en t = 3 segundos.
v(t) = s (t)
Ejemplos
67
1. Hallar la derivada primera, segunda y tercera de g(x) = 4 x + 3 = 4(x + 3)1/2
4 1 3
g (x) = g (x) = p 3
g (x) = p
2 x+3 (x + 3) 2 (x + 3)5
2. Un objeto viaja sobre una recta una distancia dada por la funcion s(t) = 2t3 + t.
Determinar en que instante la rapidez es 7. Hallar la aceleracion en el instante t = 2.
v(t) = s (t) = 6t2 + 1 es la rapidez en cada instante t la rapidez es 7 en t tal que
6t2 + 1 = 7 es decir cuando t = 1
a(t) = v (t) = 12t es la aceleracion en cada instante t luego cuando t = 2 el valor
de la aceleracion es a(2) = 24.
6.4.1. Definici
on
Sea f (x) una funcion continua en un intervalo. Una integral indefinida para f es una
funcion F tal que:
Observaci
on: Recordar que la derivada de una constante es cero, luego cualquier otra
funcion G(x) = F (x) + C, donde C es una constante, tambien es una integral indefinida
para f que llamaremos indistintamente primitiva de f .
Esta claro que nos encontramos con la operacion inversa a la derivaci
on que nombraremos
como integracion de una funcion dada. La notaci
on que se utiliza es:
Z
f (x) dx
que representa el conjunto de todas las primitivas de f (x) y se lee la integral de f (x)
A partir de los resultados conocidos sobre las derivadas de algunas funciones podemos
construir una tabla de integrales indefinidas:
xn+1
Z Z
1 dx = x + C xn dx = + C si n 6= 1
n+1
Observaci
on:
Z b
Si f (x) 0 para todo x [a, b], el n
umero f (x) 0 y resulta el area bajo la curva
a
entre a y b (area de la regi
on encerrada por la gr
afica de f (x), las rectas x = a, x = b y el
eje x).
Ejemplos:
a)
2
2 x3 23 13 8 1 7
Z
2
x dx = = = =
1 3 1 3 3 3 3 3
b)
1 1 4 1 1
x 3 +1
1 1 3
Z
3
Z
1 x 3 x4 3
xdx = x dx = 1
3 = 4 = 4 =
0 0 3 +1 0
3 0
3
40
6.6. Ejercicios
a) Calcular f (1) y f (1 + h)
c) Representar en el gr
afico anterior las rectas secantes que pasan por P y Q1 y
por P y Q2
NJ
2. Dadas las funciones
i La funcion derivada.
iii La ecuaci
on de la recta tangente en ese punto.
NJ
3. Usando las reglas de derivaci
on hallar las derivadas de las funciones:
2v + 1
e) k(x) = (2x 5)(3x4 + 5x + 2) f) S(v) =
v+5
2x
g) U (x) =
x2 + 3x + 1
N J
4. Mostrar que la recta y = x es tangente a la curva dada por la ecuaci
on:
y = x3 6x2 + 8x. Hallar el punto de tangencia.
NJ
5. Mostrar que la recta y = 9x + 17 es tangente a la curva dada por la ecuaci
on:
y = x3 3x + 1. Hallar el punto de tangencia.
NJ
6. Una partcula se mueve de modo que en el instante t la distancia recorrida (en
m 2 m
metros) esta dada por s(t) = 2 seg 2 t + 2 seg t + 1m.
a) Representar gr
aficamente s(t). Cual es la distancia recorrida cuando t = 3seg?.
NJ
7. Una partcula se mueve de modo que en el instante t la distancia (en metros)
m 3 m
esta dada por s(t) = 2 seg 3 t 2 seg t. Cu
al es la rapidez cuando el tiempo es: a) 0
seg. b) 2 seg. c) 3 seg.?. En que instante la rapidez es igual a: a) 1 m/seg b) 0
m/seg c) 4m/seg?.
70
N J
8. Una partcula se mueve de modo que en el instante t la distancia esta dada
m 4 m 2
por s(t) = 2 seg 4 t 1 seg 2 t ; para que valores de t la rapidez es igual a 0? Calcular
la aceleracion de la partcula. cu
al es la aceleracion cuando t = 2seg.
N J
9. En Economa se define la cantidad Q (ofrecida o demandada) como funcion
del precio P , es decir: Q = f (P ). Se llama elasticidad de precios al porcentaje de
cambio de cantidad que se asocia a un porcentaje de cambio en el precio:
dQ P
=
dP Q
NJ
10. Una compa
na estima que el costo en dolares de producir x artculos es
C(x) = 10000 + 5x + 0, 01x2 . Determinar la funcion de costo marginal y el costo
marginal de producir 500 artculos.
NJ
11. Hallar la segunda derivada de
d) u(t) = t3 + t e) h(u) = 4u u7
N J
16. Una partcula se mueve de modo que en el instante t la distancia esta dada
por s(t) = t3 2t en que instante la aceleracion es igual a: a) 1 b) 0 c) -5? .
N J
17. Una partcula se mueve de modo que en el instante t la distancia esta dada
por s(t) = 2t4 + t2 en que instante la rapidez es igual a 0?
Un objeto viaja sobre una recta con una rapidez dada por la funcion v(t) = 4t5 .
NJ
18.
Hallar la aceleracion en el instante t = 2.
71
JN
19. Calcular las siguientes integrales indefinidas:
Z Z
Z
1
Z
1
a) x2 dx b) x dx c) dt d) dz
3
t z4
JN
20. Calcular las siguientes integrales indefinidas:
Z
3 x + 2x5
Z Z
2
a) (x + 3x) dx b) (2 x + ) dx c) dx
x x4
(2x 1)2
Z
d) dx
2x
NJ
21. Calcular las integrales siguientes:
Z 5 Z 2 Z 1
5 1/3
a) x dx b) x dx c) (3x4 1)dx
3 1 1
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
72
Captulo 7
Matrices y Determinantes
7.1. Matrices
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
A= .. ..
. .
am1 am2 amn
7.1.1. Definiciones b
asicas
Igualdad de matrices
73
74
Matriz columna
Una matriz columna X es cualquier matriz que tiene n filas y una columna.
b11
b
21
.. = (bi1 )n1
X=
.
bn1
M
ultiplo de una matriz:
Si k es un n
umero real cualquiera, se define el m
ultiplo de una matriz A como la
matriz kA cuyos elementos son:
ka11 ka12 ka1n
ka ka22 ka2n
21
kA =
.. .. = (kaij )mn
. .
kam1 kam2 kamn
Se llama matriz nula a una matriz cuyos elementos son todos ceros.
Matriz traspuesta
Sea A una matriz que tiene m filas y n columnas y sea B una matriz que tiene n filas
y p columnas.
a11 a12 a1n b11 b12 b1p
a21 a22 a2n
b
21 b22 b2p
A= .. .. B=
.. ..
. . . .
am1 am2 amn bn1 bn2 bnp
Definimos el producto AB como la matriz de m p cuyos elementos son:
n
X
( aik bkj )mp
k=1
Explictamente:
a11 b11 + a12 b21 + + a1n bn1 a11 b1p + a12 b2p + + a1n bnp
a b + a b + + a b a21 b1p + a22 b2p + + a2n bnp
21 11 22 21 2n n1
AB = .. ..
. .
am1 b11 + am2 b21 + + amn bn1 am1 b1p + am2 b2p + + amn bnp
Ejemplo:
5 8
4 3
!
1
Si A = 0
yB=
2 0
2 7
5 (4) + 8 2 5 (3) + 8 0 4 15
1 (4) + 0 2 1 (3) + 0 0 = 4
AB = 3
2 (4) + 7 2 2 (3) + 7 0 6 6
Observaci
on: Para realizar el producto de matrices es necesario que el n
umero de
columnas de la primera matriz sea igual al n
umero de filas de la segunda por lo que no
siempre pueden realizarse AB y BA. Si pudieran calcularse los dos productos en general
pasa AB 6= BA (el producto de matrices no es conmutativo).
Matriz identidad
Para un n
umero entero positivo n se denomina matriz identidad a la matriz de nn:
1 0 0 0
0 1 0 0
I=
.. ..
. .
0 0 0 1
76
AI = IA = A
7.1.4. Propiedades
Asociatividad
A(BC) = (AB)C
Distributividad
A(B + C) = AB + AC
a11 a12
!
El determinante de una matriz A = de 2 2 se define:
a21 a22
= (a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 ) (a13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21 )
O sea la suma de los productos de los elementos de las diagonales que descienden hacia la
derecha menos la suma de los productos de los elementos de las diagonales que descienden
hacia la izquierda. Este procedimiento se llama Regla de Sarrus.
7.2.1. C
alculo de determinantes por fila (o columna)
Menor complementario
Cofactor
1 0 1
2+3
2 = (1)5 4 = 4
cof (a23 ) = (1) 0 1
3 2 5
78
C
alculo de un determinante de orden n
det A = a11 cof (a11 ) + a12 cof (a12 ) + a13 cof (a13 )
a22 a23 a11 a13 a21 a22
1+1 1+2 1+3
det A = (1) a11 + (1) a12 + (1) a13
a a33 a a33 a a32
32 31 31
Verificar que se obtiene el mismo resultado que el obtenido por la Regla de Sarrus
Ejemplo:
Calcular el determinante de la matriz:
1 0 1 1
2 1 3 1
0 1 1 2
3 2 1 5
Si se desarrolla por la segunda fila:
1 0 1 1
0 1 1 1 1 1
2 1 3 1
= (1)2+1 2 1 2+2
1 2 + (1)
1 0 1 2 +
0 1 1 2
2 1 5
3 1 5
3 2 1 5
1 0 1 1 0 1
+(1)2+3 2+4
(3) 0 1 2 + (1)
(1) 0 1 1
3 2 5
3 2
1
AB = BA = I
7.3.1. Definici
on
7.3.4. C
alculo de la matriz inversa
1
A1 = Adj(A)
det(A)
Ejemplo:
Hallar, si es posible, la matriz inversa de
1 0 1
A=
1 3 1
0 1 2
Puesto que det A = 6 A es una matriz no singular de 3 3 y por el teorema 1 admite
matriz inversa. La matriz adjunta es:
3 1 1 1 1 3 T
1 2 0 2 0 1
0 1 1 1 1 0
Adj(A) =
1 2 0 2 0 1
0 1 1 1
1
0
3 1 1 1 1 3
Luego, la inversa de A es:
80
7.4. Ejercicios
J
1. Dadas las matrices:
1 0 1 1 1
1 0 1
2 1 3 1 2
A= B=
2 1 3
C=
0 4 0 2 0
0 1 1
3 2 1 5 3
2 3 1
1 0, 1 1 2
! !
D=
5 9 7 F = G=
10 2 2 4
1 0 4
1 1 0
1 0 1 16
! !
H= M= 2
L=
2
E= 1
0 1 1 20
5 0 1
Calcular:
a) Si es posible: a) F + G b) C + D c) 2C + DT d) D 4C e) C C T
f) 2H T + E g) H + E T h) F + C i) A + B
b) Si es posible: a) F G b) CD c) HE d) EH e) M LT f) AB g) DL
h) AC i) CH
e) Si es posible: a) D1 b) F 1 c) G1 d) A1
J
2. Una compa
na tiene cuatro panaderas y cada una de ellas produce tres tipos
de pan: blanco, de centeno, e integral. El n
umero de kilogramos de pan producidos
diariamente en cada una de las panaderas se muestra en la siguiente tabla.
Panaderias
A B C D
Blanco 180 200 250 100
Centeno 50 75 100 50
Integral 200 250 300 175
Los precios, en pesos, por kilogramo de cada clase de pan son:
A B C D
Recaudaci
on
Indicacion: escribir una matriz con las cantidades, una matriz fila con los precios,
hacer el producto que corresponda.
0 t t
J
3. t
Dada la matriz: P = 1 t
Calcular det P . Estudiar para que valores
t t 0
de t P admite matriz inversa y calcularla.
x 0 0
J
4. Dada la matriz: R =
0 y 0
Calcular det R. Estudiar para que valores
0 0 z
de x, y, z R admite matriz inversa y calcularla.
J
6. En un vivero se cultivan cinco clases de arboles: roble, cerezo, pino, abeto y acacio.
Los
arboles se envan a tres bocas de expendio seg
un la siguiente tabla
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
Captulo 8
8.1. Introducci
on
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
.. ..
. .
ak1 x1 + ak2 x2 + ... + akn xn = bk
Llamaremos soluci
on del sistema a todo conjunto de n
umeros (s1 , s2 , ..., sn ) que
reemplazados en (x1 , x2 , ..., xn ) haga verdaderas las k ecuaciones simult
aneamente. Nos
interesa estudiar dos cuestiones, una se refiere a la existencia de estas soluciones y otra a
los metodos para hallarlas.
Consideremos los siguientes ejemplos sencillos de sistemas de dos ecuaciones con dos
incognitas:
83
84
12 3x2
Sustituyendo en la segunda ecuaci
on se tiene: 4 3x2 = 6
2
Luego 24 6x2 3x2 = 6 entonces x2 = 2 y con este valor en (1) resulta x1 = 3. La
solucion es (3, 2).
Notaci
on matricial
AX = B
a11 a12 a1n b1
a a22 a2n b2
21
A =
.. ..
. .
ak1 ak2 akn bk
rango(A) = r 1
Ejemplos:
86
1. Dada la matriz:
5 4 1
!
A=
0 2 2
Consideremos las tres submatrices de 2 2 de A:
5 4 4 1 5 1
! ! !
0 2 2 2 0 2
El determinante de la primera submatriz es 10. Como es distinto de cero, esto basta
para decir que rango(A) = 2 (no hace falta calcular los demas determinantes).
2. Dada la matriz:
5 4 1
!
A=
10 8 2
Consideremos las tres submatrices de 2 2 de A:
5 4 4 1 5 1
! ! !
10 8 8 2 10 2
Los determinantes de las tres submatrices valen cero. Tomemos las submatrices de
1 1, cualquiera de ellas tiene determinante distinto de cero, esto basta para decir
que rango(A) = 1 (notar que una matriz tiene rango cero si, y solamente si, es la
matriz nula).
Es condici
on necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga al
menos una solucion que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz
ampliada del mismo.
8.2.2. Corolarios
Resumimos a continuaci
on una serie de corolarios, que se desprenden del teorema
anterior, para que nos sirvan de gua en el an
alisis de las soluciones de un sistema dado.
87
8.3. M
etodos de resoluci
on
8.3.1. Reducci
on del n
umero de ecuaciones por sustituci
on
Este metodo es muy simple, y como ya es conocido, lo resumiremos del siguiente modo:
dado un sistema de k ecuaciones con n incognitas se despeja de una de las ecuaciones una
de las incognitas y se sustituye esta incognita en todas las demas ecuaciones, resultando
un sistema de k 1 ecuaciones con n 1 incognitas. Se contin
ua repitiendo el metodo
hasta que quede una sola ecuaci
on, se resuelve esta, de ser posible, y se vuelve sobre los
pasos anteriores para calcular el valor de las demas incognitas. Tomemos como ejemplos
los dados en la introducci
on.
|A(j) |
xj = (j = 1, 2, ..., n)
|A|
1 3 7 13 3 7
|A(1) | = 1
|A| = 1 1 1 = 10 1 1 = 20
1 2 3
4 2 3
1 13 7 1 3 13
|A(2) | = 1 |A(3) | = 1
1 1 = 6 1 1 = 24
1 4 3
1 2 4
3 12
La solucion es 2, ,
5 5
8.3.3. M
etodo de eliminaci
on de Gauss-Jordan
Introducci
on:
Dado un sistema de n ecuaciones con n incognitas:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
.. ..
. .
an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn
Donde la lnea vertical que separa la columna de los terminos independientes no tiene
ning
un significado matem
atico, es para ordenar los calculos, pudiendo prescindirse de ella.
Antes de considerar el metodo haremos algunas aclaraciones.
Operaciones elementales:
Diremos que un sistema es equivalente a otro cuando tienen la misma solucion. Para
obtener un sistema equivalente a otro dado se pueden realizar las siguientes operaciones:
M
etodo de eliminaci
on:
El metodo consiste en realizar operaciones elementales sobre la matriz ampliada del sistema
hasta que los elementos aii de la matriz A valgan todos uno y los demas sean cero:
1 0 0 S1
0 1 0 S2
.. .. ..
. . .
0 0 1 Sn
El primer cero se obtiene restando a la segunda fila multiplicada por a11 la primera
multiplicada por a21 .
El segundo cero se obtiene restando a la tercera fila multiplicada por a11 la primera
multiplicada por a31 .
Se sigue hasta terminar.
90
Se hace lo mismo que en 1) pero a partir de la fila dos. El primer cero se obtiene
restando a la tercera fila multiplicada por a22 la segunda multiplicada por a32 . El
segundo cero se obtiene restando a la cuarta fila multiplicada por a22 la segunda
multiplicada por a42 . Se sigue hasta terminar.
3. Se contin
ua con los ceros de las siguientes columnas hasta que todos los elementos
por debajo de la diagonal sean ceros (a esta matriz se la llama triangular superior).
Para esto repetimos los pasos anteriores pero empezando desde la ultima fila hacia
arriba.
5. Por u
ltimo dividimos cada fila por el correspondiente aii
Ejemplo:
Consideremos el sistema del ejemplo anterior:
x1 3x2 + 7x3 = 13
x1 + x2 + x3 = 1
x 2x + 3x =
4
1 2 3
Dejamos la primera fila sin modificar. A la segunda fila le restamos la primera. A la tercera
tambien le restamos la primera fila.
1 3 7 13 1 3 7 13
0
1 1 1 1 4 6 12
1 2 3 4 0 1 4 9
Dejamos la primera y la segunda fila sin modificar. A la tercera multiplicada por cuatro
le restamos la segunda fila.
1 3 7 13 1 3 7 13
0
0 4 6 12 4 6 12
0 1 4 9 0 0 10 24
Trabajamos de abajo hacia arriba. Dejamos la tercera fila sin modificar. A la segunda mul-
tiplicada por -10 le restamos la tercera fila multiplicada por -6. A la primera multiplicada
por -10 le restamos la tercera multiplicada por 7.
1 3 7 13 10 30 0 38
0 4 6 12 0 40 0 24
0 0 10 24 0 0 10 24
Dejamos la tercera fila y la segunda filas sin modificar. A la segunda multiplicada por 30
le restamos la primera fila multiplicada por -40.
10 30 0 38 400 0 0 800
0 40
0 24 0 40 0 24
0 0 10 24 0 0 10 24
Por u
ltimo, dividimos cada fila por los terminos de la diagonal.
400 0 0 800 1 0 0 2
0 40 0 1 0
0 24 3/5
0 0 10 24 0 0 1 12/5
8.3.4. M
etodo de la matriz inversa
X = A1 B
x1 3x2 + 7x3 = 13
x1 + x2 + x3 = 1
x 2x + 3x =
4
1 2 3
Su matriz es:
1 3 7
1
A= 1 1
1 2 3
Por ser |A| = 10, la inversa seguro existe, calcul
andola obtenemos:
1/2 1/2 1
A1 =
1/5 2/5 3/5
3/10 1/10 2/5
Luego:
x1 1/2 1/2 1 13 x1 2
x2 = 1/5 2/5 3/5
1 x2 = 3/5
xn 3/10 1/10 2/5 4 xn 12/5
Donde se obtiene directamente x1 = 2 x2 = 3/5 x3 = 12/5.
93
8.4. Ejercicios
2x 3y + 7z = 8
5x1 3x2 + 7x3 = 3
c) 7x + 2y + 9z = 1 d) 2x1 + 2x2 + 2x3 = 14
5x 2y + 3z =
4 4x 4x + 6x =
4
1 2 3
2t3 3t4 = 6
xy+w = 3
t1 4t4 = 8 x+y+w = 1
e) f)
t1 t2 = 2
y+z+w = 2
t2 3t3 = 4 xy+z = 4
2x 3y + z = 8 x1 3x2 + x3 = 3
g) h)
7x + 2y z =
1 2x1 6x2 + 2x3 =
14
J
1. Analizar la existencia o no de soluciones para los sistemas dados.
J
2. Resolver a) y c) utilizando la regla de Cramer.
J
3. Resolver g) por sustituci
on tomando a z como par
ametro (es decir, pasar z para
que quede formando parte de la columna de los terminos independientes).
J
4. Resolver g) utilizando la regla de Cramer, con la misma aclaracion del ejercicio
anterior.
J
5. Resolver a), f ) y c) utilizando el metodo de Gauss-Jordan.
J
6. Llevar a la matriz ampliada del sistema d) a la forma triangular superior. Analizar
la u
ltima fila, y comparar con el resultado del ejercicio 1.
J
7. Resolver a), c) y e) utilizando el metodo de la matriz inversa.
J
8. Verificar que las soluciones obtenidas en el ejercicio anterior son correctas.
J
9. El kilo de fertilizante de marca F F F contiene una unidad de nitratos y tres
unidades de fosfato; el de marca HH contiene cinco unidades de nitratos y dos
unidades de fosfato. Un horticultor debe preparar un fertilizante que contenga 20
94
km. cuesta arriba km. terreno llano km. cuesta abajo tiempo total
2 15 5 1,5 horas
6 9 1 1,4 horas
8 3 8 1,6 horas
Indicaciones: recordar que la velocidad media es el cociente del espacio sobre el
tiempo. Tomar como incognitas a las inversas de las velocidades medias para que el
sistema sea lineal. Prestar atencion a las unidades.
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
95
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
96
Captulo 9
Vectores en el espacio
9.1. Definiciones
a1 = x2 x1 a 2 = y2 y1 a 3 = z2 z1
z
(x2 , y2 , z2 )
a3 = z2 z1
a1 = x2 x1
(x1 , y1 , z1 ) a 2 = y2 y1
y
97
98
del extremo del vector y las coordenadas del origen. As, por ejemplo, dos vectores opuestos
(de igual m
odulo y direccion, pero de sentidos opuestos) tiene las componentes iguales en
~
valor absoluto, pero de signos contrarios. Como resulta de la figura anterior, el vector A
es la diagonal de un paraleleppedo recto cuyas aristas son a1 , a2 , a3 . Por tanto:
q
~ =
|A| a21 + a22 + a23
expresi
on que siempre es positiva y da el m
odulo del vector en funcion de sus componentes.
Definici
on 2: Se llaman cosenos directores de un vector, respecto de un sistema de
coordenadas ortogonales con origen O y ejes x, y, z, a los cosenos de los angulos que el
mismo forma con el sentido positivo de los ejes coordenados.
Los angulos hay que tomarlos entre 0 y , de manera que los cosenos directores pue-
~ = ha1 , a2 , a3 i con los ejes los
den ser positivos o negativos. Si los angulos del vector A
representamos por , , , los cosenos directores se deducen de las formulas:
~ cos
a1 = |A| ~ cos
a2 = |A| ~ cos
a3 = |A|
que es la relaci
on fundamental que liga los cosenos directores de un vector. Tambien se
deduce:
a1 a2 a1
cos = q cos = q cos = q
a21 + a22 + a23 a21 + a22 + a23 a21 + a22 + a23
9.2.1. Suma
Definici ~ = ha1 , a2 , a3 i y B
on 3: El vector suma de dos vectores A ~ = hb1 , b2 , b3 i es el
vector que tiene por origen y extremo, respectivamente, el origen y extremo de la poligonal
obtenida llevando un vector a continuaci
on del otro. Las componentes del vector suma son:
~+B
A ~ = ha1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 i (observar que A
~+B
~ =B
~ + A).
~
99
a) el m
odulo igual al producto del m ~ por el valor absoluto de
odulo de A
~
b) la misma direccion que A
~ si es positivo y el sentido opuesto si es negativo.
c) el mismo sentido que A
~
A ~
2A ~
3A
Observaci
on: si = 1 ~ sera un vector de m
entonces el vector A, odulo unidad y
~
|A|
~ llamado vector unitario o versor.
de la misma direccion y sentido que A
Ejemplo:
D E
~ = h2, 4, 6i, entonces |A|
~ = ~ u = 2 , 4 , 6
p
Si A (2)2 + 42 + 62 = 56 y el vector: A 56 56 56
~ pero con m
tiene la misma direccion y sentido que A odulo 1.
Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y
coincidiendo con el sentido positivo de los mismos los versores: ~, ~, ~k, cuyas componentes
son:
Definici
on 5: Se llama producto escalar o producto interno de dos vectores
~ = ha1 , a2 , a3 i
A ~ = hb1 , b2 , b3 i al escalar:
B
~B
A ~ = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Observaci ~ = ha1 , a2 i
on: el producto escalar entre dos vectores A ~ = hb1 , b2 i del
B
~B
plano es el escalar A ~ = a 1 b1 + a 2 b2
Ejemplos:
~1 y A
1) Si A ~ 2 son vectores de R2 con componentes A
~ 1 = h1, 2i y A
~ 2 = h2, 9i , entonces
Propiedades:
~B
1. A ~ =B
~ A
~
~ (B
2. A ~ + C)
~ =A
~B
~ +A
~C
~
3. Si es un n ~ B
umero real cualquiera: (A) ~ =A
~ (B)
~ = (A
~ B)
~
~ es el vector nulo (A
4. Si A ~=O
~ = h0, 0, 0i) entonces A
~A
~ = 0.
~ es cualquier otro vector: A
Si A ~A
~ = |A|
~2
Todas estas propiedades son sencillas de demostrar usando la definicion de producto es-
calar.
on: Para los versores fundamentales ~, ~, ~k, resulta que:
Observaci
~ ~ = ~ ~ = ~k ~k = 1 ~ ~ = ~ ~k = ~k ~ = 0
~yB
Teorema: Si A ~ son dos vectores perpendiculares, entonces: A
~B
~ = 0.
101
Demostraci
on:
~+B
A ~
~
A ~
B
~ yB
Si A ~ son perpendiculares A
~+B
~ es la diagonal del rectangulo, cuyos lados miden
~ y |B|.
|A| ~
~ + B|
Luego: |A ~ 2 = |A|
~ 2 + |B|
~ 2 (teorema de Pit
agoras)
~ + B|
Como: |A ~ 2 = (A
~ + B)
~ (A
~ + B)
~ = |A|
~ 2 + |B|
~ 2 + 2A
~ B
~ (por propiedades del producto
escalar)
~ 2 + |B|
Igualando |A| ~ 2 = |A|
~ 2 + |B|
~ 2 + 2A
~B
~
~B
Por lo tanto: 2A ~ = 0 que es lo mismo que:
~B
A ~ =0
9.3.1.
Angulo entre dos vectores
~ = ha1 , a2 i y B
Dados dos vectores A ~ = hb1 , b2 i
~ y el eje x y B el angulo entre B
A es el angulo entre A ~ y el eje x.
~ son: a1 = |A|
Las componentes de A ~ cos A y a2 = |A|
~ sen A .
~ son: b1 = |B|
Las componentes de B ~ cos B y b2 = |B|
~ sen B .
~yB
El angulo entre A ~ es = B A
y
~
B
b2
a2 ~
A
O b1 a1 x
~B
A ~ = a 1 b1 + a 2 b2
~ cos A |B|
|A| ~ cos B + |A|
~ sen A |B|
~ sen B = |A||
~ B|(cos
~ A cos B + sen A sen B )
~ B|
|A|| ~ cos(B A ) = |A||
~ B|~ cos
102
Observaciones:
La medida del
angulo entre dos vectores se toma entre 0 y
Si los vectores son del espacio el coseno del angulo se calcula del mismo modo.
Ejemplo:
El coseno del ~ = h3, 2, 0i y B
angulo entre los vectores A ~ = h2, 1, 5i es:
~B
A ~
Observaci
on: Puesto que cos = podemos deducir otra forma para calcular
~ B|
|A|| ~
el producto escalar entre dos vectores:
~B
A ~ = |A||
~ B|~ cos
~B
A ~
Observaci
on: Si cos = 0, entonces = 0. Puesto que ~ > 0 y |B|
|A| ~ > 0, tiene
~ B|
|A|| ~
~B
que ser A ~ = 0 y luego = /2, es decir, A
~ es perpendicular a ~
B.
Ejemplo:
~ = 3~ + 2~ ~k
Dados los vectores: A ~ = ~ + 2~ + ~k.
B
~B
Como A ~ = 3(1) + 2 2 + (1)1 = 0 entonces A
~ es perpendicular a B
~
Si llamamos W al trabajo:
W = F~ P Q = |F~ ||P~Q| cos
F~
q /2 q q
P |F~ | cos Q
~ B
Llamamos producto vectorial a la operacion que asocia a cada par de vectores A ~
~B
del espacio al vector A ~ que cumple las condiciones:
~yB
1. Direccion: Si A ~ son no nulos y no colineales, A
~ B
~ es ortogonal con A
~ y con B.
~
3. El m
odulo del producto vectorial de dos vectores es igual al producto de los m
odulos
por el seno del
angulo que estos forman:
~ B|
|A ~ = |A||
~ B|~ sen
~ ~
AB
B ~
..
.......
r
.....
...
.
.. ~
A
..
...
....
O
~ A
B ~
Propiedades:
~B
1. A ~ yB
~ A
~ tienen sentidos opuestos pero el mismo m
odulo .
~B
A ~ = (B
~ A)
~ (se dice que el producto vectorial es anticonmutativo).
104
~yB
2. Si A ~ son colineales A
~B
~ = ~0
3. El m ~B
odulo de A ~ representa el area del paralelogramo que tiene a los vectores
~yB
A ~ como lados concurrentes.
~ B|
Area = base . altura = |A|| ~ sen = |A
~ B|
~
~
B ~ sen
|B|
~
A
~B
4. A ~ =A
~ B
~ = (A
~ B)
~ .
~ (B
5. A ~ + C)
~ =A
~B
~ +A
~C
~
~ ~ = ~k ~ ~k = ~ ~k ~ = ~
~ ~ = ~k ~k ~ = ~ ~ ~k = ~
~ ~ = 0 ~ ~ = 0 ~k ~k = 0
Finalmente:
Otra forma de obtener este resultado es desarrollar por la primera fila el siguiente deter-
minante:
~
~ ~k
~ ~
A B = a1 a2 a3
b1 b2 b3
105
Ejemplos:
~ = h1, 3, 4i y B
1) Hallar un vector perpendicular con A ~ = h8, 1, 2i
~ ~ ~k
~ ~ ~ 4 = 2~ + 34~ 25~k
P = A B = 1 3
8 1 2
2) Hallar las componentes de los dos vectores unitarios que son perpendiculares con
~ = h1, 3, 4i y B
A ~ = h8, 1, 2i
~yB
perpendicular con A ~ seran:
2 34 25
P~1 = , ,
1785 1785 1785
2 34 25
P~2 = P~1 = , ,
1785 1785 1785
9.5. Ejercicios
1.
J
Dados A ~ = 5~ ~ + 5~k y C
~ = 2~ + 3~ B ~ = 3~ + 2~ 6~k representarlos
gr
aficamente y calcular:
~B
a) A ~ ~ C)
b) (A ~ B~ ~ + C)
c) (A ~ B
~ ~ (B
d) A ~ + C)
~
~ = 5~ + 12~ y B
2. Dados A ~ = ~ + u~ donde u es un escalar, hallar u tal que el angulo
~ yB
entre A ~ sea /3.
~ = t~ 2~ y B
3. Dados A ~ = t~ + 6~ con t escalar, hallar t tal A
~yB
~ sean ortogonales.
~ y B
4. Los vectores A ~ forman un angulo de /3. Sabiendo que |A|
~ = 3 y |B|
~ = 4,
~ + B|.
calcular |A ~ (Recordar que |A
~ + B|
~ 2 = (A
~ + B)
~ (A
~ + B)).
~
~ = 3 y |B|
5. Si |A| ~ = 5, determinar t tal que los vectores A
~ + tB
~ y A
~ tB
~ sean
ortogonales.
106
6. a) Demostrar el teorema del coseno. Tener en cuenta que los lados pueden consi-
~=B
derarse como vectores que cumplan A ~ C.
~ Luego realizar el producto escalar
~A
A ~ = (B
~ C)
~ (B
~ C),
~ de esta igualdad se obtiene la formula buscada.
R
~
B
~ ~ ~
A=BC
P ~
C Q
R
24
P R = 12
RQ = 5
P Q
~ colineal (m
7. Hallar el vector C ~ = 3~ + 2~ que satisface la
ultiplo escalar) con A
condici ~ A
on C ~ = 3.
8.
J ~ = 3~ 4~ + 6~k B
Dados A ~ = 2~ + ~ 7~k y C
~ = 3~ + 4~ ~k calcular:
~B
a) A ~ ~ C)
b) (A ~ B~ ~ + C)
c) (A ~ B
~ ~ (B
d) A ~ + C)
~
~A
e) A ~ ~ B
f) B ~ ~ C
g) C ~
9. F~ = h2, 2i es una fuerza. Calcular el trabajo realizado por F~ sobre un objeto que se
desplaza sobre una recta desde P (0, 1) hasta Q(2, 2). Graficar.
10. Calcular el trabajo realizado por la fuerza 3~k sobre un objeto que se desplaza desde
P (1, 1, 4) hasta Q(2, 0, 5). Graficar.
~ yB
11. Los vectores A ~ forman un angulo = 2/3. Sabiendo que |A|
~ = 3 y |B|
~ = 4.
Calcular:
~B
a) A ~ ~ + B|
b) |A ~ 2 ~ 2B)
c) (3A ~ (A
~ + 2B).
~
~ = 3 y |B|
12. Sabiendo que |A| ~ = 5, determinar x tal que A
~ + xB
~ y A
~ xB
~ sean
ortogonales.
107
ortogonales?
15. Representar en un gr
afico los siguientes vectores:
~ 1 = 3~ + 2~ + 0~k A
a) A ~ 2 = 2~ + 5~ + 0~k ~1 A
A ~2 ~2 A
A ~1
~ 1 = 3~ + 0~ + 2~k B
b) B ~ 2 = 4~ + 0~ + 6~k ~1 B
B ~2 ~2 B
B ~1
~ 1 = 3~ + 2~ + 0~k
b) C ~ 2 = 4~ + 5~ + 3~k
C ~1 C
C ~2 ~2 C
C ~1
~ = 2~+3~1~k y B
~ que es ortogonal con los vectores A
17. Hallar el vector D ~ = 1~2~+3~k
y satisface la condici ~ C
on D ~ = 2~ 1~ + 1~k.
~ = 3, siendo C
18.
J ~ = ~ + ~ B
Dados A ~ = 2~ + 3~ + ~k, calcular:
~ = ~ + 2~ C
~B
a) A ~ ~ A
b) B ~ ~ + B)
c) (A ~ C
~
~ B)
d) (A ~ (C
~ A)
~ ~ B)
e) (A ~ C~ (B
~ C)
~ A.
~
19. a) Demostrar el teorema del seno. Tener en cuenta que los lados pueden considerarse
~+C
como vectores que cumplan A ~ = B,
~ graficar. Realizar el producto vectorial
~B
A ~ =A
~ (A
~ + C),
~ calculando el m
odulo de esta igualdad se obtiene una parte
de la formula buscada, completar.
b) Resolver el tri
angulo de la figura:
R
P R = 20
RQ = 15
30
P Q
~ = 3~ + 2~ + 0~k
20. Hallar y graficar los dos vectores unitarios ortogonales a los vectores A
~ = 3~ + 2~ + 5~k.
yB
21. Hallar el
area del paralelogramo que tiene por lados adyacentes a los vectores
~ = h1, 2, 0i y B
A ~ = h3, 2, 1i
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
Captulo 10
10.1. La recta
10.1.1. Ecuaci
on vectorial de la recta
Vamos a caracterizar los puntos del lugar geometrico del espacio que se encuentran
sobre una recta. Para esto consideremos que todos los vectores cuyos orgenes y extremos
estan sobre la recta son m
ultiplos de un vector dado al que llamaremos vector director
de la recta.
Si P0 (x0 , y0 , z0 ) es un punto de la recta y P (x, y, z) es cualquier otro punto entonces:
~ donde U ~ es el vector director y t es un n
P0 P = tU umero real.
eje z
q
P
q
P0
~
U
y0 y
eje y
x0
x
eje x
~ ) que le de la direccion y un
Resumiendo: tenemos la recta si tenemos un vector (U
109
110
~
P0 P = tU
10.1.2. Ecuaci
on param
etrica cartesiana de la recta
x x0 = t a
y y0 = t b tR
z z0 = t c
O tambien:
x = a t + x0
y = b t + y0 tR
z = c t + z0
Despejando el par
ametro t de las tres ecuaciones parametricas e igualando se obtiene:
x x0 y y0 z z0
= =
a b c
Observaciones: Esta forma de la recta solo puede darse si las tres componentes del
vector director son diferentes de cero (recordar que no se puede dividir por cero). Hay
que tener en cuenta, tambien, que si se necesita operar algebraicamente con la recta, debe
presentarsela como dos ecuaciones, que obtenidas de esta forma simetrica pueden ser:
x x0 y y0
=
a b
y y0 = z z 0
b c
Llamaremos a las rectas con la letra y un subndice que las identifique. Sean 1 y
~1 y U
2 dos rectas con vectores directores U ~ 2 respectivamente. Daremos condiciones para
Dos rectas son paralelas o coincidentes si sus vectores directores tienen la misma di-
recci ~ 1 es el vector director de 1 y U
on. En otras palabras, si U ~ 2 es el vector director de 2
~1 = U
U ~2
Donde es un n
umero real.
Ejemplos:
1) Dadas las rectas
1
x= 2 6t
x= 2 + 3h
1 : y= 11 + 2t 2 : y= h
z=
1 + 4t z=
7 2h
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares. Esto es,
si el producto escalar de estos u
ltimos es cero:
~1 U
U ~2 = 0
Intersecci
on de rectas
x = t a1 + x1
y = t b1 + y 1 tR
z = t c 1 + z1
x = h a2 + x2
y = h b2 + y2 hR
z = h c 2 + z2
t a1 + x1 = h a2 + x2
t b1 + y1 = h b2 + y2
t c 1 + z1 = h c 2 + z2
a1 t a2 h = x2 x1
b1 t b 2 h = y 2 y 1
c 1 t c 2 h = z2 z1
113
10.2. El plano
Caracterizaremos los puntos del lugar geometrico del espacio que se encuentran sobre
un plano. Al igual que con la recta, un plano queda perfectamente determinado si tenemos
~ ) que le de la direccion y un punto (P0 ) que lo fije en el espacio. La situacion
un vector (N
se presenta en el siguiente gr
afico. Notar que el vector no pertenece al plano sino que es
perpendicular al mismo (si quisieramos dirigir el plano con vectores pertenecientes al mis-
mo seran necesarios al menos dos que no fueran colineales, esta situacion se contemplar
a
mas adelante).
eje z
~
N
PPP
PP
q
PP
PP
PP P0
PP PP
PP PP PP
PP PP PP
P qP
PP PP
PP q
PP
PP
y0 P y
eje y
x0
x
eje x
10.2.1. Ecuaci
on vectorial del plano
En el gr
afico anterior P0 (x0 , y0 , z0 ) es un punto dado del plano y P (x, y, z) es un punto
cualquiera del mismo, N ~ = hA, B, Ci el vector normal (perpendicular) que lo dirige y
10.2.2. Ecuaci
on cartesiana del plano
hA, B, Ci hx x0 , y y0 , z z0 i = 0
Finalmente la ecuaci
on cartesiana del plano es:
eje z
~
N
PPP
PP
P0 qP q P2
PP
PP
P PP
PP PP PP
PP PP PP
q
PP PP
PP Pq
P P
PP 1
PP
PP
y0
eje y
x0
eje x
~ sera:
Utilizando el producto vectorial, el vector N
N = P0 P1 P0 P2
115
La ecuaci
on cartesiana del plano sera: 9(x 0) + 0(x 4) + 3(z + 1) = 0
10.2.4. Programaci
on lineal
Estudiaremos a continuaci
on un modelo matem
atico que tiene las siguientes carac-
tersticas: se quiere determinar el valor optimo (m
aximo o mnimo) de un par
ametro al
que llamaremos z y que depende de dos variables x e y. Esta dependencia es de la forma
z = ax + by + c (corresponde a la ecuaci
on de un plano) donde a, b, c, son constantes. Las
variables x e y estan relacionadas mediante desigualdades lineales que forman un polgono
cerrado.
Teorema: Dada la ecuaci
on z = ax + by + c, y un conjunto de puntos P (x, y) para
los cuales tiene sentido la ecuaci
on. Este conjunto queda definido mediante un sistema de
desigualdades lineales. Si la gr
afica de este sistema consiste en un polgono y su interior,
entonces z tiene un valor m
aximo y un valor mnimo en alguno de los vertices del polgono.
Para abordar estos problemas:
Representar gr
aficamente el polgono.
La funcion es z = 2x + 3y
(1, 0, 2)
O y
~ 1 = hA1 , B1 , C1 i y pasa
Consideremos dos planos, uno que esta dirigido por el vector N
~ 2 = hA2 , B2 , C2 i y pasa por P2 (x2 , y2 , z2 ).
por el punto P1 (x1 , y1 , z1 ) el otro dirigido por N
Tendremos las siguientes alternativas.
Dos planos son paralelos o coincidentes si sus vectores directores tienen la misma
~ 1 es el vector director de uno de los planos y N
direccion. En otras palabras, si N ~ 2 es el
Ejemplos:
1) Dados los planos:
1 : x 3y + 6z 2 = 0 2 : 31 x + y 2z + 1 = 0
D E
~ 1 = h1, 3, 6i es el vector director de 1
N ~ 2 = 1 , 1, 2 es el vector director de
N 3
~2 = 1N
2 . Como N ~
3 1 los vectores directores tienen la misma direcci
on, es decir que los
117
Planos perpendiculares
N1 N2 = 0
Intersecci
on de dos planos
Ejemplo:
Dados los planos: 1 : x 3y + 6z 2 = 0 2 : x 3y + z 1 = 0
~ 1 = h1, 3, 6i es el vector director de 1
N ~ 2 = h1, 3, 1i es el vector director de 2 .
N
~1 y N
Como N ~ 2 no tienen la misma direccion (uno no es m
ultiplo del otro), los planos no
son paralelos ni son coincidentes.
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
x = t
x 3y + 6z 2 = 0
x 3y + z 1 = 0
que puede considerarse como un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas y z:
3y + 6z = 2 t
(
3y + z = 1 + t
resolviendo y recordando que x = t queda:
x = t
7 4
y = 15 t 15
z = 25 t + 1
5
que son las ecuaciones parametricas de la recta que surge como interseccion de los dos
planos.
Dada la recta:
x = a t + x1
y = b t + y1
z = c t + z1
y el plano:
A(x x2 ) + B(y y2 ) + C(z z2 ) = 0
Si los vectores directores son perpendiculares entonces el plano y la recta son paralelos
o la recta esta contenida en el plano, esto es:
N U =0 A a+B b+C c=0
119
Ejemplos
x = 2t + 2
1) Dados el plano: : x 3y + z 2 = 0 y la recta : y =t+1
z =t3
~ = h1, 3, 1i es el vector director de
N ~ = h2, 1, 1i es el vector director de .
U
~ U
Como N ~ = 1 2 + (3) 1 + 1 1 = 0 los vectores directores son perpendiculares y la
Para ver cual es el caso tomamos un punto de la recta y nos fijamos si pertenece o no
al plano.
P0 (2, 1, 3) esta en la recta para ver si esta en el plano :
2 3 1 + (3) 2 = 6 6= 0
el punto P0 no pertenece al plano y entonces la recta y el plano son paralelos.
PP
z PP
PP
PPPPP
PPP P PP
q
~
N PP
PP ~
U P
PP PP P
PP P
P PP
PP PP
PP PP
PP
PP
PP
P
y
x = 2t + 6
2) Dados el plano: : x 3y + z 2 = 0 y la recta : y =t+1
z =t3
~ = h1, 3, 1i es el vector director de ;
N ~ = h2, 1, 1i es el vector director de .
U
~ U
Como N ~ = 1 2 + (3) 1 + 1 1 = 0 los vectores directores son perpendiculares y la
plano.
P0 (6, 1, 3) esta en la recta para ver si esta en el plano :
6 3 1 + (3) 2 = 0
Luego, el punto P0 pertenece al plano y entonces la recta esta contenida en el plano.
120
z
~
N
q
PP
PPP
PP PPPPP
P P PPPPPPPP
PP 0
PP
PP P PPPPP
q P
PP ~
U
P PP
PP P
PPP
y
Si los vectores directores son paralelos el plano y la recta son perpendiculares, esto es:
N = U
Intersecci
on entre el plano y la recta
A(x x2 ) + B(y y2 ) + C(z z2 ) = 0
x = a t + x1
y = b t + y1
z = c t + z1
el plano y la recta no son paralelos, luego existe un punto de interseccion entre ellos y se
determina resolviendo:
2x + 3y + z = 5
x = 3 t + 1
y =4 t+1
z=8
Reemplazando en la primera ecuaci
on: 2(3 t + 1) + 3(4 t + 1) + 8 = 5
Luego la solucion del sistema es t = 29 x = 15
9 y = 1
9 z = 8. El punto de
interseccion es Q( 15 1
9 , 9 , 8)
121
10.3. Ejercicios
1.
LNJ ~ = h3, 2, 4i y el punto P0 (2, 3, 5).
Dado el vector U
a) Escribir la ecuaci
on vectorial de la recta.
2. Considerar una recta paralela al eje z que pasa por el punto P0 (1, 4, 0).
a) Escribir su ecuaci
on vectorial.
3. Escribir la ecuaci
on vectorial y las ecuaciones parametricas cartesianas de la recta
que pasa por los puntos P1 (1, 3, 6) P2 (2, 4, 1). Graficar y encontrar otros dos
puntos que esten en la recta.
x4 y+1 z
3 : = = 4 : pasa por P1 (3, 1, 7) P2 (2, 1, 4)
6 4 2
5 : pasa por P1 (3, 1, 3) P2 (0, 2, 0)
Tomandolas de a pares decidir si: son paralelas, coincidentes, perpendiculares, nin-
guna de las anteriores, se cortan en un punto o son alabeadas.
a) Escribir la ecuaci
on vectorial del plano.
b) Escribir la ecuaci
on cartesiana del plano.
6. Una persona planea invertir hasta $22000 en los bancos X o Y, o en ambos. Invertira
al menos $2000, pero no m
as de $14000 en el banco X. No invertira m
as de $15000
en el banco Y. El banco X paga un 6 % de interes simple, y el banco Y un 6.5 %.
Cuanto debera invertir en cada banco para maximizar el rendimiento? Cual es el
beneficio m
aximo que se puede obtener?
7. Se debe rendir un examen que contiene preguntas del tipo A que valen 10 puntos y
del tipo B que valen 25 puntos. Se deben responder al menos 3 del tipo A, pero las
restricciones de tiempo impiden responder m
as de 12. Se deben contestar al menos
4 preguntas del tipo B, pero las restricciones de tiempo impiden responder m
as de
15. En total, no se pueden contestar m
as de 20 preguntas. Suponiendo que todas las
respuestas sean correctas, cu
antas preguntas de cada tipo se deben responder para
maximizar la calificacion? Cual es esta calificacion m
axima?
8. Una sastrera tarda 2 horas en cortar y 4 horas en coser un traje de hilo. Para hacer
un traje de lana peinada tarda 4 horas en el corte y 2 horas en el cosido. En un
da de trabajo, dispone a lo sumo de 20 horas para el corte y 16 para el cosido. Las
ganancias en un traje de hilo son de $34 y en un traje de lana peinada $31. Cuantos
trajes de cada tipo debera producir la sastrera para optimizar su ganancia diaria?
Cual es esta ganancia diaria?
9. Dados los planos (a los que llamaremos con la letra con subndice):
1 : (x 1) + 2(y + 1) (z 2) = 0
2 : 2x + y 8 = 0
3 : pasa por P1 (1, 1, 8); P2 (4, 2, 11); P3 (0, 3, 5)
4 : x + 2y z = 5
Tomandolos de a pares decidir si: son paralelos, coincidentes, perpendiculares, ningu-
na de las anteriores. Si no son paralelos encontrar la recta que surge de la interseccion
de ambos.
x3 y+1 z+2
11. Idem anterior para 2 : x 3y + 4z 2 = 0 y 2 : : = =
2 2 3
123
~ = h2, 3, 1i
12. Idem anterior para 3 : x 3y + 7z 2 = 0 y 3 : la recta dirigida por U
y que pasa por el punto P0 (2, 0, 0)
15. El angulo entre dos planos es el angulo entre los vectores directores correspondientes
a cada uno de los planos. Encontrar el angulo entre los planos cuyas ecuaciones
cartesianas son: 2x 3y + z = 4 5x + 2y 5z = 2
16. Hallar la ecuacion de un plano perpendicular al eje z que pase por el punto P (3, 0, 0).
Graficar y hallar dos puntos que pertenezcan al plano.
124
Captulo 11
Combinatoria
11.1. Introducci
on
N = n1 n2 ... nj
Para indicar la validez de este principio es mas sencillo considerar el siguiente enfoque
esquem
atico (llamado
arbol) con un ejempo concreto. Federico se pondr
a un pantalon
una camisa y un pullover, dispone de dos pantalones, uno negro y otro azul, tres camisas,
verde, celeste y roja, un pullover gris y otro blanco; quiere saber de cuantas maneras puede
vestirse.
125
126
Verde
Gris Celeste
Roja
Azul
Verde
Blanco Celeste
Roja
Verde
Gris Celeste
Roja
Negro
Verde
Blanco Celeste
Roja
Esta claro que por cada pantalon tiene dos pulloveres, y que por cada elecci
on de
pantalon y pullover tiene tres camisas, luego el n
umero de formas en que puede vestirse
es:
N =223 N = 12
N = n1 + n2 + ... + nj
Bala
Tren
Carreta
Linea 1
Micro Linea 2
Linea 3
Hay tres rutas para el micro y dos para el tren, entonces hay 3+2 = 5 rutas disponibles
para el viaje.
11.4. Permutaciones
Obtener un resultado sera completar los tres compartimientos con los tres objetos;
para completar el primero (Elecci
on 1) hay tres posibilidades, para completar el segundo
(Elecci
on 2) hay dos posibilidades, y una para terminar completando el tercero (Elecci
on
3). Si aplicamos el Principio de multiplicaci
on el n
umero de permutaciones sera:
P (3) = 3 2 1 P (3) = 6
P (n) = n (n 1) (n 2) ... 3 2 1
Este n
umero ocurre tan a menudo en Matem
atica que presentamos un nombre y un smbolo
especiales para el.
Definici
on: Si n es un entero positivo, definimos el n
umero n! como:
n! = n (n 1) (n 2) (n 3) ... 4 3 2 1
Consideremos n objetos entre los cuales hay j iguales. Llamaremos P (n, j) a las per-
mutaciones de los n objetos con j objetos iguales. Esta claro que cada vez que cambiemos
de lugar los objetos iguales entre s no obtendremos un resultado distinto, el n
umero de
129
P (n)
P (n, j) j! = P (n) P (n, j) =
j!
Si tuvieramos n objetos entre los cuales hay j iguales y t iguales, un razonamiento igual
al anterior nos conducira a:
P (n)
P (n, j, t) =
j! t!
De esta manera podramos extendernos a casos con mas grupos de objetos iguales.
Sean n elementos distintos se trata de elegir k elementos entre los n dados (0 k n).
La situacion es similar a la de las permutaciones, solo que hay k compartimientos. Para el
primer comp`
artimiento hay n posibilidades, para el segundo hay n 1 posibilidades, para
el tercero hay n 2 posibilidades, ..., para el u
ltimo hay n (k 1) posibilidades.
Por ejemplo, si tenemos los elementos: , y queremos tomarlos de a dos, habr
a
cuatro posibilidades para tomar el primero y tres para tomar el segundo, en total doce
variaciones.
Arbol de resultados.
Eleccion 1 Eleccion 2
130
Importante: notar que, por ejemplo, el caso es distinto a , o sea que importa
el orden en que se eligen los objetos.
Sean n elementos distintos, se trata de elegir k elementos que pueden repetirse. Por
ejemplo, se tienen cuatro bolillas numeradas del 1 al 4 en un bolillero, se forman n
umeros
de tres digitos, para ello se extrae una bolilla, se anota el dgito y se repone al bolillero,
pudiendo en la siguiente extraccion resultar la misma bolilla, de este modo son posibles
resultados como 222 , 113 , 344 , etc. En este caso k puede ser mayor que n, en nuestro
ejemplo, si reponemos , podramos formar n
umeros de siete cifras con las cuatro bolillas.
En general, si pensamos en k compartimientos, para el primero hay n posibilidades, para
el segundo hay n posibilidades, para el tercero hay n posibilidades, ..., para el u
ltimo hay,
tambien, n posibilidades. Llamaremos V (n, k) a las variaciones de n elementos, tomando
k de entre ellos, con repeticion (o con reposicion). El n
umero de esta variaciones sera:
V (n, k) = nk
No contamos como casos distintos puesto que aparecen los mismos objetos y s
olo
difiere el orden.
Llamaremos C(n, k) a las combinaciones de n objetos escogiendo k de entre ellos. Pa-
ra obtener el resultado general recordemos las formulas derivadas anteriormente para el
n
umero de maneras de elegir k objetos entre n distinguiendo el orden y para permutar
131
k objetos, en smbolos V (n, k) y P (k). Observar que una vez que se han escogido los k
objetos, hay P (k) maneras de permutarlos. Por tanto, si en C(n, k) no se tiene en cuenta
el orden valdra la relaci
on:
n!
C(n, k) P (k) = V (n, k) C(n, k) k! =
(n k)!
Finalmente:
n!
C(n, k) =
k! (n k)!
n
!
Otra notaci
on muy usada para C(n, k) es
k
Por u
ltimo tomemos k elementos de un grupo donde hay n clases sin que nos importe
el orden y pudiendo repetirlos.
Por ejemplo queremos saber de cuantas maneras distintas puede comprarse una docena
de facturas si se elige entre tres clases. Algunas de las elecciones se pueden representar del
siguiente modo:
00000100001000
donde los dos unos separan tres espacios que determinan las tres clases de facturas, los
primeros cinco ceros indican que se eligieron cinco facturas de la primera clase los siguientes
cuatro ceros indican que se eligieron cuatro facturas de la segunda clase y los u
ltimos tres
ceros indican que se eligieron tres facturas de la tercera clase.
00000000000011
00001000010000
11.7. C
alculo de Probabilidades
Por ejemplo:
m
P (E) =
i
11.8. Ejercicios
1. Encontrar el n
umero de permutaciones.
b) De cu
antas maneras distintas pueden formarse en una fila diez personas?
2. Encontrar el n
umero de permutaciones con grupos de elementos repetidos.
b) De cu
antas maneras distintas se pueden ubicar en una m
astil tres banderas
rojas, cuatro banderas azules y dos banderas verdes?
c) De cu
antas maneras distintas se pueden ubicar en una hilera las piezas blancas
de un juego de ajedrez?
3. Encontrar el n
umero de variaciones sin repeticion.
b) De cu
antas maneras pueden tomarse las letras del conjunto {A,B,C,D,E,F,G}
para formar codigos ordenados de cuatro letras distintas?
c) De cu
antas maneras pueden asignarse cuatro alumnos en seis comisiones, si
cada comisi
on recibe a lo sumo un alumno?
4. Encontrar el n
umero de variaciones con repeticion.
b) De cu
antas maneras pueden tomarse las letras del conjunto {A,B,C,D,E,F,G}
para formar codigos ordenados de cuatro letras?
c) De cu
antas maneras pueden asignarse cuatro alumnos en seis comisiones?
134
5. Encontrar el n
umero de combinaciones sin repeticion.
c) De cu
antas maneras pueden comprarse tres lapiceras de distinto color si hay
para elegir ocho colores?
6. Encontrar el n
umero de combinaciones con repeticion.
a) De cu
antas maneras puede comprarse una docena de facturas si hay para elegir
seis clases?
b) De cu
antas maneras pueden comprarse tres lapiceras si hay para elegir ocho
colores?
a) De cu
antas maneras pueden acomodarse en un estante?
b) De cu
antas maneras pueden acomodarse, si los libros de bot
anica deben estar
juntos?
c) De cu
antas maneras, si se empieza siempre con los libros de apicultura juntos
y a la izquierda?
9. Cuantos n
umeros telef
onicos de 7 dgitos se pueden formar suponiendo que ning
un
dgito se utiliza mas de una vez y que el primero de ellos no puede ser 0?
10. En un grupo de veinte personas hay doce mujeres y ocho hombres. Se debe formar
una comisi
on de cinco miembros.
a) De cu
antas maneras puede hacerse?
b) De cu
antas maneras, si debe haber un solo hombre?
135
c) De cu
antas maneras, si debe haber exactamente tres hombres?
d ) De cu
antas maneras, si debe haber al menos tres hombres?
11. Un byte esta formado por ocho bit (acronimo de Binary Digit), cada uno de estos
bit puede tomar dos valores, cero o uno. Cuantos byte distintos pueden formarse?
12. Se arroja dos veces un dado equilibrado. Calcular la probabilidad de obtener dos
n
umeros que sumados den cuatro.
b) Si se eligen tres colmenas al azar, calcular la probabilidad de que las tres esten
infectadas.
16. Se tiene un bolillero con tres bolillas numeradas del uno al tres. Se extraen las tres
bolillas
18. De cu
antas maneras se pueden ordenar la palabra EXAMENES si no puede haber
tres E adyacentes?
Funciones trigonom
etricas
12.1. Definiciones
Consideremos un
angulo, cuya medida x esta en radianes, formado por el semieje
positivo de las absisas y una semirrecta que parte del origen, seleccionemos un punto (a, b)
sobre la semirrecta. El
angulo es positivo si la semirrecta gira en sentido antihorario y
negativo en caso contrario.
Sea r = a2 + b2 la distancia del origen al punto (a, b). Definimos:
ordenada de P b
sen x = =
distancia de P al origen r
r
abscisa de P a
b cos x = =
distancia de P al origen r
P
r
x
ordenada de P b
a tg x = =
O abscisa de P a
Notar que los valores del seno y coseno de un angulo son independientes del punto que se
tome sobre la semirrecta que contiene al punto P .
r
r
P2
P1
x
O Q1 Q2
137
138
Los tri
angulos OP1 Q1 y OP2 Q2 son semejantes y por lo tanto sus lados homologos son
proporcionales, es decir:
P2 Q2 P1 Q1 OQ2 OQ1
= = sen x = = cos x
OP2 OP1 OP2 OP1
Las definiciones de estas dos funciones no dependen de la distancia al origen r, luego puede
tomarse r = 1 entonces:
sen x
Una forma mas usual para expresar la funcion tangente es: tgx =
cos x
Recordar: La medida de un
angulo x en radianes queda definida como el cociente entre
la longitud del arco y la longitud del radio en cualquier circunferencia que tenga como
centro el vertice del
angulo.
L
q
x L x en radianes=
r
r
Esta relaci
on permite pasar de un sistema de medici
on angular a otro (est
a mal escribir
2 = 360 ya que una igualdad debe ser homogenea en unidades).
Para algunos
angulos es sencillo calcular los valores exactos de sus funciones trigo-
nometricas, por ejemplo:
139
angulo
seno coseno tangente
0 0 1 0
1 3 1 3
/6 2 2 3
= 3
2 2
/4 2 2 1
3 1
/3 2 2 3
/2 1 0 no existe
0 1 0
3/2 1 0 no existe
2 0 1 0
12.2. Reducci
on al primer cuadrante
Se pueden calcular los valores de las funciones trigonometricas de angulos que estan
en el segundo, tercero o cuarto cuadrante, si se conocen los valores de las funciones de un
angulo adecuado en el primer cuadrante:
P b
b
x x
x
a
x
P b
P
b b
x a
b b
P
b b
x
2 x
a
b b
b2 a2 a2 + b2
Observar: para cualquier valor de x: sen2 x + cos2 x = + = =1
a 2 + b2 a 2 + b2 a2 + b2
12.3.1. Dominio
12.3.2. Imagen
Los valores de las funciones seno y coseno estan siempre entre 1 y 1 (recordar como
estan definidas), luego ambas tienen por imagen el intervalo [1, 1]. La funcion tangente
tiene como imagen a todos los n
umeros reales.
12.3.3. Periodo
Se ve que cada vuelta completa a la circunferencia tanto el seno como el coseno vuelven
a tomar el mismo valor, es decir: sen(x + 2) = sen x y cos(x + 2) = cos x. Por eso se
dice que ambas funciones tienen periodo 2. En la funcion tangente tg(x + ) = tg x luego
el periodo es
2
En general si f (x) = sen(x) entonces sen(x) = sen(x + 2) = sen((x + )) luego
142
2 2
f (x) = f (x + ) entonces f (x) tiene periodo . El mismo argumento puede usarse para
la funcion g(x) = cos(x). En la fsica se llama frecuencia angular, al periodo se lo llama
1 2
T y la inversa del periodo es la frecuencia , sintetizando T = = .
12.3.4. Gr
aficas
Gr
afica de la funcion seno
Gr
afica de la funcion coseno
Gr
afica de la funcion tangente
12.3.5. Ejemplos
1) Determinar para que valores de x la funcion f (x) = sen x toma el valor 0. sen x = 0
para los angulos: , , 2, 2, 3, 3, ... Es decir que se anula para angulos de la
forma: x = k, donde k es cualquier n
umero entero.
2) Determinar para que valores de x la funcion f (x) = sen x toma el valor 1. sen x = 1
para los angulos: 2, 2 + 2, 2 2, 2 + 4, 2 4, ... Es decir que toma el valor 1 para
angulos de la forma: x = 2 + 2k, donde k es cualquier n
umero entero.
3) Determinar para que valores de x la funcion f (x) = sen x toma el valor 1. sen x = 1
143
2
6) Si g1 (x) = cos(3x), entonces el periodo es T = 3 .
144
12.4. Ejercicios
1. Hallar en forma exacta (reducir al primer cuadrante y usar la tabla de valores exac-
tos) para calcular los valores de las funciones seno y coseno:
a) sen( 3
4 ) b) sen( 5
4 ) c) sen( 6 )
d) cos( + 6 ) e) cos(2 6 ) f) cos( 5
4 )
angulo
seno coseno tangente
2/3
3/4
5/6
7/6
5/4
7/4
/6
/4
NJ
3. En el mismo gr
afico representar las funciones siguientes y determinar dominio
e imagen:
s1 (x) = sen x s2 (x) = sen x + 2 s3 (x) = 3 sen x s4 (x) = sen(x + )
145
NJ
4. Trazar las gr
aficas de las funciones siguientes. En cada caso estudiar para que
valores de x la funcion vale 0, 1 y 1 y cu
al es el periodo de cada funcion.
cos(x) si x 2 |x + 2| si x < 1
k(x) = sen(x) si 2 < x < 0 u(x) = 3 cos(2x) si 1 x < 1
tg(x) si 0 x |x 2| si 1 x
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
146
Captulo 13
Lmite y Continuidad
13.1. Lmite
13.1.1. Definici
on (informal)
La funcion f tiende hacia el lmite L cerca de a, si se puede hacer que f (x) este tan
cerca como queramos de L haciendo que x este suficientemente cerca de a, pero siendo
distinto de a. La forma de escribir esta afirmacion es:
lm f (x) = L
xa
y
............................
....... .....
...... ....
.... ....
....
f (x) .
.
.
...
.
. ...
...
...
L q
..
. ...
...
..
.
..
.
...
...
...
... ... ..
...
... ... ...
... ... ...
..
. ... ..
.
... ... ...
... ... ..
..
... ... ...
... ... ..
.
... ..
... ... ....
... ....
...
.. .... ....
.. ...
.... ...
.
.....
....
.......
...............................
a x
Cuando los valores de x estan muy cerca de a tanto a la derecha (la doble flecha indica
que se toman valores de x > a) como a la izquierda (la flecha indica que se toman valores
de x < a) los valores de f (x) se acercan a L sin importar si esta definido f (a) o cual es su
valor.
147
148
Consideremos la gr
afica de una funcion que se comporta del modo siguiente:
y
f (x) ............................................
.........
.......
........
q
.......
....
.......
..
..... ......
.....
..... .....
..
.
.
...
..
.
3 ...
.
...
...
...
...
.
...
..
...
... 1
....
..
...
...
2 x
Cuando los valores de x estan muy cerca de 2 pero a la derecha (doble flecha) de 2 los
valores de f (x) se acercan a 1. En cambio, cuando los valores de x estan muy cerca de 2
pero a la izquierda (una flecha) de 2 los valores de f (x) se acercan a 3.
Utilizamos la siguiente notaci
on para estos casos
lm f (x) = 1 lm f (x) = 3
x2+ x2
Estas expresiones se leen del siguiente modo: lmite cuando x tiende a 2 por la derecha
de la funcion f (x) es igual a 1 y lmite cuando x tiende a 2 por la izquierda de la funcion
f (x) es igual a 3
Cuando los lmites por derecha y por izquierda son distintos se dice que no existe lm f (x)
x2
Ejemplo
x+1 si x 6= 2
(
Dada la funcion g(x) = 3
Determinar si existe lm g(x)
si x = 2 x2
2
Dado el gr
afico analizamos el comportamiento de g(x) cuando x se acerca a 2
y
3 r
2
2 x
Cuando los valores de x estan muy cerca de 2 pero a la derecha de 2 los valores de
g(x) se acercan a 3.
149
Cuando los valores de x estan muy cerca de 2 pero a la izquierda de 2 los valores de
g(x) tambien se acercan a 3.
La escritura formal para este caso es:
lm g(x) = lm x + 1 = 3 lm g(x) = lm x + 1 = 3
x2+ x2+ x2 x2
En este caso los lmites por derecha y por izquierda en 2 son iguales, entonces se dice que
lm g(x) = 3
x2
Observar que el valor del lmite en 2 no depende del valor de la funcion en ese punto
3
ya que g(2) = 2
Diremos que x tiende a mas infinito cuando toma valores positivos muy grandes y
lo escribiremos: lm f (x) = L
x+
Diremos que x tiende a menos infinito cuando toma valores negativos, que considerados
en valor absoluto son muy grandes y lo escribiremos: lm f (x) = L
x
Tiene sentido, tambien, que el resultado de un lmite sea + o como lo veremos en
la siguiente secci
on.
Ejemplos
1
1. Dada la funcion g(x) = Calcular lm g(x) y lm g(x)
x x+ x
a) Cuando x toma valores muy grandes positivos, los valores de g(x) son positivos
1
y se acercan a 0. En este caso se escribe: lm =0
x+ x
b) Cuando x toma valores muy grandes negativos, los valores de g(x) son negativos
1
y se acercan a 0. En este caso se escribe: lm =0
x x
1
2. Si h(x) = 3 + Calcular lm h(x) y lm h(x)
x2 x+ x
Cuando x toma valores muy grandes tanto positivos como negativos, los valores
1
de 2 son positivos y se acercan a 0. Luego los valores de h(x) se acercan a 3. Se
x
1 1
escribe: lm 3 + 2 = 3 y lm 3 + 2 = 3
x+ x x x
lm f (x) = + lm f (x) =
xa xa
150
1
1. Consideremos el comportamiento de la funcion f (x) =
x2
1
Cuando x toma valores cercanos a 0 pero a la derecha de 0 los valores de 2 se hacen
x
muy grandes y positivos.
1
Entonces: lm 2 = +
x0 x+
1
Cuando x toma valores cercanos a 0 pero a la izquierda de 0 los valores de 2 se
x
hacen muy grandes y positivos.
1
Entonces: lm 2 = +
x0 x
1
2. Consideremos el comportamiento de la funcion f (x) =
x1
1
Cuando x toma valores cercanos a 1 pero a la derecha de 1 los valores de se
x1
hacen muy grandes y positivos.
1
Entonces: lm = +
x1 x 1
+
1
Cuando x toma valores cercanos a 1 pero a la izquierda de 1 los valores de se
x1
hacen muy grandes considerados en valor absoluto pero negativos.
1
Entonces: lm =
x1 x 1
13.1.5. Propiedades
Si lm f (x) = L lm g(x) = M y k es un n
umero real entonces:
xa xa
1. lm f (x) + g(x) = L + M
xa
2. lm kf (x) = k lm f (x) = kL
xa xa
3. lm f (x).g(x) = L.M
xa
f (x) L
4. lm = si M 6= 0
xa g(x) M
Ejemplos
1 1
Si lm 2 = lm x3 = 8
x2 x 4 x2
1 1 1 31
1. lm 2
+ x3 = lm 2 + lm x3 = + (8) =
x2 x x2 x x2 4 4
1 1 1 3
2. lm 3 = 3 lm 2 = 3 =
x2 x2 x2 x 4 4
151
1 3 1 1
3. lm 2
.x = lm 2 . lm x3 = .(8) = 2
x2 x x2 x x2 4
x3 lm x3 8
x2
4. lm 2 = 2 = = 2
x2 x lm x 4
x2
x+1 lm x + lm 2 1
x1 x1
5. lm 2
= 2 =
x1 x x lm x lm x 2
x1 x1
x2 4 (x + 2)(x 2) x+2 4
lm 2
= lm = lm =
x2 x + x 6 x2 (x + 3)(x 2) x2 x + 3 5
n(x)
Si lm n(x) = y lm d(x) = entonces lm es indeterminado y puede existir
xa xa xa d(x)
o no. Consideremos los casos siguientes:
4 2
4 2
x3 3 + 2 3 + 2
3x3 + 4x2 2x x x x x = 3
lm = lm = lm
x3 x2 + 5 1 5 1 5
x x x
x3 1 + 3 1 + 3
x x x x
4 2
4 2
x2 3 + 2 3 + 2
3x2 + 4x 2 x x x x =0
lm = lm = lm
x x3 x2 + 5 1 5 1 5
x x
x3 1 + 3 x 1 +
x x x x3
4 4
x4
3 + 3 x 3 + 3
3x4 + 4x x x
lm = lm = lm = +
x x3 x2 + 5 1 5 1 5
x 3 x
x 1 + 3 1 + 3
x x x x
lm f (x) = f (a)
xa
......
y
................ ..........................
........ ........ .
....... ....... ...
......
. ...... ..
..
... .....
.. ...
.
....
.... . .
...
... ...
... ...
...
... ...
...
... .... ..
.
... .... ..
.... ....
... .... ....
... ..... ...
... .......
. ..
..
......
.
.............. ..............
... ....
...
...
...
...
...
...
..
a x
y
.......................................
.......... .........
....... .
q
.....
.......
....... ...
.
..
.. ...... ...
.
. ..... ..
..
.
... ....
. .
...
.. ....
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ..
..
... .
... ..
.
... ... ...
... .... ...
... .... ....
....
....
......
.
.....
......
..
...
...
........
...............................
a x
3. Finalmente, a
un estando definida f en a y existiendo lm f (x), el lmite puede no
xa
ser igual a f (a).
...........
y
.............. ........................
........
q
........ ...
...... .......
.... ...... ...
..
.... ..... ..
..... ....
. .
...
.. .. ..
... ... ...
... ... ...
... .... ...
...
... ..
.... ..
... ..
.... ....
... ..... ....
... ...... ...
... .........
..
. ...
..
..
........
.
.
..............
...
...
...
....
..
...
...
a x
153
Parece natural considerar como anormal todo comportamiento de estos tipos y dis-
tinguir a aquellas funciones que no presenten estas peculiaridades. A las funciones que se
comportan de modo normal se las denomina continuas. Intuitivamente, una funcion es
continua si su gr
afica no contiene interrupciones, ni saltos.
13.2.1. Definici
on
lm f (x) = f (a)
xa
2. Existe lm f (x) = L
xa
3. L = f (a)
13.2.2. Propiedades
1. kf (x) es continua en a
3. f (x).g(x) es continua en a
4. Adem
as, si g(a) 6= 0, entonces f (x)/g(x) es continua en a
13.2.3. Funci
on continua en un intervalo
Si f es continua para todo x de un intervalo (a, b), entonces se dice que f es continua
en (a, b).
Consideremos los casos:
5. La funcion tangente es continua salvo en los puntos en los que no esta definida, estos
3 3 5
son: (. . . , , , , . . .)
2 2 2 2 2
Ejemplo
1 si t 0
(
Analizar la continuidad de la funcion w(t) = 1
2t + 2 si t > 0
y
2
q1
0 t
Para los valores de t < 0, esta definida como una funcion constante, luego es continua.
Para los valores de t > 0 es una funcion polin
omica (en este caso es lineal), luego es
continua.
Para t = 0:
w(0) = 1 la funcion esta definida en 0.
1
lm w(t) = lm t+2 =2
t0+ t0+ 2
lm w(t) = lm 1 = 1
t0 t0
El lm w(t) no existe, por lo tanto w(t) no es continua en t = 0
t0
La funcion w(t) es continua en todos los n
umeros reales salvo en t = 0
13.2.4. Redefinici
on de una funci
on en un punto
Si una funcion f (x) no esta definida en x = a pero existe lm f (x) entonces puede
xa
redefinirse para que sea continua.
16x x3
Consideremos la siguiente situacion: la funcion g(x) = no esta definida en
3x 12
donde se anula el denominador, es decir en el punto x = 4. Luego, no puede ser continua
en dicho punto. Para ver si es posible redefinirla, debemos ver si existe lm g(x):
x4
155
16x x3
si x 6= 4
3x 12
g1 (x) =
32
si x = 4
3
En general:
Si f (x) no esta definida en x = a (es decir, a no pertenece al dominio de f y por lo
tanto no es continua en a), pero existe lm f (x) = L entonces puede redefinirse de modo
xa
que sea continua en a:
(
f (x) si x 6= a
f1 (x) =
L si x = a
y y
Gr
afica de f (x) Gr
afica de f1 (x)
............................................ ............................................
......... ........ ......... ........
...... ......
....... .. ....... ..
..... ...... ... ..... ...... ...
..
.... ...... ... ..
.... ...... ...
... .... .. ... .... .
.
.
. .... . .
. ..... .
.. .. .. ...
...
...
... L ...
...
..
...
... ...
...
... L ...
...
....
..
...
... ....
. ..
....
... .... .
.....
.
.... .. .... .
... .... .... ... .... ....
... .... .... ... .... ...
.... ...... ...
... .....
...... ... ........ ......
... ........
..
..
. .
....................
..
..
.. ... ......................................
... ...
... ...
... ...
.... ....
.. ..
...
..
..
...
..
..
a x a x
Por u
ltimo si una funcion f (x) esta definida en x = a, existe lm f (x) = L y f (a) 6= L
xa
entonces puede redefinirse la funcion para que sea continua en x = a utilizando la idea
anterior.
13.3. Ejercicios
x si x 1
(
NJ
1. Dada la funcion: g(x) =
x + 1 si x < 1
Graficarla. Representar en el gr
afico: g(0), g(0,5), g(0,8), g(0,9), g(0,95),
g(0,99). Observar a que valor se acerca g(x) cuando x se acerca a 1 por valores
menores que 1.
156
x2 3 si x > 2
(
NJ
2. Dada la siguiente funcion: f (x) =
x1 si x 2
Graficarla. Representar en el gr
afico: f (2,5), f (2,3), f (2,2), f (2,1), f (2,01),
f (2,001). Observar a que valor se acerca f (x) cuando x se acerca a 2 por valores
mayores que 2.
x2
(
NJ si x > 1
3. Dada la siguiente funcion: f (x) =
2x 1 si x 1
Graficarla. Representar en el gr
afico: f (1,5), f (1,3), f (1,2), f (1,1), f (1,01),
f (1,001). f (0,5), f (0,8), f (0,9), f (0,99). Observar a que valor se acerca f (x) cuando
x se acerca a 1 por valores mayores que 1 y a que valor se acerca f (x) cuando x se
acerca a 1 por valores menores que 1.
NJ x
4. Dada la siguiente funcion: h(x) = . Representar en el gr
afico: h(0,3), h(0,5),
|x|
h(0,2), h(0,1), h(0,01), h(0,4), h(0,2), h(0,1), h(0,01). Observar a que valor
se acerca h(x) cuando x se acerca a 0 por valores menores que 0 y a que valor se
acerca h(x) cuando x se acerca a 0 por valores mayores que 0.
NJ
5. Estudiar si existe lm f (t) y graficar:
t0
( (
0 si t 0 t si t 0
a) f (t) = b) f (t) =
1 si t > 0 0 si t > 0
0 si t < 0
(
t si t 0
c) f (t) = 1 si t = 0 d) f (t) =
t2 si t > 0
t si t > 0
N J
6. Estudiar si existen los siguientes lmites, en cada caso realizar un gr
afico: a)
lm f (x)
x2
x2 1 si x 2 2x2 + 9
( (
si x 2
f (x) = f (x) =
3 si x < 2 2x si x < 2
b) lm G(z)
z1
z3 + 2 2z 2 2 si z 1
( (
si z 1
G(z) = G(z) =
2z 4 si z > 1 cos z si z < 1
NJ
7. Calcular los lmites siguientes:
157
t+4 x2 + 5x + 6
a) lm b) lm 2x2 1 c) lm
t2 t + 5 x1 x2 x+2
x2 1 x2 5x + 6 y 2 + 4y + 3
d) lm e) lm f) lm
x1 x 1 x2 x2 y3 y+3
4+x2 x2 a2 y3 1
g) lm h) lm i) lm
x0 x xa x a y1 y 1
z 2 16 a+h a 3 8+x
j) lm 3 k) lm l) lm
z4 z 6z 2 + 8z h0 h x1 x1
NJ
8. Calcular, si existen, los siguientes lmites:
2t + 4 6x2 + 4x 2 x4 + 5x3 + 7
a) lm b) lm c) lm
t+ t + 5 x 3x2 + 5 x+ 2x5 + 3x4 + 1
6x2 + 2x 1 6 2
d) lm e) lm 2 f) lm
x 3x 4 x3 x 3 x 9 t1 (t + 1)4
1 t5 1 4 1
g) lm h) lm i) lm
y5 (y 2 25)2 t+ t4 1 x2 x2 4 x + 2
2t 2 9 3y
j) lm k) lm l) lm tg t
t1 (t 1)3 y3 y 2 6y + 9 t/2
N J
9. Mostrar que las siguientes funciones son discontinuas en los puntos que se
especifican:
x
0 si x < 1
(
si x 6= 4
a) f (x) = x 4 b) h(x) = en x = 1
6 x + 1 si x 1
7 si x = 4
1 si x < 1
2
x 25
si x 6= 5
c) g(x) = d) u(x) = 2 si x = 1 en x = 1
x5
si x = 5
2x + 3 si x > 1
10. En los casos en que sea posible en el ejercicio anterior redefinir adecuadamente la
funcion para que sea continua.
x2 1 2x + 1 si x 0
( (
si x 2
a) f (x) = b) f (x) =
2x + 1 si x > 2 3x + 1 si x > 0
3
x si x 1 (
x 1 si x > 1
c) f (x) = x si 1 < x < 2 d) f (x) =
1x si x 1
x2 + 4 si x 2
(x + 3)2 si x 2
1
si x 1
e) g(x) = f) h(x) = 2x si 2 < x 1
x 1
x si x > 1
si x > 1
x2
12. Se deposita un capital de $10000 a un plazo fijo de 30 das a un interes anual del
6 %. Se renueva 8 veces, dejando en cada oportunidad los intereses producidos.
Graficar la evolucion del monto obtenido en funcion del tiempo.
13. Si se deposita el mismo capital a un plazo fijo de 45 das a un interes anual del 6 %.
Se renueva 5 veces, dejando en cada oportunidad los intereses producidos.
Graficar la evolucion del monto obtenido en funcion del tiempo.
Comparar estos resultados con los del ejercicio anterior.
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
Captulo 14
Derivada
14.1.1. Definiciones b
asicas
y recta tangente
q
Q 1 Q
q
............................................................
............. ..........
2
..........
......... .........
........ ........
q
..
. .......
..
..
....... .......
...... ......
P
.
....
..
. ......
.
.. ......
.
.... ....
.
.. ....
....
. ....
... ....
.. ....
..
..
. ....
.
... ....
. .
.. ....
.
... ....
..
. .
..
..
.
....
.
..
..
....
...
...
...
.
....
.
...
...
...
..
.
...
...
...
.
...
.. x
...
...
...
Ejemplo
Sea f (x) = 13 x2 . Queremos determinar la pendiente de la recta tangente a la gr
afica en el
punto (1, 13 ).
En general, la abscisa de un punto cercano a (1, 13 ) se puede escribir como 1 + h, donde h
es alg
un n
umero peque
no, positivo o negativo distinto de 0
f (1 + h) = 13 (1 + h)2 = 31 (1 + 2h + h2 ), entonces el punto (1 + h, 13 (1 + h)2 ) esta sobre la
curva.
159
160
y
...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
...
... ...
... ..
q (1 + h, 1 (1 + h)2 )
... .....
... ...
... ...
... ...
.... ...
...
... .
....
.... .
.... .... 3
.... ....
...
....
.... ..
..... si h > 0
.... ...
.... ...
.... ....
..... ...
....
q
...... ..
..
...... ..
......
...... ......
q
...... 1 ......
.......
........
.........
(1, ) 3 .
.......
........
.
............ .
...
..
..
...........................................................
(1 + h, 13 (1 + h)2 ) x
si h < 0
f (x + h) f (x)
h
Representa la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x, f (x)) y (x+h, f (x+h))
q
....................................
.............
f (x + h) ......... .........
........
........ .......
..
..
....... ......
... ......
..
..
. .....
.
..... ....
...
. ....
. .
.. ....
.. ....
...
q
..
. ....
..
. ....
..... ....
..
. ...
...
.
...
f (x) .
.
...
. ...
...
...
... ...
... ...
.. ...
. ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... .
...
...
.
...
..
...
...
..
x x+h
161
df f (x + h) f (x)
f (x) = = lm
dx h0 h
df
Tanto f (x) como se leen derivada de f respecto de x
dx
14.2.1. Interpretaci
on geom
etrica. Recta tangente
14.2.2. Derivabilidad
f (c + h) f (c)
Una funcion f es se dice derivable en c si existe f (c), es decir, existe lm
h h0
Una funcion f se dice derivable en un intervalo abierto (a, b) o (a, +) o (, a) o
(, +) si es derivable en todos los puntos del intervalo.
A continuaci
on consideremos las derivadas de algunas funciones
x si x 0
(
1. Analizar en que puntos la funcion u(x) = |x| = es derivable
x si x < 0
u(x) (funcion valor absoluto) tiene por dominio a todos los n
umeros reales.
Para valores de x en (0, +) la derivada existe y es u (x) = 1
Para valores de x en (, 0) la derivada existe y es u (x) = 1
Pero veamos que no existe la derivada para x = 0:
162
Como los lmites para h 0 por derecha y por izquierda son distintos, entonces no
u(0 + h) u(0)
existe lm y la funcion no es derivable en x = 0
h0 h
1 si x > 0
(
Luego la derivada de u(x) es: u (x) =
1 si x < 0
u(x) = |x| y
Si f (x) = c donde c es un n
umero real cualquiera, entonces f (x + h) = c:
f (x + h) f (x) 00
f (x) = lm = lm = lm 0 = 0
h0 h h0 h h0
3. Si n es un n
umero entero n 1.
La derivada de la funcion f (x) = xn es f (x) = nxn1 .
Demostraci
on: f (x + h) = (x + h)n = (x + h)(x + h)(x + h) (x + h) donde el
factor (x + h) aparece n veces.
Si desarrollamos el producto usando la propiedad distributiva, observamos que apa-
rece el termino xn y tambien, si tomamos x de todos los factores excepto de uno
obtenemos hxn1 repetido n veces, esto da un termino nxn1 h.
En los restantes terminos aparecer
a h seleccionado de al menos dos factores, luego
a potencias de h desde h2 hasta hn . Por lo tanto h2 sera factor com
en todos habr un
de todos ellos.
Entonces:
Luego:
f (x + h) f (x)
lm = lm (nxn1 + h.(terminos dependientes de h y de x))
h0 h h0
f (x) = nxn1
Ejemplos
1 3
1. Si f (x) = = x3 f (x) = 3x4 = 4 La funcion f (x) es derivable en
x3 x
todo su dominio (todos los numeros distintos de cero).
1 3 1
2. Si h(x) = 4
x = x4 h (x) = 41 x 4 = El dominio de h(x) es el conjunto
4 4 x3
[0, +). La funcion h(x) es derivable es el conjunto (0, +).
1 4 4 7 4
3. Si g(x) = 4
= x 3 g (x) = x 3 = 3
La funcion g(x) es derivable
3
x 3 3 x7
en todo su dominio (todos los n umeros distintos de cero).
5. Sea f (x) y g(x) dos funciones que tiene derivadas f (x) y g (x) respectivamente y
tales que g(x) 6= 0. Entonces la derivada del cociente f (x)/g(x) existe y es igual a:
f (x) g(x)f (x) f (x)g (x)
=
g(x) g(x)2
Ejemplos
1. Dadas las funciones f (x) = x2 g(x) = 3
x = x1/3
sen x
2. Puesto que tg x = su funcion derivada sera:
cos x
(sen x) cos x sen x(cos x)
cos2 x + sen2x 1
tg x = 2
= 2
=
cos x cos x cos2 x
1 2
3. Hallar la ecuaci on de la recta tangente a u(t) = 5 2
= t 5 en el punto de abscisa 2
t
2 57 2
u (t) = 5 t = 5
5 t7
2 1
La pendiente de la recta tangente es u (2) = 5 7
=
5 2 554
1 2
La ecuaci on de la recta tangente a la curva en t = 2 es y 5
= (t 2)
4 554
1
4. Hallar la ecuaci
on de la recta tangente a U (t) = en el punto de abscisa t = 4 :
sen t
(1) sen t (sen t) cos t
U (t) = 2
=
sen t sen2 t
2 1
La pendiente de la recta tangente es m = U ( 4 ) = 2 /2 = 2
La ecuaci
on de la recta tangente a la curva en t = es y 2 = 2(t 4 )
4 2
165
14.2.4. Raz
on de cambio
y f (x2 ) f (x1 )
f (x1 ) = lm = lm
x0 x x2 x1 x2 x1
y
recta tangente
........ q
.............................
f (x2 ) ........................ .......... recta secante
.......
....
...
......
.....
....
....
....
.
r
.... ....
..
..
....
....
....
.
. ....
. ....
.
. ....
f (x1 ) ..... .
..
.
.
. ....
....
...
...
.. ...
.. .
......
..
.
.......
x1 x2 x
Raz
on de cambio en Fsica:
Una partcula se mueve a lo largo de cierta recta una distancia que depende del tiempo
t. Entonces la distancia s es una funcion de t, que escribimos s = f (t). Para dos valores
del tiempo t1 y t2 , el cociente:
f (t1 ) f (t2 )
t2 t1
se puede considerar como la rapidez promedio de la partcula. En un tiempo dado t0 es
razonable considerar el lmite
f (t) f (t0 )
f (t0 ) = lm
tt0 t t0
Ejemplo
La posicion de una partcula esta dada por la funcion s = f (t) = t3 6t2 + 9t donde t se
mide en segundos y s en metros.
Cual es la velocidad en el instante t?
La funcion velocidad es la derivada de la funcion posicion: v(t) = f (t) = 3t2 12t + 9
Cual es la velocidad a los 2 segundos?
antanea cuando t = 2, es decir: v(2) = 3(2)2
Esto significa calcular la velocidad inst
12(2) + 9 = 3m/seg.
En que momento la partcula esta en reposo?
La partcula se encuentra en reposo en el tiempo t en que la velocidad es 0 o sea cuando:
v(t) = 0
3t2 12t + 9 = 3(t2 4t + 3) = 3(t 1)(t 3) = 0
esto se cumple cuando t = 1 o t = 3.
Es decir que la partcula esta en reposo en t = 1 segundos y en t = 3 segundos.
Aplicaci
on en Economa
Supongamos que C(x) es el costo que tiene una empresa para producir x artculos. Si
el n
umero de artculos producidos se incrementa de x1 a x2 , el costo adicional es C =
C(x1 ) C(x2 ) y la razon de cambio promedio del costo es:
C C(x1 ) C(x2 ) C(x1 + x)
= =
x x2 x1 x
Los economistas llaman costo marginal al lmite de esta cantidad cuando x 0, es decir,
la razon instantanea de cambio del costo con respecto al n
umero de artculos producidos:
C dC
costo marginal = lm = C (x) =
x0 x dx
A menudo se representa el costo total con un polinomio:
C(x) = a + bx + cx2 + dx3 donde a representa el costo de los gastos generales (impuestos,
mantenimiento, calefacci
on, etc.) y b podra representar el costo de las materias primas, c
y d podran representar costos de mano de obra, de horas extras, etc.
x es
(f g)(x) = f (g(x))
2. Consideremos f (x) = x+2 g(x) = x3 . Dom f = [2, +) Dom g = R.
(f g)(x) = f (g(x)) = f (x3 ) = x3 + 2, cuyo dominio sera: [ 3 2, +)
(g f )(x) = g(f (x)) = g( x + 2) = ( x + 2)3 , cuyo dominio sera: [2, +)
Sean f y g dos funciones que tienen derivadas, y tales que f esta definida en todos los
n
umeros que son valores de g. Entonces la funcion compuesta f g tiene una derivada,
dada por la formula llamada regla de la cadena
v(t) = s (t)
Ejemplos
1. Hallar la derivada primera, segunda y tercera de g(x) = 4 x + 3 = 4(x + 3)1/2
4 1 3
g (x) = g (x) = p 3
g (x) = p
2 x+3 (x + 3) 2 (x + 3)5
2. Un objeto viaja sobre una recta una distancia dada por la funcion s(t) = 2t3 + t.
Determinar en que instante la rapidez es 7. Hallar la aceleracion en el instante t = 2.
v(t) = s (t) = 6t2 + 1 es la rapidez en cada instante t la rapidez es 7 en t tal que
6t2 + 1 = 7 es decir cuando t = 1
a(t) = v (t) = 12t es la aceleracion en cada instante t luego cuando t = 2 el valor
de la aceleracion es a(2) = 24.
14.5. Ejercicios
NJ 1
1. Para la funcion g(x) =
x
c) Representar en el gr
afico anterior las rectas secantes que pasan por P y Q1 y
por P y Q2
NJ
2. Dadas las funciones
cos x
a) fg (x) = x2 sen x b)fh (x) = x cos x c)fi (x) = 5
x2
Usar las reglas de derivaci
on para hallar:
i La funcion derivada.
iii La ecuaci
on de la recta tangente en ese punto.
NJ
3. Usando las reglas de derivaci
on hallar las derivadas de las funciones:
170
1 1
a) k(x) = (2x 5)(3x4 + 5x + 2) b) G(x) = (2 tg x + 3)( 2
+ )
x x
2v + 1 2x
c) S(v) = d) U (x) =
v+5 x2 + 3x + 1
t5/4
e) f (t) =
cos t + t 1
N J
4. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a las gr
aficas de las funciones
siguientes en el punto dado:
1
a) fa (x) = 2x3 + 3 en x = b) fb (t) = (t 1)(t 3)(t 4) en t = 0
2
2 u2
c) fc (x) = sen x(2 cos x + 2 ) en 4 d) fd (u) = en u = 2
u3 + 1
1 sen x 1 5t
e) fe (x) = en x = 2 f) ff (t) = en t = 1
x2 + 1 t
NJ
5. Para la funcion s(u) = sen u determinar los puntos u en los cuales la derivada
s (u) = 0
afica de y = (x + 1)2
NJ
7. Mostrar que hay exactamente dos rectas tangentes a la gr
que pasan por el origen y hallar sus ecuaciones.
NJ
8. Hallar la ecuaci
on de la recta tangente a las gr
aficas de las funciones:
a) f (x) = sen 2x b) g(x) = cos(3x + 2) en x = .
NJ
9. Hallar las derivadas de las funciones siguientes:
a) f1 (x) = (x + 1)6 b) f2 (x) = (2x 5)1/2 c) f3 (x) = (2x2 + 3)3
1
d) f4 (x) = e) f5 (x) = cos(sen 5x) f) f6 (x) = sen(x2 + 5x)
(3x 4)3
1 p sen 2x
g) f7 (x) = h) f8 (x) = (x + 1)5 i) f9 (x) =
sen x + cos x cos3x
NJ
10. Hallar la segunda derivada de
N J
13. Una partcula se mueve de modo que en el instante t la distancia esta dada
por s(t) = t3 2t en que instante la aceleracion es igual a: a) 1 b) 0 c) -5? .
N J
14. Una partcula se mueve de modo que en el instante t la distancia esta dada
por s(t) = 2t4 + t2 en que instante la rapidez es igual a 0?
Un objeto viaja sobre una recta con una rapidez dada por la funcion v(t) = 4t5 .
NJ
15.
Hallar la aceleracion en el instante t = 2.
NJ
16. Un cuadrado se expande de manera que su lado cambia a razon de 2 cm/seg.
Hallar la razon de cambio de su area cuando el lado mide 4 cm de largo.
NJ
17. Un cubo se expande de manera que su lado esta cambiando a raz
on de 5 m/seg.
Hallar la razon de cambio de su volumen cuando su arista mide 4 m de longitud.
NJ
18. Movimiento armonico simple. Consideremos un cuerpo que descansa sobre una
superficie horizontal sin rozamiento. Se encuentra sujeto a un soporte mediante un
resorte, si se lo aparta de su posicion de equilibrio una distancia peque
na, oscila
ejecutando lo que se conoce como movimiento armonico simple.
0 x
172
La posicion del cuerpo en funcion del tiempo, tomando como origen el lugar donde
el cuerpo se hallaba en equilibrio es:
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
Captulo 15
Se dice que una funcion f es creciente sobre un intervalo I si f (x1 ) < f (x2 ) siempre
que x1 < x2 en I.
Se dice que una funcion f es decreciente sobre un intervalo I si f (x1 ) > f (x2 ) siempre
que x1 < x2 en I.
En la gr
afica siguiente aparece una funcion que es creciente en el intervalo (a, b);
decreciente en el intervalo (b, c) y creciente en (c, d)
y
...
...
...
...
...
...
..
...
.
...........
.............. ........................ ...
........ ........ ...
. ....... ....... ..
... ..... ...... ..
f (x) > 0............
q
..... ..
....
..... .... ...
....... .... ..
...... .... ...
..... .... ..
....
. .... ..
...... .... ....
...... .... ....
...... ..... ....
. ..... ......
....... ..
..
.....
......... ...
...... ............. ........
...... ...........................
.. ...
...
...
...
...
...
a x b c d x
Observar que, en los intervalos (a, b) y (c, d) las rectas tangentes en cada punto tienen
pendientes positivas por lo cual f (x) > 0 en esos intervalos. En cambio, en el intervalo
(b, c) las rectas tangentes en cada punto tienen pendientes negativas por lo cual f (x) < 0
en ese intervalo.
En resumen:
Si f (x) > 0 en un intervalo entonces f es creciente en ese intervalo
Si f (x) < 0 en un intervalo entonces f es decreciente en ese intervalo
173
174
y y
.....................................................
........... ......... .
...
........ .......
........ ....... ...
..
..
........ ...... ...
.....
. ...... ..
.. ...... .
..... ..... .
... .... ... ...
.
...
.. .... ... ...
. .... .... ...
.
.
.
... .... .... .
.....
.
. .... .... .
.
..
.
. .... ....
.
. ..... ...
.
... ....... ....
.
..
.
. .......... .................
. .............
...
...
...
...
...
...
...
.
...
.. c x c x
...
..
...
y ..
.... y
...
.
..
......
.
.
......
......
.......
.......
..
..
..
........
....
..........
.
..
..
.
........................
.............
.............
..............................................................
...
.
..........
.......
........
.......
......
.
...
....
..
....
.
....
....
..
...
...
c x c x
En c = 0, u(x) = |x| no es derivable.
15.3. M
aximo local y mnimo local
y
...
...
...
..
q
.
...
...
(b, f (b)) ..
..
.
.
............................................ ...
......... ........
...
....... .......
..... ...... ...
..
.... ......
.... ...
.... .... ...
... .... ..
... .... ...
... .... ....
... ..... ..
.
... ..
.... ....
... ....
q
....
... ..... ....
...... ....
.
...
.. (c, f (c))
.......
........
............ ........
.
....
..
.
... ..............................
...
..
.
...
...
...
....
a b c d x
Ejemplos
15.4. M
aximo absoluto y Mnimo absoluto
En la gr
afica anterior:
d es el punto m
aximo absoluto de f y el valor m
aximo absoluto es f (d)
b es el punto m
aximo relativo de f y el valor m
aximo relativo es f (b)
d es un punto m
aximo relativo de f y el valor m
aximo relativo es f (d)
15.4.1. M
aximos y mnimos absolutos en un intervalo cerrado
Teorema:
Sea f una funcion continua sobre un intervalo cerrado [a, b]. Entonces existe un punto en
el intervalo donde f tiene un m
aximo absoluto y existe un punto en el intervalo donde f
tiene un mnimo absoluto.
f (c) q
....................................
................ ..........
.......... ........
........ .......
....... ......
..
..
....... ......
......
..
..
.... .....
.
..... ....
....
....
. ....
..
... ....
..
... ....
.
.... ...
..
..
...
q f (a)
..
...
.
..
...
...
...
...
...
...
.
..
...
.. a c b x
..
...
Los m
aximos y mnimos absolutos de una funcion continua en un intervalo cerrado [a, b]
se encuentran en los puntos crticos de la funcion dentro del intervalo o en los extremos
del intervalo. Como ejemplo, en la figura anterior el m
aximo absoluto se encuentra en el
punto crtico c y el valor m
aximo absoluto es f (c), el mnimo absoluto se encuentra en a,
que es el extremo izquierdo del intervalo, y el valor mnimo absoluto es f (a).
El procedimiento para encontrar el m
aximo absoluto y el mnimo absoluto de una
funcion continua f (x) en el intervalo cerrado [a, b] es:
3. Calcular los valores de f en los puntos extremos del intervalo, es decir f (a) y f (b).
Ejemplos
178
x f (x)
extremo del intervalo 3 f (3) = 0
extremo del intervalo 5 f (5) = 152
2
punto crtico 3 f ( 23 ) = 121
27
El m
aximo absoluto para la funcion en ese intervalo es f (5) = 152. El mnimo
absoluto es f ( 23 ) = 121
27
2. Hallar el m
aximo absoluto y el mnimo absoluto de la misma funcion del ejemplo
anterior f (x) = x3 + 2x2 4x 3 en el intervalo [1, 5]
2
Los puntos crticos son: x1 = 3 y x2 = 2 y no se encuentran en [1, 5].
x f (x)
extremo del intervalo 1 f (1) = 4
extremo del intervalo 5 f (5) = 152
El m
aximo absoluto para la funcion en ese intervalo es f (5) = 152. El mnimo
absoluto es f (1) = 4
15.5. Ejercicios
NJ
1. Hallar los puntos crticos de las siguientes funciones:
179
e) f (t) = 3t t3 [2, 3] f) g(x) = (x 4)5 [3, 6]
N J
4. Se va a fabricar una caja sin tapa con una base cuadrada. La suma de las
areas de las cinco caras es 3m2 . Determinar las dimensiones de los lados de la caja
si el volumen debe ser m
aximo.
N J
5. Un recipiente tiene forma de cilindro sin tapa superior y el area total es de
10m2 . Hallar el radio de la base y la altura si su volumen debe ser m
aximo (el area
de un crculo de radio R es R2 , su longitud es 2R y el volumen de un cilindro de
altura y y cuya base tiene radio R es R2 y).
N J
6. Resolver los dos ejercicios anteriores cuando la caja y el recipiente cilndrico
estan cerrados por arriba.
NJ
7. Un veterinario necesita aislar cierta cantidad de vacas enfermas y dispone de
80 metros de alambre de p
ua para cercar un rectangulo con dos hilos utilizando como
uno de sus lados un alambrado que ya existe. Calcular las dimensiones para que el
area resulte m
axima.
180
N J
8. Hallar el punto de la recta y = 2x + 1 que se encuentra mas cerca del ori-
gen.(Escribir la distancia entre el origen y un punto cualquiera de la recta en funcion
de x solamente y minimizar). Representar gr
aficamente la recta.
NJ
9. Un regador impulsa agua hacia arriba con un angulo de inclinaci
on x. Sea A(x)
el alcance del agua, esto es, la distancia desde el regador hasta el punto de impacto
2v 2
del agua. A(x) = sen x cos x donde v = 9,8 m/seg es la velocidad inicial y
g
g = 9,8m/seg 2 es la aceleracion que produce la gravedad. Determinar para que
aximo el alcance. (Si es necesario, recordar que cos2 x sen2 x = cos 2x).
angulo es m
NJ
10. Se desea construir un galpon rectangular con un corral de 50 metros cuadrados
que tiene una circulaci
on perimetral de 4 metros de ancho en dos lados opuestos y de
2 metros de ancho en los otros dos lados. Calcular las dimensiones del galpon para
que su
area sea mnima.
50 m2
y 4
2
x
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
Captulo 16
Trazado de curvas
16.1. Concavidad
Sea f una funcion continua definida en el intervalo [a, b]. Supongamos que existen f
y f en el intervalo (a, b). Se considera la derivada segunda como la razon de cambio de
f (x) en el intervalo. Si la segunda derivada es positiva en el intervalo (a, b) entonces f (x)
es creciente y la curva es concava hacia arriba. En este caso, el segmento que une (a, f (a))
con (b, f (b)) queda por encima de la gr
afica de f .
....
y
....
....
q
....
....
....
....
.... ..
...
.... ..
..
.... ..
....
...
(a, f (a)) (b, f (b))
q
....
...
....
.... ....
.... ...
.... ..
.
...
.... ...
....
..... ....
...... ....
....... ..
......
.
....... ......
........
......... .......
............. .........
.........................................
a b x
Sea f una funcion continua definida en el intervalo [a, b]. Supongamos que existen f y
f en el intervalo (a, b). Se considera la derivada segunda como la razon de cambio de f (x)
en el intervalo. Si la segunda derivada es negativa en el intervalo (a, b) entonces f (x) es
decreciente y la curva es concava hacia abajo. En este caso, el segmento que une (a, f (a))
con (b, f (b)) queda por debajo de la gr
afica de f .
181
182
q (b, f (b))
.......................................................
........... .........
......... .......
........ .......
.
........
......
q
..
.
....
. ......
..
. .....
.
..... .....
....
..
... ....
..
... ....
..
... ....
..
... ...
...
.
.
...
..
.
.
. (a, f (a))
..
...
...
...
...
...
...
...
.
...
..
..
a b x
..
Un punto donde una curva cambia su comportamiento de concava hacia abajo para
hacerse concava hacia arriba (o viceversa) se llama punto de inflexion.
..
y ...
...
...
...
...
...
...
....
.
..
...
....
....
.
.....
..
....
....
....
..
.....
q
..
......
......
(c, f (c)) .
..
..
.......
.......
.........
.
....
..
.
..................
..............
............
...........
..
..
..
..........
.
..
........
.......
.......
.......
..
..
.......
....
......
....
....
.
...
.
.....
...
....
....
....
.
c x
.
..
Si en (c, f (c)) hay un punto de inflexion y existe la derivada segunda en ese punto
entonces f (c) = 0.
Los valores en los que la derivada segunda se anula no necesariamente determinan
puntos de inflexi
on.
Para determinar los puntos de inflexion se buscan los valores de x tales que f (x) = 0 y
luego se estudia la concavidad en cada intervalo que queda determinado por estos valores.
Ejemplos:
Entonces:
3
2 ; ; 2 ; 0 ;
2 ; ; 3
2 son las abscisas de los puntos de inflexion.
Luego encontramos los puntos para los cuales g (x) = 0, es decir, resolvemos la
on: 12x2 = 0
ecuaci
Sea f una funcion que tiene las dos primeras derivadas continuas en un intervalo
abierto, si existe un punto c donde
entonces c es un punto m
aximo local de f .
16.4. An
alisis de la gr
afica de una funci
on
En esta secci
on se integran todos temas que estudiamos: funcion, lmite, derivaci
on,
etc. Con todos los elementos nombrados vamos a tener un conocimiento completo del
comportamiento de una funcion a traves de su gr
afica. Para lograrlo, damos a continuaci
on
una serie de pasos, para organizar el trabajo y sin que esto signifique un orden que deba
seguirse estrictamente.
2. Puntos crticos.
4. M
aximos locales y mnimos locales.
7. Intervalos de concavidad.
8. Puntos de inflexion.
16.4.1. Ejemplo 1
p
4. Por lo calculado en 3. se puede afirmar que 1/3 es un punto m
aximo local y
p
1/3 es un punto mnimo local.
Esto tambien puede verificarse usando el criterio de la derivada segunda:
como f (x) = 6x entonces f ( 1/3) = 6 1/3 < 0 y f ( 1/3) = 6 1/3 > 0
p p p p
p p
entonces en 1/3 hay un punto m
aximo local y en 1/3 hay un punto mnimo
local.
1
5. lm x3 x = lm x3 (1 ) =
x x x2
1
lm x3 x = lm x3 (1 2 ) = +
x+ x+ x
9. La gr
afica de la curva usando los datos obtenidos en los items anteriores:
186
y
f c
oncava hacia abajo f c
oncava hacia arriba
..........................
.......... ........
....... ......
..... ....
..
..... ....
... ....
.. ....
.... .... .
... ....
... ...
... ... ...
... p ... p ..
.
...
... ...
1 ... 1
... 3 ... 3 ...
... ... ...
1
..
.
...
...
...
0
...
.
...
..
1 x
... ... ...
... ....
.... ..
..
.. .... ..
.... ....
.... ....
.... ....
......
....... ..
..
......
.......... ....
............................
f creciente f decreciente f creciente
16.4.2. Ejemplo 2
x2 2x + 2
An
alisis de la gr
afica de la funcion f (x) =
x1
1. El dominio de f (x) es el conjunto de todos los n
umeros reales menos el 1.
(x 1)(2x 2) (x2 2x + 2) x(x 2)
2. Como f (x) = 2
=
(x 1) (x 1)2
entonces los puntos crticos son x1 = 0 y x2 = 2.
3. Puesto que f no esta definida en todo el intervalo (0, 2), el signo de f se debe
determinar por separado en los intervalos (0, 1) y (1, 2) as como en los intervalos:
(, 0) y (0, +). Luego:
En (, 0) f (x) > 0 y f es creciente.
En (0, 1) f (x) < 0 y f es decreciente.
En (1, 2) f (x) < 0 y f es decreciente.
En (2, +) f (x) > 0 y f es creciente.
x2 2x + 2
6. lm = +
x1+ x1
x2 2x + 2
lm =
x1 x1
2
7. f (x) = , no se anula para ning
un x (no hay puntos de inflexion).
(x 1)3
umeros reales, el signo de f se debe
Puesto que f no esta definida en todos los n
determinar por separado en los intervalos: (, 1) y (1, +).
Luego:
en (, 1) f (x) < 0 y f es concava hacia abajo.
En (1, ) f (x) > 0 y f es concava hacia arriba.
8. La gr
afica de la curva, usando los datos obtenidos en los items anteriores:
y ...
..
..
..
..
..
.. .
.. ....
.. ....
.. .....
..
.. ...
......
... ......
......
q
...
... ......
......
...
.... ..
..
........
.
....... ......
................................
(2, 2)
0 1 2 x
.......................q....
(0, 2)
......... ......
........ ....
....... ...
..
..
....... ...
.. ...
...... ...
.....
..... ..
..... ..
...... ..
..
.... ..
... ..
..
..
..
..
...
..
16.5. Ejercicios
NJ
1. Determinar todos los puntos de inflexion de f (x) = sen x en el intervalo (0, 4).
NJ
2. Determinar todos los puntos de inflexion de g(x) = cos x en el intervalo (0, 4).
NJ 1
5. Determinar todos los puntos crticos y de inflexion de f (x) = x +
x
188
6. Mostrar que una curva y = ax3 + bx2 + cx + d con a 6= 0 tiene exactamente un punto
de inflexion.
NJ
7. Trazar las gr
aficas de las curvas siguientes:
x2 + 2 x 2x 3
g) w(x) = h) W (x) = i) p(x) =
x3 x2 + 1 3x + 1
x 1 x2
j) u(x) = k) q(x) = 2
l) w(x) =
3x 5 x 1 x+1
on x2 y 2 = 1 mas cercanos al
NJ
9. Hallar los puntos sobre la hiperbola de ecuaci
punto (0, 1).
NJ
10. Una empresa vende un fertilizante a $ 50 por bolsa. El costo total de colocar
en el mercado x bolsas esta dado por la funcion: f (x) = 5000 + 650x 45x2 + 49 x3 .
Cuantas bolsas deberan producirse al da para maximizar las ganancias? Cual es
la ganancia diaria para este n
umero de bolsas?
NJ
11. Una ventana rectangular esta cerrada en su parte superior con un semicrculo.
Hallar la medida del alfeizar y la altura de las jambas para que el permetro de la
ventana sea de 4 metros y el area lo mas grande posible.
NJ
12. Se van a fabricar envases cilndricos de hojalata de 4000 centmetros c
ubicos.
No se desperdicia material al cortar la hoja que constituye la parte cilndrica, pero
las bases se forman con trozos cuadrados, desperdiciandose los recortes. Hallar la
altura y el radio para que el
area sea lo menor posible.
N J
13. Se fabrican m
aquinas fotogr
aficas que se venden a $ 400. El costo mensual
de colocar en el mercado x unidades es : f (x) = 0,02x2 + 160x + 400000. Cuantas
m
aquinas fotogr
aficas deberan venderse en un mes para que la ganancia sea m
axima?.
189
NJ
14. Hallar las dimensiones del cartel de area m
axima, con forma de rectangulo, que
tiene dos vertices sujetos a una estructura rgida parab on y = 12 x2
olica de ecuaci
y otros dos vertices en el eje x.
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
190
Captulo 17
Funciones inversas
17.1. Funci
on inversa
x = g(y) que es el u
nico n
umero x tal que y = f (x)
17.1.1. Teorema
q
................ ........
q
............. ........
........... .........
..
..
........... .........
...........
y = f (x) ........
........
.
.........
..
y = f (x) ...........
.............
.............
....... ...............
.
.....
.
..
........ ...
......
.....
....
a .
...
...
.....
.
....
.... x = g(y) b x a x = g(y) b x
.....
.
....
191
192
17.1.2. Notaci
on. Inversi
on de variables
17.1.3. Gr
afica de una funci
on y su inversa
Si f 1 es la funcion inversa de f , la gr
afica de f 1 (x) se construye tomando los puntos
simetricos de f (x) respecto de la recta y = x.
.
...
y
.
...
..
...
... ..
........
... ........
.. ........
. ........
... ................
. ....
..............
y
1
........
............
......... ....
f (x) .........
.
..
.........
.
...
..
.
...
......... ...
q (a, b)
......... ..
.
.. ....
............ ....
...
.......... ...
......... ...
...........
........... ..
........ ..
y=x ....
.....
.....
...
..
...
....
.... ...
...
..
f (x)
. .
... ...
q(c, d) q (b, a)
... ...
... ...
... ...
... ...
... ..
q (d, c)
... ....
.... ... ....
.. ....
... .......
.......
........
..
..
... ........
..........
......
............
x ..
.
..
...........................
...............
.................. x
......................................................
..
..
..
..
..
...
..
..
..
..
..
Supongamos que g(y) es la funcion inversa de f (x) en un intervalo (a, b) y que cono-
cemos la forma explcita de g en funcion de y (logramos despejar x), entonces podemos
calcular la derivada de g como lo hemos venido haciendo hasta ahora.
Ejemplo:
Si f (x) = x2 + 1 f admite inversa en los intervalos [0, +) donde es creciente y en
(, 0] donde es decreciente. En el primer intervalo la forma explcita de la funcion
inversa es g(y) = y 1 o invirtiendo las variables f 1 (x) = x 1
La funcion f tiene dominio en [0, +) e imagen en [1, +), luego el dominio de f 1 es
[1, +) y la imagen es [0, +).
1
La derivada es (f 1 (x)) =
2 x1
193
Del mismo modo se podra haber encontrado la funcion inversa y su derivada en el intervalo
donde f es decreciente.
Adem
as de lo dicho, tenemos el siguiente teorema:
1
(f 1 (x)) =
f (f 1 (x))
17.2.1. Funci
on arcoseno
Sea f (x) = sen x definida en el intervalo [/2, /2], en el cual es creciente, y cuya
imagen es el intervalo [1, 1] entonces la funcion inversa esta definida en el intervalo [1, 1]
con imagen en [/2, /2] y la llamaremos
f 1 (x) = arc sen x.
f 1 es derivable en el intervalo abierto (1, 1) y
1 1 1 1
(f 1 (x)) = = =p =
f (f 1 (x)) cos(arc sen x) 1 sen2 (arc sen x)) 1 x2
1
(arc sen x) =
1 x2
17.2.2. Funci
on arcocoseno
1
(arc cos x) =
1 x2
17.2.3. Funci
on arcotangente
lm arc tg x = /2 lm arc tg x = /2
x+ x
1
(arc tg x) =
1 + x2
17.2.4. Gr
aficas de las funciones trigonom
etricas inversas
A continuaci
on se muestran las representaciones gr
aficas de las funciones trigonometri-
cas inversas. En cada caso se presenta en lnea punteada la funcion trigonometrica corres-
pondiente, se observa la simetra respecto de la recta y = x.
195
17.3. Funci
on exponencial y funci
on logaritmo
17.3.1. Funci
on exponencial
1. ex+y = ex ey
2. (ex )y = exy
196
3. e0 = 1
1
4. ex =
ex
5. La funcion f (x) = ex es derivable y f (x) = ex
6. lm ex = + lm ex = 0
x+ x
Ejemplos:
2 3x+3 2 3x+3
1. Si u(x) = ex on u (x) = ex
aplicando las reglas de derivaci (2x 3).
2 3x+3
2. Hallar la ecuaci afica de h(x) = ex
on de la recta tangente a la gr + cos(2x)
en x0 = 1
2 3x+3
Puesto que h (x) = ex (2x 3) sen(2x) 2 la pendiente de la recta es
h (1) = e y el punto de tangencia es P (1, e + 1) luego la ecuaci
on de la recta es
y (e + 1) = e(x 1)
17.3.2. Funci
on logaritmo
Como f (x) = ex es una funcion continua y creciente (la derivada f (x) = ex toma
valores positivos) la inversa existe y la llamaremos funcion logaritmo, g(x) = ln x. El
dominio de la funcion logaritmo es el conjunto de todos los n
umeros reales positivos. Si:
ex = y x = ln y
y tenemos:
eln y = y ln ex = x
La funcion logaritmo tiene las siguientes propiedades, si x e y son mayores que cero se
cumple que:
1. ln(xy) = ln x + ln y
a) ln(x1 ) = ln x
b) ln(xm ) = m ln x
c) ln( n x) = n1 ln x
1
3. Si g(x) = ln x entonces g (x) =
x
4. lm ln x = + lm ln x =
x+ x0+
197
17.3.3. Gr
aficas de la exponencial y logaritmo
Ejemplos:
lm ln |x| = lm ln(x) = +
x+ x+
lm ln |x| = lm ln(x) = +
x x
17.4. Funci
on exponencial general
ax = (eln a )x = ex ln a
Ejemplos:
h(x) = 3x = ex ln 3 h (x) = ex ln 3 ln 3
2
2. Hallar la derivada de w(x) = xx
2 2 2 1
w(x) = xx = ex ln x w (x) = ex ln x (2x ln x + x2 )
x
17.5. Ejercicios
NJ
1. En cada uno de los siguientes items, restringir f a un intervalo de modo que la
funcion inversa g este definida. Encontrar la forma explcita para la funci
on inversa
(despejar x). Representar en un mismo gr
afico la funcion y su inversa.
2. Sean g(x) = arc sen x y v(x) = arc cos x. Hallar los valores siguientes:
a) g (1/2) b) g (1/ 2) c) g(1/2)
d) v (1/2) e) v (1/ 2) f) v(1/2)
NJ
3. Hallar las derivadas de las siguientes funciones:
NJ
8. Hallar las derivadas de las siguientes funciones:
a) f (x) = esen 3x b) g(x) = sen(ex + sen x)
x
c) u(t) = earc sen t d) F (x) = ee
200
2
Para las funciones h1 (x) = ln(x2 1) h2 (x) = ln(x2 + 1) h3 (x) = ex ,
N J
9.
realizar el an
alisis de las gr
aficas (dominio, imagen, puntos crticos, intervalos de
crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavidad, puntos de inflexion, lmites).
y = A(1 10c(x+b) )
donde y es la producci
on, x es la dosis de nutriente, A es la producci
on m
axima
te
orica posible cuando se aumenta indefinidamente la dosis de un nutriente (el fosfo-
ro, por ejemplo), c es el llamado coeficiente de eficacia (es un par
ametro tpico del
nutriente en cuesti
on) y b es el tenor de ese nutriente contenido en suelo en forma
asimilable por las plantas.
Graficar la producci
on en funcion de la dosis de nutriente en los siguientes casos:
k es la constante de proporcionalidad.
3
a) Hallar N0 y k si para t = 1 hora el n
umero de bacterias medido es N0 y para
2
t = 2 horas, el n
umero de bacterias es 225.
b) Graficar N (t).
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
202
Captulo 18
Integral indefinida. M
etodos de
integraci
on
18.1.1. Definici
on
Sea f (x) una funcion continua en un intervalo. Una integral indefinida para f es una
funcion F tal que:
Observaci
on: Recordar que la derivada de una constante es cero, luego cualquier otra
funcion G(x) = F (x) + C, donde C es una constante, tambien es una integral indefinida
para f que llamaremos indistintamente primiiva de f .
Esta claro que nos encontramos con la operacion inversa a la derivaci
on que nombraremos
como integracion de una funcion dada. La notaci
on que se utiliza es:
Z
f (x) dx
que representa el conjunto de todas las primitivas de f (x) y se lee la integral de f (x).A
partir de los resultados conocidos sobre las derivadas de algunas funciones podemos cons-
truir una tabla de integrales indefinidas:
203
204
1
Z Z
1 dx = x + C dx = ln x + C (solo si x > 0)
x
xn+1 1
Z Z
xn dx = + C si n 6= 1 dx = ln(x) + C (solo si x < 0)
n+1 x
Z Z
cos x dx = sen x + C sen x dx = cos x + C
1 1
Z Z
dx = tg x + C dx = arc cos x + C
cos2 x 1 x2
1
Z Z
x x
e dx = e + C dx = arctan x + C
1 + x2
1
Z
dx = arc sen x + C
1 x2
Observaci
on: Notar que no se han dado propiedades para resolver la integral de un
producto o un cociente, no por omision sino porque no las hay, lo que hace menos mecanico
y por lo tanto mas entretenido el calculo de integrales.
18.2. M
etodo de integraci
on por sustituci
on
Ejemplos
Z
1. Calcular: tg x dx
sen x
Z Z
tg x dx = dx
cos x
Eligiendo u = cos x, entonces u = sen x y du = u (x) dx = sen x dx
sen x 1
Z Z Z
tg x dx = dx = du = ln |u| + C = ln | cos x| + C
cos x u
205
Z
2. Calcular: e3x dx
1
Eligiendo u = 3x, entonces u = 3, du = u (x) dx = 3 dx y du = dx
3
1 1 1
Z Z
e3x dx = eu du = eu + C = e3x + C
3 3 3
18.3. M
etodo de integraci
on por partes
Z
Ejemplo: Calcular x ex dx
Si f (x) = x entonces f (x) = 1
Si g (x) = ex entonces g(x) = ex dx o sea g(x) = ex
R
Z Z
x x
Utilizando la formula: x e dx = xe ex dx = xex ex + C
Z Z
La formula de integracion por partes suele presentarse como: u dv = uv v du
donde u = f (x) y v = g(x).
18.4. Ejercicios
JN
1. Calcular las siguientes integrales indefinidas:
Z Z
Z
1
Z
1
a) x2 dx b) x dx c) dt d) dz
3
t z4
JN
2. Calcular las siguientes integrales indefinidas:
Z
Z
2
Z
3 3
a) (x + 3x) dx b) (2 x + ) dx c) ( t 5 cos t) dt
x
Z
x + 2x5 2
Z Z
d) dx e) (2 + 3)2 d f) (4ex ) dx
x4 1 + x2
JN
3. Calcular las siguientes integrales indefinidas usando una sustituci
on:
Z Z Z
t2 3 x4
a) te dt b) x e dx c) x2 (1 + x3 )20 dx
ln x
Z Z Z
d) dx e) sen x cos x dx f) sen5 x cos x dx
x
arctan x sen x
Z Z Z
g) dx h) dx i) cos(3x) dx
1 + x2 1 + cos2 x
ex
Z
arcsen x
Z Z
j) 3x + 1 dx k) x
dx l) dx
e +1 1 x2
1
Z Z Z
m) dx n) cos(ax + b) dx n
) eax+b dx
ax + b
y2 2x
Z Z Z
8
o) (1 cos x) sen x dx p) dy q) dx
3y 3 2 1 + x4
En m) n) n
) a y b son n
umeros reales y a 6= 0
Z Z Z
d) 3xe2x dx e) x2 ex dx f) x cos x dx
Z Z Z
g) ex cos x dx h) x2 ln x dx i) sen(ln x) dx
Z Z Z
8
j) arcsen (3x) dx k) x ln(5x)dx l) x cos (2x + 1) dx
Z Z
m) (3x + 1) sen x dx n) (x + 1)2 ex dx
7. Encontrar la funcion posicion (x(t)) del cuerpo del problema anterior si su posicion
inicial (x(0)) era 5 m.
1
9. Si g (x) = cos(8x) y g( 16 ) = 1, calcular g(x).
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
208
Captulo 19
19.1. Introducci
on
Dado un n
umero arbitrario c en [a, b], f (c) es positivo, negativo o nulo:
A continuaci
on se muestran los gr
aficos correspondientes a cada una de las tres situaciones:
209
210
Caso f (c) = 0
x0 = a x1 = x0 + x x2 = b
211
f (c1 )x + f (c2 )x es un n
umero positivo, negativo o es cero. Es la diferencia entre
el area del rectangulo R1 que esta ubicado sobre el eje x y el area del rectangulo R2 que
esta ubicado bajo el eje x.
El proceso de subdividir el intervalo [a, b] en subintervalos iguales y repetir el procedi-
miento en cada uno puede continuar por ejemplo:
ba
Dividiendo el intervalo [a, b] en seis subintervalos iguales y llamando x = 6 a la longi-
tud de los subintervalos
x0 = a, x1 = x0 + x, x2 = x1 + x, x3 = x2 + x, x4 = x3 + x, x5 = x4 + x,
x6 = b
c1 , c2 , ..., c6 los puntos arbitrarios en cada intervalo [x0 , x1 ], [x1 , x2 ],..., [x5 , x6 ] res-
pectivamente.
las cantidades f (c1 )x, f (c2 )x, ..., f (c6 )x representan, seg
un si f (c1 ), f (c2 ), ..., f (c6 )
son mayores, menores o iguales a 0, el area, un n
umero negativo cuyo valor abso-
luto es el
area de cada rectangulo de base x y altura f (c1 ), f (c2 ), ..., f (c6 ) o cero
respectivamente.
x0 = a, x1 = x0 + x, x2 = x1 + x,..., xn = xn1 + x
La suma f (c1 )x + f (c2 )x + ... + f (cn )x se llama suma de Riemann y resulta ser
la diferencia entre la suma de las
areas de los rectangulos que estan ubicados sobre el eje
x y la suma de las
areas de los rectangulos que estan ubicados bajo el eje x.
Llamaremos A1 al
area de la regi
on encerrada por la gr
afica de f (x) y el eje x cuando
f (x) > 0 y A2 al
area de la regi
on encerrada por la gr
afica de f (x) y el eje x cuando
f (x) < 0.
19.2.1. Definici
on
Observaciones:
Z b
Si f (x) 0 para todo x [a, b], el n
umero f (x) 0 y resulta el area bajo la curva
a
entre a y b (area de la regi
on encerrada por la gr
afica de f (x), las rectas x = a, x = b y el
eje x).
1. Si M y m son dos n
umeros tales que m f (x) M para todo x en el intervalo
[a, b], entonces
Z b
m(b a) f (x)dx M (b a)
a
F (u) = f (u)
19.3.2. Ejemplos
Z 2
1. Calcular: cos xdx. En este caso f (x) = cos x, entonces F (x) = sen x. Seg
un la
2
Z 2
regla de Barrow: cos xdx = F (2)F ( ) = sen(2)sen( ) = 0(1) = 1
2 2 2
Z 2 2
Notacion: cos xdx = sen x = 0 (1) = 1
2 2
Z 3
2. Calcular: |x 1|dx.
2
x1 si x 1
(
Puesto que |x 1| =
x + 1 si x < 1
Por la propiedad 2:
Z 3 Z 1 Z 3 Z 1 Z 3
|x 1|dx = |x 1|dx + |x 1|dx = x + 1 dx + x 1 dx.
2 2 1 2 1
1 x2
Z 1
Como x + 1 dx = + x 2 = 1/2 + 1 (2 2) = 9/2
2 2
3 x2
Z 3
x 1 dx = x 1 = 9/2 3 (1/2 1) = 2
1 Z 2 3
Por lo tanto: |x 1|dx = 9/2 + 2 = 13/2
2
Definici
on:
Si existe el lmite
lm F (c)
ca+
215
Z b
decimos que existe la integral impropia f (x)dx y definimos:
a
Z b Z b
f (x)dx = lm f (x)dx = F (b) lm F (c)
a ca c ca
Definici
on:
Si existe el lmite
lm F (v)
v+
Z +
decimos que existe la integral impropia f (x)dx y definimos:
a
Z + Z v
f (x)dx = lm f (x)dx = lm F (v) F (a)
a v+ a v+
Definici
on:
Si existe el lmite
lm F (v)
v
Z a
decimos que existe la integral impropia f (x)dx y definimos:
Z a Z a
f (x)dx = lm f (x)dx = F (a) lm F (v)
v v v
3. Sea a un n
umero y f una funcion continua definida para todo x. Si F (x) es primitiva
de f (x).
Z + Z a Z C
f (x)dx = lm f (x)dx + lm f (x)dx
B B C+ a
Diremos que la integral impropia converge o existe si existen ambos lmites. Si alguno
de los lmites no existe la integral impropia no converge.
Ejemplos:
+ 1 C 1
Z Z
C
dx = lm dx = lm ln x 2 = lm (ln C ln 2) = +
2 x C+ 2 x C+ C+
33
N 3
3
8 3
3 3q 3
3 33
= lm x2 1 + lm x2 M = lm ( N 2 3 (1)2 )+ lm ( 82 M 2)
N 0 2 M 0 2+ N 0 2
2 M 0 2
+ 2
3 3 9
=0 +4 0=
2 2 2
19.5. Ejercicios
N
1. Escribir las sumas de Riemann para las funciones siguientes. Subdividir el inter-
valo en: a) 4 subintervalos , b) 6 subintervalos
217
NJ
2. Calcular las integrales siguientes:
Z 2 Z 2 Z
5 1/3
(a) x dx (b) x dx (c) sen xdx
1 1
Z /2 Z 2 Z 2
(d) cos xdx (e) xex dx (f) 5x 1 dx
/2 0 1
NJ
3. Calcular las integrales siguientes (en todos los casos graficar las funciones):
Z 1 Z 2 Z
(a) |x|dx (b) | sen x|dx (c) (sen x + | sen x|)dx
1 0
Z 2 Z 1 1
Z 4
(d) ex dx (e) dx (f) 3xe2x dx
0 0 1 + x2 2
NJ
7. Hallar el
area de la regi
on encerrada entre las curvas y = sen x, y = cos x, el
eje y y el primer punto donde se intersecan esas curvas para x > 0.
NJ
8. Hallar el
area comprendida entre las curvas y = 2x, y = 2x + 4 y el eje x.
NJ
9. Hallar el
area comprendida entre las curvas y = 1 x, y = x 1, y = 1.
N J
12. Hallar el
area de las regiones encerradas entre las curvas y = ln x, x = 0,5,
x = 3 y el eje x.
2
on encerrada entre las curvas y = xex , x = 1, x = 3
NJ
14. Hallar el
area de la regi
y el eje x
NJ
Z 1 1
16. Mostrar que la integral impropia dx no converge.
0 x2
NJ
17. Determinar si existen las siguientes integrales impropias, de ser as, hallar sus
valores:
Z 3 1
Z 1
Z 1
a) dx b) 2/3
dx c) dx
1 x1 1 x 1 x3/2
Z 1
Z Z
x
d) dx e) e dx f) ex dx
0 1 + x2 1 1
Z 1 ln x
Z 2 1
Z 3 1
g) dx h) dx i) dx
0 x 0 (x 1)3/5 0 (x 2)2
1
18. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales de funciones del tipo f (x) =
xn
donde n es un n
umero natural:
Z 1
a) f (x)dx (analizar que sucede para valores de n menores o mayores que 1)
0
Z +
b) f (x)dx (analizar que sucede para valores de n menores o mayores que 1)
1
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
Captulo 20
Ecuaciones diferenciales
Una ecuaci
on diferencial ordinaria es una ecuaci
on de la forma:
y + 3y + 2y 6ex = 0
(y )2 2y + (y )3 = 0
y 5y = 1
20.1.1. Clasificaci
on seg
un el orden
20.1.2. Clasificaci
on seg
un la linealidad o no linealidad
219
220
yy 2y = x
d4 y
+ y5 = 0
dx4
son ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de segundo y cuarto orden.
20.1.3. Soluci
on de una ecuaci
on diferencial
dy
xy 1/2 = 0
dx
dy x3 x3
=4 =
dx 16 4
vemos que:
1/2
dy x3 x4 x3 x3
xy 1/2 = x = =0
dx 4 16 4 4
para todo n
umero real.
Una ecuaci
on diferencial dada tiene generalmente un n
umero infinito de soluciones.
2
Por ejemplo, podemos demostrar que cualquier funcion de la forma y = Cex , donde C es
on y = 2xy (1).
cualquier constante arbitraria es solucion de la ecuaci
221
Soluci
on particular. Soluci
on general.
20.1.5. M
etodo de variables separables
dy
= g(x)
dx
222
Ejemplo:
dy 1
Z
Si = 1 + e entonces: y = (1 + e2x )dx = x + e2x + C
2x
dx 2
La ecuaci
on anterior y su metodo de solucion es un caso particular de la siguiente:
Definici
on
dy g(x)
=
dx h(y)
Observaci
on: una ecuaci
on separable puede escribirse como:
dy
h(y) = g(x)
dx
y por lo tanto
Z Z
h(f (x))f (x)dx = g(x)dx + C
Ejemplo:
dy x
Resolver = , sujeta a y(4) = 3
dx y
Z Z
ydy = xdx + C
y2 x2
= +C
2 2
x2 + y 2 = K 2
x(t0 ) = x0
donde k es una constante aparece en muchas teoras fsicas que involucran crecimiento o
bien decrecimiento. Por ejemplo, en biologa menudo se observa que la rapidez con que
en cada instante ciertas bacterias se multiplican es proporcional al n
umero de bacterias
presentes en dicho instante. Para intervalos de tiempo cortos la magnitud de una poblacion
de animales peque
nos, como de roedores, puede predecirse con bastante exactitud mediante
la solucion del problema de valor inicial. La constante k se puede determinar a partir de
la solucion de la ecuaci
on diferencial usando una medida posterior de la poblacion en el
instante t > t0 .
20.2. Ejercicios
1. Decir si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no lineales e indicar el orden
de cada ecuaci
on .
J
2. Resolver las ecuaciones diferenciales por separaci
on de variables
224
dy dy
a) = cos(2x) b) = (x + 1)2 c) dx x2 dy = 0
dx dx
dy dy y+1 dy y3
d) (x + 1) =x e) = f) = 2
dx dx x dx x
2
dy dy dy 2y + 3
g) = e3x+2y h) = 2y(x + 1) i) =
dx dx dx 4x + 5
3. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias. Para t = 1 hora, el
n
umero de bacterias medido es (3/2)N0 . Si la rapidez de multiplicaci
on es propor-
cional al n
umero de bacterias presentes, determinar el tiempo necesario para que el
n
umero de bacterias se triplique.
4. La ley de Newton del enfriamiento dice que en un cuerpo que se esta enfriando, la
rapidez con que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la
temperatura del cuerpo y la temperatura constante T0 del medio que lo rodea. Esto
es:
dT
= k(T T0 )
dt
en donde k es una constante de proporcionalidad.
Al sacar una torta del horno, su temperatura es de 300 F . Tres minutos despues su
temperatura es de 200 F . Cuanto tardar
a en enfriarse hasta una temperatura de
80 F si la temperatura ambiente es de 70 F ?
Aclaraci
on: La mayora de los ejercicios pueden verificarse utilizando software del si-
guiente modo:
N
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
atica din
amica.
J
Los se
nalados con pueden resolverse utilizando software de algebra computacional.
En el Anexo que aparece al final del libro se dan pautas sobre los programas recomendados
para cada caso.
Anexo
Para algunos de los ejercicios que aparecen al final de cada captulo se sugiere el uso
de software del siguiente modo:
N
Los ejercicios se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de matem
ati-
ca din
amica. El programa recomendado es GeoGebra que se descarga de:
http://www.geogebra.org/cms/es/
J
Los ejercicios se
nalados con pueden resolverse utilizando un software de algebra
computacional. El programa recomendado es Maxima pero no de un modo directo
sino que a partir de la interface gr
afica wxMaxima que se descarga de:
http://andrejv.github.io/wxmaxima/
Comentarios
Sistemas de Algebra Computacional que permiten calculos simbolicos y numericos.
Por ejemplo: Maple, Mathematica, MatLab entre los comerciales y Maxima, Scilab
y Octave entre los de dominio p
ublico. Los comandos se introducen con el teclado.
Sistemas de Matem
atica Din
amica. Estos entornos permiten la introducci
on directa
en la ventana gr
afica de objetos geometricos y la representaci
on din
amica de los
mismos. Por ejemplo: GeoGebra, Cabri, Regla y Compas y otros. Los comandos se
introducen, fundamentalmente, con el rat
on.
Luego de evaluar una serie de programas para utilizar como complemento para este libro se
empez
o por descartar los propietarios o comerciales (Mathematica, Matlab, Maple, Cabri,
225
226
etc.) ya que nos parece adecuada la distribucion libre. De los restantes, Maxima, Sage,
Octave, Scilab, GeoGebra, CAR, CARMetal, GeoNext, etc. nuestra recomendaci
on es
Maxima como sistema de
algebra computacional y Geogebra como sistema de matem
atica
din
amica.
Las razones, entre otras, para decidirnos por el uso de Software Libre estan basadas
en las libertades asociadas a este tipo de proyectos:
Tomando como fuente las presentaciones de los programas recomendados, en sus respec-
tivos sitios Web, se presenta el siguiente resumen:
Maxima
GeoGebra
Gr
aficos, tablas y representaciones algebraicas din
amicamente conectadas.
Kreyszig E. Matem
aticas avanzadas para ingeniera. Limusa Wiley, 2010.
Lang S. C
alculo I. Fondo Educativo Interamericano, 1976.
Smith S. Algebra, Trigonometra y Geometra Analtica. Prentice Hall, 1998.
Smith S. Algebra. Pearson Educacion, 2001.
Stewart J. C
alculo, conceptos y contextos. Cengage Learning Editores, 2006.
229
230
Zill D. Wright W. Calculo de una variable. Trascendentes tempranas. Mac Graw Hill,
2011.