Progresión Aritmética

INTRODUCCIÓN
Las progresiones constituyen el ejemplo más sencillo del concepto de sucesión.

Desde los albores de la historia de las matemáticas se han estudiado sus
propiedades, y éstas han sido aplicadas, sobre todo, a la aritmética comercial. El
estudio de las progresiones aritméticas es paralelo al de las geométricas por
cuanto las propiedades de estas últimas emanan de las primeras sin más que
convertir las sumas en productos, diferencias en cocientes, y el producto por un
número natural en una potencia de exponente natural.
Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de

números negativos. Así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el
que todas las operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles. La importancia de
los números complejos está marcada por sus múltiples aplicaciones en diversas
Áreas (Matemáticas, Física, Ingeniería, Tecnología,...)
Es posible que la idea central en matemáticas sea el concepto de función. Al

parecer, la palabra función fue introducida por René Descartes en 1637. Para él
una función significaba tan sólo cualquier potencia entera positiva de una variable
x. Gottfried Wilhelm von Leibniz, quien siempre enfatizó el lado geométrico de las
matemáticas, utilizó la palabra función para denotar cualquier cantidad asociada
con una curva, tal como las coordenadas de un punto sobre la curva. Leonhard
Euler, identificaba cualquier ecuación o fórmula que contuviera variables y
constantes con la palabra función; esta idea es similar a la utilizada ahora con
frecuencia en los cursos que preceden al de cálculo. Posteriormente, el uso de
funciones en el estudio de las ecuaciones sobre el flujo de calor condujo a una
definición muy amplia, debida a Lejeune Dirichlet, la cual describe a una función
como una regla de correspondencia entre dos conjuntos.
Progresión aritmética
Es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos

cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada «diferencia de la
progresión», «diferencia» o incluso «distancia». Por ejemplo, la sucesión
matemática 3, 5, 7, 9,… es una progresión aritmética de diferencia constante 2,
así como 5, 2, −1, −4,… es una progresión aritmética de diferencia constante −3.
Progresión geométrica
Es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una

cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.
Números Complejos
Unidad imaginaria
La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i.
Números imaginarios
Un número imaginario se denota por bi, donde:
b es un número real.
i es la unidad imaginaria.
Potencias de la unidad imaginaria
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
i22
i22 = (i4)5 · i2 = − 1
i27 = −i
Números complejos en forma binómica
Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica. El número a

se llama parte real del número complejo. El número b se llama parte imaginaria
del número complejo. Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya
que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número

imaginario puro. El conjunto de todos números complejos se designa por:
Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos. Los números

complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados. Dos números complejos
son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente
imaginaria.
Operaciones de complejos en forma binómica
Suma y resta de números complejos
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
Multiplicación de números complejos
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =
=10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
División de números complejos
Números complejos en forma polar y trigonométrica
|z| = r arg(z) = z = rα
Binómica z = a + bi
Polar z = rα
trigonométrica z = r (cos α + i sen α)
z = 2120º
z = 2120º
z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)
Números complejos iguales, conjugados y opuestos
Iguales
Conjugados
Opuestos
Operaciones de complejos en forma polar
Multiplicación de complejos en forma polar
645° · 315° = 1860°
Producto por un complejo de módulo 1
Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del

origen.
rα · 1 β = r α + β
División de complejos en forma polar
645° : 315° = 230°
Potencias de complejos en forma polar
(230°)4 = 16120°
Fórmula de Moivre
Raíz de complejos en forma polar
k = 0,1 ,2 ,3, … (n-1)

Función real
Es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado

subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.
f:D
x f(x) = y
El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia

de la función. Se designa por D. El número x perteneciente al dominio de la
función recibe el nombre de variable independiente.
Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La

imagen de x se designa por f(x). Luego
y= f(x)
Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma
la variable y o f(x).
Trigonometría
es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente;

secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la
matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de
precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el
caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de

triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a
estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en
sistemas global de navegación por satélites.
Identidades trigonométricas fundamentales
1 Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
2 Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
3 Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Seno
El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.
Coseno
El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la

hipotenusa. Se denota por cos B.
Tangente
La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto

contiguo al ángulo. Se denota por tg B.
Cosecante
La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B. Se denota por cosec
B.
Secante
La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec
B.
Cotangente
La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B. Se denota

por cotg B.
Razones trigonométricas en una circunferencia
Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de

coordenadas y suradio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de
coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a
las agujas del reloj.
QOP y TOS son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
El seno es la ordenada. El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
Signo de las razones trigonométricas
Tabla de razones trigonométricas
Relaciones entre las razones trigonométricas
cos² α + sen² α = 1
sec² α = 1 + tg² α
cosec² α = 1 + cotg² α
Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Ángulos que difieren en 180°
Ángulos opuestos
Ángulos negativos
Mayores de 360º
Ángulos que difieren en 90º
Ángulos que suman en 270º
Ángulos que difieren en 270º
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

Razones trigonométricas del ángulo doble
Razones trigonométricas del ángulo mitad
CONCLUSIONES
Se han obtenido conjuntos de números cuyos términos cumplen una determinada
regla, lo que nos permite encontrar otros términos de manera única. Es decir, se
puede determinar cuál es el primer término, cuál es el segundo y así
sucesivamente.
Las sucesiones numéricas se clasifican en: sucesión aritmética (o progresiones

aritméticas) y sucesiones geométricas (o progresiones geométricas). Una
sucesión aritmética (o progresiones aritméticas) es una sucesión de números tal
que cada término se obtiene sumándole al anterior un número fijo.
Una sucesión geométrica es una sucesión de números tal que cada término se
obtiene multiplicando al anterior por un número fijo. Para encontrar el patrón de
repetición en una sucesión de figuras tienes que analizar y determinar, cuáles son
las que se repiten.
Para encontrar la regla de formación debemos comparar pares de términos

consecutivos. Esta forma de proceder es válida para resolver cualquier otro tipo de
ejercicio, pues la esencia es encontrar cómo se obtienen unos términos a partir de
otros dados o la regla de formación.
Por otra parte, la introducción de los números complejos tiene gran importancia en
la Matemática, ya que te proporciona herramientas de trabajo para resolver
ecuaciones que no tenían solución en el dominio de los números reales. También
te permite resolver ejercicios utilizando los símbolos ya estudiados para los
conjuntos numéricos.
Tras el estudio de las funciones matemáticas, se puede concluir en que son muy
importantes, de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria,
problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina,
de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde
haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un

conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos
para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir
esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad
de producto como "y".
BIBLIOGRAFÍA
Aritor. (2015). Obtenido de

http://www.aritor.com/trigonometria/razones_trigonometricas.html
Vitutor. (2014). Obtenido de
http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc4_Contenidos.html
Vitutor. (2014). Obtenido de http://www.vitutor.com/fun/2/a_r.html
Vitutor. (2014). Obtenido de http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html
Vitutor. (2015). Obtenido de http://www.vitutor.net/1/0_8.html
Wikipedia. (29 de septiembre de 2016). Obtenido de
https://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica
Wikipedia. (19 de septiembre de 2016). Obtenido de
https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr
%C3%ADa#Identidades_trigonom.C3.A9tricas

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Las progresiones constituyen el ejemplo más sencillo del concepto de sucesión.

Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de

Es posible que la idea central en matemáticas sea el concepto de función. Al

Es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos

Es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Un número imaginario se denota por bi, donde:

Números complejos en forma binómica

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica. El número a

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número

Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos. Los números

Operaciones de complejos en forma binómica

Suma y resta de números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Multiplicación de números complejos

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

División de números complejos

Números complejos en forma polar y trigonométrica

Números complejos iguales, conjugados y opuestos

Multiplicación de complejos en forma polar

645° · 315° = 1860°

Producto por un complejo de módulo 1

Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del

División de complejos en forma polar

645° : 315° = 230°

Potencias de complejos en forma polar

Raíz de complejos en forma polar

k = 0,1 ,2 ,3, … (n-1)

Es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La

es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente;

Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de

Identidades trigonométricas fundamentales

1 Relación seno coseno

2 Relación secante tangente

3 Relación cosecante cotangente

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B. Se denota

Razones trigonométricas en una circunferencia

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de

QOP y TOS son triángulos semejantes.

QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.

El seno es la ordenada. El coseno es la abscisa.

Tabla de razones trigonométricas

Relaciones entre las razones trigonométricas

Ángulos que difieren en 180°

Ángulos que suman en 270º

Ángulos que difieren en 270º

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Las sucesiones numéricas se clasifican en: sucesión aritmética (o progresiones

Para encontrar la regla de formación debemos comparar pares de términos

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un