U NIVERSIDAD M AYOR DE S AN A NDR ÉS

FACULTAD DE C IENCIAS G EOL ÓGICAS

C ARRERA DE I NGENIER ÍA G EOL ÓGICA
G ESTI ÓN 2023

A
RP C

EN
JO
VERSITAS MA

S IS
D IVI A N D R E A
UNI

G U ÍA DE E JERCICIOS
Á LGEBRA - M AT 100

Autora: Lic. Miriam Cusi Rodrı́guez

Modalidad de Evaluación
Exámenes Temas Ponderación Fecha
Primer Parcial Cap. 1, 2 y 3 20 % Vi. 31-mar-23
Segundo Parcial Cap. 4 y 5 20 % Vi. 11-may-23
Tercer Parcial Cap. 6 y 7 20 % Vi. 9-jun-23
Examen Final Cap. 1-6 20 % Ju. 15-jun-23
Prácticas Todas 10 %
Exposición Uno de los 6 temas 10 %
Total 100 %

L A PAZ - B OLIVIA
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS CARRERA DE ING. GEOLÓGICA

PR ÁCTICA N O 1 - L ÓGICA Y CONJUNTOS

Nota.
1. Resolver todos los ejercicios. (si tiene varios incisos, elija sólo 2).
2. Fecha de entrega. El dı́a del examen parcial.

1. Simboliza

a) La decisión dependerá del juicio o la intuición, y no de quién pagó más.

b) Si esta planta no crece, entonces necesita más agua o necesita mejor abono.
c) El Juez sentencia a Octavio si y sólo si, el Fiscal puede probar su culpabilidad o el testigo
no dice la verdad.
d) Si una sustancia orgánica se descompone, entonces sus componentes se transforman en
abono y fertilizan el suelo.
e) Si acepto el mundo que me ofrecen y soy feliz ası́; entonces empiezo a cavar mi propia
sepultura; o bien, si no soy feliz ası́, y no veo tampoco la posibilidad de cambiar este
mundo, emprendo ası́ mismo mi autoenterramiento.

2. Simboliza las siguientes proposiciones, negarlas y escribe en el lenguaje común.

a) No es justa, pero mantiene el orden.

b) Los estudiantes conocen a los simuladores y los desprecian.
c) Si los estudiantes conocen a los simuladores, entonces los desprecian.
d) Si mis maestros hacen que todas las lecciones sean aburridas y no aceptan las respuestas
que no figuran en los libros, entonces imponen un cúmulo de normas estúpidas.
e) Está lloviendo y el sol no está brillando.
f ) Si no hay nubes en el cielo y el sol esta brillando entonces no está lloviendo
g) El sol esta brillando o hay nubes en el cielo, pero no está lloviendo.

3. Un lógico le dijo a su hijo: ”Si no terminas tu cena, te irás directo a dormir”. el hijo terminó su
cena y fue enviado directamente a dormir. ¿Incumplió su promesa el lógico?. Explique.

4. En los siguientes ejemplos determine el valor de verdad de cada proposición compuesta.

a) Si 5 < 4, entonces − 4 < −5

b) 17 y 19 son números primos y 2 es el único primo par.
c) Marte es un planeta y el sol es una estrella, o la luna no es una estrella.
d) Si la luna esta hecho de queso entonces hoy habrá un eclipse.
e) Si (1)2 = (−1)2 , entonces 1 = −1.
f ) No es cierto que −6 + 9 = −2 si y sólo si 4 + 1 = −5
g) No es cierto que si −8 + 5 = −3, entonces 6 − 4 = 2 ó 1 + 4 = 5

5. Sean p: es rico y q: es feliz. Escriba cada una de las proposiciones siguientes de manera simbólica

1 Lic. Miriam Cusi Rodrı́guez

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a) Si es rico entonces no es feliz

b) No es rico ni es feliz
c) Ser pobre es ser feliz
d) El es pobre o es rico y feliz

6. Escriba el contrarecı́proco de las siguientes proposiciones.

a) Si hoy es dı́a de trabajo, entonces mañana es martes.

b) Si hay suficiente viento, entonces navegaremos a vela.
c) Si x2 = x entonces x = 0 ó x = 1.
d) Si la tarde está oscura, me invadirá el pesimismo.
e) Es agradable caminar bajo la lluvia, siempre que se tenga algo suficientemente triste en
que pensar.

7. Sabiendo que p es V, q es F, indique el valor de verdad de:

a) ( p ⇔ q) ∨ (∼ q ⇒ p)
b) (∼ p ∨ q) ⇒ p
c) q ⇒ (m ∨ n) ∧ r
d) [( p ∧ q) ∨ q] ⇒ p

8. Usando equivalencias lógicas, simplifica las siguientes proposiciones.

a) ∼ (∼ p∨ ∼ q) R. p∧q
b) (∼ p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) R. ∼ p∨q
c) ( p ⇒ q) ⇒ ( p ∧ q) R. p
d) ( p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q) R. ∼ ( p ∧ q)
e) [q ⇒ ( p ∧ r )] ∧ [∼ p ⇒ ( p ∧ r )] R. p
f ) [( p ⇒ r )∧ ∼ p] ∨ [( p ∨ q) ⇒ r ] R. ∼ p∨r
g) [( p ⇒∼ r ) ⇒ p] ∧ [∼ p ⇒∼ ( p∨ ∼ q)] R. p
h) [(∼ p ∧ q) ∨ ( p∧ ∼ q)]∨ ∼ (∼ p ⇒ q) R. ∼ p∨ ∼ q
i ) [( p ⇒ r ) ⇔ ( p ∧ r )] ∧ [( p ⇒∼ q) ⇒ q] R. p∧q
j) [( p ⇒∼ r ) ⇒∼ p] ⇒ [ p ∧ (∼ q ⇒ r )] R. p

9. Escriba cada una de las siguientes proposiciones como una implicación de la forma; Si...entonces.

a) La práctica diaria de su servicio es una condición suficiente para que Daniela tenga una
buena posibilidad de ganar el torneo de tenis.
b) Arregle mi aire acondicionado o no pagaré la renta.
c) Marı́a puede subir a la motocicleta de Luis sólo si usa el casco.
d) Compraré ese auto, si trabajo.
e) Te llevaré al cine, siempre y cuando termines tus ejercicios.

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10. Sean p( x, y) : x2 ≥ y, q( x, y) : x + 2 < y. Si el universo del discurso está constituido por los
números reales, determine el valor de verdad de:

a) p(2, 4) c) p( 12 , 13 ) ∨ q(−2, 3)
b) p(−3, 8) ∧ q(1, 4) d) p(2, 2) ⇒ q(1, 1)

11. Considerando los enteros como universo del discurso, sean las funciones proposicionales:

p(x) : x es positivo
q(x) : x es par
r(x) : x es un cuadrado perfecto
s(x) : x es divisible por 4
t(x) : x es divisible por 5

a) Escriba en forma simbólica

1) Algún entero es par
2) Existe al menos un entero positivo y par
3) Si x es par entonces x no es divisor de 5
4) Ningún entero par es divisible entre 5
5) Existe al menos un entero par divisible entre 5
6) Si x es par y cuadrado perfecto, entonces x es divisible entre 4
b) Exprese en palabras.
1) ∀ x (r ( x ) ⇒ p( x ))
2) ∃ x (s( x )∧ ∼ r ( x ))
3) ∀ x (s( x ) ⇒∼ t( x ))
4) ∀ x (∼ r ( x )∨ ∼ q( x ) ∨ s( x ))

12. En cada uno de los siguiente casos forme la negación de la proposición y simplifica:

a) ∃ x/( P( x ) ∨ Q( x ))
b) ∀ x : ( P( x )∧ ∼ Q( x ))
c) ∃ x/[( P( x ) ∨ Q( x )) ⇒ R( x )]
d) ∀ x : ( P( x ) ⇒ Q( x ))
e) ∃ x/P( x ) ∨ ∼ Q( x )
f ) ∀ x ∃y/ x · y = 0

13. Supongamos que el dominio de referencia es el conjunto de todas las personas. Sean los predi-
cados P: es criminal, Q: es antisocial y R: es feliz. Exprese la proposición:

[∀ x : ( P( x ) ⇒ Q( x ))∧ ∼ ∃ x : ( Q( x ) ⇒ R( x ))] ⇒∼ ∃ x : ( P( x ) ⇒ R( x ))

en el lenguaje común.

14. Demuestre los siguientes razonamientos.

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a) A partir de ∼ T; ∼ P ⇒∼ S; y ∼ P ∨ T. Demuestre ∼ (S∧ ∼ Q)

b) Demuestre que ∼ (S∨ ∼ Q) a partir de ∼ S ⇒ Q; ∼ ( T ∧ R); S ⇒ T ∧ R
c) Demuestre U a partir de P ∧ T; P ⇒ Q; Q ⇒ ( R ∧ S); ∼ R∨ ∼ T ∨ U

15. Escribe los siguientes razonamientos en forma simbólica y comprueba su validez.

a) Si José gano la carrera, entonces Pedro fue el segundo o Ramón fue el segundo. Si Pedro
fue el segundo, entonces José no ganó la carrera. Si Carlos fue el segundo, entonces Ramón
no fue el segundo. José ganó la carrera. Luego Carlos no fue el segundo.
b) Mi padre me alaba si estoy orgulloso de mı́ mismo. O me va bien en deportes o no puedo
estar orgulloso de mı́ mismo. Si estudio bastante, entonces no me va bien en deportes. Por
tanto, si mi padre me alaba, entonces no estudio bastante.
c) El cielo azul me pone contento y el cielo gris me pone triste. El cielo está azul o gris. Por lo
tanto, estoy contento o triste.

16. Determina la menor proposición que representa a cada circuito.

17. Construye un circuito correspondiente a cada proposición.

a) ( p ∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q)
b) ( p Y q)
c) ( p ∧ q) ∨ (∼ q)
d) ( p ∨ q) ⇒ [(∼ p ∨ q) ⇒ ( p ∧ q)]

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II. CONJUNTOS
1. Especifique cuál de los siguientes conjuntos es finito o infinito
a) {x / x es un paı́s de América Latina}
b) {x / x es un racional entre 2 y 3}
c) {x / x es una religión}
d) {x / x es un dı́gito divisible entre 2}
e) {x / x es un libro de MAT-100}
2. Escribe por extensión, cada conjunto.
a) A = { x ∈ Z : 3 < x < 12 ∧ xes primo} b) B = { x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0}
c ) C = { x ∈ N : x 2 − 1 = 0} d ) D = { x ∈ Z : | x − 5| = 4}

3. Escribe por comprensión los siguientes conjuntos.

a) El conjunto de los números naturales menores que 38 y múltiplos de 4.
b) Conjunto de los números primos mayores que 7 y menores que 37.
c) Conjunto de los soluciones enteras de la ecuación x2 − 4 = 0.
d) Conjunto de los números impares mayores que 6.
4. En cada inciso escriba a que es igual la unión o intersección de los conjuntos que se dan. (Asuma
que A ̸= ∅, A ̸= U)
1. A ∩ Ac = 2. A ∪ Ac = 3. Ac ∪ U =
4. A ∩ ∅ = 5. ∅ ∩ U = 6. ∅c ∪ U =

5. Al lado de cada una de las siguientes proposiciones, escriba F (falso) o V (verdadero) según
corresponda.
1. A ⊂ A 2. U c = ∅ 3. ∅ ∈ ∅ 4. ∅ = {0}
5. ∅ ∈ {∅} 6. A ∪ B = Ac ∪ Bc 7. ∅ ⊂ A 8. A ∈ P( A)
9. a ∈ { a} 10. 0 ∈ ∅ 11. A ∈ A 12. A ⊂ A ∪ B ∪ C
13. ∅ ∈ ∅ 14. ∅ ∈ P( A) 15. a ∈ { a} 16. A ∩ B ∩ B ∩ C ∩ D ∈ A ∩ B

6. Determinar los elementos de A y B sabiendo que el universo es U ={1,2,3,4,5,6,7,8}. A △ B =

{1, 2, 3, 4, 5} Bc = {1, 4, 7} y Ac = {2, 3, 5, 7}
7. Determinar los elementos de A, B y el universo U sabiendo que: A ∪ B = { a, b, c, e, f , g, h},
A ∩ B = { a, e} y Bc = {c, d, g, i }
8. Dados los siguientes conjuntos.
A = { x ∈ Z : | x | ≤ 5},
B = { x ∈ N : x es divisor de 6},
C = { x ∈ N : x2 < 16}
D = { x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0}

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Calcula

a) A ∪ D b) A △ B c) ( A ∩ B) ∪ D d) ( A ∩ B) ∩ C
e) ( A r B) ∪ ( B r D ) f ) (C r A) ∩ ( A r C ) g) ( B r A) ∩ C h) ( A ∩ B) r C

9. Determine todos los elementos de P ( E) si E = {1, 2, 5, 6}

10. Determine P ( E) y P (P ( E)) para un conjunto de dos elementos.

11. Demostrar gráficamente

a) ( A ∪ B) − C = ( A − C ) ∪ ( B − C )
b) ( A ∩ B) − C = ( A − C ) ∩ ( B − C )
c) A = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ Bc )

12. Demostrar: Ac − Bc = B − A

13. Construir un diagrama para cada una de las operaciones que se indican a continuación y sub-
rayar con lápiz de color el resultado.

a) [( A ∩ B) ∩ C ]c
b) ( Ac ∩ Bc ) ∪ C c
c) ( A ∪ B) − ( A ∩ B)
d) ( A △ B) − Bc

14. Una farmacia rebajó el precio de una loción para después de afeitarse, y el de una pasta de
dientes. Se llevó la cuenta de las ventas y al finalizar el dı́a, esta indicaba que 65 personas habı́an
comprado pasta de dientes, 21 loción y 12 ambos productos. ¿Cuántas personas aprovecharon
la oferta?

15. Un estadı́stico fue comisionado para determinar la preferencia en la lectura de periódicos en

La Paz, entre el Diario, Prensa y la Razón. El seleccionó aleatoriamente una muestra apropiada
y obtuvo los siguientes datos: 80 leen los tres periódicos. 138 leen el diario y Prensa. 170 leen
el Diario y la Razón. 320 leen Prensa y la Razón. 500 leen la Razón. 540 leen Prensa. 700 leen el
Diario. 208 no leen ninguno de los periódicos.

a) ¿Cuántos leen sólo el Diario?

b) ¿Cuántos leen al menos uno de los periódicos?
c) ¿Cuántos leen a lo sumo uno de los periódicos?
d) ¿Cuántos leen el Diario y Prensa, pero no la Razón?
e) ¿Cuántos leen Diario o Prensa, pero no la Razón?

16. En cierta competencia, todos los estudiantes gustan Aritmética, algunos de Fı́sica y otros de
Quı́mica. Si 350 gustan de Aritmética y Fı́sica, y 470 de Quı́mica ó Aritmética. Cuántos no
gustan de Fı́sica?

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17. En una encuesta a 200 estudiantes, se halló que 68 se comportan bien, 138 son inteligentes, 160
son habladores. 120 son habladores e inteligentes; 20 estudiantes se comportan bien y no son
inteligentes, 13 se comportan bien y no son habladores y 15 se comportan bien y son habladores,
pero no son inteligentes. ¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien,
no son habladores y no son inteligentes?

18. Une encuesta realizada entre 1052 obreros en una planta reveló que 661 tenı́an casa propia, 702
tenı́an radio y 733 televisor. 410 radio y televisor, 340 radio y casa propia, 370 casa propia y
televisor y 50 tenı́an las tres cosas.

a) ¿Cuántos obreros no tenı́an ninguna de las tres cosas?

b) ¿Cuántos sólo casa?
c) ¿Cuántos sólo televisor?

19. Una agencia de autos vendió durante un año 180 unidades con las siguientes caracterı́sticas.
57 tenı́an transmisión automática, 77 tenı́as clima, 45 tenı́an transmisión automática y clima,
10 tenı́an transmisión automática pero no tenı́an ni clima ni autoestereo, 28 tenı́an transmisión
automática y clima, pero no tenı́an autoestereo, 90 no tenı́an ninguna de las tres caracterı́sticas
mencionadas, 19 tenı́an clima y autoestereo. ¿Cuántas de estas unidades tenı́an autoestereo?

20. Considere a los números reales como conjunto referencial. Para n ∈ N sea el intervalo cerrado
∪
An = [−2n, 3n]. Determine lo siguiente: a) A3 , b) A7 ∩ A3 c) 7n=1 An , d) A3 − A4

PRÁCTICA 2 - RELACIONES Y FUNCIONES

I. RELACIONES

1. Dados los conjuntos A = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Describa por
extensión y grafique las relaciones entre A y B, dadas por:

a) xRy ⇔ x = y c) xRy ⇔ x2 = y2
b) xRy ⇔ x = y2 d) xRy ⇔ x2 ≥ y2

2. En el anterior ejercicio, encuentre el dominio y el recorrido de cada relación.

3. Sean los conjuntos A = { a, c, e}, B = { a, b, d, e} y C = {b, c, f } y las relaciones R entre A y B; S

entre B y C dadas por.

R = {( a, a), (c, e), (e, b)} y S = {( a, b), (b, f ), (b, c), (e, f )}

Encuentre S ◦ R y grafique.

4. Con las relaciones del anterior ejercicio (3), encuentre R−1 , S−1 , R−1 ◦ S−1 y verifique que:

( S ◦ R ) −1 = R −1 ◦ S −1

5. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6} y sea R una relación de A en B definida por:

xRy ⇔ x + y es par

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a) Determine R y R−1 por extensión.

b) Representar A × B y R.
c) Determine el dominio e imagen de R.

6. Sea A = { x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 5} y B = {3, 4, 5}se define R ⊂ A × B mediante:

( x, y) ∈ R ⇔ x + y ≤ 5

a) Determine R y R−1 por extensión.

b) Representar A × B y R

7. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 4, 6, 16} C = {2, 3, 8, 10} y las relaciones R ⊂ A × B, S ⊂ B × C

definidas por:
y
( x, y) ∈ R ⇔ y = x2 (y, z) ∈ S ⇔ z =
2
a) Determine R y S por extensión.
b) Determine por extensión la composición S ◦ R ⊂ A × C
c) Determine los dominios e imágenes de las tres relaciones.

8. En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} se define una relación por

xRy ⇔ 3| x − y

a) Definir R por extensión y formar el diagrama de R.

b) Probar que la relación es de equivalencia.
c) Determinar las clases de equivalencia.

9. En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} se define una relación por

xRy ⇔ 3| x + y

a) Definir R por extensión y formar el diagrama de R.

b) Probar que la relación es de equivalencia.
c) Determinar las clases de equivalencia.

10. En A = {1, 2, 3, 4} se considera la relación

R = {( x, y) ∈ A2 : x = y ∨ x + y = 5}

a) Definir R por extensión y formar el diagrama de R.

b) Probar que la relación es de equivalencia.
c) Determinar la partición de A.

11. Obtener los gráficos cartesianos de las siguientes relaciones definidas en R

a) ( x, y) ∈ R ⇔ y = 3
b) ( x, y) ∈ S ⇔ x + y = 1

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c) ( x, y) ∈ T ⇔ x + y < 1

12. Sea E el conjunto de los seres humanos. Clasificar las siguientes relaciones.

a) aRb ⇔ a es hijo de b d) aRb ⇔ a es amigo de b

b) aRb ⇔ a habla con b e) aRb ⇔ a está casado con b
c) aRb ⇔ a es de la misma nacionalidad que b

II. FUNCIONES
1. Sea P el conjunto de todas las personas; C el conjunto de números de teléfono; S el conjunto
de todos los grupos sanguı́neos y R el conjunto de todos los paı́ses. Determine si las siguientes
asignaciones f , g, h, k son funciones o no. Justifique su respuesta.

a) f : P → P, ( x, y) ∈ f ⇔ x es amigo de y
b) g : P → C, ( x, y) ∈ g ⇔ y es el número de teléfono de z
c) h : P → S, ( x, y) ∈ h ⇔ y es el grupo sanguı́neo de x
d) k : P → R, ( x, y) ∈ k ⇔ y es el paı́s de x

2. Dé cuatro ejemplos de funciones que observas en tu diario vivir.

3. Clasifica las siguientes funciones como inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

a) f : R → R dada por f ( x ) = 7x − 3
b) f : {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5} con f = {(1, 2)(2, 5)(3, 3)(4, 1)(5, 4)}
c) f : Z → Z dada por f ( x ) = 2x
1
4. Sea f ( x ) = 1+ x . Interpretar lo siguiente:

a) f ( f ( x )) ¿Para qué x tiene sentido?

b) f ( 1x )
c) f (cx )
d) f ( x + y)
e) ¿Para qué números c existe un número x tal que f (cx ) = f ( x )? (Note que hay muchos más
de los que a primera vista parece)

5. Sea la función f : R → R, dado por f ( x ) = 1 − 5x3 . Encuentre la inversa de f .

6. Sea f , g : f : R → R donde g( x ) = 1 − x + x2 , f ( x ) = ax + b, ( g ◦ f )( x ) = 3 − 9x + 9x2 . Halle

ayb

7. Sean las siguientes funciones de f : R en R

1 x 1 x−1
f 1 ( x ) = x; f 2 ( x ) = 1 − x; f 3 ( x ) = ; f4 (x) = ; f5 (x) = ; f6 (x) =
x x−1 1−x x
Calcular: f 1 ◦ f 2 ; f 2 ◦ f 4 ; f 5 ◦ f 6 ; f 6 ◦ f 4 ; f 6 ◦ f 1 ; f 3 ◦ f 3 ; f 4 ◦ f 6

8. Grafique las siguientes funciones

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a) f : R → R, f ( x ) = x − 1
b) f : R → R, f ( x ) = x2 + 1
x −1
c) f : Z → Q, f ( x ) = 2
d) Función lineal: a) f ( x ) = 3x + 2, b) f ( x ) = −2x + 3, c) f ( x ) = 2x − 5
e) Función cuadrática: a) f ( x ) = x2 + 4, b) f ( x ) = − x2 + 6x
1 2x x+1
f ) Función fraccionaria: a) f ( x ) = , b) f ( x ) = , c) f ( x ) =
x−1 x+3 x+5
g) Función Valor absoluto: a) f ( x ) =| x | +2, b) f ( x ) = − | x | +3

9. Sea la función f : R → R dada por f ( x ) = 2x2 − 3 ¿Existe f −1 ? Justifique su respuesta, y si

existe encuentre f −1 .

10. Sea la función f : R → R dada por f ( x ) = 2x2 − 3. Encuentre f (5), f ( a + 1), f ( a + h), f (2 −
x ), f ( f ( f ( f ( x ))))
x +1 x f (2)+ g(1)
11. Si f ( x ) = x −1 y g( x ) = x +1 . Hallar 2− f (2) g (1)
R.7

12. Si f ( x ) = 3x − 1. Hallar f [3 + f ( f ( 23 ))] R.14

2x2 −3 2x +3 g( f (−11))+ g(1) f ( g(−1))
13. Si f ( x ) = 3x +2 , g( x ) = 3x2 −2
. Hallar 1+ f (1)
R.5

14. Dada la función f ( x ) = ax + b, f (1) = 3, f (3) = 5. Hallar a y b. R.a = 1, b = 2

15. Si f ( x − 2) = x +9
x −4 . Hallar a ) f (3), b) f (−1)

16. Halla la inversa de cada una de las funciones, si existe.

√
a) f ( x ) = x2 − 4x + 3 c) f ( x ) = x+
x
1
√
−1
b) f ( x ) = 4−xx2 d) f ( x ) = 2x
1− x 2

5x +4
17. Si f ( x ) = x −5 . Hallar f ( f ( x ))

18. Si f ( x ) = x
x +2 , g( x ) = x +1
x −2 . Hallar ( f ◦ g)( x ), ( g ◦ f )( x )
2x −3
19. Si f ( x ) = 3 − 3x +7 . Hallar f −1 ( x ).

20. Si f ( x ) = 2x +1
x −1 . Hallar ( f −1 ◦ f −1 )( x )

PRÁCTICA 3 - GEOMETRÍA ANALÍTICA

1. Halla en el eje de abscisas un punto M, cuya distancia hasta el punto N (2, 3) sea igual a 5.

2. Los puntos medios de los lados de un triángulo son: M(2, −1), N (−1, 4) y P(−2, 2). Determina
sus vértices.

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3. Dados tres vértices de un paralelogramo ABCD, A(2, 3), B(4, −1) y C (0, 5). Halla el cuarto
vértice D.

4. Grafique la recta que pasa por A y B, y calcule su pendiente m.

a) A(−3, 2), B(5, −4) c) A(4, −1), B(−6, −3)

b) A(2, 5), B(−7, 5) d) A(5, −1), B(5, 6)

5. Demuestre que los puntos son vértices del polı́gono mencionado.

a) A(6, 15), B(11, 12), C (−1, −8), D (−6, −5); rectángulo.

b) A(1, 4), B(6, −4), C (−15, −6); triángulo rectángulo.
c) A(−3, −2), B(1, 4), C (−5, 0); triángulo isósceles.
d) A(1, 1), B(2, 3), C (5, −1); triángulo rectángulo.

6. Escriba la ecuación general de la recta y grafique las rectas que pasan por P para cada valor de
m.

a) P(3,1), m= 12 , -1, − 12 . (En un mismo plano)

b) P(-2,4), m= 1, -2, − 12 . (En un mismo plano)

7. Obtenga la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto A y que satisfaga la
condición dada.

a) A(5,-3), m = −4
2
b) A(-1,4), m = 3
c) A(4,-5), pasa por B(-3,6)
d) A(2,-4), paralela a la recta 5x − 2y = 4
e) A(4,5), perpendicular a la recta 3x + 2y = 7

8. Encuentra la ecuación general de la recta que satisfaga las condiciones dadas.

a) Abscisa en el origen 4, ordenada en el origen -3.

b) Abscisa en el origen -5, ordenada en el origen -1.
c) Que pasa por la ordenada en el origen -2 y tiene pendiente − 12 .

9. Determine la pendiente y la ordenada en el origen de la recta dada y trazar su gráfico. a) 2x =

15 − 3y b) x − 5y = −15 c) 4x − 3y = 9

10. Trace las rectas en el mismo plano coordenado, calcule las coordenadas de los puntos de inter-
sección. Y calcule el área del polı́gono formado por las rectas.

a) 2x − y = −1, x + 2y = −2, 3x + y = 11
b) 10x − 42y = −7,14, 8,4x + 2y = −3,8, 0,5x − 2,1y = 2,73, 16,8x + 4y = 14

11. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(1, 4) y es:

a) Paralela

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b) Perpendicular

a la recta 2x − 5y + 7 = 0

12. ¿Para qué valores de k las ecuaciones 8kx − 3y + 2 = 0 y 4x − 7y − 1 = 0 serán:

a) Rectas paralelas?
b) Rectas perpendiculares ?

13. Halla el valor de k para que la distancia del origen a la recta x + ky − 7 = 0 sea 2u.

14. Dadas las ecuaciones de dos lados de un paralelogramo 8x + 3y + 1 = 0, 2x + y − 1 = 0 y la

ecuación de una de sus diagonales 3x + 2y + 3 = 0, determina las coordenadas de los vértices
de este paralelogramo.

15. Halla un punto Q simétrico al punto P(−5, 13) relativo a la recta 2x − 3y − 3 = 0

16. ¿Para qué valor de m la recta y = mx + 3 pasa por el punto de intersección de las rectas 2x −
y + 1 = 0 y y = x + 5?

17. (Cálculo de salinidad). La salinidad del mar es la cantidad de sustancias disueltas en una muestra
de agua. La salinidad S se puede estimar a partir de la cantidad de cloro C en el agua, mediante
S = 0,03 + 1,805C, donde S y C son medidas en peso, en partes por mil. Calcule aproximada-
mente C, si S es 0,35.

18. Encontrar el centro y radio de la circunferencia, cuya ecuación general está dado por:

a) x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0
b) x2 + y2 − 12y + 31 = 0
c) 4x2 + 4y2 + 24x − 16y + 39 = 0

(Sugerencia.- completar cuadrados para x y y.)

19. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(1,3) y pasa por P(2,-1).

20. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en C(-2,-1/2) y es tangente a la recta
3x + 4y − 12 = 0.

21. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en C(1,-1) y tangente a la recta 5x − 12y + 9 =
0.

22. Los puntos A(3,2) y B(-1,6) son los extremos de un diámetro de la circunferencia. Hallar su
ecuación.

23. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(1,1), Q(1,-1) y R(2,0).(Sugerencia.-
Reemplazar los puntos P, Q y R en la ecuación general y resolver un sistema de variables A, B
y C)

24. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2 + y2 − 4x + 4y − 8 = 0 en el punto

P(4,5). (Sugerencia. 1ro hallar el centro de la circunferencia, 2do hallar la pendiente entre los
puntos C(h,k) y P(4,5), 3ro con la pendiente perpendicular al anterior, escribir la ecuación punto
pendiente de la recta que será tangente a la circunferencia)

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25. Hallar la ecuación de las circunferencias que teniendo sus centros en la recta 4x − 5y − 3 = 0
son tangente a la recta L( 1) : 2x − 3y − 10 = 0, L( 2) : 3x − 2y + 5 = 0 (Sugerencia. Realizar un
gráfico para tener idea de cómo son las rectas)

26. Hallar el área del polı́gono formado por los puntos. A(2,5), B(-4,5), C(-1,-2) y D(4,-3).

27. En las siguientes parábolas, determinar: a) Coordenada del foco b) Coordenada del Vérti-
ce. c) Ecuación de la directriz. d) Longitud del lado recto. e) Grafica.

a) y2 = −16x
b) 3x2 + 4y = 0
c) x2 + 6x + 4y + 8 = 0
d) y = 3x2 − 3x + 3
e) x = y2 − 6y + 11

28. Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es F(0,-2), directriz la recta y − 2 = 0

29. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es V(2,4) y foco F(-3,4).

30. Hallar la ecuación de la parábola cuyos extremos del lado recto son los puntos:

a) A(1,3) y B(7,3)
b) A(6,6) y B(6,-2)

31. En las siguientes Elipses, determinar: a) Coordenadas del centro. b) Coordenadas de los
focos. c) Coordenadas de los Vértices. d) Longitud de los ejes mayor y menor. e) Longitud
del lado recto. f) Grafica

a) x2 + 5y2 = 15
b) 16x2 + y2 = 16
c) 9x2 + 25y2 − 36x + 150y + 36 = 0
d) 24y2 + 49x2 − 144y + 490x + 265 = 0
e) 3x2 + 4y2 − 18x − 81 = 0

32. Hallar la ecuación de la elipse con centro en C(4,-2), un vértice en V(9,-2), un foco en F(0,-2), y
graficar.

33. Trace cada Elipse y determine sus caracterı́sticas.

2
x2 y
a) 2,9 + 2,1 =1
2
x2 y
b) 3,9 + 2,4 =1
x2 (y−2,1)2
c) 4,3 + 4,9 =1

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