INSTITUCIÓN EDUCATIVA “INSTITUTO LA UNIÓN” - LA UNIÓN DE SUCRE, COLOMBIA

APROBACIÓN: RESOLUCIÓN 1803 - SEPTIEMBRE 26 DE 2000 – DEC. 0685 -2002

SEC. DE EDUC. DPTAL DE SUCRE
DANE: 170400000011 - NIT: 800.037 – 737 – 1 - 1INSC. SEC. DE EDUC.: 0942 – 1 - 0597
JORNADA: MATINAL - CARÁCTER: OFICIAL – MIXTO.

ÁREA: Matemáticas ASIGNATURA: Matemáticas PERIODO: 2

DOCENTE: Yomaris Serpa Bedoya 9° A-B CELULAR: 3135258610
Jorge Martínez 9° C-D-E CELULAR: 3017999919
NOMBRE Y APELLIDOS DEL ESTUDIANTE:
____________________________________________________

UNIDAD: NÚMEROS REALES Y NÚMEROS COMPLEJOS

EJE TEMÁTICO: Números reales y números complejos
CONTENIDOS: Racionalización en números reales, números imaginarios

ESTANDAR
Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar
situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.
DBA:
Utiliza los números reales, sus operaciones, relaciones y representaciones para analizar
procesos infinitos y resolver problemas

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Simplificar un radical es expresarlo en su forma más simple, un radical esta simplificado así

Los exponentes de dos factores que están en la cantidad subradical no pueden ser números
mayores o iguales al indica de la raíz
3
Por ejemplo 3√𝑥𝑦 si cumple con la condición , mientras que √𝑥 4 𝑦 no la cumple

El máximo común divisor entre los exponentes de los factores de la cantidad subradical y el índice
de la raíz debe ser uno.
6 6
Por ejemplo, √𝑥 5 𝑦 si cumple con la condición , mientras que √𝑥 4 𝑦 no la cumple.

Para simplificar un radical se aplican las propiedades de la radicación. Por ejemplo , para simplificar
√27𝑥 6 𝑦 3 se realiza el siguiente proceso:

√27𝑥 6 𝑦 3 = √27 ∙ √𝑥 6 ∙ √𝑦 3

= √33 ∙ √𝑥 6 ∙ √𝑦 2 ∙ 𝑦 1 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜

= √32 ∙ 3 ∙ √(𝑥 3 )2 ∙ √𝑦 2 ∙ √𝑦 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

= √32 ∙ √3 ∙ 𝑥 3 ∙ 𝑦 ∙ √𝑦 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑 𝑒𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑦 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

= 3√3𝑥 3 𝑦√𝑦 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑦 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜

= 3𝑥 3 𝑦√3𝑦

RADICALES SEMEJANTES

Dos o más radicales son semejantes si tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical.
Dichos radicales solo pueden diferir en el coeficiente.
3 53
Por ejemplo, −7 √𝑎2 𝑏 y √𝑎2 𝑏 son radicales semejantes.
2

Para determinar si dos o más radicales son semejantes, se debe simplificar cada radical a su
mínima expresión

EJEMPLOS

Determinar si los siguientes radicales son semejantes

a) √75𝑛3 𝑚3 , √108𝑛5 𝑚3

 √75𝑛3 𝑚3 = √75√𝑛3 √𝑚3

= √52 ∙ 3√𝑛2 ∙ 𝑛√𝑚2 ∙ 𝑚

= 5√3 𝑛√𝑛 𝑚√𝑚 = 5𝑛𝑚√3𝑛𝑚

 √108𝑛5 𝑚3 = √36 ∙ 3√𝑛5 √𝑚3

= 6√3𝑛2 √𝑛 𝑚√𝑚
= 6𝑛2 𝑚√3𝑛𝑚

Los radicales simplificados son 5𝑛𝑚√3𝑛𝑚 y 6𝑛2 𝑚√3𝑛𝑚 , lo cual implica que los radicales son
radicales semejantes.

3 6
b) √108𝑎5 𝑏, √9𝑎4 𝑏 8
3 3 3 3
 √108𝑎5 𝑏 = √108 √𝑎5 √𝑏

3 3 3
= √27 ∙ 4 √𝑎3 𝑎2 √𝑏

3 3 3
= 3 √4𝑎 √𝑎2 √𝑏

3
= 3𝑎 √4𝑎2 𝑏
 6 6
 √9𝑎4 𝑏 8 = √32 𝑎4 𝑏 8

6 6 6
= √32 √𝑎4 𝑏 √𝑏 2

1 2 1
= 32 𝑎3 𝑏𝑏 3

3 3 3
= √3 √𝑎2 𝑏 √𝑏

3
= 𝑏 √3𝑎2 𝑏

3 3
Los radicales simplificados son 3𝑎 √4𝑎2 𝑏 y 𝑏 √3𝑎2 𝑏 lo que implica que los radicales no son
semejantes.

OPERACIONES CON RADICALES

Adición y sustracción de radicales

Para sumar o restar radicales, primero se simplifica cada radical y luego, se reducen los radicales
semejantes

EJEMPLOS:

1) Realizar las operaciones indicadas

a) −2√54 + 7√24 − 3√150

Se simplifica cada radical

−2√54 = −2√2 ∙ 33 = −2 ∙ 3√2 ∙ 3 = −6√6

7√24 = 7√23 ∙ 3 = 7 ∙ 2√2 ∙ 3 = 14√6

3√150 = 3√2 ∙ 3 ∙ 52 = 3 ∙ 5√2 ∙ 3 = 15√6

Luego, −2√54 + 7√24 − 3√150 = −6√6 + 14√6 + 15√6 = −7√6

3 3 3
b) √16 + √54 − √24

Se simplifica cada radical

3 3 3
√16 = √24 = 2 √2

3 33
√54 = √2 ∙ 33 = 3√2

3 33
√24 = √23 ∙ 3 = 2√3
 3 3 3 3 3 3 3 3
Luego, √16 + √54 − √24 = 2 √2 + 3 √2 − 2 √3 = 5 √2 − 2 √3

MULTPLICACIÓN DE RADICALES

Para multiplicar radicales, estos deben tener el mismo índice, por lo tanto, se presentan dos casos:

 Radicales con índice común: en este caso se multiplican los coeficientes entre si y los
radicales se multiplican aplicando la propiedad de la raíz de un producto. En general,
𝑛
(𝑎 √𝑥 ) ∙ 𝑏 𝑛√𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑛√𝑥 ∙ 𝑦
 Radicales con diferentes índices: en este caso los radicales se reducen a radicales con
índice común. Luego, se produce como en el caso anterior.

Para hallar el índice común se realiza los siguientes pasos:

- Primero, se halla el mínimo común múltiplo entre los índices de los radicales, el cual será
el índice común
- Luego, se divide el índice común entre el índice de la raíz y se eleva la cantidad subradical
a ese resultado

EJEMPLOS:

Encontrar los siguientes productos

a) 𝟑√𝟓𝒙𝟑 ∙ 𝟓√𝟑𝒙𝒚𝟑

3√5𝑥 3 ∙ 5√3𝑥𝑦 3 = 3 ∙ 5√(5𝑥 3 ) ∙ (3𝑥𝑦 3 ) se multiplican radicales con índice común

= 15√15𝑥 4 𝑦 3 se multiplican los coeficientes y la cantidad subradical

= 15𝑥 2 𝑦√15𝑦 se simplifica

b) (√𝟐𝒙 − √𝟑𝒚)(𝟑√𝟓𝒙 − 𝟐√𝟕𝒚)

(√2𝑥 − √3𝑦)(3√5𝑥 − 2√7𝑦) se aplica la propiedad distributiva

= (√2𝑥)(3√5𝑥) − √2𝑥(2√7𝑦) − (√3𝑦)(3√5𝑥) + (√3𝑦)(2√7𝑦)

= 3√10𝑥 2 − 2√14𝑥𝑦 − 3√15𝑥𝑦 + 2𝑦√21𝑦 2 se multiplican los radicales

= 3𝑥√10 − 2√14𝑥𝑦 − 3√15𝑥𝑦 + 2𝑦√21 se simplifican los radicales

 𝟒
c) √𝟓𝒙 ∙ 𝟑√𝟔𝒚 ∙ √𝟖𝒙𝟐 𝒚𝟑

Como el mínimo común múltiplo de 2, 3 y 4 es 12, entonces

4
√5𝑥 ∙ 3√6𝑦 ∙ √8𝑥 2 𝑦 3

12 12 12
= √(5𝑥)6 √(6𝑦)4 √(8𝑥 2 𝑦 3 )3 se expresa como radicales de índice común

12 12 12
= √15.625𝑥 6 √1.296𝑦 4 √512𝑥 6 𝑦 9 se resuelven las potencias

12
= √(56 𝑥 6 )(24 ∙ 34 𝑦 4 )(29 𝑥 6 𝑦 9 ) se multiplican las cantidades subradicales

12
= √213 ∙ 34 ∙ 56 𝑥 12 𝑦 13 se aplica raíz de una potencia

12
= 2𝑥𝑦 √2 ∙ 34 ∙ 56 𝑦 se simplifica

DIVISIÓN DE RADICALES

Para hallar el cociente entre dos radicales, se dividen los coeficientes entre si y las cantidades
del subradical se escriben dentro del mismo radical, simplificando hasta donde sea posible. Si
los radicales tienen diferentes índices, se convierten a radicales con índice común.

EJEMPLOS:

Resolver las siguientes divisiones:

a) 𝟏𝟐𝒂𝟐 √𝟐𝟎𝒙𝟑 𝒚𝟓 ÷ 𝟑𝒂 √𝟓𝒙𝟐 𝒚

12𝑎2 √20𝑥 3 𝑦 5 ÷ 3𝑎 √5𝑥 2 𝑦

12𝑎2 20𝑥 3 𝑦 5
= √ se dividen los coeficientes y los radicales de índice común
3𝑎 5𝑥 2 𝑦

= 4𝑎√4𝑥𝑦 4 se simplifican los coeficientes y la cantidad subradical

= 4𝑎(2𝑦 2 )√𝑥

= 8𝑎𝑦 2 √𝑥

Por lo tanto, 12𝑎2 √20𝑥 3 𝑦 5 ÷ 3𝑎 √5𝑥 2 𝑦 = 8𝑎𝑦 2 √𝑥

 𝟑
b) 𝟑√𝒙𝟑 𝒚 ÷ 𝟒 √𝟑𝒙𝟐
3
3√𝑥 3 𝑦 ÷ 4 √3𝑥 2

6 6
= 3 √(𝑥 3 𝑦)3 ÷ 4 √(3𝑥 2 𝑦 2 )2 se reducen a índice común

6 6
= 3 √𝑥 9 𝑦 3 ÷ 4 √9𝑥 4 𝑦 4 se resuelven las potencias

3 6 𝑥 9𝑦3
= √ 4 4 se dividen los coeficientes y los radicales
4 9𝑥 𝑦

3 6 𝑥5
= √
4 9𝑦

3 3 6 𝑥5
Por lo tanto, 3√𝑥 3 𝑦 ÷ 4 √3𝑥 2 = √
4 9𝑦

ACTIVIDAD #1

Realiza las operaciones indicadas

a) 2√45 − √27 + √20

b) 5√2𝑥𝑦 2 + √18𝑥 3 − 5𝑦√2𝑥 − 5√2𝑥 3
c) √2 × √3𝑚 × √6𝑚
3 3 3
d) 3 √3 × 2 √2 × √5
3
e) √3𝑚2 ∙ √15𝑚6
4
f) 2√2𝑥 ∙ 3 3√3𝑥𝑦 ∙ 5 √2𝑥 2 𝑦
8√6
g)
2√3
3
5 √16𝑎5
h) 3
4 √2𝑎2

RACIONALIZACIÓN

Cuando un radical se simplifica en su forma más simple, también se tiene en cuenta que en el
denominador no haya radicales y que ninguna fracción debe aparecer dentro de un radical.

Racionalizar una expresión fraccionaria en la que el denominador contiene uno o varios radicales,
consiste en expresarla como una fracción equivalente sin radicales en el denominador

En la racionalización de fracciones, se distinguen dos casos: cuando los denominadores son

monomios y cuando los denominadores son binomios.
Racionalización de fracciones con denominadores monomios

Para racionalizar el denominador se multiplican el numerador y el denominador por un radical, es

decir, se complifica la fracción de tal forma que el radical del denominador tenga raíz exacta.

EJEMPLOS:

1. Encontrar el factor que permite obtener una raíz exacta

a) 𝟐√𝟕𝒚

El factor es √7𝑦 porque al realizar el producto 2√7𝑦 ∙ √7𝑦 se tiene:

2√7𝑦 ∙ √7𝑦 = 2√7𝑦 ∙ 7𝑦

= 2√72 𝑦 2 se multiplican los radicales

= 2 ∙ (7𝑦) se halla la raíz
= 14𝑦
𝟑
b) √𝟐𝒂𝟐 𝒃
3 3 3
El factor es √4𝑎𝑏 2 por que al multiplicar √2𝑎2 𝑏 por √4𝑎𝑏 2 se tiene:
3 3 3
√2𝑎2 𝑏 ∙ √4𝑎𝑏 2 = √(2𝑎2 𝑏)(4𝑎𝑏 2 ) se multiplican los radicales
3
= √8𝑎3 𝑏 3 se resuelven los productos
3
= √23 𝑎3 𝑏 3 se extrae la raíz cúbica
= 2𝑎𝑏
2) Racionalizar la siguiente fracción
𝟓𝒂
√𝒂𝒃
5𝑎 5𝑎 √𝑎𝑏
= ∙ se complifica por √𝑎𝑏
√𝑎𝑏 √𝑎𝑏 √𝑎𝑏

5𝑎√𝑎𝑏
= se multiplica
√𝑎2 𝑏2
5𝑎√𝑎𝑏
= se simplifica
𝑎𝑏

5√𝑎𝑏
=
𝑏
 3) Racionalizar y simplificar las siguientes fracciones
𝟔𝒏
a) 𝟑
√𝟐𝒏𝟐 𝒎

3
6𝑛 6𝑛 √22 𝑛𝑚2 3
3 = 3 ∙3 se complifica por √22 𝑛𝑚2
√2𝑛2 𝑚 √2𝑛2 𝑚 √22 𝑛𝑚2

3
6𝑛 √22 𝑛𝑚2
= 3 se multiplica
√23 𝑛3 𝑚3

3
6𝑛 √4𝑛𝑚2
= se simplifica
2𝑛𝑚

3
3 √4𝑛𝑚2
=
𝑚
𝟑
√𝟔𝒙𝟐
b) 𝟒
√𝟑𝒙𝒚

3 3 4
√6𝑥 2 √6𝑥 2 √33 𝑥 3 𝑦 3 4
4 = 4 ∙4 se complifica por √33 𝑥 3 𝑦 3
√3𝑥𝑦 √3𝑥𝑦 √33 𝑥 3 𝑦 3

3 4
√6𝑥 2 ∙ √33 𝑥 3 𝑦 3
= 4 se multiplica
√34 𝑥 4 𝑦 4

12 12
√(2∙3𝑥 2 )4 √(33 𝑥 3 𝑦 2 )3
= se simplifica y se reduce a un índice común
3𝑥𝑦

12
√(24 ∙34 𝑥 8 )(39 𝑥 9 𝑦 6 )
= se multiplica y se resuelven las potencias
3𝑥𝑦

12
√24 ∙313 𝑥 17 𝑦 6
= se aplica la propiedad de la potenciación
3𝑥𝑦

12
3𝑥 √24 ∙3𝑥 5 𝑦 6
= se simplifica
3𝑥𝑦

12
√48𝑥 5 𝑦 6
=
𝑦

𝒂+𝒃
c)
√𝒂𝟐 −𝒃𝟐

𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 √𝑎2 −𝑏2

= ∙ se complifica por √𝑎2 − 𝑏 2
√𝑎2 −𝑏2 √𝑎2 −𝑏 2 √𝑎2 −𝑏2

(𝑎+𝑏)√𝑎2 −𝑏2
= se multiplica
√(𝑎2 −𝑏2 )2
 (𝑎+𝑏)√𝑎2 −𝑏2
= se simplifica
𝑎2 −𝑏2

(𝑎 + 𝑏)√𝑎2 − 𝑏 2
=
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
√𝑎2 − 𝑏 2
=
𝑎−𝑏

RACIONALIZACIÓN DE FRACCIONES CON DENOMINADORES BINOMIOS

Para racionalizar el denominador de una fracción compuesta por dos términos se tienen en
cuenta dos casos:

 si el denominador es un binomio que contiene radicales de índice dos, se debe complificar

la fracción por el mismo binomio, pero con el signo opuesto al segundo término. Esta
expresión recibe el nombre de conjugado.
Por ejemplo, el conjugado de √𝑎 − √𝑏 𝑒𝑠 √𝑎 + √𝑏
 si el denominador es un binomio que contiene radicales de índice tres, entonces, la fracción
se debe complificar por el trinomio que convierte al producto del denominador en una suma
o diferencia de cubos.
3 3
Por ejemplo, si en el denominador está el binomio √𝑎 + √𝑏, entonces, se debe complificar
3 3 3 3 2
por el trinomio ( √𝑎)2 − √𝑎 √𝑏 + ( √𝑏) porque este producto es
3 3 3 3
( √𝑎) + ( √𝑏) = 𝑎 + 𝑏

EJEMPLOS:

1) Racionalizar las siguientes fracciones

√𝟑−𝟏
a)
√𝟐+√𝟑

√3−1 √3−1 √2−√3

= ∙ se complifica por √2 − √3
√2+√3 √2+√3 √2−√3

(√3−1)(√2−√3)
=( se multiplican las expresiones
√2+√3)(√2−√3)

√6−√32 −√2+√3
= 2 2 se resuelven los productos
(√2) −(√3)
 √6−3−√2+√3
= se resuelven las potencias
2−3

√6 + √3 − √2 − 3
=
−1

= 3 − √6 − √3 + √2

ACTIVIDAD #2

Racionaliza las siguientes expresiones

𝑚
a)
√3

√𝑎
b)
√𝑏
2
c) 5
√𝑎2

√7−√3
d)
√7+√3

NÚMEROS IMAGINARIOS

Las ecuaciones de la forma 𝑥 2 + 𝑎 = 0, con a número real positivo, no tienen solución en el

conjunto numérico de los números reales por que el cuadrado de un número real es un número no
negativo y al ser sumado con un número positivo su resultado no es cero.

Para dar solución a este tipo de ecuaciones, se generó un nuevo conjunto numérico denominado
números imaginarios.

La unidad principal o unidad imaginaria está representada por la letra 𝑖, donde 𝑖 2 = −1 y así

𝑖 = √−1

Los números imaginarios que se expresan como el producto de un número real por la unidad
imaginaria reciben de números imaginarios puros.

EJEMPLOS:

1) Escribir las siguientes raíces como números imaginarios puros

a) √−𝟗
√−9 = √9√−1 se aplica la propiedad de la radicación
= 3𝑖
 b) √−𝟏𝟐𝟓

√−125 = √52 ∙ (−1) se expresa -125 como producto

= √52 √(−1) se aplica la propiedad de la radicación

= 5√5𝑖 se halla la raíz y se reemplaza 𝑖

c) 𝟑√−𝟕𝟐
3√−72 = 3√32 23 (−1) se expresa -72 como producto

= 3√32 ∙ 23 √−1 se aplica la propiedad de la radicación

= 3 ∙ 3 ∙ 2√2𝑖 se halla la raíz y se reemplaza 𝑖

= 18√2𝑖
2) Resolver la siguiente ecuación
2𝑥 2 + 75 = 3
2𝑥 2 + 75 = 3
2𝑥 2 = 3 − 75 se resta 75
2𝑥 2 = −72 se resuelve la resta
−72
𝑥2 = se despeja 𝑥 2
2

𝑥 2 = −36 se divide
𝑥 = ±√−36 se despeja x
𝑥 = ±6𝑖 se extrae la raíz y se reemplaza 𝑖
POTENCIAS DE 𝒊

Las potencias de la unidad imaginaria 𝑖, se obtienen a partir de las propiedades de la potenciación

y la definición de 𝑖. Así,

𝑖1 = 𝑖
𝑖 2 = −1
𝑖 3 = 𝑖 2 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝑖
𝑖 4 = 𝑖 2 ∙ 𝑖 2 = (−1)(−1) = 1

Las cuatro primeras potencias de 𝑖 se denominan básicas de 𝑖. Estas primeras potencias son
distintas, pero a partir de 𝑖 5 se repiten las potencias en periodos de a cuatro. Así, 𝑖 5 = 𝑖 4 ∙ 𝑖 = 1 ∙
𝑖=𝑖

En general , para hallar el valor de una potencia de 𝑖 con exponente mayor que cuatro se procede
así:
  Se divide el exponente de la potencia entre cuatro y se expresa de la forma 4𝑛 + 𝑟, donde
n es el cociente y r es el resultado de la división.
 Se halla el resultado aplicando las propiedades de la potenciación y las potencias básicas de
𝑖

Por ejemplo para hallar 𝑖17 se sigue

𝑖17 = 𝑖 4 ∙ 4+1 se expresa 17 como 4n +r

= 𝑖4 ∙4 ∙ 𝑖1 se aplica la propiedad de la potenciación

= (𝑖 4 )4 ∙ 𝑖 se aplica la propiedad de la potenciación

= (1)4 ∙ 𝑖 se reemplaza 𝑖 4 y se simplifica

=𝑖

ACTIVIDAD #3

1) Expresa las siguientes expresiones en términos de 𝑖

a) √−36
b) √−3
c) √−100
d) √−9
2) Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 𝑚2 + 144 = 0
b) 𝑦 2 + 196 = 0
c) 7 − 𝑦 2 = 23
d) 4𝑡 2 + 9 = 0
3) Halla las siguientes potencias de 𝑖
a) 𝑖 31
b) 𝑖 26
c) 𝑖 43
d) 𝑖15