TEORÍA DE CONJUNTOS

Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos,
consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la
formulación de cualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés
en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de aquella.
En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la
matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las
propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de
propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta
razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas
«puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado
por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege,
propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.
TEORÍA DE LOS NÚMEROS NATURALES

Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjuntocomo también en
operaciones elementales de cálculo.

Por definición convencional se dirá que cualquier miembro del siguiente conjunto, ℕ = {1, 2, 3, 4, …} es un número natural,
que en este caso empieza del uno ya que el cero no es considerado un número natural. De dos números vecinos cualesquiera, el
que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesivo
OPERACIONES DEFINIDOS EN EL CONJUNTO (N)

En N se han definido una serie de operaciones que ya conocemos: Adición, sustracción, multiplicación, entre otras.

Adición de números naturales: Es la operación que se asocia a cada par de números naturales a y b, que llamaremos
sumandos, otro natural c, que llamaremos suma de a y b. Anotamos así: a+ b =c

ejemplo:
si a = 1237 y b =2642
a + b = 1237 + 2642 = 3879
aquí los sumandos son: 1237 y 2642
la suma es: 3879

Propiedades de la adición:

a) Asociativa:
si a, b, c son números naturales
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

ejemplo:
observe cómo se comprueba la propiedad asociativa de la adición.
Hallemos:
38 + 24 + 16

Asociemos los dos primeros

(38 + 24) + 16 =
62 + 16 =
78

Asociemos los dos últimos

38 + (24 + 16) =
38 + 40 =
78

¡Los resultados son iguales!

b) Conmutativa:

Si a y b son números naturales

a+b=b+a

Esto es, el orden en que se coloquen los sumandos no altera la suma.

Ejemplo:
comprobemos la propiedad conmutativa de la adicción.

Consideremos:
343 + 283
243 + 283 = 626 y 283 + 343 = 626
luego:
343 + 283 = 283 + 343

c)elemento Neutro:

En N existe el 0 (cero), que es el neutro de la adiccion, ya que para todo numero natural a, se cumple:

a+0=0+a=a

Ejemplo:
a) 5 + 0 = 5
b) 1120 + 0 = 1120
c) 0 + 480 = 480

SUSTRACCION DE NUMEROS NATURALES:

Es la operacion que asocia a cada par de números naturales m y s ( con m mayor o igual a s) otro número natural d, que
llamamos diferencia, tal que: anotamos asi:

os términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.
Propiedades de la resta

1. No es una operación interna

2 − 5 pertenece Números naturales

2. No es Conmutativa

5− 2≠2−5

Ejemplo

Si m=4237, s=2325

Entonces:

m-s=4237-2325=1912

MULTIPLICACION DE NUMEROS NATURALES:

Es la operación que asocia a cada par de números naturales a y b, que llamaremos factores, otro número natural c, que
llamaremos producto de a y b, donde c se obtiene sumando b, tantas veces como indique a. anotamos así:

Propiedades de la multiplicación

1. Interna: a · b Pertenece Conjunto de los números naturales

2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30

3. Conmutativa: a · b = b · a
2·5=5·2

10 = 10

4. Elemento neutro: a · 1 = a

3·1=3

5. Distributiva: a · (b + c) = a · b

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

+a·c

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10

16 = 16

6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16
CONJUNTOS DISJUNTOS

En matemáticas, dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Equivalentemente, dos conjuntos son
disjuntos si su intersección es vacía. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos.

CONJUNTOS IGUALES
Son todos aquellos conjuntos que tienen elementos iguales. Los elementos de un conjunto también pertenecen al mismo conjunto.
Ejemplo:

D F D = F
Los conjuntos D y F son iguales porque tienen el mismo elemento. A veces pueden estar desordenados los elementos cuando son
más de uno, en tal caso, debe recordarse que en un conjunto no importa el orden en que estén los elementos.

División de números naturales

D : d = c
Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al
resultado, c, lo llamamos cociente .

Propiedades de la división
1. División exacta

15 = 5 · 3
2. División entera

17 = 5 · 3 + 2
3. No es una operación interna
2 : 6
4. No es Conmutativo .
6 : 2 ≠ 2 : 6
5. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0 : 5 = 0
6. No se puede dividir por 0.

Funciones

En muchas situaciones encontramos que dos o más objetos o cantidades están relacionados por una correspondencia de
dependencia, como por ejemplo: el área de un círculo depende del radio del mismo, la temperatura de ebullición del agua
depende de la altura del lugar, la distancia recorrida por un objeto al caer libremente depende del tiempo que transcurre en
cada instante. Esto nos conduce al concepto matemático de función.

Definición de función
Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cada elemento x perteneciente al
conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado imagen de x por f, que se denota y=f (x).

En símbolos, se expresa f : A → B , siendo el conjunto A el dominio de f, y el conjunto B el codominio

Representaciones de una función real .

Una función real, en general, puede ser representada de distintas maneras:

• Mediante un conjunto de pares ordenados, o tabla de valores.

• Mediante una expresión verbal, donde se describe una regla con una descripción en palabras.

• Mediante una expresión algebraica, con una fórmula explícita.

• Mediante una gráfica, representada en un sistema de coordenadas cartesianas.

SUCESIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD

Se llama sucesión o secuencia al conjunto de elementos encadenados o sucesivos.

Es una secuencia lógica de números ya que puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética o
progresión geométrica, la diferencia básica es que en la aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma
o resta de la misa razón, es decir:

0,1,1,2,3,5,8,13, es la serie o sucesión de Fibonacci, que se logra sumando los dos números anteriores, 0+1= 1, 1+1=2,
1+2=3, etc.

En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también
corresponda a una sucesión, así podríamos tener una sucesión dentro de otra sucesión.

Una sucesión en un conjunto X es una enumeración de elementos de X, es decir una aplicación de \mathbb{N} en X.

Clasificación
• Sucesiones convergentes
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Límite = 1
• Sucesiones divergentes
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞
• Sucesiones oscilantes
Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o
viceversa.
1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, …
• Sucesiones alternadas
Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:
-Convergentes
1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..
Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0.
-Divergentes
1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, …
Tantos los términos pares como los impares tienen de límite +∞.
-Oscilantes
−1, 2, −3, 4 ,−5, …, (−1)n n
• Sucesiones monó tonas
Una sucesion a n= { a1, a2, a3, …, a n} es monó toma cuando todos sus términos sucesivos crecen o decrecen
-Monó tona creciente
Cuando cada uno de sus términos es menor o igual que el siguiente. Es decir a2< ó = a3, a3< ó = a4, …, a n < ó
= a n +1
Ejemplo: a n ={ 2, 4, 6, 8, 10}

-Monó tona decreciente

Cuando cada uno de sus términos es mayor o igual que el siguiente. Es decir a 1> ó = a 2, a3> ó a4, … , a n > ó
=an+1

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla.

Las gráficas describen relaciones entre dos variables.

La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable x.

La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y.

La variable y está en función de la variable x.

Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones.

Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al
aumentar la variable independiente, x.

Kg de patatas 1 2 3 4 5

Precio en € 2 4 6 8 10
En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos de patatas el precio se va incrementando.

HISTORIA DE LOS NÚMEROS NATURALES

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar,
utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante
comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente
trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros
vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla
empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue
adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia
antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se
utilizaron algunos símbolos.Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base
sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden,
resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia
del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así
decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de
números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una
modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según
von Neumann

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS NATURALES?

Los números naturales son aquellos símbolos que nos permiten representar la cantidad de elementos que tiene un
conjunto.

LOS NÚMEROS ENTEROS

Son elementos de un conjunto de números que reúne a los positivos (1, 2, 3, ...), a los negativos opuestos de los anteriores:
(..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que
todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también
se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es
positivo. Si se considera ℕ = { 1,2,3,...} 1 , entonces un entero natural es un entero positivo y el conjunto ℕ es parte
propia de conjunto ℤ. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2,
+3, ...}, letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números»,

Números Reales

El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales
y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y
a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números
no nulos (excluye al denominador cero).