Universidad de Costa Rica

Facultad de Ciencias
Escuela de Matemática
Departamento de Matemática Aplicada

RESUMEN DE PRÁCTICA IIP

Este documento simplifica la cantidad de ejercicios de la práctica de temas 3 y4.

Producto escalar: propiedades Ejercicios

Sean u, v, w ∈ Rn q
y λ ∈ R. 1. La ecuación general del plano π que pasa por el punto:
1. v · v = ||v|| = v12 + v22 + · · · + vn2
2
P1 = (x1 , y1 , z1 ) y es paralelo al plano determinado por
2. v · w = w · v los vectores u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ) puede
presentarse como
3. u · (v + w) = u · v + u · w
4. (λv) · w = λ(v · w) = v · (λw)
x − x1 y − y1 z − z1
5. |u · v| ≤ ||u|| ||v|| u1 u2 u3 = 0
Producto cruz: propiedades
v1 v2 v3
Sean u, v, w ∈ R3 y λ ∈ R. Determinar, a partir de la fórmula anterior, una
ecuación del plano π que pasa por los puntos P =
!
u2 u3 u1 u3 u1 u2
1. u × v = ,− , (1, 2, 3), Q(3, 2, 1) y R(1, 3, 2).
v2 v3 v1 v3 v1 v2
2. u × v = −v × u 2. Considere los siguientes vectores
3. u × (v + w) = u × v + u × w
v = e1 + (1 − k)e3
w = (2, 0, 1)
4. λ(u × v) = (λu) × v = u × (λv) Determine el valor de k para que los dos vectores sean:
Ángulo entre vectores (a) ortogonales (b) paralelos.
Sean u, v ∈ Rn , distintos de 0,
3. Encuentre un vector v que contenga la magnitud y
u·v
cos(θ) = dirección dadas:
||u|| ||v||
(a) ||v|| = 2, θ =
π 5π
Proyección de vectores 3 (b) ||v|| = 7, θ =
6
Sean u, v ∈ Rn , u distinto de 0, la
proyección de v sobre u es Además, represente gráficamente los vectores.
u·v
 
proyu (v) = u 4. Para cada uno de los siguientes, calcule el producto
||u||2
escalar y el coseno entre ellos:
Ecuaciones de una recta
(a) u = i − j; v = i + 2j
Sea ` la recta que pasa por P (a, b, c) y con
dirección dada por v = (p, q, r): (b) u = 4i − 7j; v = 5i + 6j

5. Sean u = i − 2j + 3k , v = −3i + 2j + 5k y w =

x(t)

 = a + pt
• Paramétrica: y(t) = b + qt 2i − 4j + k. Calcule

= c + rt

z(t)
(a) proy w ( proy u (v))
• Simétrica:
x−a
=
y−b
=
z−c
, (b) u × v × w
p q r
donde p, q, r 6= 0. (c) u × proy v (w)
Nota: Aquí se resumen reglas, verificar anotaciones de
clase. La solución de los ejercicios la puede obtener en
horario de consulta.
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8. Encuentre la ecuación del plano que contiene 14. Sea L la recta con ecuación vectorial
al punto dado y es ortogonal al vector normal
4 1
   
dado. →
−x =  1  + t 0
   

(a) P = (1, 3, −2), n = i + k −2 2

(b) P = (−4, 1, 6), n = 2i − 3j + 5k donde t es un parámetro. Sea Q el punto con

coordenadas (−1, 2, 3).
9. (a) Muestre que proy u ( proy u (v)) =
(a) Encuentre el punto de la recta L que esté
proy u (v).
más cerca del punto Q.
(b) Muestre que proy u (v − proy u (v)) = 0.
(b) ¿Cuál es la distancia mínima del punto Q
(c) Explique (a) y (b) geométricamente. a la recta L?

10. Demostrar que la ecuación del plano que tiene 15. (a) Encuentre la ecuación escalar del plano que
intersección A, B, C, respectivamente con los contiene los tres puntos P = (5, −1, 2),
ejes x, y, z es Q = (−1, 3, 4) y R = (3, 1, 1).

x y z (b) Encuentre una ecuación vectorial de la

+ + =1 línea de intersección de los dos planos con
A B C
ecuaciones escalares x1 − 3x2 − 2x3 = 10 y
3x1 + 2x2 + x3 = 2.
x−1 y+1 z−2 x
11. Sean `1 : = = y `2 : =
2 3 −1 3 16. Verdadero-Falso: Indique si las siguientes
y−1 z+1 afirmaciones son verdaderas o falsas y explique
= .
9 −3 brevemente por qué.
(a) Demuestre que son `1 y `2 son rectas par- (a) Si →
−
u ,→−
v ,→−
w son vectores distintos de cero
alelas. en R y u · →
3 →
− −
v =→ −
u ·→
−
w , entonces →−
v =→ −
w.
(b) Determine la distancia entre `1 y `2 . →
− →
− →
−
(b) Si u , v , w son vectores distintos de cero
(c) Encuentre la ecuación del plano que con- en R3 y → −u ×→−v = → −u ×→ −
w , entonces
→
− →
−
v = w.
tiene a `1 y `2 .
(c) Si →
−
u ,→
−
v son vectores distintos de cero en
12. Encuentre la intersección entre la recta y la su- R3 y ||→
−
u ×→−v || = ||→
−
u || ||→
−
v ||, entonces
perficie dada →
− →
−
u · v = 0.
(a) ` : x = 2t, y = 3t, z = −2t y la esfera (d) Suponga que L es la recta en R3 que pasa
x2 + y 2 + z 2 = 16. por el origen y es paralela al vector →
−
u 6=
→
−
0 . Entonces la ecuación
(b) ` : 3y + z = 0 y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4. −→
proy − →
−
→u ( x ) = proy −
u (OP )
→
13. Supongamos que → −u y →
−v son dos vectores en
R tales que el ángulo entre ellos es θ = , y
3 π es una ecuación de la recta que pasa por el
3 punto P y ortogonal a la recta L.
||→
−
u || = 4, ||→
−
v || = 7. Encuentre el valor exacto
de cada uno de los siguientes: 17. Obtener la intersección, si hubiera, entre el
plano π : x−2y +3z = 1 y la recta ` : (x, y, z) =
(a) ||→
−
u ×→
−
v || (b) →
−
u ·→
−
v →
− →
−
(c) ||3 u −5 v || (1, 2, 1) + t(0, 2, 3). R/(1, 12/5, 8/5).

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18. Considere los puntos A = (5, 2, 2), B = (4, 0, 1), (a) Determine la ecuación normal del plano P
C = (0, 0, 1) y D = (1, 2, 2). que contiene a L1 y es paralela a L2 .
(b) Determine la ecuación de la recta L3 que es
(a) Verifique que los vértices A, B, C, D deter-
ortogonal a L1 y L2 y corta a ambas rectas.
minan un paralelogramo.
(c) Determine la distancia de L2 a P .
(b) Encuentre el área del paralelogramo.
(c) El paralelogramo ABCD es un rectán- 23. Dado el plano π, cuya ecuación normal es:
gulo. 31x + 3y + 18z = 62.
−→ −→
(d) Calculo la proyección de AB sobre AC. (a) Determine la ecuación de la recta ` que
pasa por el punto (−1, 2, 6) y que es per-
19. Sean u = (0, 2, 0), v = (0, 3, −1) y w = (1, 0, 1) pendicular al plano π.
vectores de R3 .
(b) Determine el punto de intersección de la
recta ` con el plano π.
(a) Calcule ku × vk
(b) Encuentre dos vectores ortogonales a y b
tales que a + b = u y a sea paralelo a v.
(c) Calcule el volumen del paralelepípedo
definido por los vectores u, v, w.

20. Considere los puntos A = (7, −1, m), B =

(8, 6, 3) y C = (10, n, 9), donde m, n ∈ R.

(a) Calcule el valor de m, n de manera que

A, B, C no formen un triángulo.
(b) Determine el valor m para que la longitud
−→ √
de AB sea 50.

21. Considere x, y vectores en Rn .

(a) Demuestre que si x y y son paralelos en-

tonces |x · y| = kxk kyk.
(b) Demuestre que si x y y son perpendicu-
lares entonces kx + yk2 = kxk2 + kyk2 y
kx − yk = kx + yk

22. Considere las rectas L1 y L2 , cuyas ecuaciones

son Referencias
• L1 : (x, y, z) = (3 + t, 7 + 2t, 3t − 1), [1] Grossman, Stanley (2018) Álgebra lineal. Editorial McGraw-Hill,
8va edición.
x y−1
• L2 : = =z−2 [2] Poole, David (2017) Álgebra Lineal. Una introducción moderna.
3 2 Editorial Cengage Learning, 4ta edición.

con t ∈ R. [3] (2019-2023) Ejercicios de ciclos anteriores.

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