E1

PUCP - Cálculo en varias variables - Ejercicios Propuestos 1
1. Pruebe las siguientes propiedades del producto vectorial o producto cruz en R3 :
a) u × v = 0 si y sólo si u y v son vectores paralelos.

b) u · (v × w) = (u × v) · w.
c) u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w.
d ) ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 − (u · v)2 .
e) Sean u y v vectores en R3 , y sea θ el ángulo formado por u y v. Demuestre que
||u × v|| = ||u||||v|| sen θ.
2. Sean u y v vectores en R3 . Demuestre que el área del paralelogramo formado por u y v es ||u × v||.
3. Si u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) y w = (w1 , w2 , w3 ), demuestre que

 
u1 u2 u3
u · (v × w) = det  v1 v2 v3 
w1 w2 w3
4. Demuestre que el volumen V del paralelepı́pedo determinado por los vectores u, v y w de R3 está dado
por
V = |u · (v × w)|.
Sugerencia: Use los problemas 1e, 2 y 3.
5. Sea P el paralelepı́pedo formado por los vectores (1, 0, 0), (3, 2, 0) y (0, 0, −1). Sea Q el paralelepı́pedo
determinado por los vectores
→
−
u = (cos θ, − sen θ, 0), →
−
v = (3 cos θ + 2 sen θ, −3 sen θ + 2 cos θ, 0) y →
−
w = (0, 0, −k 2 ),
donde k y θ son números reales. Demuestre que el volumen de Q es igual a k 2 · Vol(P ).
6. Sea T1 el tetraedro formado for los vectores →

−
u, →
−
v y →
−
w , y T2 el tetraedro formado por los vectores
→
− →
− →
− →
− →
− →
−
u + v , v + w y u + w . Demuestre que el volumen de T2 es el doble del volumen de T1 .
7. Sea L la recta con ecuación vectorial (x, y, z) = (2, −1, 3) + t (−1, 2, 1), donde t ∈ R.
a) Compruebe que el punto A = (2, −1, 3) está en L, pero que (1, 1, 1) no lo está.
b) Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por A y es orthogonal a L.
c) Halle el punto en el que L corta al plano 3x + 5y − z = 6.
8. Sea P el plano perpendicular al vector →−

n (1, −4, 3) que pasa por el punto P0 (3, 1, 2). Demuestre que
la ecuación del plano P es x − 4y + 3z = 5.
9. Sea P el plano perpendicular al vector →−

n (A, B, C) que pasa por el punto P0 (x0 , y0 , z0 ). Demuestre
que la ecuación del plano P como lugar geométrico es
P : Ax + By + Cz = D,
→
−
donde D = →
−
n · P0 .
10. Los puntos A(3, 0, 0), B(0, 5, 0) y C(0, 0, 4) corresponden a los vértices del triángulo ABC. Halle la
ecuación vectorial y la ecuación cartesiana del plano P que contiene al triángulo ABC.
11. Sean A(2, 1, 0) y B(10, 2, 0) vértices de un paralelogramo ABCD tal que la proyección ortogonal del
−−→ −→
vector AD sobre el vector AC es el vector (3, 4, 1).
a) Halle las coordenadas de los vértices C y D.

b) Si el punto V (4, 0, 10) es el vértice de una pirámide de base ABCD, halle la altura de dicha
pirámide.
12. Sea P el plano que pasa por los puntos (1, 0, 2), (0, 1, 3) y (−3, 2, 0). Halle la distancia del punto
Q = (3, 2, 5) al plano P.
13. La recta ` pasa a través del punto P (1, −1, 1) y tiene vector dirección →
−
v = (2, 3, −1). Para cada uno
de los siguientes planos P, determine si ` y P son paralelos, perpendiculares o ninguno de los dos.
a) 2x + 3y − z = 1.
b) 4x − y + 5z = 0.
c) x − y − z = 3.
d ) 4x + 6y − 2z = 0.
14. Sean P1 y P2 los planos paralelos con ecuaciones Ax + By + Cz = D1 y Ax + By + Cz = D2 ,

respectivamente. Demuestre que la distancia desde cualquier punto Q(x0 , y0 , z0 ) de P1 al plano P2
está dada por
|D1 − D2 |
√
A2 + B 2 + C 2
15. Analice y justifique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones.
a) El vector →
−
w = (−1, 1, 1) es combinación lineal de los vectores →
−
u = (1, 0, 1) y →
−
v = (1, 1, 0).
b) Para los vectores u , v y w en R , si u · w = 0 y v · w = 0, entonces u = →
→
− →
− →
− n →
− →
− →
− →
− →
− −v.
c) En R3 , si dos rectas no son paralelas, entonces deben intersectarse en un punto.
d ) Para los vectores →
−u, →
−
v y→ −
w en R2 , si →−
u es ortogonal a →
−v y→ −
v es orthogonal a →−
w , entonces
→
− →
−
u es ortogonal a w .

→
− →
− 1 1 1
e) Sean v = (1, 2, 3) y u = , , √ . Entonces la proyección ortogonal de → −
v sobre →−u es
2 2 2
3 √
(1, 1, 2).
4
Referencias
[1] Poole, D. Linear Algebra.
[2] Stewart, J. Calculus. Early transcendentals. 6th. Ed. Thomson Brooks/Cole. 2008.
Profesor: Richard Gonzales.

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PUCP - Cálculo en varias variables - Ejercicios Propuestos 1

1. Pruebe las siguientes propiedades del producto vectorial o producto cruz en R3 :

a) u × v = 0 si y sólo si u y v son vectores paralelos.

||u × v|| = ||u||||v|| sen θ.

3. Si u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) y w = (w1 , w2 , w3 ), demuestre que

Sugerencia: Use los problemas 1e, 2 y 3.

donde k y θ son números reales. Demuestre que el volumen de Q es igual a k 2 · Vol(P ).

6. Sea T1 el tetraedro formado for los vectores →

8. Sea P el plano perpendicular al vector →−

9. Sea P el plano perpendicular al vector →−

a) Halle las coordenadas de los vértices C y D.

14. Sean P1 y P2 los planos paralelos con ecuaciones Ax + By + Cz = D1 y Ax + By + Cz = D2 ,

Profesor: Richard Gonzales.

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