Cuadernillo Matematica - Eje Algebra

EJE
ÁLGEBRA
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EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1. Las soluciones de la ecuación 2(x − 1)2 = 5 4. Con respecto a las soluciones (o raíces) de
están representadas en: la ecuación x2 + 4x = 32, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
A) 1 ± √5
2
I) Son racionales.
B) −1 ± √5 II) Son positivas.
2
III) Son números enteros.
√
C) 1± 5
2
A) Solo I
D)
√2
−1 ± 5 B)
C)
Solo I y II
Solo I y III
E) 1 ± √5
D) Solo II y III
2
E) I, II y III
2. ¿En cuál de las siguientes ecuaciones

cuadráticas, las soluciones son reales e
iguales? 5. Si una de las soluciones de la ecuación en
x, 3x2 + 5kx + 2 = 0 es −2, entonces k =
A) x2 − 4x = −1
A) −1
B) x2 − 2x = − 4
C) 2x2 − 9 = 0 B) 1
D) 2x + x = 1
2
7
C)
E) 4x2 + 4x = −1 5
7
D) −
5
3. ¿En cuál de las siguientes ecuaciones 1
E) −
cuadráticas, las soluciones no son reales? 3
A) x2 + x = 1
B) x2 − 2x = 4 3
6. Si x es la solución de la ecuación −x =
x−4
,
C) 2x2 − 5x = −2 ¿cuál es el menor valor posible para la
D) x2 + x = 2 3
expresión: ?
x−4
E) x2 + 4x = −8
A) −4
B) −3
C) −1
D) 1
E) 3
29

7. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones no 10. Con respecto a las soluciones de la ecuación
tienen soluciones en los números reales? 2
x + = 4, ¿cuál de las siguientes
x−1
I) 2(x − 2)2 + 3 = 0
afirmaciones es verdadera?
3
II) − (x − 1)2 + 1 = 0
2 A) Son reales de distinto signo.
2
1 B) Son racionales positivas.
III) 2 x+ +5=0
2 C) No son reales.
D) Son racionales negativas.
A) Solo I
E) Ninguna de ellas.
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III 11. Las soluciones de la ecuación en x,
E) I, II y III 2x2 − 4x + k = 0 son reales y distintas,
entonces:
A) k>2
8. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene
como raíces (o soluciones) a (2 + √5 ) y
(2 − √5 )? B) k<2
A) x2 − 4x + 9 = 0 C) k 2
B) x2 + 4x + 9 = 0
1
C) x2 − 4x + 1 = 0 D) k<
2
D) x2 − 4x − 1 = 0
E) x2 − 2x − 1 = 0 E) k>1
12. Las soluciones de la ecuación en x,

9. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene bx2 − bx + b + 1 = 0, con b ≠ 0, son reales e
raíces (o soluciones) (a + b) y (a − b)? iguales, entonces b =
3
A) −
A) x + ax + a − b = 0
2 2 2
4
B) x2 − ax + a2 − b2 = 0 3
B)
4
C) x2 + 2ax + a2 − b2 = 0
4
D) x2 − 2ax + a2 − b2 = 0 C)
3
E) x2 − 2ax + a2 + b2 = 0
4
D) −
3
E) No existe tal valor de b.
30

13. Dada la ecuación en x, 16. Dada la ecuación x2 + 10x − 15 = 0, ¿qué
(k − 1)x2 + 2(k − 2)x + (k − 1) = 0, ¿qué número real p se debe sumar a ambos
valor debe tomar k para que las raíces o lados de la ecuación para completar el
soluciones sean reales e iguales? cuadrado de un binomio en el lado izquierdo
de ella y cuáles son las soluciones de
3 esta ecuación?
A)
2
2 A) p = 40 y las soluciones son
B) −
3 (− 5 − √115 ) y (− 5 + √115 ).
3 B) p = − 10 y las soluciones son
C) −
2 (10 − √5 ) y (10 + √5 ).
1 C) p = 40 y las soluciones son
D)
2 (− 5 − √40 ) y (− 5 + √40 ).
D) p = − 25 y las soluciones no son reales.
E) No existe tal valor de k.
E) p = 25 y las soluciones no son reales.
14. La ecuación en x,
2
(k − 2)x + 2(k − 4)x + k − 4 = 0, con k un 17. a y b son números reales, ¿cuál(es) de las
número real distinto de 2, tiene dos soluciones siguientes ecuaciones en x, tiene(n) siempre
que no son números reales, entonces: solución(es) en el conjunto de los
números reales?
A) k>4 a
I) (x − b)² − = 0, con ab>0.
b
B) k=4 II) ax + b = a, con a > b.
2
C) k<4 III) ax2 + b = 0, con ab < 0.

D) k>2
E) k<2 A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
15. Sea la ecuación cuadrática en x, D) Solo I y III
a(x − b)2 + b = c, se puede determinar que E) I, II y III
las soluciones de esta ecuación son reales
y distintas, sabiendo que:
18. El área de un rectángulo es 50 cm2 y su
perímetro es 30 cm. ¿Cuál de las siguientes
(1) c>b ecuaciones permite determinar su largo “x”?
(2) a(b − c) < 0
A) x2 − 15x − 50 = 0
A) (1) por sí sola B) x2 + 15x + 50 = 0
B) (2) por sí sola C) x2 − 15x + 50 = 0
C) Ambas juntas, (1) y (2) D) x2 − 30x + 50 = 0
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) x2 + 30x + 50 = 0
E) Se requiere información adicional
31

19. Se tienen tres números consecutivos donde 22. Las aristas de un cubo disminuyen en 2 cm,
el menor es “x”. disminuyendo el volumen del cubo en 296 cm3.
Si el doble del producto de los dos menores ¿Cuánto medían inicialmente las aristas?
tiene 20 unidades más que el cuadrado
del mayor, ¿cuál de las siguientes ecuaciones
A) 4 cm
permite determinar el menor de los términos?
B) 6 cm
A) 2x(x + 1) + 20 = (x + 2)2 C) 8 cm
B) 2x(x + 1) − 20 = (x + 2)2 D) 36 cm
C) 2x(x + 1) = (20 + x + 2)2 E) 48 cm
D) 2x(x + 1) = 20 − (x + 2)2
E) 2x(x + 1) = (20 − (x + 2))2
23. Un número tiene dos cifras, tales que la de
las decenas tiene una unidad más que
el doble de la otra. Si al número se le suma
20. La edad de un hermano es el doble de la
edad del otro más cuatro años. el producto de las cifras resulta 94, entonces
Si el producto de sus edades es 160, ¿cuál ¿cuál es la diferencia de las cifras?
es la edad del mayor?
A) 2
A) 8 años B) 3
B) 10 años C) 4
C) 16 años D) 7
D) 20 años E) 8
E) 24 años
24. Por el arriendo de una casa en la playa, a

21. En un rectángulo, el largo mide 2 cm más un grupo de amigos le cobran $ 60.000 por el
que el ancho. Si los lados se aumentan fin de semana. Para cancelar este valor lo
en 2 cm, se forma un segundo rectángulo
dividieron en partes iguales, pero
cuya área sumada con la del primero resulta
posteriormente dos de ellos no pudieron
288 cm2. ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo
asistir por lo que la cuota tuvo que subir en
original?
$ 1500 para reunir el total del arriendo,
entonces ¿cuántos amigos iban a ir al
A) 8 cm
comienzo?
B) 10 cm
C) 12 cm A) 7
D) 14 cm B) 8
E) 18 cm C) 10
D) 12
E) 15
32

25. Un campesino ha plantado lechugas en filas, 28. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa
poniendo en cada una de ellas la misma mejor a la función cuadrática: y = x2 − 6x + 9 ?
cantidad, de modo que la cantidad de
lechugas por fila supera en dos a la
cantidad de filas. A) y
Al otro año decide aumentar en cuatro la
cantidad de filas y disminuir en dos la
cantidad de lechugas por fila.
Si la cantidad de lechugas plantadas durante
0 x
los dos años es 756, ¿cuántas fueron
plantadas en cada fila en el primer año?
A) 20
B) 22 B) y
C) 24
D) 25
E) 26
0 x
26. La gráfica de la función f definida en los

reales mediante f(x) = x2 + a, pasa por el
punto (a, 2), entonces el (los) valor(es) de
a es (son): C) y
A) Solo 1
B) Solo −1
C) −2 o 1 0 x
D) Solo −2
E) No existen tales valores.
27. Con respecto a la parábola de ecuación: D)

y = −x2 + 4x − 3, se afirma que: y
I) Intercepta al eje y en (0,−3).

II) Intercepta al eje x en dos puntos.
III) Su vértice es el punto (−2,−7). 0 x
¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es

(son) verdadera(s)?
E) y
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
0 x
D) Solo II y III
E) I, II y III
33

29. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa 30. ¿Cuál de las siguientes funciones definidas
mejor a la función: f(x) = (x + 2)2 + 1? en los reales, tiene como gráfico la parábola
de la figura?
y
A) y
4
2 4 x
0 x
A) g(x) = (x − 3)² + 1
B)
y B) h(x) = −(x − 3)² − 1
C) j(x) = (x − 3)² + 2
D) k(x) = 2(x − 2)(x − 4)

0 x
1
E) m(x) = (x − 2)(x − 4)
2
C)
y 31. Sea la función f definida en los reales,
mediante f(x) = −2(x − 3)(x − 5), entonces
las coordenadas del vértice de la parábola
asociada a su gráfica son:
0 x
A) (4, −2)
B) (4, 2)
C) (4, −1)
D) (4, 1)
D) E) (2, −6)
y
32. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es

FALSA con respecto a la función
0 x f(x) = −(x² + 4) si el dominio son todos los
números reales?
A) La gráfica no intersecta al eje x.

y B) El vértice de la parábola asociada a
E) esta función está en el eje y.
C) El vértice de la parábola asociada a
esta función está en el eje x.
D) Su gráfica tiene al eje y como eje de
0 x
simetría.
E) El valor de x donde alcanza su máximo
es x = 0.
34

33. ¿Cuál de las siguientes funciones definidas 36. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
en los reales, tiene como recorrido es (son) verdadera(s), con respecto a las
los reales menores o iguales que −1? funciones de la forma f(x) = (a − 1)x2 − a con
dominio los números reales?
A) g(x) = (x − 3)² − 1
I) Si a > 1, entonces la gráfica de
B) h(x) = −(x − 3)² + 1
la función es una parábola que
C) j(x) = −(x − 1)² + 2
se abre hacia arriba.
D) k(x) = −(x − 1)² − 2 II) La gráfica de f intersecta al eje de
E) t(x) = −(x − 4)² − 1 las ordenadas en el punto (0, −a).
III) Si a < 1, entonces el mínimo de la
función es −a.
34. Sea f una función cuyo dominio es el
conjunto de los números reales, definida por
A) Solo I
f(x) = a(x − 2)² + 1, con a un número real
distinto de cero. ¿Cuál(es) de las siguientes B) Solo II
afirmaciones es (son) verdadera(s)? C) Solo I y II
D) Solo II y III
I) Si a > 0, el valor mínimo de f se E) I, II y III
alcanza para x = 2.
II) Si a < 0, el recorrido de f es ]−∞, 1]. 37. Sea f una función cuyo dominio es el
III) Si la gráfica pasa por el origen, conjunto de los números reales, definida por
1 f(x) = ax² + (a + 2)x + 2, con a 0.
entonces a = − .
4 ¿Cuál de las siguientes relaciones se debe
cumplir, para que la gráfica de la función
A) Solo I intersecte al eje x en un solo punto?
B) Solo II
C) Solo I y II A) a = −2
D) Solo II y III
B) a=2
E) I, II y III
C) a² − 4a + 4 > 0
35. Se puede determinar la función cuadrática, D) a² − 4a + 4 < 0

definida en los reales mediante f(x) = ax2 + c,
−(a + 2) + √(a + 2) − 8
2
sabiendo que: E)
2a
(1) La gráfica asociada a esta función

38. Sea f una función definida en los reales
pasa por el punto (1,4).
mediante f(x) = x2 − 4bx − 2, con b ≠ 0,
(2) Su mínimo es y = 1. entonces el valor de x donde la función
alcanza su valor mínimo es:
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola A) 2b
C) Ambas juntas, (1) y (2) B) −2b
C) b
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
D) 4b2 + 2
E) Se requiere información adicional E) −4b2 − 2
35

39. ¿Cuál es el conjunto de todos los valores 42. Sea la función cuadrática f(x) = x2 − ax − 2a²
de a, para que la función definida por con a≠0 y dominio el conjunto de los
2
f(x) = (x − a) + 4a, intersecte al eje x en dos números reales. ¿Cuál(es) de las siguientes
puntos? afirmaciones es (son) verdadera(s)?
A) ]0, ∞[ I) La gráfica intercepta al eje x en

B) ]−∞, 0[ dos puntos, para todo valor de a.
C) ]−∞,0] II) El valor mínimo de la función es
D) [0, ∞[ −
9a²
.
4
E) ∅ III) La gráfica asociada a esta
función pasa por el punto
40. La gráfica de la función (−2a, −4a²).
f(x) = (a − 2)x² + 2(a − 1)x + a − 1, con a ≠ 2
y dominio los números reales, intersecta en A) Solo I
dos puntos al eje x, si:
B) Solo II
C) Solo I y II
A) a<1
D) Solo II y III
B) a=1
E) I, II y III
C) a>1
D) a>2
E) a<2 43. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) siempre verdadera(s) con respecto a
la función definida en los reales mediante
41. Sea la función definida en los reales, f(x) = ax2 + bx + c, con a ≠ 0?
mediante f(x) = a(x − h)2 + k, con a≠0.
Se puede determinar el eje de simetría
I) Si b = 0, el mínimo es y = c.
de la parábola que representa a la gráfica
de esta función sabiendo que: II) Si c = 0, uno de los ceros de la
b
función es x = − .
a
(1) h = 3. III) Si b = 0 y c = 0, entonces su
(2) El vértice de la parábola es el gráfico intersecta a los ejes en
punto (3,2). el origen.
A) (1) por sí sola

A) Solo I
B) (2) por sí sola B) Solo II
C) Ambas juntas, (1) y (2) C) Solo I y II
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) D) Solo II y III
E) I, II y III
36

44. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es 46. 2
La función h(t) = pt − 5t , modela la altura
(son) siempre verdadera(s) con respecto (en metros) que alcanza un proyectil al ser
a la función definida en los reales mediante lanzado verticalmente hacia arriba a los t
f(x) = (x − p)2 ? segundos. Se puede determinar esta
función si se sabe que:
I) El vértice de la parábola
asociada a su gráfica está en (1) A los 2 segundos alcanza
el eje x. una altura de 30 metros.
II) La ordenada del punto donde la (2) La altura máxima la alcanza
gráfica intercepta al eje y es a los 2,5 segundos.
positiva.
III) El eje de simetría de la gráfica A) (1) por sí sola
es la recta de ecuación x = p. B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III 47. Las ganancias de una empresa, medidas
E) I, II y III en millones de dólares, se modelan según
la función cuadrática
6 2
G(t) = − (t - 9) + 12 , donde t es la
32
cantidad de años desde que fue inaugurada.
mediante f(x) = x2 − ax + 6, con a ≠ 0. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
Si el valor de x donde la función alcanza su FALSA?
valor mínimo es −2, entonces a =
A) A los 9 años se obtuvo la máxima
A) 4 ganancia.
B) −8 B) Al primer año no obtuvo ganancia.
C) −4 C) A los 8 y a los 10 años obtuvo la
misma ganancia.
D) 4 o −4
D) Después de los 9 años sus ganancias
E) −√32 o √32.
empezaron a disminuir.
E) La ganancia anual siempre fue inferior
a 12 millones de dólares.
37

48. La altura h(t) alcanzada, medida en metros, 49. Se puede determinar el valor numérico
de un proyectil se modela mediante la del máximo de la función cuadrática
función h(t) = 20t − 5t2, donde t es la 2
f(x) = −x + 2ax − a, si se conoce:
cantidad de segundos que transcurren
hasta que alcanza dicha altura. (1) El valor numérico de la abscisa
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es del vértice de la parábola
(son) verdadera(s)?
asociada a la gráfica de esta
función.
I) A los 4 segundos llega al suelo.
(2) El valor numérico de uno de los
II) A los 2 segundos alcanza su
altura máxima. ceros de esta función.
III) Al primer y tercer segundo
después de ser lanzado alcanza A) (1) por sí sola
la misma altura. B) (2) por sí sola
A) Solo I D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
B) Solo II E) Se requiere información adicional
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
RESPUE
RESPUESSTAS C
CAPÍTUL
APÍTULO
O62
1. C 2. E 3. E 4. C 5. C 6. B 7. D 8. D 9. D 10. B
11. B 12. D 13. A 14. A 15. B 16. C 17. D 18. C 19. B 20. D
21. B 22. C 23. C 24. C 25. A 26. C 27. C 28. D 29. B 30. E
31. B 32. C 33. E 34. E 35. C 36. C 37. B 38. A 39. B 40. C
41. D 42. C 43. D 44. D 45. C 46. D 47. E 48. E 49. D
38

Capítulo FUNCIONES
3
Leonhard Euler (1707 – 1783),

matemático suizo, considerado
uno de los matemáticos más
importantes de todos los
tiempos, el número irracional
e=2,71828…, se designa con
esta letra en su honor. Fue el
primero en introducir la notación
f(x) para designar a las funciones.
CONCEPTOS CLAVES
Dominio y Recorrido Traslación de gráficos

Imágenes y preimágenes Función compuesta
Gráficos de funciones
39

CONCEPTO DE FUNCIÓN
Una función f definida de A a B relaciona los elementos de A con los de B, de modo que
(1) Todo elemento de A está relacionado con un elemento de B.

(2) Todo elemento de A se relaciona con un único elemento de B.
A se denomina el conjunto de partida y B el conjunto de llegada, al elemento del conjunto de partida

se llama preimagen y al elemento con que se relaciona de B se llama imagen y se designa con la
letra y.
Si la función la designamos con la letra f, entonces la notación y = f(x) hace alusión que “y” es la
imagen de “x”(o que “x” es la preimagen de “y”). El conjunto de las preimágenes se llama dominio
y el conjunto de las imágenes se llama recorrido.
En un sistema cartesiano, la imagen la pondremos en el eje vertical o eje de las ordenadas
y la preimagen en el eje horizontal o eje de las abscisas.
y y = f(x)
El gráfico de la función está formado por

puntos (x,y) donde y = f(x).
(x, y)
GRÁFICOS DE FUNCIONES IMPORTANTES
Es importante comprender y recordar las gráficas de las siguientes funciones:
• Función lineal y afín

y = mx
y = mx + n
y y
Dom f: ℝ Dom f: ℝ
Rect f: ℝ Rect f: ℝ
x x
f.lineal (pasa por el origen) f.afín (no pasa por el origen)
40

• Función constante y=x
y=k Dom f: ℝ
Rec f: {k}
2
• Función cuadrática (vista en cap. anterior) y = ax + bx + c
y
Dom f: ℝ
2 2
4ac ─ b 4ac − b
Rec f: , ∞ si a > 0 o −∞, si a < 0
x 4a 4a
n
• Función potencia y=x (n ℤ)
y x5x3
y x7
x⁶ x⁴ x²
Dom f: ℝ Dom f: ℝ
+
Rec f: ℝ 0 Rect f: ℝ
x
F. Potencia Par F. Potencia impar
• Función raíz cuadrada y =√x * corresponde a la función inversa de la función cuadrática
+
Dom f: ℝ0
+
Rec f: ℝ0
41

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Supongamos que tenemos las funciones f y g, se denomina la composición f o g, diremos “f” compuesto
con “g”, a la función que resulta de que primero actúa la función “g” y sobre esta imagen obtenida
actúa posteriormente la función “f”.
Por definición, se tiene que (fog)(x) = f(g(x)).
Por ejemplo, supongamos que tenemos las funciones f(x) = x² + x + 5 y g(x) = 2x + 3, entonces
(fog)(x) = f(g(x)), si sustituimos g(x) por 2x + 3, nos queda f(2x + 3), ahora sustituimos 2x + 3 en
la “x” de la función f:
f(2x + 3) = (2x + 3)² + (2x + 3) + 5, desarrollando y reduciendo términos obtenemos que
(fog)(x) = 4x² + 14x + 17.
Ahora calcularemos (gof)(x), tenemos que (gof)(x) = g(f(x)) = g(x² + x + 5) = 2(x² + x + 5) + 3 = 2x² + 2x + 13.
Como habrás observado, en general la composición de funciones no es conmutativa, es decir
(fog)(x) ≠ (gof)(x).
TRANSFORMACIONES A LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES
Veremos a continuación como algunos cambios en la ecuación de una función modifica el gráfico de
esta.
• Traslación vertical
Si en la función y = f(x) le sumamos o restamos una constante positiva “k” a f(x) entonces la
gráfica se traslada respectivamente hacia arriba o hacia abajo en “k” unidades.
Ejemplo:
y
y = √x + 2
y =√x
y =√x − 3
0 x
−3
42

• Traslación horizontal
Si en la función y = f(x) le sumamos o restamos una constante positiva “k” a la variable “x”
entonces la gráfica se traslada respectivamente hacia la izquierda o hacia la derecha en “k”
unidades.
Ejemplo:
y
3 3 3
y = (x + 3) y=x y = (x − 2)
−3 0 2 x
• Reflexión en torno al eje x

Si en la función y = f(x), cambiamos el signo a f(x) entonces la gráfica se refleja en torno al eje x.
Ejemplo:
y x
y=2
x
y = −2
43

• Reflexión en torno al eje y
Si en la función y = f(x), cambiamos el signo de “x” entonces la gráfica se refleja en torno al eje y.
Ejemplo:
y
y = log(−x) y = log(x)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Sea la función f, cuyo dominio es el intervalo [h, ∞[, definida por f(x) = √x − h + 2 .
Si la preimagen de 6 es 4, ¿cuál es el valor de h?
Solución:
Según la información dada, tenemos que f(4) = 6, o bien, que x = 4 si y = 6, reemplazando esto
en la ecuación y = √x − h + 2 , obtenemos 6 = √4 − h + 2 , si transponemos el 2 y elevamos
al cuadrado a ambos lados de la ecuación, se tiene 16 = 4 − h , por lo tanto h = −12.
2. 2 3
Sean las funciones definidas en los reales mediante f(x) = ax y g(x) = ax , con a≠0, ¿cuáles de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Si a > 0 y x < 1, entonces f < g.

II) Las gráficas se intersectan en dos puntos.
III) Si a < 0 y x > 1, entonces g < f.
Solución:
En la siguiente gráfica se muestra el caso en que a > 0, observa que si x < 1, entonces f > g,
luego I es falsa.
g
y f
1 x
44

II) Es verdadera, ya que tanto para a>0 y a<0, las gráficas se interceptan en el (0,0) y en el (1,1).
y
y g
f
1 1
x
1 x −1
g f
Caso a>0 Caso a<0
III) Si a<0 y x>1, observa en la siguiente gráfica que efectivamente g < f, luego III es verdadera.
y
1
x
−1
g f
Conclusión, II y III son verdaderas.
3. Un técnico cobra un costo fijo por la visita a domicilio más un cierto valor por hora trabajada. Se
sabe que por 3 horas cobra $57.000 y por 4 horas $72.000. Determina la función que modela el costo
según la cantidad x de horas trabajadas.
Solución:
Supongamos que por la visita a domicilio cobra $a y que cobra $b por cada hora de trabajo,
entonces el costo por t horas de trabajo está dado por la función C(t)=a+bt.
Tenemos que para 3 horas cobra $57.000, entonces a+3b=57000, por 4 horas cobra $57.000,
entonces a+4b=72.000.
a + 3b = 57000
Resolviendo el sistema de ecuaciones: , obtenemos que b=15.000 y a=12.000,
a + 4b = 72000
luego la función que determina el costo a cancelar por x horas de trabajo es C(x)=12000+15000x.
4. Un modelo para la temperatura T, en grados Celcius (°C), de un líquido está dada por
T(t) = 80 − 2t, donde t es el tiempo transcurrido en minutos.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) A los 12 minutos la temperatura del líquido será de 56 °C.

II) Para que la temperatura del líquido llegue a 0° C se requieren más de 30 min.
III) La temperatura disminuye a razón de 2 °C por minuto.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III 45

Solución:
En I, para obtener la temperatura que habrá a los 12 minutos, basta reemplazar t por 12 en la
función dada: T(12) = 80 − 2 . 12 = 56, por lo tanto I es correcta.
En II, reemplazamos la temperatura por 0 °C, 0 = 80 – 2t, despejando t se obtiene t=40, luego a
los 40 minutos el líquido tendrá 0 °C, luego II es correcta.
La función T(t) = 80 − 2t, es de la forma y=mx+n, es decir es una función afín con pendiente
m igual a −2, esto indica que la variable dependiente, en este caso la temperatura, disminuye 2
°C por cada unidad que aumenta la variable independiente, en este caso el tiempo, luego III
es también es correcta.
Respuesta, E) I, II y III.
x+2
5. Sea la función f definida en los reales, mediante f 2
= x − 6x , entonces f(x)=
3
Solución:
Lo que haremos para resolver esta situación es hacer un cambio de variable.
Para ello a la expresión x + 2 la designaremos con una nueva letra, por ejemplo u, entonces:
3
x+2
u= , en esta ecuación despejamos x, con lo que obtenemos x=3u-2, entonces la expresión
3
x+2 2
= x − 6x , se transforma en f(u) = (3u − 2) − 6(3u − 2) , desarrollando y reduciendo
2
dada f
3
2
términos, obtenemos f(u) = 9u − 30u + 16, ahora cambiamos “u” por “x” y obtenemos
2
finalmente que f(x) = 9x − 30x + 16
6. Sea f una función definida en los reales mediante f(x+2)=2f(x)+5. Si f(6)=59, entonces f(0)=
Solución:
Como acá no tenemos explícitamente la función f, lo que haremos es darnos diversos valores
para “x” de modo de relacionar las preimágenes 0 y 6.
Si nos damos el valor x=4, en la expresión dada podemos formar al lado izquierdo f(6) cuyo
valor conocemos, entonces:
(1) Si x=4 f(6) = 2f(4)+5

(2) Si x=2 f(4) = 2f(2)+5
(3) Si x=0 f(2) = 2f(0)+5
En (1) reemplazamos f(6) por 59 y despejamos f(4) lo cual nos da 27, reemplazamos f(4)=27
en (2) y despejamos f(2) lo que da 11, reemplazando f(2)=11 en (3), despejamos f(0) y obtenemos 3.
Respuesta f(0)=3
46

4. En la figura adjunta se muestra la gráfica
1. 2
Si f(x) = x − 2x − 3, entonces f(2) + f(−1) = de la función f definida en los reales.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones
A) −7 es FALSA?
B) −6 y
C) −3
2
D) 3
E) 5
-2 4 x
2. Sea la función f(x) = 2x + 3, entonces

f(a + b) − f(b) =
A) El máximo de la función es 2.
B) El recorrido de la función es ]−∞ , 2].
A) 2a
C) La imagen de 6 es −1.
B) 2a + 6
D) Las preimágenes de 1 son −1 y 2.
C) 2a − 3
E) Todo elemento del recorrido tiene
D) 2a − b
2 preimágenes.
E) 2a − b + 6
3. Si f(x) = ax + b, ¿cuánto valen a y b 5. Sea la función definida en los reales

respectivamente, si f(2) = −1 y f(3) = −2? mediante f(x)=axn, se puede determinar a
y n sabiendo que:
A) −1 y −1
(1) f(2) = −16
B) −1 y 1
(2) f(3) = −54
C) −2 y −1
D) −2 y 1 A) (1) por sí sola
E) −3 y 5 B) (2) por sí sola
47

6. Sean las funciones f y g que se ilustran en 8. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto
el diagrama siguiente: {2,4,6}, definida por f(x) = x−1, sea g una
f g función con dominio {1,3,5}, definida por
g(x) = x+1 y sea h una función con dominio
1 −1 4 {1,2,3,4,5,6} definida por h(x) = 2x. ¿Cuál(es)
2 de las siguientes afirmaciones es (son)
1 2
3 verdadera(s)?
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es I) 2 no pertenece al dominio de

(son) verdadera(s)? f o (g o h).
II) 2 no pertenece al dominio de
I) gof (2) = 2 g o (f o h).
II) gof (1) = 4 III) 2 no pertenece al dominio de
III) gof (3) = 2 h o (f o g).
A) Solo I A) Solo I
B) Solo II B) Solo II
C) Solo I y II C) Solo I y II
D) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
E) I, II y III
7. Sean las funciones f y g definidas en 9. En la figura se muestra la gráfica de la

los reales mediante f(x) = 2x−1 y g(x) = x2, función f definida en:
entonces ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es FALSA? y
4
A) (g o f)(5) = 81
B) (f o g)(x) = 2x2−1
C) Existe más de un valor de x de modo
que (g o f)(x) = (f o g)(x) 2 6 x
D) El recorrido de (f o g)(x) es el intervalo

[-1, ∞[. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
E) El recorrido de (g o f)(x) es el intervalo FALSA?
[0, ∞[.
A) (f o f) (2) = 2
B) (f o f) (4) = 4
C) (f o f) (1) = 4
D) (f o f) (5) = 1
E) (f o f) (3) = 3
48

10. Sean las funciones f y g definidas en el 13. Sea la función f definida por f(x) = √2x + k ,
conjunto de los números reales mediante k ,
2 cuyo dominio es el intervalo − ∞ . Si la
f(x) = x si x>1 y 2x − 3 si x 1 ; g(x) = −x+2 2
2
si x>0 y 3x − 2 si x 0 preimagen de 5 es 11, ¿cuál es el valor de k?
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)? A) −17
B) 1
I) fog(2) = −3
C) 3
II) gof(3) = −7
D) 14
III) go(fog)(−1) = 1
E) 111
A) Solo I
B) Solo II 14. ¿Cuál de las siguientes gráficas
C) Solo I y II representa mejor a la gráfica de la función
D) Solo II y III f(x)= −√ 2 − x + 3?
y
E) I, II y III
A) 3
11. Si f y g son funciones definidas en el

-2 x
conjunto de los números reales mediante

f(x + 2) = 3x + 1 y g (x + 2) = 2x − 1, entonces
y
(f o g)(x) =
B) 3
A) (3x − 1)(2x − 3)
-2 x
B) 6x − 20
C) 6x − 6
D) 6x − 5 y
E) 6x − 15
C) 3
12. Sean f y g funciones definidas en los reales, 2 x

se puede determinar (fog)(5), sabiendo
que:
y
(1) g(5) = −10 y f(−10) = −3.

D) 3
(2) (fog)(2x+1) = −4x+5
x
2
A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola y
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 3
E) Se requiere información adicional E)
2 x 49

15. Sea la función f definida por f(x)= −√ x − 2 −3, 17. Sean las funciones f(x) = x3 y g(x) = x2
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones definidas en los números reales,
es (son) verdadera(s)? ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I) El dominio de f es el intervalo [2 , ∞[.
II) El recorrido de f es el intervalo I) Sus gráficas se intersectan
]−3 , ∞[. en dos puntos.
III) El mínimo valor que alcanza f es -3.
II) Si x < 1, entonces f g.
III) Si p > 1, entonces la preimagen
A) Solo I
B) Solo II de p según f es mayor que la
C) Solo I y II preimagen según g.
D) Solo II y III
E) I, II y III A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
16. Sea f una función, con dominio el conjunto
de los números reales, definida por D) Solo II y III
4
f(x) = (x+2) + 1. Si m, n, p, q y r son E) I, II y III
funciones, todas con dominio el conjunto de
los números reales, ¿con cuál de las
siguientes traslaciones se obtiene la gráfica 18. Sean las funciones f y g definidas en los
de f? 3
números reales, mediante f(x)= x − 1 y
2
4
A) Trasladar la gráfica de m(x) = x + 1, 2g(x)−3x+5=0, ¿cuál(es) de las siguientes
dos unidades horizontalmente hacia
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
la derecha.
4
B) Trasladar la gráfica de n(x) = (x+3) + 1,
una unidad horizontalmente hacia la I) Sus gráficas corresponden a
izquierda. rectas paralelas.
C) Trasladar la gráfica de p(x) = x4, dos II) La gráfica de f(x) – g(x)
unidades horizontalmente hacia la corresponde a una recta
derecha y una unidad verticalmente
paralela al eje x.
hacia arriba.
D)
4
Trasladar la gráfica de q(x) = (x+2) + 4, III) 5f(x) – 2g(x) corresponde a una
tres unidades verticalmente hacia función lineal.
arriba.
4
E) Trasladar la gráfica de r(x) = (x+4) + 5, A) Solo I
dos unidades horizontalmente hacia
B) Solo II
la derecha y cuatro unidades
C) Solo I y II
verticalmente hacia abajo.
D) Solo II y III
E) I, II y III
50

19. Una función lineal f es de la forma f(x) = px, 21. En una piscina hay 1.500 litros y el desagüe
con p≠0, definida en el conjunto de los bota medio litro por minuto.
números reales. La función que describe la cantidad de litros
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones (L) que habrá en la piscina a las “x” horas
después de abrir el desagüe es:
es (son) siempre verdadera(s)?
x
A) L(x) = 1500 −
I) La imagen de p es un número 120
real positivo. x
B) L(x) = 1500 −
2
II) La imagen de una suma es igual
a la suma de las imágenes. C) L(x) = 1500 − 30x
III) La imagen de un producto es
igual al producto de las imágenes. D) L(x) = 1500 − 120x
E) L(x) = (1500 − 30)x

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II 22. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s) con respecto a la
D) Solo II y III 2
función f definida por f(x)=x − 9, para x>3?
E) I, II y III
I) Modela el área de un rectángulo
de lados (x+3) cm y (x-3) cm.
20. Sean f una función definida en los reales
II) Modela el área que resulta
mediante f(x)=√x − h − k , se puede
de restar el área de un cuadrado
determinar el valor numérico del mínimo
de lado 3 cm al área de un
de la función, sabiendo:
cuadrado de lado x cm.
III) Modela el área que resulta de
(1) El valor numérico de f(h).
restar el área de un cuadrado
(2) El recorrido de la función. de lado √5 cm al área de un
rectángulo de lados (x+2) y (x-2) cm.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola A) Solo I
C) Ambas juntas, (1) y (2) B) Solo II
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) C) Solo I y II
E) Se requiere información adicional D) Solo II y III
E) I, II y III
51

23. Un pediatra indica que hay que administrarle 25. Para el envío de un paquete, la empresa
a un niño 0,025 gramos de un medicamento “Tunquén” cobra un cargo fijo de $1.500
por cada kilo que este tenga. Según esto, más $300 por kilómetro recorrido, mientras
¿cuál de las siguientes funciones modela la que la empresa “TransCargo” cobra $400
cantidad de gramos que habría que por cada kilómetro recorrido. ¿Cuál(es) de
administrarle a un niño que pesa m gramos? las siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)?
A) m . 0,025
I) Si el envío es inferior a 15
m
B) kilómetros es más económico
0,025
Transcargo.
C) 1000 . m . 0,025
II) Para 15 kilómetros, ambas
m . empresas cobran lo mismo.
D) 0,025
1000 III) Si el envío es superior a 15
E) 0,025 . 1000 kilómetros es más económico
m Tunquén.
A) Solo I
24. En una casa hay un desperfecto en el baño,
para su reparación se piden presupuestos B) Solo II
a los maestros Juan y Pedro. Juan cobra C) Solo I y II
una UF por la visita más 0,2 UF por hora
D) Solo II y III
de trabajo, mientras que Pedro cobra
0,3 UF por hora trabajada. ¿Cuál de las E) I, II y III
siguientes afirmaciones es FALSA?
26. La población p(t) de peces en una piscina

A) Si el trabajo es inferior a 3 horas,
de cultivo se ha modelado según la función:
Pedro es más económico. t
3 , donde t es la cantidad de
B) Si el trabajo duró 12 horas, Juan es p(t) = 50 .
2
el más económico. meses transcurridos. ¿Cuál(es) de las
C) Si el trabajo dura 10 horas, ambos siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
cobran lo mismo.
I) Al inicio habían 75 peces.
D) Si el maestro contratado fue Juan
II) A los dos meses habían menos
y cobró 2 UF, entonces trabajó 5 horas. de 120 peces.
E) Para trabajos inferiores a 10 horas, III) A los tres meses su población
Juan es el más económico. inicial se habrá más que triplicado.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
52

27. La temperatura T medida en grados Celcius 29. En el siguiente gráfico se ilustra la temperatura
(°C) de una habitación se modela a través T(t) de una habitación entre las 8 y las 18
de la función T(t) donde t es la cantidad de horas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones
horas transcurridas desde el momento que se es FALSA?
inició la medición.
Temperratura (°C)
Si T(t) = 18 + 2t , con 0 t < 6 y T(t) = 54 − 4t,
20
con 6 t 10, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)? 12
10
I) La temperatura subió 2 °C por hora

durante las seis primeras horas y 8 12 18 hora (t)
después bajó 4 °C por hora durante
las siguientes 4 horas. A) La función que modela la temperatura
II) El máximo de la temperatura entre las 8 y 12 horas es T(t) = 2,5t−10.
alcanzada durante la medición
B) A las 10 la temperatura de la
fue 30° C.
III) El mínimo de la temperatura habitación era de 15° C.
alcanzada durante la medición C) La función que modela la temperatura
fue 18° C. entre las 12 y 18 horas es
4
T(t) = − t + 36 .
3
A) Solo I
D) Entre las 8 y las 12 horas la
B) Solo II
temperatura sube 2,5° C por hora.
C) Solo I y II
E) A las 15 horas la temperatura era
D) Solo II y III
superior a los 16° C.
E) I, II y III
30. En una empresa, el costo de producir una

28. Una persona deposita $p en un banco que
cierta cantidad de artículos, comprende
ofrece un interés mensual de 0,5%.
un costo fijo más un costo por cada
Si el capital se reajusta todos los meses,
artículo. Si se sabe que el costo de producir
¿cuál de las siguientes funciones determina
20 artículos es $512.000 y el costo de
el capital reajustado C(t) después de t meses?
producir 40 artículos es $524.000, ¿cuál de
las siguientes funciones, modela el costo
A) C(t) = 1,005 ∙ p ∙ t C(x) de producir x artículos?
B) C(t) = (1,05)t ∙ p
C) C(t) = (1,005)t ∙ p A) C(x) = 600x

B) C(x) = 500000x
D) C(t) = p(1 + 0,005t)
C) C(x) = 500000+600x
E) C(t) = (0,005)t ∙ p
D) C(x) = 500600x
E) C(x) = 600+500000x
53

31. El nivel del agua en un estanque cilíndrico 32. A una función teatral asisten 120 personas
es de h metros y baja en forma continua donde todas ellas cancelaron su entrada.
q metros por hora, ¿cuál de las siguientes Si los adultos pagaron 50 US$ y los
afirmaciones es FALSA? estudiantes 20 US$, ¿cuál de los siguientes
gráficos representa mejor la recaudación
A) La función que modela la altura H obtenida, si x es la cantidad de estudiantes
que asistieron?
del agua en el estanque (en m) a
y
las x horas es H(x) = h−qx.
A) 6000
B) La cantidad de horas que hay que

2400
esperar para que la altura baje a
la mitad es h . 20 x
2q
y
h
C) Después de horas no habrá agua 6000
q
en el estanque. B)
2400
D) A los 45 minutos la altura del agua
20 x
será 4h − 3q .
4
y
E) Para que la altura original del agua se 6000

C)
reduzca en un 10% hay que esperar
9h horas.
10q
20 x
6000
D)
120 x
6000
E)
2400
120 x
54

33. Si f es una función definida en los reales tal 36. Sean las funciones f y g, ambas con
x+1 dominio en los números reales, definidas
que f = x −1, entonces f(x+1) =
2 por f(x)=ax2 y g(x)=ax3, con a un número
real distinto de cero, ¿cuál(es) de las
A) x+1 siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
B) 2x − 2
C) 2x + 1 I) Si a>0 y 0<x<1, entonces
D) 2x f(x) > g(x).
II) Si a<0 y x<0, entonces f(x) < g(x).
E) 2x − 1
III) Las gráficas de f y g se intersectan en
dos puntos.
A) Solo I
x−5 B) Solo II
mediante f = x+1, entonces f(3) =
1−x
C) Solo I y II
D) Solo II y III
A) −3 E) I, II y III
B) −2
C) 3
D) 2
37. Sean las funciones f y g con dominio
E) 1 en los números reales, definidas por
4
f(x) = x y g (x) = x2, ¿cuál(es) de los siguientes
conjuntos cumple(n) con que todos sus
elementos satisfacen la desigualdad
35. Sea f una función definida en los reales,
f(x) < g(x)?
mediante f(x + 2) = 2f(x) + 3, Si f(8) = 61,
entonces f(4) = I) [−1 , 0[
II) ]0 , 1]
A) 3 III) ]−1 , 1[
B) 5
C) 6,5 A) Solo I
B) Solo III
D) 13
C) Solo I y II
E) 30,5
D) Solo II y III
E) Ninguno de ellos.
RESPUE
RESPUESSTAS C
CAPÍTUL
APÍTULO
O73
1. C 2. A 3. B 4. E 5. C 6. E 7. C 8. D 9. D 10. E
11. B 12. D 13. C 14. E 15. A 16. E 17. C 18. E 19. C 20. D
21. C 22. E 23. D 24. E 25. E 26. D 27. C 28. C 29. E 30. C
31. E 32. E 33. D 34. C 35. D 36. E 37. E
55

TIPOS DE FUNCIONES
Capítulo Y FUNCIÓN INVERSA
4
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

matemático, jurista, bibliotecario y político
alemán.
El término “función” se le atribuye a él,
este lo utilizó para designar a cantidades
cuyas variaciones están regidas por alguna
ley, concepto que no coincide con la
definición actual.
Leibnitz y Newton, alguno de los
matemáticos más importantes de todos
los tiempos, contribuyeron enormemente
al desarrollo del concepto de función.
CONCEPTOS CLAVES
Función inyectiva o uno a uno Función inversa

Función epiyectiva o sobreyectiva Gráfico de función inversa
Función biyectiva
56

TIPOS DE FUNCIONES
Veremos ahora algunos tipos especiales de funciones, estas son las inyectivas, epiyectivas y
las biyectivas.
• Funciones inyectivas
Las funciones inyectivas se caracterizan porque a imágenes distintas le corresponden preimágenes
distintas, es decir no puede ocurrir que dos elementos del conjunto de partida tengan una misma
imagen.
En el siguiente diagrama sagital, podemos observar que la función f es inyectiva mientras que
la g no, debido a que el 5 y el 6 tienen la misma imagen.
f g
A B A B
1 6 1 6
5 2 9
9 5
2
6 8 6 8
La función f es inyectiva, La función g NO es inyectiva,

ya que a preimágenes distintas ya que a preimágenes distintas
le corresponden imágenes distintas. NO le corresponden
imagenes distintas.
En un gráfico cartesiano, las funciones inyectivas se pueden reconocer por lo siguiente:

y
Una función es inyectiva si al trazar líneas paralelas al eje

x
x, cada una de ellas corta al gráfico en un solo punto.
L En la figura, cada recta L corta a la gráfica en un solo punto,
por lo tanto la gráfica corresponde a una función inyectiva.
L
L Esta función no es inyectiva, algunas líneas horizontales

L
están cortando al gráfico en más de un punto. Esto se
traduce en que x1 y x2 tienen la misma imagen.
x2 x1 x
57

3
y=x
y
Las funciones potencia de exponente impar, es

x n
decir funciones del tipo f(x)=x , con n impar positivo
son inyectivas.
Ejemplo de funciones no inyectivas:

y
y=x⁶ y=x⁴
y=x²
Las funciones potencia de exponente
n
par, es decir funciones del tipo f(x)=x ,
con n par positivo no son inyectivas.
Cuando una función no es inyectiva podemos restringir su dominio para que lo sea, por ejemplo
2
la función f(x)=x definida en los reales no es inyectiva, pero si restringimos la función para x 0,
resulta ser inyectiva:
2
y y=x
Observa que la función f(x)=x2, definida
para x 0, resulta ser inyectiva, es decir
restringiendo el dominio de una función
podemos lograr que sea inyectiva.
58

• Funciones epiyectivas
Las funciones epiyectivas se caracterizan porque todo elemento del conjunto de llegada tiene
alguna preimagen.
r s
A B A B
1 6 1 6
5 2 5 9
3
8 6 8
6
La función r es epiyectiva La función s NO es epiyectiva

ya que todos los elementos del ya que NO todos los elementos del
conjunto de llegada tienen conjunto de llegada tienen
preimagen. preimagen.
En un plano cartesiano, una función epiyectiva se caracteriza porque si trazamos una línea paralela
al eje x por todo elemento del conjunto de llegada, esta debe cortar al gráfico en por lo menos un
punto.
Por ejemplo, la función f(x) = x4 definida de ℝ ℝ no es inyectiva, ya que los números

negativos no tienen preimagen.
L x
L
L
Al igual que en el caso de las funciones inyectivas, podemos restringir, en este caso el conjunto
de llegada, para que las funciones se transformen en epiyectivas.
Por ejemplo, la función anterior, f(x)=x4, si la definimos de ℝ [0 , ∞[ resulta ser epiyectiva.
59

• Funciones biyectivas
Son aquellas funciones que son inyectivas y epiyectivas a la vez.
Ejemplos de funciones biyectivas:
n
y=x
y
x Funciones potencia de exponente impar
y
y=mx+n
Las funciones lineales y afines son biyectivas.
Por lo ya visto anteriormente una función se puede restringir en su dominio y en su conjunto

de llegada para que sea biyectiva.
Una de las propiedades importantes de las funciones biyectivas es que su inversa es también
función.
FUNCIÓN INVERSA
Sea una función f definida del conjunto A al conjunto B, de modo que la imagen de x es y, entonces
la función inversa hace el proceso contrario, es decir la imagen de y es x.
Como mencionamos anteriormente, se requiere que la función f sea biyectiva, para que la inversa
sea también función.
• Determinación algebraica de la función inversa

Veamos esto con un ejemplo:
Supongamos que tenemos la función f definida para los reales mediante f(x)=√x−1 + 2 con f
definida de [1 , ∞[ [2 , ∞[.
60

De la ecuación y=√x−1 + 2, despejamos la variable x, para ello transponemos el 2 y elevamos
a ambos lados de la ecuación:
2
y − 2 = √x−1 /( )
x = (y−2)2+1
Ahora cambiamos y por x y viceversa:

y = (x−2)2+1, con lo que obtenemos la inversa de la función dada.
Tal como se observa en la siguiente gráfica la función debió ser definida de [1, ∞[ [2, ∞[,
para que sea biyectiva y de esta forma la inversa también es función.
y
1 x
Si f hubiese sido definida de [1 , ∞[ ℝ , la inversa tendría el inconveniente que los menores

que 2 no tendrían imagen debido a que no es epiyectiva.
Como ya lo mencionamos, siempre se puede restringir el conjunto de llegada al recorrido de

la función, de esta forma se convierte la convertimos en una función epiyectiva.
• Gráfica de la función inversa

El gráfico de una función y la de su inversa son simétricos con respecto a la recta de
ecuación y=x.
-1 3
Por ejemplo, en la gráfica siguiente se observan las funciones f(x)=x3 y su inversa f (x) = √x .
3
y f(x)=x y=x
-1 3
f (x)=√x
61

-1 2
Observa como la función del ejercicio anterior: f(x)=√x−1 + 2 y su inversa f (x)=(x-2) +1 tienen sus
gráficas simétricas respecto a la recta de ecuación y=x.
-1 2
f (x)=(x-2) +1 y=x
y
f(x)=√ x − 1+2
2
1
1 2 x
Como veremos a continuación, cuando calculamos la inversa de una función a la cual hemos
restringido el dominio para convertirla en inyectiva, pueden surgir algunas dificultades, las que
explicaremos a continuación con el desarrollo del siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Caso 1
Sea la función f(x)=x2, con x 0, entonces tenemos que y=x2, al queremos despejar la “x”, tenemos
dos posibilidades: x= √ y , pero como x 0, desechamos el valor negativo, se tiene entonces que
-1
x=√ y , ahora intercambiamos x por y y viceversa y obtenemos la inversa f (x)=√x
Geométricamente, tendríamos lo siguiente:
2
f(x)=x
y
y=x
-1
f (x)=√ x
2 x
inversa de f(x)=x
con x 0
62

Caso 2
Sea la función f(x)=x2, con x 0, entonces tenemos que y=x2, al queremos despejar la “x”, tenemos
dos posibilidades: x= √ y , pero como x 0, desechamos el valor positivo, se tiene entonces que
-1
x=−√ y , ahora intercambiamos x por y y viceversa y obtenemos la inversa f (x)=−√x
2
f(x)=x
y
y=x
-1
f (x)=−√ x
2
inversa de f(x)=x
con x 0
Caso 3
2
Sea la función f(x)=−x2, con x 0, entonces tenemos que y = −x , al queremos despejar la “x”, tenemos
dos posibilidades:x = √ −y , pero como x 0, desechamos el valor negativo, se tiene entonces que
x = √ −y , ahora intercambiamos x por y y viceversa y obtenemos la inversa f (x) =√ −x
-1
-1
y
f (x)= √ −x
y=x
f(x)=−x
2
inversa de f(x)= −x ,
2
con x 0
63

Caso 4
2 2
Sea la función f(x)=−x , con x 0, entonces tenemos que y=−x , al queremos despejar la “x”, tenemos
dos posibilidades:x = √ −y , pero como x 0, desechamos el valor positivo, se tiene entonces que
x =−√ −y , ahora intercambiamos x por y y viceversa y obtenemos la inversa f (x) =−√ -x
-1
y
y=x
-1
f (x)= −√ −x
2
f(x)=−x
inversa de f(x)= −x ,
2
con x 0
1. Sea f: A B, ¿cuál de las siguientes funciones NO es inyectiva?
2
A) (x−2) +1, con A=[3 , ∞[
4
B) x +1, con A=]−∞ , −1]
4
C) (x+3) −2, con A=]−∞ , −4]
D) 3x+1, con A=]−∞ , −2]
6
E) −(x-4) +3, con A=[3 , ∞[
Solución:
Para resolver este ejercicio, ocuparemos las gráficas de las respectivas funciones.
2
A) La gráfica de f(x)=(x-2) +1, se muestra a continuación, observa que para x 3, las rectas
paralelas al eje x la cortan en un solo punto, luego es inyectiva.
2 3 x
64

B) Al igual que en el caso anterior, al trazar paralelas al eje x, estas cortan al gráfico en un solo
punto, luego es inyectiva.
-1 x
C) Para x −4, las rectas paralelas al eje x cortan a la grafica en un solo punto, luego es inyectiva.
y
-3
x
-2
D) Por ser la función f(x)=3x+1 una función afín su gráfico es una recta, luego es inyectiva.
E) Observa en la gráfica que para valores de x 3, las rectas paralelas la cortan en más de
un punto, luego no es inyectiva para este dominio.
3 4 x
65

2. Sea f: ] −∞ , −2]
2
B una función definida mediante f(x) = (x+2) , ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) f no es inyectiva.
II) Si B es [0 , ∞[ entonces f es epiyectiva.
-1
III) Si f es biyectiva, entonces su inversa es f (x) = −√x − 2, con x en B.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
Solución:
2 2
Sabemos que el gráfico de f(x)=(x+2) , corresponde a la gráfica de g(x)=x , desplazado 2
unidades hacia la izquierda:
y
-2 x
Como el conjunto de partida es el intervalo es el intervalo ]-∞ , 2], la gráfica corresponde a la

rama izquierda de la parábola y en este sector la función es inyectiva, ya que al trazar líneas
paralelas al eje x, cada una de ellas intersecta al gráfico en un solo punto.
y
-2 x
Por lo tanto I es falsa.

En el gráfico, observa que el recorrido corresponde al intervalo [0 , ∞[, como en II se definió
el conjunto de llegada justamente como este intervalo, tenemos que la función es epiyectiva,
luego II es verdadera.
En III, tenemos que la función es biyectiva por lo tanto su inversa también es función.
2
Para determinar la inversa de y = (x+2) , aplicamos raíz cuadrada a ambos lados:
x = √ y −2, pero sabemos que x −2, por lo tanto x = −√ y −2, ahora cambiamos x por y,
y viceversa: y = −√ x −2 , de modo que III también es verdadera.
66 Respuesta, D) Solo II y III.

1. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones es 2. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones
(son) inyectivas? es (son) epiyectiva(s)?
f f
A B A B
1 1
I) 6 I) 6
5 2
8 8
7
4
f f
A B A B
II) 1 2 II) 6
1
3 7 8
2
5
1
9 4 7 9
f f
A B A B
III) III) 1
1 2
3 7 3
7
9 4 9
A) Solo I A) Solo I
B) Solo II B) Solo II
C) Solo III C) Solo I y III
D) Solo I y III D) Solo II y III
E) Solo II y III E) Ninguna de ellas.
67

3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones 4. Los siguientes gráficos corresponden a
es (son) verdadera(s) con respecto a las funciones definidas de [a,b] B, ¿cuál(es)
funciones f, g y h que se presentan a
de ellos corresponden a funciones inyectivas?
continuación?
f g y
A B A B
1 5 6
5
3 6 I)
5 2 1
7 a b
8 x
7 2 8
h y
A B
1 II)
7
3 1
a b x
9 2
y
I) f y h son inyectivas. III)
II) g y h son epiyectivas.

-1 a b x
III) h es función.
A) Solo I A) Solo II
B) Solo III B) Solo III
C) Solo I y II C) Solo I y III
D) Solo II y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
68

5. Los siguientes gráficos corresponden a 6. Sea f: A B, una función epiyectiva cuyo
funciones definidas de [a,b] [c,d], diagrama sagital es el siguiente:
¿cuál(es) de ellos corresponden a
funciones epiyectivas? f
A B
y
1 4
I) d
3
c 5 7
a b x
y
Si f(5) = a, ¿cuál de las siguientes condiciones
se debe cumplir para que f sea inyectiva?
II) d
c
(1) a≠4
a b x (2) a≠7
y A) (1) por sí sola

d
III) B) (2) por sí sola
c
a b x D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
A) Solo II
B) Solo III
7. Si en la figura adjunta se muestran las
C) Solo I y II -1
funciones f y g, entonces (f o g )(4)=
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas f g
3 6 5
5 4
4
3 3
2
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) Falta información para determinarlo.
69

-1
10. Sean f y g funciones definidas en los reales
mediante f(x)=2x−1, entonces f(3) + f (3)= 2x + 1
mediante f(x) = y g(x) = 3x−1,
3
A) 0 ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
B) 3
C) 7 -1 3x − 1
I) f (x) =
2
D) 8
-1 x+1
26 II) g (x) =
E) 3
5
-1 3x + 1
III) (f o g) (x) =
6
9. Sea f: [ 2 , ∞[ B definida mediante

f(x)=2√x − 2 − 3, si f es biyectiva, entonces A) Solo I
la inversa de f es: B) Solo II
C) Solo I y II
2
x+3 D) I, II y III
A) − 2, con x en B.
2
2
x+3
B) + 2, con x en B.
2
11. Sean f y g funciones definidas en los reales
x+1
2 mediante f(x) = 2x+1 y g(x) = ,
x−3 2
C) − 2, con x en B.
2 ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
2
x+2 -1 x−1
D) + 3, con x en B. I) (f o g)(x) =
3 4
-1 x+1
II) (g o f )(x) =
x+3
2 4
E) 2. , con x en B.
2 -1 -1
III) (f o g )(x) = x−1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
70

12. Sea f: [4 , 12] B definida por f(x) = √x − 3 +2, 15. Las siguientes funciones están definidas de
¿cuál de los siguientes conjuntos debe ser A [0 , ∞[, ¿cuál de ellas NO es epiyectiva?
el que corresponda a B para que f sea
epiyectiva? 2
A) (x − 8) , con A = ℝ
B) √x + 4 , con A = [−4 , ∞[
A) [2 , 5]
x
B) [3 , 5] C) 5 , con A = ℝ
C) [3 , ∞[ D) √ (x + 3)2 , con A = ℝ
D) [2 , ∞[ E)
4
(3x−1) , con A = ℝ
+
E) ℝ
13. Sean las siguientes funciones definidas de 16. Las siguientes funciones están definidas de
A B, ¿cuál de ellas NO es inyectiva? A B , ¿cuál de ellas NO es inyectiva?
2
A) (x − 2) + 3, con A = [3,∞[ A)
2
f(x) = −(x−1) + 4, con A = [−3 ,1].
2
B) (x + 1) + 2, con A = ]−∞,−2] 4
B) f(x) = 2(x+1) − 3, con A = [0 , ∞[.
4
3
C) − x+ −2, con A = ]−∞,−2]
2 3x − 1 2
C) f(x) = + 1, con A = [0,2[.
D)
4
(x − 4) − 10, con A = [3,∞[ 2
f(x) = −(1−2x) +1, con A = −∞ , 1

4
E)
3
√x − 3 + 6, con A = [−3,∞[ D)
4
5
E) f(x) = 2(x−1) − 3, con A = [0,2].
14. Sean las siguientes funciones, ¿cuál de ellas

es inyectiva? 17. Sea f: [p,q] B, definida por f(x)=x , se
2
puede determinar que f es inyectiva,

A) √ 1 − x2 , con -1 < x < 1 sabiendo que:
4
x +1
B) 2 , con x ≠ 0 (1) pq > 0
x
+
1+x
2
2
(2) B=ℝ {0}
C) 4 , con x ≠ 1
1−x
D)
x2
3 − 1, con x > 0 A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
E) Ninguna de ellas. C) Ambas juntas, (1) y (2)
71

18. Sea f: ℝ [0 , ∞[ definida mediante 20. El siguiente gráfico corresponde al de la
función f:
f(x) = √ (x − 1) , ¿cuál(es) de las siguientes
2
y
afirmaciones es (son) verdadera(s) con
respecto a esta función?
f
I) Es inyectiva. x
II) Es epiyectiva.
III) La inversa es función.
A) Solo I ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde

B) Solo II -1
al de la función f ?
C) Solo I y II
y
D) I, II y III
A) 1
f
x
19. El gráfico de la figura corresponde al de la
función f: A B, definida mediante
2
f(x)= −(x−3) +4, ¿cuál(es) de las siguientes y
afirmaciones es (son) verdadera(s)? 1
f
y B)
x
4
3
2
1
y
1 2 3 4 x f1
C)
x
I) Si A=[1,4] y B=[0,4], entonces
f es inyectiva.
II) Si A=[1,4] y B=[0,4], entonces y f1
f es epiyectiva. D)
III) Si A=[2,3] y B=[3,4], entonces x
f es biyectiva.
A) Solo I y
B) Solo II f1
E)
C) Solo I y II
x
D) Solo II y III
72
E) I, II y III
21. Si el gráfico de la figura corresponde al de 22. El gráfico de la figura corresponde al de
-1
f , ¿cuál de las siguientes gráficas la función biyectiva f. ¿Cuál de los siguientes
-1
corresponde al de f? gráficos corresponde al de f (x)?
y y
9
-1
f
1 -3
4 x x
y
9
A)
y
f
3
1 4 x
A)
x
y
f
4
B) y
1 9 x
B)
y x
-3
C)
-4 -1 x
y
f
-9
C)
x
-3
1
D) 4 y
x
f
-9
D)
3 x
y
1 y
E) -4 x
f 3
E)
-9
x
73

23. Sea la función f definida en los números 24. Sea la función f definida en los reales
reales mediante f(x)=ax+a con a un número x−2
mediante f(x) = , ¿cuál de los siguientes
real positivo. ¿Cuál de los siguientes gráficos 2
corresponde al gráfico de la inversa de f? gráficos representa mejor al de su inversa?
y y
A) 1 1
A)
-a x x
-2
B) a y
-1 x
2
B)
y -1 x
C)
1
y
a x
C) 2
y
1 x
D)
-a x
-1 y
y D) x
-2
E)
a x
-1
y
E)
-2 x
-1
74

25. Sea la función f definida en los reales 27. Sea la función f(x) = mx+n definida en los
mediante f(x) = px+q con p≠0, p≠-1 y p≠1. reales, ¿cuál de las siguientes afirmaciones
-1
¿Para qué valor de x se tiene que f(x) = f (x)?
es FALSA?
q
A)
p−1 A) Si m≠0, entonces f es inyectiva.
q B) Si m=0, entonces f no es inyectiva.
B)
1−p
C) Si m≠0, entonces f es biyectiva.
−q -1 1
C) D) Si m≠0 y n=0, entonces f (x)= x.
p+1 m
E) Si m≠0 y n≠0, entonces la inversa
q
D) podría ser una función lineal.
p+1
E) No existe tal valor.

28. Sea f: A B, definida por f(x) = −(x +2) +4.
4
¿Si los siguientes conjuntos corresponden

al conjunto A, para cuál de ellos la función
b NO es inyectiva?
26. Sea f:
a
,∞ B una función definida por
A) ]−2 , 5]
f(x) = √ax − b, con a>0, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
B) ]−5 , −2]
+
I) Si B = ℝ entonces f es epiyectiva.
C) ]−∞ , −1]
II) f es inyectiva independiente de B.
5
III) Si f es biyectiva, su inversa es D) −6, −
2
-1 x2 + b
f (x) =
a E) Para ninguno de ellos.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
75

29. Sea la función f: A B, definida por f(x) = (x−2)2, 31. Sea f una función afín. En la siguiente tabla
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones se muestran algunos valores de x y sus
es (son) verdadera(s)? correspondientes imágenes (y):
I) Si A = ]−∞, 0], entonces f es x y

inyectiva. 3 2
5 -2
II) Si A = ℝ y B = [0, ∞[ , entonces
f es sobreyectiva. ¿Cuál de las siguientes funciones
III) Si A = ]−∞, 2] y B = [0, ∞[ entonces corresponde a la inversa de f?
-1
su inversa es f (x) = 2−√x con
A) −2x+8
x en B.
x+8
B)
A) Solo I 2
B) Solo II 8−x
C)
C) Solo I y II 2
D) Solo I y III x−8

D)
2
E) I, II y III
x + 16
E)
8
30. Sea g: [1, 3] [1, 5] , definida por

2
g(x)=(x−3) +1, ¿cuál(es) de las siguientes 32. -1
Si f la inversa de f, cumple con que
afirmaciones es (son) verdadera(s)? -1
f (x-2) = 2x+3, entonces f(x) =
I) g es inyectiva. x−4
A)
II) g es epiyectiva. 2
III) Si g es biyectiva, entonces x+5
-1 B)
g (x) = 3 + √x − 1, con x 2
perteneciente a [1 , 5].
C) 2x + 7
A) Solo I x−5
D)
B) Solo III 2
C) Solo I y II x−7
E)
D) Solo I y III 2
E) I, II y III
76

33. Sean f y g dos funciones tales que 35. Sean f y g dos funciones definidas de los
-1
f(x + 2) = 3x − 1 y g (x−2) = 2x + 3, entonces reales, mediante f(x) = mx + n y g(x) = nx + m.
(fog)(5) = Se puede determinar que g es la inversa de
f sabiendo que:
A) −10
B) −7 (1) m = −1
C) −5 (2) n=−1
D) −3
E) 5 A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
34. Sea f(x)= −√x, definida para x 0. Si f es C) Ambas juntas, (1) y (2)
-1
biyectiva, entonces f (x)= D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
2
A) x , si x es un real.
2
B) x , si x 0.
2
C) −x , si x>0
2
D) x si x 0
2
E) −x si x 0
RESPUE
RESPUESSTAS C
CAPÍTUL
APÍTULO
O84
1. E 2. C 3. E 4. D 5. C 6. C 7. D 8. C 9. B 10. D
11. E 12. B 13. D 14. D 15. C 16. C 17. A 18. B 19. D 20. C
21. B 22. B 23. E 24. B 25. B 26. E 27. E 28. C 29. E 30. C
31. C 32. E 33. A 34. D 35. C
77

DESIGUALDADES E INECUACIONES
Capítulo
5
El primer matemático que introdujo los símbolos de desigualdad “>” (mayor que) y “<”
(menor que) fue Thomas Harriot (1520-1621) en su manuscrito "Artis analyticae praxis", el
cual fue publicado después de su muerte.
Los símbolos que aparecieron en la publicación se muestran en la figura, pero se cree que
los editores modernizaron los símbolos originales ya que estos eran curvos parecidos a
cuernos.
CONCEPTOS CLAVES
Desigualdades Inecuaciones
Intervalos Gráfico
78

DESIGUALDADES
Una desigualdad es una expresión que utiliza los símbolos “>” (mayor), “<” (menor), “ ” mayor o
igual o “ ” menor o igual.
Las desigualdades cumplen las siguientes propiedades:
1. Si se suman dos desigualdades de un mismo sentido se obtiene una desigualdad del mismo
sentido.
a<b a b
c<d → a+c<b+d c<d →a+c<b+d
2. Si se suma o resta un número a ambos lados de una desigualdad, esta se conserva.

a 0 → ac < bc ; a ≤ b y c > 0 → ac bc
4. Si se multiplica o divide a ambos lados de una desigualdad por un número negativo, esta se
invierte.
a b
a bc ; a ≤ b y c < 0 →
c c
PROPIEDADES CON DESIGUALDADES EN LOS NÚMEROS REALES
En los números reales se cumplen las siguientes propiedades relativas a desigualdades:
• Si se tiene una desigualdad con ambos términos positivos, entonces sus cuadrados mantienen
la desigualdad:
0 < a b²
• Si se tiene una desigualdad con ambos términos positivos o ambos negativos, entonces sus
recíprocos invierten la desigualdad:
1 1 1 1
0<a ; a<b<0 → >
a b a b
79

• Si se tiene un número entre cero y uno, entonces a mayor exponente de la potencia se obtiene
un número cada vez menor:
0 < a < 1 → ... a⁴ < a³ < a² < a
• Si se tiene un número mayor uno, entonces a mayor exponente de la potencia se obtiene un

número cada vez mayor:
a > 1 → ... a⁴ > a³ > a² > a
• La suma de los cuadrados de dos números es mayor o igual que el doble del producto de los
números:
a² + b² ≥ 2ab
INTERVALOS DE NÚMEROS REALES
Un intervalo es un subconjunto de números reales, existen diversos tipos de intervalos, los cuales
pasamos a detallar a continuación:
Notación Notación de
Tipo de Intervalo Descripción Gráfico
Conjuntista Intervalo
Considera todos los números
Cerrado que están entre dos números, {x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b} [a, b]
a b
considerando los extremos.
Abierto que están entre dos números, sin {x ∈ ℝ/ a < x < b} ]a, b[
a b
considerar los extremos.
Intervalo semi abierto
por la izquierda
que están entre dos números, sin {x ∈ ℝ/ a < x ≤ b} ]a, b]
(o semi cerrado por a b
considerar el extremo izquierdo.
la derecha)
Intervalo semi abierto
por la derecha
que están entre dos números, sin {x ∈ ℝ/ a ≤ x < b} [a, b[
(o semi cerrado por a b
considerar el extremo derecho.
la izquierda)

Intervalo no acotado {x ∈ ℝ/ x < a} ]− ∞, a[ a
que son menores (o menores o
por la izquierda {x ∈ ℝ/ x ≤ a} ]− ∞, a]
iguales) que un cierto número.
a

Intervalo no acotado {x ∈ ℝ/ x > a} ]a, ∞[ a
que son mayores (o mayores
por la derecha {x ∈ ℝ/ x ≥ a} [a, ∞[
o iguales) que un cierto número. a
80

TRADUCCIÓN DE ENUNCIADO CON DESIGUALDADES
A EXPRESIÓN ALGEBRAICA
A continuación veremos cómo plantear algunos enunciados relacionados con desigualdades:
Enunciado Expresión algebraica

A mayor que B A>B
A menor que B A<B
A mayor o igual que B A≥B
A menor o igual que B A≤B
A es a lo sumo igual a B A≤B
A es a lo menos B A≥B
A es a lo más B A≤B
1. Los números que están a una distancia a los sumo igual a 8 del −3 y no son mayores que 2,
corresponde al intervalo
Solución
Los números que “están a una distancia a los sumo igual a 8 del −3” corresponde al intervalo:
−11 −3 5
8 8
Por otro lado los que “ no son mayores que 2” corresponde al intervalo:
Intersectando los dos intervalos obtenidos:
−11 2 5
Se obtiene el intervalo [−11, 2].
81

2. Un servicio de taxis cobra una tarifa inicial de $1500 (llamada “bajada de bandera”) más $130 por cada
200 metros de recorrido (lo que se va cobrando cuando finaliza los 200 m). Si un cliente tiene $3.000,
¿para cuántos km de recorrido le alcanza?
Solución:
Tenemos que la tarifa es 1500 + 130x donde x es la cantidad de tramos de 200 metros que haya
recorrido, entonces planteamos la inecuación 1500 + 130x 3000, cuya solución es x 11,53…, es
decir los $3.000 le alcanzará para un recorrido a lo sumo igual a 11 tramos de 200 metros, si
transformamos esto a kilómetros, calculamos 11 ∙ 200 lo que nos arroja 2,2 km. Por lo tanto, con
1000
$3.000 le alcanza para un recorrido inferior a los 2,2 km.
3. Una mamá debe comprar cuadernos universitarios, estos pueden ser tapa blanda o tapa dura cuyos
valores respectivos son $800 y $1200. Si la cantidad de cuadernos de tapa dura deben ser 5 más que
los de tapa blanda y su gasto no debe exceder los $35.000, ¿cuál es la mayor cantidad posible de
cuadernos de tapa dura que puede comprar?
Solución:
Supongamos que compra “x” cuadernos de tapa blanda, por lo tanto debe comprar “x + 5” de tapa
dura. El gasto es entonces 1200(x+5) + 800x, el cual no debe exceder los $35.000, por lo que el
enunciado del problema nos conduce a la inecuación 1200(x + 5) + 800x ≤ 35000, dividiendo por 100,
obtenemos la inecuación equivalente 12(x + 5) + 8x ≤ 350, resolviendo obtenemos que x ≤ 14,5, por lo
que el mayor valor posible para los cuadernos de tapa blanda es 14 y por ende el mayor valor posible
para los de tapa dura es 19.
4. Si a y b son números reales negativos tal que a > b, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
a
I) >1
b
a+b
II) >1
b
b−a
III) >1
a+b
Solución:
a
Supongamos que I es correcta, tenemos que > 1, multipliquemos a ambos lados de la desigualdad
b
por b, como b < 0, la desigualdad se invierte, con lo que obtenemos a 1, al igual que lo que hicimos
b
anteriormente, multiplicamos a ambos lados por b y como b < 0, la desigualdad se invierte,
obteniéndose a + b < b, restando b a ambos lados, se llega a que a < 0, lo cual es correcto, por lo
tanto II es verdadera.
b−a
Veamos ahora la afirmación III, se afirma que > 1, como a + b < 0, al multiplicar por a + b a
a+b
ambos lados de la desigualdad esta se invierte, con lo que obtenemos: b − a < a + b, restando b a
ambos lados, se concluye que −a < a, lo cual es falso ya que a < 0, luego III es falsa. Conclusión, solo
II es verdadera.
Nota: el método utilizado en este ejercicio consiste en desarrollar la afirmación dada, convirtiéndola a otra
82 expresión equivalente, si concluimos que esta es verdadera (o falsa) la original también será verdadera (o
falsa).
x 3
1. El conjunto solución de la inecuación 4. La solución de la inecuación: +2> x−1
2 4
x − 2x − x + 3 corresponde al conjunto:
es el conjunto de números reales “x” que
cumplen con que:
A) [1, ∞[
B) ]− ∞, 1]
A) x < 12
C) ]− ∞, 0]
B) x > 12
D) ¡ C) x<4
E) ∅
D) x>4
E) x<6
2. Dados los intervalos: A = ]2, 4[ y B = [3, 5[,
entonces A ∩ B =
A) [3, 4[
5. Si a − 1 > 5 y b + 2 > −6, entonces a + b es:
B) [3, 4]
C) ]3, 4[ A) mayor que − 4.
D) ]2, 5] B) mayor que 2.
E) [2, 5[ C) mayor que − 2.
D) menor que 2.
3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones E) menor que − 2.
I) −
1 2 1
∈ − ,−
6. ¿Cuál(es) de las siguientes inecuaciones
3 5 4 1
es equivalente a la inecuación −x − ≥ −3?
2
131 68
II) 2,7 ∈ ,
50 25
5
11 I) x ≤
III) 1,9 ∈ 2, 2
5
1
II) −x ≥ −3
2
A) Solo I 1
III) 3− ≤ x
B) Solo II 2
C) Solo I y II
A) Solo I
D) Solo I y III
B) Solo II
E) I, II y III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) Ninguna de ellas
83

7. Sean x e y dos números reales tales que 9. Si x − 2y ≤ −2, ¿cuál(es) de las siguientes
x afirmaciones es (son) verdadera(s)?
≥ 4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
y
es (son) siempre verdadera(s)? I) x − 2y + 2 ≤ 0
x − 2y
I) x ≥ 4y II) ≥0
−2
II)
x
−4≥0 III) x − 2y ≤ 0
y
x A) Solo I
III) ≤ −4 B) Solo II
−y
C) Solo I y II
A) Solo I D) Solo I y III
B) Solo III E) I, II y III
C) Solo I y II
D) Solo II y III 10. Si x es un número real tal que 0 < x < 1,
E) I, II y III entonces ¿cuál(es) de las siguientes
inecuaciones cumple siempre x?
I) x2 < x
8. Sean a, b y c números reales y a≠0, se II) x3 < x2
III) x4 > x2
c−b
puede determinar que x < , sabiendo
a
A) Solo I
que:
B) Solo II
(1) ax < c − b C) Solo I y II
(2) a>0 D) Solo II y III
E) I, II y III
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola 11. Si a y b son números reales tales que
C) Ambas juntas, (1) y (2) ab > 0, ¿cuál(es) de las siguientes
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) afirmaciones es (son) verdadera(s)?
E) Se requiere información adicional a
I) >0
b
b
II) >0
a
III) a³b > 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
84

12. Si a, b y c son números reales tales que 14. Sean a y b números reales, tales que a ≠ b,
se puede determinar que a − b >1,
a < b, b < c y c < 0, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre a+b
verdadera(s)? sabiendo que:
I) a+b<0 (1) b<0

II) ab > 0
(2) a+b>0
III) bc > ac
A) (1) por sí sola

A) Solo I
B) Solo II B) (2) por sí sola
C) Solo I y II C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Solo II y III D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) I, II y III E) Se requiere información adicional
13. La edad de Juan está comprendida entre

15. Los lados de un triángulo ABC miden a = x,
b = 2x − 3 y c = x + 5, entonces para que
12 y 15 años y la de Andrés es mayor
exista este triángulo, x debe medir:
que 16 y a lo sumo 28 años, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)? A) más de dos cm.
B) más de tres cm.
I) La suma de las edades es mayor
C) más de cuatro cm.
que 28.
D) menos de cuatro cm.
II) La suma es menor que 43.
E) menos de diez cm.
III) La diferencia positiva de sus
edades es menor que 16.
16. Leonardo tiene el doble de la edad de su

A) Solo I
hermano Francisco menos tres años.
B) Solo II Si la suma de sus edades está comprendida
C) Solo I y II entre seis y doce años, entonces la edad de
D) Solo I y III Leonardo está comprendida entre:
E) I, II y III
A) 3 y 5 años.
B) 3 y 7 años.
C) 2 y 5 años.
D) 2 y 7 años.
E) 1 y 6 años.
85

17. Lo que le falta a un número para ser 27 es 20. Si p es un número real negativo, entonces
mayor o igual de lo que le falta a su doble siempre se cumple que:
para ser 30, por lo tanto el número es
necesariamente: I) p3 < p2
A) mayor que 19. II) p − 2p > p

p
B) a lo menos 19. III) <1
p−1
C) mayor que 57.
Es (son) verdadera(s):
D) a lo menos 57.
E) a lo menos 3. A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
18. La edad de Carlos hace dos años era a lo
sumo 20 años y la mitad de edad que tendrá D) Solo II y III
en diez años será superior a ocho años. E) I, II y III
Entonces en tres años su edad estará en
el intervalo:
21. Los lados de un triángulo ABC cumplen con
3 5 38
A) [9, 25] que < AB < 2 , 1 < BC < y 3 < AC < ,
5 2 10
B) ]9, 25[ entonces ¿cuál de las siguientes opciones
C) ]9, 25] podría corresponder al perímetro de
este triángulo?
D) ]10, 25]
E) [10, 24]
A) 4,0
B) 4,6
C) 4,7
19. La suma de tres números consecutivos es
a lo sumo 39, ¿cuál de las siguientes D) 9,0
afirmaciones con respecto al mayor de los E) 12,2
números es siempre verdadera?
A) es menor que 12. 22. ¿En cuál de los siguientes gráficos se

representa a todos los números reales que
B) es a lo sumo 12.
están a una distancia mayor que tres y
C) es menor que 14.
menor o igual que 4 del −1?
D) es a lo sumo 14.
E) es menor que 13.
A)
−5 −4 2 3
B)
−5 −4 2 3
C)
−5 −4 2 3
D)
−4 −3 1 2
E)
−5 −4 2 3
86

23. “El doble del cuadrado de un número entero 27. En un estanque hay 80 m3 de agua y una
x es a lo sumo igual al sucesor del triple de bomba extrae 1,2 m3 por hora.
x”, se expresa mediante la desigualdad : Para que queden menos de 26 m3 en el
estanque, se deben esperar por lo menos:
A) 2x2 ≤ 3(x + 1)
A) 42 h
B) 2x2 < 3(x + 1)
B) 43 h
C) 2x2 ≥ 3x + 1
C) 44 h
D) 2x2 < 3x + 1
D) 45 h
2
E) 2x ≤ 3x + 1 E) 46 h
24. “El cuadrado de a sumado con el cuadrado

del doble de b es a lo menos el triple del 28. Tres números consecutivos son tales que la
cuadrado de c, se expresa mediante la suma entre los dos tercios del menor con
desigualdad”: los tres cuartos del intermedio es más grande
que el término mayor.
¿Cuál es el menor valor posible para el
A) a2 + (2b)2 > (3c)2
término mayor?
B) a2 + (2b)2 ≥ (3c)2
C) a2 + (2b)2 > 3c2 A) 4
D) a2 + (2b)2 ≥ 3c2 B) 5
E) a + 2b ≥ 3c
2 2 2
C) 6
D) 7
25. ¿Cuántos números enteros positivos existen E) 8
que cumplen con que su triple sumado
con los tres cuartos de su sucesor es menor
a 12? 29. La temperatura en un cierto laboratorio está
regulada de modo que es mayor a 5°C y a
A) 1 lo más llega a 20°C.
B) 2 Si la conversión entre grados Celcius a
C) 3 9
Fahrenheit es °F = °C + 32°, entonces se
D) 4 5
E) 5 puede afirmar que la temperatura de la
habitación:
26. En un rectángulo el largo mide 2 cm más que

A) fluctúa entre los 41 °F y 68 °F.
el ancho y su perímetro es a lo sumo 22 cm.
Si los lados miden un número entero de cm, B) es superior a los 41 °F y a lo más llega
entonces la máxima área posible es: a los 68 °F.
C) es a lo menos 41 °F y a lo más se
A) 8 cm 2
llega a los 68 °F.
B) 15 cm2 D) es a lo menos 41 °F y menor a los 68 °F.
C) 24 cm 2
E) ninguna de las afirmaciones anteriores.
D) 35 cm2
E) 48 cm2 87

30. Un cuadrado tiene un área de a lo más 33. Un número está comprendido entre a y b, con
81 cm2 y si sus lados aumentan en dos cm a < b, si a este número se le resta un número
entonces el perímetro del nuevo cuadrado es negativo c y después se multiplica por un
superior a los 32 cm. número negativo d, entonces el número
Si la medida del cuadrado original es un obtenido es siempre mayor que:
número entero de cm, ¿cuántos valores
posibles existen para esta medida? A) d(b + c)
B) d(b − c)
A) 1 C) d(a + c)
B) 2 D) d(a − c)
E) b
C) 3
D) 4
E) Más de 4. 34. Sea p un número real tal que 0 < p < 1 y n
un número entero positivo.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
31. En una liquidación las blusas valen $5.000 y es (son) verdadera(s)?
los pantalones $12.000.
Si Belén lleva 10 unidades más de pantalones
que de blusas y su presupuesto es inferior a I) pn+1 > pn
$256.000, ¿cuál es la cantidad máxima de II) np ≥ pn
blusas que puede llevar? III) pn ≤ npn
A) 7
A) Solo I
B) 8 B) Solo II
C) 9 C) Solo I y II
D) 10 D) Solo II y III
E) 12 E) I, II y III
32. Juan ha ahorrado entre monedas de 100 y 500 35. Sean a y b dos números reales negativos,
pesos una suma inferior a $5.000, se sabe tal que a > b, ¿cuál(es) de las siguientes
además que la cantidad de monedas de $100 afirmaciones es (son) verdadera(s)?
supera en 8 unidades a las de $500.
Si hubiese ahorrado 2 monedas más de $100 a b
I) + >0
y una más de $500, entonces lo ahorrado b a
hubiese superado los $5.000. a b
¿Cuál de las siguientes opciones es correcta II) − >0
b a
con respecto a la cantidad de monedas de b
$500 que ahorró? 1+
a
III) >0
A) Es inferior a 6. b
1−
B) Son 6. a
C) Son 7. A) Solo I
D) Son 8. B) Solo III
C) Solo I y II
E) Es superior a 8.
D) Solo II y III
88
E) I, II y III
36. Sean a y b dos números reales negativos, 37. Sean m y n números reales y distintos tales
tal que a > b, ¿cuál(es) de las siguientes m+n
que m < n y > 1, ¿cuál de las
afirmaciones es (son) verdadera(s)? m−n
siguientes desigualdades es siempre
I) −a + b < a − b verdadera?
II) (a − b)3 > 0 A) 3n > 2m

B) n2 > −n
a+b C) m<0
III) <0
a−b D) 3n > 2n
A) Solo I E) 3m > 2n
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
RESPUE
RESPUES STAS C
CAPÍTUL
APÍTULO
O95
1. D 2. A 3. C 4. A 5. C 6. C 7. D 8. C 9. E 10. C
11. E 12. C 13. E 14. C 15. C 16. B 17. E 18. C 19. D 20. E
21. C 22. E 23. E 24. D 25. B 26. C 27. E 28. C 29. B 30. C
31. A 32. B 33. B 34. D 35. A 36. E 37. C
89

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EJE

Prohibida su reproducción total o parcial.

2. ¿En cuál de las siguientes ecuaciones

Prohibida su reproducción total o parcial.

12. Las soluciones de la ecuación en x,

E) No existe tal valor de b.

Prohibida su reproducción total o parcial.

C) k<4 III) ax2 + b = 0, con ab < 0.

Prohibida su reproducción total o parcial.

24. Por el arriendo de una casa en la playa, a

Prohibida su reproducción total o parcial.

26. La gráfica de la función f definida en los

27. Con respecto a la parábola de ecuación: D)

I) Intercepta al eje y en (0,−3).

¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es

Prohibida su reproducción total o parcial.

D) k(x) = 2(x − 2)(x − 4)

32. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es

A) La gráfica no intersecta al eje x.

Prohibida su reproducción total o parcial.

35. Se puede determinar la función cuadrática, D) a² − 4a + 4 < 0

(1) La gráfica asociada a esta función

Prohibida su reproducción total o parcial.

A) ]0, ∞[ I) La gráfica intercepta al eje x en

A) (1) por sí sola

Prohibida su reproducción total o parcial.

Prohibida su reproducción total o parcial.

Prohibida su reproducción total o parcial.

Leonhard Euler (1707 – 1783),

Dominio y Recorrido Traslación de gráficos

Prohibida su reproducción total o parcial.

(1) Todo elemento de A está relacionado con un elemento de B.

A se denomina el conjunto de partida y B el conjunto de llegada, al elemento del conjunto de partida

El gráfico de la función está formado por

GRÁFICOS DE FUNCIONES IMPORTANTES

Es importante comprender y recordar las gráficas de las siguientes funciones:

• Función lineal y afín

f.lineal (pasa por el origen) f.afín (no pasa por el origen)

Prohibida su reproducción total o parcial.

F. Potencia Par F. Potencia impar

• Función raíz cuadrada y =√x * corresponde a la función inversa de la función cuadrática

Prohibida su reproducción total o parcial.

TRANSFORMACIONES A LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES

Prohibida su reproducción total o parcial.

• Reflexión en torno al eje x

Prohibida su reproducción total o parcial.

I) Si a > 0 y x < 1, entonces f < g.

Prohibida su reproducción total o parcial.

Conclusión, II y III son verdaderas.

I) A los 12 minutos la temperatura del líquido será de 56 °C.

Prohibida su reproducción total o parcial.

(1) Si x=4 f(6) = 2f(4)+5

Prohibida su reproducción total o parcial.

2. Sea la función f(x) = 2x + 3, entonces

3. Si f(x) = ax + b, ¿cuánto valen a y b 5. Sea la función definida en los reales

Prohibida su reproducción total o parcial.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es I) 2 no pertenece al dominio de

7. Sean las funciones f y g definidas en 9. En la figura se muestra la gráfica de la