Universidad Nacional Autónoma de Honduras

Facultad de Ciencias
Escuela de Matemática y Ciencias de la Computación
Guı́a de ejercicios segundo parcial

Instrucciones: Resuelva en forma clara y honesta cada uno de los siguientes ejercicios. Muestre su procedimiento y encierre
su respuesta final.Además recuerde incluir una portada con su nombre completo, número de cuenta, sección.

−→
1. Dados los puntos A(3, 0, 1) y B(−5, 2, 4) determinese el punto C dado que el vector AC tiene la dirección y el triple de
−−→
magnitud del vector AB
2. ¿Para qué valores números x, y y z tendremos
x(1, 2, 0) + y(0, 3, 1) + z(−1, 0, 1) = (2, 1, 0) ?
3. Calcule t ∈ R sı́:
√ √ √
a) a = (1, 2, − 2) y |ta| = 5
b) dist(A, B) = 2,A(t, −t, 2) y B(1, 1, 1)
c) x es unitario y x = t(2, 1, −2)
4. Encuentre un vector u ∈ R2 tal que u · v = 0 y |u| = |v| sı́ v = (1, 3)
5. Considere los vectores u = i + 2k − j , v = 3j + 5k − i y w = i + j − k, calcule el vector unitario en dirección opuesta a
(5u · (w × v))w
π
6. Sean u = (1, −1, 0) , w = (1, 1, 0). Determinese el vector v ∈ R3 que cumpla las siguientes condiciones u ⊥ v , |v| = 4 y ϕ =
3
(ángulo entre u y v)
u · v + |u + v|2
7. Considere los vectores u = 5i − 4j y v = 4i + 2j sı́ ϕ es el ángulo entre u y u − v calcule
|u|sen(ϕ)
8. Sean →
−
p = (2, k) y →
−
q = (3,5). Encontrar k tal que

a) →
−
p y →
−q sean paralelos.
→
−
b) p y →
−q sean ortogonales.
π
c) él ángulo entre →−
p y→ −
q sea
3
→
− →
− π
d ) él ángulo entre p y q sea
4
9. Haga lo indicado en cada inciso
a) Determine el ángulo que forman los vectores u y v sı́ |u| = 5, |v| = 3 , |u + v| = 12.
b) Demuestre que no hay vectores →−
u y→ −v tales que |→
−
u | = 1 , |→−v|=2,→ −u ·→−v =3
−−→
10. Encuentre todos los vectores q ∈ R2 tales que P Q tenga su punto inicial en él punto P = (2, −1) y que sean paralelos al
→
−
vector u = (7, 6)
11. Determine el vector x , sı́ se sabe que es ortogonal a los vectores u = (2, 3, −1) y v = (1, −2, 3) y satisface la condición
x · (2, −1, 1) = −6
12. Dados →
−
u ,→
−
v y→
−
w vectores en R3 tales que: →
−
u +→
−
v +→
−
w = 0 ; |→
−
u | = 5 , |→
−
v | = 6 y |→
−
w | = 7, calcular →
−
u ·→
−
v
13. Considere los vectores u = (2, −1, 3) , v = (1, 2, −a) y w = (3, 2, −4). Determine el vector x que satisface las condiciones
x · u = −5, x · v = 11 y x · w = 20
14. Sean u = a1 i + b1 j y v = a2 i + b2 j. Establezca una condición sobre a1 , b1 , a2 y b2 que asegure que v y proyv U tengan la misma
dirección.

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15. Sea los vectores u y v tales que u × v = (14, 7, −7) y u · v = 24

a) Calcule el área del paralelogramo que determinan los vectores dados.
b) Encuentre el ángulo entre los vectores u y v
16. Considere él vector →
−
v = (3, −2, 5). Determine un vector →
−
u tal que →
−
u ·→
−
v =0y→
−
u ×→
−
v = −44i + 4j + 28k
17. Considerar él paralelepı́pedo con lados →
−
u = (3, 2, 1) , →
−
v = (1, 1, 2) y →
−
w = (1, 3, 3)
a) Encontrar él área de la cara determinado por →−
u y→ −
w
b) Encontrar él ángulo entre u y él plano que contiene la cara determinada por →
→
− −
v y→
−
w
18. Sean los vectores u = (2, 4, 5), v = (1, x, 5) y w = (4, 3, 2). Determine el valor de x ∈ R de modo que los tres vectores
determinen un paralelepı́pedo de volumen 89.
19. Encuentre el volumen del paralelepı́pedo que tiene un vértice en el origen y vértices adyacentes en (1, 4, 0), (−2, −5, 2),
(−1, 2, −1).
20. Dados los vectores →
−
u = 4i − 2j , →
−
v = −2i + 3k , →
−
w = 2i + j − 4k encuentre.
a) Los ángulos internos del triángulo cuyos vértices están sobre las cabezas de los vectores →
−
u ,→
−
v y→
−
w
b) Él área de él triángulo formado por las cabezas de dichos vectores.
c) La componente vectorial del vector → −u perpendicular al vector →−
v −→ −
w
21. Demuestre que los vectores de posición →
−
u = i − 2j + k, →
−
v = 3i + 2j − 3k y →
−
w = 9i − 2j − 3k son coplanares y encuentre la
ecuación del plano que los contiene.
22. Considere las rectas L1 : (x, y, z) = (3, 5, a) + α(2, −3, 5) y L2 : (x, y, z) = (a, 7, 3) + β(0, 4, 2) , α, β ∈ R
a) Determine sı́ es posible a ∈ R para que las rectas L1 y L2 sean coplanares
b) Para él valor obtenido , encuentre él plano que contiene a las rectas dadas.
23. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A = (2, 1, 5) y corta de manera perpendicular la recta con ecuación:
x−1 y+2 z−3
L: = =
3 4 2

24. Se tiene un plano que pasa por el punto (2, 6, −1) y es paralelo a 4x − 2y + z = 1 determine la ecuación de dicho plano.
de α y β el plano: αx + βy + 3z − 5 = 0 es perpendicular a la recta cuyas ecuaciones parámetricas son:
25. ¿Para que valores 
x = 3 + 2t 
y = 5 − 3t
z = −2 − 2t


x−3 y z−2
26. Calcule el ángulo entre el plano π : x + 3y − z + 1 = 0 y la recta = =
7 −1 3
27. Calcule la distancia entre las dos rectas dadas:
 
x = 13 + 12t  x = 6 
y = 2 y = 6+t
z = 8 + 5t z = −9
 

28. Se tiene un plano que pasa por el punto (2, 6, −1) y es paralelo a 4x − 2y + z = 1 determine la ecuación de dicho plano.

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29. Encuentre una ecuación de la recta que pasa por el punto (1, −1, 2) y es ortogonal a las rectas, que están dadas por las
siguientes ecuaciones paramétricas.

x = 2t x = −3t + 1
y=t y = 2t
z =t−1 z = 4t − 1

30. Dados los puntos A(−2, 1, 0), B(3, 0, 5) , C(3, 3, 3) y D(−3, 1, −2) encuentre la ecuación paramétrica para las rectas AB y
CD, además determine si las rectas se cortan o no.
31. ¿Para que valores de α y β el plano: αx + βy + 3z − 5 = 0 es perpendicular a la recta: x = 3 + 2t, y = 5 − 3t y z = −2 − 2t.
32. Halle la distancia entre las rectas L1 : (2, −3, 5) + t(−7, 1, 5) y L2 : (1, 4 − 2) + λ(21, −3, −15)

33. Calcule la distancia entre los planos 2x − 3y + 4z + 5 = 0 y 4x − 6y + 8z + 16 = 0

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