Capitulo 6 - Transform Ada de Laplace
Capitulo 6 - Transform Ada de Laplace
Capitulo 6 - Transform Ada de Laplace
as
atic
TRANSFORMADA DE LAPLACE
atem
eM
o. d
6.1. INTRODUCCION
ept
a, D
Definición 6.1 Sea f (t) una función definida para todo t ≥ 0; se define la
Transformada de Laplace de f (t) ası́:
qui
Z ∞
£{f (t)}(s) = F (s) = e−st f (t)dt
ntio
0
Z b
e−st f (t)dt,
A
= lı́m
b→∞ 0
de
si el lı́mite existe.
ad
rsid
Teorema 6.1 .
Si f (t) es una función continua a tramos para t ≥ 0 y además |f (t)| ≤ M ect
ive
215
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Z T Z ∞
−st
= e |f (t)|dt + e−st |f (t)|dt
|0 {z } |T {z }
I1 I2
Z T
I1 = e−st |f (t)|dt existe, ya que f es continua a tramos
Z0 ∞
as
Z ∞ Z ∞
−st −st
I2 = e |f (t)| dt ≤ ct
e M e dt = M e(−s+c)t dt
atic
T | {z } T T
≤ M ect
atem
∞
M
−(s−c)t
= e , suponiendo que s − c > 0
−(s − c) T
eM
M M −(s−c)T
= − (0 − e−(s−c)T ) = e
s−c s−c o. d
Luego, £{f (t)}(s) existe, si s > c.
ept
f (t)
ntio
M ect , (c > 0)
A
f (t)
de
•
ad
(0, M ) •
rsid
ive
t
T
Un
Figura 6.1
216
6.1. INTRODUCCION
Z ∞ Z ∞
−st
= α e f (t) dt + β e−st g(t) dt
0 0
= α£{f (t)}(s) + β£{g(t)}(s)
Teorema 6.2 .
1
1). £{1}(s) = s
, s > 0,
as
k
£{k}(s) = , s > 0, k constante.
atic
s
atem
n!
2). £{tn }(s) = sn+1
, s > 0, n = 1, 2, . . .
eM
1
3). £{eat }(s) = s−a
, para s > a o. d
ept
k
a, D
s
ntio
k
6). £{ senh kt}(s) = s2 −k2
, s > |k|
ad
rsid
s
7). £{cosh kt}(s) = , s > |k|
ive
s2 −k2
Un
n!
8). £{tn eat }(s) = (s−a)n+1
, s > a, n = 1, 2, . . .
217
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
as
s
0 s 0
atic
∞
1 1 −st
atem
£{t}(s) = −(0 − 0) + e
s −s 0
1 1
eM
= − 2 (0 − 1) = 2
s s
o. d
Supongamos que se cumple para n − 1 y veamos que se cumple para n. En
efecto:
ept
Z ∞
n −st n u = tn ⇒ du = ntn−1 dt
£{t }(s) = e t dt hagamos
dv = e dt ⇒ v = − 1s e−st
−st
a, D
0
∞ Z
tn e−st n ∞ −st n−1
= − + e t dt
qui
s 0 s 0
| {z }
ntio
£{tn−1 }(s)
n n
= −(0 − 0) + £{tn−1 }(s) = £{tn−1 }(s)
A
s s
de
(n−1)!
Pero por la hipótesis de inducción £{tn−1 }(s) = sn
, luego:
ad
n (n − 1)! n!
rsid
£{tn }(s) = =
s sn sn+1
ive
Z ∞
£{ sen kt}(s) = e−st ( sen kt) dt
0
∞ ∞
1 −st −st 1
= e sen kt = e
sen kt
D 0 D−s 0
∞ ∞
−st D+s −st D + s
= e sen kt =e sen kt
D 2 − s2
0 −k 2 − s2
0
218
6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
∞
1 −st
= − 2 e (k cos kt + s sen kt)
s + k2
0
1 k
= − 2 (0 − k) = 2 , s>0
s + k2 s + k2
En la demostración anterior utilizamos el siguiente teorema de lı́mites: si
lı́m |f (t)| = 0 y g(t) es una función acotada en R entonces lı́m f (t)g(t) = 0
t→∞ t→∞
as
atic
6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE
atem
LAPLACE
Si £{f (t)}(s) = F (s), entonces decimos que f (t) es una transformada
eM
inversa de Laplace de F (s) y se denota ası́:
o. d
£−1 {F (s)} = f (t)
ept
NOTA:
a, D
1,
si t ≥ 0 y t 6= 1, t 6= 2
A
f (t) = 3, si t = 1
de
−3, si t = 2
ad
Pero cuando f (t) y g(t) son continuas para t ≥ 0 y £{f (t)} = £{g(t)}
Un
219
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
as
3). £
s−a
atic
−1 k −1 1 sen kt
4). £ = sen kt, y £ = , si s > 0
atem
2
s +k 2 2
s +k 2 k
−1 s
5). £ = cos kt , si s > 0
s2 + k 2
eM
−1 k −1 1 senh kt
6). £ = senh kt y £ =
o. d , si s > |k|
s2 − k 2 s2 − k 2 k
−1 s
7). £ = cosh kt , si s > |k|
ept
s2 − k 2
a, D
−1 n! n at −1 1 tn eat
8). £ = t e y £ = , si s > a
(s − a)n+1 (s − a)n+1 n!
qui
ntio
7s − 1 A B C
de
−1 −1
£ = £ + +
(s − 3)(s + 2)(s − 1) s−3 s+2 s−1
ad
rsid
1
−1 −1 1 −1 1
= A£ + B£ + C£
s−3 s+2 s−1
ive
3t −2t t
= Ae + Be + Ce
Un
220
6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
as
atic
−1 s+1 −1 A B C D E
£ = £ + + + +
atem
s (s + 2)3
2 s2 s (s + 2)3 (s + 2)2 s + 2
−1 1 −1 1 −1 1
= A£ + B£ + C£ +
eM
s2 s (s + 2)3
−1 1 −1 1
+D£ + E£ o. d
(s + 2)2 s+2
2 −2t −2t
t e te
ept
= A t + B (1) + C +D + E e−2t
2! 1!
a, D
s+1 A B C D E
= + + + +
s2 (s + 2)3 s2 s (s + 2)3 (s + 2)2 s + 2
qui
A = 18 , B = − 16
1
, C = − 14 , D = 0, E = 16 1
, luego
A
de
−1 s2 + 2 −1 s2 + 2
£ = £
s(s2 + 2s + 2) s(s − (−1 + i))(s − (−1 − i))
−1 A B C
= £ + +
s s − (−1 + i) s − (−1 − i)
−1 1 −1 1
= A£ + B£ +
s s − (−1 + i)
221
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
−1 1
+C£
s − (−1 − i)
= A (1) + B e(−1+i)t + Ce(−1−i)t
= A + Be−t (cos t + i sen t) + C e−t (cos t − i sen t)
= A + e−t [(B + C) cos t + i(B − C) sen t]
as
Hallamos los coeficientes de la misma manera que en ejemplo 1.
atic
02 + 2 2
atem
A = = =1
[0 − (−1 + i)][0 − (−1 − i)] 1+1
(−1 + i)2 + 2 1
eM
B = =− =i
(−1 + i)[−1 + i − (−1 − i)] i
2
(−1 − i) + 2 o. d 1
C = = = −i
(−1 − i)[−1 − i − (−1 + i)] i
ept
−1 s2 + 2
£ = 1 + e−t (0 cos t + i(2i) sen t)
s(s2 + 2s + 2)
a, D
= 1 − 2e−t sen t
qui
MADA DE LAPLACE
A
de
Los teoremas que veremos en esta sección nos permitirán en muchos casos
calcular la transformada inversa sin utilizar fracciones parciales.
ad
rsid
Teorema 6.4 .
Si f es una función continua a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial
ive
para t ≥ T , entonces
Un
222
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Z ∞
Z ∞ Z ∞
|F (s)| =
e−st f (t) dt ≤ |f (t)| dt ≤ e −st
e−st M eαt dt
0 0 0
Z ∞ ∞
−(s−α)t 1
−(s−α)
= M e dt = e
−(s − α)
as
0 0
M M
atic
s>α
= − (0 − 1) =
s−α s−α
atem
M
⇒ lı́m |F (s)| ≤ lı́m =0
s→∞ s→∞ s − α
⇒ lı́m F (s) = 0
eM
s→∞
£ eat f (t) (s) = £ {f (t)} (s − a)
a, D
= F (s − a)
qui
Demostración:
ntio
Z ∞ Z ∞
A
−st at
at
£{e f (t)}(s) = e e f (t) dt = e−(s−a)t f (t) dt
de
0 0
= £{f (t)}(s − a) = F (s − a)
ad
(s−2)2 +1
ya que £{ sen t}(s) = s21+1
1
Ejemplo 5. £−1 s2 −2s+3
Solución:
−1 1 −1 1 1 √
£ 2
= £ = √ et sen 2t
s − 2s + 3 (s − 1)2 + 2 2
223
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
s
Ejemplo 6. £−1 s2 +4s+5
Solución:
−1 s (s + 2) − 2
−1
£ 2
= £
s + 4s + 5 (s + 2)2 + 1
s+2 1
as
−1 −1
= £ − 2£
(s + 2)2 + 1 (s + 2)2 + 1
atic
= e−2t cos t − 2e−2t sen t
atem
Definición 6.2 (Función Escalón Unitario) .(Ver figura 6.2)
eM
0, si 0 ≤ t < a,
U(t − a) =
1, si t ≥ a o. d
U(t − a)
ept
1
a, D
t
a
qui
−1
ntio
Figura 6.2
A
gráfica 6.3
g(t)
rsid
1
ive
t
Un
π
−1
Figura 6.3
224
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Demostración:
as
Z ∞
atic
£{U(t − a)f (t − a)}(s) = e−st U(t − a)f (t − a) dt
Z0 a
atem
Z ∞
−st
= e
U(t − a)f (t − a) dt + e−st U(t − a)f (t − a) dt
Z0 a Z ∞ a
eM
= e−st 0f (t − a) dt + e−st 1f (t − a) dt
Z0 ∞ a o. d
= e−st f (t − a) dt
a
ept
Z ∞
qui
Z ∞
−sa
=e e−su f (u) du
0
A
−as
=e £{f (t)}(s)
de
1 e−as
£{U(t − a)} = £{U(t − a) 1} = e−as =
s s
225
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
pero
π π π π π π
sen t − + = sen t − cos + sen cos t −
2 2 2 2 2 2
π
= cos t −
n o 2
π π − π2 s
£ U t− cos t − =e £{cos t}
2 2
s
as
π
= e− 2 s 2
atic
s +1
n −s o
e
Ejemplo 10. Hallar £−1 s(s+1)
atem
Solución:
eM
−1 e−s −1 −s 1
£ =£ e
s(s + 1) s(s + 1) o. d
como
ept
1 A B
= + ⇒ A = 1, B = −1
a, D
s(s + 1) s s+1
−1 −s 1 −1 −s 1
qui
=£ e −£ e
s s+1
ntio
R∞
n=1 F (s) = 0
e−st f (t) dt
Un
Z Z ∞
dF (s) d ∞ −st ∂ −st
= e f (t) dt = (e f (t)) dt
ds ds ∂s
Z ∞0 0
Z ∞
= −t e−st f (t) dt = − e−st (t f (t)) dt
0 0
def.£
= −£{t f (t)}(s)
d
⇒ £{t f (t)}(s) = − F (s)
ds
226
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
as
k
n=k d k d
= − [(−1) F (s)]
atic
ds dsk
dk+1
= (−1)k+1 k+1 F (s)
atem
ds
NOTA: para el caso n = 1, obtenemos una fórmula que nos permite
eM
hallar la transformada inversa de transformadas que no tenemos en la tabla
de transformadas. o. d
d
£{t f (t)}(s) = − F (s)
ds
ept
o sea que
a, D
1
f (t) = − £−1 {F 0 (s)}
t
ntio
s−3
Ejemplo 11. Hallar £−1 ln s+1 = f (t)
A
Solución:
de
1 −1 d 1 −1 d s−3
ad
f (t) = − £ F (s) = − £ ln
t ds t ds s+1
rsid
1 s + 1 (s + 1)1 − (s − 3)1
= − £−1
ive
t s−3 (s + 1)2
1 −1 s + 1 4 1 −1 4
Un
=− £ =− £
t s − 3 (s + 1)2 t (s − 3)(s + 1)
4 1
= − £−1
t (s − 3)(s + 1)
utilizando fracciones parciales
1 A B
= +
(s − 3)(s + 1) s−3 s+1
227
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
1 1
⇒A= , B=−
4 4
4 −1 1 1
f (t) = − £ −
t 4(s − 3) 4(s + 1)
1 e−t − e3t
= − (e3t − e−t ) =
t t
as
Si f (t), f 0 (t), f 00 (t), . . . , f (n−1) (t) son continuas para t ≥ 0 y de orden expo-
atic
nencial y si f n (t) es continua a tramos para t ≥ 0, entonces:
atem
£{f (n) (t)}(s) = sn F (s)−sn−1 f (0)−sn−2 f 0 (0)−. . .−sf (n−2) (0)−f (n−1) (0)
eM
Demostración: por inducción sobre n: o. d
para n = 1
ept
Z ∞
0
£{f (t)}(s) = e−st f 0 (t) dt,
a, D
Z ∞
ntio
−st
∞
=e f (t) + s
0
e−st f (t) dt
0
A
= s F (s) − f (0)
ad
£{f (k) (t)}(s) = sk F (s) − sk−1 f (0) − sk−2 f 0 (0) − . . . − sf (k−2) (0) − f (k−1) (0)
ive
228
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
as
Definición 6.3 (Producto Convolutivo) . Sean f y g funciones conti-
atic
nuas a tramos para t ≥ 0; el producto convolutivo entre las funciones f y g
se define ası́:
atem
Z t
(f ∗ g)(t) = f (τ ) g(t − τ ) dτ
0
eM
NOTA: haciendo el cambio de variable u = t−τ en la definición de producto
convolutivo se demuestra que: f ∗ g = g ∗ f (o sea que la operación ∗ es o. d
conmutativa)
ept
entonces
qui
Demostración:
A
Z ∞ Z ∞
def. −sτ def.
F (s) = e f (τ ) dτ G(s) = e−sβ g(β) dβ
de
0 0
Z ∞ Z ∞
ad
Z0 ∞ Z ∞ 0
Z0 ∞ 0 Z ∞
Un
−(τ +β)s
= f (τ ) e g(β) dβ dτ (6.1)
0 0
229
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
τ =t
τ
as
2
atic
1
atem
0 t
t
eM
Figura 6.4 o. d
ept
Z t
A
Z ∞ Z ∞
−ts
F (s) G(s) = e
dt =
f (τ ) g(t − τ ) dτ e−ts (f ∗ g)(t) dt
de
0 | 0 0
{z }
ad
(f ∗ g)(t)
rsid
def.
= £{(f ∗ g)(t)} (s)
ive
230
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
1
£{g(t)}(s) = £{1}(s) =
Z t s Z t
£{(f ∗ g)} = £ f (τ ) g(t − τ ) dτ = £ f (τ ) 1 dτ
0 0
= £{f (τ )}(s) £{g(τ )}(s) = F (s)£{1}(s)
Z t
as
1
£ f (τ ) dτ = F (s)
atic
0 s
atem
Teorema 6.10 (Generalización de la transformada de una potencia)
.
£{tx } = Γ(x+1) , para s > 0 y x > −1
eM
sx+1
Z ∞ Z ∞
−st
Γ(x) = e (st) x−1
s dt = s e−st sx−1 tx−1 dt
A
0 0
Z ∞
de
=s x
e−st tx−1 = sx £{tx−1 }
0
ad
por lo tanto
rsid
Γ(x)
£{tx−1 } = con x > 0 y s > 0
ive
sx
luego (cambiando x por x + 1)
Un
Γ(x + 1)
£{tx } = con x + 1 > 0 (o sea x > −1) y s > 0
sx+1
Definición 6.4 Una función f (t) se dice que es periódica con perı́odo T
(T > 0) si para todo t se cumple f (t + T ) = f (t).
231
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
as
nR o
t
Ejemplo 12. Hallar £ 0 e−τ cos τ dτ (s)
atic
Solución:
atem
Z t
−τ 1
£ e cos τ dτ (s) = £{e−τ cos τ }(s)
0 s
eM
Pero o. d
£{e−τ cos τ }(s) = £{cos τ }(s + 1)
s+1
ept
=
(s + 1)2 + 12
a, D
Z t
−τ 1 s+1
£ e cos τ dτ (s) =
s (s + 1)2 + 1
qui
0
ntio
def ∗
£{e−t ∗ et cos t}(s) = £{e−t }(s) £{et cos t}(s)
de
1 s−1
=
ad
s + 1 (s − 1)2 + 1
rsid
Observese que el ejemplo siguiente lo resolvemos con los resultados de los teo-
ive
232
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Z
1 t
= sen 2τ (cos 2t cos 2τ + sen 2t sen 2τ ) dτ
2 0
Z t Z t
1 1
= cos 2t sen 2τ cos 2τ dτ + sen 2t sen 2 2τ dτ
2 0 2 0
1 2 1 1
= cos 2t sen 2t + t sen 2t − sen 2t sen 4t
8 4 16
Utilizando los teoremas vistos sobre transformada, efectuar los siguientes
as
ejercicios.
atic
R∞ Rt
e−5t [ te3t sen 2t dt] dt
atem
Ejercicio 1. Hallar 0 0
1
(Rta.: 40 )
eM
Ejercicio 2. Mostrar que
3 o. d
−1 s + 3s2 + 1 3 1 1
£ 2 2
= e−t cos t + 2e−t sen t − + t
s (s + 2s + 2) 2 2 2
ept
a, D
s
Ejercicio 3. Mostrar que £−1 s2 +4s+5
= e−2t cos t − 2e−2t sen t
qui
π s
sen 2t
Ejercicio 4. Mostrar que £−1 − tan−1 =
ntio
2 2 t
Ejercicio 5. Mostrar que £−1 tan−1 1s = sen t
A
t
de
3
e−2t sen 3t
Ejercicio 6. Mostrar que £−1 tan−1 s+2 = t
ad
n o
s
Ejercicio 7. Mostrar que £−1 (s2 +1) = 18 (t sen t − t2 cos t)
rsid
s π
Ejercicio 8. Hallar £−1 e− 2 s
ive
s2 +1
(Rta.: −U(t − π2 ) sen t))
Un
n o
1
Ejercicio 9. Hallar £−1 (s+2)2 +4
e−πs
(Rta.: 21 e−2(t−π) sen 2(t − π)U(t − π))
n R o
t
Ejercicio 10. Hallar £ t 0 sen τ dτ (s)
3s2 +1
(Rta.: s2 (s2 +1)2
)
233
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
n Rt o
−2t 2τ
Ejercicio 11. Hallar £ e 0
τ e sen τ dτ (s)
2s
(Rta.: (s+2)(s2 +1)2
)
n o
−1 1
Ejercicio 12. Hallar £ (s2 +1)(s2 +4)
n o
s+1
Ejercicio 13. Hallar £−1 (s2 +2s+2)2
as
5 15 π
12
Ejercicio 14. Mostrar que £{t 2 } = 5 s
atic
8s 2
5
Ejercicio 15. Hallar £{t 2 e2t }
atem
Ejercicio 16. Emplear la transformada de Laplace y su inversa para
eM
mostrar que
m!n!
tm ∗ t n = tm+n+1 o. d
(m + n + 1)!
Ejercicio 17. Sea f (t) = ab t de perı́odo b (función “serrucho”, ver figura
ept
f (t)
qui
a
ntio
t
b 2b 3b 4b 5b 6b 7b
A
de
Figura 6.5
ad
rsid
(Rta.: as ( bs1 − 1
ebs−1
)
ive
(
sen t, si 0 ≤ t ≤ π
f (t) =
0, si π ≤ t ≤ 2π
234
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
f (t)
t
π 2π 3π
−1
Figura 6.6
as
atic
1
(Rta.: (s2 +1)(1−e −πs ) )
atem
Ejercicio 19. Sea
eM
(
1, si 0 ≤ t < a
f (t) = o. d
−1, si a ≤ t < 2a
ept
f (t)
ntio
1
A
t
a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a
de
−1
ad
Figura 6.7
rsid
ive
−as
(Rta.: 1s [ 1+e2−as − 1] = 1s [ 1−e ] = 1s tanh as )
Un
1+e−as 2
235
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
periódica de perı́odo 4a
1−e−as
(Rta.: sb [ 1+e −2as ])
Ejercicio 21. Sea f (t) la función de onda triángular (ver figura 6.8).
Mostrar que £{f (t)}(s) = s12 tanh 2s
f (t)
as
1
atic
t
atem
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
eM
Figura 6.8
o. d
Ejercicio 22. Sea f (t) la función rectificación completa de la onda de
ept
sen t (ver figura 6.9). Mostrar que £{f (t)}(s) = s21+1 coth πs
2
a, D
f (t)
1
qui
ntio
t
π 2π 3π 4π
A
−1
de
Figura 6.9
ad
rsid
Ejercicio 23.
ive
f (t)
lı́m+
t→0 t
existe, entonces Z ∞
f (t)
£{ }(s) = F (s) ds
t s
donde F (s) = £{f (t)}(s)
236
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
c). Hallar
R∞
1. 0 e−ax ( senx bx ) dx
as
(Rta.: tg −1 ab )
atic
atem
R∞ e−ax −e−bx
2. 0 x
dx
(Rta.:ln ab )
eM
t −t
3. Mostrar que £{ e −et } = ln(s + 1) − ln(s − 1), con s > 1 o. d
Rt 1−cos aτ 1 2 +a2
4. Mostrar que £{ dτ } = ln s
ept
0 τ 2s s2
a, D
5. Mostrar formalmente,
R ∞ sen xt que si x > 0 entonces
R ∞ xt
a) f (x) = 0 t
dt = π2 ; b) f (x) = 0 cos
1+t2
dt = π2 e−x
qui
6. Hallar £{ sent kt }
ntio
(Rta.: tan−1 ks )
A
de
−3s
a). £−1 { e s2 } = (t − 3)U(t − 3)
rsid
−πs
b). £−1 { se2 +1 } = sen (t − π)U(t − π) = − sen tU(t − 3)
ive
−2πs
c). £−1 { 1−e } = (1 − U(t − 2π)) sen t
Un
s2 +1
−3s
)
d). £−1 { s(1+e
s2 +π 2
} = (1 − U(t − 3)) cos πt
−πs
e). Hallar £−1 { s−se
1+s2
}
(Rta.: cos t − U(t − π) cos(t − π))
237
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
as
atic
Aplicar el teorema de la transformada de la derivada
£{y 0 } = sY (s) − y(0)
atem
£{y 00 } = s2 Y (s) − sy(0) − y 0 (0)
donde Y (s) = £{y(t)}(s)
1
: £{y 00 } − 4£{y 0 } + 4£{y} = £{t3 e2t }
ntio
3!
2
: s2 Y (s) − sy(0) − y 0 (0) − 4(sY (s) − y(0)) + 4Y (s) =
(s − 2)4
A
3!
3
: s2 Y (s) − 4sY (s) + 4Y (s) =
de
(s − 2)4
ad
3!
(s−2)4 3! 3!
4
: Y (s) = = =
rsid
s2
− 4s + 4 4
(s − 2) (s − 2) 2 (s − 2)6
3!
y(t) = £−1 {Y (s)} = £−1
ive
(s − 2)6
Un
1 −1 3! (4 × 5) 1 −1 5! t5 2t
= £ = £ = e
4×5 (s − 2)6 4×5 (s − 2)6 20
Rt
Ejemplo 16. Hallar la solución de y 0 (t) = 1− sen t− 0 y(t) dt, y(0) = 0
Solución:
Z t
0
1 : £{y (t)}(s) = £{1}(s) − £{ sen t}(s) − £ y(t) dt (s)
0
238
6.4. APLIC. A E.D. CON COEF. CONST. Y COND. INICIALES
1 1 1
s Y (s) − y(0) = − 2 2
− Y (s)
s s +1 s
1 1 1
2 : Y (s) s +
= − 2
s s s +1
2
s +1 1 1
Y (s) = − 2
s s s +1
s 1 1 1 s
3 : Y (s) = 2
− 2 = 2 − 2
as
s +1 s s +1 s + 1 (s + 1)2
atic
−1 −1 1 −1 s
4 : y(t) = £ {Y (s)} = £
−£
s2 + 1 (s2 + 1)2
atem
1 s
y(t) = sen t − £−1 2 2
= sen t − sen t ∗ cos t
s +1 s +1
eM
Z t
o. d
= sen t − sen τ cos(t − τ ) dτ
0
ept
Z t
= sen t − sen τ (cos t cos τ + sen τ sen t) dτ
a, D
0
Z t Z t
= sen t − cos t sen τ cos τ dτ − sen t sen 2 τ dτ
qui
0 0
1 1 1
ntio
Solución:
ad
d 2!
(−1) £{y 00 }(s) − (s Y (s) − y(0)) = 3
ive
ds s
d 2 2!
− (s Y (s) − s y(0) − y 0 (0)) − s Y (s) = 3
Un
ds s
d 2 2!
− (s Y (s)) − sY (s) = 3
ds s
2
−(s2 Y 0 (s) + 2sY (s)) − s Y (s) =
s3
2
−s2 Y 0 (s) − 3sY (s) = 3
s
239
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
3 2
Y 0 (s) + Y (s) = − 5 , E.D. lineal de primer orden
sR s
3
F.I e s ds
= eZ ln s = s3
3
2 s−1
Y (s) s3 = − 5 s3 ds + C = −2 +C
s −1
2 C
Y (s) = 4 + 3
s s
as
−1 2 −1 1
y(t) = £ + C£
atic
s 4 s3
t3 t2
atem
= 2 +C
3! 2!
Ejemplo 18. Hallar la solución de ty 00 + y = 0, y(0) = 0
eM
Solución:
d
o. d
£{ty 00 }(s) + Y (s) = (−1) (£{y 00 }(s)) + Y (s)
ds
d 2
ept
d
= − (s2 Y (s)) + Y (s) = −(s2 Y 0 (s) + 2sY (s)) + Y (s)
ds
qui
0 2s − 1 0 2 1
= Y (s) + Y (s) = Y (s) + − Y (s)
s2 s s2
A
s−1
F.I. = e ( s − s2 ) ds = e2 ln s− −1 ,
R 2 1
de
1
F.I. = s2 e s
Z
ive
2 1s
Y (s) s e = F.I. (0) + C
Un
1
C 1 e− s
Y (s) = 2 e− s = C 2
s s
1 1 1 1 1 1 1 (−1)n 1
=C 2 1− + − + ... + + ...
s 1! s 2! s2 3! s3 n! sn
1 1 1 1 1 1 1 (−1)n 1
Y (s) = C − + − + ... + + ...
s2 1! s3 2! s4 3! s5 n! sn+2
y(t) = £−1 {Y (s)}
240
6.4. APLIC. A E.D. CON COEF. CONST. Y COND. INICIALES
t 1 t2 1 t3 1 t4 1 (−1)n tn+1
=C − + − + ... + + ...
1! 1! 2! 2! 3! 3! 4! 4! n! (n + 1)!
Resolver los siguientes ejercicios por transformada de Laplace
as
Ejercicio 2. y 00 − 6y 0 + 9y = t2 e3t , y(0) = 2, y 0 (0) = 6
4
atic
(Rta.: y = 2e3t + 2 t4! e3t )
atem
Ejercicio 3. y 00 − 2y 0 + y = et , y(0) = 0, y 0 (0) = 5
(Rta.: y = 5tet + 21 t2 et )
eM
Ejercicio 4. y 00 − 6y 0 + 9y = t, y(0) = 0, y 0 (0) = 1
(Rta.: y = 10 2 3t
te3t − 27 2
e + 9t + 27 )
o. d
9
Rt
Ejercicio 5. y 00 + y 0 − 4y − 4 0 y dτ = 6et − 4t − 6, y(0) = y 0 (0) = 0
ept
Z t
f (t) + f (τ ) dτ = 1
ntio
0
−t
(Rta.: f (t) = e )
A
Rt
de
Rt
Ejercicio 8. y 0 (t) − 6y(t) + 9 0
y(τ ) dτ = t, y(0) = 0
(Rta.: y = 3t e3t − 19 e3t + 91 )
ive
Rt
Un
241
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
as
Ejercicio 15. ty 00 + y = 12t, y(0) = 0
atic
2 3 4 1 t5 n+1
(Rta.: y(t) = 12t + C(t − t2! + 2!1 t3! − 3!1 t4! + − . . . + (−1)n n!1 (n+1)!
4! 5!
t
+ . . .))
atem
00 1 0≤t<1
Ejercicio 16. y + 4y = f (t) donde f (t) =
0 t≥1
eM
y(0) = 0, y 0 (0) = −1
(Rta.: y(t) = 41 − cos4 2t − 12 U(t − 1) sen 2(t − 1) − 21 sen 2t)
o. d
Ejercicio 17. y 00 + 4y = f (t) donde f (t) = sen t U(t − 2π)
ept
y(0) = 1, y 0 (0) = 0
(Rta: y(t) = cos 2t + 13 sen (t − 2π) U(t − 2π) − 16 sen 2(t − 2π) U(t − 2π))
a, D
Rt
i. f (t) + 0 (t − τ ) f (τ ) dτ = t
rsid
Rt
ii. f (t) + 4 sen τ f (t − τ ) dτ = 2t
Un
Rt
iii. f (t) = tet + 0 τ f (t − τ ) dτ
(Rta: f (t) = − 18 e−t + 18 et + 34 tet + 14 t2 et )
Rt
iv. f (t) + 0 f (τ ) dτ = et
(Rta: f (t) = 12 e−t + 21 et )
242
6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC
Rt
v. f (t) + 0 f (τ ) dτ = t
(Rta: f (t) = −e−t + 1)
Ejercicio 21. Sea x(t) la solución de la ecuación de Bessel de orden cero
tx00 + x0 + tx = 0
tal que x(0) = 1 y x0 (0) = 0. Demostrar que
√ 1
as
a. £{x(t)}(s) = £{J0 (t)}(s) = s2 +1
,
atic
R∞
b. Mostrar formalmente J0 (x) dx = 1,
atem
0
Rπ
c. Mostrar formalmente J0 (x) = π1 0 cos(x cos t) dt
eM
Rπ
(Ayuda: 0 cos2n x dx = 1·3·5·7···(2n−1)
2·4·6···2n
π) o. d
6.5. IMPULSO UNITARIO O “FUNCIÓN
ept
DELTA”DE DIRAC
a, D
muy grandes que actúan en intervalos de tiempo muy pequeños, por ejemplo
ntio
Dirac.
de
1
, si t0 − a ≤ t ≤ t0 + a
ad
Definición 6.5 δa (t − t0 ) = 2a
0 , si t < t0 − a o t > t0 + a
rsid
Nota: para todo a > 0 y para todo t0 > 0 se cumple que (Ver figura 6.10)
Un
Z ∞
δa (t − t0 ) = 1
−∞
243
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
δa (t − t0 )
t0 1/2a
t
2a
as
Figura 6.10
atic
atem
Ver figura 6.11 en la página siguiente.
eM
Propiedades:
1. δ(t − t0 ) es infinita en t = t0 y cero para t 6= t0 .
o. d
ept
R∞
2. −∞
δ(t − t0 ) dt = 1
a, D
−st0 esa −e−sa
3. £{δa (t − t0 )}(s) = e
qui
2as
ntio
def. L’Hôpital
4. £{δ(t − t0 )}(s) = lı́m £{δa (t − t0 )}(s) = e−st0
a→0
A
de
5. si t0 = 0 ⇒ £{δ(t)}(s) = 1
ad
R∞ R∞
6. f (t) δ(t − t0 ) dt = f (t0 ), en particular f (t) δ(t − t0 ) dt = f (t0 )
rsid
−∞ 0
ive
Notar que en la propiedad 5. lı́m £{f (t)}(s) = 1, mientras que por teorema
s→∞
anterior vimos que cuando una función es de orden exponencial
lı́m £{f (t)}(s) = 0, lo cual es una contradicción, esto nos indica que la “fun-
s→∞
ción”δ-Dirac no es de orden exponencial, es por esto que δ es una
“función”extraña. Más precisamente, esta función es tratada con detenimien-
to en los textos de Teorı́a de Distribuciones (Ver texto de Análise de Fourier
e Equações Diferenciais Parciais de Djairo Guedes de Figueiredo)
244
6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC
δa (t − t0 )
∞
as
atic
atem
eM
o. d
ept
t
t0
a, D
2a
qui
Figura 6.11
ntio
A
245
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
as
atic
Ejemplo 19. Utilizando el Paquete Maple, descomponer en fracciones
7s−1
parciales las siguientes expresiones: a) F (s) = (s−3)(s+2)(a−1) , b) F (s) =
atem
2s+4 s2 −16 s3 +3s2 +1 s2
(s−2)(s2 +4s+3)
, c) F (s) = s3 (s+2)2
, d) F (s) = s2 (s2 +2s+2)
, e) F (s) = (s2 +1)2
eM
a). >F1(s) := (7*s-1)/((s-3)*(s+2)*(s-1)); o. d
>convert(F1(s),parfrac,s);
ept
7s − 1
F 1(s) :=
(s − 3)(s + 2)(a − 1)
a, D
2 1 1
− −
qui
2s + 4
F 2(s) :=
ad
(s − 2)(s2 + 4s + 3)
rsid
8 1 1
− −
15(s − 2) 5(s + 3) 3(s + 1)
ive
Un
s2 − 16
F 3(s) :=
s3 (s + 2)2
11 11 4 4 3
− + − 3+ 2+
4s 4(s + 2) s s 2(s + 2)2
246
6.6. ANEXO CON EL PAQUETE MAPLE
s3 + 3s2 + 1
F 4(s) :=
s2 (s2 + 2s + 2)
as
− + +
s s + 1,000000000 + 1,000000000I
atic
0,7500000000 − 1,000000000I 0,5000000000
+ +
atem
s + 1. − 1.I s2
>convert(%,fraction);
eM
o. d
1 ( 43 + I) ( 34 − I) 1
− + + +
(2s) (s + 1 + I) (s + 1 − I) (2s2 )
ept
a, D
s2
ntio
F 5(s) :=
(s2 + 1)2
A
>convert(%,fraction);
rsid
ive
1 1
1 1 4
I 4
I
+ − +
Un
>with(inttrans):laplace(cos(k*t),t,s);
247
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
s
s2 + k2
>with(inttrans):laplace({sin(k*t),exp(k*t)},t,s);
1 k
, 2
as
s − k s + k2
atic
Ejemplo 21. Hallar la transformada de et sen (2t) y calcular la transformada
inversa de (s−1)2 2 +4
atem
Efectuar las siguientes instrucciones:
eM
>with(inttrans):laplace(exp(t)*sin(2*t),t,s);
o. d
2
ept
(s − 1)2 + 4
a, D
>invlaplace(%,s,t);
qui
et sen (2t)
ntio
>with(ODEtools):Eqn2:=D(D(x))(t)+16*x(t)=cos(4*t):
dsolve({Eqn2,x(0)=0,D(x)(0)=1},x(t),method=laplace);
Un
t 1
x(t) = + sen (4t)
8 4
Ejemplo 23. Resolver, usandoRtransformada de Laplace, la ecuación integro-
t
diferencial y 0 (t) = 1 − sen t − 0 y(τ ) dτ con la condición y(0) = 0
248
6.6. ANEXO CON EL PAQUETE MAPLE
>with(ODEtools):Eqn2:=D(y)(t)=1-sin(t)-int(y(s),s=0..t):
dsolve({Eqn2,y(0)=0,D(y)(0)=1},y(t),method=laplace);
t
y(t) = 1− sen (t)
2
Ejemplo 24. Resolver, usando transformada de Laplace, la E.D. y 0 + y =
U (t − 1) con la condición y(0) = 0 (U es la función escalón unitario)
as
atic
Efectuar los siguientes pasos:
atem
>restart: with(ODEtools): ode := diff(y(t),t) + y(t) =
5*piecewise(t<1,0,t>=1,1):dsolve({ode,y(0)=0},y(t),method=laplace);
eM
0 t<1
o. d
y(t) = undefind t=1
ept
(1−t)
−5e +5 t>1
a, D
qui
A ntio
de
ad
rsid
ive
Un
249
250
Un
ive
rsid
ad
de
Antio
qui
a, D
ept
o. d
eM
atem
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
atic
as