Espacio euclidiano de n dimensiones

Si n es un numero entero positivo, entonces una n-ada ordenada es una sucesión de n números
reales (x1,x 2 ,...,xn ) , al conjunto de todas las n-adas ordenadas se le denomina espacio

euclidiano de n dimensiones y se le denota mediante n

Vectores en n

Un vector de n , denotado indistintamente como x = (x1,x 2 ,...,xn ) o como la matriz columna

 x1 
 
x
x =  2
 
 
 xn 
Representación geométrica

En el espacio n se puede establecer una geometría para los vectores que lo forman:

Un vector (x1,x 2 ,...,xn ) de n se puede identificar con el vector (geométrico) cuyo punto inicial

está en el origen (el cero del espacio n ) y cuyo punto final está en el punto (x1,x 2 ,...,xn ) del

espacio n-dimensional, el problema con este sentido geométrico de n , es que no se puede ver
(solo imaginar) a los vectores para n ≥ 4 . Una n-ada (x1,x 2 ,...,xn ) se puede concebir como un

"punto generalizado" o como un "vector generalizado" desde el punto de vista matemático, la

distinción no tiene importancia. Los vectores se pueden representar geométricamente como
segmentos de recta dirigidos, o flechas, en los espacios bidimensional y tridimensional; la
dirección de la flecha especifica la dirección del vector y la longitud de la misma describe su
magnitud. La cola de la flecha se llama punto inicial del vector y su punta es el punto terminal.

Si el punto inicial de un vector es P y el punto terminal es Q, se escribe a = PQ , si O es el origen
 
de coordenadas: P = OP , Q = OQ , entonces
     
OP + PQ = OQ , a =OQ − OP =Q − P


Figura 1: vector PQ

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Definiciones
Igualdad
a = b ⇔ ai = bi ∀i = 1,2,...,n
Suma
a + b = (a1 + b1,a2 + b2 ,... ,an + bn )

Propiedades:
1) conmutativa
a + b = b + a , ∀a,b ∈ n
2) asociativa
(a + b) + c = a + (b + c), ∀a,b,c ∈ n
3) El elemento neutro de la suma de vectores es el vector que tiene todas sus componentes
iguales a cero.
0 = (0,0,...,0)
a + 0 = 0 + a = a , ∀a ∈ n

Multiplicación por un escalar

ka (ka1,ka2 ,...,kan ) ,k ∈ 
Propiedades
1) k(a + b) = ka + kb , ∀a,b ∈ n, ∀ k escalar
2) (k + λ )a= ka + λa , ∀ a ∈ n,k, λ escalares
3) (kλ )a = k(λa), ∀ a ∈ n,k, λ escalares

Vectores paralelos
Dos vectores son paralelos si y solo si uno de ellos es el múltiplo escalar del otro, es decir:
a/ /b ⇔= a k b (o= b ra) , k,r escalares .
Nota:
1) si k > 0 , a y b tienen la misma dirección
2) si k < 0 , a y b tienen direcciones opuestas
3) si k = 0 ⇒ 0 / /b , ∀b , entonces 0 tiene cualquier dirección.

Teorema
Si c es un vector no nulo y si a y b son paralelos a c , entonces a y b son paralelos

Norma o longitud de un vector

n
=
a =
a ∑ ai2 =
,i 1,2,3,...,n
i=1

Propiedades
1) ∀a ∈ n : a ≥ 0

2) ∀a ∈ n : a = 0 ⇔ a = 0

3) ∀a ∈ n,k ∈  : ka =k a

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4) a + b ≤ a + b desigualdad triangular

Producto escalar (producto interno) en n

Si a = (a1,a2 ,...,an ) y b = (b1,b2 ,...,bn ) , son vectores en n , su producto escalar se define como
n
< a,b >= a ⋅ b= ∑ aibi
i=1
Propiedades
1) a ⋅ b = b ⋅ a
2) a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
3) (ka) ⋅ b = a ⋅ (kb) = k(a ⋅ b)
2
4) a ⋅ a =a , a⋅a = 0 ⇔ a = 0
2 2 2
5) a ± b = a ± 2a ⋅ b + b
Vectores ortogonales
Dos vectores a y b son ortogonales, si y solo si a+b = a−b .
Entonces
n n
⇔ ∑ (ai + bi )2 =∑ (ai − bi )2
2 2
a+b =a − b
=i 1=i 1

n n
=∑ [(ai + bi )2 − (ai − bi )2 ] =0 ⇔ ∑ aibi =0
i 1 =i 1
n
⇔ ∑ aibi = a ⋅ b = 0 . Podemos afirmar
i=1
a ⊥ b ⇔ a ⋅b =0
Teorema
2 2 2
Si a y b son ortogonales, entonces a + b = a +b
Demostración:
a y b son ortogonales, entonces a ⋅ b =0
2
a+b =(a + b) ⋅ (a + b) =a ⋅ (a + b) + b ⋅ (a + b)
2 2
= a⋅a + a
 ⋅b + b
 ⋅a + b ⋅b = a + b
0 0
Vectores unitarios en n
Un vector unitario u en n es un vector con longitud 1. Si a es un vector distinto de cero,
a
entonces el vector u = es un vector unitario en la dirección de a .
a

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Los vectores de n componentes:
e1 = (1,0,0,...,0) , e2 = (0,1,0,...,0) , … , en = (0,0,0,...,1) , son vectores unitarios en n , que son

mutuamente ortogonales.

Si a = (a1,a2 ,...,an ) es cualquier vector en n , a se puede escribir como una combinación lineal

de e1,e2 ,e3 ,....,en , como a= a1e1 + a2e2 + ... + anen .

Notaciones para vectores unitarios en  2 y 3

En  2 i = e1 se denota como (1;0) , j = e2 se denota como (0;1)

Ejemplo:
a = (3;7) ⇒ a = 3i + 7j

En 3 i = e1 se denota como (1;0;0) , j = e2 se denota como (0;1;0) , k = e3 se denota

como (0;0;1)

Ejemplo:
a = (4; −3;8) ⇒ a = 4i − 3j + 8k

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Proyección de un vector sobre otro
Sean u y v dos vectores diferentes de cero en un espacio vectorial V con producto interno,
entonces la proyección de u sobre v es un vector denotado por Pr oy v u que se define como:
u,v
Pr oy v u = v
2
v

Pr oy v u y v son ortogonales, Pr oy v u es paralelo a v, entonces:

Pr oy v u = λv , u − Pr oy v u,v = 0 ⇒ u − λv,v = 0

2 u,v
u,v = λ v ⇒ λ =
2
u,v − λv,v =0 ⇒ u,v =λ v,v v
, entonces:
u,v
Pr oy v u = v
2
v

Desigualdad de cauchy-schwarrz
Sea V un espacio vectorial con producto interno, si x,y ∈ V , entonces:
x,y ≤ x y
Demostración
a) Si y = 0, la desigualdad se cumple
b) si y ≠ 0 :
Sea p la proyección de x sobre y, entonces:
2 2 2 2
x = p+ x −p ⇒ x = p + x −p ≥ p
, donde x y x-p son ortogonales.
2 2
x,y 2 x,y x,y 2
p= y⇒ p = y = y
2 2 4
y y y
2
2 x,y 2 2 2
x ≥ ⇒ x y ≥ x,y
2
y
Sacando raíz cuadrada
x,y ≤ x y

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Nota
La igualdad se cumple si uno de los vectores x, y es un múltiplo escalar del otro.
Desigualdad triangular
Sea V un espacio vectorial con producto interno, si x,y ∈ V , entonces:
x+y ≤ x + y
Demostración:
Si x,y ∈ V , entonces de la desigualdad de cauchy-schwarrz se obtiene:
2
x+y = x + y,x + y x,x + x,y + y,x + y,y
2 2 2 2 2
x+y = x,x + x,y + y,x + y,y = x + x,y + x,y + y =+
x 2Re x,y + y
2 2 2
x+y ≤ x + 2Re x,y + y
2 2 2
x+y ≤ x +2 x y + y

≤( x + y )2 ⇒ x+y ≤( x + y )
2
x+y
Nota:
La igualdad se cumple si y solo si uno de los vectores x, y es un múltiplo no negativo del otro.

Angulo entre vectores

Sea V un espacio vectorial real con producto interno, entonces el ángulo θ entre los vectores
u,v
diferentes de cero u,v ∈ V , está definido por: cos θ = , donde θ ∈ [0, π] .
u v

Por la desigualdad de cauchy-schwarrz, −1 ≤ cos θ ≤ 1 y por lo tanto el ángulo θ siempre existe.

Nota
1) Si a ⋅ b > 0 , θ es agudo
π
2) Si a ⋅ b =0 , θ es
2

3) Si a ⋅ b < 0 , θ es obtuso
π
4) u y v son ortogonales si y solo si son perpendiculares, es decir θ = .
2

Distancia entre dos vectores en un espacio con producto interno

La distancia entre u y v se puede calcular como la norma del vector d= u − v

d(u,v)= u−v

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Nota:
El módulo de la suma de dos vectores puede calcularse en función del menor ángulo entre ellos,
usando la ley de cosenos

Angulo entre vectores


Dos vectores a y b determinan un triángulo, usando ley de cosenos, podemos escribir:
2 2 2
a−b = a + b − 2 a b cos θ
…. (1)
como:
2
2 2  2 2 2
=
a −b (a1,a2 ,a3 ) − (b1,b2 ,b3 ) =  (a1 − b1) + (a2 − b2 ) + (a3 − b3 ) 
 
2
=(a1 − b1,a2 − b2 ,a3 − b3 )

= (a1)2 − 2a1b1 + (b1)2 + (a2 )2 − 2a2b2

+(b2 )2 + (a3 )2 − 2a3b3 + (b3 )2
2 2
= a + b − 2(a1b1 + a2b2 + a3b3 )
…. (2)
De (1) y (2)
a b + a b + a3b3
cos(θ) = 1 1 2 2
a b
Proyección ortogonal
Se denomina proyección ortogonal de a sobre b , al vector: Pr oy a , definido de la siguiente
b
a ⋅b
forma: =
Pr oy a ( 2 )⋅b , b ≠ 0
b b
Cuando se proyecta un vector sobre otro. Lo que en realidad se hace, es proyectar el vector
sobre la dirección del otro.

Propiedades del vector proyección ortogonal

1) Pr oyc (a=
+ b) Pr oyc a + Pr oyc b , c ≠ 0

=
2) Pr oy ka k Pr oy a , b ≠ 0
b b
3) Pr oykb a = Pr oyb a
Componentes
Se denomina componente de a sobre b , al número real, definido de la siguiente forma:
a ⋅b
Compb a = , b≠0
b

El vector proyección de a sobre b , y la componente de a sobre b , están relacionados por:

b
Pr oyb a = (Compb a)
b

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Nota:
1) Si Compb a > 0 ( θ =angulo agudo) , entonces el vector b y el vector Pr oy a tienen el mismo
b
sentido.
2) Si Compb a < 0 ( θ =angulo obtuso) , entonces el vector b y el vector Pr oy a tienen sentidos
b
opuestos.
π
3) Si Compb a = 0 ( θ = ), entonces el vector b y el vector Pr oy a son ortogonales, es decir
2 b
Pr oyb a = 0
.

Propiedades de las componentes

1) Compc (a=
+ b) Compc a + Compc b , c ≠ 0

2) Comp ka = kComp a , b ≠ 0
b b
Comp a , si k > 0 , b ≠ 0
3) Compkb a =  b
 −Comp b a , si k < 0 , b ≠ 0

Producto vectorial
 
El producto vectorial de dos vectores a = (a1,a2 ,a3 ) y b = (b1,b2 ,b3 ) , es el vector:
a×
= b (a2b3 − a3b2 )i − (a1b3 − a3b1) j+ (a1b2 − a2b1)k ……. (1)

Los coeficientes de los vectores unitarios en (1) se reconocen como determinantes de orden 2,
por lo que (1) puede escribirse como:
=
a×b b a2 a3 i − a1 a3 j+ a1 a2 k
2 b3 b1 b3 b1 b2
Esta representación a su vez, se puede escribir como un determinante de orden 3
i j k
a×b =a1 a2 a3
b1 b2 b3
Ejemplo:
 
y b (3 ; 1 ; − 1) , determinar a × b .
a (4; − 2 ; 5)=
si =
Solución
i j k
a × b =4 − 2 5 =−2 5 i − 4 5 j+ 4 − 2 k ⇒ a × b =−3i + 19j + 10k
3 1 −1 1 −1 3 −1 3 1

Producto vectorial de los vectores unitarios

Como i = (1 ; 0 ; 0) , j = (0 ; 1 ; 0) , k = (0 ; 0 ; 1) , entonces:

i × i =0 , j × j =0 , k × k =0 i × j =k , j × k =i , k × i =j j × i =−k , k × j =−i , i × k =− j

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Regla de la mano derecha
Si los dedos de la mano derecha apuntan a lo largo del vector a y después se curvan hacia el
vector b , el pulgar dará la dirección de a × b . En la figura (b), la regla de la mano derecha
muestra la dirección de b × a .

Propiedades del producto vectorial

1) a × b =0 , si a = 0 o b = 0

2) a × b =−b × a

3) a × (b + c) = a × b + a × c

4) (a + b) × c = a × c + b × c

5) a × (kb)= (ka) × b= k(a × b) , k escalar

6) a × a =0

7) a ⋅ (a × b) =
0, a ⊥ (a × b)

8) b ⋅ (a × b) =
0, b ⊥ (a × b)

Vectores paralelos
Dos vectores distintos del vector cero son paralelos si y solo si a × b =0

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Identidad de Lagrange
2 2
a=
×b a b − (a ⋅ b)2

Esta identidad relaciona la longitud de (a × b) con las longitudes de a y b , puede demostrarse,

escribiendo cada miembro en función de las componentes de los vectores.
Transformando el miembro de la derecha:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a × b= a θ)2 a
b − ( a b cos= b −a θ)2 a
b (cos = b (1 − cos2 θ)

2 2 2
=
a×b a b sen2θ × b a b senθ , 0 ≤ θ ≤ π
, entonces: a=

Interpretación geométrica
Consideremos el paralelogramo formado por los vectores a y b

=
Vemos que el área del paralelogramo es A = b h , pero h a sen θ , entonces
= A a b sen θ

La longitud de a × b puede interpretarse geométricamente como el área del paralelogramo

determinado por los vectores a y b , es decir A = a × b = a b sen θ

Triple producto escalar


Sean  a ,b y c ∈ 3 , se define el triple producto escalar o producto mixto de  a ,b y c y se representa

por abc  .

a1 a2 a3
ab c  = a ⋅ (b × c) = b1 b2 b3
 
c1 c 2 c 3

Interpretación geométrica
Si los vectores  a ,b y c no están en un mismo plano, entonces el volumen del paralelepípedo con
1
lados  a ,b y c es b × c Compb×c a = b × c ( a ⋅ (b × c) ) =a ⋅ (b × c)
b×c

Así, el volumen de un paralelepípedo determinado por tres vectores es el valor absoluto del
triple producto escalar de los vectores.

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