INTRODUCCION

estudiaremos los aspectos algebraicos, es decir, simplificación, factorización de expresiones

y resolución de ecuaciones que contienen funciones trigonométricas denominadas
ecuaciones trigonométricas. Una identidad trigonométrica es una ecuación que contiene
que se cumplen para todos los valores de la variable.
Estudiaremos también los conceptos básicos de la matemáticas financieras , como utilizar
ecuaciones para resolver problemas de aplicación

1
EXPRECIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por lo signos de
las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: 2πr, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2
Un tercio de un número: x/3
Un cuarto de un número: x/4
Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...
Un número al cuadrado: x²
Un número al cubo: x³
Un número par: 2x
Un número impar: 2x + 1
Dos números consecutivos: x y x + 1
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x
La suma de dos números es 24: x y 24 − x
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x
El producto de dos números es 24: x y 24/x
El cociente de dos números es 24: x y 24 ·

2
TERMINOS SEMEJANTES

En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que
tienen igual factor literal; es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos
literales) e iguales exponentes.
Por ejemplo:
6 a 2 b 3 es término semejante con – 2 a 2 b 3 porque ambos tienen el mismo factor literal
(a 2 b 3 )
1/3 x 5 y z es término semejante con x 5 y z porque ambos tienen el mismo factor literal (x 5 y
z)
0,3 a 2 c no es término semejante con 4 ac 2 porque los exponentes no son iguales, están al
revés.

REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una
expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.
Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y
se conserva el factor literal.

suma de los números enteros:

Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números
con signo distinto.
Las reglas que memorizar son las siguientes:
a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y
conservar el signo.
Ejemplos:

– 3 + – 8 = – 11
(sumo y conservo el signo)

3
12 + 25 = 37
(sumo y conservo el signo)

– 7 + 12 = 5
(tener 12 es lo mismo que tener + 12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se
deben restar:

12 – 7 = 5
b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y
conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto :
Ejemplos:

5 + – 51 = – 46
(es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

– 14 + 34 = 20

Resta de los números enteros:

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta
manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente.
Son dos los cambios de signo que deben hacerse:
a) Cambiar el signo de la resta, en suma
b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo
contrario
Como en: – 3 – 10 = – 3 + – 10 = – 13 (signos iguales se suma y conserva el signo)
19 – 16 = 19 + – 16 = 19 – 16 = 3

Ejemplo 1:
x y 3 – 3 x 2 y + 5 x y 3 – 12 x 2 y + 6
Hay dos tipos de factores literales: x y 3 y x 2 y
Hay también una constante numérica: 6
Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numéricos de xy 3 con 5xy 3 y –3
x 2 y con –12 x 2 y.

4
Hay que tener presente que cuando una expresión no tiene un coeficiente, es decir, un número
significa que es 1 (x 3 y = 1 x y 3).
X y 3 – 3 x 2 y + 5 x y 3 – 12 x 2 y + 6 = 6 x y 3 + – 15 x 2 y + 6
1+5=6
– 3 – 12 = – 15
Ejemplo 2:
3 ab – 5 abc + 8 ab + 6 abc –10 + 14 ab – 20 = 25ab + 1abc – 30
Operaciones:
3 + 8 +14 = 25 ab
–5+6 = + 1 abc
– 10 – 20 = – 30

SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación son:

 Paréntesis ordinario ( )
 Paréntesis angular o corchete [ ]
 Llaves { }

Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero.

Así, (a + b) c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c.

[a – b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m.
{a + b} ÷ {c – d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d

ELIMINACIÓN DE CORCHETES.

Cuando aparecen paréntesis dentro de los corchetes, las operaciones indicadas en los
paréntesis interiores se hacen primero.

Ejemplos:
[7 + (9 – 4)²] – 12
[7 + (5)²] – 12
[7 + 25] – 12
32 – 12
20
5
 [(10 – 3) – (4 + 1)] ÷ 2
[7 – 5] ÷ 2
2÷2
1

ELIMINACIÓN DE LLAVES.

Para simplificar expresiones que tienen llaves, primero efectuamos las operaciones que
están dentro del paréntesis, después las indicadas dentro del corchete y por último las que
están dentro de las llaves.

Ejemplos:
4 (2 + 3) – {6 – [3 – (7 + 3)]}

4 (5) – {6 – [3 – 10]}

20 – {6 – [ -7 ]}

20 – 13

Observa que trabajamos desde dentro hacia fuera:

70 – {21 [18 + 25 – (50 – 9)] ÷ 7}

70 – {21 [43 – 41] ÷ 7}

70 – {21 [2] ÷ 7}

70 – {42 ÷ 7}

70 – 6

64

6
ECUACIÓN LINEAL

es una igualdad que tiene una o más variables elevadas a la primera potencia, resolverlas
significa encontrar el valor de las variables con los que se cumple la igualdad.

Hay unos pasos generales a seguir para resolver una ecuación lineal y son los siguientes:

1.- Reducir términos semejantes si es posible

2.- Pasar al lado izquierdo los términos con incógnitas y al lado derecho los que no tienen,
esto se hace con las operaciones inversas, es decir si en un lado se está sumando, al otro
lado de la igualdad se pasa restando.

3.- Despejar la incógnita.

Ecuación lineal con una incógnita

Veámoslo mejor con un ejemplo:

Tenemos la siguiente ecuación:

Siguiendo los pasos para resolverla, no hay términos semejantes así que pasamos a separar
los términos que tienen incógnita al lado izquierdo de la ecuación y los que no tienen los
pasamos al lado derecho.

12
y obtenemos: 5x = 47 – 12

Simplificando: 5x = 35

Ahora solo nos falta despejar la ecuación:

x = 35/5

Como respuesta a la ecuación lineal obtenemos que el valor de la incógnita es 7.

Ecuación lineal con dos incógnitas

Las ecuaciones lineales con dos incógnitas pueden tener infinitas soluciones, pues el valor
de una variable depende del valor que le des a la otra, es decir :

si tenemos la siguiente ecuación

siguiendo los pasos generales, primero reducimos los

términos semejantes y nos queda:
3x + 12y = 57

y despejando una de las incógnitas, en este caso la”x” obtenemos lo siguiente:

x = (57 – 12y)/3

O sea que dependiendo del valor que le demos a la incógnita “y” será el valor de “x”.
Construimos una tabla:

Para obtener un valor exacto tendríamos que tener una segunda ecuación y resolverlas
como un sistema de ecuaciones.

13
ECUACION CUADRATICA

Podemos resolver cualquier ecuación cuadrática completando el cuadrado — convirtiendo

un polinomio en un trinomio cuadrado perfecto. Si completamos el cuadrado en la ecuación

genérica y luego resolvemos x, encontramos que

. Esta ecuación un poco extraña se conoce como fórmula cuadrática.

Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles
de factorizar, y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula
cuadrática puede ser usada para resolver cualquier ecuación cuadrática de la
forma .

Resolviendo una Ecuación Cuadrática usando la Fórmula Cuadrática

La fórmula cuadrática funcionará para cualquier ecuación cuadrática, pero sólo si la

ecuación está en su forma estándar, . Para usarla, sigue los siguientes
pasos:

Ejemplo

Problema Usar la fórmula cuadrática para

resolver la
ecuación

a = 3, b = -11, c = -4

Nota que la resta de

signos significa que
los
coeficientes b y c son
negativos
 Sustituir los valores
en la fórmula
cuadrática

Simplificar, teniendo
cuidado con los
signos

Simplificar más

Simplificar el
radical: .

Separar y simplificar
para encontrar las
soluciones de la
ecuación cuadrática.
o Nota que en una, 13
es sumado y en la
otra, 13 es restado

Solución
x=4o

La solución para la ecuación cuadrática nos da las coordenadas en x de las intersecciones

en x, o las raíces de una ecuación cuadrática. Las raíces de la ecuación cuadrática son

16
valores donde la parábola cruza el eje x. Podemos comprobar esto observando la gráfica de

la función y ver que las raíces son (4, 0) y ( , 0).

El ejemplo anterior muestra una ecuación cuadrática con dos soluciones. A continuación
tenemos un ejemplo con una solución. Compara los radicales simplificados de los dos
ejemplos:

17
ECUACIONES EQUIVALENTES
Los sistemas de ecuaciones equivalentes son aquellos que tienen las mismas soluciones o
raíces, aunque posean distintos números de ecuaciones. Una de las reglas de equivalencia
en los sistemas de ecuaciones es que si a ambos miembros de una ecuación les sumamos o
restamos una misma cantidad (no una incógnita), dará como resultado un sistema
equivalente (de esta se pasa de un miembro a otro miembro sumando lo que resta o
restando lo que se suma). También si procedemos a multiplicar o dividir a los dos
miembros pertenecientes a la ecuación de un sistema por un número que sea distinto de
cero, el sistema que resultará será equivalente (así lo que se multiplica a un miembro pasa a
dividir al otro miembro y viceversa). A continuación observaremos algunos ejemplos:

Una ecuación es equivalente, si a los dos miembros se les suma o resta un mismo valor:

x + 3 = −2

x + 3 − 3 = −2 − 3

x = −5

También es equivalente una ecuación si se dividen o multiplican ambos miembros por una
misma cantidad:

5x + 10 = 15

(5x + 10) : 5 = 15 : 5

x+2=3

x + 2 −2= 3 −2x = 1

18
Otro criterio a tener en cuenta serían los siguientes, por ejemplo cuando sumamos o
restamos una ecuación del mismo, también se dará como resultado un sistema equivalente.
Esto sería una fusión de los dos criterios anteriores, veamos un ejemplo de esto, para pasar
del sistema 1 al sistema 2 a la segunda ecuación se le ha restado la primera:

Si en un sistema de ecuaciones, una ecuación es proporcional a otra o es combinación lineal

de otras, es posible eliminarla y el sistema que se obtenga será equivalente al inicial, por
esto es ventajoso suprimir las ecuaciones superfluas, la cuales podemos identificar con
facilidad, por ejemplo, las que son nulas, proporcionales o las que sean de combinación
lineal entre otras:

En este ejemplo veremos que los sistemas son equivalentes ya que se suprimió la tercera
ecuación la cual era proporcional a la primera, la tercera ecuación entonces es igual a la
primera multiplicada por tres:

En los siguientes sistemas veremos la equivalencia puesto que se ha suprimido la segunda

ecuación, ya que todos los coeficientes y también el término independiente son nulos:

19
CAPITAL

suma invertida o colocada en una operación financiera para generar al cabo de cierto tiempo un
interés.

También se le denomina valor actual o presente del dinero, inversión inicial, hacienda.

TASA DE INTERÉS

Es el precio del dinero que normalmente se indica en tanto por ciento (%), es una operación
comercial donde se hace uso de un capital o de cualquier activo.

TIPO DE INTERÉS:
Interés simple y compuesto

INTERÉS SIMPLE:

Es el que proporciona un capital sin agregar rédito vencido, dicho de otra manera es el que
devenga un capital sin tener en cuenta los intereses

MONTO SIMPLE: Se define como el valor acumulado del capital. Es la suma del capital
más el interés su ecuación es:

M = C + ICAPITAL:

En relación a un préstamo o un depósito mantenido durante un plazo a una misma tasa de

interés simple, los cálculos de cualquier de esos elementos se realizan mediante una regla
de tres simple . Es decir, si conocemos tres de estos cuatro elementos podemos calcular el
cuarto:
El interés (I) que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial
(C), al tiempo (t), y a la tasa de interés (i):
esto se presenta bajo la fórmula:
I=C·i·t
donde i está expresado en tanto por uno y t está expresado en años, meses o días.

Tanto por uno es lo mismo que .

Entonces, la fórmula para el cálculo del interés simple queda:

20
 si la tasa anual se aplica por años.

si la tasa anual se aplica por meses

si la tasa anual se aplica por días

Recordemos que cuando se habla de una tasa de 6 por ciento (o cualquier porcentaje), sin
más datos, se subentiende que es anual.
Ahora, si la tasa o porcentaje se expresa por mes o por días, t debe expresarse en la misma
unidad de tiempo.

EL INTERÉS COMPUESTO:
representa el costo del dinero , beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a
una tasa de interés (i) durante un período (t) , en el cual los intereses que se obtienen al final
de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial;
es decir, se capitalizan , produciendo un capital final (C f ) .
Para un período determinado sería
Capital final (C f ) = capital inicial (C) más los intereses.
si podemos generalizarlo con un ejemplo:
Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años
plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10
% anual).
Depósito
Año Interés Saldo final
inicial
0 (inicio) $1.000.000 ($1.000.000 x 10% = ) $100.000 $1.100.000
1 $1.100.000 ($1.100.000 × 10% = ) $110.000 $1.210.000
2 $1.210.000 ($1.210.000× 10% = ) $121.000 $1.331.000
3 $1.331.000 ($1.331.000 × 10% = ) $133.100 $1.464.100
4 $1.464.100 ($1.464.100 × 10% = ) $146.410 $1.610.510
5 $1.610.510
Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa
suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta
llegar al monto final.

21
En inversiones a interés compuesto, el capital final (C f ) , que se obtiene a partir de
un capital inicial (C) , a una tasa de interés (i) , en un tiempo (t) , está dado por la
fórmula:

Recordemos que i se expresa en forma decimal ya que corresponde a .

Y donde t corresponde al número de años durante los cuales se mantiene el depósito o se
paga una deuda.
Como corolario a esta fórmula:
A partir de ella, puesto que el interés compuesto final (I) es la diferencia entre el capital
final y el inicial, podríamos calcular la tasa de interés (i) :

Sacamos factor común C:

También podemos calcular la tasa de interés despejando en la fórmula de C f :

En los problemas de interés compuesto i y t deben expresarse en la misma unidad de

tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a
diferentes períodos de tiempo.

22
23
INGRESOS
Cualquier partida u operación que afecte los resultados de una empresa aumentando las
utilidades o disminuyendo las pérdidas. No debe utilizarse como sinónimo de entradas en
efectivo, ya que éstas se refieren exclusivamente al dinero en efectivo o su equivalente que
se recibe en una empresa sin que se afecten sus resultados.

COSTO FIJO

En otras palabras el costo fijo es aquel del cual la empresa no puede prescindir. Dicho
costo no tiene relación y variabilidad respecto a la producción.

Los costos fijos generalmente se grafican con una línea horizontal puesto que (como se
mencionó más arriba) no existe variabilidad en ellos (A mayor producción, no varía el
costo fijo total, por ej. el costo relacionado al alquiler del edifico de la empresa).

Una empresa siempre intentará reducir los costos fijos al mínimo indispensable para el
crecimiento de la empresa.

COSTOS VARIABLES

Los costos variables son los gastos que cambian en proporción a la actividad de una
empresa. El costo variable es la suma de los costos marginales en todas las unidades
producidas. Así, los costos fijos y los costos variables constituyen los dos componentes del
costo total.

Los costos variables se denominan a veces a nivel de unidad producida, ya que los costos
varían según el número de unidades producidas.

24
EGRESO
egreso o salida de dinero que una persona o empresa debe pagar para un artículo o por un
servicio. Para un inquilino, por ejemplo, el alquiler es un gasto. Para un estudiante o los
padres de familia, la matrícula escolar es un gasto. El comprar alimentos, ropa, muebles o un
automóvil es también considerado un gasto. Un gasto es un costo que es "pagado" o
"remitido" normalmente a cambio de algo de valor. Lo que pareciera costar mucho se
considera "caro", mientras que lo que pareciera costar poco es "barato".
Sin embargo, hay sustancial diferencia entre el dinero que destina una persona (porque ella
no lo recupera), del dinero que destina una empresa. Porque la empresa sí lo recupera al
generar Ingresos, por lo tanto no lo "gasta" sino que lo utiliza como parte de su inversión.

UTILIDAD:

la utilidad es el interés, provecho o fruto que se obtiene de algo. El término también permite
nombrar a la cualidad de útil (que puede servir o ser aprovechado en algún sentido).
Algo útil sirve para satisfacer una necesidad. Por ejemplo: si una persona quiere abrir una
botella, el sacacorchos es un instrumento de utilidad para cumplir con su objetivo. Un sujeto
que tenga intención de pintar una pared, tendrá a la pintura y al pincel como elementos de
utilidad para su tarea.

Es posible distinguir entre la utilidad total (la utilidad que brinda la cantidad consumida de
un bien) y la utilidad marginal (el incremento en la utilidad total que produce la última
unidad consumida de dicho bien). La utilidad marginal es decreciente: al aumentar
el consumo de un bien, la satisfacción que produce cada nueva unidad es menor que la
producida por el bien anterior
25
 CONCLUSIONES

Algebra no es complicada si se aprende a relacionar el lenguaje común y ordinario, con el

lenguaje algebraico y se descubre la diferencia entre ellos. Además de conocer su lógica y
mecanismos de funcionamiento. Las matemáticas pueden ser divertidas y relacionarse con
las actividades cotidianas de la vida por medio la aplicación de procedimientos aritméticos,
geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales.

31
 BIBLIOGRAFIA

Matemáticas universitarias cuarta edición

https://www.vitutor.com/ab/p/a_1
www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebra1ReducirTermSemej
https://www.gerencie.com › Economía y finanzas › Finanzas
www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/

32
SEGUNDO TRABAJO CALCULO DIFERENCIAL

JADIN JAZMIN PARADA GALINDO

CC.1093738831

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA
ADMINISTRACION DE EMPRESAS
MODALIDAD A DISTANCIA
CUCUTA
2017
SEGUNDO TRABAJO CALCULO DIFERENCIAL

JADIN JAZMIN PARADA GALINDO

CC.1093738831

Tutor:
Armando E. Parada Ussa

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA
ADMINISTRACION DE EMPRESAS
MODALIDAD A DISTANCIA
CUCUTA
2017
 TABLA DE CONTENIDO

Introducción …………………………………………………………… 1
Expresiones algebraicas ……………………………………………2-6
Ejercicios del capítulo 4 algebra……………………………………7-11
Ecuaciones …………………………………………………………12-25
Ejercicios del capítulo 6 ecuaciones………………………………26-30
Conclusiones…………………………………………………………31
Bibliografía ……………………………………………………………32