Calculo Diferencial e Integral Sesion 1 PDF
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SESION 1
1. NÚMEROS REALES
Al conjunto formado por todos los números de la recta se le llama Conjunto de números
reales, y se denota con la letra R.
Los números reales se pueden expresar por un número entero (2,154, 15) o decimal
(4.32, 345.654, 1548,38758) es decir que abarca los números racionales.
Los números racionales se pueden representar como el cociente de dos números enteros
con denominador distinto de cero.
Los números irracionales son los que no pueden ser expresados como una fracción de
números enteros con denominador distinto de cero.
Naturales N: Son los enteros positivos excluyendo el cero, es decir son los que utilizamos
para contar elementos de un conjunto, en la niñez nos enseñaron a contar objetos y
siempre empezábamos con el 1 (1 balón, 2 balones, 3 balones, etc.).
N= {1,2,3,4,5,6,7,……..}
Enteros Z: Son todos los enteros positivos y negativos incluyendo el cero. Estos números
los podemos ver claramente en la recta real
Racionales Q: Son los que se pueden representar por medio de una fracción, una
manera más coloquial de definirlo son los quebrados o números fraccionarios, con la
restricción de que el denominador debe ser diferente de cero.
I={……, -√ , π, e, √ , ……..}
Finalmente podemos decir que los números reales son los elementos del conjunto
formado por la unión de los Racionales Q y los Irracionales I. Así de fácil!!!!
Podemos representar el conjunto de los números reales en una recta numérica llamada
recta real, a cada número real le corresponde un punto en la recta, y a cada punto en la
recta le corresponde un número real.
9
-10
2.3
5.832……
√
π
-5/6
2.7
Una desigualdad o inecuación es una relación de orden que se da entre dos valores
cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los
reales, entonces pueden ser comparados.
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser
igual a b; también puede leerse como "mayor o igual que" o "menor o igual que".
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y
b que se llaman extremos del intervalo.
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y
menores que b.
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales
que a y menores o iguales que b.
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales
mayores que a y menores o iguales que b.
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales
mayores o iguales que a y menores que b.
Ejemplo:
1.- La desigualdad -3 < x < 5, es una desigualdad abierta es decir:
El valor que puede tomar x es mayor o igual que -2 pero menor que 4.
Las desigualdades lineales se resuelven exactamente como las igualdades, con una
importante excepción: al multiplicar o dividir por una cantidad negativa, el signo de
desigualdad se invierte.
Ejemplo:
Por lo tanto el intervalo será (-∞, -17/3] es decir el valor de x que puede tomar son
menor o igual a -17/3
Aquí es importante cambiar el
símbolo de la desigualdad ya que
vamos a dividir un número negativo
Ejercicios
Desigualdades cuadráticas
x2-x-12 > 0
(x-4)(x+3)>0
Un producto es POSITIVO si los factores son positivos o si los dos son negativos,
observamos entonces que:
Ejemplo:
|x −2 |< 5
−5<x−2<5
−5+2<x<5+2
−3<x<7
2.-El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los
factores.
|a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)|
|5| · |(−2)|
|− 10| = 10
3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de
los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|
|3| = |5| + |2|
3≤7
La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el
valor absoluto de la diferencia de ambos números:
d(a, b) = |b − a|
La distancia entre −5 y 4 es:
d(−5, 4)
|4 − (−5)|
|4 + 5|
|9|
*Calculo diferencial e integral problemas resueltos Ernesto Javier Espinosa Edi. UAM
2. FUNCIONES
2.1. Definición de función
Una función (f) es una relacion entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto
de elementos Y (llamado contradominio) de forma que a cada elemento x del dominio le
corresponde un único elemento f(x) del contradominio (los que forman el recorrido,
también llamado rango).
Ejemplo
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en
kilos
Conjunto X Conjunto Y
Ángela 55
Pedro 88
Manuel 62
Adrián 88
Roberto 90
Ejemplo
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente x) y el
mismo conjunto (variable dependiente f(x)).
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:
Conjunto X Conjunto Y Desarrollo
−2 −1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
−1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1
0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3
1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
2.2. Representaciones de funciones
Una función f asigna a cada número x del conjunto origen, un número y = f(x) del
conjunto imagen.
Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x, y obtener
los correspondientes de la variable dependiente y, formando así una tabla de valores
de la función.
2.2.1. Tablas
2.2.2. Gráficas
2.2.3. Fórmulas
2.2.4. Palabras
Una función es una relación entre dos magnitudes de forma que a cada valor de la
primera magnitud, llamada variable independiente, le corresponde un único valor de
la segunda magnitud, llamada variable dependiente o función.
Una misma función se puede representar mediante una fórmula, una tabla, o
mediante un gráfico.
Ejemplo:
t -2 -1 0 1 2
2
v=t v 4 1 0 1 4
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable
independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y
radicación.
Funciones explícitas
En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x – 2
Funciones implícitas
5x - y - 2 = 0
2.5. Trascendentes
f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn
Las funciones radicales o raíces son aquellas funciones con potencias fraccionarias y que
se resuelven en base a las propiedades algebraicas y de los radicales.
Si xn
Si n es par genera dos raíces (positivo y negativo)
Si n es impar genera una raíz
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder
la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
El dominio lo forman todos los números reales menos el 2.
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f-1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f-1(b) = a.
Ejemplo
Calcular la función inversa de:
*Calculo Diferencial e integral un enfoque moderno editorial ADIMAF Prof. Toribio Cruz
Sánchez
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece
despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos
incógnitas cuyo segundo miembro es cero.
5x - y - 2 = 0
Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que
f(-x)=f(x).
Modifica los valores de x en la escena y observa lo que sucede con los valores de f(x) y
de f(-x).
Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene
que f(-x)=-f(x).
Modifica los valores de x en la escena y observa qué sucede con los valores de f(x) y de
f(-x).
*Calculo Diferencial e integral un enfoque moderno editorial ADIMAF Prof. Toribio Cruz
Sánchez
Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio
se verifica: f(−x) = f(x)
Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones
pares.
Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:
f(x) = f(x + zT)
2.7. Operaciones con funciones y composición de funciones
Suma de funciones
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Ejemplo
Resta de funciones
(f − g)(x) = f(x) − g(x)
Producto de funciones
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
División de funciones
(f / g)(x) = f(x) / g(x)
Función composición
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las
funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por
(g o f )(x) = g[f(x)].
Ejemplo
Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x2.
Calcular g o f Resolución:
Para f(x)
Translación horizontal es: f(x+c) o f(x-c)
Translación vertical es: (x)+c donde c es una constante
BILBIOGRAFIA
*Calculo Diferencial e integral un enfoque moderno editorial ADIMAF Prof. Toribio Cruz
Sánchez
*http://www.ditutor.com/
*Calculo diferencial e integral problemas resueltos Ernesto Javier Espinosa Edi. UAM