MODULO DE

11
 LÓGICA Y CONJUNTO.

 DESIGUALDADES E INTERVALOS DE LOS NÚMEROS REALES.

 INECUACIONES.

INSTITUCION EDUCATIVA TECNICA ALVARO ULCUE CHOCUE

TUCHIN 2021
MODULO DE MATEMATICAS 11º

Carta para el estudiante y las familias.

Estimado estudiante:

Este módulo didáctico es un documento que favorece tu proceso de aprendizaje.

Además, permite que aprendas en forma más efectiva e independiente, es decir,

sin la necesidad de que dependas de la clase presencial o a distancia en todo

momento. Del mismo modo, contiene todos los elementos necesarios para el

aprendizaje de los conceptos claves y las destrezas de la clase de Matemáticas,

sin el apoyo constante de tu maestro. Su contenido ha sido elaborado por los

maestros, facilitadores del área de matemáticas para apoyar tu desarrollo

académico e integral en estos tiempos tan difíciles en que vivimos.

Te invito a que inicies y completes este módulo didáctico siguiendo el calendario

de progreso establecido por semana. En él, podrás repasar conocimientos,

refinar habilidades y aprender cosas nuevas sobre la clase de Matemáticas por

medio de definiciones, ejemplos, lecturas, ejercicios de práctica y de evaluación.

Además, te sugiere recursos disponibles en el internet, para que amplíes tu

aprendizaje. Recuerda que esta experiencia de aprendizaje es fundamental en tu

desarrollo académico y personal, así que comienza ya.

1
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MODULO DE MATEMATICAS 11º

Estimada familia:

Los docentes del área de matemática comprometido

con la educación de nuestros estudiantes, ha

diseñado este módulo didáctico. Con el propósito es proveer el contenido

académico de la materia de Matemáticas para las primeras diez semanas del

nuevo año escolar. Además, para desarrollar, reforzar y evaluar el dominio de

conceptos y destrezas claves. Esta es una de las alternativas que promueve el

desarrollo de los conocimientos de nuestros estudiantes, tus hijos, para así

mejorar el aprovechamiento académico de estos.

Está probado que cuando las familias se involucran en la educación de sus hijos

mejoran los resultados de su aprendizaje. Por esto, te invitamos a que apoyes el

desarrollo académico e integral de tus hijos utilizando este módulo para apoyar

su aprendizaje. Es fundamental que tu hijo avance en este módulo siguiendo el

calendario de progreso establecido por semana.

Nosotros los docentes creemos que ustedes estarán realmente ansiosos ante

las nuevas modalidades de enseñanza y que desean que sus hijos lo hagan muy

bien. Les solicitamos a las familias que brinden una colaboración directa y activa

en el proceso de enseñanza y aprendizaje de sus hijos. En estos tiempos

extraordinarios en que vivimos, les recordamos que es importante que

desarrolles la confianza, el sentido de logro y la independencia de tu hijo al

2

realizar las tareas escolares. No olvides que las necesidades educativas de

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nuestros niños y jóvenes es responsabilidad de todos.

MODULO DE MATEMATICAS 11º

TABLA DE CONTENIDO

Números Racionales

Lógica y conjunto.
Desigualdades e intervalos de los números reales.
Inecuaciones.

Objetivos

Reconocer, interpretar y resolver problemas que involucren operaciones con

diferentes conjuntos numéricos.
Estimar el tamaño de ciertas cantidades utilizando desigualdades e intervalos.
Solucionar gráfica y analíticamente inecuaciones con una variable.

Actividades metodológicas

Se realizará acompañamiento interactivo con el estudiante y padre de familia para el

desarrollo del módulo pedagógico a través de los diferentes canales de comunicación
(chats, llamadas y videollamadas, tutoriales, web, redes sociales, entre otros). Teniendo
en cuenta los impactos de la pandemia Covid-19 y la metodología “Me cuido y
aprendo en casa” los estudiantes, serán autogestores del conocimiento, responsables
del proceso del desarrollo de las competencias pedagógicas a través de talleres,
lecturas y evaluaciones de los contenidos correspondientes a este modulo con el
acompañamiento del padre de familia.

Conceptos Claves

Fracción, Racional, recta numérica, orden, equivalencia, decimal, decimal periódico,

decimal periódico mixto, polígonos, perímetros, áreas, apotema, círculos, media,
mediana, moda.
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LÒGICA Y CONJUNTO
Motivación
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Concepto de proposición
Una proposición es un enunciado, una frase o una oración que tiene
una idea principal o un sentido completo de la cual se puede dar un
valor de verdad, ya sea verdadera o falsa, pero no las dos cosas al
mismo tiempo.
Para representar las proposiciones se utilizan letras minúsculas
tales como: p, q, r, s, t… etc.

Ejemplo

p: Simón Bolívar nació en Caracas (V)

q: 4 + 3 = 5 (F)
r: La tierra es un planeta (V)
s: No me muestro de acuerdo (Esto no es proposición)
t: Cuales fueron los candidatos para la alcaldía (Esto no es proposición).

Actividad De Entrenamiento

Determina cuál de las siguientes expresiones son proposiciones, y las que sea proposiciones
hállales el valor de verdad, es decir indica con una V las que sean verdaderas y con una F las
que sean falsas.
1. p: La tierra es plana ( )
2. r: El símbolo químico del hidrogeno es Cu ( )
3. s: Esa chica es amiga ( )
4. t: El átomo es una molécula ( )
5. u: El covid es una enfermedad mental ( )
6. v: 3⁄4 de 12 es igual a 9 ( )

Negación de proposición
Negar una proposición consiste en cambiar su valor de verdad, para negar una proposición se
inserta o quita en la proposición original la palabra “NO”, también se puede ante poner la frase “ES
FALSO”, O “NO ES CIERTO QUE”, O “NO SERA EL CASO QUE”.

Para simbolizar la negación de una proposición se utiliza el símbolo “⁓” que se ante poner a la
letra que simboliza la proposición.

Ejemplo

p: 60 + 80 = 140

⁓ p: 60 + 80 ≠ 140 (esto es la negación, es decir 60 + 80 es diferente a 140)

q: el símbolo químico del oro es Au

⁓q: no es cierto que el símbolo químico del oro es Au

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MODULO DE MATEMATICAS 11º

Proposiciones simples y compuestas

Proposiciones simples: una proposición simple es aquella que en su composición no utiliza
palabras de enlace o conectivos.
Ejemplo:
p: el producto de dos números negativos es un numero positivo ( V )
q: La grafica de una función lineal es una línea recta ( V )

Proposiciones compuestas: son aquellas que se forman con dos o más proposiciones simples
que se relaciones mediante enlaces denominados conectivos lógicos.

Ejemplo

q: un ángulo es positivo si gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj “O” dos ángulos
son complementarios si la suma de sus medidas es 90 º grados.
m: Si la suma de las cifras del número 48 es 12 “ENTONCES” 12 es múltiplo de 4.
t: 33 = 27 “SI Y SOLO SI” 3 x 9 = 27.

Conectivos lógicos:
Los conectivos lógico son los términos lógicos de enlace que se utilizan para formar
proposiciones compuestas cada conectivo lógico se simboliza de manera diferente y define una
operación lógica según la función que cumplan.

Conectivo lógico Nombre Símbolo Notación Interpretación o lectura

(operación
lógica)
Y Conjunción Ʌ p Ʌq Pyq
O Disyunción v pvq Poq
SI … ENTONCES Implicación → p→q Si p entonces q, p
condicional implica q.
SI Y SOLO SI Equivalencia ↔ p↔q P si y solo si q
P es equivalente a q
NO ⁓, ⌐ ⁓p Negación de p

Ejemplo

Consideremos las proposiciones simple p, q y r

p: El triangula equilátero tiene tres lados congruentes.
q: La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.
r: Un pentágono es un polígono que tiene cinco lados.

Forma las proposiciones compuestas

a) p Ʌ q (conjunción)
6

El triángulo equilátero tiene tres lados congruentes y la suma de los ángulos internos de un
Página

triángulo es 180º.
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b) p ↔ q (equivalente bicondicional o doble).

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º si y solo si un pentágono es un
polígono que tiene cinco lados iguales.

c) p → q (implicación o condicional)
Si el triángulo equilátero tiene tres lados congruentes entonces, la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es 180º

d) p v q (Disyunción)
El triángulo equilátero tiene lados congruentes O un pentágono es un polígono que tiene
cinco lados.

Tablas de verdad de la conjunción p q pʌq

V V V
La conjunción es una proposición compuesta que se forma al enlazar o unir dos o V F F
más proposiciones simples, mediante el conectivo lógico “y” que se simboliza (Ʌ). F V F
Una conjunción es verdadera cuando las dos proposiciones simples que la F F F
conforman son verdaderas.

Tablas de verdad de la disyunción

p q pVq
La disyunción es una proposición compuesta que se forma al enlazar dos o V V V
más proposiciones simples mediante el conectivo lógico “O” se simboliza (V) V F V
una disyunción es verdadera cuando una o ambas de las proposiciones simples F V V
son verdaderas. Es decir, que en el único caso en el que la disyunción es falsa F F F
es cuando ambas proposiciones son falsas.

Ejemplo

p: la suma de los dígitos 4, 3 y 5 es 15 ---------------------------------------- (F)

q: la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°------ (V)

Por lo tanto la disyunción p V q, será Verdadera, ya que la proposición p es Falsa y la

proposición q es Verdadera

Tablas de verdad de la implicación o condicional

La implicación es una proposición compuesta que se forma al enlazar dos p q p→q
proposiciones simples mediante el conectivo lógico “si… entonces” V V V
En una implicación la primera proposición se llama antecedente y la V F F
segunda consecuente. La implicación p → q es falsa únicamente si el F V V
antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás casos F F V
es verdadera.
Tablas de verdad de la equivalencia o bicondicional. p q p↔q
V V V
Una proposición compuesta es una equivalencia cuando cada proposición V F F
7

simple que la compone implica a la otra. Dichas proposiciones estan F V F

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relacionadas con el conectivo lógico “si y solo si” que se representa (↔). La
equivalencia p ↔ q es verdadera cuando ambas proposiciones son F F V
verdaderas o ambas proposiciones son falsas.
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Las tablas de verdad

Se usan para establecer el valor de verdad de proposiciones compuestas

Ejemplo

Averiguar el valor de verdad de la siguiente formula lógica (p ʌ ⁓ p) → q

Solución: debemos elaborar una tabla de verdad que involucré la formula lógica, pero hallando el
valor de verdad de cada variable

p q ⁓p (pʌ⁓p) (pʌ⁓p)→q
V V F F V Nota:
V F F F V Ver video explicativo
por WhatsApp.
F V V F V
F F V F V

La columna p La ⁓ p, Como es
Como es una
y q siempre es el conjunción nos
implicación nos
van a tener valor guiamos por la
guiamos de la tabla de
los mismos opuesto a tabla de
verdad.
valores p. verdad

 una formula lógica es una tautología si todos los valores de verdad de una proposición
compuesta son verdaderos como en el ejemplo anterior.
 Cuando todos los resultados son falsos entonces es una contradicción.
 En el caso en el que haiga al menos un valor de verdad al menos falso y otro verdadero
es una contingencia.

Actividades de aplicación n° 1
1. Enuncia proposiciones compuestas a partir de la proposición dadas:
a. p: Panamá está al sur de Colombia.
q: Machu Picchu está en Perú.

b. pVq
c. pʌq
d. p→q
e. p↔q

2. completa la siguiente tabla

p q ⁓p ⁓q ⁓p V q ⁓(pVq) (⁓p) ʌ (⁓q)
V V
V F
8

F V
Página

F F
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Prueba saber

3. Determina la proposición falsa.

1 1
a. Si < 4 entonces 4 > .
2 2

1 1
b. < 4 si y solo si 4 > 2
2

1 1
c. > 4 si y solo si 4 > 2
2

1 1
d. Si 2 > 4 si y solo si 4 > 2

CONJUNTO
Un conjunto es una agrupación de objetos de cualquier especie, cada objeto de un conjunto se
denomina elemento.
Existen conjuntos finitos e infinitos. Los conjuntos que tienen determinado número de elementos
se denominan FINITOS y aquellos conjuntos que tienen un número indeterminado de elementos
se denominan INFINITOS.
Ejemplo:
1. El conjunto de los números enteros, es un conjunto infinito.
2. El conjunto de las letras del alfabeto es un conjunto finito.

 Un conjunto que no tiene elementos es un conjunto VACÍO, se simboliza { } o Ø.

 Si el conjunto tiene un solo elemento es un conjunto UNITARIO.
 El conjunto UNIVERSAL O REFERENCIAL, es el conjunto que sirve como referencia para
otros conjuntos con características comunes, se simboliza con la letra U.

Determinación de conjunto

Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas y se pueden determinar por extensión o por
comprensión.
 Un conjunto esta nombrado por extensión cuando se escriben entre llaves todos los
elementos del conjunto separados por comas. Por ejemplo M={5, 10, 15, 20, 25, 30, . . . }
 Un conjunto esta nombrado por Comprensión cuando se da una característica común a
todos los elementos
Por ejemplo:

M= {X/ X € N y X es múltiplo de 5}

Los conjuntos se representan en diagramas de Venn.

Por ejemplo:

Para representar los conjuntos P= {2, 4, 6, 8,

10} y Q= {1, 2, 3, 5, 7} se usa el siguiente
9

diagrama.
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MODULO DE MATEMATICAS 11º

Ejemplo
1. Determinar por compresión los siguientes conjuntos.

a. El conjunto de los números naturales menores que 5.

Solución:
Debemos utilizar la letra “X” y la simbología del conjunto para
determinar por compresión el conjunto A
Entonces A = {X € N / X < 5}.

b. El conjunto de presidentes de Colombia.

Solución:
Debemos utilizar la X y la simbología del conjunto para
determinar por compresión el conjunto C
Entonces C = {X es un presidente de Colombia}

2. Determinemos por extensión

a. Conjunto de números pares.

Solución:
Escribimos los elementos separados por comas, como el
conjunto es infinito y no se conoce el último elemento, se
debe escribir tres puntos suspensivos antes de cerrar las llaves
{ } o corchetes [ ] así:
P = {2, 4, 6, 8, 10}

b. Conjunto de los divisores positivos de 8

Solución:
D = {1, 2, 4, 8}

RELACIÓN DE PERTENENCIA
La relación entre un elemento y un conjunto dado se denomina relación de pertenencia.

Un elemento pertenece a un conjunto si cumple con las características que definen al conjunto.

Los símbolos que se utilizan para indicar si un elemento pertenece o no pertenece a un conjunto
son € y ∉ respectivamente.

Cuando un elemento “X” pertenece a un conjunto M se escribe X € M. En caso que “X” no

pertenezca al conjunto M se escribe X ∉ M, estas relaciones de pertenencia se pueden
representar en diagramas de Venn.

U U
P Y
P
X

X∈P X∉P
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MODULO DE MATEMATICAS 11º

Ejemplo

Consideremos el conjunto B = {8, 10, 12, 14, 16}

Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a. p: 8 ∈ B, como 8 es un elemento del conjunto de B podemos afirmar que la proposición

dada es verdadera.
b. q: 10 ∉ B, como 10 es un elemento del conjunto B, entonces, la proposición 10 ∈ B es
falsa.
1 1
c. r: 2 ∈, esta proposición es falsa por que el numero no es un elemento del conjunto B,
2
puesto que solo tiene números enteros.

RELACIONES ENTRE CONJUNTO

Entre dos o más conjuntos se puede presentar una relación de inclusión y una relación de
igualdad.

Relación de inclusión
Un conjunto A esta contenido o incluido en un conjunto B si todos los elementos que pertenecen
a B. Esto se escribe A C B y se lee “A es subconjunto de B”.

Cuando un conjunto de A no es subconjunto de un conjunto B, entonces, se escribe A Ȼ B.

Algunas propiedades de la relación de inclusión son:

 Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo, es decir A C A.

 El conjunto vacío ∅ , es subconjunto de todos los conjuntos, es decir, ∅ C A.

Relación de igualdad
Dos conjunto A y B son iguales, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, es decir, si
ambos conjuntos tienen los mismos elementos. En forma simbólica, la relación, la relación de
igualdad se puede expresar como A = B ↔ A C B ⋀ B C A

Por ejemplo:
Cuando consideramos el conjunto D = {X/ X es número positivo ≤ 8} y el conjunto M = {2, 4, 6,
8}, podemos apreciar que D C M y M C D, por lo tanto D = M.

Ejemplo

1 G Como todos los elementos del conjunto G son elementos del conjunto F,
F 2 8 7 podemos afirmar que la relación entre los conjuntos es G C F. Es decir, los
3 4 9 elementos de G cumplen con 8 ∈ F, 7 ∈ F, 4 ∈ F, y 9 ∈ F.
6
11
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MODULO DE MATEMATICAS 11º

Actividades de aplicación n° 2

1. Nombra por comprensión cada conjunto

a. A = {a, e, i, o, u}
b. B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

2. Nombra por extensión cada conjunto

a. F = {x/x ∈ ℕ, 𝑥 ≤ 10}
𝑥
b. G = {𝑥 ∈ ℤ, 3 ≤ 𝑥 ≤ 12}

3. Considera los conjuntos A y B en el siguiente diagrama de Venn. Infiere el valor de verdad

de las siguientes proposiciones.
a. A ⊆ B
b. B ⊆ A
A B
c. A = B
d. ∅ ⊆ 𝐵 5
4 2 3
e. 3 ∉ 𝐵
6 1
f. 5 ∈ 𝐴
g. ∅ ⊆ 𝐴

. DESIGUALDADES E INTERVALOS EN LOS REALES

Desigualdades
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando
éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en
cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces
pueden ser comparados. Si a y b son números reales, se pueden comparar usando diversas
notaciones
 La notación a < b significa a es menor que b;
 La notación a > b significa a es mayor que b Estas relaciones se conocen como desigualdades
estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente
menor que" o "estrictamente mayor que".
 La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; estos tipos de desigualdades reciben el
nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
 La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una
diferencia de varios órdenes de magnitud.
 La notación a ≠ b significa que ha no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que
el otro, o siquiera si son comparables. Generalmente se tienden a confundir los operadores
según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que
la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es
recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.
12
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MODULO DE MATEMATICAS 11º

Ejemplo

Utiliza los símbolos de las desigualdades para comparar los siguientes números

1. 5 y 9 entonces 5 < 9

2. – 3 y – 15 entonces -3 > - 15

Intervalo
Es un subconjunto no vacío de números reales comprendidos entre otros dos números dados a y
b o extremos del intervalo y se representa gráficamente mediante un segmento de la recta real.
Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados, semi abiertos o semi cerrados como se muestra en
el siguiente cuadro. Un intervalo es un conjunto de números reales que se encuentra
comprendido entre dos extremos a y b. También se puede llamar subconjunto de la recta real.
Por ejemplo, los números que satisfagan una condición 1 ≤ x ≤ 5 ó [1; 5] implica un intervalo que
va desde el 1 hasta el 5 incluyendo a ambos. Si se toma en cuenta la aplicación del intervalo
para observar el comportamiento de una variable, se toma una serie de tiempo y se escoge un
intervalo.

CLASIFICACIÓN DE LOS INTERVALOS

Existen 4 tipos de intervalos matemáticos, estos son: abierto, cerrado, semi abierto e infinito.

Intervalo Abierto
Un intervalo abierto es aquel que no incluye los extremos entre los cuales está comprendido el
intervalo, pero si todos los valores ubicados entre estos. Se representa mediante una expresión
como a < x < b ó (a; b). Por ejemplo, si tenemos el intervalo abierto (1; 5), tendremos el
conjunto de números mayores a 1 y menores que 5. Sin incluir el 1 y el 5.

Representación en la recta real del intervalo abierto (a; b).

Intervalo Cerrado
Un intervalo cerrado es aquel que incluye los extremos del intervalo y todos los valores
comprendidos entre ellos. Se representa con una expresión del tipo a ≤ x ≤ b ó [a; b]. Por
ejemplo, si tenemos el intervalo cerrado [1; 5] tendremos el conjunto de números mayores o
iguales a 1 y menores o iguales a 5. Incluyendo el 1 y el 5.

Representación en la recta real del intervalo cerrado [a; b].

Intervalo Semi abierto
Un intervalo semi abierto es aquel que incluye uno de los extremos, los valores que están entre
ellos y el otro extremo queda excluido. Puede estar incluido o excluido el extremo derecho o
13

izquierdo.
Se representa con una expresión como a ≤ x < b ó a < x ≤ b, lo que sería [a; b) ó (a; b]. Por
Página

ejemplo, si tenemos el intervalo semi abierto (1; 5] tendremos el conjunto de números mayores
a 1 y menores o iguales a 5. Sin incluir el 1 pero sí el 5.
MODULO DE MATEMATICAS 11º

Representación en la recta real del intervalo semi abierto [a; b).

Intervalo Infinito
Un intervalo infinito es aquel que tiene en uno o ambos extremos un valor infinito. El extremo que
posea el infinito será un extremo abierto. En caso de que ambos extremos sean infinitos, será la
recta real. Se representa con una expresión como a ≤ x ó x ≤ a, lo que sería [a;∞) ó (-∞; a).
Estos además también pueden contener intervalos cerrados, como por ejemplo [a; ∞). Por
ejemplo, si tenemos el intervalo infinito [1;∞) tendremos el conjunto de números mayores o
iguales a 1 en adelante.

Representación en la recta real del intervalo infinito [a;∞).

Ejemplos de intervalos
Para entender mejor el concepto de intervalos, veamos los siguientes ejemplos, junto a su
clasificación y números que comprende:

Intervalos Tipo Comprende

(- 4; 6) Abierto Mayores que – 4 y menores que 6
(16; 4) Abierto Mayores que 16 y menores que 4
[5; 6] Cerrado Mayores o iguales a 5 y menores o iguales a 6
[10; 14] Semi abierto Mayores o iguales a 10 y menores que 14
(1;∞) Infinito Mayores que uno en adelante.

OPERACIONES CON INTERVALOS

Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, definiremos a continuación
algunas operaciones, con conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones mediante
ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucrarán intervalos. Debido a su gran
utilidad en este Capítulo, las operaciones que nos interesa definir aquí son: la intersección, la
unión, la diferencia y el complemento de conjuntos (dado que un intervalo es un conjunto de
números reales).

Intersección
Definición Sean A y B conjuntos dados. Se define la intersección de A y B y se denota, al
conjunto cuyos elementos pertenecen a A y también a B. Simbólicamente se tiene que: A ∩ B

Ejemplo 1
14

Si A= {1, 2, 3, 4,5} y B= {4, 5,6}. Determine A∩B

Página

Solución
Los elementos que están en A y también en B son: 4 y 5. Por lo tanto: A∩B = {4,5}
MODULO DE MATEMATICAS 11º

Ejemplo 2

Sean: A = [0. 5] y B = [2. 7] Determine A∩B

Solución
Geométricamente podemos representar los conjuntos A y B de la manera siguiente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en A y también en B son los
números reales que están entre 2 y 5, incluyendo a éstos; por lo que: A∩B = [2, 3, 4, 5]

Unión
Sean A y B conjuntos dados. Se define la unión de A y B y se denota, al conjunto cuyos
elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos A y B Simbólicamente se tiene que:
AUB

Ejemplo 1
Si A= {1, 2, 3, 4, 5} y B= {4, 5, 6}.Determine AUB
Solución
AUB = { 1,2,3,4,5} U { 4,5,6} = { 1,2,3,4,5,6} o sea AUB = { 1,2,3,4,5,6}

Ejemplo 2

Si A = [-3,4] y B = [-1,7] .Determine AUB

Solución
Representaremos A y B geométricamente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en A o en B, son los números reales
que están entre -3 y 7, incluyendo a éstos, así:
AUB = [- 3,7]

Ejemplo 3

Si A = (-4,2) y B = (5,+ ∞). Determine: A U B

Solución
Representaremos A y B geométricamente:
15
Página
MODULO DE MATEMATICAS 11º

De aquí observamos que: A U B = (- 4,2) U (5, +∞).

Geométricamente podemos representar así:

Diferencia
Sean A y B conjuntos dados. Se define la diferencia de A y B se denota, al conjunto cuyos
elementos pertenecen a y no a B. es decir son todos los elementos de A que no se encuentran
en B.

Ejemplo

Si A= {2, 4, 6, 8,10} y B = {1, 2, 3, 4, 5}. Determine A-B y B-A

Solución
i. Los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B son; por lo que A- B = {8, 10}
ii. Los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A son por lo que B – A = {1, 3, 5}

Ejemplo
Si A = R (REALES) y B = [-2,3), determine A-B y B-A
Solución:
Representemos a A y a B geométricamente.

De aquí podemos observar que:

a. A - B = [-∞,-2) U [3, +∞]
b. B –A = [-2,3) – R = 0

Complemento
Sea A un conjunto dado. Se define el complemento de A y se denota A', al conjunto cuyos
elementos no se encuentran en A.

Ejemplo

Si A= (2,4,6,8) y U = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Determine A'

Solución
A' = (0, 1, 3, 5, 7, 9) ya que estos elementos no se encuentran en A.

Actividades de aplicación n°
1. Considera los intervalos dados. Determina lo que se pide en cada caso
16

M = {X/X ͼ R, x > -2}

N = {X/X ͼ R, 1<4}
Página

T = {X/X ͼ R, X<4}
a. M ∩ N b. M UT d. M – N
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2. Identifica el intervalo que corresponde a cada gráfica y exprésalo en notación de conjunto

a.

b.

c.

INECUACIONES
Motivación
17
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MODULO DE MATEMATICAS 11º

INECUACIONES
Son desigualdades en las cuales el valor incógnito representa a todos los números que
satisfacen la inecuación, al igual que en las ecuaciones se deben cumplir con todas las
reglas establecidas para el despeje de una ecuación.

Esto es:
Una inecuación es un enunciado que incluye alguna de las relaciones de orden

Inecuaciones Lineales
Una inecuación lineal es una desigualdad donde el máximo grado de la variable es uno.

Resolver una inecuación es encontrar los valores de la

Incógnita para los cuales se cumple la desigualdad.
La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de
números reales.
El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones,
pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades.
Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye
algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en
negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un
círculo blanco (transparente).

Esto es:
Son aquellas en las cuales la variable tiene grado uno.
Se resuelven con un procedimiento muy similar al de las ecuaciones lineales, es decir, dejando
las variables a un lado y los números al otro, resolviendo las operaciones contrarias.

Se debe invertir la desigualdad si se pasa un número negativo a multiplicar o dividir.

Ejemplo

𝑿−𝟒 =𝟓 𝟒𝑿 + 𝟏𝟎 = 𝟑𝟖 𝟑𝑿 − 𝟐 = 𝟓𝑿 − 𝟏𝟏

Simultáneas
Son aquellas en las cuales la variable está entre dos valores “a” y “b”.

Ejemplo

 −𝟒 < 𝒙 ≤ 𝟕
 𝟑 < 𝟐𝒙 ≤ 𝟏𝟏
 −𝟏 < 𝒙+𝟓 ≤ 𝟓
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MODULO DE MATEMATICAS 11º

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Si, a, c, b, son números reales, entonces se afirma:

P1. Propiedad transitiva:

𝑺𝑰 𝒂 > 𝒃 𝒚 𝒃 > 𝒄 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂 > 𝒄

Ejemplo
𝟗 > 𝟒 𝒚 𝟒 > 𝟐, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟗 > 𝟐

P2. Suma y Resta:

Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada
miembro.𝒔𝒊, 𝒂 > 𝒃 𝒚 𝒄 ∈ 𝑹 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂 + 𝒄 > 𝒃 + 𝒄

𝒔𝒊, 𝒂 > 𝒃 𝒚 𝒄 ∈ 𝑹 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂 − 𝒄 > 𝒃 − 𝒄

Ejemplo
a. 𝒔𝒊, 𝟏𝟎 > 𝟔, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟏𝟎 + 𝟒 > 𝟓 + 𝟒 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟏𝟒 > 𝟗
b. 𝒔𝒊, 𝟏𝟏 > 𝟕, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟏𝟏 − 𝟓 > 𝟕 − 𝟓, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟔 > 𝟐

P3. Multiplicación o división por un número positivo

Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo
factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.

𝒔𝒊, 𝒂 > 𝒃 𝒚 𝒄 ∈ 𝑹+ 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂 × 𝒄 > 𝒃 × 𝒄

𝒔𝒊, 𝒂 > 𝒃 𝒚 𝒄 ∈ 𝑹 + 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂 ÷ 𝒄 > 𝒃 ÷ 𝒄

Ejemplo

𝒂. 𝒔𝒊 𝟏𝟎 > 𝟓, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟏𝟎 × 𝟐 > 𝟓 × 𝟐, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔, 𝟐𝟎 > 𝟏𝟎

𝒃. 𝒔𝒊 𝟐𝟏 > 𝟏𝟓, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟐𝟏 ÷ 𝟑 > 𝟏𝟓 ÷ 𝟑, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟕 > 𝟓

P4. Multiplicación o división por un número Negativo

Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo
factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo

𝒔𝒊, 𝒂 > 𝒃 𝒚 𝒄 ∈ 𝑹− 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔, 𝒂 × 𝒄 < 𝒃 × 𝒄

𝒔𝒊, 𝒂 > 𝒃 𝒚 𝒄 ∈ 𝑹− 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂 ÷ 𝒄 < 𝒃 ÷ 𝒄
19

Ejemplo
Página

𝒄. 𝒔𝒊, 𝟏𝟎 > 𝟒 , 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟏𝟎 × (−𝟐) < 𝟓 × (−𝟐), 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 − 𝟐𝟎 < −𝟏𝟎

𝒅. 𝟐𝟏 > 𝟏𝟓 , 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟐𝟏 ÷ (−𝟑) < 𝟏𝟓 ÷ (−𝟑), 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 − 𝟕 < −𝟓
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P5. Producto de los números Reales.

El producto de dos números reales es positivo si y solo si, ambos son positivos o ambos son
negativos.

Si,

Ejemplo

Resolver la inecuación lineal

−𝟑𝒙 + 𝟒 = 𝟐𝒙 − 𝟔

Solución:
−3x + 4 < 2x − 6 ⇔ −3x − 2x < −6 − 4 {transponiendo}, → −5x < −10 (reduciendo) x > 2

(Dividiendo ambos miembros de la inecuación por (-5) se cambia el sentido de la desigualdad)

Ejemplo ilustrativo
𝟑𝒙+𝟐
Resolver la inecuación lineal: < 𝟓𝒙
𝟒
𝟑𝒙+𝟐
Solución: < 𝟓𝒙 𝒆𝒍 𝟒 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒔𝒂 𝒂 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒄𝒐𝒏 𝒔𝒖 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐
𝟒

3x + 2 < 5x(4) ► 3x + 2 < 20x

se reunen las incognitas a un solo lado de la desigualdad y se
3x – 20x < -2
operan terminos Semejantes
-17 x < -2

−𝟐
Observe que (lo que está sumando a un lado de la desigualdad
𝒙> pasa al otro lado a restar y viceversa)
−𝟏𝟕

𝟐 Al pasar a dividir o a multiplicar una cantidad negativa la

𝒙> *
𝟏𝟕 desigualdad Cambia de sentido

El paso a seguir es el de realizar la gráfica y de esta manera determinar el conjunto solución.

Para esto ubiquemos el número indicado en la recta numérica.
20

𝟐
-2 -1 0 1 2 3
𝟏𝟕
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( )
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2
Lo que significa que se deben tener en cuenta todos los números a la derecha de hasta
17
2
llegar a infinito así ( , ∞)
17

Ejemplo ilustrativo

Resolver la siguiente inecuación: 3x – 5 > x + 7

Solución: 3x – 5 > x + 7 ⟺ 3x – x > 7 + 5 ------------ trasponiendo (reduciendo);
⇔ 2x > 12----------------- dividiendo ambos miembros de la desigualdad por 6
X>6
En notación de intervalos, la solución es 𝑥 ∈ (6, ∞) : todos los valores reales mayores que 6. La
representación gráfica de la solución es:

Ejemplo ilustrativo

Resolver la inecuación simultanea:- 3x ≤ x ≤ 3

Solución: inecuación dada - 3x ≤ x ≤ 3

-3x ≤ x y x ≤ 3, Esta es otra forma de escribirla

Ahora:

 , el signo de la desigualdad se invierte por tener que

multiplicar por un número negativo, Luego el intervalo es:

La solución es: =

Ejemplo ilustrativo
Resolver la inecuación simultanea:

Solución: inecuación dada

Es otra forma de escribirla.

Ahora:
 −𝟓 ≤ 𝒙 + 𝟐, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 − 𝟓 − 𝟐 ≤, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 − 𝟕 ≤ 𝒙, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 − 𝟕 ≥ 𝒙, el signo de la
desigualdad se invierte por tener que multiplicar por un número negativo.
Luego el intervalo es: (−∞, −𝟕]

𝒙 + 𝟐 ≤ 𝟑, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆 𝒙 ≤ 𝟑 − 𝟐, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒙 ≤ 𝟏, corresponde al intervalo (−∞, 𝟏]. La

solución es: (−∞, −𝟕] ∩ (−∞, 𝟏] = [−𝟕, 𝟏]
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Actividades de aplicación n° 3
 Resuelve las inecuaciones y escribe su solución en forma de intervalos.

5x +1< 6 3x −1 ≤ x −11 3x+4≤ 6 – x 𝒙+𝟓 3 < 4x – 9 < 13

< 𝟐𝒙
𝟑

2 + 3x ≤ 8 − x 3(x+5) < 2x +3 -2 ≤ x +1 ≤ 2 2x-4 ≤ -3 ≤ 3x + 6 0 ≤ 2x-7 < 5

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