UNIVERSIDAD NACIONAL

“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENERÍA CIVIL
ESCUELA PROFESIONAL DE ARQUITECTURA Y
URBANISMO

• TEMA: LA INTEGRAL DEFINIDA – METODO DE INTEGRACION:

CAMBIO DE VARIABLE
• CURSO: MATEMÁTICA I
• DOCENTE: M, Sc ANDREA LUISA PARI SOTO
• CICLO: I
• INTEGRANTES: - OTÁROLA MOLINA ISAÍ GABRIEL
- PALACIOS JAMANCA YEAN
- RODRIGUEZ DUEÑAS JEFERSPN JHON
- TAPIA HIZO DEYVERT FRANZ

HUARAZ- 2022
 ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................................... 3
1 Definición de la integral indefinida: ............................................................................................................ 4
1.1 Tabla de integrales indefinidas:........................................................................................................... 5
2 Método de integración por el cambio de variable. ..................................................................................... 5
3 Problemas resueltos

3.1 Problema Nº1………………………………………………………………………………………………………………………………6

3.2 Problema Nº2………………………………………………………………………………………………………………………………7

3.3 Problema Nº3………………………………………………………………………………………………………………………………8

3.4 Problema Nº4………………………………………………………………………………………………………………………………9

3.5Problema Nº5………………………………………………………………………………………………………………………………

3.6 Problema Nº6………………………………………………………………………………………………………………………………

CONCLUSIÓN ..................................................................................................................................................... 12
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................................................... 13
 INTRODUCCIÓN

¿Han escuchado alguna vez sobre la integral indefinida? Este término se suele usar en las matemáticas

con mucha frecuencia, su uso esta basado en realizar procesos de anti derivación, pues la integral

indefinida es el conjunto de infinitas primitivas que puede tener una función. De esta manera, al realizar

estos cálculos y procesos debemos ser muy cuidadosos, cautelosos y pacientes, porque esto implicará

buenos resultados, por el contrario, si se quiere hallar las respuestas de manera rápida, podrían los

resultados ser incorrectos.

Muchas veces las personas hacen un uso incorrecto de las integrales indefinidas, ya que son muy

impacientes o desesperados, para realizar estos cálculos hay que saber correctamente las teorías que

implica su empleo, asimismo, debemos seguir ciertos pasos para la explicación del desarrollo realizado

por la persona

Por ende, en este informe se abordará las siguientes ideas: Definición de integrales indefinidas y el

método de integración por el cambio de variable.

1 Definición de la integral indefinida:

La integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas o antiderivadas que puede tener una

función, es decir:

𝐹(𝑥) + 𝐶 , donde C es una constante arbitraria

Es decir:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 ⇒ 𝐹`(𝑥) = 𝑓(𝑥)

• Se lee: integral de 𝑓 de 𝑥 diferencial de 𝑥.

• ∫ es el signo de integración.

• 𝑓(𝑥) es el integrando o función a integrar.

• 𝑑𝑥 es diferencial de 𝑥 , e indica cual es la variable de la función que se integra.

• 𝐶 es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

𝑥 𝑏
Si f es continua, entonces∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 es una antiderivada de f, mientras que ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 puede

determinarse evaluando 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎), donde 𝐹 es una antiderivada de 𝑓.

Entonces las integrales indefinidas son como la representante de toda una familia de funciones, mejor

dicho, una antiderivada para cada valor de la constante C.

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) significa 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Por ejemplo:

𝑥3 𝑑 𝑥3
∫ 𝑥²𝑑𝑥 = 3
+ 𝐶 porque 𝑑𝑥 ( 3 + 𝐶)= 𝑥²
1.1 Tabla de integrales indefinidas:

Según James (2018), la tabla que se presentará a continuación es la que se debe de seguir para hacer

integrales indefinidas (p.402-403):

2 Método de integración por el cambio de variable.

Este principio puede aplicarse a todas las razones de cambio en las ciencias naturales

y sociales, por ello, Pita (2006) señala:

En algunas integrales ∫ f (×)d× resulta conveniente cambiar la variable x del integrando (también su

diferencial d×). Por una nueva variable V según una cierta función ×= 𝑔(𝑇). En tal caso,

constituyendo la × del integrando por 𝑔(𝑇) y la 𝑑𝑥 por 𝑔`(𝑡)𝑑𝑡. Tendiendo

𝑥=𝑔(𝑡)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =→ = ∫ 𝑓(𝑔(𝑡))𝑔`(𝑡)𝑑𝑡

La intención de estos cambios de variables es que la nueva integral sea más fácil de resolver que la

integral original. (p.638)

3 problemas resueltos.

3.1 Problema Nº1 :

Integrar:

∫(4𝑥 − 3)5 𝑑𝑥

Como primer paso se tiene que realizar el cambio de variable de dicha función, para lo cual se tomara en
cuenta la 𝑢, como dicho cambio.

𝑢 = 4𝑥 − 3
Se deriva la operación

𝑑𝑢 = 4𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥 =
4
Por lo tanto, la ecuación quedaría:
𝑑𝑢
∫ 𝑢5
4
Extrayendo la constante
1
∫ 𝑢5 𝑑𝑢
4
Ahora logramos tener la ecuación mas sencilla, y procedemos a integrar la función 𝑢
1
∫ 𝑢5 𝑑𝑢
4
1 𝑣6 𝑣6
( )+𝑐 = +𝑐
4 6 24

(4𝑥 − 3)6
∴ +𝑐
24
3.2 Problema Nª2:

Integrar:
1
∫ 𝑑𝑥
(𝑥 + 2)²√𝑥 2 + 6𝑥 + 8
Como primer paso, se buscará reducir dicha función, por lo que se analizará el binomio cuadrado:

𝑥 2 + 6𝑥 + 8
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 + 2𝑥 + 4
Agrupamos:

1. 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)²
2. 2𝑥 + 4 = 2(𝑥 + 2)
Ahora, nuestra integral quedaría:
1
∫ 𝑑𝑥
(𝑥 + 2)²√(𝑥 + 2)2 + 2(𝑥 + 2)

Realizamos el cambio de variable:

1 1
𝑥+2= = ⋯𝑡 =
𝑡 𝑥+2
−𝑑𝑡
𝑑𝑥 =
𝑡²
Tenemos:
1 𝑑𝑡
∫ −
1 1 2
1 𝑡²
( 𝑡 ) ²√( 𝑡 ) + 2( 𝑡 )

1 𝑑𝑡
∫ −
1√ 1 2 2 𝑡²
( ) +𝑡
𝑡² 𝑡
Se eliminan valores:
1
∫ − 𝑑𝑡
2
√(1) + 2
𝑡 𝑡
Se extrae una constante añadiendo 2:
−1 2𝑑𝑡
∫
2 √1 + 2𝑡
Realizamos otro cambio de variable, que nos permita agrupar más la integral:

𝑢=𝑡
𝑑𝑢 = 1𝑑𝑡

𝑣 = (1 + 2𝑡)1/2
Integrando por partes:

∫ 𝑢. 𝑑𝑡 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑢. 𝑑𝑢

1 2𝑑𝑡
∫1 = (1 + 2𝑡)1/2 − ∫(1 + 2𝑡)1/2 𝑑𝑡
2 √1 + 2𝑡
3
= 𝑡(1 + 2𝑡)1/2 − 2(1 + 2𝑡)2 + 𝐶
3
1 2 1/2 2 2
∴ (1 + ) − 2 (1 + ) +𝐶
𝑥+2 𝑥+2 𝑥+2
3.3 problema Nº3:
3.4 Problema Nº4:
3.5 Problema Nº5:
3.6 Problema Nº6:
 CONCLUSIÓN

Por último, es necesario comprender las teorías que se usan para poder realizar correctamente los

procesos de integrales indefinidas, de esta manera podemos usar el método cambios de variables, el

cual ayudará fácilmente a la resolución de la integral.

 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

James, S. (2018). Calculo, trascedentes tempranas. (8°. ed.) Cengage Learning Editores, S.A.

de C.V. Recuperado de https://bit.ly/3yx7cuu

Pita Ruiz, C. (2006). Cálculo de una variable. PRENTICE HALLHISPANOAMERICANA,

S.A. Recuperado de https://bit.ly/3T44fd2