Semana 12

UNIVERSIDAD PRIVADA
ANTENOR ORREGO
FACULTAD DE INGENIERÍA
𝑓′ 𝑥 = 0
MATEMÁTICA I
TEMA: GRÁFICA DE FUNCIONES REALES
DOCENTE: MSc. Josel Mechato Durand
CORREO: jmechatod1@upao.edu.pe
CONTENIDO
-Valores extremos y relativos.
- Punto crítico.
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
- Criterio de la primera derivada.
- Punto de inflexión.
- Concavidad.
- Criterio de concavidad.
- Criterio de la segunda derivada (máximo y mínimo).
-Estrategias para graficar funciones reales.
PUNTO CRÍTICO
DEFINICIÓN
Un valor crítico o punto crítico de una función f es cualquier
número x en el dominio de f tal que 𝑓 ′ 𝑥 = 0 o 𝑓 ′ 𝑥 no existe.
EJEMPLO:
Encontrar los puntos críticos de:
𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 8𝑥 3 − 2𝑥 2 − 24𝑥 + 1
VALORES EXTREMOS Y RELATIVOS
DEFINICIÓN DE EXTREMOS ABSOLUTOS
1) 𝑓(𝑥0 ) es máximo absoluto de 𝑓 ⇔ 𝑓(𝑥0 ) ≥ 𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)
2) 𝑓(𝑥0 ) es mínimo absoluto de 𝑓 ⇔ 𝑓(𝑥0 ) ≤ 𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)
CRITERIOS DE CLASIFICACIÓN DE UN PUNTO CRÍTICO
1) puedes valerte de la definición de extremo relativo y estudiar el
signo de la diferencia 𝒇(𝒙) – 𝒇(𝒙𝟎 ) en un entorno de 𝑥0 .
2) Criterio de la primera derivada (𝑓′(𝑥)): Puede estudiar el signo de la

derivada en un entorno de 𝑥0 .
CRITERIOS DE CLASIFICACIÓN DE UN PUNTO CRÍTICO
3) Criterio de la segunda derivada (𝑓′′(𝑥))
Si la derivada 2da de la función en el punto 𝒙𝟎 existe y es distinta de cero
puede valerse de su valor para la clasificación.
𝑑2
𝑓 𝑥0 > 0 → ∃ 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑑𝑥 2
𝑑2
𝑑𝑥 2
𝑓 𝑥0 < 0 → ∃ 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑑2
𝑑𝑥 2 𝑓 𝑥0 = 0 → 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒
EJEMPLO: Encontrar los puntos críticos y clasificarlos
𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 8𝑥 3 − 2𝑥 2 − 24𝑥 + 1
INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y
DECRECIMIENTO
Una función es creciente en un intervalo (𝑎, 𝑏) si para todo elemento 𝑥
del intervalo se cumple que: 𝑓 ′ 𝑥 > 0
Una función es decreciente en un intervalo 𝑎, 𝑏 si para todo

elemento 𝑥 del intervalo se cumple que: 𝑓 ′ 𝑥 < 0
Crece Decrece
Decrece Crece
EJEMPLO
Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 8𝑥 3 − 2𝑥 2 − 24𝑥 + 1
𝑥
𝑓′(𝑥)
𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛
PUNTO DE INFLEXIÓN
Una función 𝑓(𝑥) tiene un punto de inflexión, si se cumple que:
𝑓 ′′ 𝑥 = 0
EJEMPLO: Encontrar los puntos de inflexión de
𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 8𝑥 3 − 2𝑥 2 − 24𝑥 + 1
EJEMPLO
Encontrar los puntos de inflexión de:
𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 8𝑥 3 − 2𝑥 2 − 24𝑥 + 1
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
Considere una función 𝑓 derivable y sea 𝑃 un punto de la grafica 𝑓, si
todos los puntos de 𝑓 arbitrariamente cercanos a 𝑃 están por arriba de
la recta tangente a 𝑓 en el punto 𝑃, entonces la gráfica es cóncava
hacia arriba o simplemente cóncava en 𝑃.
𝐶ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝐿
0 𝑥
Si todos los puntos de 𝑓 arbitrariamente cercanos a 𝑃 están por debajo

de la recta tangente a 𝑓 en el punto 𝑃, entonces la gráfica es cóncava
hacia abajo o convexa en 𝑃.
𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝐿
𝑃
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎
0 𝑥
Condiciones analíticas de concavidad y convexidad:
• Si 𝑓 ′′ 𝑥 > 0 en un intervalo (𝑎, 𝑏), entonces la función 𝑓(𝑥) es
cóncava en el intervalo (𝑎, 𝑏)
• Si 𝑓 ′′ 𝑥 < 0 en un intervalo (𝑎, 𝑏), entonces la función 𝑓(𝑥) es
cónvexa en el intervalo (𝑎, 𝑏)
• Si 𝑓 ′′ 𝑥 = 0 en un intervalo (𝑎, 𝑏), entonces la función 𝑓(𝑥) tiene
un punto de inflexión en el intervalo (𝑎, 𝑏)
EJEMPLO
Encontrar los intervalos de concavidad y convexidad de:
𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 8𝑥 3 − 2𝑥 2 − 24𝑥 + 1
𝑥
𝑓 ′ ′(𝑥)
𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛
MÉTODO DE RESOLUCIÓN PARA GRAFICAR UNA FUNCIÓN
1)Dominio: ∃𝒚 = 𝒇 𝒙 ⇔ 𝒙 ∈ 𝑫𝒇
2)Puntos críticos: ”c” 𝒇′ 𝒙 = 𝟎
3) Extremos: 𝒇′ 𝒙 > 𝟎 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒆 𝒇′ 𝒙 < 𝟎 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒆
4) Intervalos crecimiento: 𝒇′′ 𝒄 > 𝟎 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐

𝒇′′ 𝒄 < 𝟎 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐
5) Puntos inflexión: ”i” 𝒇′′ 𝒙 = 𝟎
6) Concavidad: 𝒇′′ 𝒙 > 𝟎 𝒇′′ 𝒙 < 𝟎
7)Tabla: Intervalos Concavidad Crecimiento

Incluyen a i con c
𝑦
8) Gráfica:
𝑥
GRÁFICA
𝑦 𝑦
𝑥 𝑥

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2) Criterio de la primera derivada (𝑓′(𝑥)): Puede estudiar el signo de la

EJEMPLO: Encontrar los puntos críticos y clasificarlos

Una función es decreciente en un intervalo 𝑎, 𝑏 si para todo

EJEMPLO: Encontrar los puntos de inflexión de

Si todos los puntos de 𝑓 arbitrariamente cercanos a 𝑃 están por debajo

3) Extremos: 𝒇′ 𝒙 > 𝟎 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒆 𝒇′ 𝒙 < 𝟎 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒆

4) Intervalos crecimiento: 𝒇′′ 𝒄 > 𝟎 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐

5) Puntos inflexión: ”i” 𝒇′′ 𝒙 = 𝟎

6) Concavidad: 𝒇′′ 𝒙 > 𝟎 𝒇′′ 𝒙 < 𝟎

7)Tabla: Intervalos Concavidad Crecimiento

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