FECHA: 2020 - I

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA CURSO: ÁLGEBRA

LINEAL
FACULTAD DE INGENIERIA SECCIONAL BOGOTA VERSION:
AREA:CIENCIAS BASICAS
GUIA TEMATICA No. Página 1 de 10

AREA DE CIENCIAS BASICAS

ÁLGEBRA LINEAL

AUTOR: JULIO DAVID GIL QUINTERO

LICENCIADO EN MATEMÁTICAS E INFORMÁTICA,
Ms. EN DOCENCIA E INVESTIGACIÓN UNIVERSITARIA CON ÉNFASIS
EN MATEMÁTICAS

TEMA: Vectores en R2 y en R3

COMPETENCIAS:

1. Reconocer vectores en R2 y en R3.

2. Identificar las propiedades básicas de los vectores en R2 y en R3.
3. Ejercitarse en la aritmética vectorial básica y comprender su geometría.
4. Representar gráficamente vectores en R2 y en R3.

TIEMPO: 6 HORAS

CONDUCTA DE ENTRADA:

Plantear y resolver las siguientes situaciones:

1. El equipo olímpico de Estados Unidos, con 10 miembros, participo este año en tres
competencias internacionales. Calcule el promedio de cada uno, si las calificaciones
obtenidas en las competencias están representadas por los vectores 𝑢
⃗,𝑣y𝑤 ⃗⃗ . ¿Cuál es
la calificación promedio del décimo miembro del equipo?

⃗ = (8.5, 9.5, 8, 9.2, 9.9, 10, 8.8, 6.5, 9.4, 9.8)

𝑢
𝑣 = (9.5, 7.5, 8.2, 8.2, 8.9, 7.9, 7.8, 8.5, 9.4, 9.6)
⃗⃗ = (8.5, 8.5, 8.9, 9.2, 8.6, 9.9, 9.8, 9.5, 9.1, 8.9)
𝑤

2. Una empresa de artículos deportivos tiene dos fábricas, y en cada una se ensamblan
bicicletas de montaña fabricadas en aluminio y titanio. La primera planta produce 150
bicicletas de aluminio y 15 de titanio por día. La segunda, 220 y 20, respectivamente.
𝑣1 = (150, 15) y ⃗⃗⃗⃗
Si ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 = (220, 20), calcule e interprete el significado de las expresiones
de (a) a (c).
Elaboró: Revisó: Aprobó:

Una universidad, todo un país

a. ⃗⃗⃗⃗
𝑣1 + ⃗⃗⃗⃗
𝑣2

b. ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 − ⃗⃗⃗⃗
𝑣1

c. 10𝑣
⃗⃗⃗⃗1

d. ¿Cuántos días debe trabajar cada fábrica para que la empresa entregue 2600
bicicletas de aluminio y 250 de titanio.

DESARROLLO DE LA TEMATICA

VECTORES EN R2 Y EN R3

Desde el punto de vista geométrico, un vector es un segmento de recta dirigido en el

espacio, con un punto inicial y un punto final; desde el punto de vista algebraico un vector
en R2 es una pareja ordenada de números reales (a,b) y en R3 es una terna ordenada
de números reales (x,y,z).
Los vectores tienen como características una magnitud y una dirección:

En R2:

U= (a, b)= ai+bj

Magnitud: ‖𝑢‖ = √𝑎2 + 𝑏 2

Dirección: se mide por el ángulo θ que forma el vector u con el eje positivo de las x.

𝑏
𝑇𝑎𝑛𝜃 =
𝑎

𝑏
𝜃 = 𝑇𝑎𝑛−1 ( )
𝑎

Si nos dan ‖𝑢‖, θ conocemos sus componentes por medio de:

Elaboró: Revisó: Aprobó:

Una universidad, todo un país

 𝑏
𝑆𝑒𝑛𝜃 = → 𝑏 = ‖𝑢‖𝑆𝑒𝑛𝜃
‖𝑢‖

𝑎
𝐶𝑜𝑠𝜃 = → 𝑎 = ‖𝑢‖𝐶𝑜𝑠𝜃
‖𝑢‖

En R3:

𝑎= (a1, a2, a3)= a1i+a2j+a3k

Elaboró: Revisó: Aprobó:

Una universidad, todo un país

Magnitud: ‖𝑎‖ = √𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2

Dirección: se mide por los ángulos que forma el vector 𝑎 con cada uno de los ejes de
coordenadas α, β, θ. Estos son llamados cosenos directores:
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
‖𝑎‖

𝑏
𝑐𝑜𝑠𝛽 =
‖𝑎‖

𝑐
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
‖𝑎 ‖

Vector Unitario: es aquel cuya magnitud es igual a uno.

En R2:

Ejemplos:

(1, 0) → ‖𝑖‖ = 1 (-1, 0) → ‖−𝑖‖ = 1

(0, 1) → ‖𝑗‖ = 1 (0, -1) → ‖−𝑗‖ = 1

En R3:

Ejemplos:

(1, 0, 0) → ‖𝑖‖ = 1 (-1, 0, 0) → ‖−𝑖‖ = 1

(0, 1, 0) → ‖𝑗‖ = 1 (0, -1, 0) → ‖−𝑗‖ = 1

(0, 0, 1) → ‖𝑘‖ = 1 (0, 0, -1) → ‖−𝑘‖ = 1

Vector Dirigido en R2: es una pareja ordenada de elementos de R2. Si v= (a, b) es un

vector dirigido, los puntos a y b son llamados punto inicial y punto final respectivamente
Elaboró: Revisó: Aprobó:

Una universidad, todo un país

del vector v. Además, el vector v tiene una dirección de a hacia b y se dice que está
localizado en a.

⃗⃗⃗⃗
Denotamos v= (a, b) por v= 𝑎𝑏

Ejemplo:

𝑢𝑣 = (3, 4 )
Si u= (2, 3) y v= (5, 7) entonces el vector dirigido ⃗⃗⃗⃗

Vector Dirigido en R3: es una terna ordenada de elementos de R3. Si 𝑣= (a, b, c) es un

vector dirigido, los puntos A y B son llamados punto inicial y punto final
respectivamente del vector 𝑣. Además, el vector 𝑣 tiene una dirección de A hacia B y se
dice que está localizado en A.

Denotamos 𝑣= (a, b, c) por 𝑣= ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵

Ejemplo:

Si 𝑢 𝑢𝑣 = (3, 5, 6 )
⃗ = (1, 2, 3) y 𝑣= (4, 7, 9) entonces el vector dirigido ⃗⃗⃗⃗

Elaboró: Revisó: Aprobó:

Una universidad, todo un país

SUMA DE VECTORES:

⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , … 𝑢𝑛 ) y 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … 𝑣𝑛 ) n-vectores, entonces:

Sean 𝑢

La suma de 𝑢
⃗ y 𝑣 se define como:

⃗ + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1 , 𝑢2 + 𝑣2 , 𝑢3 + 𝑣3 , … 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 )
𝑢

Ejemplo: si 𝑢
⃗ = (2, 5) y 𝑣 = (3, 7) entonces 𝑢
⃗ + 𝑣 = (5, 12)

⃗ = (−3, 4, −5) y 𝑣 = (2, 7, −4) entonces 𝑢

Si 𝑢 ⃗ + 𝑣 = (−1, 11, −9)

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES POR UN ESCALAR

⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , … 𝑢𝑛 ) y k un escalar, entonces el producto 𝑘𝑢

Si 𝑢 ⃗ está dado por:

⃗ = (𝑘𝑢1 , 𝑘𝑢2 , 𝑘𝑢3 , … 𝑘𝑢𝑛 )

𝑘𝑢

Ejemplo: si 𝑢 ⃗ = 3(2, 5) = (6, 15)

⃗ = (2, 5) y k= 3 entonces 𝑘𝑢

⃗ = (−3, 4, −5) y k= -2 entonces 𝑘𝑢

Si 𝑢 ⃗ = −2(−3, 4, −5) = (6, −8, 10)

PRODUCTO ESCALAR (PUNTO)

⃗ y 𝑣 son dos vectores de R2. 𝑢

Si 𝑢 ⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 ) y 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 ) entonces el producto
escalar de 𝑢
⃗ por 𝑣 (𝑢
⃗ ∗ 𝑣), es el número real obtenido así:

𝑢
⃗ ∗ 𝑣 = 𝑢1 ∗ 𝑣1 + 𝑢2 ∗ 𝑣2 ó ⃗ ∗ 𝑣 = ‖𝑢
𝑢 ⃗ ‖ ∗ ‖𝑣‖ ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼

⃗ = (3, 5) y 𝑣 = (2, 4) entonces el producto escalar 𝑢

Ejemplo: si 𝑢 ⃗ ∗ 𝑣 = 6 + 20 = 26
Elaboró: Revisó: Aprobó:

Una universidad, todo un país

 ⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) y 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) entonces el
⃗ y 𝑣 son dos vectores de R3. 𝑢
Si 𝑢
producto escalar de 𝑢
⃗ por 𝑣 (𝑢
⃗ ∗ 𝑣), es el número real obtenido así:

𝑢
⃗ ∗ 𝑣 = 𝑢1 ∗ 𝑣1 + 𝑢2 ∗ 𝑣2 + 𝑢3 ∗ 𝑣3 ó ⃗ ∗ 𝑣 = ‖𝑢
𝑢 ⃗ ‖ ∗ ‖𝑣‖ ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼

⃗ = (−2, 5, 3) y 𝑣 = (4, 1, −3), el producto escalar 𝑢

Ejemplo: si 𝑢 ⃗ ∗ 𝑣 = −8 + 5 − 9 = −12

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

Si 𝑢
⃗,𝑣y𝐰 ⃗⃗ son vectores de R3. 𝑢 ⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ), 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) y ⃗w
⃗⃗ = (w1 , w2 , w3 )
entonces el triple producto escalar de 𝑢
⃗ , 𝑣 y ⃗w
⃗ , es el número real obtenido así:
u1 𝑢2 𝑢3
⃗ ∗ (𝐯 𝐱 ⃗w) = | 𝑣1
𝑢 𝑣2 𝑣3 |
w1 w2 𝑤3

⃗ = (1, 2, −3), 𝑣 = (−2, 4, −1) y

Ejemplo: determinar el triple producto escalar de 𝑢
⃗⃗ = (5, −2, 1)
⃗w

1 2 −3
⃗ ∗ (𝐯 𝐱 w
𝑢 ⃗ ) = |−2 4 −1| = 1(4 − 2) − 2(−2 + 5) − 3(4 − 20) = 2 − 6 + 48 = 44
5 −2 1

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES

Sean 𝑢 ⃗ y 𝑣 dos vectores distintos de cero. El ángulo θ entre 𝑢

⃗ y 𝑣, es el menor ángulo
positivo formado entre los representantes de 𝑢⃗ y 𝑣 que tienen el origen en el punto
(0,0,0).

⃗ y 𝑣 son vectores diferentes de cero, y θ es el ángulo entre 𝑢

Teorema: si 𝑢 ⃗ y 𝑣,
entonces:

𝑢
⃗ ∗𝑣
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
‖𝑢
⃗ ‖‖𝑣‖

Si θ = 0 ó π entonces 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ±1

Si θ = π/2 entonces 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

Elaboró: Revisó: Aprobó:

Una universidad, todo un país

Si 𝑢
⃗ ∗ 𝑣 = 0 entonces 𝑢
⃗ y 𝑣 son ortogonales (o perpendiculares).

𝑢⃗ ∗𝑣
⃗
Si 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ±1 ó ‖𝑢
⃗ ‖‖𝑣 ⃗‖
= ±1 entonces 𝑢
⃗ y 𝑣 son paralelos.

PROYECCIONES ORTOGONALES

⃗w
⃗⃗ es perpendicular a 𝑣
Si 𝑣 ≠ 0 y 𝑢⃗ es un vector cualesquiera entonces la proyección de 𝑢
⃗ sobre 𝑣 es un
vector paralelo a 𝑣 dado por:

𝑢
⃗ 𝑢
⃗ ∗𝑣
𝑃𝑟𝑜 = 𝑣
𝑣 ‖𝑣‖2

Ejemplo: determinar la proyección de 𝑢

⃗ = (−2, 6) sobre 𝑣 = (1, 2)

𝑢
⃗ 𝑢
⃗ ∗𝑣 −2 + 12 10
𝑃𝑟𝑜 = 2
𝑣= 2
(1, 2) = (1, 2) = 2(1, 2) = (2, 4)
𝑣 ‖𝑣‖ √5 5

PRODUCTO VECTORIAL (CRUZ)

⃗ y 𝑣 son vectores de R3, entonces el producto vectorial de 𝑢

Si 𝑢 ⃗ por 𝑣 (𝑢
⃗ 𝑥 𝑣 ) es un
vector ortogonal a 𝑢
⃗ y ortogonal a 𝑣
⃗⃗⃗ , obtenido así:

Si 𝑢
⃗ = 𝑢1 𝑖 + 𝑢2 𝑗 + 𝑢3 𝑘 = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )
𝑣 = 𝑣1 𝑖 + 𝑣2 𝑗 + 𝑣3 𝑘 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 )
Entonces:

Elaboró: Revisó: Aprobó:

Una universidad, todo un país

 𝑖 𝑗 𝑘
⃗ 𝑥 𝑣 = |𝑢1
𝑢 𝑢2 𝑢3 | = 𝑖(𝑢2 𝑣3 − 𝑣2 𝑢3 ) − 𝑗(𝑢1 𝑣3 − 𝑣1 𝑢3 ) + 𝑘(𝑢1 𝑣2 − 𝑣1 𝑢2 )
𝑣1 𝑣2 𝑣3

⃗ = (−2, 5, 3) y
Ejemplo: determinar el producto vectorial entre los vectores 𝑢
𝑣= (4, 1, −3)

𝒊 𝒋 𝒌
⃗ 𝒙𝒗
𝒖 ⃗ = |−𝟐 𝟓 𝟑 | = 𝒊(−𝟏𝟓 − 𝟑) − 𝒋(𝟔 − 𝟏𝟐) + 𝒌(−𝟐 − 𝟐𝟎) = −𝟏𝟖𝒊 + 𝟔𝒋 − 𝟐𝟐𝒌
𝟒 𝟏 −𝟑

PROPIEDADES DEL PRODUCTO CRUZ

⃗,𝒗
Sean 𝒖 ⃗⃗ vectores de R3 y sea k un real, entonces:
⃗ y𝐰

⃗ 𝐱𝟎=𝟎𝐱𝒖
1. 𝒖 ⃗
⃗ 𝐱𝒗
2. 𝒖 ⃗ = −(𝒗 ⃗ 𝐱𝒖⃗ ) propiedad anticonmutativa del producto cruz.
3. (𝐤 𝐱 𝒖
⃗ )𝒙 𝒗⃗ = 𝐤(𝒖 ⃗ 𝐱𝒗⃗)
(𝒗
⃗ 𝐱 ⃗ +𝐰
4. 𝒖 ) (𝒖
⃗⃗ = ⃗ 𝐱 𝒗 ⃗ ) + (𝒖
⃗ 𝐱𝐰 ⃗⃗ ) propiedad distributiva.
⃗ ∗ (𝒗
5. 𝒖 ⃗ 𝐱𝐰 ⃗⃗ ) = (𝒖⃗ 𝐱𝒗⃗ )∗𝐰 ⃗⃗ triple producto escalar.
⃗ ∗ (𝐮
6. 𝒖 ⃗ 𝐱 𝐯⃗) = (𝐮 ⃗ 𝐱 𝐯⃗) ∗ 𝒗
⃗ =𝟎

APLICACIONES TEÓRICO – PRÁCTICA

1. Encuentre un ⃗𝒗 = (𝐚, 𝐛) que tenga magnitud y dirección dada:

𝟓
‖𝒗
⃗ ‖ = 𝟕; 𝜽 = 𝝅
𝟔

⃗ = (3, −2, 8). Encuentre un vector unitario en la dirección ⃗⃗⃗⃗⃗

2. Sean 𝑃⃗ = (2, 1, 4) y 𝑄 𝑃𝑄

⃗ = (0, 0, 1). Calcule 𝑖 𝑥 ⃗𝑗, 𝑗 𝑥 𝑘

3. Sean 𝑖 = (1, 0, 0); 𝑗 = (0, 1, 0); 𝑘 ⃗, 𝑘
⃗ 𝑥⃗𝑖

⃗ = (1, 2, −1) y 𝑣 = (−2, −4, 2) son paralelos.

4. Muestre que el vector 𝑢

⃗
5. Sea 𝐴 = (6, 3, −2) y a, b, c son ángulos entre 𝐴 y los vectores unitarios 𝑖, 𝑗, 𝑘
respectivamente. Obtenga cosa, cosb y cosc.

6. Encuentre el triple producto escalar de los siguientes vectores:

⃗ = (−1, 2, 4); 𝑣 = (3, 4, −2); 𝑤

a. 𝑢 ⃗⃗ = (−1, 2, 5)
⃗ = (3, −1, 6); 𝑣 = (2, 4, 3); 𝑤
b. 𝑢 ⃗⃗ = (5, −1, 2)

Elaboró: Revisó: Aprobó:

Una universidad, todo un país

7. Determine el producto cruz de los siguientes vectores:

a. 𝑢
⃗ = −3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘; 𝑣 = 6𝑖 + 4𝑗 − 2𝑘
b. 𝑢
⃗ = 2𝑖 − 3𝑗 + 5𝑘; 𝑣 = 3𝑖 − 𝑗 − 𝑘

⃗ = (1, 0, 0) y 𝑣 = (0, 0, 1) es de 90°

8. Muestre que el ángulo entre los vectores 𝑢

⃗ = (1, −2) y 𝑣 = (4, 3) determine la proyección de 𝑢

9. Dados los vectores 𝑢 ⃗ sobre 𝑣 y la
proyección de 𝑣 sobre 𝑢⃗

10. Trazar los siguientes vectores con los puntos iniciales ubicados en el origen

⃗ = (5, −4)
a. 𝑢
b. 𝑣 = (−4, −3)
⃗ = (3, 4, 5)
c. 𝑢
d. 𝑣 = (−3, 4, −5)

⃗ = (−3, 1, 2), 𝑣 = (4, 0, −8) y 𝑤

11. Sean 𝑢 ⃗⃗ = (6, −1, −4 ). Encontrar las componentes
de:

a. 6𝑢
⃗ + 2𝑣
b. −3(𝑣 − 8𝑤 ⃗⃗ )
c. (2𝑢 ⃗⃗ ) − (8𝑣 + 𝑢
⃗ − 7𝑤 ⃗)

12. Sean 𝑢⃗,𝑣y𝑤 ⃗⃗ los vectores del ejercicio 11. Encontrar las componentes del vector 𝑎
que satisface a 2𝑢⃗ − 𝑣 + 𝑎 = 7𝑎 + 𝑤⃗⃗

13. Sean 𝑢⃗,𝑣y𝑤 ⃗⃗ los vectores del ejercicio 11. Encontrar los escalares c1, c2 y c3 tales
que 𝑐1 𝑢 ⃗⃗ = (2, 0, 4)
⃗ + 𝑐2 𝑣 + 𝑐3 𝑤

14. Halle dos vectores unitarios ortogonales a 𝑢

⃗ =𝑖+𝑗+𝑘 ya𝑣 =𝑖−𝑗−𝑘

BIBLIOGRAFÍA

Grossman, S. Álgebra lineal. Editorial: Iberoamérica. 1988.

Nakos, G. Álgebra lineal. Editorial: Thomson. 1999.
LIPSCHUTZ, S. Algebra Lineal. Editorial: McGraw-Hill. 2003.
SOLER, F. Álgebra lineal y programación lineal. Editorial: Ecoe. 2004
LARSON, R. Álgebra lineal. Editorial: Pirámide. 2004

Elaboró: Revisó: Aprobó:

Una universidad, todo un país