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    Taller 3-Ecuaciones Diferenciales

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    Jorge Ivan Ocampo Bulla
    Este documento presenta un programa académico sobre ecuaciones diferenciales en la Universidad Militar Nueva Granada. Incluye ejercicios sobre resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias en series y mediante la transformada de Laplace, así como cálculos de transformadas de Laplace inversas y uso de la transformada para resolver problemas de valor inicial.

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    UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA-UMNG

    PROGRAMA ACADÉMICO: INGENIERÍAS


    QUINTO SEMESTRE
    ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES
    SOLUCIÓN EN SERIES Y TRANSFORMADA DE LAPLACE

    I) Resuelva cada EDO, en cada caso suponga que tiene una solución de la forma 𝑦 = ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 .
    𝑛=0

    Con lo cual
    ∞ ∞

    𝑦 ′ = ∑ 𝑛𝑎𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑦′′ = ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥 𝑛−2


    𝑛=1 𝑛=2

    1) 𝑦′ + 𝑦 = 0 2) 𝑦 ′ − 2𝑦 = 0 3) 𝑦 ′ − 2𝑦 = 0

    II) Calcule la transformada de Laplace en cada caso.

    1) 𝑓(𝑡) = 2𝑡 2 2) 𝑓(𝑡) = 𝑒 2𝑡 3) 𝑓(𝑡) = cos 𝑡

    III) Calcule la transformada inversa de Laplace en cada caso.


    𝑠 𝑠 𝑠
    1) ℒ −1 { 2 } 2) ℒ −1 { 2 } 3) ℒ −1 { }
    𝑠 −2 𝑠 + 3𝑠 + 3 (𝑠 − 1)(𝑠 2 + 1)

    4𝑠 𝑠 𝑠
    4) ℒ −1 { } 5) ℒ −1 { 2 } 6) ℒ −1 { }
    2
    4𝑠 + 1 𝑠 + 2𝑠 − 3 (𝑠 + 2)(𝑠 2 + 4)

    𝑠 𝑠 𝑠
    7) ℒ −1 { } 8) ℒ −1 { 2 } 9) ℒ −1 { 2 }
    (𝑠 − 3)(𝑠 2 + 1) 𝑠 −9 𝑠 +𝑠+1

    IV) Recuerde que: Dada 𝑓(𝑡) una función definida para 𝑡 ≥ 0. Entonces la transformada de Laplace de la
    función 𝑓 esta definida como:

    ℒ{𝑓 (𝑛) (𝑡)} = 𝑠 𝑛 𝐹(𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝑓(𝑡) − 𝑠 𝑛−2 𝑓 ′ (𝑡) − 𝑠 𝑛−3 𝑓 ′′ (𝑡) − ⋯ − 𝑓 (𝑛−1) (𝑡)

    Calcule la solución de los siguientes PVI usando la transformada de Laplace

    1) 𝑦 ′ − 𝑦 = 𝑡 2 𝑒 −𝑡 𝑦(0) = 2 2) 𝑦 ′′ − 𝑦 = cos 𝑡 𝑦(0) = −2, 𝑦 ′ (0) = 1

    3) 𝑦 ′ + 4𝑦 = 𝑒 −4𝑡 𝑦(0) = 2 4) 𝑦 ′′ + 𝑦 = sin 𝑡 𝑦(0) = 1, 𝑦 ′ (0) = −1

    “El secreto de ir avanzando es empezar”


    Mark Twain

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