Departamento de Matemática

Guía N°1 - III° Medio 2023

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Curso: Fecha:
Docentes: Erwin Coronado, Lorena Vargas, Georg Vollmer, Laura Uribe
Objetivo(s):

Identificar simbología básica de la teoría de conjuntos.

Presentar la inclusión como relación que cumplen los conjuntos numéricos: Narturales, enteros,
racionales, irracionales, reales.

Identificar características que cumplen los naturales y enteros.

Definir subconjuntos de los naturales y enteros.

1. Simbología básica de la teoría de conjuntos

Es importante poder reconocer símbolos que nos permitirán establecer la relación que se
presenta entre los distintos conjuntos numéricos. A continuación se presentan el símbolo y
su significado.

1. ∈: este símbolo representa la relación de pertenencia de un elemento a un conjunto

determinado. Se lee “pertenece a”.
Ejemplo
2 es un número entero y por lo tanto escribimos 2 ∈ Z.

2. ∈:
/ este símbolo representa la relación de no pertenencia de un elemento a un conjunto
determinado. Se lee “no pertenece a”.
Ejemplo
3 3
− no es un número entero y por lo tanto escribimos − ∈/ Z.
5 5

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3. ⊆: este símbolo representa la relación de inclusión de un conjunto a otro. Se lee “es

subconjunto de”.
Ejemplo

Si el conjunto A se define como A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} y un conjunto B se define

como B = {x ∈ Z; 0 ≤ x < 7}, entonces escribimos A ⊆ B.

La relación que representa P ⊆ Q señala que cada elemento de un conjunto P es también

un elemento del conjunto Q, inclusive con la opción de que ambos conjuntos tengan los
mismos elementos.

4. ⊂: este símbolo representa la relación de inclusión estricta de un conjunto a otro. Se lee

“es subconjunto propio de”.
Ejemplo

Si el conjunto A se define como A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} y un conjunto B se define

como B = {x ∈ Z; 0 ≤ x < 8}, entonces escribimos A ⊂ B.

La relación que representa P ⊂ Q señala que cada elemento de un conjunto P es

también un elemento del conjunto Q, pero P no es igual a Q. En nuestro ejemplo
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y 7 ∈
/A.

5. ∅: este conjunto se define como el conunto que no tiene elementos. Se lee “conjunto vacío”.
La relación importante que se desprende de esta definición es que para todo conjunto A,
se tiene que ∅ ⊂ A. Te invito a que investigues ¿por qué?.

6. ∪: este símbolo representa la unión de dos o más conjuntos. La unión de dos o más
conjuntos forma un nuevo conjunto. Si A y B son dos conjuntos, entonces A ∪ B se lee
“A unido con B” o “A unión B”.
Ejemplo

Si el conjunto A se define como A = {1, 2, 4} y un conjunto B se define como

B = {3, 5, 9}, entonces escribimos A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 9}.

Observación 1 Diremos que un elemento x ∈ A ∪ B si x ∈ A o x ∈ B

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7. ∩: este símbolo representa la intersección entre dos o más conjuntos. La intersección entre
dos o más conjuntos forma un nuevo conjunto. Si A y B son dos conjuntos, entonces A∩B
se lee “A intersectado con B” o “A intersección B”.
Ejemplo

Si el conjunto A se define como A = {1, 2, 3, 4, 9} y un conjunto B se define como

B = {3, 5, 9}, entonces escribimos A ∩ B = {3, 9}.

Observación 2 Diremos que un elemento x ∈ A ∩ B si x ∈ A y x ∈ B.

Observación 3 Si x ∈ A ∩ B = ∅, diremos que A y B son conjuntos disjuntos.

2. Los conjuntos numéricos N y Z

El desarrollo de esta unidad será identificar, definir, aplicar , analizar las características y
propiedades que cumplen los distintos conjuntos numéricos.
Los dos primeros conjuntos que estudiaremo serán los naturales (N) y los enteros (Z) y para
dar inicio al estudio de estos conjuntos, te presentaré la relación de inclusión que cumplen los
distintos conjuntos y así contextualizar cómo será el desarrollo de nuestro trabajo.

De acuerdo al diagrama presentado se desprende la siguinete relación:

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
.

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2.1. El conjunto de los números naturales

Definición 4 Este conjunto se simboliza por N y se define como N = {1, 2, 3, 4, . . . ∞}

En los naturales, dado n ∈ N, se tiene:

A. Todo número natural n tiene un sucesor, que se obtiene de sumar 1 al número n. Así el
sucesor de n , es n + 1.

B. Todo número natural n, excepto el 1, tiene un antecesor que se obtiene de restar 1 al número
n. Así, el antecesor de n , es n − 1 .

C. Si n + 1 = m + 1 entonces n = m.

D. Si un conjunto de números naturales contine el número 1 y también contiene el sucesor de

cada uno de sus elementos, entonces ese conjunto contiene a todos los números naturales.

2.2. El conjunto de los números Enteros

Existen diversas situaciones que el conjunto de los números naturales no puede dar solución a
ellas, por lo que es necesario ampliar al ámbito de los números. Es así que se incorporan los
números negativos y el cero.

Definición 5 El conjunto de los números enteros se designa por Z y se define como

Z = {−∞ . . . − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . . ∞}

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Observación 6

a. En el conjunto de los números enteros se identifican los subconjuntos Z− y Z+ que

corresponden al conjunto de los enteros negativo y al conjunto de los enteros positivos
respectivamente.

b. Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+

c. Z+ = N

d. Este conjunto da solución a ecuaciones de la forma a + x = b

Las propiedades en el conjunto de los números enteros son las siguientes:

A. Se amplía el concepto de sucesor y antecesor para los enteros. De esta manera:

a. si a ∈ Z, entonces el sucesor de a es a + 1
b. si a ∈ Z, entonces el antecesor de a es a − 1

B. Se incorpora en los enteros el concepto de valor absoluto, que se define como la distancia
entre un entero cualquiera a y el cero. El valor absoluto de a se escribe | a | y además | 0 |= 0

Ejemplo
Los números −20 y 20 se encuentran a la misma distancia del cero, es decir

| −20 |=| 20 |= 20

C. Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores
que otros. Además:

a. Todo número a, que se encuentra a la izquierda de otro, b, es menor. Esto es, a < b, lo
que implica que b − a > 0.
b. Cada número negativo es siempre menor que el cero.
c. Cada número negativo es menor cualquier positivo.
d. Cada número positivo es mayor que el cero.

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2.3. Otros subconjuntos en los enteros

En esta parte retomaremos algunos conjuntos que se derivan de los números enteros, como por
ejemplo los pares e impares, primos y compuestos, los múltiplos y divisores e incorporaremos
el mínimo común múltiplo (m.c.m.) y el máximo común divisor (M.C.D.), sumando además las
reglas de divisibilidad.

2.3.1. Números pares e impares

Definición 7 El conjunto de los números pares (para facilitar la identificación

utilizaremos el símbolo P) se se define como

P = {x ∈ Z; x = 2k, k ∈ Z} = {−∞, . . . , −2, 0, 2, . . . ∞}

Ejemplo
El número 18 es par. En efecto, existe el 9, tal que podemos escribir

18 = 2 · 9

Definición 8 El conjunto de los números impares (para facilitar la identificación

utilizaremos el símbolo I) se se define como

I = {x ∈ Z; x = 2k − 1, k ∈ Z} = {−∞, . . . , −3, −1, 1, 3, . . . ∞}

Ejemplo
El número 55 es impar. En efecto, existe el 28, tal que podemos escribir

55 = 2 · 28 − 1

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Observación 9

1. Si a es un número par, el antecesor par de a es (a − 2) y el sucesor par de a es

(a + 2).

2. Si b es un número impar, el antecesor impar de b es (b − 2) y el sucesor impar de

b es (b + 2).

3. La suma o resta de dos números pares, dan como resultado un número par.

4. La suma o resta de dos números impares, dan como resultado un número par.

5. La suma o resta de un número par y un impar, dan como resultado un número

impar.

6. La multiplicación de dos números pares, dan como resultado un número par.

7. La multiplicación de un número par y un impar, dan como resultado un número

par.

8. La multiplicación de dos números impares, dan como resultado un número impar.

2.3.2. Números primos y compuestos

Definición 10 Un número primo es un número natural que solo tiene como divisores
positivos al 1 y al mismo número, y un número compuesto es un número natural que tiene
algún otro divisor positivo además del 1 y del mismo número. Todos los números naturales
que no son primos son compuestos, a excepción del 1 que no es primo ni compuesto.

Ejemplo
Los números primos menores que 100 son

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

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El teorema fundamental de la aritmética

Teorema 11
Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores
primos.

Para realizar esta descomposición podemos utilizar:

1. Tabla de descomposición: La tabla funciona dividiendo al número compuesto por números

primos hasta que quede reducido a la unidad.
Ejemplo
Hallar la descomposición de prima de 90.

90 2
45 3
15 3
5 5
1
2 · 32 · 5

2. Diagrama de árbol.

Ejemplo
Hallar la descomposición de prima de 90.
90

9 10

3 3 2 5
Por lo tanto, la descomposición prima de 90 es 2 · 32 · 5

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2.3.3. Múltiplos y divisores

Múltiplos

Definición 12 Dados dos enteros a, b ∈ Z . Decimos que a es un múltiplo de b si existe

un número entero c tal que a = b · c. Identificaremos el conjunto de los múltiplo de a por
M (a)

Ejemplo
El conjunto de los múltiplos de 7 es:

M (7) = {7, 14, 21, 28, . . .}

Propiedades
A. El cero es múltiplo de todos los números.

B. Todo número a, distinto de 0, es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

C. Todo número, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos.

D. Si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta.

E. La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

F. La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

G. Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del

tercero.

H. Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.
Divisores

Definición 13 Dados dos enteros a, b ∈ Z , con a ̸= 0 . Decimos que a divide a b si

existe un número entero c tal que b = c · a. Al número entero a lo llamamos un divisor
de b . También decimos que b es un múltiplo de a , o bien que a es un factor de b. Se
escribe b ÷ a. El conjunto de divisores de un número a lo denotaremos por D(a).

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Observación 14 La cantidad total de divisores positivos que tenga el número estará dada
por el producto de los sucesores de los exponentes de dicha descomposición.

Ejemplo
Total de divisores de 90:

21 · 32 · 51 → (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 2 · 3 · 2 = 12

Esto quiere decir que 90 tiene 12 divisores

D(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}

2.3.4. Criterios de divisibilidad

Considerando números positivos (Z+ ), existen las siguientes reglas de divisibilidad:

1. Un número es divisible por 2 si su último dígito es par.

2. Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

3. Un número es divisible por 4 si sus dos últimos dígitos son cero o forman un múltiplo de
4.

4. Un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 ó 5.

5. Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3 a la vez.

6. Un número es divisible por 7 si la diferencia entre el número sin el último digito y el

doble del último dígito es 0 o múltiplo de 7. Por ejemplo, 315 es múltiplo de 7, ya que
(31 − 2 · 5) = 21 es múltiplo de 7.

7. Un número es divisible por 8 si sus tres últimos dígitos son cero o forman un múltiplo de
8.

8. Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

9. Un número es divisible por 10 si su último dígito es 0.

10. En general, un número entero es divisible por m · n si es divisible por m y n a la vez.

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2.3.5. m.c.m. y M.C.D.

El mínimo común múltiplo

Definición 15 El mínimo común múltiplo (m.c.m), es el menor entero positivo que

es múltiplo común de dos o más enteros. El mínimo común múltiplo entre m y n, lo
denotaremos por m.c.m.(m, n).

A continuación se muestran dos métodos para obtener el mínimo común múltiplo.

1. Tabla de descomposición
Hacer una tabla en la cual dos o más números se van dividiendo por números primos
(algunos de ellos pueden ser comunes) hasta que cada número queda totalmente descompuesto.
El m.c.m será la multiplicación de los factores primos.
Ejemplo
Sean A = 90 y B = 24, determinar el m.c.m

24 90 2
12 45 2
6 45 2
3 45 3
1 15 3
5 5
1
De esta manera m.c.m.(24, 90) = 23 · 32 · 5

2. Descomposición prima
Desarrollar la descomposición prima de todos los números y multiplicar todos los factores
distintos que aparezcan, elevados cada uno al mayor exponente que tenga en las descomposiciones.

Ejemplo
Sean A = 90 y B = 24, determinar el m.c.m
A = 2 · 32 · 5 y B = 23 · 3

Por lo tanto, el m.c.m(24, 90) = 23 · 32 · 5

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El máximo común divisor

Definición 16 El máximo común divisor (M.C.D), es el mayor entero positivo que

es divisor común de dos o más enteros. El máximo común divisor entre m y n, lo
denotaremos por M.C.D.(m, n).

A continuación se muestran dos métodos para obtener el máximo común divisor.

1. Tabla de descomposición
Hacer una tabla en la cual dos o más números se van dividiendo por números primos
comunes hasta que no exista otro número primo que pueda dividir a ambos números. El
M.C.D. será la multiplicación de los factores primos.
Ejemplo
Sean A = 90 y B = 24, determinar el M.C.D.
24 90 2
12 45 2
6 45 2
3 45 3
1 15 3
5 5
1
De esta manera M.C.D.(24, 90) = 2 · 3

2. Descomposición prima
Desarrollar la descomposición prima de todos los números y multiplicar solo los factores
comunes que aparezcan en los números, elevados cada uno al menor exponente que tenga
en las descomposiciones.

Ejemplo
Sean A = 90 y B = 24, determinar el M.C.D.
A = 2 · 32 · 5 y B = 23 · 3

Por lo tanto, el M.C.D.(24, 90) = 2 · 3

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Ejercicios

1. El conjunto D = {n ∈ N; “n es múltiplo de 3; 7 < n ≤ 19} corresponde a

Para los siguientes ejercicios, indica si es verdadero o falso cada una de las aseveraciones
indicadas respecto del conjunto A = {x; x ∈ N, 3 < x ≤ 10}

2. 1∈A

3. 3, 5 ∈ A

4. 9∈A

5. 4∈
/A

6. 10 ∈ A
Una forma de poder representar las relaciones entre conjunto es a través de los diagramas
de Venn. Por ejempo la intersección entre conjuntos se representa como sigue:

Para los siguientes ejercicios utiliza los diagramas de Venn para representar lo solicitado.

7. Representa A ∪ B

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8. Representa A ⊂ B

Resuelve los siguientes ejercicios. (sugerencia: Utiliza diagrama de Venn para apoyarte)

9. En un aula de 20 alumnos, 13 hacen deporte, 3 solamente pintan, 5 hacen deporte y pintan.

¿Cuántos alumnos no hacen deporte ni pintan?

10. De un grupo de alumnos, 184 practican karate y natación, 32 practican sólo natación y 23
sólo karate. Si 16 no practican estos deportes, ¿Cuántos alumnos son?

11. De un grupo de alumnos de primer grado, a 90 les gusta la comunicación, a 120 les gusta
la matemática y a 35 ambos cursos. ¿A cuántos les gusta solo uno de estos dos cursos?

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Alternativas

1. El valor de − | −2 | − | −107 | corresponde

A. −109
B. −105
C. 105
D. 109
E. 214

2. Dados los números enteros 3, 6 y 18. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera (s)?

I. Todos son divisores de 36

II. Su mínimo común múltiplo es 18
III. Su máximo común divisor es 6

A. sólo I
B. sólo II
C. sólo I y II
D. sólo I y III
E. sólo II y III

3. Si el cuadro siguiente cumple con ser un cuadrado mágico (la suma de las filas, columnas
y diagonales es la misma), entonces, los valores de X, Y , Z, W y R, respectivamente son:
A. 10, 20, 30, 40, 50

B. 10, 20, 30, 40, 45

C. 40, 30, 10, 20, 45

D. 40, 30, 20, 50, 45

E. 40, 30, 10, 45, 20

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4. Una de las reglas de divisibilidad de los números es para saber cuándo un número es divisible
por 11, ésta dice: “se suman las cifras de orden par menos la suma de las cifras de orden
impar; si el resultado es 11 o cero, dicho número es divisible por 11”. Por ejemplo, 275, se
suma el 2 y el 5 que resulta 7, menos el 7, resulta cero, luego, 275 es divisible por 11. Si el
número 42&8176 es divisible por 11, entonces & es:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 6
E. 7

5. Si p es el entero antecesor de k, entonces el sucesor de p , menos 4 unidades está representado

por:
A. k − 2
B. k − 3
C. k − 4
D. k − 5
E. k − 6

6. Si a y b representan dos números negativos, y a > b ¿cuál de las siguientes expresiones

corresponde siempre a un número negativo?
A. a · b
B. a − b
C. b − a
D. b ÷ a
E. a ÷ b

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7. Dados los números a = −3 + 3, b = 1 − 3 y c = −4 ÷ −2. Entonces, ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. a y b son números enteros.

II. a no es número natural.
III. (c − b) es un número natural.

A. Solo I
B. Solo II
C. Solo I y III
D. Solo II y III
E. I, II y III

8. En la serie de los cuadrados perfectos la diferencia positiva entre el primer término y el

undécimo término es
A. 143
B. 120
C. 117
D. 99
E. 96

9. Si a y b son números enteros tales que (a + b) es impar, entonces ¿cuál de las siguientes
expresiones representa un número impar?
A. 3a · b
B. a + b + 1
C. a − b + 3
D. b − a + 5
E. a · b + 7

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10. Si M (n) representa el conjunto formado por todos los números enteros múltiplos de n,
entonces {. . . , −12, −6, 0, 6, 12, . . . } corresponde al conjunto
A. M (1)
B. M (2)
C. M (3)
D. M (6)
E. M (12)

11. ¿Cuántas veces está contenido el antecesor de un número en el triple del número, menos
tres?
A. 2 veces
B. 2n − 1 veces
C. 3n veces
D. n − 3 veces
E. 3 veces

12. La suma de dos números múltiplos consecutivos de 6 es siempre

I. divisible por 2.
II. divisible por 6.
III. divisible por 12.

Es (son) verdadera(s)
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. Solo I y II
E. I, II y III

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13. ¿Cuál de los siguientes pares de dígitos deben ponerse en los espacios vacíos, para que el
número de 6 cifras, 6□4□12 sea divisible por 3?
A. 0 y 0
B. 1 y 2
C. 2 y 2
D. 3 y 4
E. 3 y 8

14. Si a y b son dos números primos distintos no pares, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?

I. a + b es par.
II. a · b es impar.
III. a ÷ b no es un número entero.

A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. Solo I y II
E. I, II y III

15. Si n y m son números naturales y si n ≤ m ≤ S (n), donde S (n) es el sucesor de n,

entonces, es verdadero que:
A. m = n o m = S (n)
B. m < n
C. m > n + 1
D. n < m
E. m = n y m = S (n)

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16. Si D(n) representa el conjunto formado por todos los números enteros no negativos divisores
de n, entonces D(36) corresponde al conjunto
A. {0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
B. {1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36}
C. {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 36}
D. {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 36}
E. {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

17. El M.C.D y el m.c.m de 222, 333 y 444 son, respectivamente

A. 22 · 32 · 37 y 3 · 37
B. 32 · 37 y 22 · 32 · 37
C. 3 · 37 y 2 · 3 · 37
D. 22 · 32 · 37 y 32 · 37
E. 3 · 37 y 22 · 32 · 37

18. Hay cuatro terrenos de 70, 56, 42 y 84 hectáreas, los cuales serán subdivididos en parcelas
de igual superficie. Entonces, cada una de estas tendrá una superficie máxima de
A. 2 Há
B. 7 Há
C. 14 Há
D. 28 Há
E. 42 Há

19. Tres ciclistas parten juntos en una carrera donde la pista es circular. Si el primero tarda
120 segundos en dar vuelta a la pista, el segundo tarda 140 y el tercero 180, ¿en cuántos
segundos pasarán nuevamente, los tres juntos, por la línea de partida?
A. 2 520
B. 1 260
C. 840
D. 630
E. 360

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20. El valor de | − 7| − | − 7| es:

A. −14
B. 0
C. 7
D. 14
E. 49

21. Si p = −9, entonces p − |p| + | − p| es igual a

A. −12
B. −9
C. 9
D. 12
E. 15

22. Sean a, b y c números enteros. Se puede determinar el menor de estos números si :

(1) b + 1 = a
(2) c − 1 = a

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola
C. Ambas juntas, (1) y (2)
D. Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E. Se requiere información adicional

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23. Sea z un número entero mayor que 50 y menor que 60. Se puede determinar el valor exacto
de z si :

(1) z es múltiplo de 3
(2) z es múltiplo de 6

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola
C. Ambas juntas, (1) y (2)
D. Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E. Se requiere información adicional

24. Sea n un número entero. La expresión 2(2 + n) representa un múltiplo de 6 si :

(1) n es un número impar.

(2) n es múltiplo de 3.

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola
C. Ambas juntas, (1) y (2)
D. Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E. Se requiere información adicional

Soluciones

1. A 7. E 13. E 19. A
2. C 8. B 14. E 20. B
3. C 9. E 15. A 21. B
4. D 10. D 16. E 22. C
5. C 11. E 17. E 23. B
6. C 12. D 18. C 24. E

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