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Problemario Calculo Dif Int
Problemario Calculo Dif Int
Problemario Calculo Dif Int
𝑛(𝑛+1)(𝑛+2) 1 2 3 𝑛 𝑛+2
c) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + 𝑛(𝑛 + 1) = 3
d) 2 + 22 + 23 + ⋯ + 2𝑛 = 2 − 2𝑛
𝑛(𝑛+1) 2
e) 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑛3 = [ 2
] f) 𝑛3 − 𝑛 es divisible por 6.
(−1)𝑛 𝑛(𝑛+1)
g) 12 − 22 + 32 − 42 + ⋯ + (−1)𝑛 𝑛2 =
2
a) 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 ≥ 0 b) 𝑥 2 + 𝑥 < 12 c) 2𝑥 2 − 6𝑥 + 3 ≤ 0
𝑥 1
d) 3𝑥 2 − 11𝑥 > 4 e) 1 − 𝑥 − 2𝑥 2 > 0 f) ≤
4 𝑥
2𝑥−5
g) |𝑥 + 5| > 2𝑥 − 3 h)|𝑥 − 2| ≤ |2𝑥 + 1| i) | | >1
𝑥+4
𝑥+1 𝑦 2 −4
d) 𝑦 = √9 − 𝑥 2 e) 𝐹(𝑥) = √𝑥−1 f) 𝐺(𝑦) = 𝑦2 −9
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𝑥 2 −1 |𝑥|
d) 𝐹(𝑥) = −(𝑥 − 1)2 e) 𝐺(𝑥) = 2𝑥+2 f)𝐻(𝑥) = 𝑥
𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 0
−2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3 2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
a) 𝑦(𝑥) = { b) 𝑓(𝑥) = { c) g(𝑥) = {2 − 𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 2
2 𝑠𝑖 𝑥 > 3 −2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > −1
𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
9. Un cilindro circular recto de radio R está inscrito en una esfera de radio 2R. Encuentre una
fórmula que exprese el volumen V del cilindro en función del radio R.
10. De una hoja cuadrada de cartón de 40 cm por lado se ha de construir una caja sin tapa,
recortando un cuadrado en cada una de las esquinas y luego doblando los bordes hacia arriba.
Si x es la longitud de cuadrado recortado, determine el volumen de la caja en función de x.
1 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 0 𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 2
a) 𝑓(𝑥) = { b) 𝑔(𝑥) = 𝑥 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1 c) ℎ(𝑥) = {
−1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 1 2 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 4
2𝑥−1
15. Sean 𝐹(𝑥) = 3𝑥 2 + 2, 𝐺(𝑥) = . Determine el valor de las siguientes expresiones.
2𝑥+1
1
a) 𝐹(𝑢 + 1) b) 𝐺(ℎ − 2) c) 𝐹(𝑢 + ℎ) d) 𝐺( )
ℎ
𝐹(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥) 𝐺(𝑥+ℎ)−𝐺(𝑥)
e) ℎ
f) ℎ
𝑥 2 −9 𝑥 3 −1
19. Considere las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥−3
, 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 −1. Complete las siguientes tablas.
4𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
𝑓(𝑥) = {3𝑥 − 2 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 1 ¿Existe el límite cuando x tiende a 1?¿Y cuando tiende a -1?
3 − 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1
24. ¿Es continua 𝑓(𝑥)𝑒𝑛 𝑥 = 5 ? ¿La función 𝑔(𝑥) es continua en 𝑥 = 2? ¿Para qué valor 𝑘 es
continua la función ℎ(𝑥)𝑒𝑛 𝑥 = 2?
𝑥 2 −25
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 5 𝑥 2 𝑠𝑖 𝑥 < 2 𝑘𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑥 2 −4𝑥−5
𝑓(𝑥) = { 5
𝑔(𝑥) = { 5 𝑠𝑖 𝑥 = 2 ℎ(𝑥) = { 5 𝑠𝑖 𝑥 = 1
3
𝑠𝑖 𝑥 = 5 6 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 2 𝑘𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 > 1
26. Aplique la definición de derivada para obtener la derivada de las siguientes funciones.
27. Calcule la derivada de las funciones mostradas abajo, aplicando las fórmulas correspondientes.
2 3 3𝑥 2 −1
a) 𝑦 = 3 𝑥 3⁄4 + 5 𝑥 −1⁄3 − 4𝑥 3⁄2 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1
c) 𝑔(𝑡) = (2𝑡 + 1)(𝑡 2 − 𝑡 + 1)
3
d) ℎ(𝑟) = 𝑟√𝑟 2 + 4 e) 𝐹(𝜃) = 4√𝜃 + 1 − f) 𝑦 = (4𝑥 3 − 1)5
√𝜃−1
29. Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva 𝑦 = √𝑥 + 1 para 𝑥 = 8.
30. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva descrita por 𝑦 = √4𝑥 − 3 que sea paralela a
la recta 𝑦 = 2𝑥 − 3.
1
31. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva descrita por 𝑦 = 2 − 3 𝑥 2 que sea
perpendicular a la recta 𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0.
32. Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (-1,1) que son tangentes a la
curva 𝑦 = 𝑥 2 + 1.
sin 𝑥+1
d) 𝑦 = sin 𝑥−1 e) 𝐹(𝑠) = 𝑠𝑒𝑐 2 (2𝑠 + 1)3 f) 𝐺(𝑥) = 𝑥√sin 𝑥 −1 + 9
4 1 sec(3𝑥+1)
g) 𝑓(𝑡) = csc(cot √𝑡 + 1) h) 𝑔(𝑠) = √tan ( ) i) 𝑦 = √
𝑥 sec(2𝑥−1)
3 1−𝑥 2
d) ℎ(𝑡) = ln(𝑠𝑒𝑛3 (7𝑥 − 11)) e) 𝑦 = 𝑥 2 ln(𝑥 2 + 9) e) 𝐹(𝑥) = exp ( √1+𝑥2 )
2+𝑒𝑥𝑝(−𝑡)
f) 𝐺(𝑡) = 1+𝑒𝑥𝑝(−𝑡) g) 𝐻(𝑠) = 𝑙𝑛4 (√𝑠 + 5) i) 𝑦 = exp (−𝑙𝑛(𝑥 3 + 1)
NOTA: exp(𝑥) = 𝑒 𝑥 .
4
d) 𝑦 = sech3 (1 − 3𝑥) e) 𝑟(𝜃) = sinh(𝜃 + 1) cosh(𝜃 − 1) f) 𝐻(𝑠) = √tanh(𝑠 3 + 27)
36. Aplique las propiedades de los logaritmos (derivación logarítmica) para calcular la derivada de
las siguientes funciones.
(4𝑡+1)3
a) 𝑦 = (3𝑥 − 1)4 (2𝑥 + 1)3 (5 − 𝑥)2 b) 𝑓(𝑡) = (1−3𝑡)4 c) 𝑔(𝑠) = 𝑠√𝑠 2 + 9
3 𝑠 1
a) 𝑓(𝑡) = sen−1 ( √𝑡) b) 𝑔(𝑠) = cos−1 (𝑠+3) c) ℎ(𝑢) = tan−1 (𝑢)
1
d) 𝑟(𝜃) = (sec −1 𝜃)3 e) 𝑦 = 𝑥tan−1 (√𝑥) f) 𝑠(𝑡) = cot −1 (𝑡 −1 +1)
2 tanh−1 (𝑥)+2
d) 𝑓(𝑡) = (sech−1 (3𝑡 − 4)) e) 𝑔(𝑢) = 𝑢cot −1 (2𝑢) f) 𝑦 =
tanh−1 (𝑥)+1
ln𝑥+1 𝑡 2 −1
a) 𝑦 = cosh (ln (sen( 4√𝑥 ))) b) 𝑓(𝑠) = tan3 (exp ( )) c) 𝑔(𝑡) = exp [√ ]
ln𝑥−1 𝑡 2 +1
4
d) ℎ(𝑢) = √exp (tanh−1 (cos(𝑢4 + 16))) e) 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 ln (sec (exp(𝑥√𝑥)))
40. Considere las funciones implícitas mostradas abajo. Determine la derivada señalada.
𝑑𝑦 𝑠 𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑦
a) 𝑥 2 + 3𝑥𝑦 − 8𝑦 2 = 0; b) + = 1; c) 𝑦𝑒 𝑥 + 𝑥lny = xy;
𝑑𝑥 𝑡 𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑥
𝑑𝑣 𝑑𝑟 𝑑𝑥
d) 𝑢𝑣 = cos(𝑢 + 𝑣); 𝑑𝑢 e) tan(𝑟𝜃) = lnr + θ; 𝑑𝜃 f) √𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦; 𝑑𝑦
2
d) 𝐹(𝑥) = 𝑒 𝑡 ; 𝐹 (4) e) 𝐺(𝑟) = 𝑒 3𝑟 sin(2𝑟); 𝐺′′ f) 𝑦 = 𝑥tan−1 (𝑥); 𝑦′′
42. El movimiento de una partícula está descrita por la función 𝑠(𝑡) = (2𝑡 − 6)2 . Determine la
posición, la velocidad y la aceleración en los tiempos 𝑡 = 1, 𝑡 = 3.
43. para las siguientes funciones aplique el teorema de Rolle en el intervalo señalado.
44. Determine si las funciones dadas satisfacen la hipótesis del teorema del valor medio en el
intervalo indicado, de ser así halle todos los valores de c que cumplan con dicho teorema.
1
a) 𝐹(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2 ; [−3,3] b) 𝐺(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 ; [1,5] c) 𝐻(𝑥) = 1 + √𝑥; [0,9]
45. Halle los intervalos donde las funciones son crecientes y decrecientes.
𝑥2
d) 𝑟(𝜃) = −𝜃 + tan 𝜃 e) 𝑦 = 𝑥+1
46. Aplique el criterio de la primera derivada para hallar los máximos y mínimos relativos de las
siguientes funciones.
1 1
a) 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 3𝑥 + 4 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 2)2 c) 𝑠(𝑡) = 𝑡 − 𝑡 3
47. Obtenga los extremos absolutos de las funciones mostradas a continuación, en el intervalo
señalado.
1
a) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 3𝑥 2 − 6𝑥 + 1; [−2,1] b) 𝑔(𝑥) = 3−𝑥 ; [0,4] c) ℎ(𝑥) = sin 𝑥 − cos 𝑥 ; [0, 𝜋]
48. Calcule los intervalos donde las siguientes funciones son cóncavas hacia arriba y cóncavas
hacia abajo.
1
a) 𝐹(𝑥) = −𝑥 3 + 6𝑥 2 + 𝑥 − 1 b) 𝐺(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 4)3 c) 𝐻(𝑥) = 𝑥 2 +3
1
d) 𝑦 = 𝑥 8⁄3 − 20𝑥 2⁄3 e) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑥 2
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49. Aplique el criterio de la segunda derivada para hallar los máximos y mínimos relativos y puntos
de inflexión de las siguientes funciones.
1
a) 𝑓(𝑥) = −(2𝑥 − 5)2 b) 𝑔(𝑥) = 3 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 c) ℎ(𝑥) = √9 − 𝑥 2
𝑥 1
d) 𝑦 = 𝑥 2 +2 e)𝐹(𝑡) = 𝑡 2 + 𝑡 2 f) 𝐺(𝑠) = 𝑠√𝑠 − 6
50. Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 60 y su producto sea máximo.
51. Determine el máximo volumen de un cilindro circular recto que se puede inscribir en una esfera
de radio 𝑟.
52. La deflexión 𝐷de una viga de longitud 𝐿 es 𝐷 = 2𝑥 4 − 5𝐿𝑥 3 + 3𝐿2 𝑥 2 , donde 𝑥 es la distancia a
un extremo de la viga. Determine el valor de 𝑥 que produce la máxima deflexión.
53. Una página rectangular ha de contener 24 pulgadas cuadradas de impresión. Loa márgenes de
la parte superior y de la parte inferior van a ser de 1.5 pulgadas y los márgenes de la izquierda
y la derecha corresponderán a una pulgada. ¿Cuáles deber ser las dimensiones de la página
para que se use la menor cantidad de papel?.
54. El alcance 𝑅 de un proyectil lanzado con una velocidad inicial 𝑣0 y a un ángulo 𝜃 medido con
𝑣02 sin(2𝜃)
respecto a la horizontal es 𝑅 = 𝑔
, donde 𝑔 es la aceleración de la gravedad. Determine
el ángulo para el cual el alcance es máximo.
55. Si el número de turistas que hacen un recorrido en autobús a una ciudad es exactamente 30,
una empresa cobra $20 (dólares) por persona. Por cada persona adicional a las 30, se reduce
el cobro personal en $0.50. ¿Cuál es el número de turistas que debe llevar un autobús para
maximizar los ingresos de la empresa?
56. Se va a construir una caja rectangular abierta con base cuadrada y un volumen de 32000 𝑐𝑚3 .
¿Cuáles son las dimensiones que requieren la menor cantidad de material?
57. Bosqueje la gráfica de la funciones mostradas a continuación, hallando sus simetrías, máximos
y mínimos, puntos de inflexión y asíntotas.
𝑥
a) 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3𝑥 − 3 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 c) 𝑔(𝑥) = 2𝑥√𝑥 + 3
𝑥2 1
d) 𝑦 = 𝑥 2 −4 e) 𝑦 = 8 𝑥 4 (𝑥 2 − 6)
58. Un cubo se expande con el tiempo. ¿Cómo se relaciona la razón de aumento de volumen con
la razón de incremento de la longitud de su lado?
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𝑖𝑛
59. Un disco metálico se dilata con el calor. Si su radio aumenta a razón de 0.02 , ¿con qué
𝑠
rapidez aumenta el área de una de sus caras cuando su radio es de 8.1 𝑖𝑛?
60. Cuando un depósito de agua en forma cilíndrica de 40 pies de diámetro se descarga, el nivel
del agua disminuye a razón constante de 1.5 pies por minuto. ¿Con qué rapidez está
disminuyendo el volumen de agua?
61. Aplique la regla de L’Hopital para determinar el valor de los siguientes límites, si es que existen.
62. Determine las series de Taylor de las funciones dadas a continuación, desarrolladas alrededor
del punto indicado.
(−1)𝑘+1 1 1
a) ∑10
𝑘=1(3𝑘 − 2) b) ∑5𝑘=1(𝑘 2 + 1) c) ∑4𝑘=1 ( ) d) ∑100
𝑘=1 ( − )
𝑘 𝑘 𝑘+1
66. Obtenga el área de la región delimitada por la gráfica de la función dada y el eje X sobre el
intervalo señalado, aplicando las sumas de Riemann.
2 3 1 (𝑥+1)2 2 3
a) ∫ (3𝑥 2 − 3 𝑥 + √𝑥 + 𝑥) 𝑑𝑥 b) ∫ 𝑑𝑥 c) ∫ ( 3 + ) 𝑑𝑠
√ √𝑥 √𝑠2 √𝑠3
𝑡 −1 −𝑡 −2 +𝑡 −3
d) ∫ ( 𝑡2
) 𝑑𝑡 e) ∫(4𝑤 − 1)3 𝑑𝑤
68. Aplique un cambio de variable apropiado para determinar el valor de las integrales dadas.
𝑧
a) ∫(𝑥 − 1)(𝑥 2 − 2𝑥 + 1)3 𝑑𝑥 b) ∫ 3 𝑑𝑧 c) ∫ cos 2𝑤 𝑒 sin 2𝑤 𝑑𝑤
√𝑧 2 +9
69. Use el método de integración por partes para determinar el resultado de las siguientes
integrales.
70. Calcule el resultado de las siguientes integrales aplicando el método de las fracciones
parciales.
1 3 2𝑥−3 𝑥+5
a) ∫ 𝑥(𝑥−2) 𝑑𝑥 b) ∫ 𝑥 2 +𝑥−2 𝑑𝑥 c) ∫ (𝑥−1)2 𝑑𝑥 d) ∫ 𝑥(𝑥−2)2 𝑑𝑥
4 𝑥 3 −𝑥 1 𝑥 2 −𝑥+1
e) ∫ 𝑥 3 +4𝑥 𝑑𝑥 f) ∫ (𝑥 2 +1)(𝑥−1)2 𝑑𝑥 g) ∫ (𝑥 2 +1)(𝑥2 +4) 𝑑𝑥 h) ∫ 𝑥 4 −1
𝑑𝑥
𝑥 sen3 𝑥
e) ∫ sen6 𝑥𝑑𝑥 f) ∫ tan3 𝑥sec 3 𝑥𝑑𝑥 g) ∫ sec 4 (2) 𝑑𝑥 h) ∫ 𝑑𝑥
√cos𝑥
72. Aplique la sustitución trigonométrica apropiada para calcular el valor de las integrales
mostradas a continuación.
1 1 𝑥2 √1−𝑥 2
a) ∫ 𝑑𝑥 b) ∫ 𝑑𝑥 c) ∫ (4+𝑥2 )3⁄2 𝑑𝑥 d) ∫ 𝑥4
𝑑𝑥
√25−𝑥 2 𝑥√𝑥 2 −9
√4−9𝑥 2
e)∫ 𝑥 3 √𝑥 2 − 4 𝑑𝑥 f) ∫ 𝑑𝑥
𝑥
2 1 𝑥−1 3
e) ∫1 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 f) ∫0 (𝑥+1)(𝑥+2)
𝑑𝑥 g) ∫2 𝑠 2 (𝑠 3 + 1)2⁄3 𝑑𝑠
74. Calcule el área de las funciones dadas en el intervalo señalado (es conveniente que realice las
gráficas de las funciones en el intervalo dado)..
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥, 𝑥 ∈ [0,6] b) 𝑔(𝑥) = 3(𝑥 3 − 𝑥), 𝑥 ∈ [−1,1] c) ℎ(𝑥) = 𝑒 2𝑥 , 𝑥 ∈ [0, ln3]
𝜋
d) 𝐹(𝑥) = sen𝑥, 𝑥 ∈ [0, 2 ] e) 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3, 𝑥 ∈ [1,3] f) 𝐺(𝑥) = ln𝑥, 𝑥 ∈ [1, 𝑒]
76. Calcule el volumen del sólido de revolución generado al girar la región dada, en torno al eje
señalado.
a) 𝑦 = −𝑥 + 1, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0; 𝑒𝑗𝑒 𝑋 b) 𝑦 = 0, 𝑦 = √4 − 𝑥 2 , 𝑥 = 0; 𝑒𝑗𝑒𝑋
c) 𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2; 𝑒𝑗𝑒 𝑋 d) 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 4, 𝑥 = 0; 𝑒𝑗𝑒 𝑌
g) 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2 ; 𝑒𝑗𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑦 = 6
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77. Halle la longitud de arco de las curvas descritas por las funciones dadas sobre el intervalo
indicado.
2 𝑥5 1
a) 𝑦 = 𝑥 3⁄2 , 𝑥 ∈ [0,1] b) 𝑦 = + ,𝑥 ∈ [1,2] c) 𝑦 = 4 − 𝑥 2 , 𝑥 ∈ [0,2]
3 10 6𝑥 3
2 1
d) 𝑦 = 2 − 𝑥, 𝑥 ∈ [0,3] e) 𝑦 = ,𝑥 ∈ [0,1]
3 𝑥+1