UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA MATANZA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA E INVESTIGACIONES TECNOLOGICAS

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA I
EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1) Dado el sistema
x y z 1
kx k 1 y z k
5x ky 13z k 4
a) determinar los valores de k para que el sistema tenga solución única
b) Usando el método de Gauss obtener las soluciones para k 1
a) Si notamos que la variablezno tiene coeficientes que involucren el parámetro k ,
podemos trabajar con una matriz ordenada según z, x, y que nos ayudará a resolverlo
1 1 1 1
1 k k 1 k haciendo f 2 f1 f 2 y 13f 1 f3 f 3 resulta
13 5 k k 4
1 1 1 1
0 k 1 k 2 k 1
0 8 k 13 k 9
1 1 1 1
intercambiando f 2 con f 3 queda 0 8 k 13 k 9 , haciendo
0 k 1 k 2 k 1
1 1 1 1
k 1
f f3 f 3 resulta 0 8 k 13 k 9
8 2
k 2 4k 3 k2 1
0 0 8 8

Para que el sistema tenga solución única el rango de la matriz de coeficientes debe
ser igual al rango de la matriz ampliada y además igual al número de incógnitas
(Teorema de Rouché-Frobenuis), en este caso igual a 3.
2
Luego el término a 33 k 84k 3 debe ser distinto de cero (para que el rango de la matriz
de coeficientes sea 3) , por lo que tenemos que buscar las raíces de la siguiente
ecuación de segundo grado
k 2 4k 3 0, cuyas soluciones son : 3, 1. Que para algunos de estos valores (por
ejemplo para k 1) el término ubicado en a 34 sea cero no nos trae ningún inconveniente.
Lo que importa es comparar el rango de las dos matrices y el número de incógnitas.
Por lo tanto si k 3 y k 1 el sistema es compatible determinado y tendrá una
solución única.
b) si k 1 el sistema no será compatible determinado , luego si tomamos la última
matriz del apartado anterior y la especializamos en k 1 resulta
1 1 1 1
0 8 12 8 , el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la
0 0 0 0
matriz ampliada (2) (sistema compatible), pero es diferente al número de incógnitas (3) ,
por lo tanto el sistema es indeterminado (infinitas soluciones) .
Despejando resulta que 8x 12y 8 (atención a como hemos distribuido las
columnas) , de donde x 1 2 y. De z x y 1 resulta que z 1 32 y y 1 , o sea
3

1
que z 2
y
Luego todos los (x,y,z) que forman parte de la solución son de la forma
1 32 y, y, 12 y y 32 , 1, 12 1, 0, 0 (mas adelante veremos que esto conforma una
3
recta en )

2) Clasificar el sistema cuya matriz ampliada es

1 2 3 3
0 a 1 2 4
0 0 b 2 3 a
Si b 2ya 3 el sistema es incompatible
Si b 2ya 3 el sistema es compatible indeterminado
1 2 3 3
Si a 1 nos queda 0 0 2 4 o sea haciendo
0 0 b 2 2
1 2 3 3
f 2 /2 f2 0 0 1 2 si b 2 1el sistema será incompatible o sea que si
0 0 b 2 2
b 1 será incompatible.
Resumiendo
Sistema incompatible si b 2ya 3oa 1y b 1
En el primer caso nos queda
1 2 3 3 1 2 3 3
0 a 1 2 4 y en el segundo caso 0 0 2 4
0 0 0 k 0 0 0 k 1 2
Sistema compatible indeterminado si b 2ya 3 o si a 1yb 1nos queda
1 2 3 3 1 2 3 3
0 2 2 4 y en el segundo caso 0 0 2 4
0 0 0 0 0 0 1 2
Para todo otro valor de a y b resulta compatible determinado.

3) Dado el sistema
x 4y z 2w 5
2x y w 0
3y 2z w 8
2z 3w 7
a) Resolverlo
b) ¿ Hay alguna solución de la forma (k,-k,r,k) con k y r números reales?. Se es así
obtenerlos
1 4 1 2 5 1 4 1 2 5
2 1 0 1 0 0 9 2 3 10
2f 1 f2 f2
0 3 2 1 8 0 3 2 1 8
0 0 2 3 7 0 0 2 3 7
1 4 1 2 5 1 4 1 2 5
0 0 4 6 14 1
0 0 2 3 7
3f 3 f2 f2 f
2 2
f2
0 3 2 1 8 0 3 2 1 8
0 0 2 3 7 0 0 2 3 7
1 4 1 2 5
0 3 2 1 8
f4 f2 f 4 e intercambiando f 2 y f 3 resulta obviamente el
0 0 2 3 7
0 0 0 0 0
sistema es compatible indeterminado
Resolviendo las ecuaciones siguientes (tarea para los alumnos aplicados):
x 4y z 2w 5
3y 2z w 8
2z 3w 7
nos queda que las soluciones (x,y,z,w) ( 5w6 1 , 1 32w , 7 23w , w (corroborarlo)
b) si nos piden que la solución sea de la forma (k,-k,r,k) con k y r números reales ,
entonces resulta que 5w6 1 w 6w 1 5w 6w 5w 1 w 1
Verificamos si (cambiando el signo para el segundo término)
1 2w
3
w 3w 1 2w 3w 2w 1 w 1
Y para ese valor de w el tercer término es 723 2
Por lo tanto la solución que cumple lo pedido es (1,-1,2,1)

4) Hallar todos los valores de k para los cuales 4, 4, 3, 0 1, 2, 1, 0 es el

conjunto solución del sistema
x z 2w 1
y 2z 2
kx ky kz k 2 w 3k
2x 2y 6z k 2 w 2
1 0 1 2 1
0 1 2 0 2
La matriz que representa el sistema será la siguiente (que
k k k k 2 3k
2 2 6 k2 2
presenta algunas dificultades para triangularla)
Pero nosotros contamos con información adicional. Nos piden los valores de k para
los cuales la solución del sistema sea de la forma 4, 4, 3, 0 1, 2, 1, 0 .
Pero entonces el sistema para esos k es compatible indeterminado porque tiene
infinitas soluciones (a partir de los infinitos valores de )
En particular 4, 4, 3, 0 es solución y si elegimos un valor de adecuado (por
ejemplo 4 ) podemos encontrar otra solución simple , que será 0, 4, 1, 0
Reemplazando estas soluciones en las ecuaciones veamos si nos dicen algo acerca
del valor de k
4 3 0 1
4 6 2
4k 4k 3k 0 3k
8 8 18 0 2
de lo cual resulta
1 1 (bárbaro)
2 2 (idem)
3k 3k (también)
2 2 (idem)
Y si reemplazamos la segunda solución nos queda
1 1
2 2
3k 3k
2 2
O sea que lamentablemente no nos imponen ninguna condición sobre k.(no hay
vuelta de hoja , tenemos que trabajar y triangular)
Para seguir con la triangulación podemos elegir cualquier valor de k (por ejemplo
k 0 que nos anula la tercer fila)
1 0 1 2 1
0 1 2 0 2
, realizando operaciones elementales de filas queda
0 0 0 0 0
2 2 6 0 2
1 0 1 2 1
0 1 2 0 2
de donde surge w 0 , x-z 1 e y 2z 2 , por lo tanto las soluciones
0 0 0 2 0
0 0 0 0 0
son de la forma
1 z, 2 2z, z, 0 z 1, 2, 1, 0 1, 2, 0, 0 . Observar que el término que multiplica a
z es un múltiplo del dado en la solución 1, 2, 1, 0 y si bien el otro término 1, 2, 0, 0
difiere del 4, 4, 3, 0 , ambas son soluciones particulares del sistema (comprobarlo
reemplazando los valores en las ecuaciones del sistema)
Si hubiera reemplazado todo en función de xquedaba que z x 1 e y 2 x 1 2
con lo cual y 4 2x y las soluciones serían x, 4 2x, x 1, 0 x 1, 2, 1, 0 0, 4, 1, 0
Si k 0 y simplificando alguna fila de la matriz nos queda
1 0 1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2 1
0 1 2 0 2 0 1 2 0 2 0 1 2 0 2
2f 1 f2 f2 f3 f1 f3
1 1 1 k 3 1 1 1 k 3 0 1 2 k 2 2
2 2 6 k2 2 0 2 4 k2 4 4 0 2 4 k2 4 4
 1 0 1 2 1
0 1 2 0 2
2f 2 f4 f4
0 0 0 k 2 0
2
0 0 0 k 4 0
1 0 1 2 1
Si k 2 se van las filas 3 y 4 y queda con las soluciones
0 1 2 0 2
x-z-2w 1 e y 2z 2 , con lo cual nos queda que las soluciones son de la forma
x, 2 2z, z, 1 2x z x 1, 0, 0, 12 z 0, 2, 1, 12 0, 2, 0, 12 que obviamente no es de
la forma dada por el enunciado

Si k -2 se anula la cuarta fila y queda

1 0 1 2 1
0 1 2 0 2 , w 0 , y 2z 2 y x-z 1, las mismas soluciones que teníamos
0 0 0 4 0
para k 0 , que cumplen con lo pedido
Luego si k 0 y k -2 se obtendrán las soluciones pedidas.

1 k 0 1
5) Dado el sistema cuya matriz es 1 0 k2 5
0 2 4 4
hallar todos los k reales para el (1,0,1) sea la única solución del sistema.
Luego el sistema es
x ky 1
2
x k z 5
2y 4z 4

Reemplazando en el sistema con la solución que es única , nos queda

1 1
1 k2 5
4 4
La primera y la tercera son obvias , por lo tanto nos queda que
1 k2 5 k2 4 k 2 (¿servirán ambas? corroboremos)
Si k 2 nos queda
1 2 0 1
1 0 4 5 , , resolviendo por eliminación gaussiana , resulta:
0 2 4 4
1 2 0 1 1 0 0 1
0 2 4 4 o mejor aún , aplicando Gauss - Jordan queda 0 1 0 0 con lo
0 0 8 8 0 0 1 1
cual la solución es claramente
 (1,0,1)
SI k -2 nos queda
1 2 0 1 1 2 0 1
1 0 4 5 , resolviendo por eliminación gaussiana , resulta 0 2 4 4
0 2 4 4 0 0 0 0
y el sistema es obviamente compatible indeterminado y no tiene solución única.
Luego k tiene que valer 2.
5 0 2 6a 12
6) Sea la matriz de un sistema 2 1 1 3a 5
3 1 3 a 5
Hallar todos los a reales para los cuales el sistema se compatible. Elija algunos de
esos valores y resuelva el sistema

7) Hallar todos los a y b reales para que la solución del sistema siguiente
x z 1
2 ax y 1 bz 2
sea S 0, 1, 1 1, 2, 1

8) Decidir si existen valores reales de a y b tales que los sistemas S1 y S2

siguientes tengan la misma recta de soluciones (recordar que una recta se podrá
expresar como un conjunto de soluciones de la forma x 1 , y 1 , z 1 x2, y2, z2 )
x 2y 2z 8 x 6y 13
S1 2x 6z 11 y S2 x 2y 4z b
3x 2y az 14 5x 2y bz b 35